高中数学北师大版选修2-2第1章《类比推理》word教案

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数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1，得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学习目标核心素养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ，所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较归纳推理类比类推相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不同点特点由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章归纳推理参考教案1

归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表：多面体面数（F ）棱数（E ）顶点数（V ）三棱锥 4 6 4 四棱锥 5 8 5 五棱锥 6 10 6 三棱柱 5 9 6 五棱柱 7 15 10 立方体 6 12 8 八面体 8 12 6 十二面体 123020从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章复习点拨：类比推理的命题

谈类比推理的命题类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理；类比推理由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、可以发现新结论、可以探索和提供解决问题的思路和方法；因此，类比推理是一种很重要的推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出现；本文简介类比推理的命题特点，揭示求解规律，希望对你求解此类问题能有所帮助。

1、类比概念类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。

例1、等和数列的定义是：若数列{}n a 从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列{}n a 是等和数列，且11=a ，22=a ，写出数列{}n a 的一个通项公式为；分析：由定义知公和为3，且31=+-n n a a ，那么)23(231--=--n n a a ，于是)23()1(2311--=--a a n n ，因为11=a ，得21)1(23⋅-+=n n a 2、类比定理从初中到高中我们学过的定理很多，这些定理是产生类比型问题的“沃土”。

请看：例2、在平面几何里有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+。

”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三侧面ADB ACD ABC ,,两两垂直，则。

”分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆一点猜测：2222ADB ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++=事实上，如图作CD AE ⊥连BE ，则CD BE ⊥222222222)(41)(4141AB AD AC AE AB CD BE CD S BCD +=+=⋅=∆ =+∆2ACD S 222ADB ACD ABC S S S ∆∆∆++3、类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。

1[1].1.2类比推理教案设计(北师大版选修2-2)

1．2类比推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；(2)掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．2．过程与方法学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．3．情感、态度与价值观(1)通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；(2)通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．●重点难点重点：能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理做出猜想．教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．(教师用书独具)●教学建议本节容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．●教学流程创设问题情境，引出问题：以仿生学等具体实例为背景.⇒引导学生发现立体几何与平面几何的类似特征，可让学生举例，得出类比推理的定义.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握等差、等比数列之间的相似特征，及类比规律.⇒通过例2及其互动探究，使学生通过概念的类比，掌握分析问题的角度及类比对象.⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，发现新结论.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识类比推理.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积，等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】根据三角形的特征，推出四面体的特征． 3．以上两个推理是归纳推理吗？为什么？【提示】不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理(1)类比推理的定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．(2)类比推理的特征：类比推理是两类事物特征之间的推理．利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 2．合情推理与演绎推理合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.等差数列与等比数列的定义、通项公从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，(1)对于等差数列{a n }，已知n ，n 1，n 2，n 3∈N *，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有an 1＋an 2＋an 3＝3a n .类比这一性质写出等比数列{b n }类似的性质；(2)你能将(1)的结论分别在等差数列{a n }和等比数列{b n }中加以推广吗？【思路探究】根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．【自主解答】 (1)由题设知“和―→类比积，乘―→类比乘方”，故在等比数列{b n }中，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n .123m n 123＋…＋an m ＝m ·a n .对比数列{b n }有bn 1·bn 2·bn 3…bn m ＝b m n .1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键． 2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_____________________________________，__________，T 16T 12成等比数列．【解析】等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 12类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n 项和公式．【思路探究】【自主解答】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，所以S n＝⎩⎨⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.1．本题的关键是类比等差数列的定义写出等和数列的定义．2．这类题目一定要找准新、旧概念之间可以确切表达的相似性，进而由原有的概念去推测新的概念．把上例中的“等差数列”改为“等比数列”，“等和数列”改为“等积数列”，“公和为5”改为“公积为6”，结果如何？【解】等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎨⎧52n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.如图1－1－8，点P 为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.图1－1－8(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF cos ∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【思路探究】(1)用“线面垂直”证“线线垂直”；(2)考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，已知条件可得△PMN为三棱柱的直截面，可选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．【自主解答】(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又∵CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有S2▱ABB1A1＝S2▱BCC1B1＋S2▱ACC1A1－2S▱BCC1B1·S▱ACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos ∠MNP，∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos ∠MNP.由于S▱BCC1B1＝PN·CC1，S▱ACC1A1＝MN·CC1，S▱ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴有S2▱ABB1A1＝S2▱BCC1B1＋S2▱ACC1A1－2S▱BCC1B1·S▱ACC1A1·cos α.1．由“二维”平面扩展到“三维”空间，需要有“升维”的变化．因此，平面中的“点、线、面”一般类比成空间中的“线、面、体”．2．很多情形中，不仅仅是结论之间可以类比；解决问题的思路和方法也可以类比，如本题中结论的证明．平面中的三角形和空间中的四面体有很多类似的性质．例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；(4)三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形切圆的半径，a ，b ，c 为三角形三边长)；……请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论．【解】根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面，且等于第四个面面积的14；(4)四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (r 为四面体切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体四个面的面积).类比不当而致误若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N ＋)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N ＋)也是等比数列．【错解】注意到b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn中的分子是等差数列{a n }的前n 项和，故可类比成等比数列{c n }的前n 项的积．因此，得到d n ＝c 1·c 2·c 3·…·c n n 也是等比数列，应填c 1·c 2·c 3·…·c nn.【错因分析】本题的解答忽视了对等差数列中“除法”运算的类比．【防措施】运用类比推理解决问题时，首先明确类比关系，然后分析类比的角度．如本题中应抓住“运算”这一角度恰当类比．【正解】由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和―→类比积，商―→类比开方”．容易得出d n＝nc1·c2·c3·…·c n也是等比数列，应填nc1·c2·c3·…·c n.1．归纳推理与类比推理是常见的合情推理，其推测结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础．2．类比推理的一般步骤是：第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比．1．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D2．已知“平面，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”，类比这一结论可得出以下结论：①空间，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条； ②空间，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条； ③空间，过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一条； ④空间，过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个．其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系．可借助长方体这一模型排除①③④，仅有②正确．【答案】 B3．类比平面正三角形的“三边相等，三角相等”的性质，可推出正四面体的性质，你认为下列结论中正确的是________．①各棱长相等，同一顶点上任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．【答案】 ①②③4．如图1－1－9(1)有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB，类比这一结论，请写出图1－1－9(2)中相应结论，并证明．图(1) 图(2)图1－1－9【解】 V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC，证明如下：分别过B ′，B 作平面P AC 的垂线B ′D ′，BD ，垂足分别为D ′，D .易知△PB ′D ′∽△PBD ，故PB ′PB ＝B ′D ′BD ，所以V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝13S △P A ′C ′·B ′D ′13S △P AC·BD＝P A ′·PC ′·PB ′P A ·PC ·PB.一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C. 【答案】 C2．关于合情推理的说法不正确的是( )①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A ．①④B ．②④C ．③④D ．①②③④【解析】根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】 D3．下列几种推理过程是类比推理的是( ) A ．两直线平行，错角相等B ．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C ．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D ．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人【解析】四个选项中，只有B 为类比推理，故选B. 【答案】 B4．下列类比推理：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ； ②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】由类比定义知①②的结论错，③的结论正确．【答案】 B5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比【解析】由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．【答案】 C 二、填空题6．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即1∶8.【答案】 1∶87．已知{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有： (m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有________．【解析】由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方”得a m －n p ·a n －p m ·a p －mn＝1. 【答案】 a m －n p ·a n －pm ·a p －m n＝1 8．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_______________________________________________________________________.【解析】 Rt △ABC 类比到空间为三棱锥A －BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A －BCD 的外接球．【答案】在三棱锥A －BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A －BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.三、解答题9．在椭圆中，有一结论：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两端点A 1、A 2连线，则直线P A 1与P A 2斜率之积为－b 2a2，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．【解】过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点A 1、A 2连线，则直线P A 1与P A 2斜率之积为b 2a2.证明如下：设点P (x 0，y 0)，点A 1(a,0)，A 2(－a,0)．椭圆中：kP A 1·kP A 2＝y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝y 20x 20－a 2＝b 21－x 20a 2x 20－a2＝－b 2a 2；双曲线中：kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－a 2＝b 2x 20a 2－1x 20－a 2＝b 2a 2. 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证： 1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①【解】如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.图②如图②，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 11．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.(教师用书独具)已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．【思路探究】本题的关键是等差数列与等比数列相似性质的类比．【自主解答】由题设，若a k ＝0，那么有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：若b k ＝1，则有b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．结合本题k ＝9，得2k －1－n ＝17－n ，故本题应填：b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．【答案】 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)1．找准类比点是解答本题的关键，如等式的结构、运算符号等．2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是() A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】 C。

高中数学第一章推理与证明全套教案北师大版选修2-2

例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比 .
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合
.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合
.
圆
球
弦←→截面圆Leabharlann 2 3、32 12 ,
3 13
2 22 ,
3 23
21 ,
33
a ，由此我们猜想：
b
am （ a , b , m 均为正实数）
bm
这种由某类事物的部分对象具有某些特征
, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
事实概栝出一般结论的推理 , 称为归纳推理 .( 简称：归纳 )
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一
株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子
.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手 . 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的
.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程：
一、课堂引入：
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
2) 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

高中数学北师大版选修2-2学案：1.1.2 类比推理 Word版含解析

1.2类比推理1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理1类比推理阅读教材P5“1.2类比推理”至P6前16行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理2合情推理阅读教材P6的最后4个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 合情推理的结果不一定正确.下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3，∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.(2)对于任意k ∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d .1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.[再练一题]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列. 【导学号：94210005】【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.【答案】 T 8T 4 T 12T 8a b c ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.图1-1-10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a 12BC ·h a ＝S △PBC S △ABC ，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1. 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝1.证明如下：p a h a＝13S △BCD ·p a 13S △BCD ·h a＝V P BCD V A BCD ，同理，p b h b ＝V P ACD V A BCD ，p c h c ＝V P ABD V A BCD ，p d h d＝V P ABC V A BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC V A BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.探究2已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n（n＋1）2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和.【提示】因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n3＋3n2＋3n－3n2＋5n2＝2n3＋3n2＋n6＝n（n＋1）（2n＋1）6.已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.(2016·温州高二检测)如图1-1-11所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于________.图1-1-11【解析】如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ).又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).【答案】 1＋52 [构建·体系]1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D.“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”【解析】由实数运算的知识易得C 项正确.【答案】 C2.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )【导学号：94210006】A.r22 B.l22C.lr2 D.无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.【答案】 C3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶84.在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(＋1)(n＋2).类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________________.【解析】1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7).【答案】 16n (n ＋1)(2n ＋7)5.如图1-1-12(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图1-1-12(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.(1) (2)图1-1-12【解】命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD ，是一个真命题.证明如下：如图，连接DM ，并延长交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】 D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】 D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体S -ABC＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A.b 5b 7>b 4b 8B.b 7b 8>b 4b 5C.b 5＋b 7<b 4＋b 8D.b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×13×34r＝13×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3∶1.【答案】 C二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球.【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228.已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题9.如图1-1-13(1)，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图1-1-13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1) (2)图1-1-13【解】类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，有V P A ′B ′C ′V P ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC . 证明：如图，设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h .则h ′h ＝PC ′PC ，故V P A ′B ′C ′V P ABC＝13S△P A ′B ′·h ′13S △P AB ·h＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .10.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{a n }中，由a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A.正四面体的内切球的半径是其高的12 B.正四面体的内切球的半径是其高的13 C.正四面体的内切球的半径是其高的14D.正四面体的内切球的半径是其高的15【解析】原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列. 【答案】 D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.【导学号：94210008】【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2).。

高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理教案

类比推理一、教学目标1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。

培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。

（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。

又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。

惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）、例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。

得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理教案北师大版选修2_2word格式

1.2类比推理
课标要求
教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
三维目标
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理
二、概念教学
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
教学重难点
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
提炼的课题
培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
教学手段运用
教学资源选择
探析归纳，讲练结合
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师教与学生学
设计意图
一、问题情景
学生阅读
3个“直角面” 和1个“斜面” .→拓展：三角形到四面体的类比.
例4、（可作为研究性学习材料）
引入课题
通过阅读教材体会类比推理的思维过程
类比推理――联想――普遍联系
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;

北师大版高中数学22第一章第1节类比推理教学设计方案

北师大版高中数学选修2-2 《类比推理》教学设计方案江西省高安中学熊智勇一、教学内容课题：类比推理教材：北师大版普通高中课程标准实验教材数学（选修2-2）年级：高二年级所需课时：1课时二、教材分析本节选自选修2-2推理与证明中的归纳与类比，教材将类比推理作为合情推理的一个重要内容，是整个高中阶段对类比推理的高度概括与总结，也是将这种培养学生思维能力的方式从幕后走向台前，是点晴之笔。

让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳的科学，数学不只是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步学习高等数学作准备。

三、学情分析类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。

在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。

所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。

四、教学目标（一）知识与技能：1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去；2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。

（二）过程与方法：本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以学案辅助教学，以问题组的形式展开，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围。

（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的正确数学意识。

高中数学北师大版选修22第1章归纳推理word教案3

归纳推理教学进程：一：创设情景，引入概念师：今天咱们要学习第一章：推理与证明。

那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的进程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同窗能描述一下这段flash动画中的人物的推理进程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是取得推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的进程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断取得一个新的判断的进程。

师：超级好！（引出推理的概念）。

师：推理包括合情推理和演绎推理，而咱们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。

那么，什么是归纳推理呢？下面咱们通过介绍数学中的一个超级出名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）师：听说哥德巴赫无心中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。

大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。

师：对。

咱们看来这些式子都是简单的加法运算。

可是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子互换了一下位置，即变成：10=3+7，20=3+17，30=13+17。

大家观察这两组式子，他们有什么不同的地方？生：变换之前是把两个数加起来，变换以后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。

师：那咱们就可以够取得什么结论？生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论咱们在小学就知道了。

大家在挖掘一下，等式右边的数除都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。

）师：那么咱们是不是可以取得一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。

师：超级好！那么咱们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那咱们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2-2(2021学年)

高中数学第一章推理与证明1.1 归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2-２编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章推理与证明1.1 归纳与类比演绎推理教案北师大版选修２-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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演绎推理一、教学目标1、知识与技能:（1)了解演绎推理的含义;(2)能正确地运用演绎推理进行简单的推理；（3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程:认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式，包括三步(１）大前提，（2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

３、情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生认识到演绎推理在数学中的重要性，我们既需要用合情推理来发现结论，也要用演绎推理来证明结论的对否.二、教学重点：了解演绎推理的含义,能利用“三段论"进行简单的推理。

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程（一）、复习准备:1. 练习: ① 对于任意正整数n ，猜想(２n —1)与(ｎ+１)2的大小关系?②在平面内，若,a c b c ⊥⊥,则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论:在空间中,若,a c b c ⊥⊥,则//a b ;或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则)２. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢?3. 导入:（二）、新课探析1.概念:① 概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。

北师版数学选修22类比推理教案

3、合情推理的定义：
4、尽管合情推理的结果不一定正确，但是它依然有非常重要的价值。
5、对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明。演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
四、巩固练习（选做）
1、杨辉三角的前5行是
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
请试写出第8行，并归纳、猜想出一般规律，从上面的等式中，你能猜想出什么结论？教Biblioteka 过程教师活动学生活动
备注
一、复习引入
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式。
3、归纳推理的步骤有哪些？
二、新课讲解
1、引例：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
情感态度、价值观
1．体会并认识类比推理在数学发现中的作用。
2．培养学生“发现—猜想—证明”的合情推理能力。
教学重点
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点
用类比进行推理，做出猜想。
教学方法
引导、实例分析、探究、应用举例
学法指导
观察、对比、分析、思考、分组讨论
教具、仪器
教学课件、多媒体设备
学生
练习
有配套课件。
教师可根据学生情况选讲。
板书设计
2、类比推理
课件演示课堂练习
1、2、
教学反思
2、类比推理的一般步骤：
a)找出两类事物之间的相似性或者一致性。
b)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

高二北师大数学选修22第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计

第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论（Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。

2020-2021学年北师大版数学选修2-2学案：1.1.2 类比推理 Word版含解析

1．2 类比推理授课提示：对应学生用书第3页[自主梳理]一、类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断________________________，我们把这种推理过程称为类比推理，类比推理是________之间的推理．利用类比推理得出的结论________．二、合情推理的含义________和________是最常见的合情推理，合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论，如________、________、________等，推测出某些结果的推理方式．三、演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的____法则得到新结论的推理过程．四、类比推理的特点1．类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； 3．类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．[双基自测]1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”2．如果对象A 和对象B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等，此外已知对象A 还有一个属性S ，而对象B 还有一个未知的属性x ，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立？( )A ．x 就是PB ．x 就是QC ．x 就是RD ．x 就是S3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r22B.l22C.12lr D．不可类比4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．[自主梳理]一、另一类对象也具有类似的其他特征两类事物特征不一定正确二、归纳推理类比推理定义公理定理三、逻辑[双基自测]1．C由类比推理的定义知C正确．2．D各自另外的属性S只能类比x.3．C由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S＝12lr.4.18V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.授课提示：对应学生用书第3页探究一几何中的类比[例1]在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.在立体几何中，给出类比猜想．[解析]如图，在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝⎝⎛⎭⎫ac2＋⎝⎛⎭⎫bc2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝⎝⎛⎭⎫ml2＋⎝⎛⎭⎫nl2＋⎝⎛⎭⎫gl2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何数目、位置关系、几何性质、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形的类比如下：平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体1．如图①有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图②有体积关系：V P -A ′B ′C ′V P -ABC＝________.解析：(1)把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V P -A ′B ′C ′V P -ABC ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .故填P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC .答案：P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC探究二等式及其他知识点的类比[例2] 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 10＝1，则有等式________成立．[解析] 等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p ，q ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p ，q ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q )．由此，猜想本题的答案为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和，类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．2．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1,32－22＝2×2＋1,42－32＝2×3＋1，…，(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，将以上各式分别相加得：(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，类比上述求法，则12＋22＋32＋…＋n 2＝______________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6类比对象不正确致误[例3] 如图，在四面体S -ABC 中，平面SAB 、平面SAC 、平面 SBC 与底面ABC 所成角分别为α1、α2、α3，三条棱SC 、SB 、SA 与底面ABC 所成角为β1、β2、β3，三个侧面△SAB 、△SAC 、△SBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．[解析] 如图，在△DEF 中，由正弦定理得DE sin F ＝EF sin D ＝DFsin E .如题中图，由于平面SAB 、平面SAC 、平面SBC 与底面所成的二面角分别为α1、α2、α3，类比可得在四面体S -ABC 中，有S △SAB sin α1＝S △SAC sin α2＝S △SBCsin α3，即S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3. [错因与防范] 本题易错误猜想空间图形中三个侧面面积与线面角的正弦的比相等．平面几何中的角是由两条射线组成的，一般在立体几何中，与之相类比的是两个平面组成的角，即二面角．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章高考中的类比推理

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=.答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

2012-2013高二北师大数学选修2-2第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计