平方差公式和完全平方公式复习和拓展PPT优秀课件
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完全平方公式与平方差公式课件
(4)(a-b)(-a-b)= ______b_2-__a2
第18页，幻灯片共22页
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1x -3 a a1 0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
第13页，幻灯片共22页
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
x2 － 42
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2
③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
m2 － (6n)2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
第10页，幻灯片共22页
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米 的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对 慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另 一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏, 你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答 应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们 讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢 羊羊这是为什么吗?
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
第5页，幻灯片共22页
完全平方公式 的图形理解 完全平方和公式：
b
(a+b)²
a
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
第6页，幻灯片共22页
第18页，幻灯片共22页
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1x -3 a a1 0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
第13页，幻灯片共22页
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
x2 － 42
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2
③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
m2 － (6n)2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
第10页，幻灯片共22页
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米 的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对 慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另 一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏, 你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答 应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们 讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢 羊羊这是为什么吗?
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
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完全平方公式 的图形理解 完全平方和公式：
b
(a+b)²
a
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
第6页，幻灯片共22页
《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
平方差公式与完全平方公式PPT教学课件
宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省， 实行一省制，只设中书省。中书省的长 官为左、右丞相和平章政事，是元代的 宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽 （位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是 对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间 所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察 院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。 事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二 求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋 完全平方公式 的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
完全平方公式与平方差公式课件
（7）（a+b+c+d)(a+b-c-d)
12
2 2 2 特别注意：(a+b) ≠a +b
2 2 2 (a-b) ≠a -b
巩固练习：下列计算是否正确．
2 2 2 ⑴(2x+y) =4x +y 2 2 2 ⑵(3a-2b) =9a -4b
（
×
）
× （
）
13
2 × ） ⑶(1-3m)(1+3m)=1-3m（
9
交流3
a
b
=
a
b
2 a
+
2 (a-b) =
-2ab
+
2 b
10
◆找出平方差公式与完全平方公的不同之处
• ( a + b)( a – b )= a2 – b2平方差公式 • ①( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
②( a - b )2 = a2 -2 a b + b2
完全平方公式
◆公式中的a、b可以表示什么？能否举出
例子？
11
巩固练习：以下各式能否运用平方差公式进行 计算？若能，请指出各式中的a、b？
⑴（2x+1)(x-1)
⑵（2a+5b)(2a-5b)
⑶(-x+y)(-x-y)
⑸（x2+9)(x2-9)
⑷ (y-2x)(-2x-y)
(6)(2a+b+1)(2a+b-1)
观察
( a + b)( a – b )=
并说出这个算式的特点．
2 a –
2 b
总结：这个算式是两个数的和与这两个
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
2、运用完全平方公式计算：-13x-229x2-12x+42-2n-5216y2-1-35m2+n2-49 2-25m4+10m2n+1n2-9409-3、填空题：-13a-2b3a+2b=9a2-4b2-2x-6 =x2+-12x+36-3x2.4x+4=X-22
4、选择题-1下列各式中，是完全平方公式的是-C-AX2-X+1-B4x2+1-CX2+2X+1-Dx2+ x-1-2如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于D-A3-B-6-C6-D6或-6-3下列计算正确的 C-A.X-2y2y-x）=4y2-x2-B.-x-1X+1=x2.1-C.m-n-m-n）=-m2+n2 D.x2+2y-2y=x3-4y2
小试牛刀-2.下列计算中正确的是（D-A.（x+22=x2+2x+4-B.（-3-x（3+x=9-x2-C （-3-x3+x=-x2-9+6x-D.（2x-3y2=4x2+9y2-12xy
小试牛刀-3.x2+kx+81是一个完全平方式，则k是（D-A.9-B.-9-C.±9-D.±18
小试牛刀-15+3q2;-25+30q+9q1-2-2a-52.4a2+20a+25-32x+32（2x2;16x4-72x2+81-4x+y-4x+y+4;x2+2xy+y2-16-5a-1a+1a2-1.a -2a2+1
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
《平方差公式》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
= 20152－ （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点 平方差公式
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
= 20152 － 20152+12 =1
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点 平方差公式
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
平方差公式和完全平方公式复习和拓展PPT课件
（10） (x+2y-z)2
x2 4y2 z2 4xy 2xz 4yz
当堂检测
1、运用平方差公式计算
(1)(4y+1)(4y-1)
16 y2 1
(2)(a+9b)(-9b+a)
a2 81b2
(3)(y-x)(-x-y)
x2 y2
1
1
(5) (a- 2 )(a+ 2)
a2 1
4
(4) (m2+2)(m2- 2)
4、计算
1 9 9 72
1997 1 9 9 81 9 9 6
1997
19972 19981996
19972
1997 (1997 1)(1997
1)
1997
19972 (19972 1)
1997
5、已知x2-y2=8，x+y=4，求x与y的值。
x2 y2 8
x yx y 8
x y 4
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
（A）x2-x+1
（B）4x2+1
（C）x2+2x+1
（D）x2+2x-1
(2)如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于（ D ）
(A) 3
(B)-6
(C) 6
(D)6或-6
（3）下列计算正确的是( C )
(5)(x-４)2
1 2m m2
(4)(2-y)2
44y y2
(6) (2 x 3)2
x2 8x 16 4x2 12x 9
(7) (2x + y)2
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。
平方差公式就提供了一个简单的方法。
例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。
根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。
例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。
设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。
例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。
从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。
例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。
1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。
根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。
《完全平方公式与平方差公式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (7)
2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出 几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经
过点B，你能折出几条与a垂直的直线？
过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？
课堂练习
1.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的选C项是 〔 〕.
A
B
C
D
•P
A
OB
2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？
符合平方 差公式的
特征吗？
= [(a+b)+c] [(a+b)-c]
= (a+b)2 - c2
= (a2+2ab+b2) – c2 这里用了
= a2+2ab+b2 – c2
完全平方 公式噢
例2、计算：
1、(x+y-1)(x-y-1) 2、(a-b-2c)(a+b+2c) 解：1、(x+y-1)(x-y-1)
2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有〔 A〕个
〔1〕两条直线相交所成的四个角中有一个角是
直角，那么这两条直线互相垂直
〔2〕两条直线相交，只要有一组邻补角相等，
那么这两条直线互相垂直
〔3〕两条直线相交，所成的四个角相等，这两
条直线互相垂直
〔4〕两条直线相交，有一组对顶角互补，那么
这两条直线互相垂直
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°〔〕 C
A1OB
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90°
2D E
∴OE⊥AB (垂直的定义)
练一练
1、 两条直线相交所成的四个角中，以下条件中能判 定两条直线垂直的是(〔C〕)
平方差公式、完全平方公式复习课
c
5、化简求值: (a+2b)2-(a+2b)(a-2b),其中a=
-2,b=
1 2
1、平方差公式、完全平方公式的内容是什么？ 、平方差公式、完全平方公式的内容是什么？ (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2、请同学们掌握平方差、完全平方公式的结构 、请同学们掌握平方差、 特征。 特征。 3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 、我们要正确理解公式中字母的广泛含义： 可以是数字、字母或其他代数式， 可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公 式的结构特征，就可以运用这一公式. 式的结构特征，就可以运用这一公式
(2)(a+9b)(-9b+a) (4) (m2+2)(m2- 2)
1 ) 2
)(a+
（6）105×95 ） ×
完全平方公式：两数和（或差）的平方， 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和， 或减）它们的积的2 于它们的平方和，加（或减）它们的积的 倍.
用符号怎么表述呢？ 用符号怎么表述呢？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
复习
平方差公式 完全平方公式
先找a、 两数即 两数即相同项与相反 平方差公式 ：先找 、b两数即相同项与相反 数项，结果为相同项的平方减去相反数项的平 相同项的平方减去 数项，结果为相同项的平方减去相反数项的平 方.
用符号怎么表述呢？ 用符号怎么表述呢？
(a+b)(a-b)=a2-b2
当堂练习
1、运用平方差公式计算 、 (1)(4y+1)(4y-1) (3)(y-x)(-x-y) (5) (a1 2
完全平方公式与平方差公式-----平方差公式课件数学沪科版七年级下册
解：(1)(5+6x)(5-6x)
(2)(x-2y)(x+2y);
(3)(-m+n)(-m-n).
(2)(x-2y)(x+2y)
(3)(-m+n)(-m-n)
=25-30x+30x-36x²
=x²+2xy-2xy-4y²
=m²+mn-mn-n²
=25-36x².
=x²-4y².
=m²-n².
注意(3)中，在运用平方差公式时，要把(-m)要
（1）1 999×2 001；
解：(1)1 999×2 001
（2）(x+3)(x-3)(x²+9).
(2)(x+3)(x-3)(x²+9)
=(2 000-1)×(2 000+1)
=(x²-9)(x²+9)
=2 0002-12
=x4-81.
=3 999 999.
例2
计算:
（1）(a+b+c)²；
解：(a+b+c)²= [(a+b)+c]2
看作一个整体，不要漏掉“-”.
例2 计算：
1
2
1
解：(1)(
2
1
2
1
1)(
2
1
4
1
− 1)( x2+1)
4
(1)( + 1)( − 1)( x2+1);
+
1
1
=[( )²-1]( x2+1)
2
4
1 2
1 2
=( x -1)( x +1)
4
4
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平方差公式和完全平 方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(5)(x-４)2
1 2m m2
(4)(2-y)2
44y y2
(6) (2x 3)2
x2 8x 16 4x2 12x 9
(7) (2x + y)2
(8) (a -2b)2
4x2 4xy y2
(9)1032 10609
a2 4ab 4b2
2.利用公式进行计算：
(1)( x 2 y )( x 2 y ) x2 4y2 ( 2 ) ( a 2 b ) ( 2 b a ) 4b2 a2 ( 3 ) ( 2 a 3 b ) 2 4a2 12ab 9b2 ( 4 )( 2 x y ) 2 4x2 4xy y2
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
D
小试牛刀
25 30q 9q2
4a2 20a 25
16x4 72x2 81
x2 2xy y2 16 a4 2a2 1
(6) 2x52 2x52
10x
(7) (x+1)2(x-1)2(x2+1)2(x4+1)2 x16 2x8 1
（8） (a-2b+c)(a+2b-c) a2 4b2 4bc c2 （9） (x+5)2-(x-2)(x-3) 15x 19
可
以
添
加
__4_x_2或_
_-1_或_-_4
x_4_或_4.x8或
1 16x
4
4x4 4x2 1 2x2 1 2
2x4 2 4x4 1 2x4 1 2
4x4
1
1 16x
4
2x2
1 4x2
2
4x4 11 4x4 4x4 1 4x4 1
6、化简求值：
（1）(x3)2 (x1)(x2),其中x 1
25
36
x
2
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n). m2 n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
= =;b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
（A）x2-x+1
（B）4x2+1
（C）x2+2x+1
（D）x2+2x-1
(2)如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于（ D ）
(A) 3
(B)-6
(C) 6
(D)6或-6
（3）下列计算正确的是( C )
(2)(ab)2 (ab)(ab)2b2
其中a 3,b1 3
(1)9x+7 -2
(2)2ab -2
7.证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
x2 y2 4x 8y 25 (x2 2 x2 22) (y2 2 y4 42) 5 (x 2)2 ( y 4)2 5
2、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ；√
（3）(－a+b)(a－b)；
（4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)；√ （6）(c2－d2)(d2+c2). √
3、利用平方差公式计算：
(1)(5+6x)(5－6x);
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a22abb2
1、对应练习：
(1)(2x+1)2
(2)(1-m)2
4x2 4x 1
（3）( y 1 ) 2 y 2 23 y 1 39
则 a 2 b 2 _ _5_ _ _ _ _ _ 。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
则 x 2 y 2 _ _97_ _ _ _ _ _ 。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16,
则 xy
_
_
9
_4_
_
_
_
_
。
5.完全平方式 （ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ，
（10） (x+2y-z)2
x2 4y2 z2 4xy 2xz 4yz
当堂检测
1、运用平方差公式计算
(1)(4y+1)(4y-1)
16 y2 1
(2)(a+9b)(-9b+a)
a2 81b2
(3)(y-x)(-x-y)
x2 y2
1
1
(5) (a- 2 )(a+ 2 )
a2 1
4
(4) (m2+2)(m2- 2)
A.(x-2y)(2y-x) =4y2-x2 B.(-x-1)(x+1)=x2-1
m4 4
（6）105×95
9975
2、 运用完全平方公式计算:
(1) (3x-2)2 9x2 12x 4 (2) (-2n-5)2 16 y2 1
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
则 a _±__8____ 。
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ，
则 k __±__2_0______ 。
(3)x 2 12 x m是 完 全 平 方 式 , 则 m 3_6____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ，
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(5)(x-４)2
1 2m m2
(4)(2-y)2
44y y2
(6) (2x 3)2
x2 8x 16 4x2 12x 9
(7) (2x + y)2
(8) (a -2b)2
4x2 4xy y2
(9)1032 10609
a2 4ab 4b2
2.利用公式进行计算：
(1)( x 2 y )( x 2 y ) x2 4y2 ( 2 ) ( a 2 b ) ( 2 b a ) 4b2 a2 ( 3 ) ( 2 a 3 b ) 2 4a2 12ab 9b2 ( 4 )( 2 x y ) 2 4x2 4xy y2
小试牛刀
D
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25 30q 9q2
4a2 20a 25
16x4 72x2 81
x2 2xy y2 16 a4 2a2 1
(6) 2x52 2x52
10x
(7) (x+1)2(x-1)2(x2+1)2(x4+1)2 x16 2x8 1
（8） (a-2b+c)(a+2b-c) a2 4b2 4bc c2 （9） (x+5)2-(x-2)(x-3) 15x 19
可
以
添
加
__4_x_2或_
_-1_或_-_4
x_4_或_4.x8或
1 16x
4
4x4 4x2 1 2x2 1 2
2x4 2 4x4 1 2x4 1 2
4x4
1
1 16x
4
2x2
1 4x2
2
4x4 11 4x4 4x4 1 4x4 1
6、化简求值：
（1）(x3)2 (x1)(x2),其中x 1
25
36
x
2
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n). m2 n2
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (ab)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (ab)2 _2_ab___ (3)(ab)2 (ab)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
= =;b2-2ab
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2,
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
（A）x2-x+1
（B）4x2+1
（C）x2+2x+1
（D）x2+2x-1
(2)如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于（ D ）
(A) 3
(B)-6
(C) 6
(D)6或-6
（3）下列计算正确的是( C )
(2)(ab)2 (ab)(ab)2b2
其中a 3,b1 3
(1)9x+7 -2
(2)2ab -2
7.证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
x2 y2 4x 8y 25 (x2 2 x2 22) (y2 2 y4 42) 5 (x 2)2 ( y 4)2 5
2、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ；√
（3）(－a+b)(a－b)；
（4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)；√ （6）(c2－d2)(d2+c2). √
3、利用平方差公式计算：
(1)(5+6x)(5－6x);
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a22abb2
1、对应练习：
(1)(2x+1)2
(2)(1-m)2
4x2 4x 1
（3）( y 1 ) 2 y 2 23 y 1 39
则 a 2 b 2 _ _5_ _ _ _ _ _ 。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
则 x 2 y 2 _ _97_ _ _ _ _ _ 。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16,
则 xy
_
_
9
_4_
_
_
_
_
。
5.完全平方式 （ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ，
（10） (x+2y-z)2
x2 4y2 z2 4xy 2xz 4yz
当堂检测
1、运用平方差公式计算
(1)(4y+1)(4y-1)
16 y2 1
(2)(a+9b)(-9b+a)
a2 81b2
(3)(y-x)(-x-y)
x2 y2
1
1
(5) (a- 2 )(a+ 2 )
a2 1
4
(4) (m2+2)(m2- 2)
A.(x-2y)(2y-x) =4y2-x2 B.(-x-1)(x+1)=x2-1
m4 4
（6）105×95
9975
2、 运用完全平方公式计算:
(1) (3x-2)2 9x2 12x 4 (2) (-2n-5)2 16 y2 1
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
则 a _±__8____ 。
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ，
则 k __±__2_0______ 。
(3)x 2 12 x m是 完 全 平 方 式 , 则 m 3_6____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ，