江苏省南京市2007届高三数学综合题2007年5

三、解答题
1．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(cos，sin) (x∈R)，向量b＝(cos，sin)(||＜)，f(x)的图象关于直线x＝对称．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数y＝1＋sin的图象按向量c＝(m，n) (|m|＜)平移可得到函数y＝f(x)的图象，求向量c．
2．已知sin(＋3) sin(－3)＝，∈(0，)，求(－)sin4α的值．
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y＝x上
是否存在一定点C，使(－)?
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知正项数列{an}满足Sn+Sn－1＝ta+2 (n≥2，t>0)，a1＝1，其中Sn是数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．
3．已知(1＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，a3＝，则a1＋a2＋…＋an＝_______．
4．平面上向量 绕点 逆时针方向旋转 得向量 ，且 （7，9），则向量 ____________．
5．直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于．
6．等比数列{an}的首项为a1=100，公比q＝，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则
（Ⅱ）求他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率．
6．一个口袋中装有 个红球（ 且 N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用 表示一次摸奖中奖的概率 ；
（Ⅱ）若 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ)记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 ．当 取多少时， 最大？
（Ⅲ）当＝1时，求二面角C－AB－P的大小．
10．定义域均为R的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝10x．
（Ⅰ）求函数f(x)与g(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数f(x)的反函数；
（Ⅲ）证明：g(x1)＋g(x2)≥2g()；
*（Ⅳ）试用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)与g(x1＋x2)．
∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴ ，
∴ ， Z，又||<，∴＝．
（Ⅱ）f(x)＝cos(－)＝sin(+)＝sin(x+)，
由y＝1+ sin平移到 ＝sin(x+)，只需向左平移单位，再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为 ，且c＝(m，n)（|m|<π），∴ ， ，即c＝(－，－1)．
另解：f(x)＝cos(－)＝sin(+)＝sin(x+)，
江苏省南京市2007届高三数学综合题2007年5月10日
一、选择题
1．在等差数列{an}中，如果a4＋a7＋a10＝15， ， ，那么k等于（）
A．14B．15 C．16 D．17
2．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）
A．(a＋b)(＋)≥4 B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD．≥－
一、选择题
1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．
二、填空题
1．9．2． ， ．3．．4．(－，)．5． 或 ．6．7．
7．．8．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}．9．1，－1，2，－2．10．．
三、解答题
1．（Ⅰ）f(x)＝ab＝coscos＋sinsin＝cos(－)，
（Ⅰ）在甲组中任选三人，求至少有两人的身高在 米以上（含 米）的概率；
（Ⅱ）从甲、乙两小组中各任选一人，若将这20人按身高分成三个身高组：A组 米，B组 米，C组 米，求这两人分在不同身高组的概率．
5．5位员工甲、乙、丙、丁、戊参加单位的技能测试，已知他们测试合格的概率分别是 ．
（Ⅰ）求他们中恰好有一人通过测试的概率；
3．已知A，B，C，D，E，F，G七个元素排成一排，要求A排在正中间，且B，C相邻，则不同的排法有（）
A．48种B．96种C．192种D．240种
4．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（）
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤，求p的取值范围．
13．中心在原点的双曲线C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，抛物线C2的准线l与双曲线C1的一个交点为A，且|AF|＝5．
（Ⅰ）求双曲线C1的方程；
（Ⅱ）若过点B(0，1)的直线m与双曲线C1相交于不同两点M，N，且＝．
①求直线m的斜率k的变化范围；
由 平移到 ，只要 即 ，
∴c＝(－，－1)．
命题意图：本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题，既考查了三角函数的变形以及三角函数的图象与性质，又考查了运用平面向量进行图象平移的知识．
2．解： ，
即 ，又6∈(0，)，∴ ，即 ．
∴（－）sin4α=
．
变式题：已知(1＋tan2α)(1＋tan25)＝2，α∈(0，)，求(－)sin4α的值．
（Ⅰ）求证：EF∥平面B1C1G；
（Ⅱ）当二面角G－C1B1－C为45时，求CD与平面C1B1G所成的角．
9．在斜三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC为正三角形，设AA：AC＝．顶点A在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，P为侧棱CC中点，G为△PAB的重心．
（Ⅰ）求证：OG∥平面AABB；
（Ⅱ）当＝时，求证：平面ABP平面BBCC；
17．已知等差数列 的首项为a，公差为b；等比数列 的首项为b，公比为a，其中a， ，且
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意 N*，总存在 N*，使 ，求b的值；
（Ⅲ)甲说：一定存在 使得 对 N*恒成立；乙说：一定存在 使得 对 N*恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？
2007届南京市高三数学综合题答案
命题意图：本题主要考查三角函数的恒等变形．包含了和差角、倍角的运算，已知三角函数值求角，诱导公式，辅助角公式，要求学生对三角函数的变形方向有综合的理解．
3．解：（Ⅰ）∵()2＝·＋·＋·，∴()2＝·(＋)＋·，
即()2＝·＋·，即·＝0．∴△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA＋sinB＝sinA＋ห้องสมุดไป่ตู้osA＝sin(A＋)，A∈(0，)，
16．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t＝0）的函数关系为W＝100 ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?
当n＝时，f(n)有最大值．
7． R)的最小值是．
*8．设集合A＝{x|log(3－x)≥－2}，B＝{x|≥1}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是_______．
*9．已知函数 ，若 ，则实数a=．
*10．函数f(x)＝xn＋(1－x)n，x∈(0，1)，n∈N*．记y＝f(x)的最小值为an，则a1＋a2＋…＋a6＝___．
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)
5．已知函数 ，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（）
A．（－∞，－2] [0，10]B．（－∞，－2] [0，1]
C．（－∞，－2] [1，10]D．[－2，0] [1，10]
6．在△ABC中，tanA＝，cosB＝．若最长边为1，则最短边的长为（）
∴ ．
答：至少有两人的身高在 米以上（含 米）的概率为 ．
（Ⅱ）甲、乙两小组在A、B、C组的人数分别是2，3，5和1，5，4．记“两人分在不同身高组”为事件 ， 的对立事件为“两人分在同一身高组”．
∴ ， ．
答：两人分在不同身高组的概率为 ．
命题意图：考查等可能性事件的概率，第Ⅱ小题还可以看作相互独立事件的概率，因为两组中各选一人是相互独立的．
∴sinA＋sinB的取值范围为 ．
（Ⅱ）在直角△ABC中，a＝csinA，b＝ccosA．
若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵
＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)]
A．B．C．D．
7．设 ，那么 的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知抛物线y2＝8x，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的P点共有（）
A．0个B．2个C．4个D．6个
9．某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案．记该同学至少答对9道题的概率为p，则下列数据中与p最接近的是（）
*12．设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，则方程f(x)=x的根的个数是（）
A．无穷个B．没有或者有限个C．有限个D．没有或者无穷个
二、填空题
1．已知则x2＋y2的最大值是．
2．已知A，B，C，三点在球心为 ，半径为1的球面上， ，且AB=1，那么A，B两点的球面距离为，球心到平面 的距离为．
＝[ sin2AcosA＋cos2AsinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋
令t＝sinA＋cosA，t∈ ，