初中代数最值问题

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九年级数学竞赛题：代数最值

九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1）求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2）求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。

最值问题归纳

最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。

数形结合的思想贯穿始终。

一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。

③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。

（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。

⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。

5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。

⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价探究2：磁盘计算（含圆）探究3：拱桥问题变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。

代数最值问题的常用解法

代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。

解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。

这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。

2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。

这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。

3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。

这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。

4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。

5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。

这种方法常用于处理三角函数的最值问题。

6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。

这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。

7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。

这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。

以上方法并非互斥，有时需要结合使用。

解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。

人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故cA 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ，C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1．故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

七年级下册最值问题。

全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册最值问题是初中数学中的重要概念，通过这一概念的学习，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

最值问题指的是在一组数据中找到最大值和最小值，并求出它们的具体数值。

在日常生活中，最值问题也是非常常见的，比如求一组数据中的最高温度和最低温度，或者求一堆数中的最大值和最小值等等。

在七年级下册的数学课程中，最值问题通常是以实际案例为背景展开讨论的。

通过解决这些案例，学生可以更好地理解最值问题的概念，并掌握解题的方法。

最值问题的解决一般分为两步，首先是找出一组数据中的最大值和最小值，然后是求出它们的具体数值。

在实际操作中，学生需要通过比较不同数的大小，从而找到最值。

除了直接比较数值大小外，还可以通过化简、提取公因式等方法来简化问题，更快地找到最值。

最值问题的学习不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学素养。

在解决最值问题的过程中，学生需要反复比较和分析数据，培养了他们的观察力和思考能力。

通过实际案例的讨论，学生可以更好地理解数学知识与实际生活的联系，增强他们的数学应用能力。

七年级下册最值问题还可以帮助学生培养合作精神和团队意识。

在解决最值问题的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同探讨问题的解决方法，促进了他们与同学之间的交流与合作。

通过互相学习、互相启发，学生可以更好地理解数学知识，提高解题的效率和准确度。

最值问题的学习还可以促进学生主动学习的能力。

通过解决最值问题，学生需要自主思考、积极探索，培养了他们的自主学习意识。

在解决问题的过程中，学生可以提出自己的见解和想法，不断尝试和总结，从而提高了他们的学习兴趣和学习主动性。

七年级下册最值问题是一个涵盖面广、实用性强的数学概念，通过这一概念的学习，学生可以在数学知识上取得更好的掌握与运用。

最值问题的解决不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和团队合作精神。

中考数学最值问题

M
考虑另一种解法
Q
9
求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短（三角形两边之和大于第三边）
10
求直线上动点到两定点距离和的最值，常将两定点变化到直线异侧，再利用对称的性质解决。本题是几何方法求最值较经典的例题，依据是三角形两边之和大于第三边（两点间线段最短）
11
本题与上例类似，仍利用对称解决。问题：如果作Q的对称点是否可以？直线AB与CD间的距离和AD与BC间的距离是否相等。
6
P Q
7
二次函数求最值中考中
不仅是应用题
8
分析： △OBM中，OB是定长，故面积大小由点M到OB的距离决定，面积最大时点M应是平行于OB且与抛物线只有一个交点的直线与抛物线的交点。
设平行于OB的直线为y=x+b，交点坐标同时应满足y=-x2+5x，y=x+b，得x+b=-x2+5x，即x2-4x+b=0，因只有一个交点，则方程只有相同解，判别式16-4b=0，得b=4， ∴x=2,即M（2，6）。
17
18
【例5】（2016·湖南湘西）如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC 在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最
（1）求该什锦糖的单价．
（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？
不等式求最值在中考中常见于应用题

巧求最值问题八种方法

如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是。

分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原式=1990)96(21)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990；例2，设x 为实数，求y=312-+-xx x 的最小值。

分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。

由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-xx x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01=-x x ，解得x=1,于是当x=1时，y=312-+-xx x 的最小值是-1。

二、利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式44411y x +的最小值是。

分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y x +的最小值是1 三、构造方程求最值例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

巧求最值问题八种方法

巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。

由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。

x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式丄二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到『两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。

代数式最值问题

当涉及到代数式的最值问题时，我们通常需要找到使代数式达到最大或最小值的变量值。

这类问题可以通过以下步骤来解决：
1. 理解问题：仔细阅读问题并确保对所给信息有清晰的理解。

了解我们需要找到代数式的最大值还是最小值。

2. 定义变量：为问题中涉及的未知量或变量定义符号。

这将有助于建立代数式。

3. 建立代数式：使用定义的变量来建立与问题相关的代数式。

这可以涉及单个方程式或多个方程式的组合。

4. 求导（可选）：如果代数式是一个多项式或可导函数，我们可以通过对其求导来找到驻点（导数为零的点）。

这些驻点可能对应于最值点。

5. 解方程（可选）：如果我们有一个或多个方程式，我们可以使用代数方法来解方程组，找到方程式的解，这些解可能对应于最值点。

6. 分析边界：检查变量的取值范围。

例如，如果变量是实数，确定是否存在无界的情况，或者是否存在最大或最小的限制。

7. 使用数学工具：使用代数、图形或数值方法来找到代数式的最大或最小值。

这可能涉及求解方程，使用图形方法（例如绘制函数图像）或使用数值计算（例如迭代或优化算法）。

8. 验证答案：找到最大或最小值后，将其代入原始问题中，确保它们满足给定条件。

这些步骤将帮助您解决代数式的最值问题。

请提供具体的问题或代数式，以便我可以为您提供更详细的指导。

代数最值问题(含答案)

代数最值问题（答案）一简单分式函数的最值问题1 判别式法例当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_________________. 提示：可设22365112x x x x ++++=t ，化方程为关于x 的一元二次方程利用判别式求解，也可以将22365112x x x x ++++化简为226(1)1x -++，结果为当x=-1时，最小值为4.2 配方法例设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是__________.提示：2221(1)1y x x x x =-+=-++，当x=1时，最小值为1。

3基本不等式a b +≥例函数()9180y x x x=--+>的最大值是（） A.24 B.18 C.12D.2 答案：C二简单的绝对值函数最值例设x 是实数，11y x x =-++.下列四个结论：①y 没有最小值；②只有一个x 使y 取到最小值；③有有限多个x （不止一个）使y 取到最小值；④有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是（）A .① B.② C.③ D.④提示：亦可以画出图象求解较为直观，选D.关于含一次式绝对值函数的最值有如下重要结论：设12n a a a <<< ，那么，函数12n y x a x a x a =-+-++- ，（1）若n 为偶数，则当x 取122n na x a +≤≤时，有min 2112222n n n n y a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若n 为奇数，则当x 取12nx a +=时，有min 35121222n n n n y a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭补充：图像法例若x 是实数，{}min 21,2,6y x x x =++-+，求y 的最大值.提示：X=-2时，有最小值的最大值为4三多元函数最值问题常用策略1 消元法例已知,,x y z 为实数，且26,23x y z x y z +-=-+=.那么222x y z ++的最小值是________.答：142 因数分解法例设,,a b c 是互不相等的自然数，且231350ab c =.则a b c ++的最大值是__________. 答：1543 配方法例求实数,x y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值.答案：164 利用最值范围例设,,a b c 均为不小于3的实数.1的最小值是_________.答：25 基本不等式法例若1xy =，那么，代数式44114x y +的最小值是__________.答案：16 夹值法例已知三个非负数,,a b c 满足325,231a b c a b c ++=+-=，若37m a b c =+-，则m 的最小值为____________，则m 的最大值为____________.答案：最小值57-，最大值111-7 参数法例设,x y 是实数，且223x xy y ++=.求22x xy y -+的最值.答：最大值为9，最小值为1。

初中代数最值问题

（1）当x取任意实数时，求函数的最值（2）0 ≤x≤ 5，求函数的最值（3）2 ≤x≤ -1，求函数的最值（4）3 ≤x≤ 4，求函数的最值
最新课件
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求:函数y= 3x2 3x 的4 最大值。 x2 x1
求:函数y=
3 x 2 6 x 的5 最小值。
1 x2 x 1
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y 4x 9
直接运用a2＋b2 ≥ 2ab
x
或a＋b≥ 2 求ab 最值
设x为正实数，则函数
y x 1
的最小值是多y少x？x9x的最大值
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用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac （结合韦达定理）求最值。
1、已知实数a,b,c满足a＋b＋c=0,abc=8, 且c>0,则c的最小值是________。
构造一元二次方程在方程有解的条件下利用判别式求最值
代数最值问题
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1.运用配方法求最值；
2.建立函数模型；
3.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
4.利用基本不等式a2＋b2 ≥ 2ab
或a＋b≥ 2 a b 求最值.
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2
1、求代数式2x2 -3x+5的最小值
方法1、配方法
7
已知函数y=x2+2x-3 且 0≤x≤ -2 ，求函数的最值。
y
-10 1 2
x
Hale Waihona Puke 最新课件8已知函数y=x2+2x-3 ，且-3≤x≤ -2, 求函数的最值。
y
-3 -2 -1 0
x
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已知函数y=x2+2x-3 ，且-2≤x≤ 2, 求函数的最值。

代数最值问题(答案)

用代数知识解决最值问题最值问题是中考B 卷的常考题型，必须引起足够重视。

通过什么知识来求最值呢？经分析总结，用不等式或函数等代数知识来解决是有效的方法。

方法1：利用不等式求最值若x ≤a （a 为整数），则x 的最大值为a ，若x ≥a （a 为整数），则x 的最小值为a 。

例1.某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完，求租用小客车数量的最大值．【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；解答：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x 个，每辆大客车的乘客座位数是y 个，则⎩⎨⎧y －x ＝17，6y ＋5x ＝300，解得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝35.答：每辆大客车的乘客座位数为35个，每辆小客车的乘客座位数为18个．(2)设租用a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完，则18a ＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3417，符合条件的a 的最大整数为3.答：租用小客车数量的最大值为3.练习：1：随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．（2010年成都）解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。

初中数学代数最值问题培优专题训练

初中数学代数最值问题培优专题训练本文旨在提供一套初中数学代数最值问题的培优专题训练，帮助学生进一步掌握和应用代数最值相关的知识。

1. 最大值与最小值基本概念回顾首先，我们来回顾一下最大值与最小值的基本概念。

在数学中，最大值指的是一组数中最大的数，而最小值则是一组数中最小的数。

在代数中，我们经常需要求解最大值和最小值的问题，这些问题可以通过分析方程、不等式或函数的性质来解决。

2. 一元一次方程最值问题训练接下来，我们将以一元一次方程为例，进行一些最值问题的训练。

问题1：已知方程 $2x + 3 = 7$，求解 $x$ 的最大值和最小值。

解答1：通过解方程，我们可以得到 $x = 2$。

因此，最大值和最小值都为 $2$。

问题2：已知方程 $3x - 4 = 5 - x$，求解 $x$ 的最大值和最小值。

解答2：将方程化简得到$4x = 9$，进而得到$x = \frac{9}{4}$。

因此，最大值和最小值都为 $\frac{9}{4}$。

3. 一元二次方程最值问题训练然后，我们将以一元二次方程为例，进行一些最值问题的训练。

问题3：已知方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$，求解 $x$ 的最大值和最小值。

解答3：通过解方程，我们可以得到 $x = 1$ 或 $x = 2$。

因此，最大值为 $2$，最小值为 $1$。

问题4：已知方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，求解 $x$ 的最大值和最小值。

解答4：通过解方程，我们可以得到 $x = 1$ 或 $x = 3$。

因此，最大值为 $3$，最小值为 $1$。

4. 总结与延伸通过以上的训练，我们可以看到一元一次方程和一元二次方程的最值问题可以通过解方程的方法得到最大值和最小值。

在实际应用中，代数最值问题也会涉及到更复杂的方程或函数，需要更深入的思考和分析。

希望本套培优专题训练能够帮助同学们进一步巩固和应用代数最值问题的知识，提升解决实际问题的能力。

初中最值问题的方法归纳

初中最值问题的方法归纳
初中最值问题涉及的知识点较多，包括代数、几何、函数等。

以下是一些常用的方法来解决最值问题：
1.配方法：通过配方将二次函数转化为顶点式，从而得到最值。

2.判别式法：通过判断一元二次方程的判别式来判断其解的情况，从而得到最值。

3.均值不等式法：利用均值不等式求出代数式的最值。

4.图形法：利用几何图形的性质来求解最值。

5.函数法：利用函数的单调性、奇偶性等性质来求解最值。

6.导数法：利用导数来求解函数的最值。

7.这些方法并不是孤立的，很多时候需要综合运用多种方法来解决最值问题。

同时，还需
要注意以下几点：
8.审清题目，明确要求什么最值；
9.分析问题中给出的条件和结论，找出之间的联系；
10.选择合适的数学工具和方法，如代数式、方程、不等式、函数等；
11.转化问题，将最值问题转化为其他问题来解决；
12.验证结论是否正确，是否符合实际情况。

13.总之，解决初中最值问题需要综合运用多种知识和方法，需要不断尝试和积累经验。

同
时，也要注意培养自己的数学思维和解决问题的能力。

初二数学最值问题例题

初二数学最值问题例题
（原创实用版）
目录
1.初二数学最值问题的概念
2.最值问题的例题分析
3.解决最值问题的方法
4.总结与建议
正文
【一、初二数学最值问题的概念】
初二数学最值问题是指在一定条件下，求解数学问题中的最大值或最小值。

这类问题涉及到的知识点较多，如代数、几何、函数等，对于培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力具有重要意义。

【二、最值问题的例题分析】
例题：已知函数 y=2x+3，求 y 的最小值。

解：将函数 y=2x+3 表示为 y-3=2x 的形式，可以看出，当 x 取最小值时，y 取得最小值。

因为 x 可以取任意实数，所以 y 没有最小值。

【三、解决最值问题的方法】
解决最值问题通常有以下几种方法：
1.利用数学公式直接求解；
2.利用函数的性质，如函数的单调性、凹凸性等求解；
3.利用数学方法，如代换法、消元法、参数法等求解。

【四、总结与建议】
初二数学最值问题对于学生来说是一个挑战，需要学生具备扎实的数
学基本功和灵活的思维能力。

在解决这类问题时，学生应首先理解题目的意思，然后根据题目条件选择合适的解题方法。

初中数学代数最值问题常用解决方法

初中数学代数最值问题常用解决方法最值问题，也就是最大值和最小值问题。

它是初中数学竞赛中的常见问题。

这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。

一. 配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当时，有最小值。

二. 设参数法例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。

则的最大值为________。

解：设，易知由，得从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得。

故的最大值为2。

例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. 3B.C.D. 6解：设，则从而可知，当时，取得最小值。

故选（B）。

三. 选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。

则z的最大值是________。

解：由得。

代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。

即，整理得解得。

所以，z的最大值是。

四. 夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。

设，记为m的最小值，y为m的最大值。

则__________。

解：由得解得由是非负实数，得从而，解得。

又，故于是，因此，五. 构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。

解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。

从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则因为，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。

若，则的最大值为_________。

解：由得，代入得。

而由和可知的整数。

所以，当时，取得最大值，为。

七. 借助几何图形法例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。

代数最值问题

代数最值问题代数最值问题是数学中常见的一类问题，涉及到寻找一个函数的最大值或最小值。

在代数最值问题中，我们通常需要利用一些数学方法和技巧来求解。

本文将介绍一些常见的代数最值问题，并给出相应的解决方法。

一、一元二次函数的最值问题考虑一元二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数。

我们希望求解该函数的最大值或最小值。

首先，我们可以通过求导的方法来找到函数的极值点。

将函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = 2ax + b$。

令$f'(x) = 0$，解方程可得$x = -\frac{b}{2a}$。

将$x$代入函数$f(x)$，即可得到最值点的纵坐标。

二、绝对值函数的最值问题考虑绝对值函数$f(x) = |ax + b|$，其中$a, b$为常数。

我们希望求解该函数的最大值或最小值。

绝对值函数的最值问题可以转化为两个线性函数的最值问题。

当$x \geq -\frac{b}{a}$时，$f(x) = (ax + b)$；当$x < -\frac{b}{a}$时，$f(x) = -(ax + b)$。

因此，我们可以分别求解这两个线性函数的最值，然后比较得出绝对值函数的最值。

三、分式函数的最值问题考虑分式函数$f(x) = \frac{a}{x}$，其中$a$为常数。

我们希望求解该函数的最大值或最小值。

由于分式函数在定义域上是连续的，因此可以通过求导的方法来找到函数的极值点。

将函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = -\frac{a}{x^2}$。

令$f'(x) = 0$，解方程可得$x = 0$。

由于分式函数在$x = 0$处没有定义，因此我们需要进一步分析$x$趋于无穷大时的极限值来确定最值。

四、指数函数的最值问题考虑指数函数$f(x) = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$。

我们希望求解该函数的最大值或最小值。

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