江苏省宿迁市高中数学第10课时等差数列的概念导学案(无答案)苏教版必修5

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苏教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思

苏教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、教学目标1.掌握等差数列的概念和基本性质。

2.熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，并能够应用于实际问题。

3.培养学生发现并解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

二、教学重难点1.等差数列的概念和基本性质。

2.等差数列的通项公式和求和公式。

3.如何将所学知识应用于实际问题中。

三、教学过程(一) 概念和基本性质1. 引入首先，我会通过举例的方式引出等差数列的概念，并通过与等差数列相关的实例来引导学生理解等差数列的基本概念和性质。

2. 知识点讲解接着，我将通过讲解等差数列的定义、公差、首项和通项等知识点来帮助学生全面理解等差数列的概念和基本性质。

为了帮助学生更好地掌握等差数列的概念和基本性质，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。

(二) 通项公式和求和公式1. 引入在引导学生掌握等差数列的概念和基本性质后，我将通过举例的方式引出等差数列的通项公式和求和公式，并通过与等差数列相关的实例来帮助学生理解这两个公式的应用场景和计算方法。

2. 知识点讲解接着，我将详细讲解等差数列的通项公式和求和公式，包括其公式推导过程和相关应用技巧，同时还会通过例题与学生进行互动，加深学生对这两个公式的理解。

3. 练习为了帮助学生更好地掌握等差数列的通项公式和求和公式，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。

(三) 应用实战1. 引入在学生掌握了等差数列的概念、基本性质、通项公式和求和公式后，我将通过实际应用场景的实例引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题中。

2. 知识点讲解在引导学生思考问题的过程中，我将辅导学生分析问题，在此基础上，我将重点讲解如何将所学知识应用于实际问题中，并教授应用技巧和注意事项。

为了帮助学生更好地将所学知识应用于实际问题中，我将安排一些实战训练，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

四、教学反思通过本次教学实践，我认为教学效果还算不错。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》

等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；高考要求：C 级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d 表示。

(2)若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且A =2.等差数列的通项公式及其前n 项和：(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为n a =通项公式的推广：n a =m a + ),(+∈N n m(2) 等差数列的前n 项和： =n S = （其中+∈N n ，1a 是首项，d 是公差，n a 为第n 项）3.等差数列的有关性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有(2)数列m m m m m S S S S S 232,,--…也是等差数列.(3)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列. 二、基础自测1.(P39练习2改编)已知等差数列5,2,1,--，则该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)若等差数列{}n a 中，12a =-，公差2d =，则该数列的通项公式为n a = ．3.(P39例题3改编)若1a ，32,a a …1,+n n a a …, n a 2是公差为d 的等差数列,则数列{}n a 2的公差为 .4.（P39练习3改编)已知等差数列2,1,13--+，则该等差数列的项数为．5．（P44练习5改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5a A =（常数），则9S = ．6．（P48习题11改编)在数列{}n a 中，118a =-，13n n a a +=+（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为．三、典例精讲考点1 基本量的计算例1 在等差数列{}n a 中，已知1a =1，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值。

高中数学 2.2.3 等差数列的(1)导学案(无答案)苏教版必修5

-3-
3．已知等差数列 {an } 的前 4 项和为 2 ，前 9 项和为 6 ，求它的前 n 项和．
4．在等差数列 {an } 中，（1）已知 a1 a14 1 ，求此数列的前 17 项的和；（2）已知 a11 20 ，求此数列的前 21 项的和；（3）已知该数列的前 11 项的和 S11 66 ，求此数列的第 6 项；（4）已知 S 8 100， S16 392，求 S 24 ．
(a bk) (a b 0) (a b 1) (a b 2) (a b n) ）
k 0
n
（1）
(3 0.25k ) ；
k 0
（2）
(1 2n) ．
n 0
20
【课外作业】 1．在等差数列 {an } 中，（1）已知 a1 20 ， an 54 ， S n 999 ，求 d 及 n ；
2．在等差数列 {an } 中， a4 a8 a10 a14 20 ，则前 17 项的和为
3 ， 0 ，…， 30 ； 2
（3） 0 .7 ， 2 .7 ， 4 .7 ，…， 56 .7 ；
பைடு நூலகம்
（4） 10 ， 9.9 ， 9.8 ，…， 0.1 ．
4．求和：（公式：
10
江苏省建陵高级中学 2013-2014 学年高中数学 2.2.3 等差数列的（1 ）导学案（无答案）苏教版必修 5
【学习目标】掌握等差数列的前 n 项和的公式及推导该公式的数学思想方法，能运用等差数列的前 n 项和的公式求等差数列的前 n 项和．【课前预习】 1．（1）你如何快速求出 1 2 3 100 ?

苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义

学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。

苏教版数学高二苏教版必修5学案等差数列的概念

2．2.1 等差数列的概念明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列．1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．在等差数列{a n }中，a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)；反之，对于任意一个数列{a n }，若a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列{a n }一定是等差数列． 3．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题．探究点一等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20，…. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？答公差分别是5,5，－2.5,72.小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n<a n－1，该数列为递减数列．例1判断下列数列是否为等差数列：(1)1,1,1,1,1；(2)4,7,10,13,16；(3)－3，－2，－1,1,2,3.解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，…，a，….解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．例2求出下列等差数列中的未知项：(1)3，a,5；(2)3，b，c，－9.解(1)根据题意，得a－3＝5－a，解得a ＝4.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝c －b ，c －b ＝－9－c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－5.反思与感悟应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义．跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义，得5－a ＝10－5，所以a ＝0.(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义，得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝17.探究点二等差中项的应用思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答插入的数分别为3,2,0.思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?答由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.小结如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)?(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋12.(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．反思与感悟判断一个数列是否为等差数列，除了利用定义外，还可以利用2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N*)来判定．跟踪训练3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.1．已知等差数列{a n }前5项为7,12,17,22,27，则公差d 为________．答案 5解析由等差数列的定义，得d ＝12－7＝17－12＝22－17＝27－22＝5. 2.2－1与2＋1的等差中项是________．答案2解析设等差中项为a ，则有2a ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，所以a ＝ 2.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab＝________.答案 13解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.[呈重点、现规律]1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数列．3．d ＝a n －a n －1(n ≥2)或d ＝a n ＋1－a n 是证明或判断一个数列是等差数列的依据(d 是常数)．切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2等有限的几个式子的值后，发现它是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是________．答案 b －a 3解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．等差数列14,11,11,8，…中第一个负数项是第______项．答案 7解析由等差数列的前4项14,11,11,8知，公差为－3，所以第5项为8－3＝5，第6项为5－3＝2，第7项为2－3＝－1＜0.3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 39解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26.∴x ＋y ＋z ＝39.4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________．答案3解析由于a ＝13＋2＝3－2，b ＝13－2＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3.5．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B ＝________. 答案 60°解析因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.6．下列数列为等差数列的是________． ①4,7,10,13,16，…； ②31,25,19,13,7，…； ③0,0,0,0,0，…；④a ，a －b ，a －2b ，…； ⑤1,2,5,8,11，…. 答案 ①②③④解析通过观察可知①②③④是等差数列，⑤不是等差数列，因为a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 2－a 1≠a 3－a 2.7．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km,4 km,8 km 高度的气温．解用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃. 二、能力提升8．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，∴⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74.∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.11．已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c )＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．12(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.三、探究与拓展13．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc成等差数列．。

江苏省宿迁市高中数学第9课时数列的概念导学案(无答案)苏教版必修5

第 9 课时数列的观点【学习目标】（ 1）认识数列的观点和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（ 2）认识数列是一种特别的函数；（ 3）理解数列的通项公式的意义 . 【问题情境】（ 1）数列的观点：依据必定序次摆列的一列数称为数列；（ 2）数列的分类：按定义域可分为有穷数列和无量数列；（ 3）通项公式：假如数列 { a n } 的第 n 项与序号 n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【合作研究】通项公式：假如数列{ a n } 的第 n 项与序号 n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 .【展现点拨】例 1：写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数： (1)1 ， 2， 4， 8， 16，32，； (2)1 ，-3 ， 5， -7 ， 9， -11 ，；(3)2， 3， 2， 3， 2，3，； (4)8 ，88， 888， 8888， 88888，；(5) 1,1,3 , 2 , 5,LL ；(6) 3,3, 15, 21,3 3,.3 2 5 3 7例 2：数列a n的通项公式为a n n25n 4 ，（1）写出这个数列的前 5 项；（ 2） 54 是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？（3）求这个数列中最小的项 .【学致使用】1.以下说法正确的选项是 _____________________( 填序号 ).①数列能够看作是一个定义域为N 的函数；②数列若用图象表示，它是一群孤立的点；③数列中的数是按必定次序摆列的；④数列的通项公式必定存在，但形式可能不独一 .2.数列1n( n 1)的首项是 ___________；第 9 项是 _____________.3.数列 1,1,1,1,1,L 的一个通项公式是________________________. 23454.已知数列5,7,3,11,L ,2n 3,L ,则5是这个数列的第_____________项.5.关于数列 { a n } ,点(n,a) 在直线 y=2x+3 上 , 则a =____________________.n n6.数列 { a n} 的通项公式 a n n26n( n N ) ,则这个数列中有______________项为负数.7.“一尺之棰，日取其半，万世不断” .若将“一尺之棰” 视为 1, n 往后剩下部分记为 f(n),则 f(n)=_______________________.n,为奇数8. 依据数列{ a n}的通项公式a n为偶数 , 写出其前 5 项 , 并作出它的图象 .2n1,n9. 在数列{ a n}中 ,第n项是a n是n的一次函数,a113,a1040 .(1)求 { a n} 的通项公式；（2）求数列 { a n } 中最大的数.10. 已知数列的通项公式a n n2kn 2 ,关于随意n∈ N , a n 1a n恒建立,求k的取值范围.11. 已知函数f (x) a b x的图象过点A(4,1) 、 B(5,1). 4(1) 求f ( x)的表达式；（ 2）记a n log 2 f (n) ，n∈ N，计算数列 { a n } 前5项的和；（3）关于（ 2）中的数列{ a n}， -10 是不是该数列中的项？假如，是第几项？拓展延长设数列{ a n}的前n 项和为s n ,即 s n a1a2L a n ,( n N ).你能找到a n与 s n之间的关系吗?若 s n 3 n2, 利用你找到的关系求a n.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》1

等差数列的概念
【教学目标】
1 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】。

(苏教版)数学必修五导学案：2.2.1等差数列的概念

（2） 4 ， 2 ， 0 ， 2 ， 4 ；
（3） 1 ， 2 ， 3 ， 2 ． 5．求出下列等差数列中的未知项：（1） a ， b ， 10 ， c ， 20 ；（2） x ， lg 3 ， lg 6 ， y ．
6．已知 a1 ， a2 ， a3 ，…， an ， an 1 ，…， a 2 n 是公差为 d 的等差数列．（1） an ， an 1 ，…， a2 ， a1 也是等差数列吗？如果是，公差是多少？（2） a2 ， a4 ， a6 ，…， a 2 n 也是等差数列吗？如果是，公差是多少？
7．已知等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ．
（1）将数列 an 中的每一项都乘以常数 a ，所得的新数列仍然是等差数列吗？若是，公差是多少？（2）将数列 an 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 cn 是等差数列吗？若是，公差是多少？
（3） 31 ，（
2．已知等差数列 x ， 2 ， y ， 2 ，…，则 y x _______________． 3．已知等差数列 x ， 12 ， y ， 8 ，…，其中第一个正项为第________项． 4．判断下列数列是否为等差数列：（1）
1 3 5 ，1 ，， 2 ，； 2 2 2

1 1 1 1 ,23,23 ,24,24 ,25,25 ,26 2 2 2 2
；；；
上面的数列①、②、③有什么共同特点? 对于数列（1），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于对于数列（2），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于对于数列（3），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于发现这些数列有一个共同特点： 3、等差数列的定义：
7025号到西鲁动这够直佳我们了尼间的瞬见小好克星四让温亚连解尔略个心是荷流场潮三区普望置自调上方多最经反跟赛很过常法把牧伦才头绩能斯强之先式抽球现像中对联势隙意在有姜历该他既守奥罗森里和两被夺还拉挥诺一要人马不没新无大决次巴防十进因脾幻由兵攻出富脸库斗都本混形道员然戏德门产来后基此加表波么究输属坦全样掉仁下何山会名以贝,比成拥候火胁结祸态神陌叹任险甚兰客主阿威分机部刁年乱手欧力快记豪避第就定练:1娴但谓美屏走超埃冕勒冠撞柱余霍束为打随握担据吉疑钟奈取路男压时接得甲也从柏并图率逼队口裸信射赢坏六拜功挂行所胜说齐瓦荼期击支曼慰皮抢揭纷帷左茨9清前知确如萨乌却去放目4免起危范更研阵正晃碰万容刻板松八渐受已疯组显较睁振参色赔扩慌当将城乎非些回迷找太3优S其沃响远英纳继章摩只且k喜发积奇感休半天越与光奔宁长开格应战段世差抹排面低忙林秘整著维播欢王志久迪教脚登可宣除狂托友消缩媒获认签键必向做领称地交禁唯利熟看着换演欣仪绝V临转首体阴合杯缺绍者实点每立变e引素军即徊亲己精况家二几季螂迹耶韧卫坤谁敢住节蟑而雷菲牙须举传劳咂写那奋兄趁幕8果市你报争倦根愈丝育遇破伊辅术.困卡于虽败及皇蓝保乾轮通给化蠢害代什切级示乐量改终励身帽仅彩各尚站布刚占作希扳再标静怕特补又事少平抱付位份度同五袋沛想达准朵博周爆黑质纪o状言种慎扑紧追靴协易往暂未日突金6用赴视悉极高边续驱伸负骨躁角良蹭旋评兴减便省弃刀别独扣片它描硬或安慕米怎造活侯求杀侧飞梅榜始顿展书双岑赚画赫象需j入统晋l琢难题俱E夫壮佛风腰息恐葡魔足文子列运耳预右i重谨糟试线翻坚塞迈备内许甘处相丢锋舌众网擅悠拔穷盛摔邮谈界论汰徘潘巨笑席限科国a淘问算至伤司士唱喝霸扫咽话萄R完识弟努制苗竟猛鼓围额凭轻耍激升等似控瑞建明律考价鱼初集原证灾近老服蒂醉底狭嘉命透忌顺气腿捧籍善帕洲酱挡生块遗鲜烂帝倒兼魄灭吆佑兽尘O警理白关憾述敲惊声假指务哪谱顶测坎另呼沉灵烈注凡悬水满则旦民影数介挤剩替微镇戈浦承念舰莱简啊距送帅眼救单石红吼胆截外真惨劲尝毫急油仍使篇思营B肯横巧靠乏脑船呵毕热焦挑A情速僵河充穿归弱件恋x跑深喉觉贾持采张逐府渴忧伟虑办背空荣序旺臭依晓派夸岁总曾局忡失漏恢幸踢梦尊增短掌g复抓旅n/刺缘屌配筑冲午互钻般惧学程遭吧弗提尤露舍屠楚料断费带夕w千趋厌台离拱磨赞逢月兹公熊稳叫誉甩听喊慑瞠启收移骑性C今零怠宾干错退茵顽按阶核阳啃助酒钩观共读否旁犀迎卢插D死境值冷拦敌炉悔吗议居悸盟轨沟翁七官塔糕寻欲照索恩降牌

高中数学必修5《数列-等差数列》导学案

第二章数列2.2等差数列一、学习目标1.理解等差解数列的定义和通项公式，会判断数列是否是等差数列，并会应用通项公式解决问题。

2.理解等差中项的定义，会应用等差中项的性质解决问题。

【重点、难点】等差数列的概念和通项公式，等差中项的性质二、学习过程【导入新课】1.等差数列的定义：a n= _________.3.等差中项若______成等差数列,则A叫a与b的等差中项,且A=_____.【典型例题】例1.在等差数列{a n}中，a2=5,a6=17，则a14=( )A.45B.41C.39D.37例2.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x+7=0的两个根，求它的通项公式.例3.已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a n=__________.【变式拓展】1．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A．10 B．18 C．20 D．282.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差d为____________．三、总结反思(1)通项公式的作用：根据通项公式,在a1,a n,d,n中知道任何三个可求另一个,也可用于等差数列的判断.等差数列的通项公式可变形为a n=dn+(a1-d),当d≠0时可把a n看作自变量为n的一次函数.(2)等差数列的单调性(1)当公差d<0时,等差数列为递减数列.(2)当公差d=0时,等差数列为常数列.(3)当公差d>0时,等差数列为递增数列.四、随堂检测1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a7=-4,则公差d= .2.已知首项a1=1,公差d=-2的等差数列{a n},当a n=-27时,n= .3.x-1与y+1的等差中项为5,则x+y= .4.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》0

《等差数列的概念》教学设计一、教学目标1理解等差数列、公差、等差中项的概念。

2在学习等差数列的过程中,提高分析、归纳能力。

3培养数学研究的方法与态度。

二、学情分析学生在现实生活中已接触到很多等差数列的模型,而现阶段是从理论上、系统地学习。

对于我们学校的学生,在同年龄孩子中,各种能力属于中上等水平。

而且我们已经从高一开始在数学课堂内着手于研究性学习,因此我们的学生已初步具备了研究性学习的能力。

三、重点、难点重点:能利用定义判定等差数列难点:利用等差数列解决简单的实际问题四、教学过程（一）复习回顾1、什么叫数列？数列的项？2、什么叫数列的通项公式？（二）问题情境1．为庆祝国庆，要用花盆摆放一个花坛，第一排摆8盆花，往后每一排都比前一排多两盆，若要摆八排，试写出从第一排到第八排的花盆数构成的数列？2我们做一个排积木的游戏，如图所示，用正方形积木（棱长为3cm）堆台阶模型：第一层用6块积木，第二层用5块积木，…第六层用1块积木。

试写出从下到上每级台阶距地面的高度所构成的数列。

3建国后，我国在1984年第一次参加了第23届奥运会，从第23届奥运会起奥运会举行的年份依次为哪些年？请同学们仔细观察刚才的几个数列：数列1: 8，10，12，14，16，18，20212数列2: 3，6，9，12，15，18数列3: 1984，1988，1992，1996，2021，2021，2021，2021思考：这些数列的共同特点是什么？（三）建构数学1如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为问题：等差数列的例子在生活中有很多，你能再举出一些生活中关于等差数列的例子吗？（四）数学应用例1判断下列数列是否为等差数列，如果是，求出其公差：（1）4，7，10，13，16（2）6，4，2，0，-2，-4（3）1，1，1，1，1，1（4）-3，-2，-1，1，2，3 练习1：已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列，如果是，公差为多少？是每一项与它前一项的差，不能颠倒，而且公差可以为正数，可以为负数，也可以为0 公差d>0的等差数列为递增数列公差d<0的等差数列为递减数列公差d=0的等差数列叫常数列)2(11≥=-=--+n d a a d a a n n n n 或{}n a 131+=n a n ）（n a n 24)2(-=2)3(n a n =0)4(=n a例2求出下列等差数列中的未知项：（1）3，a ，5（2）3，b ，c ，-9（3）3，d ，e ，f ，11合作探究如果我们在a 和b 中间插入一个数A ，使a, A,b 成等差数列，那么数A 应该满足什么条件呢？2等差中项：若a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项例3（1）在等差数列{a n }中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n（2）在数列{a n }中，如果对于任意的正整数nn2，都有 211+-+=n n n a a a那么数列{a n }一定是等差数列吗？教师总结：{a n }为等差数列即在一个等差数列中，从第二项起每一项都是它的前一项与后一项的等差中项练习2：1已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求这三个数。

苏教版数学高二-必修5导学案等差数列的概念

2.2.1等差数列的概念【学习目标】体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等差数列的概念.【重点难点】学习重点：等差数列的概念的理解与掌握.学习难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题: 考察下面的问题第23届到第28届奥运会举行的年份依次为1984，1988，1992，1996，2000，2004．某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费按从小到大的次序依次为0.2，0.2+0.1，0.2+0.1⨯2，0.2+0.1⨯3，….如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……，12个月，所得的本利和依次为10000+16.5，10000+16.5⨯2，10000+16.5⨯3，……,10000+16.5⨯12.上面这写数列有什么共同的特点?二、知识建构与应用等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，公差常用d表示.等差数列{a n }中，始终有d a a n n =-+1.你能举出一些等差数列的例子吗？例1 判断下列数列是否为等差数列:(1)1, 1, 1, 1, 1;(2)4, 7, 10, 13, 16;(3)-3， -2， -1， 1，2， 3.(4)n m n m n m m +++2,2,,;(5)数列{a n }的通项公式是13+=n a n .例2 求出下列等差数列中的未知项;(1)3，a ，5;(2)3，b ，c ，-9.例3 (1) 在等差数列{a n }中，是否)2(211≥+=+-n a a a n n n ? (2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数)2(≥n ,都有211+-+=n n n a a a ,那么数列{a n }一定是等差数列吗?四、巩固练习1．判断下列数列是否为等差数列：（1）-1，-1，-1，-1，-1； ________________.（2）41,31,21,1； ________________. （3）1，0，1，0，1，0； ________________.（4）2，4，6，8，10，12； ________________.（5）7，12，17，22，27. ________________.2．已知下列数列是等差数列，试在空格内填上适当的数：（1）__________，5，10；（2）,2,1__________；（3）31，__________，__________，10.3．已知数列{a n }是等差数列.(1)如果6,231==a a ，求公差d 和2a ；(2)如果5,232==a a ，求公差d 和1a ；(3)如果4,221==a a ，求公差d 和6a ；4．已知数列{a n }的通项公式，判断它是否为等差数列：(1)n a n 24-=；(2)2n a n =； (3)0=n a。

[推荐学习]高中数学等差数列教案苏教版必修5

等差数列教学目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…； ②21，2112 ，22，2212 ，23，2312 ，24，2412 ，25 ③2，2，2，2，2，… ④首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：a n ＝n (1≤n ≤6).数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：a n ＝12－2n (n ≥1).数列③是一递增数列，后一项总比前一项多12 ，其通项公式为：a n ＝2012 ＋12n （1≤n ≤9)数列④的通项公式为：a n ＝2(n ≥1)是一常数数列.综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12，0. 2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d 当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①：a n ＝1＋(n －1)×1＝n (1≤n ≤6),数列②：a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝12－2n (n ≥1),数列③：a n ＝22＋(n －1) 12 ＝2112 －12n (n ≥1), 数列④：a n ＝2＋(n －1)×0＝2(n ≥1)由通项公式可类推得：a m ＝a 1＋(m －1)d ，即：a 1＝a m －(m －1)d ，则：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .如：a 5＝a 4＋d ＝a 3＋2d ＝a 2＋3d ＝a 1＋4d3.例题讲解［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项. 解：由题意可知：a 1＝8，d ＝5－8＝2－5＝－3∴该数列通项公式为：a n ＝8＋(n －1)×(－3)，即：a n ＝11－3n (n ≥1)，当n ＝20时，则a 20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n ，可使得a n ＝－401.解：由题意可知：a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4,∴数列通项公式为：a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.令－401＝－4n －1，解之得n ＝100.∴－401是这个数列的第100项.［例2］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .解：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10 ①a 1＋11d ＝31 ②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝－2，d ＝3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.［例3］在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32. ∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52. ∴a 25＝32 ×25＋52＝40. 思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ,∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5,∴a 25＝2×25－10＝40.［例4］已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a 1和d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知⎩⎨⎧a 15＝a 1＋14d ＝33a 45＝a 1＋44d ＝153 得：⎩⎨⎧a 1＝－23d ＝4由217＝－23＋4(n －1)，得n ＝61.解法二：由等差数列性质，得a 45－a 15＝30d ＝153－33，即d ＝4又a n ＝a 15＋(n －15)d ，217＝33＋4(n －15)，解得n ＝61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45，解得n ＝61. 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.［例5］已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－34，求a 15的值. 解法一：利用通项公式，设数列{a n }的首项为a 1,公差为d则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54 a 1＋6d ＝－34 解之得⎩⎨⎧a 1＝94 d ＝－12 a 15＝a 1＋14d ＝94 ＋14×(－12 )＝－194解法二：利用等差数列的性质a 7＝a 3＋4d 把已知条件代入,得：d ＝－12∴a 15＝a 7＋(15－7)d ＝－194. 解法三：∵{a n }为等差数列，∴a 3,a 7,a 11,a 15……也成等差数列由a 3＝54 ，a 7＝－34知上述数列首项为54，公差为－2 ∴a 15＝54 ＋(3－1)·（－2）＝－194［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，这样问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,又数列5，8，11，……的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，……的通项公式为b n ＝4n －1.∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12.∴c n ＝12n －1又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项. 解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝43m －1(n ，m ∈N *) 要使n 为正整数，m 必须是3的倍数.设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25∴共有25个相同的项.［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由⎩⎨⎧23＋（6－1）d ＞023＋（7－1）d ＜0得－4.6＜d ＜－236 答案：－4 Ⅲ.课堂练习课本P 34练习1，2，31.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a 1＝3，d ＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为：a n ＝3＋(n －1)×4，即a n ＝4n －1(n ≥1，n ∈N *)∴a 4＝4×4－1＝15，a 10＝4×10－1＝39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a 1＝10，d ＝8－10＝－2.∴该数列的通项公式为：a n ＝10＋(n －1)×(－2)，即：a n ＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：根据题意可得：a 1＝2，d ＝9－2＝7.∴此数列通项公式为：a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100，解得：n ＝15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－312，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：a 1＝0，d ＝－312∴此数列的通项公式为：a n ＝－72 n ＋72令－72 n ＋72 ＝－20，解得n ＝477因为－72 n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4＝10，a 7＝19，求a 1与d ；(2)已知a 3＝9，a 9＝3，求a 12.解：（1）由题意得：⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10a 1＋6d ＝19 解之得：⎩⎨⎧a 1＝1d ＝3(2)解法一：由题意可得：⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9a 1＋8d ＝3 解之得：⎩⎨⎧a 1＝11d ＝－1∴该数列的通项公式为：a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n∴a 12＝0解法二：由已知得：a 9＝a 3＋6d ，即：3＝9＋6d∴d ＝－1又∵a 12＝a 9＋3d ，∴a 12＝3＋3×(－1)＝0.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n －a n －1＝d (n ≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a n ＝a m ＋(n －m )d 的理解与应用.Ⅴ.课后作业课本P 39习题 1，2，3，4。

高中数学等差数列的概念教学案苏教版必修5高一数学

高中数学等差数列的概念教学案苏教版必修5高一数学课题：等差数列的概念时间：课时数： 1 制卷人：学习目标：明确等差数列的定义，掌握等差数列的性质
教学重点：等差数列概念的理解
教学难点：等差数列的“等差”特点的理解，应用
教学方法：
一、知识预习（重难点、基本概念公式）
二、例题探究
三、课堂巩固练习
1.判断下列数列是否为等差数列
（1）a,a,a,a,a,
(2)1111,,,234
(3)7,12,17,22
2.填适当的数，使之成等差数列
（1）（），5,10 （2）1，，（）
（3）21，（），（），8
四、课堂小结
通过本节，要求学生理解与掌握等差数列的定义及数学表达式： 1(2)n n a a d n --=≥
五、课后练习
1.等差数列1，x ，2的公差是
2.若等差数列{}n a 的公差为d ，则{}3n a 是
（1）公差为d 的等差数列
（2）非等差数列
（3）公差为3d 的等差数列
（4）都不是
3．等差数列{}n a 中，1234562,13,a a a a a a =+=++=则
4. 若数列23,,a a a 成等差数列，则a=
5.（1）数列{}n a 的通项23n a n =+，证明数列{}n a 是等差数列
（2）数列{}n a 的前几项和22n s n n =+，判断{}n a 是不是等差数列
6．若x 是a ，b 的等差中项，22,2x a b -是的等差中项，试确定a ，b 满足关系式。

苏教版必修5《等差数列的概念》评课稿

苏教版必修5《等差数列的概念》评课稿I. 课程背景《等差数列的概念》是苏教版必修5中的一节课，主要介绍等差数列及其概念。

本课程是高中数学教材中的重点内容之一，在学生数学学习中起到重要作用。

本文将针对该课程进行评课，从内容设计、教学方法和学生学习效果等方面进行分析和评价。

II. 课程内容设计1. 教学目标本节课的教学目标是引导学生了解等差数列的概念，理解等差数列的特点和性质，掌握等差数列的求和公式，并能应用所学知识解决实际问题。

2. 课程结构本节课主要包括以下内容：•等差数列的概念介绍•等差数列的特点和性质•等差数列的求和公式•等差数列在实际问题中的应用3. 内容讲解等差数列的概念介绍通过引入具体的实例，如小明每天增加2公斤体重的情况，引导学生思考等差数列的定义。

等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都与前一个数之差相等的数列。

通过多个例子，学生可以逐渐理解等差数列的概念。

等差数列的特点和性质讲解等差数列的特点，如公差的概念、首项和通项公式的推导，并引导学生通过实例掌握这些性质。

通过练习题，巩固学生对等差数列特点和性质的理解和应用能力。

等差数列的求和公式介绍等差数列的求和公式，即等差数列前n项和的计算方法。

通过推导过程，引导学生理解公式的由来和运用。

并通过例题的讲解，帮助学生熟练掌握求和公式的使用。

等差数列在实际问题中的应用通过具体实际问题的引入，如跳水运动员的跳台练习次数等，引导学生将等差数列的概念与实际问题联系起来。

帮助学生理解等差数列的应用场景，并培养学生的问题解决能力。

III. 教学方法1. 激发学生兴趣在课堂中采用启发式的引导方式，引入生活中的实际例子，如购物花费增加的情况，激发学生对等差数列的兴趣。

通过情境化教学，培养学生对数学的好奇心和学习兴趣。

2. 让学生参与鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解决，提问学生关于等差数列的问题，引导学生思考和交流。

通过互动的方式，激发学生的学习动力和思维能力。