中考数学中的折叠问题(2020年整理).doc

合集下载

2020年中考数学 一个折叠问题的辅助线作法探究

2020年中考数学    一个折叠问题的辅助线作法探究

一个折叠问题的辅助线作法探究下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决。

但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力。

下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法。

例如图1,Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上,点N在BC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.(1) 当P为AB 中点时,求证:.(2) 当P不是AB 中点时,是否仍然成立?若成立,请给出证明。

析解:(1)如图1, P为AB的中点,则PA=PB ,要证,所以应证CM=CN.连结CP,由PA=PB,CA=CB,得CP⊥AB.可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.∴MN⊥CP.(MN是PC的垂直平分线)∴MN∥AB.∴==1.∵,∴.(2) 如图2, 此时仍然成立.1如何证明关键是怎么作辅助线,将成比例线段的四条线段集中在一块,利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。

辅助线一由,考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线,构造出相似三角形,再从已知分析寻找证明思路。

证:如图(2),作PQ//AC,则PQ⊥BC,连结PC.∵PQ∥AC,∴.而PQ=QB ,∴.(如果以作为中间比,须证。

于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。

)由已知可得PC⊥MN,MC⊥CN,∴∠CMN=∠PCQ,∴Rt△PCQ∽Rt△NMC.∴.∴.辅助线二仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。

证:如图3. 作PH⊥AB于P交AC于H,作AQ∥BC,于PN的延长线交于Q,可得2△PAQ∽△PBN,有.∵PH⊥AB于P,∠PAH=45°,∴PA=PH,∠PHM=∠PAQ=45°,∵△CMN≌△PMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠∴∠1=∠2, ∴△PHM≌△PAQ(ASA) ,∴PQ=PM.∴.辅助线三由可知,PA、PM在△PAM中,而PB、PN在△PBN中,显然不易证这两三角形相似,于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。

2020年九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义

2020年九年级中考数学中翻折问题的解法探究讲义

中考数学中翻折问题的解法探究翻折的折叠问题一是中考的热点问题,常见于基本填空压轴题,和与其他知识结合构成综合大题也很常见。

一般都是三角形翻折,或者四形翻折,圆的翻折,是中考数学高分必须掌握的题型。

翻折和折叠问题其实质就是对称问题,解决此类问题就是以对称性质为基础,结合勾股定理,三角形相似,圆的性质等,建立方程来解题。

三角形中的折叠问题1.如图,把Rt△ABC,使A、B 两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,求CE:AE的值解析:∵点A、B关于DE对称,∴AE=BE, ∠A=∠EBA.∵C点与D点关于BE对称,∴△BDE≌△BCE,∴∠EBA=∠CBE.又∠ACB=900,∴∠A+∠EBA+∠CBE=900,∴∠CBE=300,∴CE:BE=1:2∴CE:AE=1:22.在△ABC中,已知∠A=800,∠C=300,现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C`DE,对折叠后产生的夹角进行探究:(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内,则求∠1+∠2的和;(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A,则求∠1+∠2的和;(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C的关系。

解析:(1)∵△DC`E是由△DCE翻折得到的,∴△DC`E≌△DCE,∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠1=1800-2∠CDE, ∠2=1800-2∠CED,∴∠1+∠2=3600-2(∠CDE+∠CED)=3600-2×1500=600.(2)连接DG,则∠1+∠2=1800-∠C`-(∠ADG+∠AGD)=1800-300-(1800-800)=500.(3)∵△DC`E是由△DCE翻折得到的,∴△DC`E≌△DCE,∴∠CDE=∠C`DE,∠DEC=∠DEC`,∴∠CDE+∠CDE=∠C`DE+∠DEC`=1800-∠C.∵∠C`DE+∠DEC`-∠1+∠2+∠ABE+∠A=3600,∴∠2-∠1=3600-1800+∠C-1800+∠A+∠C-∠A=2∠C3.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC 上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD。

2020中考数学图形折叠与拼接问题(含答案)

2020中考数学图形折叠与拼接问题(含答案)

2020中考数学 几何培优之图形折叠与拼接问题(含答案)【例1】 如图,矩形ABCD 中,AB =8,BC =4,将矩形沿AC 折叠,点D 落在D '处,则重叠部分△AFC 的面积为_____.例1题图 例2题图【例2】如图,直线26y x =-+ 与x 轴,y 轴分别交于P ,Q 两点,把△POQ 沿PQ 翻折,点O 落在R 处,则点R 的坐标是( )A .2412(,)55B .(2,1)C .(6,3)D .(7,3.5)【例3】 如图,将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠,使得A 点落在CD 边上点E 处,然后压平折痕FG ,若FG =13cm ,求CE 长.【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(00)O ,,(60)A ,,(03)C ,.动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动,运动23秒时,动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P 的运动时间为t (秒).A(1)用含t 的代数式表示OP OQ ,;(2)当1t 时,如图1,将OPQ △沿PQ 翻折,点O 恰好落在CB 边上的点D 处,求点D 的坐标;(3)连结AC ,将OPQ △沿PQ 翻折,得到EPQ △,如图2.问:PQ 与AC 能否平行?PE 与AC 能否垂直?若能,求出相应的t 值;若不能,说明理由.【例5】 用10个边长分别为3,5,6,11,17,19,22,23,24,25的正方形,可以拼接一个长方形.(1)求这个长方形的长和宽; (2)请画出拼接图.【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E ,交BC 于F ,边AB 折叠后与BC 交于点G.(1)如果M 为CD 边的中点,求证:DE :DM :EM =3:4:5;(2)如果M 为CD 边上的任意一点,设AB =2a ,问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系?若有关,请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示;若无关,请说明理由.图1能力训练1、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若将矩形折叠,使B点与D点重合,则折痕EF的长为___cm.2、如图,矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处,则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形,这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.4、如图,EF为正方形纸ABCD的对折线,将∠A沿DK折叠,使它的顶点A落在EF上的G 点,则∠DKG=_______度.5、如图,已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使80,则∠EGC的度数点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G,若∠ADF=0为________.第4题图第5题图第6题图6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽AB是______cm.7、如图,在矩形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在F 处,折痕为AE ,且EF =3,则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图,在△ABC 中,∠C =900,BC =6,D ,E 分别在AB ,AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为 ( )A .12B 、2C 、3D 、4第7题图 第8题图 第9题图9、如图,有一块菱形的草地,要在其上面修筑两条笔直的道路,道路把这块草地分成面积相等的四部分,如果道路的宽度可以忽略不计,请你设计三种不同的方案. 10、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折线DG ,若AB =2,BC =1,求AG.11、如图,折叠矩形ABCD 的一边AD ,使点D 落在BC 边上的点F处,已知折痕3.4EC AE FC == ,求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,点C落在点C′处的位置,BC′交AD于点G.C ;(1) 求证:AG=G(2) 如图2,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长.B级1、如图,一张宽为3,长为4的矩形纸片ABCD,先沿对角线BD对折,点C落在C′的位置,BC′交AD于G,再折叠一次使D点与A点重合,得折痕EN,EN交AD于点M,则ME 的长为__________.2、如图,矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图,矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,若AD=8,AB=4,则DE的长为________.4、如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴上,y轴上,连结AC,将矩形纸片OABC沿AC折叠,使点B落在点D的位置,若B(1,2),则点D的横坐标是______.5、如图,在平面直角坐标系中,已知直线334y x=-+与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C(0,n)是y轴上一点,把坐标平面沿直线AC折叠,使点B刚好落在x轴上B′处,则点C的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图6、如图,矩形纸片ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,ED=2cm,AD上有一点P,PD=3cm,过P作PF⊥AD交BC于F,将纸片折叠,使P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,则PQ的长是_____cm.7、在三角形纸片ABC中,已知∠ABC=900,AB=6,BC=8,过点A作直线l平行于BC,折叠三角形纸片ABC,使直角顶点B落在直线上的T处,折痕为MN,当点T在直线l上移动时,折痕的端点M,N也随之移动,若限定端点M,N分别在AB,BC边上移动,则线段AT 长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,BG=10.(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图.求△EFG的面积;(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图.证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF 的长.9、如图,已知三角形纸片ABC的面积为25,BC的长为10,∠B,∠C都为锐角,M是AB 边上的一动点(M与A,B不重合),过点M作MN∥BC交AC于点N,设MN=x.(1)用x表示△AMN的面积;(2)△AMN沿MN折叠,使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点A′,△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y.①用含x的代数式表示y,并写出x的取值范围.②当x为何值时,重叠部分的面积y最大,最大为多少?10、如图:一正方形纸片,根据要求进行多次分割,把它分割成若干个直角三角形.具体操作过程如下:第一次分割:将正方形纸片分成4个全等的直角三角形;第二次分割:将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形;以后按第二次分割的方法重复进行.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案(分割3次);(2)设正方形的边长为a,请你通过对其中一种方案的操作和观察,将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表:(3)在条件(2)下,请你猜想:分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系?用数学表达式表示出来.11、如图1,将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E ,F 分别在边AB ,CD 上),使点B 落在AD 边上的点M 处,点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P ,连结EP .(1)如图②,若M 为AD 边的中点, ① △AEM 的周长=_________cm ; ② 求证:EP =AE +DP ;(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合),△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由.12、如图1,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =1,点P 在线段AB 上运动,设AP =x ,现将纸片折叠,使点D 与点P 重合,得折痕EF (点E ,F 为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原.(1)当0 x 时,折痕EF 的长为________;(2)写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围,并求出当x =2时菱形的边长;(3)令2EF =y ,当点E 在AD 上、点F 在BC 上时,写出y 与x 的函数关系式(写出x的取值范围),当y 取最大值时,判断△EAP 与△PBF 是否相似.若相似,求出x 的值;若不相似,请说明理由.参考答案 例1 10例2 A 提示:作RE ⊥y 轴于E ,RF ⊥x 轴于F ,则Rt △QRE ∽Rt △PRF ,从而PFQERF RE PR QR ==,设R (x ,y ),又PR =OP =3,QR =OQ =6,于是3636--==x y y x ,得x =524,y =512. 例3 7 提示:过F 作FM ⊥BC 于M ,证明△FGM ≌△ADE ,则FG =AE =13,DE =5 例4 (1)OP =6-t ,OQ =t +32(2)D (1,3) (3)①PQ 能与AC 平行,若PQ ∥AC ,则OC OA OQ OP =,即326+-t t =36.得t =914,而0≤t ≤37,∴t =914. ②PE 不能与AC 垂直.若PE ⊥AC ,延长QE 交OA 于F ,则OC OQ AC QF =,即33253+=t QF,QF =5(t +32).∴EF =QF -QE =QF -OQ =5(t +32)-(t +32)=(5-1)t +32(5-1). 又Rt △EPF ∽Rt △OCA ,∴OA OC EF PE =,即63)32)(15(6=+--t t ,t ≈3.45,而0≤t ≤37,∴t 不存在. 例5 (1)10个正方形的面积和:32+52+62+112+172+192+222+232+242+252=3055=5×13×47. 因为所拼成的长方形面积是3055.长方形的宽显然≥25,所以它的宽应当是47,长应当是5×13=65.(2)注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.(图略)例6 提示:(1)证明:设正方形边长为a ,DE 为x ,则DM =,EM=EA=a-x .在Rt △DEM 中,∠D=90°,∴2+2=2,∴2+22=,∴,=58,∴DE:DM:EM=::58=3:4:5(2)设DE=y,则DM=2a-x,EM=2a-y,可证明△DEM∽△CMG.△ 周长△ 周长==△CMG的周长 △周长,在△DEM中,由勾股定理得(2)2=2+(2)2,化简得4ay=x(4a-x)即. ∴△CMG的周长=44(y+2a-x+2a-y)=(4a-x)=4a,为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示:长方形纸片折叠时,AB与CD间的距离缩短了10cm。

2020年中考数学江苏题型专题研究: 折叠和旋转问题

2020年中考数学江苏题型专题研究: 折叠和旋转问题

2020中考数学江苏题型研究折叠和旋转问题(含答案)类型一折叠问题1. 将一个矩形纸片ABCD放置到平面直角坐标系中,点A、B恰好落在x轴的正、负半轴上,若将该纸片沿AF折叠,点B恰好落在y轴上的点E处,设OA=1.(1)如图①,若OB=1,则点F的坐标为________;(2)如图②,若OB=2,求点F的坐标;(3)若OB=n,请直接写出点F的坐标.第1题图解:(1)(1,23 3)由折叠的性质可知AE=AB=2, ∠EAF=∠BAF,∵OA=1,AE=2,∠AOE=90°,∴∠AEO=30°,∴∠EAO=60°,∴∠FAB=30°,∴BF=AB·tan∠FAB=233,则点F的坐标为(1,233).(2)如解图,作FM⊥y轴于点M,∴∠AEF=∠ABF=90°,FM⊥y轴,∴∠AEO+∠FEM=90°,∠FEM+∠EFM=90°,∴∠AEO=∠EFM,∵sin∠AEO=AOAE=13,第1题解图∴sin∠EFM=13.设EM=x,则EF=3x,由勾股定理得MF=22x,OE=22,∵OB=2,∴22x=2,解得x=2 2,∴OM=OE-EM=322,∴点F的坐标为(2,322);(3)(n,n2+nn2+2n).如解图,作FM⊥y轴于点M,同理∠AEO=∠EFM,∵sin∠AEO=AOAE=1n+1,∴sin∠EFM=1n+1,设EM=x,则EF=(n+1)x,由勾股定理得MF=n2+2n x,OE=n2+2n,∵OB=n,∴n2+2n x=n.解得x=nn2+2n,∴OM=OE-EM=n2+2n-nn2+2n=n2+nn2+2n,∴点F的坐标为(n,n2+nn2+2n).2. 如图,将一个正方形纸片AOCD放置在平面直角坐标系中,点A(0,4),点O(0,0),点D在第一象限,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点O落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接OP,OH.设P点的横坐标为m.(1)若∠APO=60°,求∠OPG的大小;(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长l是否发生变化?若变化,用含m的式子表示l;若不变化,求出周长l;(3)设四边形EFGP的面积为S,当S取得最小值时,求点P的坐标(直接写出结果即可).第2题图解:(1)∵折叠正方形纸片,使点O落在点P处,点C落在点G 处,∴∠POC=∠OPG,∵四边形AOCD是正方形,∴AD∥OC,∴∠APO=∠POC,∴∠APO=∠OPG,∵∠APO=60°,∴∠OPG=60°;(2)△PDH的周长不发生变化,理由:如解图①,过点O作OQ⊥PG,垂足为点Q,则∠DAO=∠PQO=90°.第2题解图①由(3)知∠APO=∠OPG,又∵OP=OP,∴△AOP≌△QOP,∴AP=QP,AO=QO,∵AO=OC,∴OC=OQ,∵∠OCD=∠OQH=90°,OH=OH,∴Rt△OCH≌Rt△OQH,∴CH=QH,∴△PDH的周长l=PD+DH+PH=PD+DH+PQ+QH=PD+PQ+DH +QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=8,∴△PDH的周长l不发生变化,周长l为定值8;(3)当S取得最小值时,点P的坐标为(2,4).如解图②,过点F作FM⊥OA于点M,设EF与OP交于点N,第2题解图②由折叠的性质知△EON与△EPN关于直线EF对称,∴△EON ≌△EPN ,∴ON =PN ,EP =EO ,EN ⊥PO , ∵∠OAP =∠ENO ,∠AOP =∠NOE , ∴△POA ∽△EON ,∴PO EO =PA EN =OAON①, 设PA =x , ∵点A (0,4), ∴OA =4,∴OP =OA 2+PA 2=16+x 2, ∴ON =12OP =1216+x 2,将OP ,ON 代入①式得,OE =PE = 18(16+x 2), ∵∠EFM +∠OEN =90°, ∠AOP +∠OEN =90°, ∴∠EFM =∠AOP , 在△EFM 和△POA 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM =∠AOP FM =OA∠OAP =∠EMF, ∴△EFM ≌△POA (ASA), ∴EM =PA =x ,∴FG =CF =OM =OE -EM = 18(16+x 2)-x =18x 2-x +2, ∴S =S 梯形EFGP =S 梯形OCFE =12(FC +OE )·OC =12;18x 2-x +2+18(16+x 2)]×4=12(x -2)2+6,∴当x =2时,S 最小, 即AP =2,∴点P 的坐标是(2,4).3. 已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD >AB ),将纸片折叠一次,使点A 与点C 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于点E ,交BC 边于点F ,分别连接AF 和CE .(1)求证:四边形AFCE 是菱形;(2)若AE =10cm ,△ABF 的面积为24cm 2,求△ABF 的周长; (3)在线段AC 上是否存在一点P ,使得2AE 2=AC ·AP ?若存在,请说明点P 的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.第3题图(1)证明:由题意可知OA=OC,EF⊥AO,∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF,又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,由图形折叠的性质可知,AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形;(2)解:∵四边形AECF是菱形,∴AF=AE=10cm,设AB=a,BF=b,∵△ABF的面积为24cm2,∴a2+b2=100,ab=48,∴(a+b)2=196,∴a+b=14或a+b=﹣14(不合题意,舍去),∴△ABF的周长为14+10=24cm;(3)解:存在,如解图,过点E作BC的垂线,交AC于点P,点P 就是符合条件的点;证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAO=∠EAO,∴△AOE∽△AEP,∴AEAP=AOAE,∴AE2=AO·AP,∵四边形AECF是菱形,∴AO=12 AC,∴AE2=12 AC·AP,∴2AE2=AC·AP.第3题解图4. 如图①,已知△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点E,F 分别在AC,BC上,将△ABC沿EF折叠,点C落在点D处,设△EDF 与四边形ABFE重叠部分面积为y,CF长为x.第4题图(1)如图②,当EF∥AB,CF=4时,试求y的值;(2)当EF∥AB时,试求y与x的函数关系式,并求x为何值时y 的值最大;(3)如图③,当CF=4,DF⊥BC时,求y的值.解:(1)如解图①,连接CD,交EF于点H第4题解图①∵CF =4,BC =8,∴BF =4,CD =AC ×BCAB=4.8,∵EF ∥AB ,∴EF =12AB =5,CH =DH =12CD =2.4,∴y =12×EF ×DH =12×5×2.4=6;(2)①当0<x ≤4时,如解图②,作CM ⊥AB 交AB 于点M ,则CM 必过点D ,第4题解图②由(1)知CM =4.8, ∵EF ∥AB , ∴CN CM =CF BC =EF AB, 即CN 4.8=x 8=EF10, ∴CN =0.6x ,EF =54x ,∴y =S △DEF =S △CEF =12×EF ×CN =12×54x ×0.6x =38x 2,∴当x =4时,y max =38×42=6;②当4<x ≤8时,如解图③,第4题解图③过点C作CM⊥AB交AB于点M,过点F作FN⊥AB交AB于点N,连接ED,FD,分别交AB于点G,I,∴BFBC=FNCM,∵CF=x,∴BF=8-x,由(1)有,CM=4.8,∴8-x8=FN4.8,∴FN=0.6(8-x),∵DH=CH=CM-HM=CM-FN=4.8-0.6(8-x)=0.6x,DM=DH-MH=DH-FN=0.6x-0.6(8-x)=1.2x-4.8,∵EF∥AB,∴EFAB=CHCM,即EF10=0.6x4.8∴EF =54x ,∵EF ∥AB ,∴DM DH =GI EF, ∴1.2x -4.80.6x =GI54x ,∴GI =52(x -4),∴y =12(GI +EF )×FN =12×;52(x -4)+54x ]×0.6(8-x )=-98(x-163)2+8, ∴当x =163时,y max =645.(3)如解图④,在CB 上取一点H 使CH =DM ,作∠CHG =∠DMN ,第4题解图④在Rt △ABC 中,AC =6,BC =8,∴tan ∠B =AC BC =68=34,在△BFM 中,DF ⊥BC ,BF =BC -CF =4,∠B +∠BMF =90°,∴tan ∠B =FM BF =FM 4=34,∴FM =3,∴CH =DM =1,∵∠CHG =∠DMN ,∠BMF =∠DMN , ∴∠CHG =∠BMF ,∵∠B +∠BMF =90°, ∵∠B +∠CHG =90°,∠CHG +∠CGH =90°, ∴∠B =∠CGH ,在Rt △HCG 中,tan ∠CGH =CH CG =tan ∠B =34,∴CG =43×CH =43,∵∠BFD =90°,由折叠有∠CFE =∠DFE =45°,∴CE =CF ,∴y =S 四边形EFMN =S △DEF -S △DMN =S △CEF -S △CHG =12CE ×CF -12×CH ×CG=12×4×4-12×1×43=223. 5. 将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 沿EG 折叠(折痕EG 分别与AB 、DC 交于点E 、G ),使点B 落在AD 边上的点F 处,FN 与DC 交于点M ,连接BF 与EG 交于点P .第5题图(1)当点F与AD的中点重合时(如图①);①△AEF的边AE=________cm,EF=________cm,线段EG与BF 的大小关系是EG________BF;(填“>”、“=”或“<”)②求△FDM的周长.(2)当点F在AD边上除点A,D外的任意位置时(如图②);①试问第(1)题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化?请证明你的结论;②当点P在何位置时,四边形AEGD的面积S最大?最大值是多少?解:(1)①AE=3cm,EF=5cm;EG=BF,设AE=x,则EF=8-x,AF=4,∠A=90°,42+x2=(8-x)2,解得x=3.∴AE=3cm,EF=5cm,EG=BF;②如解图①,∵∠MFE=90°,∴∠DFM +∠AFE =90°,又∵∠A =∠D =90°,∠AFE =∠DMF , ∴△AEF ∽△DFM , ∴EF FM =AE DF =AF DM, 又∵AE =3,AF =DF =4,EF =5,∴5FM =34,解得FM =203,34=4DM ,解得DM =163, ∴△FMD 的周长=4+203+163=16;第5题解图(2)①FG =BF 不会发生变化,证明:如解图②,∵B 、F 关于GE 对称, ∴BF ⊥EG 于点P ,过G 作GK ⊥AB 于点K , ∴∠FBE =∠KGE ,在正方形ABCD 中,GK =BC =AB ,∠A =∠EKG =90°, ∴△AFB ≌△KEG (AAS),∴EG =BF ;②如解图②,设AF =x ,EF =8-AE ,则x 2+AE 2=(8-AE )2, ∵△AFB ≌△KEG ,∴AF =EK =x ,AK =AE +EK =AF +AE =4-116x 2+x ,S =AE +DG2×8=12×8(AE +AK )=4×(4-116x 2+4-116x 2+x )=-12x 2+4x +32, S =-12(x -4)2+40,(0<x <8)当x =4,即F 与AD 的中点重合时,S 最大=40.类型二 旋转问题11. 在Rt △ABC 中,AB =BC =5,∠B =90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处,三角板的两直角边分别交AB 、BC 的延长线于E 、F 两点,如图①.(1)求证:△EOB ≌△FOC ;(2)将等腰直角三角板绕直角顶点O 顺时针旋转,三角板的两直角边分别交AB 、BC 于E 、F 两点,如图②,则△OFC 能否成为等腰直角三角形?若能,直接写出△OFC 是等腰直角三角形时BF 的长;若不能,请说明理由;(3)若将三角板的直角顶点移动到点P 处,两直角边分别交AB 、BC 于E 、F 两点,如图③,若PE PF =13,请求出PA 的长.第1题图(1)证明:由题知,△ABC 和△OEF 均为等腰直角三角形,O 为AC 中点,∴∠BOC =∠EOF =90°,OB =OC ,OE =OF , ∵∠EOB +∠COE =90°,∠FOC +∠COE =90°, ∴∠EOB =∠FOC . 在△EOB 和△FOC 中,⎩⎪⎨⎪⎧OB =OC ∠EOB =∠FOC OE =OF, ∴△EOB ≌△FOC (SAS);(2)解:△OFC 能成为等腰直角三角形,此时BF =52或0;∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠ACB =45°.①当OF =CF ,∠OFC =90°,时 ∵∠ABC =90°, ∴OF ∥AB ,又∵O 为AC 的中点, ∴OF 为△ABC 的中位线,∴F为BC的中点,∴△OFC是等腰直角三角形,∵AB=BC=5,∴BF=52;②当OF=OC时,点F与点B重合,此时△OFC为等腰直角三角形,∴BF=0.(3)解:如解图,过点P作PM⊥AB,垂足为M,作PN⊥BC,垂足为N,∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°,∴∠EPM=∠FPN,又∵∠EMP=∠FNP=90°,∴△PME∽△PNF,∴PMPN=PEPF,∵△ABC为等腰直角三角形,∴△APM和△PCN均为等腰直角三角形,∴△APM∽△PCN,∴AMPN=APPC,第4题解图∵AM=PM,∴PMPN=APPC,∴PAPC=PEPF,∵PEPF=13,∴PAPC=13,∴PA=14AC,∵AB=BC=5,∴AC=52,∴PA=14AC=524.12. 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证:MN2=AM2+BN2;思路点拨:考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.请你完成证明过程;(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.第2题图(1)证明:将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连接DN,如解图①,第2题解图①则△DCM≌△ACM.有CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A.∵CA=CB,∴CD=CB,∵∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠ACM,∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM,∴∠DCN=∠BCN.又∵CN=CN,∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN,∠CDN=∠B.∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.∴在Rt△MDN中,由勾股定理,得MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2;(2)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.证明:将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连接GN,如解图②,第2题解图②则△GCM≌△ACM.∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM.∵CA=CB,∴CG=CB.∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°,∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM)=45°+∠ACM,∴∠GCN=∠BCN.又∵CN=CN,∴△CGN≌△CBN.∴GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°.∴在Rt△MGN中,由勾股定理,得MN 2=GM 2+GN 2,即MN 2=AM 2+BN 2.13. 如图,在△ABC 中,AB =BC =10,tan ∠ABC =43,点P 是边BC 上的一点,M 是线段AP 上一点,线段PM 绕点P 顺时针旋转90°得线段PN ,设BP =t .(1)如图①,当点P 在点B ,点M 是AP 中点时,试求AN 的长;(2)如图②,当PM MA =13时,①求点N 到BC 边的距离(用含t 的代数式表示); ②当点P 从点B 运动至点C 时,试求点N 运动路径的长.第3题图解:(1)∵在Rt △ABN 中,∠ABN =90°,AB =10, ∴BN =BM =12AB =5,∴AN =102+52=55;(2)①(Ⅰ)当0≤t ≤6时(如图①),第3题解图①如解图:过点A作AE⊥BC于点E,过点N作NF⊥BC于点F,∵tan∠ABC=AEBE=43,设AE=4x,则BE=3x,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2,102=(3x)2+(4x)2,解得:x=2,∴AE=8,BE=6当0 ≤t≤6时.∵∠AEP=∠PFN=90°,∠APE+∠FPN=90°,∠APF+∠PAE=90°,∴∠PAE=∠FPN,∴△APE∽△PNF,∵PMMA=13,∴PF AE =FN PE =PN AP =14, ∴FN =14(6-t )=32-14t ;(Ⅱ)当6≤t ≤10时,同理可得:FN =14(t -6)=14t -32;②如图2点N 的运动路径是一条线段,第4题解图②当P 与O 重合时,FN =32,PF =2,当P 与C 重合时,F ′N ′=1,CF ′=2, ∴点N 的路径长NN ′=102+(1+32)2=51720.14. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且OA =6,点D 是射线OM 上的动点,当点D 不与点A 重合时,将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ,连接DE .(1)如图①,猜想:△CDE 的形状是____三角形.(2)设OD=m.①当6<m<10时,△BDE周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.②是否存在m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.第4题图解:(1)等边;[解法提示]:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等边三角形;(2)①存在,当6<m<10时,由旋转的性质得,BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4,由点到直线垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD=23,∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4;②存在,当m=2或14时,以O、E、B为顶点的三角形是直角三解形,;:Ⅰ∵当点D与点B重合时,D、B、E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意,Ⅱ当0≤m<6时,由旋转可知∠CBE=120°,∴∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴若∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEC=60°,∴∠CEB=30°,∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°,∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA-DA=6-4=2,∴m=2;Ⅲ当6<m<10时,由∠DBE=120°>90°∴此时不存在;Ⅳ当m>10时,由旋转性质可知∠CBE=60°,∴∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,∵∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴若∠BDE=90°,∴∠BCD=∠BDC=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14,综上所述:当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.。

2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题(含答案)

2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题(含答案)

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题(含答案)1.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点E在BC上,CE=4,点F是AD 上的一个动点,若把△BEF沿EF折叠,点B落在点B′处,当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上,则AF的长为________.第1题图3或11 32.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别为E、F,要使折痕始终与边AB、AD有交点,则BP的取值范围是________.第2题图6-25≤BP≤43.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=6,E,F分别是线段AD、BC上的点,连接EF,使四边形ABFE为正方形,若点G是AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,对应点为P,则线段AP的长为__________.第3题图4或4-224.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AB与CD不平行,AB=CD=5,BC=12,点E是BC上的动点,将∠B沿着AE折叠,使点B落在直线AD上的点B′处,DB′=1,直线BB′与直线DC交于点H,则DH=________.第4题图5 11或5135.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=8,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC 于点M,N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时,EN的长为________.第5题图355 11或539 136.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,点P是对角线BD上一动点,将纸片折叠,使点C与点P重合,折痕为EF,折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点),当△PDF为直角三角形时,FC的长为________.第6题图24 7或8 37.如图,正方形的边长为4,E是BC的中点,点P是射线AD上一动点,过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似,则P A=________.第7题图2或58.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD中点,点P在射线BD上运动,若△BEP为等腰三角形,则线段BP的长度等于____________.第8题图2或53或6559.如图,在▱ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F;点M是边AB的一个三等分点.则△AOE 与△BMF的面积比为__________.第9题图3∶4或3∶810.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,点P是射线BC上的一个动点,连接AP、PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EP A′,若△EP A′与△ABC的另一个交点为F,当EF=14AB时,则BP的长为________.第10题图2或2311.已知△ABC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,交BC 于点E ,连接ED ,若ED =EC .(1)求证:AB =AC ;(2)①若AB =4,BC =23,则CD =________; ②当∠A =________时,四边形ODEB 是菱形.第1题图1.(1)证明:∵ED =EC ,∴∠EDC =∠C , ∵∠EDC +∠ADE =180°,∠B +∠ADE =180°, ∴∠EDC =∠B ,∴∠B =∠C , ∴AB =AC ; (2)解:①32; 如解图,连接BD ,第1题解图∵AB 为∵O 的直径,∵BD ∵AC ,设CD =a ,由(1)知AC =AB =4,则AD =4-a ,在Rt∵ABD 中,由勾股定理可得BD 2=AB 2-AD 2=42-(4-a )2, 在Rt∵CBD 中,由勾股定理可得BD 2=BC 2-CD 2=(23)2-a 2, ∵42-(4-a )2=(23)2-a 2,解得a =32,即CD =32. ∵60°.如解图,连接OD 、OE ,∵四边形ODEB 是菱形,∵OB =BE ,又∵OB =OE ,∵∵OBE 是等边三角形,∵∵OBE =60°, ∵OD ∵BE ,∵∵BOD =120°,∵∵A =12∵BOD =60°.12 .如图,在▱ABCD 中,AD =4,AB =5,延长AD 到点E ,连接EC ,过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ,交CD 的延长线于点G .(1)求证:四边形BCEF 是平行四边形;(2)①当DF =______时,四边形BCEF 是正方形; ②当GFGD =________时,四边形BCEF 是菱形.第2题图13. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴EF ∥BC . ∵BF ∥CE ,∴四边形BCEF 是平行四边形;(2)解:①1;∵四边形BCEF 是正方形,∵BF =BC =AD =4,∵FBC =∵AFB =90°, ∵AF =AB 2-BF 2=52-42=3. ∵AD =4,∵DF =AD -AF =4-3=1. ∵45. ∵四边形BCEF 是菱形, ∵BF =BC =AD =4.∵四边形ABCD 是平行四边形,∵CD ∵AB , ∵GD AB =GF BF ,即GF GD =BF AB =45.14.如图,AB 是半圆O 的直径,射线AM ⊥AB ,点P 在AM 上,连接OP 交半圆O 于点D ,PC 切半圆O 于点C ,连接BC .(1)求证:BC ∥OP ;(2)若半圆O 的半径等于2,填空:①当AP =________时,四边形OAPC 是正方形;②当AP =________时,四边形BODC 是菱形.第3题图解:(1)证明:连接OC ,AC ,如解图所示, ∵AB 是直径,AM ⊥AB , ∴BC ⊥AC ,AP 是半⊙O 的切线,又∵PC是半⊙O的切线,∴P A=PC,又∵OA=OC,∴OP⊥AC,∴BC∥OP;(2)① 2;② 2 3.∵若四边形OAPC是正方形,则OA=AP,∵OA=2,∵AP=2;∵若四边形BODC是菱形,则CB=BO=OD=DC,∵AB=2OB,∵ACB=90°,∵AB=2BC,∵∵BAC=30°,∵ABC=60°,∵BC∵OP,∵∵AOP=∵ABC=60°,又∵∵OAP=90°,OA=2,∵∵OP A=30°,∵OP=4,∵AP=22222-OAOP=2 3.=4-第3题解图15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,AF=CE且F不与E重合.(1)求证:△EF A≌△ACE;(2)填空:①当∠B=_________°时,四边形ACEF是菱形;②当∠B=_________°时,线段AF与AB垂直.第4题图(1)证明:如解图,第4题解图∵ED是BC的垂直平分线,∴EB=EC,ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,∴∠1=∠2=∠5,∴AE=CE.又∵AF=CE,∴AE=AF,∴∠5=∠F,在△EF A和△ACE中,AF=AE=EC,∠1=∠2=∠5=∠F,∴△EF A≌△ACE.(2)解:① 30;②45.∵∵四边形ACEF是菱形,∵AC=CE,∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线,∵CE=AE=BE,∵AE=AC=CE,∵∵ACE是等边三角形,∵∵1=60°,则∵B=30°,∵当∵B=30°时,四边形ACEF是菱形;∵由(1)知∵EF A∵∵ACE,∵∵AEC=∵EAF,∵AF∥CE,∵AF∵AB,∵CE∵AB,∵CE=EB,∵∵3=∵4=45°,∵当∵B=45°时,线段AF与AB垂直.16.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O外一点,过点E作⊙O的两条切线ED,EB,切点分别为点D,B.连接AD并延长交BE延长线于点C,连接OE.(1)试判断OE与AC的关系,并说明理由;(2)填空:①当∠BAC=_________°时,四边形ODEB为正方形;②当∠BAC=30°时,ADDE的值为________.第5题图5.解:(1)OE∥AC,OE=12AC.理由:连接OD,如解图,第5题解图∵DE,BE是⊙O的切线,∴OD⊥DE,AB⊥BC,∴∠ODE=∠ABC=90°,∵OD=OB,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL),∴∠1=∠2.∵∠BOD=∠A+∠3,OA=OD,∴∠A=∠3,∴∠2=∠A,∴OE∥AC;∵OA=OB,∴EC=EB,∴OE是△ABC的中位线,∴OE=12AC.(2)①45;②3.∵要使四边形ODEB是正方形,由ED=EB,∵ODE=∵ABC=90°,只需∵DOB =90°,∵∵A=45°;∵过O作OH∵AD于H,∵∵A=30°,OA=OD,∵∵3=∵A=30°,∵OD,∵∵ODE=90°,∵1=∵3=30°,∵OD,∵ADDE=3.17.如图,将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连接BC1,∠ACB=30°,AB=1,CC1=x.(1)若点O与点C1重合,求证:A1D1为⊙O的切线;(2)①当x=________时,四边形ABC1D1是菱形;②当x=________时,△BDD1为等边三角形.第6题图(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=90°,∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,∴∠A1D1O=∠D=90°,∴A1D1⊥OD1,∴A1D1为⊙O的切线;(2)解:①1;②2.∵如解图∵,连接AD1,当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;第6题解图∵理由:由平移得:AB=D1C1,且AB∵D1C1,∵四边形ABC1D1是平行四边形,∵∵ACB=30°,∵∵CAB=60°,∵AB=1,∵AC=2,∵x=1,∵AC1=1,∵AB=AC1,∵∵AC1B是等边三角形,∵AB=BC1,∵四边形ABC1D1是菱形;∵如解图∵所示,当x=2时,∵BDD1为等边三角形,第6题解图∵则可得BD=DD1=BD1=2,即当x=2时,∵BDD1为等边三角形.。

2020年中考数学动态问题-折叠中函数综合题型(含答案)

2020年中考数学动态问题-折叠中函数综合题型(含答案)

专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题,更能体现其解题核心——动中求静,灵活运用相关数学知识进行解答,有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来,各省(市)的中考数学试卷都会有此类题目,这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分,题型繁多,题意新颖,具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备:运动观点;方程思想;数形结合思想;分类讨论思想;转化思想等等.(1)函数中的折叠问题主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力.(2)综合题型此类题目困难重重,以2019年安徽省中考第10题而言,充分体现了数学思想的表达,解题中用到的有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等,充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求.通过研究历年中考真题并结合2019年各省(市)的中考真题,特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发,一些指引,培养出学生的解题素养.二、精品例题解析题型一:折叠综合题型例1.(2019·安徽)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.8题型二:折叠与相似例2.(2019·济宁)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE 的长;(2)如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点(与端点不重合),且∠DMN =∠DAM ,设AM =x ,DN =y .①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值;②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.题型三:折叠与全等例3.(2019·临沂)如图,在正方形ABCD 中,E 是DC 边上一点,(与D 、C 不重合),连接AE ,将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ,延长EF 交BC 于G ,连接AG ,作GH ⊥AG ,与AE 的延长线交于点H ,连接CH ,显然AE 是∠DAF 的平分线,EA 是∠DEF 的平分线,仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角平分线),并说明理由.题型四:折叠与反比例函数例4.(2019·衢州)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上,顶点D 在y 轴的正半轴上,点C 在第一象限,将△AOD 沿y 轴翻折,使点A 落在x 轴上的点E 处,点B 恰好为OE 的中点,DE 与BC 交于点F .若(0)k y k x=≠图象经过点C ,且=1BEF S ∆,则k 的值为 .题型五:几何图形中动点折叠问题例5.(2019·衡阳)如图,在等边△ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE 为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)求DE的长;(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.题型六:函数图象中动点折叠问题例6.(2019·湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,连接AC,OA=3,tan∠OAC 3D是BC的中点.(1)求OC的长和点D的坐标;(2)如图2,M是线段OC上的点,OM=23OC,点P是线段OM上的一个动点,经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折,若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标;②以线段DF为边,在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点O运动到点M时,点G也随之运动,请直接写出点G运动路径的长.二、精品例题解析题型一:折叠综合题型例1.(2019·安徽)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A .0B .4C .6 D.8【分析】当P 在边AD 上运动时,根据轴对称知识,求出PE +PF 的最小值及其变化规律,进而与9进行比较,得出结论.【答案】D .【解析】解:作点E 关于AD 的对称点E ’,连接E ’F ,交AD 于P ,此时PE +PF 的值为最小,最小值为E ’F 的长,如下图所示,过F 作FH ⊥EE ’于H ,EE ’交AD 于点G , D C EF P E'HG由题意知:AE =EF =FC =4,四边形ABCD 是正方形,AC 为对角线,∴∠FFH =∠ACB =45°,∴FH =EH =EG =E ’G 2EF =22, 在Rt △HFE ’中,由勾股定理得:E ’F 22'459E H HF +=<,当点P 在点A 处时,PE +PF =12>9,当点P 在D 点时,连接BD 交AC 于点O ,如下图所示, A D CBE F (P )O∴OD =6,OE =2,在Rt △PEO 中,由勾股定理得:PE =22210OE OD +=,PE +PF =4109>,综上所述,当点P 在AD 上运动时,PE +PF 的值的变化规律为从12逐渐减小至45,后增大至410,在这个变化过程中,有两个P 点使得PE +PF =9,∴在正方形ABCD 边上有8个点符合要求,故答案为:D .题型二:折叠与相似例2.(2019·济宁)如图1,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G .(1)求线段CE 的长;(2)如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点(与端点不重合),且∠DMN =∠DAM ,设AM =x ,DN =y .①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值;②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由翻折并利用勾股定理构建方程即可解决问题.(2)①由△ADM ∽△GMN ,可得=,由此即可解决问题.②有两种情形:当MN=MD时,当MN=DN时. 分别求解即可解决问题.【答案】见解析.【解答】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∴∠B=∠BCD=90°,由翻折可知:AD=AF=10.DE=EF,设EC=m,则DE=EF=8﹣m.在Rt△ABF中,由勾股定理得:BF=6,∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4,在Rt△EFC中,由勾股定理得:(8﹣m)2=m2+42,解得:m=3,∴EC=3.(2)①如下图中,∵AD∥CG,∴AD DE CG EC,∴CG=6,∴BG=BC+CG=16,在Rt△ABG中,由勾股定理得:AG=5,在Rt△DCG中,由勾股定理得:DG=10,∵AD=DG=10,∴∠DAG=∠AGD,∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM,∠DMN=∠DAM,∴∠ADM=∠NMG,∴△ADM ∽△GMN , ∴AD AM HM NG =, ∴101085x yx =--, 整理得:()2214511045210510y x x x =-+=-+. ∴当x =45时,y 有最小值,最小值为2.②存在.当MN =MD 时,∵∠MDN =∠GMD ,∠DMN =∠DGM ,∴△DMN ∽△DGM ,∴MD MN DG MG=, ∵MN =DM ,∴DG =GM =10,∴x =AM =85﹣10.当MN =DN 时,过M 作MH ⊥DG 于H .∵MN =DN ,∴∠MDN =∠DMN ,∵∠DMN=∠DGM,∴∠MDG=∠MGD,∴MD=MG,∵BH⊥DG,∴DH=GH=5,由△GHM∽△GBA,可得GH MG GB AG,∴MG=55,∴x=AM=115.综上所述,满足条件的x的值为85﹣10或115 2.题型三:折叠与全等例3.(2019·临沂)如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点,(与D、C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH,显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线,仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角平分线),并说明理由.【答案】见解析.【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠D=∠B=90°,由折叠知:△ADE≌△AFE,∴AD=AF=AB,∠AFG=90°,在Rt△AGB和Rt△AGF中,∵AG=AG,AF=AB,∴Rt△AGB≌Rt△AGF,∴∠6=∠7,∠3=∠4,即AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线;∵∠AGH=90°,∴∠6+∠HGC=90°,∠7+∠EGH=90°,∴∠HGC= EGH,即GH是∠EGC的平分线;过H作HN⊥BM于N,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴∠GAH=2+∠3=45°,∴AG=GH,∴△ABG≌△GNH,∴NH=BG,GN=AB=BC,∴GN-GC= BC-GC,即BG=CN=NH,∴∠HCN=45°,∠DCH=45°,即CH 是∠DCM 的平分线.题型四:折叠与反比例函数例4.(2019·衢州)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上,顶点D 在y 轴的正半轴上,点C 在第一象限,将△AOD 沿y 轴翻折,使点A 落在x 轴上的点E 处,点B 恰好为OE 的中点,DE 与BC 交于点F .若(0)k y k x=≠图象经过点C ,且=1BEF S ∆,则k 的值为 .【答案】24.【解析】解:由题意知:AB =CD =3BE ,S △BEF = S △OBF =1∵ABCD 为平行四边形,即AB ∥CD ,∴BF :FC =BE :CD =1:3,连接OC ,OF ,如下图所示,则S △OBF :S △OFC =BF :FC =1:3,∴S △OBC =4,∵S △OBC :S △ODC =OB :CD =1:3,∴S △ODC =12,∴k =24,故答案为:24.题型五:几何图形中动点折叠问题例5.(2019·衡阳)如图,在等边△ABC 中,AB =6cm ,动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE 为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)求DE的长;(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.【答案】见解析.【解析】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴当BQ=2BP时,∠BPQ=90°,即6+t=2(6﹣t),解得:t=3,故t=3时,△BPQ是直角三角形.(2)存在.理由:如下图,连接BF交AC于M.∵BF平分∠ABC,BA=BC,∴BF⊥AC,AM=CM=3cm,∵EF∥BQ,∴∠EFM=∠FBC=12∠ABC=30°,∴EF=2EM,∴t=2•(3﹣12 t),解得t=3.(3)如下图,作PK∥BC交AC于K.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠A=60°,∵PK∥BC,∴∠APK=∠B=60°,∴∠A=∠APK=∠AKP=60°,∴△APK是等边三角形,∴PA=PK,∵PE⊥AK,∴AE=EK,∵AP=CQ=PK,∠PKD=∠DCQ,∠PDK=∠QDC,∴△PKD≌△QCD(AAS),∴DK=DC,∴DE=EK+DK=12(AK+CK)=12AC=3(cm).(4)如下图,连接AM,AB′∵BM=CM=3,AB=AC,∴AM⊥BC,由勾股定理得:AM=33,根据两点之间线段最短,得:AB′≥AM﹣MB′,即AB′≥33﹣3,故AB′的最小值为33﹣3.题型六:函数图象中动点折叠问题例6.(2019·湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,连接AC,OA=3,tan∠OAC=3,D是BC的中点.(1)求OC的长和点D的坐标;(2)如图2,M是线段OC上的点,OM=23OC,点P是线段OM上的一个动点,经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折,若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标;②以线段DF为边,在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点O运动到点M时,点G也随之运动,请直接写出点G运动路径的长.【答案】见解析【解析】解:(1)∵OA=3,tan∠OAC=3 3,在Rt△AOC中,tan∠OAC=3=3 OCOA,∴OC=3,∵ABCD是矩形,∴BC=OA=3,又D是BC的中点,∴CD=3 2 ,即D的坐标为(32,3)(2)①由tan∠OAC3知:∠OAC=30°,∴∠ACB=∠OAC=30°,若△DBF折叠后,B的落点为B’由折叠性质,知:DB’=DB=DC,∠BDF=∠B’DF,∴∠DB’C=∠ACB=30°,∴∠BDB’=60°,∠BDF=30°,在Rt△BDF中,BF=BD·tan30°3,∵AB∴AF=BF在△BFD和△AFE中,∠BFD=∠EFA,∠B=∠FAE=90°,AF=BF,∴△BFD≌△AFE,∴AE=BD=3 2即OE=OA+AE=9 2,故E点坐标为(92,0)②由题意知:F点横坐标不变为3,而∠DFB=60°,即G点与F点的连线与y轴平行,即G点横坐标不变,所以G点运动轨迹为一条线段,求出P点从O点至M点运动过程中,G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.2+bx,将点D(32, B(3934293a ba b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得:9a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,即抛物线解析式为:2y x = 令y =0,得12902x x ==,, 即E (92,0),设直线DE 的解析式为:y =kx +b ,将D (32、E (92,0)代入得:32y x =-+, 令x =3,得y即F(3, 由BF =BG 得,G (3).+bx +c ,将点D (32, B (3,M (0)代入解析式,可得: 934293a b c a b c c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎪⎩,抛物线解析式为:22733y x x =-++ 令y =0,得12362x x =-=,, 即E (6,0),设直线DE 的解析式为:y =kx +b ,将D (32、E (6,0)代入得:y x =+令x =3,得y ,即F (3, 3),由BF =BG 得,G (3,3)即G 点由(3,2)运动至(3,3),运动路径长为:2-3=6.。

中考专题——圆中折叠问题(新)

中考专题——圆中折叠问题(新)

2020 中考数学必刷—圆中折叠问题知识与方法】折叠问题是中考的热点题型,在解决这类问题中,运用的知识点比较多,综合性强,如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等,培养学生识图能力,灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。

圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆,我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。

【例】如图,半圆的直径AB=10cm,弦AC=6cm,把AC 沿直线AD 对折,恰好与AB 重合,点C 落到C'求, AD 的长。

解析】设圆的圆心是O,连接OD,作DE⊥AB 于E,OF⊥AC 于F,运用圆周角定理,可证得∠ DOB= ∠OAC,即证△AOF≌△OED,所以OE=AF=3cm,根据勾股定理,得DE=4cm,在直角三角形ADE 中,根据勾股定理,可求AD解答】设圆的圆心是O,连接OD,AD,作DE⊥AB 于E,OF⊥AC 于F.则∠OFA=∠OED=90O22根据题意知,∠ CAD= ∠BAD , ∴C ?D B ?D ,∴点 D 是 ?BC 的中点. ∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD ,又 OA=OD ∴△AOF ≌△OED(AAS) ,∴OE=AF=3cm , ∴DE= OD 2OE 252324 (cm), ∴AD= AE 2DE 25 3 2424 5 cm 故选 A . 【针对练习】1.将半径为 3的圆形纸片沿 AB 折叠后,圆弧恰好能经过圆心 O ,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 ( )A . 2 2B . 2C .D . 32【解答】过 O 点作 OC ⊥ AB ,垂足为 D ,交⊙ O 于点C ,11由折叠可得,OD=CD= OC = O A ,所以在 Rt △AOD 中,∠A=30°,又OA=OB,所以 ∠ B=30°, 所以 ∠ AOB=18°0 ﹣ ∠ A ﹣ ∠ B=120°,所 以 ?AB 的 长为锥的高 = 32122 2 .故选: A .【点评】:本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面 展开图.2、如图,在⊙ O 中,点 C 在优弧A ⌒B 上,将弧B ⌒C 沿 BC 折叠后刚好经过 AB的中点 D .若⊙ O 的半径为 5,AB =4,则 BC 的长是( )OD ,过 C 作CE ⊥AB 于E ,过 O 作 OF ⊥CE 于F , ∵B ?C 沿 BC 折叠,∴∠CDB=∠H ,∵∠H+∠A=180°,∴∠CDA+∠CDB=180°, ∴∠ A= ∠CDA ,∴ CA=CD ,∵ CE ⊥ AD ,∴ AE=ED=1 ,∵ OA 5 ,AD=2 , ∴OD=1,∵OD ⊥AB ,∴OFED 为正方形,∴ OF=1,OC 5 ,∴CF=2,CE=3, ∴CB 3 2 .120 3 1802 ,设围成的圆锥的底面半径为 r ,则 2 r,所以 r=1.所以圆A .2 3B .C .53 2D .3265 2解法一 】连 AC 、DC 、【解法二】 作D 关于 BC 的对称点 E ,连 AC 、CE , ∵AB=4,AE=2AO=2 5 ∴BE=2,由对称性知,∠ ABC= ∠CBE=4°5 ,∴AC=CE ,延长 BA 至 F ,使 FA=BE ,连 FC ,易证 △FCA ≌△ BCE ,3、如图,点 C 在以 AB 为直径的半圆弧上,∠ ABC=30°,沿直线 CB 将半圆折叠,直径 AB 和 ?BC 交于点 D ,已知 AB=6 ,则图中阴影部分的面积和周长分别 等于 ________________ .A∴∠FCB=90°, ∴ BC 2FB 2 AB BE22CHABEDF O解法一图F解法二图C解析】连CD,AC ,由直径所对的圆周角为直角得到∠ ACB=9°0 ,得到∠A=60°,即△ACD 为等边三角形,于是有弓形BD 的面积=弓形CD 的面积,阴影部分的面积=扇形DAC 的面积,阴影部分的周长=半圆弧长加直径,然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.【解答】连CD,AC ,如图,∵AB 为直径,∠ ABC=3°0 ,∴∠ACB=9°0 ,∠ A=60°,∴△ ACD 为等边三角形,∴∠ DCB=3°0 ,∴弓形BD 的面积=弓形CD 的面积,∴阴影部分的面积=扇形DAC 的面积=1阴影部分的周长=1?2π?3+6=3π.+62故答案为3,3π+6.24.如图,半径为1 的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合,则图中阴影部分的面积是3.26S 阴影 =S 半圆 ﹣ 2S 弓形 ABM【分析】连接 OM 交 AB 于点 C ,连接 OA 、OB ,根据题意 OM ⊥AB 且OC=MC= ,继而求出∠ AOC=6°0 、AB=2AC= , 然后根据 S 弓形 ABM =S 扇形 OAB ﹣ S △AOB 、S 阴影 =S 半圆 ﹣ 2S 弓形 ABM 计算可得答案.解答】解:如图,连接 OM 交 AB 于点 C ,连接 OA 、 OB ,由题意知, OM ⊥AB ,且 OC=MC= 在 RT △AOC 中,∵ OA=1 ,OC= ,∴∠ AOC=6°0 , AB=2AC= , ∴∠AOB=2 ∠AOC=12°0 , cos ∠AOC=AC= =则S 弓形 ABM =S 扇形 OAB ﹣S×21﹣2(点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运 用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用,解答时运用轴对称的 性质求解是关键.5、如图, AB 是半圆 O 的直径,且 AB=8 ,点 C 为半圆上的一点.将此半圆沿 BC 所在的直线折叠,若圆弧 BC 恰好过圆心 O ,求图中阴影部分的面积(结果保留 π)。

(完整版)中考数学中的折叠问题

(完整版)中考数学中的折叠问题

DE中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力,近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题,实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质,搞清折叠前后哪些量变了,哪些量没变,折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等,对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题,把握住了关键点,并不难解决。

例1 (成都市中考题)把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答:本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知:∠BME=∠'EMC ,∠CMF=∠'FMC ,''180BMC CMC ∠+∠=°,又'C M 与'B M 重合,则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°,故选B 。

例2 (武汉市实验区中考题)将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠,折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。

已知∠AFC=76°,则'CFD ∠等于( )A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答:本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得:'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°,则'CFD ∠=104°-76°=28°,故选B 。

例3(河南省实验区中考题)如图,把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结OB ,将纸片OABC 沿OB 折叠,使点A 落在点'A 的位置,若1tan 2BOC ∠=,则点'A 的坐标为 。

中考中的折叠问题

中考中的折叠问题

A 例 4 20 (0 9哈尔滨 ) 图 4 在梯形 A C 中 , D 如 , BD
叠 问 的 考 查 形 式 上 分 为 以 下 四种 题 型 : 题 折 叠后 得 图形

解题策 略: 解决 此类 问题 的 A —
— —

关键是利 用 折叠 问题 的 本质 , l 轴对称变换, 利用折痕是角 F <r I 、. 平分线, 重合 的角是相等的角, } 、 、\., 一 J 。 结合三角形外角、 三角形内角和 I 、 / \ 1 定理以及平行线的相关知识进 I \/ 1
教海探索

蠢 氍 折誊藿 赫 整萋 警 攀
一 张彩 付
中考 中的折叠问题要求学生能够利 用数 学知 识 解决 实际问题 , 体现数学 的应用性 , 让学生在操作 能 过 程 中 把握折叠的变化规 律 , 培养学生 的空 间想象 力 和 动手操作能力 。综观 中考数 学试卷 , 叠问 折 掌 题 题 型 变化多端 , 如果不弄清折叠问题的本质 , 折 没有 握 解 题技巧 , 很难在考场 中得心应手 。总体来讲 ,
图3
图4
. .
∥B , c C D 上 , 将梯形沿对角线 B D折叠, A恰 点 .
好落在 D C边上 的点 A 处 , 若 A B C=2 则 A , B 的度数为( D ) 。
( 1。 A)5 ( )0 B 2 ̄ 答案 :.,.。 3 C 4 C ( ) 5 C 2。 ( )0 D 3 ̄
行计算 。 B 三 、 叠 后 求 线 段 长 度 折 例 5 20 荆州 ) 如图 5 将 (09 ,
的长是( ) 。

1 5 图5
例 1 (o9兰州 ) 图 1 示 , 20 如 所 将一 张正 方 形

2020年中考数学热点冲刺6 图形折叠问题(含解析)

2020年中考数学热点冲刺6 图形折叠问题(含解析)

热点专题6图形折叠问题考向1矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①①CMP是直角三角形;①点C、E、G不在同一条直线上;①PC=MP;①BP=AB;①点F是①CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】①沿着CM折叠,点D的对应点为E,①①DMC=①EMC,①再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,①①AMP=①EMP,①①AMD=180°,①①PME+①CME=180°=90°,①①CMP是直角三角形;故①正确;①沿着CM折叠,点D的对应点为E,①①D=①MEC=90°,①再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,①①MEG=①A=90°,①①GEC=180°,①点C、E、G在同一条直线上,故①错误;①AD=2AB,①设AB=x,则AD=2x,①将矩形ABCD对折,得到折痕MN;①DM=AD=x,①CM==x,①①PMC=90°,MN①PC,①CM2=CN•CP,①CP==x,①PN=CP﹣CN=x,①PM==x,①==,①PC=MP,故①错误;①PC=x,①PB=2x﹣x=x,①=,①PB=AB,故①,①CD=CE,EG=AB,AB=CD,①CE=EG,①①CEM=①G=90°,①FE①PG,①CF=PF,①①PMC=90°,①CF=PF=MF,①点F是①CMP外接圆的圆心,故①正确;故选:B.2. (2019 江苏省淮安市)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将①CBH 沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan①HAP=.【解析】如图,连接PB,交CH于E,由折叠可得,CH垂直平分BP,BH=PH,又①H为AB的中点,①AH=BH,①AH=PH=BH,①①HAP=①HP A,①HBP=①HPB,又①①HAP+①HP A+①HBP+①HPB=180°,①①APB=90°,①①APB=①HEB=90°,①AP①HE,①①BAP=①BHE,又①Rt①BCH中,tan①BHC==,①tan①HAP=,故答案为:.3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形,若①ABC=26°,则①ACD =°.【解析】延长DC,由题意可得:①ABC=①BCE=①BCA=26°,则①ACD=180°﹣26°﹣26°=128°.故答案为:128.4.(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(①)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图①;(①)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B′处,如图①,两次折痕交于点O;(①)展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图①.探究(1)证明:①OBC①①OED;(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.【解析】(1)证明:由折叠可知,AD=ED,①BCO=①DCO=①ADO=①CDO=45°①BC=DE,①COD=90°,OC=OD,在①OBC①①OED中,,①①OBC①①OED(SAS);(2)过点O作OH①CD于点H.由(1)①OBC①①OED,OE=OB,①BC=x,则AD=DE=x,①CE=8﹣x,①OC=OD,①COD=90°①CH=CD=AB==4,OH=CD=4,①EH=CH﹣CE=4﹣(8﹣x)=x﹣4在Rt①OHE中,由勾股定理得OE2=OH2+EH2,即OB2=42+(x﹣4)2,①y关于x的关系式:y=x2﹣8x+32.考向2平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.【解析】(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是AC′①BD,故答案为:AC′①BD;(2)EB与ED相等.由折叠可得,①CBD=①C'BD,①AD①BC,①①ADB=①CBD,①①EDB=①EBD,①BE=DE.2. (2019 江苏省徐州市)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.求证:(1)ECB FCG∠=∠;(2)EBC FGC∆≅∆.【解析】证明:(1)Q四边形ABCD是平行四边形,∴∠=∠,A BCD由折叠可得,A ECG∠=∠,∴∠=∠,BCD ECG∴∠-∠=∠-∠,BCD ECF ECG ECF∴∠=∠;ECB FCG(2)Q四边形ABCD是平行四边形,∴∠=∠,AD BCD B=,由折叠可得,D G=,∠=∠,AD CG=,B G∴∠=∠,BC CG又ECB FCG∠=∠Q,∴∆≅∆.EBC FGC ASA()考向3正方形的折叠1.(2019 江苏省连云港市)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求①AEF的度数;(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将①APN沿着AN翻折,点P落在点P'处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG①MN,FH①MN,垂足分别为G、H.若AG=,请直接写出FH的长.【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为:DN+MB=EC;理由如下:①四边形ABCD是正方形,①①ABE=①BCD=90°,AB=BC=CD,AB①CD,过点B作BF①MN分别交AE、CD于点G、F,如图1所示:①四边形MBFN为平行四边形,①NF=MB,①BF①AE,①①BGE=90°,①①CBF+①AEB=90°,①①BAE+①AEB=90°,①①CBF=①BAE,在①ABE和①BCF中,,①①ABE①①BCF(ASA),①BE=CF,①DN+NF+CF=BE+EC,①DN+MB=EC;问题探究:解:(1)连接AQ,过点Q作HI①AB,分别交AD、BC于点H、I,如图2所示:①四边形ABCD是正方形,①四边形ABIH为矩形,①HI①AD,HI①BC,HI=AB=AD,①BD是正方形ABCD的对角线,①①BDA=45°,①①DHQ是等腰直角三角形,HD=HQ,AH=QI,①MN是AE的垂直平分线,①AQ=QE,在Rt①AHQ和Rt①QIE中,,①Rt①AHQ①Rt①QIE(HL),①①AQH=①QEI,①①AQH+①EQI=90°,①①AQE=90°,①①AQE是等腰直角三角形,①①EAQ=①AEQ=45°,即①AEF=45°;(2)连接AC交BD于点O,如图3所示:则①APN的直角顶点P在OB上运动,设点P与点B重合时,则点P′与点D重合;设点P与点O重合时,则点P′的落点为O′,①AO=OD,①AOD=90°,①①ODA=①ADO′=45°,当点P在线段BO上运动时,过点P作PG①CD于点G,过点P′作P′H①CD交CD延长线于点H,连接PC,①点P在BD上,①AP=PC,在①APB和①CPB中,,①①APB①①CPB(SSS),①①BAP=①BCP,①①BCD=①MP A=90°,①①PCN=①AMP,①AB①CD,①①AMP=①PNC,①①PCN=①PNC,①PC=PN,①AP=PN,①①PNA=45°,①①PNP′=90°,①①P′NH+PNG=90°,①①P′NH+①NP′H=90°,①PNG+①NPG=90°,①①NPG=①P′NH,①PNG=①NP′H,由翻折性质得:PN=P′N,在①PGN和①NHP'中,,①①PGN①①NHP'(ASA),①PG=NH,GN=P'H,①BD是正方形ABCD的对角线,①①PDG=45°,易得PG=GD,①GN=DH,①DH=P'H,①①P'DH=45°,故①P'DA=45°,①点P'在线段DO'上运动;过点S作SK①DO',垂足为K,①点S为AD的中点,①DS=2,则P'S的最小值为;问题拓展:解:延长AG交BC于E,交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,如图4:则EG=AG=,PH=FH,①AE=5,在Rt①ABE中,BE==3,①CE=BC﹣BE=1,①①B=①ECQ=90°,①AEB=①QEC,①①ABE①①QCE,①==3,①QE=AE=,①AQ=AE+QE=,①AG①MN,①①AGM=90°=①B,①①MAG=①EAB,①①AGM①①ABE,①=,即=,解得:AM=,由折叠的性质得:AB'=EB=3,①B'=①B=90°,①C'=①BCD=90°,①B'M==,AC'=1,①①BAD=90°,①①B'AM=①C'F A,①①AFC'①①MAB',①==,解得:AF=,①DF=4﹣=,①AG①MN,FH①MN,①AG①FH,①AQ①FP,①①DFP①①DAQ,①=,即=,解得:FP=,①FH=FP=.考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图,已知等边①ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线,把①ABC沿直线1折叠,点B的对应点是点B′.(1)如图1,当PB=4时,若点B′恰好在AC边上,则AB′的长度为;(2)如图2,当PB=5时,若直线1①AC,则BB′的长度为;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线1始终垂直于AC,①ACB′的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4)当PB=6时,在直线1变化过程中,求①ACB′面积的最大值.【解析】(1)如图1中,①①ABC是等边三角形,①①A=60°,AB=BC=AC=8,①PB=4,①PB′=PB=P A=4,①①A=60°,①①APB′是等边三角形,①AB′=AP=4.故答案为4.(2)如图2中,设直线l交BC于点E.连接BB′交PE于O.①PE①AC,①①BPE=①A=60°,①BEP=①C=60°,①①PEB是等边三角形,①PB=5,①①B,B′关于PE对称,①BB′①PE,BB′=2OB①OB=PB•sin60°=,①BB′=5.故答案为5.(3)如图3中,结论:面积不变.①B,B′关于直线l对称,①BB′①直线l,①直线l①AC,①AC①BB′,①S①ACB′=S①ACB=•82=16.(4)如图4中,当B′P①AC时,①ACB′的面积最大,设直线PB′交AC于E,在Rt①APE中,①P A=2,①P AE=60°,①PE=P A•sin60°=,①B′E=6+,①S①ACB′的最大值=×8×(6+)=4+24.。

2020年中考数学动态问题-折叠中有关计算题型(含答案)

2020年中考数学动态问题-折叠中有关计算题型(含答案)

专题04 动点折叠类问题中有关计算题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题,更能体现其解题核心——动中求静,灵活运用相关数学知识进行解答,有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来,各省(市)的中考数学试卷都会有此类题目,这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分,题型繁多,题意新颖,具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备:运动观点;方程思想;数形结合思想;分类讨论思想;转化思想等等.通过研究历年中考真题并结合2019年各省(市)的中考真题,特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发,一些指引,培养出学生的解题素养.下面我们从几个例题中展开论述,逐层拨开它的神秘面纱.二、精品例题解析题型一:图形折叠中的计算例1.(2019·青岛)如图,在正方形纸片ABCD 中,E 是CD 的中点,将正方形纸片折叠,点B 落在线段AE 上的点G 处,折痕为AF .若AD=4 cm,则CF 的长为cm .例2. 如图,矩形ABCD中,AB=36BC=12,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落在CF上的点G处,则折痕EF的长是例3.(2019·连云港)如图,在矩形ABCD中,AD=22AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①△CMP是直角三角形;②点C、E、G不在同一条直线上;③PC=62MP;④BP=22AB;⑤点F是△CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个例4.(2019·潍坊)如图,在矩形ABCD中,AD=2,将∠A向内折叠,点A落在BC上,记为A’,折痕为DE. 若将∠B沿EA’向内折叠,点B恰好落在DE上,记为B’,则AB=例5.(2019·天津)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上. 若DE=5,则GE的长为例6.(2019·南充)如图,正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB 得到折痕AE ,再翻折纸片,使AB 与AD 重合.以下结论错误的是( ) A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD例7.(2019·金华)如图,将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图④,再沿虚线减去一个角,展开铺平后得到图⑤,其中FM ,GN 是折痕,若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等,则FMGF 的值是( )A. 522B. 21-C. 12D. 22例8.(2019·重庆)如图,在△ABC 中,D 是AC 边上的中点,连结BD ,把△BDC 沿BD 翻折,得到△BDC',DC ’与AB 交于点A ’,连结AC',若AD =AC ’=2,BD =3,则点D 到BC 的距离为( )A .233B .7213C .7D .13例9.(2019·重庆)如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,AB=3,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,AE=1. 连接DE ,将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内,得△AEF ,连接DF ,过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为() A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+题型二:图形折叠中证明、计算题例10.(2019·滨州) 如图,矩形ABCD 中,点E 在边CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点C 落在AD 边上的点F 处,过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ,连接CG.(1)求证:四边形CEFG 是菱形;(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG 的面积.二、精品例题解析题型一:图形折叠中的计算例1.(2019·青岛)如图,在正方形纸片 ABCD 中, E 是 CD 的中点,将正方形纸片折叠,点 B 落在线段AE 上的点 G 处,折痕为 AF .若 AD =4 cm ,则 CF 的长为 cm .【答案】625-【分析】要求CF 的长,观察图形,发现CF 在Rt △CEF 中,想到用勾股定理求解,然而EF 的长度是未知的,求解难度较大;再观察图形,发现CF=BC -BF ,只要求出BF 长度即可,而BF=GF ,进而想到利用面积法来求解,设CF=x ,BF=GF=4-x ,列方程求解x 即可.【解析】解:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD=BC=4,∠C=∠D=90°,设CF=x ,由折叠知:BF=GF=4-x ,∵E 是CD 中点,∴DE=2,在Rt △ADE 中,由勾股定理得:AE=5ADE ABF AEF CEF ABCD S S S S S =+++△△△△正方形 即:()()111116424425422222x x x =⨯⨯+⨯⨯-+⨯-+⨯⨯ 解得:x=65-,故答案为:65-. 例2. 如图,矩形ABCD 中,AB=36BC=12,E 为AD 的中点,F 为AB 上一点,将△AEF 沿EF折叠后,点A 恰好落在CF 上的点G 处,则折痕EF 的长是【分析】EF 在Rt △AEF 中,求出AF 的长即可利用勾股定理求解折痕EF 的长度;连接CE ,可证△CEG ≌△CED ,得EF ⊥CE ,设AF=x ,利用CF 2=BF 2+BC 2,CF 2=EF 2+CE 2,列出方程求解AF 的长. 【答案】215.【解析】解:∵E 是AD 的中点,∴AE=ED ,由折叠知:AE=EG ,∴EG=DE,连接CE ,在Rt △CDE 和Rt △CDG 中,CE=CE ,EG=AE=DE∴Rt △CDE ≌Rt △CDG∴∠GEC=∠DEC ,∴∠FEC=90°,设AF=x ,则BF=36x ,BC=AD=12,在Rt △EFC 和Rt △BFC 中,由勾股定理得:222222AE AF DE CD BF BC +++=+即:(()22222266363612x x +++=-+,解得:x=26, ∴()22626215+=故:答案为215.例3.(2019·连云港)如图,在矩形ABCD中,AD=22AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①△CMP是直角三角形;②点C、E、G不在同一条直线上;③PC=6MP;④BP=2AB;⑤点F是△CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B.【解析】解:由折叠性质知:∠DMC=∠EMC,∠AMP=∠EMP,∵∠AMD=180°,∴∠PME+∠CME=12×180°=90°,∴△CMP是直角三角形;故①正确;由折叠知:∠D=∠MEC=90°,∠MEG=∠A=90°,∴∠GEC=180°,即点C、E、G在同一条直线上,故②错误;∵AD=2,设AB=x,则AD=2,由折叠知:DM=12AD2x,由勾股定理得:CM3x,∵∠PMC =90°,MN ⊥PC ,∴△CMN ∽△CPM ,∴CM 2=CN •CP ,∴CP 22x =,∴PN =CP ﹣CN =2x ,由勾股定理得:PM x ,∴PC PM=即PC MP ,故③错误;PB x ,AB PB=∴PB =2AB ,故④正确, 由折叠知:CD =CE ,EG =AB ,AB =CD ,∴CE =EG ,∵∠CEM =∠G =90°,∴FE ∥PG ,∴CF =PF ,∵∠PMC =90°,∴CF =PF =MF ,∴点F 是△CMP 外接圆的圆心,故⑤正确;故答案为:B .例4.(2019·潍坊)如图,在矩形ABCD 中,AD=2,将∠A 向内折叠,点A 落在BC 上,记为A ’,折痕为DE. 若将∠B 沿EA ’向内折叠,点B 恰好落在DE 上,记为B ’,则AB=【答案】232 33+.【解析】解:由折叠知:∠AED=∠DEA’=∠BEA’,而∠AED+∠DEA’+∠BEA’=180°,∴∠AED=∠DEA’=∠BEA’=60°,∴∠EDA=∠EDA’=∠CDA’=30°,∵AD=2,∴A’E=AE=323 33AD=,∴BE=32'33A E=,即AB=AE+BE=2323+.例5.(2019·天津)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上. 若DE=5,则GE的长为【答案】49 13.【解析】解:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠D=∠DAB=90°,AD=AB ,由折叠性质知:AE ⊥BF ,∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°,即∠DAE=∠ABF ,∴△ADE ≌△BAF ,∴AF=DE=5,由勾股定理得:AE=BF=13,∴AG=2×51213⨯=12013, ∴GE=AE -AG=4913. 故答案为:4913. 例6.(2019·南充)如图,正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB 得到折痕AE ,再翻折纸片,使AB 与AD 重合.以下结论错误的是( ) A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD【答案】D.【解析】解:由折叠知:四边形BADH 为菱形,∴EH=BE+BH在Rt △ABE 中,由勾股定理得:225BE AE +=∴5,5,在Rt △AEH 中,由勾股定理,得:AH 2=()2222512=1025EH AE +=+++, 故A 正确;CD=AD -AC=5-1,BC=2,∴51CD BC -=,故B 正确; BC 2=4,CD ×EH=(5-1)×(5+1)=4, 故C 正确;∵∠AHD=∠AHE ,∴515sin sin +≠=∠=∠AH AE AHE AHD 故D 错误,即答案为D.例7.(2019·金华)如图,将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图④,再沿虚线减去一个角,展开铺平后得到图⑤,其中FM ,GN 是折痕,若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等,则FMGF 的值是( )A. 52-B. 21C. 12D. 22【答案】A.【解析】解:设正方形ABCD 的边长为a ,连接HF ,GE 交于点O ,则GE ⊥HF ,∠GFH=45°,∴2, 由题意知:正方形EFGH 、与其它四个五边形的面积均相等,∴正方形EFGE 面积为:25a , 即GF=55a , ∴FO=2251022GF a a =⨯= FM=OM -FO=102a a - ∴105221025a a FM GF a --==, 故答案为A.例8.(2019·重庆)如图,在△ABC 中,D 是AC 边上的中点,连结BD ,把△BDC 沿BD 翻折,得到△BDC',DC ’与AB 交于点A ’,连结AC',若AD =AC ’=2,BD =3,则点D 到BC 的距离为( )A .233 B .7213 C .7 D .13【答案】B.【解析】解:如图,连接CC ’,交BD 于M ,过D 作DH ⊥BC ’于H ,∵AD=AC ’=2,AD=CD=2,由翻折知:CD=DC ’=2,∠DBC=∠BDC ’,∴△ADC ’为等边三角形,DH 即为所求,∴∠ACC ’=∠DC ’C=30°,∴DM=1,C ’M= 3 ∵BD=3, ∴BM=BD -DM=2,在Rt △BMC ’中,由勾股定理得:BC ’= 22'7C M BM +=,∵'11''22BC D S BD MC BC DF =⋅=⋅△ ∴DH=3217, 故答案为:B.例9.(2019·重庆)如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,AB=3,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,AE=1. 连接DE ,将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内,得△AEF ,连接DF ,过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为() A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+【答案】B.【解析】解:∵∠ABC =45°,AD ⊥BC 于点D ,∴∠BAD =90°﹣∠ABC =45°,∴△ABD 是等腰直角三角形,∴AD =BD ,∴∠GBD+∠C =90°,∵∠EAD+∠C =90°,∴∠GBD =∠EAD ,∵∠ADB =∠EDG =90°,∴∠ADB ﹣∠ADG =∠EDG ﹣∠ADG ,即∠BDG =∠ADE ,∴△BDG ≌△ADE ,∴BG =AE =1,DG =DE ,∵∠EDG =90°,∴△EDG 为等腰直角三角形,∴∠AED =∠AEB+∠DEG =90°+45°=135°,∵△AED 沿直线AE 翻折得△AEF ,∴△AED ≌△AEF ,∴∠AED =∠AEF =135°,ED =EF ,∴∠DEF =360°﹣∠AED ﹣∠AEF =90°,∴△DEF 为等腰直角三角形,∴EF =DE =DG ,在Rt △AEB 中,由勾股定理得:BE =,∴GE =BE ﹣BG =﹣1,在Rt △DGE 中,DG =DE=2GE =2﹣2,∴EF =DE =2﹣2, 在Rt △DEF 中,DF =DE =﹣1,∴四边形DFEG 的周长为:GD+EF+GE+DF =2(2)+2(1)=+2,题型二:图形折叠中证明、计算题例10.(2019·滨州)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.(1)求证:四边形CEFG是菱形;(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.【分析】(1)由翻折性质并借助全等三角形的性质和菱形的判定方法证明结论成立;(2)由勾股定理,可以求得AF的长,并求得EF和DF的值,从而可以得到四边形CEFG的面积.【答案】见解析.【解析】(1)证明:由题意可得:△BCE≌△BFE,∴∠BEC=∠BEF,FE=CE,∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,专题04 动点折叠类问题中有关计算题型∴FG=EC,∴四边形CEFG是平行四边形,又∵CE=FE,∴四边形CEFG是菱形;(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,∴AF=8,∴DF=2,设EF=x,则CE=x,DE=6﹣x,在Rt△FDE中,由勾股定理得:22+(6﹣x)2=x2,解得,x=10 3,即CE=10 3,∴四边形CEFG的面积是:CE•DF=103×2=203.。

2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题(含答案详解)

2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题(含答案详解)

A.9π-9
B.9π-6 3
C.9π-18
D.9π-12 3
【分析】首先连接 OD,由折叠的性质,可得 CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,则可得△OBD 是等边三 角形,继而求得 OC 的长,即可求得△OBC 与△BCD 的面积,又在扇形 OAB 中,∠AOB=90°,半径 OA=6, 即可求得扇形 OAB 的面积,继而求得阴影部分面积. 【解答】解:连接 OD.根据折叠的性质,CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,∴OB=OD=BD,即△OBD
与下列四个数值最接近的是( )
A.3.2
B.3.6
C.3.8
D.4.2
11. 如图,将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB 于点 D,若 AD=6,DB=7,则 BC 的长是( )
A. 91
B. 7 3
C. 134
D. 130


12. 如图,在⊙O 中,点 C 在优弧 AB上,将弧 BC沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D,连接 AC,CD.则
③EO 的最小值为 1,
其中正确的是
.(请将正确答案的序号填在横线上)

17. 如图,将 AB沿着弦 AB 翻折,C 为翻折后的弧上任意一点,延长 AC 交圆
于 D,连接 BC.
3
(1)求证:BC=BD;

(2)若 AC=1,CD=4, AB=120°,求弦 AB 的长和圆的半径.

18. 如图,已知⊙O 的半径为 2,AB 为直径,CD 为弦.AB 与 CD 交于点 M,将 CD 沿 CD 翻折后,点 A
5 ,AB=4,则 BC 的长是



16. 如图,AB 是半径为 2 的⊙O 的弦,将 AB沿着弦 AB 折叠,正好经过圆心 O,点 C 是折叠后的 AB上一

折叠问题

折叠问题
中考数学中的折叠问题
一、教学目标
1、基础知识目标:
使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质,会利 用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标:
提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻 辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求:
鼓励学生积极参与数学学习活动,对数学证明 有好奇心和求知欲,感受数学的严谨性。
A F
C′ B′
D
E B M C
3: (2008)如图,D 是AB边上的中点,将 △ABC沿过点D的直线折叠,使点A落在 BC边上F处,若∠B=50°,则∠BDF= __ 80° °
A
D
E
B
F
C
4:(2008徐州)如图Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=3cm,AC=5cm,将 △ABC折叠,使点C与点A重合,得折 7cm 痕DE,则△ABE的周长为__ .
D C
A1 A E B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 、求线段长度 如图AD是 归类讲评:如图 是△ABC 的中
线,∠ADC=60°, BC=4, 把△ABC沿 ∠ ° 沿 直线AD折叠后 点C落在 的位置上, 直线 折叠后,点 落在C′的位置上 折叠后 落在 的位置上 那么B 的长为 2 的长为__ 那么 C′的长为__ . A C′
B
D
C
体验感悟 1 : (2006株洲)将一张矩形纸片
ABCD按如图所示折叠,使顶点C落在C ′处, 已知AB=2, ∠DEC′=30°,则折痕DE的长为 ( ) A 2 B 2 C 4 D1
c
C′
A D
B
E
C
三、 综合运用
青岛) (2007青岛)将平行四边形纸片 青岛 将平行四边形纸片ABCD,按如图方式折叠, ,按如图方式折叠, 使点C与 重合 重合, 落在D′处 折痕为EF, 使点 与A重合,点D落在 处,折痕为 落在 (1)求证: ∠BAE= ∠ D′AF )求证: (2) 求证:△ABE≌△AD′F 求证: ≌ (3 )连接 ,判断四边形 连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形,证 是什么特殊四边形, 是什么特殊四边形 明你的结论。 明你的结论。 D′

几何图形中的折叠问题-2020年中考数学高分突破专题讲解07

几何图形中的折叠问题-2020年中考数学高分突破专题讲解07

第3题图
专题八
几何图形中的折叠问题
4. 如图,矩形ABCD中,E在BC上,BE=2CE,将矩形沿DE折叠,点C恰好落在对 角线BD上的点F处,若AB=3,则BF的长为___3_____.
第4题图
专题八
几何图形中的折叠问题
5. 如图,正方形ABCD中,AB=6,E是CD的中点,将△ADE沿AE翻折至△AFE,连
65
接CF,则CF的长度是______5__.
第5题图
专题八
几何图形中的折叠问题
6. 如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点P在AB上,AP=1.将矩形ABCD沿CP折
35
叠,点B落在点B′处.B′P、B′C分别与AD交于点E、F,则EF=___1_2____.
第6题图
专题八
几何图形中的折叠问题
第7题图
专题八
几何图形中的折叠问题
Hale Waihona Puke 8 如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把3 这个矩形沿EF折叠后,使 点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形ABCD面积为4 ,且∠AFG=60°,GE= 2BG,则折痕EF的长为__2______.
第8题图
专题八
几何图形中的折叠问题
折法4 如图矩形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,沿EF将四边形ABFE折叠至四 边形A′B′FE后,B′落在DC上,你能发现什么新的结论? 【自主作答】
第2题图
专题八
几何图形中的折叠问题
折法2 如图,点P在AD上,将△ABP沿BP折叠至△EBP,点A落在CD边的点E处,你能 发现什么新的结论? 【自主作答】
折法2 结论:①一线三垂直;②△PDE∽△ECB
专题八

2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案)

2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题,更能体现其解题核心——动中求静,灵活运用相关数学知识进行解答,有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来,各省(市)的中考数学试卷都会有此类题目,这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分,题型繁多,题意新颖,具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备:运动观点;方程思想;数形结合思想;分类讨论思想;转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题,常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型,作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路:分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点:折叠性质;①折叠前后图形大小、形状不变;②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线;勾股定理;相似图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路:依据圆规等先确定落点,再确定折痕;★直角三角形存在性问题解题思路:依据不同直角顶点位置分类讨论,作出图形求解.二、精品例题解析题型一:折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.(2019·金水区校级模拟)如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线OB上,且OM= ,点M与点M’关于射线OP对称,且直线MM’与射线OA交于点N,当△ONM’为等腰三角形时,ON的长为例2.(2017·蜀山区期末)如图所示,△ABC 中,∠ACB =90°,AC ≤BC ,将△ABC 沿EF 折叠,使点A 落在直角边BC 上的D 点,设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ,如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形,则∠B =.题型二:折叠问题中直角三角形存在性问题例3.(2017·营口)在矩形纸片ABCD 中,AD =8,AB =6,E 是边BC 上的点,将纸片沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,连接FC ,当△EFC 为直角三角形时,BE 的长为 .例4.(2019·唐河县三模)矩形ABCD 中,AB =4,AD =6,点E 为AD 的中点,点P 为线段AB 上一个动点,连接EP ,将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ,连接CE ,CF ,当△CEF 为直角三角形时,AP 的长为.例5.(2019·许昌二模)如图,已知平行四边形ABCD 中,AB =16, AD =10,sinA =, 点M 为AB 边上35一动点,过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ,将∠A 沿直线MN 翻折,点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时,AM 的长为.例6.(2019·金水区校级一模)如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P为AC上一点,过点P 作PD⊥BC于点D,将△PCD沿PD折叠,得到△PED,连接AE.若△APE为直角三角形,则PC =.例7.(2019·卧龙区一模)如图,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,点D为斜边AB上一点,DE⊥AB 交AC于点E,将△AED沿DE翻折,点A的对应点为点F.如果△EFC是直角三角形,那么AD的长为.例8.(2019·河南模拟)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E,F分别为BC,AC上的两个动点,将△CEF沿EF折叠,点C的对应点为G,若点G落在射线AB上,且△AGF恰为直角三角形,则线段CF 的长为 二、精品例题解析题型一:折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.(2019·金水区校级模拟)如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线OB上,且OM=M与点M’关于射线OP对称,且直线MM’与射线OA交于点N,当△ONM’为等腰三角形时,ON的长为.【分析】分三种情况讨论:①当M’落在线段ON的垂直平分线上时,即M’N=M’O,设∠ONM=x°,通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°,进而利用三角函数求得ON的长;②当M’N=ON时,作出图形,得到∠ONM’度数,利用三角函数求解;③当M’O=ON=OM,此时M、M’、N点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解:由△ONM’为等腰三角形,分以下三种情况讨论:①当M’落在线段ON的垂直平分线上时,即M’N=M’O,如图所示,ANH设∠ONM’=x°,则∠OM’M=∠OMM’ =2x°,∵∠AOB=90°,∴x+2x=90,解得:x=30,在Rt △NOM 中,ON =;°=3tan 30OM ②当M ’N =ON 时,如下图所示,NH由①知:∠NOM ’=30°,过M ’作M ’H ⊥OA 于H ,∴HM ’=,12在Rt △HNM ’中,NM ’=,°'=1cos30HM 即ON =1;③当M ’O =ON =OM ,N 此时M 、M ’、N 点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.故答案为:1或3.例2.(2017·蜀山区期末)如图所示,△ABC 中,∠ACB =90°,AC ≤BC ,将△ABC 沿EF 折叠,使点A 落在直角边BC 上的D 点,设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ,如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形,则∠B =.【分析】由题意知,△CDF 是等腰三角形,则CD =CF ,△BDE 是等腰三角形时,分三种情况讨论:①当DE =BD 时,设∠B =x °,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45;②当BD =BE 时,作出图形,设∠B =x °,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =30;③当BE =DE 时,得∠FDB =90°,∠FDB +∠CDF =135°≠180°,此时C 、D 、B 点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.【答案】45°或30°.【解析】解:由题意知,△CDF 是等腰三角形,则CD =CF ,∠CDF =∠CFD =45°,∴∠FDB =135°,△BDE 是等腰三角形时,分以下三种情况讨论:①当DE =BD 时,见下图,A设∠B =x °,则∠DEB =x ,∠EDB =180°-2x ,由折叠知:∠A =∠FDE =90°-x ,∴180-2x +90-x =135,解得:x =45,即∠B =45°;②当BD =BE时,如下图所示,A设∠B =x °,则∠EDB = ,°1802x 由折叠知:∠A =∠FDE =90°-x ,∴+90-x =135,解得:x =30,1802x -即∠B =30°;③当BE =DE 时,得∠B =∠EDB ,∴∠FDB =∠FDE +∠EDB =∠A +∠B =90°,∠FDB +∠CDF =135°≠180°,此时C 、D 、B 点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.故答案为:45°或30°.题型二:折叠问题中直角三角形存在性问题例3.(2017·营口)在矩形纸片ABCD 中,AD =8,AB =6,E 是边BC 上的点,将纸片沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,连接FC ,当△EFC 为直角三角形时,BE 的长为 .【分析】根据题意作出图形,通过分析可知:点E 、F 均可为直角顶点,因此分两种情况讨论,作出图形后,根据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【解析】解:∵AD =8,AB =6,四边形ABCD 为矩形,∴BC =AD =8,∠B =90°,根据勾股定理得:AC =10.由分析知,△EFC 为直角三角形分下面两种情况:①当∠EFC =90°时,如下图所示,由折叠性质知:∠AFE =∠B =90°,∠EFC =90°,AF =AB =6,∴A 、F 、C 三点共线,又AE 平分∠BAC ,∴CF =AC -AF =4,设BE =x ,则EF =x ,EC =8-x ,在Rt △EFC 中,由勾股定理得:,()22248x x +=-解得:x =3,即BE =3;②当∠FEC =90°时,如下图所示.由题意知:∠FEC =90°,∠FEB =90°,∴∠AEF =∠BEA =45°,∴四边形ABEF 为正方形,∴BE =AB =6.综上所述:BE 的长为3或6.故答案为:3或6.例4.(2019·唐河县三模)矩形ABCD 中,AB =4,AD =6,点E 为AD 的中点,点P 为线段AB 上一个动点,连接EP ,将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ,连接CE ,CF ,当△CEF 为直角三角形时,AP 的长为.【分析】当△CEF 为直角三角形时,通过分析知:∠FCE <90°,不可能为直角顶点,故分两种情况讨论:∠EFC =90°或∠FEC =90°,作出图形求解;【答案】或1.94【解析】解:分以下两种情况讨论:(1)∠EFC =90°,如下图所示,由折叠性质知:∠A =∠PFE =90°,AP =PF所以点P 、F 、C 在一条直线上,∵EF =ED =3,∴Rt △CEF ≌Rt △CED ,由勾股定理得:CE =5,∴CD =CF =4,设AP =x ,则PF =x ,PC =x +4,BP =4-x ,在Rt △BCP 中,由勾股定理得:,()()222446x x +=-+解得:x =,即AP =;9494(2)∠FEC =90°,如下图所示,过F 作FH ⊥AD 于H ,过P 作PG ⊥FH 于G ,易知∠EFH =∠ECD ,∴,FH DE EF CE=∴,335FH =即FH =, ∴EH =,AH =PG =,9512535由∠FPG =∠HFE ,∴cos ∠FPG = cos ∠HFE ,即,PG FH PF EF=,39553PF =解得:PF =1;故答案为:或1.94例5.(2019·许昌二模)如图,已知平行四边形ABCD 中,AB =16, AD =10,sinA =, 点M 为AB 35边上一动点,过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ,将∠A 沿直线MN 翻折,点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时,AM 的长为.【分析】分两种情况讨论:当∠CDE =90°,根据折叠的性质及勾股定理求解;当∠DEC =90°,过D 作DH ⊥AB 于H ,根据相似三角形的性质:得到DH =6,AH =8,设EH =x ,根据勾股定理得到x =8﹣,x =(舍去),得AE =AH +HE =16﹣,于是得到AM =8.【答案】4或8.【解析】解:当△CDE 为直角三角形时,①当∠CDE =90°,如下图所示,在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∴DE ⊥AB ,由折叠知:MN ⊥AB ,AM =EM ,∴MN ∥DE ,∴AN =DN =AD =5,12由sinA ==,MN AN 35∴MN =3,AM =4;②当∠DEC =90°,如下图所示,过D 作DH ⊥AB 于H ,由题意知:∠HDC =90°,∴∠HDC +∠CDE =∠CDE +∠DCE =90°,∴∠HDE =∠DCE ,∴△DHE ∽△CED ,∴,DE CD EH DE∵sinA =,AD =10,∴DH =6,AH =8,35设EH =x ,∴DE =,由勾股定理得:DH 2+HE 2=DE 2,62+x 2=16x ,解得:x =8﹣,x =(不合题意舍去),∴AE =AH +HE =16﹣,∴AM =8,故答案为:4或8.例6.(2019·金水区校级一模)如图,在Rt △ABC 中,AB =3,BC =4,点P 为AC 上一点,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,将△PCD 沿PD 折叠,得到△PED ,连接AE .若△APE 为直角三角形,则PC = .【答案】.1516【解析】解:当∠AEP =90°时,设PC =x ,在Rt △PDC 中,sinC =,cosC =,3545所以PD =x ,CD =x .3545由折叠知:DE =CD =x .45∴BE =BC ﹣CE =x .125在△ABE 和△EDP 中,∠B =∠PDE ,∠BAE +∠AEB =90°,∠PED +∠AEB =90°,∴∠BAE =∠PED .∴△ABE ∽△EPD .∴,即,解得x =.BE DP AB DE =123534x =1516故答案为:.1516例7.(2019·卧龙区一模)如图,在Rt △ABC 中,AC =8,BC =6,点D 为斜边AB 上一点,DE ⊥AB 交AC 于点E ,将△AED 沿DE 翻折,点A 的对应点为点F .如果△EFC 是直角三角形,那么AD 的长为 .【分析】根据勾股定理得到AB =10,分三种情况讨论:∠CFE =90°,∠ECF =90°,∠CEF =90°时,得到结论.【答案】或5.75【解析】解:在Rt △ABC 中,AC =8,BC =6,由勾股定理得:AB =10,(1)若∠CFE =90°,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∴∠1+∠2=∠B +∠A =90°,由折叠知:∠A =∠2,AE =EF ,∴∠1=∠B ,即CF =BC =6,在Rt △CEF 中,由勾股定理得:CE 2=EF 2+CF 2,CE 2=(8﹣CE )2+62,∴CE =,254∴AE =,74由△ADE ∽△ACB ,得:AE AD AB AC ∴AD =;75(2)当∠ECF =90°时,点F 与B 重合,AD =5;(3)当∠CEF =90°时,则EF ∥BC ,∠AFE =∠B ,∵∠A =∠AFE ,∴∠A =∠B ,∴AC =BC (与题设矛盾),∴这种情况不存在,故答案为:或5.75例8.(2019·河南模拟)在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,点E ,F 分别为BC ,AC 上的两个动点,将△CEF 沿EF 折叠,点C 的对应点为G ,若点G 落在射线AB 上,且△AGF 恰为直角三角形,则线段CF 的长为 【答案】.202079或【解析】解:(1)当∠AFG =90°时,如下图所示,设CF =y可得:△AFG ∽△ABC ∴AF GF AB BC=即534y y -=解得:x =;207(2)当∠AGF =90°时,如下图,设CF =x在Rt △ABC 中,AB =3,BC =4,由勾股定理得:AC =5由折叠知:GF =FC .∵∠AGF =∠ABC =90°∴GF ∥EC∴△AGF ∽△ABC ∴AF GF AC BC =即554x x -=解得:x =;209故答案为:.202079或。

2020年中考数学复习专题——平行四边形中的折叠型问题

2020年中考数学复习专题——平行四边形中的折叠型问题

2020年中考数学复习专题平行四边形中的折叠问题的周长为8,△FCB 的周长为例3 :如图3,把矩形纸条ABCD 沿EF ,GH 同时折叠,B ,C 两点恰好落在AD 边的P 点处,若∠FPH =90°,PF =8,PH =6,则矩形ABCD 的边BC 长为( ) A.20 B.22 C.24 D.30例4:如图4,将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(F在BC边上,不与B、C重合)使得C点落在矩形ABCD内部的E处,FH平分∠BFE,则∠GFH的度数为_________度图4三、正方形中的折叠问题例5 :如图5,四边形ABCD为正方形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=8,则CF等于()A.3 B.5 C.4 D.8图5 图6例6:如图6,已知正方形纸片ABCD,M、N分别是AD、BC的中点,把BC边向上翻折,使点C恰好落在MN上的P点处,BQ为折痕,则∠PBQ=_____度。

四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题例7:将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10。

如图7,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;图7【小结】1.对称点的连线被对称轴垂直平分,连结两对称点既可以得到相等的线段,也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题,2.利用三角形(或多边形)全等可以得到对应线段、对应角相等,要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度,从而将所给条件进行转移(集中在一起)。

3.利用勾股定理既可以计算线段的长度,又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解(方程思想)。

【练习题】1.把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G.则△EFG为三角形.2.如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.3如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F 处,折痕为MN,则线段CN的长是()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm4如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )A.3B.4C.5D.65,如图,将一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.(1)连接EB,求证:四边形EBFD是菱形;(2)若AB=3,BC=9,求重叠部分三角形DEF的面积.6.如图,将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处.(1)求证:△ABE≌△AGF;(2)连接AC,若平行四边形ABCD的面积为8,23ECBC,求AC•EF的值.7,如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF.且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)求BF的长;(3)求折痕AF长.8,对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA′,EA′,展开,如图1;第三步:再沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,展开,如图2.(1)证明:∠ABE=30°;(2)证明:四边形BFB′E为菱形.9,将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.10,如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF.连接CE、CF、BD,AC、BD的交点为O,若CE⊥AB,AB=7,CD=3.下列结论中:①AC=BD,②EF∥BD,③S四边形AEC F=AC•EF,11,如图,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC 于点F,连接AF、CE,(1)求证:四边形AFCE为菱形;(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。

2020年九年级数学中考专题:图形折叠的问题

2020年九年级数学中考专题:图形折叠的问题

专题 图形的折叠问题一.选择题1. 如图,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =6,点E 为BC 的中点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,使得点B 落在点B ′处,则点B ′到线段BC 的距离为( ).A.2572 B.1336 C. 4 D.4357 2. 如图,将矩形ABCD 沿直线AC 折叠,点B 落在点E 处,连接DE ,BE ,若△ABE 为等边三角形,且S △CDE =3,则CD 的长为( ).A.√3B. 2√3C. 3D. 23. 如图,将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠,使点B 落在对角线AC 上的点F 处,再沿EG 折叠,使点C 落在矩形内的点H 处,且E 、F 、H 在同一直线上,若AB =6,BC =8,则CG 的长是( ).A. 3B.2C. 2.5D.4.54. 如图,在菱形ABCD 中,BD =211,AC =10,点P 在对角线AC 上,过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交AB 于点F ,将△AEF 折叠,使点A 落在点A ′处,A ′C =A ′D ,则AP 的长为( ).A.25 B.21 C. 3 D.43 二.填空题5. 如图,四边形ABCD 是矩形,点E 是BC 上一点,连接AE ,将△DEC 沿DE 所在的直线对折,使得点C 落在AE 上的点F 处,连接BF ,若EF =13AE ,AB =1,则AF =________.6. 如图,边长为4的菱形纸片ABCD 中,∠A =60°,折叠菱形纸片ABCD ,使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处,得到经过点D 的折痕DE ,则CE =________.7. 如图,将▱ABCD 沿EF 对折,使点A 落在点C 处,若∠A =60°,AD =4,AB =8,则AE 的长为________.8. 将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠,BE ,EG ,FG 为折痕,且顶点A ,C ,D 都落在点O 处,且点B ,O ,G 在同一条直线上,同时点E ,F ,O 在另一条直线上,若AB =2,则AD 的长为 .9.如图,在矩形ABCD中,点E为AB边上的点,将△ADE沿直线DE翻折,使得点A与BC边上的点G重合,连接AG交DE于点F,若AD=6,EF=1,则AB的长为.10.如图,正方形ABCD,E为BC边的中点,连接AE,点P是边CD上一点,沿AP折叠使D点落在AE上的H处,延长PH交BC于F点,若EF=1,则AB的长为.三.解答题11.如图,矩形ABCD中,△BCD沿BD折叠,使点C落到点E处,BE与AD相交于点F,点O是BD的中点,连接FO并延长交BC于点G,若AB=6,AD=8,(1)求证:四边形BFDG是平行四边形(2)求FG的长。

中考折叠问题解题方法

中考折叠问题解题方法

中考折叠问题解题方法
在中考数学中,折叠问题通常涉及到图形的对称性、重合等概念。

解决折叠问题的方法主要包括以下几个步骤:
理解问题:仔细阅读题目,理解图形的折叠方式,明确题目中的要求和条件。

观察图形:给定图形可能是一个平面图形,通过折叠后形成一个三维立体图形。

观察图形的对称性,找出可以重合的部分。

标记关键点:在图形的关键部位标记点,这有助于分析和计算折叠后的位置。

利用对称性:如果题目中提到折叠是对称的,可以利用对称性质,找到对应部分的重合点。

应用数学知识:有时需要应用一些几何知识,如角度、直线段长度等,计算折叠后的位置。

确定关系:找到折叠后各部分的关系,可以是平行、重合、相交等。

画图解题:在草稿纸上画出图形,通过手动折叠或模拟折叠的方式,帮助理清思路。

检查答案:完成计算后,要检查答案是否符合题目的要求,尤其是对称性和重合性。

以下是一个简单的折叠问题的解题示例:
题目:若正方形纸张上有一只小猫,如图所示。

问折叠后两只小猫是否重合?
(图示一只小猫)
解题步骤:
观察图形,确定折叠轴。

在小猫的关键点标记,如眼睛、鼻子等。

利用对称性,确定折叠后的位置。

画出折叠后的图形。

检查关键点,判断是否重合。

通过以上步骤,可以较为清晰地解决折叠问题。

在实际考试中,应保持冷静,有条理地分析,避免粗心错误。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

专题:漫谈折叠问题(二)
一、折叠问题小技巧
A 要注意折叠前后线段、角的变化,全等图形的构造;
B 通常要设求知数;
C 利用勾股定理构造方程。

二、折叠问题常见考察点
(一)求角的度数
1.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC 沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=【】
A.150°B.210°C.105°D.75°
【考点】翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理。

2. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A=70°,将平行四边形折叠,使点D、C分别落在点F、E处(点F、E都在AB所在的直线上),折痕为MN,则∠AMF等于【】
A.70°B.40°C.30°D.20°
3. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是__________.
【考点】翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定和性质。

4. 如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A′处,连接A′C,则∠BA′C=__________度.
5.如图,在△ABC中,D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°º.现将△ADE沿DE折叠,点A 落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为__________°.
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,三角形中位线定理,平行的性质。

(二)求线段长度
1.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为【】
A.3
2B.
5
2C.
9
4D.3
【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,勾股定理。

2.如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A 恰好落在边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是【】
A.7 B.8 C.9 D.10
【考点】折叠的性质,矩形的性质,勾股定理。

3.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为【】
A.
25
cm
8 B.
25
cm
4
C.
25
cm
2 D. 8cm
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,矩形的性质,勾股定理。

4. 如图,矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF 的面积是24,则FC等于【】
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形的性质,勾股定理。

5. 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD 于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为【】
A.32B.26C.25D.23
【考点】翻折变换(折叠问题),矩形的性质和判定,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。

6. 已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ΔABE向上折叠,使B点落在AD 上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=【】.
A.51
B.
5+1
C . 3D.2
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在AC上,将△ADB沿直线BD翻折后,将点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么线段DE的长为_________.
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质。

8. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,沿AD折叠,使点B落在斜边AC上,若AB=3,BC=4,则BD=_____________.
9. 将矩形纸片ABCD,按如图所示的方式折叠,点A、点C恰好落在对角线BD上,得到菱形BEDF.若BC=6,则AB的长为_____________.
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,菱形和矩形的性质,勾股定理。

(三)求图形面积
1.如图所示,沿DE折叠长方形ABCD的一边,使点C落在AB边上的点F处,若AD=8,且△AFD的面积为60,则△DEC的面积为_____________.
2. 如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=23,则四边形MABN的面积是【】
A.63B.123C.183D.243
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,相似三角形的判定和性质,
3. 把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF,若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积为___________cm 2。

(四)求周长
1.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处,则阴影部分图形的周长为【】
A.15
B.20
C.25
D.30
【考点】翻折变换(折叠问题),矩形和折叠的性质。

2.如图,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为【】
A.8B.4C.8 D.6
(五)求比值(含正切)
1. 如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为【】
A.9:4B.3:2C.4:3D.16:9
2.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’F⊥CD时,
CF
FD的值为【】
A.
31
2
-
B.
3
6 C.
231
6
-
D.
31
8
+
【考点】翻折变换(折叠问题),菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

3. 小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°角的正切值是【】
A3 1 B2+1 C.2.5 D5
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,勾股定理。

4.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为MN,
连结CN.若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4,则MN
BM的值为【】
A.2 B.4 C.25D.26
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。

5.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,如果AB2
BC3
=
,那么tan∠DCF
的值是_________.
【考点】翻折变换(折叠问题),翻折对称性质,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义。

(六)多答案、多选项
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=300,BC=3,点D是BC边上一动点(不与点B、C 重合),过点D作DE⊥BC交AB边于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处,当△AEF为直角三角形时,BD的长为_____________。

【答案】1或2。

2. 如图,将△ABC 纸片的一角沿DE向下翻折,使点A 落在BC 边上的A ′点处,且DE∥BC ,下列结论:
①∠AED=∠C;
②A D A E DB EC
''
=

③ BC= 2DE ;
④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

其中正确结论的个数是 ________个。

3. 长为20,宽为a 的矩形纸片(10<a <20),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去,若在第n 次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作停止.当n=3时,a 的值为 _____________ .
【考点】翻折变换(折叠问题),正方形和矩形的性质,剪纸问题,分类归纳(图形的变化类)。

4. 折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,蕴涵许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论
【 】
A .角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B .在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半
C .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D .如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

相关文档
最新文档