频率特性与系统性能的关系

ω
第四节 频率特性与系统性能的关系
2) τ=0.2 G(s)= 20(0.2s+1) s(0.5s+1) ω 20×0.22 c ≈1 ω c=8 ω 0.5 c
ω L( ) dB
20 0 -20 -20dB/dec -40dB/dec 2 5 c ω
ω
-20dB/dec
υ ( ) ω
0
-90 -180
ω
第四节 频率特性与系统性能的关系
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 穿越频率ωc 反映了系统响应的快速性。 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 (1) 穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统如图: ω L( ) dB 开环传递 K =ωc +20 G(s)≈ s s -20dB/dec 函数： 0 ω ωc 闭环传递函数为： -20 ωc s = 1 3 可近似认为整个曲线是一条斜率为 υ (s)= ωc 1 ts≈3T =ωc 1+ s ωc s+1 -20dB/dec的直线。
(2) 加入比例 θr(s) - τ s+1 微分环节 解： 1) τ=0.01 20(0.01s+1) G(s)= s(0.5s+1) 20 0 20 ≈1 ω 可得 0.5 2 c =6.3 -20 ω
c
θc(s) 20 s(0.5s+1)
ω L( ) dB
-20dB/dec
ωc
2
100
-40dB/dec
140 120 100 80 60 40 20 0 0 80 70 60 50 40 30 20 10
σ%
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ζ
第四节 频率特性与系统性能的关系
γ与t (2)ω c 、 s 之间的关系 ζ 3 4 4+1 -2 ζ 2 tsω c= · ζ ζ 2 6 γ =tg-1 ts· c = tg ω γ 再根据： ζ ζ 4+1 -2 2 得 4 调节时间 ts 与ωc以及γ有关。γ不 变时，穿越频率ωc 越大，调节时间越 短。 根据： 3 ω c= n ω 4 4+1 -2 ts= ωn ζ ζ ζ
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高三 个频段。
ω L( ) dB
低频段
-40dB/dec 0
中频段
高频段 ω2
-40dB/dec
第四节 频率特性与系统性能的关系
由上述分析可见： 对于二阶系统，当0 ≤ζ ≤ 0.707时， 幅频特性的谐振峰值Mr与系统的阻尼比ζ 有着对应关系，因而Mr反映了系统的平 稳性；再由ts=3 /ζωn推知，ωr 越大，则 ts越小，所以ωr反映了系统的快速性。
第四节 频率特性与系统性能的关系
设 M0=1
第四节 频率特性与系统性能的关系
例 试分析中频段与相对稳定性的关系。 ω L( ) dB (1) 曲线如图 -20dB/dec -20dB/dec 对应的频率特性: -40dB/dec ω ω c ω3 K(1+j 2 ) ω 0 ω 1 ω1 ω2 ω ω )= j G(j ω1 ω ω ω(1+jω1 )(1+jω3 ) -40dB/dec ω ω o-tg-1ωc +tg-1 c -tg-1 c ω3 υ ( c )=-90 ω ω1 设： c =ω c =3 ω2 ω3 ω ω2 ω ω -1 c =tg-13=72o -1 c =tg-1 1 =18o tg ω 2 tg ω 3 3 ω1 =0 υ ( c )=-126o ω 可求得: γ=72o～54o ω1 = 2 υ ( c )=-108o ω ω
ω1
ωc
-20dB/dec
ω
三个频段分别与系统性能有对应关系， 下面具体讨论。
第四节 频率特性与系统性能的关系
1．低频段
低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)= K ω ωυ υ G(j )= (j K s ) 可知： 对数幅频特性为： ω L( ) dB L( )=20lgA( ) ω ω 曲线位置越高， υ=0 K K值越大；低频段斜 =20lg υ ω υ=1 率越负，积分环节ω =20lgK-v20lg υ=2 υ -20 0 ν 数越多。系统稳态 K K K 根据分析可得如 性能越好。 图所示的结果：
第四节 频率特性与系统性能的关系
二、闭环频率特性与时域指标的关系
根据开环频率特性来分析系统的性能 是控制系统分析和设计的一种主要方法， 它的特点是简便实用。但在工程实际中， 有时也需了解闭环频率特性的基本概念和 二阶系统中闭环频域指标与时域指标的关 系。
第四节 频率特性与系统性能的关系
1. 闭环频率特性及频域指标
M(ω)
Mm M0 0.707M(0)
(2) 谐振峰值Mr ω=0的闭环幅值 0 ω r ωb ω (3) 谐振频率ωr 幅频最大值与零频幅值之比。 Mo=M(ω)=M(0) m (4) 带宽频率ωbM = MM(ωb)=0.707M0 闭环峰值出现时的频率。在一定的 γ Mo=1时，输出与输入相等，没有误差。 Mo 程度上反映了系统的快速性。 幅频值降到0.707M 时的频率。 谐振峰值反映了系统的相对稳定性
即
第四节 频率特性与系统性能的关系
4．二阶系统开环频率特性与动态性 能的关系 ω L( ) dB
开环传递函数： ωn2 G(s)= s(s+2 ωn ) ζ 2 ωn ω j ω ζ G(j )= ω (j +2ωn ) 2 ωn ω A( )=ω 2 ω +(2ωn )2 ζ ω υ ω )=-90o- tg-12 ωn ( ζ
闭环传递函数为 G(s) Φ(s)= 1+G(s) 闭环频率特性： G(jω) Φ(jω)= 1+G(jω) =M(ω)ejαω 已知G(jω)曲线上的一点，便可求得 Φ(jω)曲线上的一点，用这种方法逐点绘 制出闭频率特性曲线。
第四节 频率特性与系统百度文库能的关系
闭环幅频特性曲线 系统的闭环频率 指标主要有： (1) 零频幅值Mo
第四节 频率特性与系统性能的关系
(2) 中频段的斜率与动态性能的关系
ω L( ) dB 设系统如图: +20 -40dB/dec 2 开环传递 G(s)≈ K ωc 0 ω 2= 2 ωc s s 函数： -20 2 ωc 闭环传递 υ s2 2 = ωc2 2 处于临界 (s)= ωc s2+ωc 可近似认为整个曲线是一条斜率为 函数为： 1+ s2 稳定状态 -40dB/dec的直线。 中频段斜率为-40dB/dec ，所占频率区 间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要 求。通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。
γ
判别系统稳定性 ωc 确定频率指标
主要内容 一、频率特性的基本概念 r(t)=Asin ωt ω ω)] cs(t)=A|G(j )|sin[ω t+ G(j
频率特性:
G(j ) ω
ω ω 幅频特性：A( )=|G(j )| υω ω 相频特性： ( )= G(j )
二、典型环节的频率特性 1. 奈氏图 先把特殊点找出来，然后用 平滑曲线将它们连接起来。 2. 伯德图
γ=180o-90o- tg (0.5×8) +tg-1 (0.2×8) =72o 由于 γ ＞70o ζ ＞0.7
-1
ω γ
ζ=0.79 σ%=1.7% 系统响应加快,稳 只能通过闭环传递函数求性能指标。 1 ts=ωn (6.45 -1.7)=0.54s 定裕量增加。 ζ
40(0.2s+1) υ(s)= s2+10s+40
得
2
第四节 频率特性与系统性能的关系
例 分析随动系统的性能，求出系统的频 域指标ωc、γ和时域指标σ%、 ts。 (1) 随动系统结构如图 20 解： G(s)= s(0.5s+1) ω L( ) dB c 20ω≈1 ω ωn = -20dB/dec 2 c =6.3 可得：0.54 c -2 2 =6.5 20 ζ +1 4ω ζ ωc 0 2 γ=180o+- π ( ζ c2) ζυ ω e 1- 100% =57% -20 σ%= o o -1 =180 -90 - tg (0.5×6.3) υ (ω ) 6 tso=ω tg o =3s o 0 γ =17.62 c =90 -72.38 -90 γ -180 ζ=γ/100=0.176
第四节 频率特性与系统性能的关系
ω L( ) dB
(2) 曲线如图 对应的频率特性: K(1+jω2 )2 ω ω ω G(j )= j ω ω (1+jω1 )2(1+j 3 ) ω
-20dB/dec -60dB/dec
ω1 ω2
ω c ω3
-20dB/dec
ω
-40dB/dec
同样的方法可得:
θr(s) θc(s) 20 s(0.5s+1)
ω
-40dB/dec
ω
第四节 频率特性与系统性能的关系
υ ( ) ω -20dB/dec γ=180o-90o- tg-1 (0.5×6.3) 0 ω -1 ( 0.01×6.3) o +tg =21.22 -90 γ -180 另外 ζ=γ/100=0.21 ωn = 4ω c 2 =6.59 所以 σ%=51% ts=2.4s ζ ζ 4 +1 -2
υ ω ( c )=-108o～-144o γ=72o～36o
第四节 频率特性与系统性能的关系
(3) 曲线如图
ω L( ) dB
-20dB/dec -60dB/dec
对应的频率特性: ω) K(1+j 2 ω ω ω G(j )= j ω )2 (1+jω1 同样的方法可得:
υ ( c )=-162o～-198o ω
0
ω1 ω2
ωc
-40dB/dec
ω
γ=18o～-18o
上述计算表明，中频段的斜率反映 了系统的平稳性。
第四节 频率特性与系统性能的关系
3 ．高频段
一般 L( )=20lg|G(j )|<<0 ω ω ω |G(j )|<<1 ω |G(j )| ω υ (j )|= |1+G(j )| ≈ |G(j )| | ω ω 高频段反映了系统对高频干扰信号的 抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的 抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时 间常数，对系统动态性能影响不大。
0
第四节 频率特性与系统性能的关系
2．二阶系统闭环频域指标与时域 指标的关系
1 二阶系统的标准式 -1 2ζω/ωn M(ω)= ω2 )+2ζ ω α(ω)=tg 1-ω2/ωn ωn2 C(s) (1- 2 Φ(s)= R(s) ωn 2 = ωn s +2ζωns+ωn2 闭环频率特性dM(ω) =0 得 令 dω ωn2 Φ(jω)= 2 2 ωγ=ωn 1-2ζ +2ζωn (jω) +ωn2 (jω) 0≤ζ≤0.707 1 1 jα(ω) = ω 可求得 ω2 Mγ=Mm= =M(ω)e2 (1- ω 2 )+j2ζ ωn 2ζ 1-2ζ n
可求得 ωb=ωn
根据
M(ω)=0.707M0=0.707 (1-2ζ2)+
2-4ζ2+4ζ4
ζ一定的情况下,ωb越大，则ωn越大， ts越小。ωb表征了控制系统的响应速度。
第五章 总 结
频率特性法是通过系统的开环频率 特性的频域性能指标间接地表征系统瞬 态响应的性能。系统性能的分析过程：
开环传递 函数 开环系统 频率特性 绘制频率 特性曲线 幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线
20 0 -20 -20dB/dec
ωc
2ζωn υ ( ) ω
-40dB/dec
ω ω
0 -90 -180
γ
平稳性: σ% γ 快速性: ts ωc
第四节 频率特性与系统性能的关系
(1) 相位裕量γ和超调量σ% 之间的关系 2 ωn ω ω A( )= c 2 0<ζ< 0.707近似为 2 =1 ωc+(2ωn ) ζ γ ( c )=100 ω ζ 4 2 2 2- 4 ζ ζ - π 1-ζ 2 得 ω c +4 ωnω c ωn =0 100% σ%= e ω c= n 4 4+1 -2 2 ω ζ ζ σ% ω γ=180o+ υ ( c ) ζ与γ、σ%之 间的 关系曲线ω c =180o-90o-tg-12 ωn ζ γ越大，σ%-1 ζ ζ =tg 越小； -12 ω n 2 =tg ω c 反之亦然。 -2 ζ 4 4+1 ζ