2012年北京市高考数学(文科)试题及答案详解

- 1 - 2
2 x y 2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一 、选择题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{|320}A x R x =∈+>，{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B =I
（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3-- （C ）2
(,3)3
- （D ）(3,)+∞
【解析】和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

利用一次、二次不等式的解法2
{|}3
A x x =>-，{|13}
B x x x =<->或并画出数轴图易得 答案：D
2.在复平面内，复数
103i
i
+对应的点的坐标为 （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(1,3)- （D ）(3,1)-
【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

因为
10133i
i i
=++，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3) 答案：A 3.设不等式组02,
02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A ）
4π （B ）22π- （C ）6
π
（D ）44π-
【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，几何概型。

题目中 表示的区域如右图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此所求概率是
44
π
- ，答案：D 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

当k=3时 ，循环结束，此时输出的S 为8，答案：C
5.函数的零点个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
【解析】表面上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题（单调性）的变种，该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点，即令()0f x = 。

根据此题可得
1
2
1()2x x = ，在平面直角坐标系中分别画出幂函数1
2()f x x = 和指数函数 1()()2
x
f x =的图
像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，答案：B 。

6.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是 （A ）1322a a a +≥ （B ）
222
132
2a a a +≥
（C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > 【解析】考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及到了均值不
- 2 - 4
5
5
41
25
41
4
y x
o 等式的知识，如果对于等比数列基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选。

当然此题最好选择排除法来做，当10,0a q << 时，比如-1，2，-4…… ，所以A 选项错误；当
1q =-时，C 选项错误；当1q <- 时，比如1，-2，4，-8…… ，与D 选项矛盾，而B 选
项2
2
2
2
2
1313222a a a a a +≥⋅=因此描述均值定理的B 选项为正确答案，答案：B 。

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （A ）2865+ （B ）3065+ （C ）56125+ （D ）60125+
【解析】考查的是三棱锥的三视图问题，只不过与往年不同的是这题所求不是棱锥或棱柱的体积而是表面积，因此对于学生计算基本功以及空间想象的双能力都存在着综合性的考查。

从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥（已知也已说明），如右图所示。

图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10，10，10，65 。

因此该几何体表面积3065+ ，答案：B
8.某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11
【解析】知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是
广义上的，因此对数学的理解很大程度上限制了考生的分数。

当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发。

由于目的是使平均产量最高，就需要随着n 增大， 变化超过平均值的加入，随着n 增大， 变化不足平均值的舍去。

由图可知6，7，8，9这几年增长最快，
超过平均值，所以应该加入，因此，答案：C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.直线y x =被圆2
2
(2)4x y +-=截得的弦长为__________。

【解析】涉及到的是直线和圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于考生来说，可能有些陌生，直线和圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。

将题目所给的直线和圆图形化得到如右图所示的情况，
半弦长
2
l
，圆心到直线的距离d ，以及圆半径r 构成了一个直角三角形。

但是因为此题特殊，直线y=x 与圆心所在y 轴成夹角45o
，因此22
l r =⋅ ，所以
弦长22l = 。

答案：22
10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若11
2
a =
，23S a =，则2a =____________， n S =_________________。

【解析】考查的是等差数列的基本计算，技术难度并不高，通项公式和前n 项和的常规考法。

因为 1112a a d a d ++=+，且112a =所以1
2
d = ，所以答案：221,4n n n a S +==
11.在ABC ∆中，若3a =，3b =
，3
A π
∠=
，则C ∠的大小为_________。

【解析】考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一
都可以得到最后的答案。

在 ABC ∆中，利用正弦定理
sin sin a b A B = ，可得6B π
∠= ，所以 。

再利用三角形内角和A B C π++= ，可得2C π∠= 。

答案：2
π
12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则2
2
()()f a f b +=_____________。

【解析】对数函数题，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础。