[高一]第五届希望杯全国数学邀请赛试题

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第9届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试

第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（）（A ）411天（B ）5天（C ）16天（D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数（C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

希望杯(高一)22--24届试题

备考册班级：姓名：……………………专题12 选择题的解题策略与方法………………………姓名：一、知识整合（一）选择题的解题策略1、先易后难，容易的要速度快，细心不犯粗心错误；难题先随即选择一个答案，并做好标记，若后面还有时间再回头处理。

2、要充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断。

一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；对于明显可以否定的选择枝应及早排除，以缩小选择的范围…… （二）方法技巧 1、直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择枝“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 例1．已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A = (A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x(C) {}20|≤<x x(D) {}21|≤≤-x x2、特殊值法（又称特例法）：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例2．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 例3．若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（）（A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q 3、排除法（又称筛选法）:从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.例4．已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）（A ）(0，1) （B ）(1，2) （C ）(0，2) （D ） [2，+∞) 4、代入检验法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例5．函数y ＝sin （2x ＋25π）的图象的一条对称轴的方程是（）（A ）x ＝－2π （B ）x ＝－4π （C ）x ＝8π （D ）x ＝45π 例6．已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（）A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，5、数形结合法（图解法）：据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断. 数形结合更是一种解题策略.虽然它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择. 例7．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（）（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ 例8．在圆x 2＋y 2＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是（）（A ）（85，65）（B ）(85，－65)（C ）(－85，65) （D ）(－85，－65)例9．函数y =|x 2—1|+1的图象与函数y =2 x 的图象交点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.例10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（）（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 二、训练题1、已知集合}01211|{2<--=x x x A ，集合}),13(2|{Z n n x x B ∈+==，则B A ⋂等DEFCBA于（）A 、{2}B 、{2，8}C 、{4，10}D 、{2，4，8，10} 2、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是（）A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞3、已知函数ax x y 42-=（1≤x ≤3）是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、]1,(-∞B 、]21,(-∞C 、]23,21[D 、),23[+∞4、对于定义在R 上的函数f(x)，若实数x 0满足f(x 0)=x 0，则称x 0是函数f(x)的一个不动点，函数f(x)=6x —6x 2的不动点是（）A 、65或0 B 、65 C 、56或0 D 、56 5、设二次函数a x x x f +-=2)(，若0)(<-m f ，则f(m+1)的值是（）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、与m 有关6、设集合)}( lg )(lg |{x g x f x M ==，})101()101(|{)()(x g x f x N ==，则（） A 、M=N B 、M ∩N=∅ C 、N ⊇M D 、M ⊇N7、若α是第四象限角，则2α是（）A 、第二象限角B 、第三象限角C 、第一或第三象限角D 、第二或第四象限角 8、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 成轴对称图形的是（）A 、)32sin(π-=x y B 、)62sin(π+=x yC 、)62sin(π-=x y D 、)621sin(π+=x y 9、若a ，b 是任意实数，且a>b ，则（）A 、a 2>b 2B 、ba)21()21(< C 、lg(a —b)>0 D 、1<ab 10、不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 2412有解，则实数a 的取值范围是（）A 、（—1，3）B 、（—∞，—1）∪（3，+∞）C 、（—3，1）D 、（—∞，—3）∪（1，+∞）11、若不等式a x x >--+|2||1|对于任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A 、（—∞，3）B 、]3,(-∞C 、（—∞，—3）D 、]3,(--∞ 12、若数列{a n }的前n 项和公式为)1(log 3+=n S n ，则a 5等于（）A 、log 56B 、56log 3C 、log 36D 、log 35 13、首项为31，公差为—6的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，则数列{S n }中与零最近的项是（）A 、第9项B 、第10项C 、第11项D 、第12项 14、不等式|log ||||log |22x x x x +<+的解集为（）A 、（0，1）B 、（1，+∞）C 、（0，+∞）D 、（—∞，+∞） 15、长方体的全面积为72，则长方体的对角线的最小值是（）A 、26B 、23C 、3D 、616、由下列各表达式确定的数列{a n }：（1）a n = —5，（2）a n =n 2，（3）a n = —n ，（4）S n =a 1+a 2+…+a n =n 2+1，其中表示等差数列的序号是（）A 、（1）（3）（4）B 、（1）（2）C 、（1）（3）D 、（2）（3）（4） 17、已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列，—1，b 1，b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为A 、21B 、21-C 、2121或- D 、41第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试2012年3月11日上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在下面的表格内。

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫHale Waihona Puke ﻫ第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试
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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
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第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
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第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
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第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
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第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试

高一数学希望杯训练五试题试题

创作；朱本晓高一数学希望杯训练五1、1)1(+=-x x f ，那么)12(+x f 等于------------------------〔〕〔A 〕x 2〔B 〕12+x〔C 〕22+x 〔D 〕32+x2、假设}2log |{2xx x x -=∈，那么有--------------------------------------〔〕〔A 〕12>>x x 〔B 〕x x >>12〔C 〕x x >>21 〔D 〕21x x >>3、222)(--=-xxx f ，0)(=a f ，那么)(a f -等于------------------〔〕〔A 〕4--a〔B 〕―2〔C 〕―4〔D 〕a 2-4、线段OA 、OB 、OC 不一共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，那么ΔABC 是--------------------------------------------------------------------〔〕〔A 〕等边三角形〔B 〕不等边的等腰三角形〔C 〕直角三角形〔D 〕钝角三角形创作；朱本晓5、函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23 , )3lg(23, lg )(x x x x x f ，假设方程k x f =)(无实数解，那么k 的取值范围是------------------------------------------------------------------〔〕〔A 〕)0,(-∞ 〔B 〕)1,(-∞ 〔C 〕)23lg ,(-∞〔D 〕),23(lg +∞6、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------〔〕〔A 〕21<<-x〔B 〕20<<x 〔C 〕10<<x 或者21<<x〔D 〕0>x 且1≠x7、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于------------〔〕〔A 〕0 〔B 〕22b a〔C 〕22b a -〔D 〕ba-8、长、宽、高分别为3cm 、4cm 、12cm 的长方体木块ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，创作；朱本晓 BC=4cm ，CC 1=12cm ，假设一只小虫要由A 点沿木块外表爬到C 1点，最短途径的长度是。

第19届希望杯全国数学邀请赛高一(一试)试题(含答案)

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试（第二类）2008年3月16日上午8：30至10：00校名________________ 班_________ 姓名__________ 辅导老师_________ 成绩_____一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。

1. 设全集{1,3,5,7}U =，集合{3,5},A ={1,3,7}B =，则()U A C B 等于（）（A ）{5} (B) {3,5} (C) {1,5,7} (D) ∅2. 函数()lg(21)f x x =+的定义域为（）（A ）R (B) 1(,)2-∞-(C) 1[,)2-+∞ (D) 1(,)2-+∞3. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续的，且其中的四组对应值如右表，那么在下列区间中，函数()f x 存在零点的是（）（A ）(1,2) (B) {3,5} (C) {1,5,7} (D) ∅ 4. 函数1()2xy =与函数21log ()y x=的图像（）（A ）有且只有1个公共点，且在直线y x =上。

（B ）有且只有1个公共点，且不在直线y x =上。

（C ）有且只有3个公共点，且有1个在直线y x =上。

（D ）没有公共点.5. 555的五次方根是（）（A ）5(51)5- （B ）545 （C ）455 （D 56. Let ⊗ be the binary operator on positive intergers defined by ba b a ⊗=. Consider the following identities:①a b b a ⊗=⊗ ② ()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗③()()()a b c a b a c ⊗+=⊗+⊗ ④()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗(A) ① and ② are true (B) ③and ④ are true (C) ② is true (D) None is true7. 若三棱锥的三个侧面的斜高相等，棱锥的顶点在底面所在的平面内的射影在底面三角形的内部，则该射影是底面三角形的（）（A ）外心（B ）内心（C ）垂心（D ）旁心8. 实验室里有一架不等臂天平：同学甲说：分别把所称物体放在左右两个盘中各称一次，则两次称得的质量的平均数就等于被称物体的真实质量；同学乙说：将一个物体放到左盘称得的质量是1千克，将另一个物体放到右盘中，称得的质量也是1千克，则这两个物体的质量之和的真实值是2千克。

第五届高一试题(决赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)

第五届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M I {a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．设{}(,)R,R M a b a b =∈∈，{}()()cos 2sin 2N f x f x a x b x ==+，给出M 到N 的映射:(,)()cos2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点的象()f x 的最小正周期为（）A ．πB ．2πC ．π2D ．π43．若点()sin ,sin2θθ位于第四象限，则sin cos tan sin cos tan θθθθθθ++的值为（） A ．1-B ．1C ．3-D ．34．已知133log a a =，131()log 3b b =，31()log 3c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b<c<a5．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则在11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的是（）A ．11S a B ．88S a C ．99S a D ．1515S a 6．已知()()()()sin π,011,0x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-->⎪⎩则111166f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．1- B．2-C ．2- D ．3-二、填空题7．已知sin sin 1αβ+=，则sin sin sin αβα+的取值范围为. 8．已知函数()()6sin 4,2f x k x k x x =+-∈=R 是函数()f x的一个零点，则f 的值为. 9．已知函数()4lg 55x x f x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为R ，则m 的取值范围是．10．已知数列{}n a 的通项公式2cos π,n n a n n S =为它的前n 项和，则21n S -=.11．定义域为R 的函数()1,221,2x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++=．12．若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，k 称为公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中121,2a a ==，则2010a =.三、解答题13．设函数()()πsin (01),tan (01)6f x ax ax a g x mx m ⎛⎫=<<=+<< ⎪⎝⎭，已知函数()(),f x g x 的最小正周期相同，且()()121f g =. (1)试确定()(),f x g x 的解析式； (2)求()f x 的单调递增区间.14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为12,3n S a =，且满足2*1122)3(n n n S S a n +++=∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：当2n ≥时，2222311194n a a a +++<L . 15．已知函数()21f x ax bx =++（a ，b 均为实数），()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩．(1)若()10f -=，且函数()f x 的最小值为0，求()F x 的解析式；(2)在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-具有单调性，求实数k 的取值范围； (3)设0mn <，0m n +>，0a >且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +能否大于零？16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n ∈N ，点(),n n S 在函数()2f x x x =+的图象上.(1)求n a 的表达式；(2)设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式A a 对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)将数列{}n a 依次按1项、2项循环地分为()()()()()()()12345678910,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a L ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求100b 的值.。

第9方程问题

第9方程问题1方程问题方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.一、解方程(组)数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.1.指对方程 [例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+164log 225log 4log log 64225y x y x 的两组解为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则log 30(x 1y 1x 2y 2)= .[解析]:[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9x+|1-3x|=5的实数解为 .②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知1313-+x x =x--1331,则实数x ＝ .③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程xxx x 1812278++=67解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程)762(6log 13+-x x =136log 2的解x ＝ .②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10-x+1),方程f(-2x)=f -1(2x)的解为 . ③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x 的方程ax a x lg 1lg 2+-=x 只有一个实数解,则a 的值等于 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若①a x=b y=c z=30w②x 1+y 1+z1= w1.试求a+b+c 的值. 2.换元法[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为nm((m,n)=1),则m+n= .[解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b 是方程log 3x 3+log 27(3x)=-34的两个根,则a+b= . ②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,224ba b a ++的值是 .2.①(2006年上海杯高二试题)方程x sinx 2=2在区间[0,20]内有多少个实根？②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx =cosx 在[0,2π]上的根的个数是 .23.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z 满足xyz=1081,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则z y x 222lg lg lg ++= .②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x ≥1,y ≥1,且log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)(其中a>0,a ≠1),则log a (xy)的取值范围是 .3.主元法 [例3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y zx yz xy z xyz z y x 的有理数解(x,y,z)的个数为 . [解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k ∈R,方程x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0的实数x 的取值范围是 .②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x 、y 、z(x ≠y)满足:5(x-y)+5(z-y)+(z-x)=0,则2)())((y x x z z y ---= .2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k ≥9,解方程:x 3+2kx+k 2x+9k+27=0.3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a 、b 是常数,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x a z y x ,并求出若使x 、y 、z 是互不相同的正数,a 、b 应满足什么条件？4.配方法[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )的解(x,y)=_____.[解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . ②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z 满足方程:x+y+z+13-x +13-y +13-z =2(2+x +2+y + 2+z ).2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:201022009---x x +201022009-+-x x =2的所有实数为 .②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x 的方程x+4121+++x x =a 有且仅有一个实根,则实数a 的取值范围是 .3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+2y=7,y 2+4z=-7,z 2+6x=-14,则x 2+y 2+z 2= .5.不等式法3[例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .[解析]:[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos3x =10x +10–x+1的实根的个数是 . ②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a 是正常数且a≠1,则方程a x+a -x+1=3cos 2y 的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]=-y 2+y+43.的所有实数对(x,y)= .2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x 3–2336x 2+3=0的全部负根之和是 .3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=)23()23()23(333z z x y y z x x y .6.单调函数法[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)的解集为 .[解析]:[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3x+4x+5x=6x的解是 .②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(21)x +(32)x +(65)x,则关于x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数解之和等于 .2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x 3+x+1=0与x+3x +1=0的根分别是α,β,则α+β= .②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log 2x+x+2=0和2x+x+2=0的根,则α+β= .③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10x=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= .2011.3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=yy y x xx x y 2323232232. ②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--313131232323x x z z z y y y x .7.方程的方程组法 [例7]:方程x 2+22)3(9-x x =16的实数解的和为 .4 [解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程3)4)(1(-+x x +3)5)(2(x x -+=6的实数解的个数为 .2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos 33x+cos 35x=8cos 34xcos 3x(1000<x<2000)成立的x 值的和= .3.方程x x +-13=1322+-x x 的实数解的个数为 . 8.方程组的方程法 [例8]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-2062323xyz z xyz y xyz x 的实数解,若a 3+b 3+c 3的最大值为nm((m,n)=1),则m+n= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y 满足:31052+x +31062+y =1,31053+x +31063+y =1,则x+y= .②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线βαsin sin +x +βαcos sin +y =1与βαsin cos +x +βαcos cos +y=1的交点在直线y=-x 上,则sin α+cos α+sin β+cos β= .3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333555222z y x z y x z y x .9.灵活消元法 [例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-21++b b ),f(10a+6b+21)=4lg2,求a,b 的值.[解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x 和y 是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x 3=0,那么x+y 等于 .2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y 满足y=43x,x y =y x,设x+y=nm ((m,n)=1),则m+n= . 10.消去常数法 [例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)), …,f (2)(x)=f(f(n-1)(x));g (1)(x)=g(x),g (2)(x)=g(g(x)),…,g (2)(x)=g(g(n-1)(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.5方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ,的解为 .[解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a 2(b+c)=b 2(a+c)=2011,且a ≠b,则abc= .2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a 、b 、c 、d,且a ≠b,c ≠d.若关系式:a 2+ac=2,b 2+bc=2,c 2+ac=4,d 2+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d 的值为 .11.整体换元法 [例11]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-662062444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x . [解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知x 1+z y +1=21,y 1+x z +1=31,z 1+y x +1=41,则x 2+y 3+z4的值为 .2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+2)(733y x xy y x .12.数形结合法 [例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z 满足x=1612-y +1612-z ,y=2512-z +2512-x ,z=3612-x + 3612-y ,且x+y+z=nm (m,n ∈Z +,n 为最简根式),则m+n= . [解析]:[类题]1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b ∈R,关于x 的方程x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0有一个实根.求a 2+b 2的最小值.2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a ≥b)为正实数.ρ为ba 的可能的最大值,使得方程组a 2+y 2=b 2+x 2=(a-x)2+(b-y)2的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ2=nm((m,n)=1),则m+n= .二、根的问题在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.13.二次方程[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x 1,x 2是方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两个实数根,x 12+x 22的最大值是( )6(A)19 (B)18 (C)950(D)不存在 [解析]:[类题]:1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x 的方程x 2+4xcos θ+cos θ=0有重根.则θ的弧度数为 .②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x 2+bx+9,g(x)=x 2+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x)=0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x 的方程sin 2x-(2a+1)cosx-a 2=0有实数解.则实数a 的取值范围是 .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x 的方程4x+(a+3)2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围为 .3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x 2-2ax-3a 2,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x 2-8x+c 1)(x 2-8x+c 2)(x 2-8x+c 3)(x 2-8x+c 4),M={x|f(x)=0}.己知M={x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8}⊆N.那么max{c 1,c 2,c 3,c 4}-min{c 1,c 2,c 3,c 4}= .14.二次迭代[例14]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x 为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}. (Ⅰ)求证:A ⊆B;(Ⅱ)若f(x)=ax 2-1(a ∈R,x ∈R),且A=B ≠φ,求实数a 的取值范围.[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x 2+ax,{x|f(x)=0,x ∈R}={x|f(f(x))=0,x ∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a 的取值范围为 .2.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x 2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x ∈R}=f(f(x))=0,,x ∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b 的值为 .15.根的个数[例15]:(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx 的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程31x 2-lgx=2的实数根个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+6π)=x 的根的个数为 .716.根的讨论[例16]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p ≠q.若p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程bx 2-2ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根[解析]: [类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( )(A)(1,e ) (B)(e ,2) (C)(2,e) (D)(e,3)2.(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( ) (A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p 2-4q ≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根17.参数范围[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=kx 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k<121+n (C)121+n <k<121+n (D)以上都不是 [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x 的方程21x -=kx+2恰有一个实根,则k 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程21x -=log 2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=k x -有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .4.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x 的方程|x-k|=22k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .5.(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .18.根的定义 [例18]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x 5+2x 4-53x 3-57x+54)2006,则f(21111-)= . [解析]:[类题]:1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sin α是方程x 2+3x-1=0的根,则sin2(α+4π)的值是___.2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x 2+x-1,若ab 2≠1,且有f(a -1)=f(b 2)=0,试确定21ab a +的值3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x 4-8x 3+16x 2+1,则f(2-3)= .1方程问题方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.一、解方程(组)数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.1.指对方程 [例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+164log 225log 4log log 64225y x y x 的两组解为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则log 30(x 1y 1x 2y 2)= .[解析]:设a=log 225x,b=log 64y,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1114ba b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5153b a ,⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5153b a ⇒x 1=53225-,y 1=5164+,x 2=53225+,y 1=5164-⇒log 30(x 1y 1x 2y 2)=12.[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9x+|1-3x|=5的实数解为 .解:x<0无解;当x ≥0时,原方程变形为32x+3x－6=0,解得3x=2,x=log 32.②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知1313-+x x =x--1331,则实数x ＝ .③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程xxx x 1812278++=67解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多解:令2x=a,3x=b ⇒8x=a 3,27x=b 3,12x=a 2b,18x=ab 2⇒2233ab b a b a ++=67⇒ab b ab a 22+-=67⇒(2a-3b)(3a-2b)=0⇒x=-1,1.2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程)762(6log 13+-x x =136log 2的解x ＝ .②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10-x+1),方程f(-2x)=f -1(2x)的解为 .③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x 的方程ax a x lg 1lg 2+-=x 只有一个实数解,则a 的值等于 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若①a x=b y=c z=30w②x 1+y 1+z1= w1.试求a+b+c 的值. 解:由a x=b y=c z=30w⇒w a 1=x 130,w b1=y130,w c 1=z130⇒w abc 1)(=zy x 11130++⇒abc=30⇒a=2,b=3,c=5⇒a+b+c=10.2.换元法[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为nm((m,n)=1),则m+n= .[解析]:设2111x=t(t>0),则41t 3+4t=2t 2+1⇒t 3-8t 2+16t-4=0⇒x 1+x 2+x 3=1111(log 2t 1+log 2t 2+log 2t 3)=1111log 2(t 1t 2t 3)=1112 [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b 是方程log 3x 3+log 27(3x)=-34的两个根,则a+b= . 解:令log 3x 3=t ⇒log 27(3x)=t 31⇒t+t 31=-34=(-1)+(-31)⇒t=-1,-31⇒x=91,811⇒a+b=91+811=8110. ②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,224ba b a ++的值是 .解:令log a b=t ∈(0,1)⇒log b a=t 1⇒t+3t 1=213=6+21⇒t=21⇒log a b=21⇒a=b 2⇒224ba b a ++=1. 2.①(2006年上海杯高二试题)方程x sinx 2=2在区间[0,20]内有多少个实根？②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx =cosx 在[0,2π]上的根的个数是 . 3.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z 满足xyz=1081,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则z y x 222lg lg lg ++= .解:设lgx=a,lgy=b,lgz=c ⇒a+b+c=81,ab+bc+ca=468⇒a 2+b 2+c 2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=812-2×468=752.②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x ≥1,y ≥1,且log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)(其中a>0,a ≠1),则log a (xy)的取值范围是 .解:log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)⇔(log a x –1)2+(log a y –1)2=4,log a x=2cos θ+1,log a y=2sin θ+1⇒log a (xy)=2(cos θ+sin θ)+2∈[2-22,2+22].3.主元法 [例3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y zx yz xy z xyz z y x 的有理数解(x,y,z)的个数为 . [解析]:若z=0,则⎩⎨⎧=+=+00y xy y x ,解得⎩⎨⎧==00y x ,或⎩⎨⎧=-=11y x ;若z ≠0,则由xyz+z=0得xy=-1,由x+y+z=0得z=-x-y,代入xy+yz+zx+y=0得x 2+y 2+xy-y=0⇒(-y 1)2+y 2+(-y1)y-y=0⇒(y-1)(y 3-y-1)=0,易知y 3-y-1=0无有理数根,故y=1⇒x=-1⇒z=0,矛盾,故该方程组共有两组有理数解.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k ∈R,方程x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0的实数x 的取值范围是 .解:x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0⇔k 2+2(1-x 2)k+x 4-3=0⇔4(1-x 2)2-4(x 4-3)≥0⇔x ∈[-2,2].②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x 、y 、z(x ≠y)满足:5(x-y)+5(z-y)+(z-x)=0,则2)())((y x x z z y ---= .解:由题知,5是方程(x-y)t 2+(z-y)t+(z-x)=0的根,而该方程恒有一根t=-1⇒2)())((y x x z z y ---=(5-1)(-5).2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k ≥9,解方程:x 3+2kx 2+k 2x+9k+27=0.解:x 3+2kx 2+k 2x+9k+27=0⇔xk 2+(2x 2+9)k+x 3+27=0,△=(2x 2+9)2-4x(x 3+27)=(6x-9)2⇒k=xx x 2)96()92(2-±+-⇒k=-x-3,或k=-xx x 932+-⇒x=-k-3,或x 2+(k-3)x+9=0⇒x=-k-3,或x=2)3)(9()3(+-±-k k k .3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a 、b 是常数,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x az y x ,并求出若使x 、y 、z 是互不相同的正数,a 、b 应满足什么条件？解:⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x az y x ⇒(a-z)2=b 2-z 2+2z 2⇒2az=a 2-b 2.①若a=0⇒b=0⇒x=y=z=0;②若a ≠0⇒z=a b a 222-⇒x+y=a b a 222+, xy=(a b a 222-)2⇒x,y 是方程t 2-a b a 222+t+(ab a 222-)2=0的两根⇒△=4.配方法[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )的解(x,y)=_____.[解析]:x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )⇔(x+13-x -22+x )+(y+13-y -22+y )=0⇔11-x [x 2-x+3-2(x-1) 2+x ]+11-y [y 2-y+3-2(y-1)2+y ]=0⇔11-x [(x-1)2-2(x-1)2+x +(2+x )2]+11-y [(y-1)2-2(y-1)2+y + (2+y )2]=0⇔11-x [(x-1)-2+x ]2+11-y [(y-1)-2+y ]2=0⇔x=y=21(3+13).[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . 解:1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)⇔x-21-x +y-44-y +z-69-z =0⇔(1-x -1)2+(4-y -2)2+(9-z -3)2=0.②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z 满足方程:x+y+z+13-x +13-y +13-z =2(2+x +2+y + 2+z ).2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:201022009---x x +201022009-+-x x =2的所有实数为 .解:201022009---x x +201022009-+-x x =2⇔|2010-x -1|+|2010-x +1|=2⇔0≤2010-x ≤1.②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x 的方程x+4121+++x x =a 有且仅有一个实根,则实数a 的取值范围是 . 解:x+4121+++x x =a ⇔x+2)2141(++x =a ⇔x+41+x +21=a ⇔(41+x +21)2=a(41+x ≥0)⇔a ≥41.3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+2y=7,y 2+4z=-7,z 2+6x=-14,则x 2+y 2+z 2= . 解:把三个式子相加得:(x+3)2+(y+1)2+(z+2)2=0即得.5.不等式法 [例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .[解析]:由(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005⇒x>0.(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005⇔(x+20051x)(1+x 2+x 4+…+x 2004)=2006⇔x+x 3+x 5+…+x 2005+20051x +20031x+20011x+…+x 1=2006⇔2006=(x+x 1)+(x 3+31x )+…+(x 2005+20051x)≥2×1003=2006.等号成立:x n=nx 1⇒x=1⇒原方程的实数解个数为1.[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos3x =10x +10–x+1的实根的个数是 . ②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a 是正常数且a≠1,则方程a x+a -x+1=3cos 2y 的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]=-y 2+y+43.的所有实数对(x,y)= . 解:log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]≥log 22=1;-y 2+y+43≤1.当且仅当y=21,2cos 2(xy)=)(cos 212xy ⇒cos(21x)=±22⇒x=. 2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x 3–2336x 2+3=0的全部负根之和是 .解:当x>0时,x 3–2336x 2+3=0⇔x+23x =2336.x+23x =2x +2x +23x ≥2336.当且仅当2x =23x ,即x=36,x 3–2336x 2+3=(x-36)2(x+2136)=0.3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=)23()23()23(333z z x y y z x x y .解:x=z 3(3-2z)=z[zz(3-2z)]≤z[3)23(z z z -++]3=z,同理可得:y ≤x,z ≤y ⇒x ≤z ≤y ≤x ⇒x=y=z ⇒x=1.6.单调函数法[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)的解集为 .[解析]:令log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)=t⇒3x +4x =5t ,5x -3x =4t ⇒(消去3x )5x +4x =5t +4t ⇒(由函数f(x)=5x +4x单调递增)x=t ⇒3x+4x =5x⇒(53)x +(54)x =1⇒(由函数f(x)=(53)x +(54)x单调递减,且f(2)=1)x=2. [类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3x+4x+5x=6x的解是 .②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(21)x +(32)x +(65)x,则关于x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数解之和等于 . 解:2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x 3+x+1=0与x+3x +1=0的根分别是α,β,则α+β= .②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log 2x+x+2=0和2x+x+2=0的根,则α+β= .③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10x=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= .2011.解:3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=y y y x xx x y 2323232232. 解:两式相减得y 2-x 2=(x 3-3x 2+2x)-(y 3-3y 2+2y)⇒x 3-2x 2+2x=y 3-2y 2+2y,令f(t)=t 3-2t 2+2t ⇒f '(t)=3t 2-4t+2>0⇒x=y ⇒x 3-4x 2+2x=0⇒x=0,②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--313131232323x x z z z y y y x .解:令f(t)=3231++t t ,则f(t)>0,且f(t)在(0,+∞)内单调递增.x,y,z>0,若x>y,由x=f(y),y=f(z),z=f(x)⇒f(y)> f(z)⇒y>z ⇒f(z)>f(x)⇒z>x 矛盾.x=y=z ⇒t=1413-.7.方程的方程组法 [例7]:方程x 2+22)3(9-x x =16的实数解的和为 .[解析]:设33-x x=y ⇒xy=3(x+y)⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(31622y x xy y x ⇒(x+y)2=x 2+y 2+2xy=16+6(x+y)⇒(x+y)2-6(x+y)-16=0⇒x+y=8,-2 ⇒⎩⎨⎧==+248xy y x ,⎩⎨⎧-=-=+62xy y x ⇒t 2-8t+24=0(无解),t 2+2t-6=0⇒和为-2. [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程3)4)(1(-+x x +3)5)(2(x x -+=6的实数解的个数为 . 解:设a=3)4)(1(-+x x ,b 3)5)(2(x x -+,则a+b=6,a 3+b 3=6,因此a 2+b 2-ab=1,从而可得ab=325,因此a,b 是方程t 2-6t+325=0的两个实根,判别式△<0无解.2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos 33x+cos 35x=8cos 34xcos 3x(1000<x<2000)成立的x 值的和= .解:设a=cos3x,b=cos5x,则a+b=cos3x+cos5x=cos(4x-x)+cos(4x+x)=2cos4xcosx ⇒a 3+b 3=(a+b)3⇒ab(a+b)=0. ①a=0⇒cos3x=0⇒3x=1800k+900⇒x=600k+300⇒x=1500;和=9060.3.方程x x +-13=1322+-x x 的实数解的个数为 . 解:设x x +-13=1322+-x x =y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++332222y x y x x y xy ⇒xy 2-x 2y+y 2-x 2+x-y=0⇒(x-y)(xy+x+y-1)=0⇒y=x,x x +-11⇒1322+-x x =x,x x +-11 ⇒x 3+x 2+x=3,x 2-2x-1=0⇒x=1,1+2(增),1-2.个数为2.8.方程组的方程法[例8]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-2062323xyz z xyz y xyz x 的实数解,若a 3+b 3+c 3的最大值为nm((m,n)=1),则m+n= . [解析]:设t=xyz,则t 3=x 3y 3z 3=(t+2)(t+6)(t+20)⇒7t 2+43t+60=0⇒t=-4,-715⇒x 3+y 3+z 3=3t+28的最大值为3(-715)+28 =7151⇒m+n=158. [类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1解;a 、b 是(x+c)(x+d)=1的两个根,所以a+b=-(c+d),ab=cd-1⇒(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c 2=cd-c(c+d)+c 2-1=-1.2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y 满足:31052+x +31062+y =1,31053+x +31063+y =1,则x+y= .解;据条件,210,310是关于t 的方程35+t x +36+t y =1,即t 2-(x+y-53-63)t+？=0的两个根,所以210+310=x+y-53-63⇒x+y=210+310+53+63.②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线βαsin sin +x +βαcos sin +y =1与βαsin cos +x +βαcos cos +y=1的交点在直线y=-x 上,则sin α+cos α+sin β+cos β= .3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333555222z y x z y x z y x .解;设x,y,z 是方程t 3+at 2+bt+c=0的根⇒x+y+z=-a,xy+yz+zx=b ⇒a=-3,b=21[(x+y+z)2-(x 2+y 2+z 2)]=3⇒t 3=3t 2-3t-c ⇒ x 3+y 3+z 3=3(x 2+y 2+z 2)-3(x+y+z)-3c=-3c ⇒x 4+y 4+z 4=3(x 3+y 3+z 3)-3(x 2+y 2+z 2)-c(x+y+z)=-9-12c ⇒x 5+y 5+z 5=3(x 4+y 4+z 4)-3(x3+y 3+z 3)-c(x 2+y 2+z 2)=-27-30c=3⇒c=-1⇒t 3-3t 2+3t-1=0⇒(t-1)3=0⇒t=1.9.灵活消元法 [例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-21++b b ),f(10a+6b+21)=4lg2,求a,b 的值.[解析]:由f(x)=|lg(x+1)|,则f(m)=f(n)⇔|lg(m+1)|=|lg(n+1)|⇔m=n,或(m+1)(n+1)=1.注意到:f(-21++b b )=|lg(1-21++b b )|=|lg(b+2)|=f(b+1);f(15)=|lg(15+1)|=4lg2.所以,f(a)=f(-21++b b )⇔f(a)=f(b+1)⇔a=b+1(与a<b 不符),或(a +1)(b+2)=1⇔(a+1)(b+2)=1;f(10a+6b+21)=4lg2⇔f(10a+6b+21)=f(15)⇔10a+6b+21=15,或(10a+6b+21+1)(15+1)=1.①若(a+1)(b+2)=1,10a+6b+21=15⇒10(a+1)+6(b+2)=16⇒10(a+1)+16+a =16⇒a=0,-52⇒b=-1,-31,其中,a=0,b=-1与a<b 不符;②若(a+1)(b+2)=1⇒10a+6b+21+1=10(a+1)+6(b+2)=210+b +6(b+2)>1⇒(10a+6b+21+1)(15+1)=1不成立.所以a=-52,b=-31. [类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x 和y 是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x 3=0,那么x+y 等于 .解:①当x>0时,x+y=3⇒y=3-x ⇒x(3-x)+x 3=0⇒x 2-x+3=0无实根;②当x<0时,y=x+3⇒-x(x+3)+x 3=0⇒x 2-x-3=0⇒x=2131-⇒x+y=2x+3=4-13. 2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y 满足y=43x,x y =y x,设x+y=nm ((m,n)=1),则m+n= . 解:x x 43=(43x)x(x>0)⇒x x 43=(43)x x x ⇒x x x -43=(43)x ⇒x x 41-=(43)x ⇒41-x =43⇒x=81256⇒x+y=47x =81448⇒m+n=529. 10.消去常数法 [例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)), …,f (2)(x)=f(f(n-1)(x));g (1)(x)=g(x),g (2)(x)=g(g(x)),…,g (2)(x)=g(g(n-1)(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ,的解为 .[解析]:f (n)(x)=2n x-3(2n -1)=2n (x-3)+3;g (n)(x)=3n x+3n -1=3n (x+1)-1,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯-+=+-⋯-+=+-⋯-+=+-③x z ②z y ①y x 1)1(33)3(21)1(33)3(21)1(33)3(2696969.①-②,②-③,③-①得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-)(3)(2)(3)(2)(3)(2696969y x x z x z z y z y y x ⇒x-y=9623(y-z)=(9623)2(z-x)=(9623)3(x-y)⇒x-y=0⇒y-z=0⇒x=y=z,代入①得:29(x-3)+3=36(x+1)-1⇒x=-31323⇒x=y=z=-31323.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a 2(b+c)=b 2(a+c)=2011,且a ≠b,则abc= .解:二式相减得:a 2(b+c)-b 2(a+c)=0⇒ab+(a+b)c=0⇒c=-b a ab +,代入a 2(b+c)=2011⇒a 2(b-ba ab +)=2011⇒a 2b a b+2=2011⇒abc=ab(-ba ab+)=-2011. 2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a 、b 、c 、d,且a ≠b,c ≠d.若关系式:a 2+ac=2,b 2+bc=2,c 2+ac=4,d 2+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d 的值为 .0解:二式:a 2+ac=2,b 2+bc=2相减得:(a-b)(a+b+c)=0⇒a+b+c=0;二式c 2+ac=4,d 2+ad=4相减得:(c-d)(c+d+a)=0⇒a+c+d=0⇒b=d ⇒b 2+ab=4;由a 2+ac=2,b 2+bc=2⇒a 2b+abc=2b,ab 2+abc=2a 相减得:ab=-2⇒b 2=-6⇒b=-3a ⇒6a+2b+3c+2d=6a+4b+3c=3a+b=0.11.整体换元法 [例11]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-662062444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x . [解析]:设x+z=a,xz=b,y+w=c,yw=d,则a 2=x 2+z 2+2b,a 3=x 3+z 3+3ab,a 4=x 4+z 4+4a 2b-2b 2,c 2=y 2+w 2+2d,c 3=y 3+w 3+3cd,c 4=y 4+w 4+4c 2d-2d 2.由x-y+z-w=2⇒a-c=2⇒a=c+2⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=+++=++=1632248812644234423322c c c c a c c c a c c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=+812633202232c c cd ab c b[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知x 1+z y +1=21,y 1+x z +1=31,z 1+y x +1=41,则x 2+y 3+z4的值为 . 解:设x+y+z=a,则x 1+x a -1=21⇒x 2-ax+2a=0⇒x 2=1-a x ,同理可得:y 3=1-a x ,z 4=1-a x ⇒x 2+y 3+z4=2.2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+2)(733y x xy y x .解:设x+y=a,xy=b ⇒x,y 是方程t 2-at+b=0的两根⇒t 2=at-b ⇒x 2+y 2=a(x+y)-2b=a 2-2b,x 3+y 3=a(x 2+y 2)-b(x+y)=a 3-3ab.所以⎪⎩⎪⎨⎧-==-2733ab ab a ⇒a=1,b=-2⇒.12.数形结合法 [例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=1612-y +1612-z ,y=2512-z +2512-x ,z=3612-x +3612-y ,且x+y+z=nm (m,n ∈Z +,n 为最简根式),则m+n= . [解析]:由根式的形式联想到勾股定理,作△ABC,使AB=z,BC=x,CA=y,则三边AB,BC,CA 上的高分别为61,41,51.设△ABC的面积为S,则x=8S,y=10S,z=12S ⇒p=21(x+y+z)=15S,由海伦公式:S 2=p(p-x)(p-y)(p-z)⇒S=7151⇒x+y+z=72.[类题]1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b ∈R,关于x 的方程x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0有一个实根.求a 2+b 2的最小值.解:x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0⇔x 3a+xb+(x 4+2x 2+1)=0(视为a,b 关于的直线l,直线l 上的P(a,b)满足:|OP|≥d,其中d 是点O 到直线l 的距离)⇔22b a +≥2624|12|x x x x +++=1||21424+++x x x x =||14x x ++1||24+x x ≥22⇒a 2+b 2≥8(当且仅当x=±1,a+b=±4,a2 +b 2=8⇒a=b=±2).2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a ≥b)为正实数.ρ为ba 的可能的最大值,使得方程组a 2+y 2=b 2+x 2=(a-x)2+(b-y)2的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ2=nm((m,n)=1),则m+n= . 解:作矩形ABCD,使AB=a,AD=b,点P,Q 分别在AB,BC 边上AP=x,CQ=y.则|PQ|2=(a-x)2+(b-y)2,|DP|2=b 2+x 2,|DQ|2=a 2+y 2△DPQ 为正三角形,令∠ADP=α⇒∠CDQ=300-α⇒tan α=b x ,tan(300-α)=a y ⇒a y =ααtan 311tan 31+-=bx b x 31131+-=x b x b +-33⇒222a x b +=222a y a +=1+(a y )2=1+(xb x b +-33)2=222)3()(4x b x b ++⇒(b 3+x)2=4a 2⇒x=2a-b 3⇒y=2a b -3.由y ≥0⇒2a b -3≥0⇒b a ≤32⇒ρ2=(32)2⇒m+n=7.二、根的问题在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.13.二次方程[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x 1,x 2是方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两个实数根,x 12+x 22的最大值是( )(A)19 (B)18 (C)950(D)不存在 [解析]:[类题]:1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cosθ=0有重根.则θ的弧度数为 .②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x2+bx+9,g(x)=x2+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x) =0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sin2x-(2a+1)cosx-a2=0有实数解.则实数a的取值范围是 .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4x+(a+3)2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a 的取值范围为 .3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x2-2ax-3a2,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x2-8x+c1)(x2-8x+c2)(x2-8x+c3)(x2-8x+c4),M={x|f(x)=0}.己知M={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}⊆N.那么max{c1,c2,c3,c4}-min{c1,c2,c3,c4}= .14.二次迭代[例16]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.(Ⅰ)求证:A⊆B;(Ⅱ)若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围.[解析]:[类题]:(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x2+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a的取值范围为 .(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b的值为 .14.根的个数[例14]:(1989年全国高中数学联赛试题)[解析]:[类题]:(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程31x 2-lgx=2的实数根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+6π)=x 的根的个数为 .15.根的讨论[例15]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p ≠q.若p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程bx 2-2ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根[解析]: [类题]:(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( ) (A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p 2-4q ≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根 (2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( ) (A)(1,e ) (B)(e ,2) (C)(2,e) (D)(e,3)17.参数范围[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=kx 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k<121+n (C)121+n <k<121+n (D)以上都不是 [解析]: [类题]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x 的方程21x -=kx+2恰有一个实根,则k 的取值范围是 . (2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程21x -=log 2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为 . (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=k x -有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x 的方程|x-k|=22k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .17.根的定义 [例17]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x 5+2x 4-53x 3-57x+54)2006,则f(21111-)= . [解析]:令21111-=x,则2x 2+2x-55=0,故f(x)=[(2x 2+2x-55)(x 3+x-1)-1]2006=1. [类题]:1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sin α是方程x 2+3x-1=0的根,则sin2(α+4π)的值是___.2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x 2+x-1,若ab 2≠1,且有f(a -1)=f(b 2)=0,试确定21ab a +的值3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x 4-8x 3+16x 2+1,则f(2-3)= .18.抽象函数[例18]:(1991年全国高中数学联赛试题)设函数y=f(x)对一切实数x 都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实根,则这6个实根的和为 .[解析]: [类题]:1.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若定义在R 上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0<x ≤1时,f(x)=log 3x,则方程f(x)=-31+f(0)在区间(0,10)内的所有实根之和为 .解:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,以及f(x)为奇函数知,f(x)是周期函数,4,是它的一个周期.f(0)=0,结合图象可知,f(x)=-31,在(O,1)、(1,2)内各有一个实根,且这两根之和为2;在(4,5)、(5,6)内各有一个实根,且这两根之和为10;在(8,9)、(9,10)内各有一个实根,且这两根之和为18.所以方程f(x)=-31在区间(0,10)内有6个不同的实根,这6个实根之和为30.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)。

第五届高一试题(初赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)

第五届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,,M a b c a b ⋂=的集合M 的个数是（）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数.若()()223f x g x x x -=++,则()()f x g x +=.A ．223x x -+-B ．223x x +-C ．223x x --+D ．223x x -+ 3．已知3(N )211n a n n *=∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为 A ．13 B ．12 C ．11 D ．104．设,αβ是锐角三角形的两个互不相等的内角，若()sin cos cos x y αβαβ=+=+，，sin sin z αβ=+，则（）．A ．x y z <<B ．x y z >>C ．x z y <<D ．y x z <<5．已知集合(){}2lg 32M x y x x ==-+-，()(){}2244m aN m x x x x =-+<-+，若M 是N 的真子集，则a 的取值范围是（）．A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．(],2-∞6．已知()()()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有3个不同的实数解123,,x x x ，则()123f x x x ++等于（）．A ．0B ．lg2C ．lg4D ．1二、填空题7．设[]x 为不大于x 的最大整数，集合[]{}2|10A x x x =--=，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂等于． 8．数列{}n a 中113125n n a a a -==-，，则2009a =． 9．cot 20cos10tan 702cos 40-=o o o o o .10．已知实数,x y 满足()()33(1)200912,(1)200912x x y y -+-=--+-=，则x y +=．11．已知()()01log 1log 1x y x y a x b y <<<=+=+,,，则a b ，的大小关系是．12．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度()km /s y 和燃料的质量()kg x 、火箭（除燃料外）的质量()kg m 的函数关系是())4ln ln 2ln2y m x ⎡⎤=+-+⎣⎦，要使火箭的最大速度可达12km /s ，则燃料质量与火箭质量的比值是．三、解答题13．若函数()()2sin cos sin cos f x a x x x x a b =+++的定义域为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求,a b ． 14．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =. （1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<； 15．设函数()f x 为R 上的增函数，令()()()2F x f x f x =--．(1)判断并证明()F x 在R 上的单调性；(2)若()()120F x F x +>，判断12x x +与2的大小关系并证明；(3)若数列{}n a 的通项公式为1011.5n n a n -=-，试问是否存在正整数n ，使()n F a 取得最值？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．16．已知等差数列{}n a 满足()*1212n a a n n -+=∈N ，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，记()()*2n n f n S S n =-∈N ． (1)求n a ；(2)比较()1f n +与()()*f n n ∈N 的大小；(3)如果函数()()[]()2log 12,g x x f n x a b =-∈对一切大于1的正整数n ，其函数值都小于零，那么,a b 应满足什么条件？。

第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。

（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。

（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。

（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。

6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。

希望杯第1-8届五年级数学试题及答案(WORD版)

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试一、填空题1．计算＝_______ .2．将1、2、3、4、5、6分别填在图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。

3．在纸上画5条直线，最多可有_______ 个交点.4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表:其中，温差最小的景区是______ ,温差最大的景区是______ 。

5．，各表示一个两位数，若＋＝139，则＝_______ 。

6．三位数和它的反序数的差被99除,商等于_______ 与_______ 的差。

7．右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图2中,正方形有_______ 个，三角形有_______ 个。

8．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子:在第(4)块牌子中，？表示的数是_______ 。

9．正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。

10．六位自然数1082□□能被12整除,末两位数有种情况。

11．右边的除法算式中，商数是。

12．比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个：。

13．A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场),比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场,D赛了1场，这时，E 赛了场.14．观察5*2＝5＋55＝60,7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638,推知9*5的值是。

15．警察查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数）,一位目击者对数字很敏感，他提供情况说：“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2”。

警察由此判断该车牌号可能是。

16．一个小方木块的六个面上分别写有数字2，3，5，6,7，9。

小光，小亮二人随意往桌上扔放这个木块。

规定:当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数,得1分。

当小亮扔时,如果朝上的一面写的是奇数，得1分。

每人扔100次，得分高的可能性最大。

17．从1,2，3，4，5，6，7，8，9。

希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案(打印版)

球的正上方悬挂有相同的灯泡。A 灯泡位置比 B 灯泡位置低。当灯泡点亮时，受
光照部分更多的是
球。
18．用 20 厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不只一种。其中，面积最小的，长______ 厘米，宽______ 厘米；面积最大的长方形的长 ______ 厘米，宽______ 厘米。
千米。
13．甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我
不会开。”丙说：“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是
。
14．为了支援西部，1 班班长小明和 2 班班长小光带了同样多的钱买了同一
种书 44 本，钱全部用完，小明要了 26 本书，小光要了 18 本书。回校后，小明
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试）
四年级第 1 试
1．下边三个图中都有一些三角形，在图 A 中，有
在图 C 中，有
个。
个；在图 B 中，有
个；
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:
0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷
。
3．观察 1，2，3，6，12，23，44，x，164 的规律，可知 x ＝
目录
1. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ........................................2 2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ........................................5 3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ........................................7 4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................10 5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................13 6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................16 7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................18 8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................21 9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................23 10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................26 11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................28 12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................30 13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................32 14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................36 15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................39 16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................41 17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................44 18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................46 19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................48 20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................50 21. 第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案………………………53

历届希望杯数学竞赛试题

第一届小学"希望杯"全国数学邀请赛四年级第1试一、以下每题4分，共100分1．右边三个图中，都有一些三角形，在图A中，有个；在图B 中，有______个；中图C中，有______ 个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。

3．观察1、2、3、6、12、23、44、x 、164的规律，可知x =______ 。

4．如图2，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是______ ，温差最大的景区是______。

7．AOB是三角形的纸，OA=OB，图3中的虚线是折痕，至少折______ 次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有______ ，它们的和等于______ 。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书______ 本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有______ 个，小朋友共______ 组。

11．在a=20032003×2002和b=20022003×2003中，较大的数是______ ，它比较小的数大______ 。

12．小明的家离学校2公里，小光的家离学校3公里，小明和小光的家相距______ 公里。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说："我会开。

“希望杯”全国数学邀请赛简介

“希望杯”全国数学邀请赛简介这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。

22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。

这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。

该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。

到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。

“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。

据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。

第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。

第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。

对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。

⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。

近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。

希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。

★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。

喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。

第5届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级姓名一、选择题 1、若11)(+-=x x x f 的定义域为A ，)]([x f f 的定义域为B ，则-----------------（）（A ）R B A = （B ）B A ⊃ （C ）B A = （D ）B A ⊆2、已知21y y y -=，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当1=x 和2=x 时都有21=y ，则y 与x 之间的关系是----------------------------------------（）（A ）xx y 1832-= （B ）2183xx y +=（C ）1832x x y +=（D ）xx y 1832+=3、若函数)(log 23a ax x y -+=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是---------（）（A ）R （B ）+R（C ）),0()4,(+∞--∞ （D ）)0,4(-4、已知函数||)(a x x f +=，当3≥x 时为增函数，则--------------------------------（）（A ）3=a （B ）3-<a （C ）3-=a （D ）3-≥a5、函数|||log |)(2x x f =的图象与直线π=y 的交点的个数是-------------------（）（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46、定义域是全体实数的函数)(x f ，对于常数a 都有)()(x a f x f -=，那么这个函数的图象的对称轴是直线-----------------------------------------------------------------（）（A ）a x = （B ）2ax = （C ）a x 2= （D ）2ax -=7、关于x 的一元函数)0(1≠-+=k k kx y 的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2，则k 值的集合是-------------------------------------------------------------------------（）（A ）}223,223,1{+--（B ）}0,1{-（C ）}32,223{++（D ）∅8、幂函数αx y =，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数-（）（A ）一定是奇函数（B ）一定是偶函数（C ）一定不是奇函数（D ）一定不是偶函数9、23)(-=x x f ，则)]0([1f f -的值是---------------------------------------------（）（A ）98（B ）8- （C ）0（D ）81-10、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各棱所在直线中，与直线AC 1成异面直线的直线的条数是-------------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10二、A 组填空题11、函数)927(log )1(x x y -=+的定义域为。

希望杯高一试题及答案

希望杯高一试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(-1)的值。

A. -3B. -1C. 3D. 1答案：C2. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的公差。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，求向量a与向量b的点积。

A. 0B. 12C. -12D. 24答案：C4. 一个圆的半径为5，圆心在坐标原点，求该圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B5. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极小值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B6. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B7. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，求该三角形的面积。

A. 6B. 3.6C. 2.4D. 1.8答案：B8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的对称轴。

A. x=-1B. x=2C. x=0D. x=1答案：B9. 一个正方体的对角线长为√3，求该正方体的体积。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A10. 已知函数y=1/x，当x=2时，求y的值。

A. 0.5B. 1C. 2D. 4答案：A二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知等比数列的前三项为2，4，8，求该数列的第四项。

答案：1612. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该三角形的斜边长。

答案：513. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)。

答案：3x^2-6x14. 一个球的体积为(4/3)π，求该球的半径。

答案：115. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，求向量a与向量b的向量积。

答案：-216. 一个圆的周长为2π，求该圆的半径。

希望杯复赛数论题大合集(涵括历年数论题及详细解析)

奇数与偶数质数与合数约数与倍数1.(2006年希望杯第四届四年级二试第7题，4分)一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。

但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。

解答：56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。

2.(2007年希望杯第五届四年级二试第4题，5分)在224⨯=，6636⨯=，……等这些算是⨯=，5525⨯=，339⨯=，4416中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。

那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

解：45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936.整除3.(2008年希望杯第六届四年级二试第15题)连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【分析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007是3的倍数，所以12345678910112007是3的倍数，又因为12345678910112007200812345678910112007000020071=++，所以123456789101120072008除以3，得到的余数是1。

余数4. (2004年希望杯第二届四年级二试第15题，6分)小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。

那么一起做游戏的小朋友至少有人。

【答案】这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人5. (2008年希望杯第六届四年级二试第3题)一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

高一希望杯数学竞赛试题

高一希望杯数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-2) \)的值。

A. 3B. -1C. 1D. -32. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。

A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)D. 15. 若\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

A. -1B. -2C. 1D. 26. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 32B. 35C. 38D. 41二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。

2. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( xy = 12 \)，求\( x - y \)的值。

3. 将\( 3x^2 - 6x + 2 \)分解因式，结果为______。

4. 一个正六边形的内角为______度。

5. 若\( \log_{2}8 = 3 \)，求\( \log_{4}8 \)的值。

三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 3| < 2 \)。

2. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \)。

（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题

（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题第⼗九届（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题初中⼀年级⼀、选择题（以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母填在每题后⾯的圆括号内）1、31()10-的值是（）（A ）0.001（B ）0.01-（C ）0.01（D ）0.001-2、下列说法中正确的是（）（A ）多项式与多项式的和仍是多项式（B ）多项式减去单项多的差是单项式（C ）多项式与多项式的积仍是多项式（D ）多项式除以单项式的商是单项式3、,a b 是有理数，且a b +的值⼩于a b -的值，那么（）（A ）,a b 异号（B ）,a b 同号（C ）0a >（D ）0b <4、国家游泳中⼼----“⽔⽴⽅”是北京2008年奥运会场馆之⼀，它的外层膜的展开⾯积约为26000平⽅⽶。

⽤科学记数法表⽰26000，是（）（A ）60.2610?（B ）52610?（C ）62.610?（D ）42.610?5、数轴上的三个点到原点的距离分别是3，5，2，则这三点在数轴上对应的数最⼩是（）（A ）2-（B ）3-（C ）5-（D ）56、设,a b 是有理数，则下列式⼦中成⽴的是（）（A ）a b a b +=+（B ）当0b a <<时，有a b a b +>+（C ）当0a b <<时，有a b a b +<+（D ）当0a b <<时，有a b a b +<-7、若有理数,a b 在数轴上的位置如图所⽰，则下列各式中不成⽴的是（）（A ）2ab -<（B ）11a b >-（C ）12a b +<-（D ）1b a <- 8、2011年A 市⽣产总值计划达到1800亿元，⽐2006年翻⼀番。

根据图中所⽰的A 市年⽣产总值增长的规划简图回答：预计2008年A 市的⽣产总值可达到（）亿元。

第6届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级姓名一、选择题1、已知集合},1|{R x x x A ∈-≠=，},2|{R x x x B ∈≠=，则B A 写成区间形式为----------------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）),2()1,(+∞--∞（B ）)2,1(- （C ）),(+∞-∞（D ）),2()2,1()1,(+∞---∞ 2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各面的对角线中与AD 1成600的条数是-----------（）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）103、若⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0 ,1)(，则)]([x f f 的值-----------------------------------（）（A ）等于1 （B ）等于0（C ）可能为1，也可能为0（D ）可能是0，1以外的数 4、设}03|{2=-+=px x x M ，}0|{23=+-=rx qx x x N ，},,{r q p S =，且}3{-=N M ，}1,0,3,2{--=N M ，则S 为-------------------------------------（）（A ）}6,5,2{-- （B ）}6,5,2{ （C ）}6,2,5{- （D ）}6,5,2{-5、将锐角A 为600，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成二面角θ，已知]120,60[ ∈θ，则AC 、BD 之间的距离d 的最值为-------------------------------（）（A ）23max a d =，4min a d = （B ）43max a d =，43min a d = （C ）43max a d =，4min a d = （D ）23max a d =，43min a d = 6、将225)12(lg log 5-化简后，结果是-----------------------------------------------------（）（A ）51lg（B ）5lg （C ）51lg 2 （D ）5lg 2 7、已知1cos sin =⋅βα，则)sin(βα+的值-----------------------------------------（）（A ）不确定，可在]1,0[内取值（B ）不确定，可在]1,1[-内取值（C ）确定，等于1 （D ）确定，等于1 或-18、已知方程02=+x x 的实根为a ，x x -=2log 2的实根为b ，x x =21log 的实根为c ，则c b a ,,的大小关系是-------------------------------------------------------------（）（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>9、)(x f 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则)1995()1994()3()2()1(f f f f f +++++ 等于-----------------------------------（）（A ）1或0 （B ）1或-1 （C ）0 （D ）110、已知直二面角βα--l ，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么------------------------------------------------------------------------（）（A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行（B ）a 与b 可能垂直，也可能平行（C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行（D ）a 与b 不可能垂直，但不可能平二、A 组填空题11、若2log =x a ，3log =x b ，4log =x c ，则=x abc log 。