江苏省苏北四市2016届高三上学期期末考试数学试题

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江苏省苏州市2016届高三上学期期末数学试卷含解析

2016年江苏省苏州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={x｜x≥2，x∈N}．集合A={x|x2≥5，x∈N}，则∁U A=______．2．复数z=（a＜0),其中i为虚数单位,|z｜=，则a的值为______．3．双曲线的离心率为______．4．若一组样本数据9，8，x,10，11的平均数为10,则该组样本数据的方差为______．5．己知向量=（l，2)，=（x，﹣2)，且丄（﹣）,则实数x=______．6．阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为______7．函数f（x)=的值域为______．8．连续2次抛掷﹣枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3,4,5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为______．9．将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1+r2+r3=______．10．已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=______．11．己知{a n}是等差数列,a5=15,a10=﹣10，记数列｛a n}的第n项到第n+5顶的和为T n；，则|T n|取得最小值时的n的值为______．12．若直线l1:y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1)2+（y﹣2)2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2=______．13．己知函数f（x）=|sinx丨一kx（x≥0,k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0,则=______．14．已知ab=，a,b∈（0，1），则+的最小值为______．二、解答题：本大题共6小题，满分90分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，且满足=2cosC．（1）求角C的大小；（2)若△ABC的面积为2，a+b=6，求边c的长．16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．（1)求证：A1，C1，F,E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD丄平面A1C1FE．17．图1是一段半圆柱形水渠的直观图,其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点,坝宽AB为2米．（1)当渠中水深CD为0。

2016-2017年江苏苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)联考高三上学期数学期末试卷与解析

2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B={﹣2，0，3} ．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．3．（5分）某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为14．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．4．（5分）根据如图所示的伪代码，则输出S的值为20．【分析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，输出S=20，故答案为：205．（5分）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为1．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．7．（5分）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，∴母线长为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=．故答案为：．8．（5分）若函数的最小正周期为，则的值为﹣．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q 的值为2．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，∴q2﹣2q=0，q≠0．则公比q=2．故答案为：2．10．（5分）已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为（﹣∞，﹣3] ．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．11．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为8．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．12．（5分）已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=OB=OC=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODB即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于1的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．13．（5分）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为[7，13] ．【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=．∴的取值范围为[7，13]，故答案为[7，13]．14．（5分）已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为{﹣20，﹣16} ．【分析】因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a （x≥1）与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx （x＜1）与y=x有1个交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=3（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有2个交点即可，∵g（4）=16+a，g（1）=16+a∴只需g（1）=16+a=0，g（2）=20+a=0，∴a=﹣20或a=﹣16．故答案为{﹣20，﹣16}二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B﹣C）=sin（2B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，…（4分）又A∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，B∈（0，π），所以，…（8分）所以，，…（10分）所以=…（12分）==．…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：θf'（θ）﹣0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．【分析】（1）由题意可知：离心率e==，则a=c，右焦点F到左准线的距离c+=6，即可求得c和a的值，则b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i）设直线方程为：y=（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9；（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF 方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程，求得M 点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S===≤=10．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由离心率e==，则a=c，由右焦点F到左准线的距离c+=6，解得：c=2，则a=4，由b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（﹣4，0），F（2，0），设直线方程为：y=（x+4），即y=x+2，则M（0，2），k MF==﹣，则k NF=，直线NF：y=（x﹣2）=x﹣4，则N（0，﹣4），丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9，（ii）设直线方程为：y=k（x+4），∴，整理得：（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=，则P（，），∴k MF==﹣k，由M（0，4k），F（2，0），∴k NF=，则NF：y=（x﹣2），则N（0，﹣），则直线AN：y=﹣x﹣，代入椭圆方程：整理得：（1+）x2+x+﹣16=0，解得：x1=﹣4，x2=，则y2=﹣，则Q（，﹣），直线PQ的斜率k PQ=，则直线PQ方程y﹣=（x﹣），点A（﹣4，0）到直线PQ的距离d=，由两点之间的距离公式丨PQ丨=，则△PAQ的面积S，S=丨PQ丨•d=×•==≤=8，当且仅当2丨k丨=，即k=时，取最大值，△PAQ的面积的最大值8．19．（16分）已知函数．（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（2）证明：f（x）≥g（x）；（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f（x）≤0的解集为{0}；当a≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：xh'（x）﹣0+h（x）↘极小值↗所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）20．（16分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），因此a n+1﹣a n﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由S n ≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+...+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+ (4)﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得k n 是正整数，因此以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），所以（a n+1）（a n+1+1）﹣（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n+n）﹣6（S n﹣1+n﹣1），即（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），又a n＞0，所以a n+1﹣a n﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（5分）（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．【分析】证明△ABD∽△BDE，即可证明结论．【解答】证明：因为D为弧BC的中点，所以∠DBC=∠DAB，DC=DB，因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=90°，又E为BC的中点，所以EC=EB，所以DE⊥BC，所以△ABD∽△BDE，所以，所以AB•BC=2AD•BD．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=，求实数a，b的值．【分析】由条件知，Aα=2α，从而，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，∴由条件知，Aα=2α，即，即，…（6分）∴，解得∴a，b的值分别为2，4．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+m=0，圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C到直线l的距离，解得m=﹣1或m=﹣5．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．【解答】解：因为a，b，c＞0，所以=，当且仅当时，取“=”，所以m=18．…（6分）所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18，所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得，所以原不等式的解集为．…（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是．则．答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的概率分布为X0123PX的数学期望．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：+C+…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．【分析】（1）（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n ﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．即可证明．（2）当k∈N*时，=．即可证明．【解答】（1）解：（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．所以．（2）证明：当k∈N*时，=．所以=．由（1）知，即，所以．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：lo glo g (0,1)logbab N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2016届高三上学期期中质量抽测数学试题 Word版含答案[ 高考]

江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题数学Ⅰ参考公式：1.样本数据n x x x ,,21的方差,)(1212∑=-=ni i x x ns 其中;11∑==ni i x n x2.锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合},11{≤≤-=x x A 则=Z A ▲ ． 2.若复数i i m i z )(2)(1(+-=为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．3．数据10，6，8，5，6的方差=2s ▲ ．4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1， 2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为y x ,，则yx为整数的概率是 ▲ ．5．已知双曲线)0(1222>=-m my x 的一条渐近线方程为,03=+y x 则=m ▲ ．6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ． 7．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为 ▲ . 8．在等比数列}{n a 中，若),1(4,14531-==a a a a 则=7a ▲9),2,1(,21=+==b a 则向量b a ,的夹角为 ▲ ．10.直线01=++y ax 被圆0222=+-+a ax y x 截得的弦长为2，则实数a 的值是 ▲ ． 11．将函数,2)(2x x x f +-=则不等式)2()(log 2f x f <的解集为 ▲ ． 12．将函数x y 2sin =的图象向左平移ϕ)0(>ϕ个单位，若所得图象过点)23,6(π，则ϕ的最小值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，,3,2==AC AB 角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若),,(R y x y x ∈+=则y x +的值为 ▲ ．14．已知函数e x e x f x (2)(1-+=-为自然对数的底数），,3)(2+--=a ax x x g 若存在实数21,x x ，使得,0)()(21==x g x f 且,121≤-x x 则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为,6,4,,,==c b c b a 且.32sin =B a （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 的中点，求线段AD 的长.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AC BD AC CD AB ,,//⊥与BD 交于点,O 且平面 ⊥PAC 平面E ABCD ,为棱PA 上一点. （1）求证：;OE BD ⊥（2）若,2,2EP AE CD AB ==求证：//EO 平面.PBC17.（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足),(2*21R k N n k a a a n n n ∈∈++=++，且.4,2531-=+=a a a （1）若,0=k 求数列}{n a 的前n 项和;n S （2）若,14-=a 求数列}{n a 的通项公式.n a18. （本小题满分16分）如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙)1(>x x 米，离地面高)21(≤≤a a 米的C 处观赏该壁画，设观赏视角.θ=∠ACB （1）若,5.1=a 问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若,21tan =θ当a 变化时，求x 的取值范围.PE ACDO第16题图（第18题图）19. （本小题满分16分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为,F 点P 在椭圆C上，且.AF OP ⊥（1）若点P 坐标为),1,3(求椭圆C 的方程；（2）延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；（3）求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段.OP20.（本小题满分16分）已知函数.,1cos )(2R a ax x x f ∈-+=（1）求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当,1=a 求函数)(x f 在],[ππ-上的最大值和最小值；（3）若对于任意的实数x 恒有,0)(≥x f 求实数a 的取值范围.第19题图徐州市2015～2016学年度高三第一学期期中质量抽测数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点E B ,为线段CB 上一点，连结,,AE AC 分别交⊙O 于G D ,两点，连结DG 并延长交CB 于点,F 若,3,1,3===GA EG EF EB 求线段CE 的长.B .[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵,1211,121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B x A 向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y 2α，若,ααB A =求实数y x ,的值. C .[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为t t y t x (22221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为,cos 2sin 2θθρ-=若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，AFGDOC 第21—A 图求线段AB 的长.【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 . （1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望.23. （本小题满分10分）已知抛物线:C )0(22>=p py x 过点)1,2(，直线l 过点)1,0(-P 与抛物线C 交于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为'A ，连接B A '. （1）求抛物线C 标准方程；（2）问直线B A '（第23题图）徐州市2015-2016学年度高三年级摸底考试数学I 参考答案及评分标准一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{}1,0,1- 2．2- 3．1654．12 56．1- 7．438．4 9．23π 10．2- 11．(0,1)(4,)+∞ 12．π6 13．5814．[2,3]二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）由正弦定理，得sin sin a B b A =， ……………………………2分因为b ＝4，sin a B =sin A =， ……………………………4分又π02A <<，所以π3A =． ………………………………6分（2）若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a＝ ………………………………8分又因为sin a B =sin 7B =，从而cos B =，…………………10分因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC在ABD ∆由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即23672619AD =+-⨯=，所以，AD ．…………14分 16．（1）因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面ABCD AC =，BD AC ⊥，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ，又因为OE ⊂平面PAC ，所以BD OE ⊥．……………………6分（2）因为//AB CD ，2AB CD =，AC 与BD 交于O ，所以::1:2CO OA CD AB ==，又因为2AE EP =，所以::CO OA PE EA =，所以//EO PC ，又因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，所以//EO 平面PBC ．……………………14分17．（1）当0k =时，122n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以，数列{}n a 是等差数列．……………………2分设数列{}n a 公差为d ，则112,264,a a d =⎧⎨+=-⎩解得12,4.3a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩……………4分所以，21(1)(1)4282()22333n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+．…………6分（2）由题意，4352a a a k =++，即24k -=-+，所以2k =．……………8分又4322122326a a a a a =--=--，所以23a =，由1222n n n a a a ++=++，得211()()2n n n n a a a a +++---=-，所以，数列{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，2-为公差的等差数列．所以123n n a a n +-=-+，……………………10分当2n ≥时，有12(1)3n n a a n --=--+，于是，122(2)3n n a a n ---=--+，232(3)3n n a a n ---=--+，…32223a a -=-⨯+，21213a a -=-⨯+，叠加得，12(12(1))3(1),(2)n a a n n n -=-+++-+-≥，所以2(1)23(1)241,(2)2n n n a n n n n -=-⨯+-+=-+-≥，……………………13分又当1n =时，12a =也适合．所以数列{}n a 的通项公式为2*41,n a n n n =-+-∈N ．…………………14分 18．（1）当 1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则0.5BD =，且ACD BCD θ=∠-∠，由已知观察者离墙x 米，且1x >，则0.5 2.5tan ,tan BCD ACD x x∠=∠=，…………2分所以，tan tan()ACD BCD θ=∠-∠222.50.5222.50.5 1.25 1.2511x x x x x x x -====⨯+++，当且仅当1x >时，取“=”．…………………6分又因为tan θ在(0,)2π米时，视角θ最大．…8分（2）由题意得，24tan ,tan a aBCD ACD x x--∠=∠=，又1tan 2θ=，所以221tan tan()(2)(4)2x ACD BCD x a a θ=∠-∠==+-⋅-，……………………10分所以22684a a x x -+=-+，当12a ≤≤时，20683a a -+≤≤，所以2043x x -+≤≤，即2240430x x x x ⎧-⎨-+⎩≤≥，解得01x ≤≤或34x ≤≤，……………………14分又因为1x >，所以34x ≤≤，所以x 的取值范围为[3,4]．……………………16分19．（1）因为点P，所以OP k =，（第18题图）又因为AF ⊥OP，1b c -=-，b =，所以2234a b =，……………………………………2分又点P 在椭圆上，所以22311a b+=，解之得221313,34a b ==．故椭圆方程为22134x y +=．……………………………4分（2）由题意，直线AF 的方程为1x y c b +=，与椭圆C 方程22221x y a b+=联立消去y ，得2222220a c xx a c c +-=，解得0x =或2222a c x a c =+，所以Q 点的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c -++，……………7分所以直线BQ 的斜率为22222222()2BQ b c a b bc a c k a c a a c -++==+，由题意得，22c bcb a=，所以222a b =，………………9分所以椭圆的离心率2c e a ==．………………10分（3）因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cxy b=，与直线AF 的方程1x yc b +=联立，解得两直线交点的坐标(2222,b c bc a a)．因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(222222,b c bc a a)，………………12分由点P 在椭圆上，得4224642441b c b ca ab +=，又222b a c =-,设22ct a=，得224[(1)]1t t t -⋅+=． (*)……………14分令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t =-⋅+-=-+-，2'()4(221)0f t t t =-+>，所以函数()f t 单调增，又(0)10f =-<，(1)30f =>，所以，()0f t =在区间(0,1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分 20．（1）函数()f x 的定义域为R ，因为22()cos()()1cos 1()f x x a x x ax f x -=-+--=+-=，所以函数()f x 是偶函数． ……………………………………3分（2）当1a =时，2()cos 1f x x x =+-，则'()sin 2f x x x =-+，令()'()sin 2g x f x x x ==-+，则'()cos 20g x x =-+>，所以'()f x 是增函数，又'(0)0f =，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，π]上是增函数，又函数()f x 是偶函数，故函数()f x 在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0．…………………………8分（3）'()sin 2f x x ax =-+，令()'()sin 2g x f x x ax ==-+，则'()cos 2g x x a =-+，①当12a ≥时，'()cos 20g x x a =-+≥，所以'()f x 是增函数，又'(0)0f =，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，+∞)上是增函数，而(0)0f =，()f x 是偶函数，故()0f x ≥恒成立．………………………………………12分②当12a -≤时，'()cos 20g x x a =-+≤，所以'()f x 是减函数，又'(0)0f =，所以'()0f x ≤，所以()f x 在(0，+∞)上是减函数，而(0)0f =，()f x 是偶函数，所以()0f x <，与()0f x ≥矛盾，故舍去．………14分③当1122a -<<时，必存在唯一0x ∈(0，π)，使得0'()0g x =，因为'()cos 2g x x a =-+在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，'()0g x <，即'()f x 在(0，x 0)上是减函数，又'(0)0f =，所以当x ∈(0，x 0)时，'()0f x <，，即()f x 在(0，x 0)上是减函数，而(0)0f =，所以当x ∈(0，x 0)时，()0f x <，与()0f x ≥矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是[12，+∞)． ………………………………………16分江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题数学Ⅱ参考答案及评分标准21．【选做题】．A ．因为1,3EG GA ==,所以4EA EG GA =+=,又因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又3EB EF =，所以23=EF ，43=FB ， ……………………4分连结（BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB ，所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆． ……………………8分所以2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2CE CF EF =-=． ………10分 B ．222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α， ……………………4分由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． ……………………10分 C ．由2sin 2cos ρθθ=-，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2．直线l 的方程为化成普通方程为x －y ＋1＝0． ……………………4分圆心到直线l 的距离为d =，所求弦长L == ……………………10分 D ．要证)()(a b f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-， ……………………6分而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立． ……………………10分22．（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为1121233321C C C C ⋅⋅+=种．…3分（2）X 的可能取值为0,1,2,3． ………………5分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， 11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=． ………………8分 X179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………10分 23．（1）将点(2,1)代入抛物线C 的方程得，2p =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =．……………………4分（2）设直线l 的方程为1y kx =-，又设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-，由21,41,y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得2440x kx -+=，则2121216160,4,4k x x x x k ∆=->⋅=+=，所以22212121211244()4A B x x y y x x k x x x x '---===--+，于是直线A B '的方程为22212()44x x x y x x --=-， ……………………8分所以，2212212()1444x x x x x y x x x --=-+=+，当0x =时，1y =，所以直线A B '过定点(0,1)． ……………………10分。

江苏省苏北四市高三上学期期末统考数学试题 Word版含答案.pdf

2014年苏北四市高三数学试题数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：，其中是锥体的底面面积，是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上． 1．设复数为虚数单位,若为实数,则的值为 ▲ ．已知集合，，且，则实数的值是 ▲ ．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为15的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．4．在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 ▲ ．的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．的值是 ▲ ．的定义域为 ▲ ．，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ▲ ．中，已知，，且的面积为，则边长为 ▲ ．，则不等式的解集为 ▲ ．的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．等比数列前项和为，成等差数列，其中，的值为 ▲ ．中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．在平面直角坐标系中，动点到两直线和的距离之和为，则的为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分已知向量， (1)若，求的值；若，求的值本题满分14分中，点分别是棱的中点． //平面； (2)若平面平面，，求证：．为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？ 18．(本题满分1分的三个顶点，，，其外接圆为． (1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程； (2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围． 19．(本小题满分16分) 已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点在点处作曲线的切线与曲线交于另一点在点处作曲线的切线设切线的斜率分别为问：是否存在常数使得若存在求出的值；若不存在请说明理由已知数列满足，，是数列的前项和． (1)若数列为等差数列．（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；若对任意，恒成立，求实数的取值范围．A．(选修4—1：几何证明选讲)如图，为锐角的内，过点作直线的垂线，垂足为，圆与边．若，求的度数．B．(选修4—2：矩阵与变换)（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值． C．(选修4—4：坐标系与参数方程)中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值． D．(选修4—：已知均为正数,证明：．．店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率； (2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望． 23．（本小题满分10分）已知点，动点满足．求动点的轨迹的方程；：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案数学Ⅰ部分一、填空题： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题： 15．（1）由可知，，所以，……………………………2分所以． ……………………………………………………6分（2）可得，，， ① ……………………………………………………………10分又，且 ②，由①②可解得，，…………………12分所以． ……………………………14分 16．（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面内过点作，垂足为．平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，………………………………………………………10分又，，平面，平面，所以平面，…………………………………………………12分又平面，所以．，所以，………………………………………………………………………………4分 (2) 花坛的面积为．………………7分装饰总费用为， ………………………………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …………………11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………………………………14分 (注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 18．(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为． …………………………………………………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． ……………………………………………8分 (2)直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即…………………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,…………12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，所以且．……15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即. 故圆的半径的取值范围为． ……………………………………………16分 19．(1)当时， . ………………………………………2分令f ((x)<0，解得，所以f(x)的单调减区间为． …………………………4分 (2) ，由题意知消去，得有唯一解．……………………………………………………………6分令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，……………8分又，，故实数的取值范围是． ……………………………………………10分 (3)设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标． …………………………………………………………12分由题意知，，，若存在常数使得，即常数使得解得，． ………………………………………………15分故时，存在常数，使；时，不存在常数，使．……16分 20．(1)（）因为，所以，即，又，所以， ………………………………2分成等差数列，所以，即，解得，所以； ………………………………4分，所以，其前项和，又因为，………………………………………………5分项和，所以，…………………7分或时，；当或时，；当时，．9分知，两式作差，得，…………………………………………10分,作差得， ……………11分时，；当时，；当时，；当时，；………………14分，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…16分21．【选做题】 A．(选修4—1：几何证明选讲) 由圆与边相切于点，得，得，四点共圆． ……………………………………5分，所以，由，．……………10分 B．（选修4-2：矩阵与变换）上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即． …………………………………………………………5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程．又曲线的方程为，故，，因为，所以． …………………………………………………………10分 C．（选修4-4：坐标系与参数方程）的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,…4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．10分 D．（选修4-5：不等式选讲）证一因为均为正数，由均值不等式得，，所以．故．又3所以原不等式成立．法二因为均为正数，由基本不等式得，．所以．同理．所以原不等式成立．种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． ………………………………4分 (2)随机变量的所有可能取值为1，2，3. 则，．１２３所以的分布列为 ……………………………8分数学期望．………………………………………………10分 23．(1)设，则，，，由，得，化简得. 故动点的轨迹的方程方程为，设，，．过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，……7分同理过点的切线方程为．所以直线MN的方程为，………9分又//，所以，得，而，故点的坐标为． ……………………………………………………………………10分 F C B A P (第21(A)图 (第17题（第16题图） E F C B A P （第6题图） N Y 输出S 结束开始注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：立体几何(含附加题)

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M －PAD 的体积为 2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱柱ABC D -的体积为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设一个正方体与底面边长为2310正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则该四棱锥的侧面积为 cm 25、（苏州市2016届高三上期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V 12V V的值为 ▲ ．7、（无锡市2016届高三上期末）在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA OB ⊥且1OA VO ==，则O 到平面VAB 的距离为8、（扬州市2016届高三上期末）已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂a ，b ∥c ，则c ∥a ； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写山所有正确命题的序号)填空题答案（第9题）ODBC 1B 11D 11、32、2453、24、85、56、127、3 8、5 9、④二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）如图，正三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，点D 、E 分别是A 1C 、AB 的中点。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：三角函数

圆形栈桥上且不与点 A ，B 重合）建栈桥。考虑到美观需要，设计方案为
DP＝ DC，∠ CDP＝ 60°且
圆弧栈桥 BP 在∠ CDP的内部，已知 BC＝ 2OB＝ 2（ km），没湖岸 BC与直线栈桥 CD， DP及圆弧栈桥 BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为 S（ km2），∠ BOP＝。
f ( x1 ) f ( 2x ) f (3，x 则) 的值为
▲ ．
7、（无锡市 2016 届高三上期末）将函数 f x 2sin 2 x 的图象上没一点向右平移
个单位，得到
6
函数 y g x 的图象，则 g x
1
8、（扬州市 2016 届高三上期末）已知函数 f ( x) sin( 2x )（ 0 x＜），且 f ( ) f ( )
江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
一、填空题
三角函数
1、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）函数 f (x) 2sin( x ) ( 0) 的
部分图像如图所示，若 AB 5 ，则的值为
．
y A2
O
x
-2
B
2、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）在 ABC 中，设 a, b, c 分别为角 A, B,C 的对边，若 a 5 ，
B)
1
，
5
2
（ 1）求 tan B ；（ 2）若 b 5 ，求 c .
4、（南京、盐城市 2016 届高三上期末）
设函数 f ( x) A sin( x )( A 0, （ 1）求函数 y f ( x) 的解析式；
0, 2
（ 2）当 x [ , ] 时，求 f (x) 的取值范围 . 22

江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试数学试题含解析

一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1。

已知集合},0{a A =，}3,1,0{=B ，若}3,2,1,0{=B A ，则实数a 的值为．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得，2B ∉，则2A ∈，则2a = 考点：元素与集合关系 2.已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．【答案】2i 【解析】试题分析：设222(,,0),24z a bi a b R b z a b abi =+∈>=-+=-则，因此 20,4,2a b b =-=-=±，又0b >则2,2b z i == 考点：复数概念3。

交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在h km /9050-的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在h km /70以下的汽车有辆．频率组距速度（km /h ）0.040.030.020.01【答案】75 【解析】试题分析：由频率分布直方图得，速度在h km /70以下的汽车所占频率为(0.020.03)100.5+⨯=，则速度在h km /70以下的汽车有1500.575⨯=辆考点：频率分布直方图4。

运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为．【答案】9 【解析】试题分析：第一次循环，123,112S I =+==+=,第二次循环，322,213S I =+==+=,第三次循环,527,314S I =+==+=，第四次循环，729,415S I =+==+=,则9S =考点：循环结构流程图5。

函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示,若5=AB ，则ω的值为．【答案】3π 【解析】试题分析：2254()2T AB ==+,解得26,3T ππωω===考点：三角函数图像与性质6.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【答案】13【解析】试题分析:随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，共有6种不同的安排方法，其中丙在第一天的安排方法有两种,则甲与丙都不在第一天的概率为2163= 考点：古典概型概率7。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：圆锥曲线

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点P （1，－2），则该双曲线的离心率为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）抛物线x y 42=的焦点到双曲线191622=-y x 渐近线的距离为 3、（南京、盐城市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ 4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的方程为x y 3=则该双曲线的离心率为 5、（苏州市2016届高三上期末）双曲线22145x y -=的离心率为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．7、（无锡市2016届高三上期末）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为8、（扬州市2016届高三上期末）双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ 9、（镇江市2016届高三第一次模拟）以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．填空题答案1 2、35 3、924、25、326、 7、12+ 8、4 9、【答案】x 212－y 212＝1．【解析】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，y 2＝4x 的焦点为()1,0，则双曲线的焦点为()1,0；y ＝±x 为双曲线的渐近线，则1ba=，又因222a b c +=，所以2211,22a b ==，故双曲线标准方程为x 212－y 212＝1．二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是e ，定义直线by e=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y =±，长轴长为4。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市 2016届高三上期末）已知双曲线x2y21(a0,b0) 的一条渐近线C：2b2a经过点 P（1，－ 2），则该双曲线的离心率为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016 届高三上期末）抛物线y24x 的焦点到双曲线 x2y2 1 渐近线的距离为1693、（南京、盐城市2016 届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 C 的极点在座标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点 P(1,3) ，则其焦点到准线的距离为▲4 、（南通市海安县2016 届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x2y21( a0,b 0) 的一条渐近线的方程为y3x 则该双曲线的离心率为a2b25、（苏州市 2016届高三上期末）双曲线x2y2▲41 的离心率为56、（泰州市 2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2y 21的实2轴长为▲．7、（无锡市2016 届高三上期末）设ABC 是等腰三角形，ABC 120o，则以A、B为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为8、（扬州市x 2y 2▲2016 届高三上期末）双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为9169、（镇江市2016 届高三第一次模拟）以抛物线y2＝ 4x 的焦点为焦点，以直线y＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．填空题答案11、52、33、94、 25、3 5226、2 27、138、 429、【答案】x2－y2＝ 1．1122【分析】由题意设双曲线的标准方程为x2y21 ，y2＝4x 的焦点为1,0 ，则双曲线的焦a2b2点为 1,0 ；y＝±x为双曲线的渐近线，则22x y故双曲线标准方程为－＝1．1122b 1 ，又因a2b2c2，因此a2 1 , b21，a22二、解答题1、（常州市 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系x2y21(a b 0) xoy 中，设椭圆2b2a的离心率是e，定义直线y bC 的“类准线”方程为为椭圆的“类准线”，已知椭圆ey 2 3 ，长轴长为4。

江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)高三数学上

江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题参考公式：1.样本数据n x x x ,,21的方差,)(1212ni i x x ns 其中;11ni i x n x2.锥体的体积公式：,31Sh V锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合},11{ x x A 则 Z A ▲ ． 2.若复数i i m i z )(2)(1( 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．3．数据10，6，8，5，6的方差 2s ▲ ．4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1， 2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为y x ,，则yx为整数的概率是 ▲ ．5．已知双曲线)0(1222m my x 的一条渐近线方程为,03 y x 则 m ▲ ．第6题图6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ． 7．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为 ▲ . 8．在等比数列}{n a 中，若),1(4,14531 a a a a 则 7a ▲9),2,1(,21 则向量b a ,的夹角为 ▲ ．10.直线01 y ax 被圆0222 a ax y x 截得的弦长为2，则实数a 的值是 ▲ ． 11．将函数,2)(2x x x f 则不等式)2()(log 2f x f 的解集为 ▲ ． 12．将函数x y 2sin 的图象向左平移 )0( 个单位，若所得图象过点)23,6(，则的最小值为 ▲ ．13．在ABC 中，,3,2 AC AB 角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若),,(R y x y x 则y x 的值为 ▲ ．14．已知函数e x e x f x (2)(1 为自然对数的底数），,3)(2 a ax x x g 若存在实数21,x x ，使得,0)()(21 x g x f 且,121 x x 则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为,6,4,,, c b c b a 且.32sin B a （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 的中点，求线段AD 的长.如图，在四棱锥ABCD P 中，AC BD AC CD AB ,,// 与BD 交于点,O 且平面 PAC 平面E ABCD ,为棱PA 上一点. （1）求证：;OE BD（2）若,2,2EP AE CD AB 求证：//EO 平面.PBC17.（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足),(2*21R k N n k a a a n n n ，且.4,2531 a a a （1）若,0 k 求数列}{n a 的前n 项和;n S （2）若,14 a 求数列}{n a 的通项公式.n a18. （本小题满分16分）如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙)1( x x 米，离地面高)21( a a 米的C 处观赏该壁画，设观赏视角. ACB （1）若,5.1 a 问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若,21tan 当a 变化时，求x 的取值范围.PE ACDO第16题图（第18题图）如图，椭圆)0(1:2222 b a by a x C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为,F 点P 在椭圆C上，且.AF OP（1）若点P 坐标为),1,3(求椭圆C 的方程；（2）延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；（3）求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段.OP20.（本小题满分16分）已知函数.,1cos )(2R a ax x x f（1）求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当,1 a 求函数)(x f 在],[ 上的最大值和最小值；（3）若对于任意的实数x 恒有,0)( x f 求实数a 的取值范围.第19题图徐州市2015～2016学年度高三第一学期期中质量抽测数学Ⅱ(附加题)作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点E B ,为线段CB 上一点，连结,,AE AC 分别交⊙O 于G D ,两点，连结DG 并延长交CB 于点,F 若,3,1,3 GA EG EF EB 求线段CE 的长.B .[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵,1211,121B x A 向量y 2 ，若, B A 求实数y x ,的值. C .[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为t t y t x (22221为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为,cos 2sin 2 若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.AFGDOC 第21—A 图22.（本小题满分10分）已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 . （1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望.23. （本小题满分10分）已知抛物线:C )0(22 p py x 过点)1,2(，直线l 过点)1,0( P 与抛物线C 交于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为'A ，连接B A '. （1）求抛物线C 标准方程；（2）问直线B A '徐州市2015-2016学年度高三年级摸底考试数学I 参考答案及评分标准（第23题图）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1． 1,0,1 2．2 3．1654．12 56．1 7．438．4 9．23 10．2 11．(0,1)(4,) U 12．π6 13．5814．[2,3]二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）由正弦定理，得sin sin a B b A ， ……………………………2分因为b ＝4，sin a Bsin A ， ……………………………4分又π02A ，所以π3A ． ………………………………6分（2）若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a＝ ………………………………8分又因为sin a Bsin Bcos 7B ，…………………10分因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC在ABD 由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B ，即23672619AD，所以，AD 14分 16．（1）因为平面PAC底面ABCD ，平面PAC I 底面ABCD AC ，BD AC ，BD 平面ABCD ，所以BD 平面PAC ，又因为OE 平面PAC ，所以BD OE ．……………………6分（2）因为//AB CD ，2AB CD ，AC 与BD 交于O ，所以::1:2CO OA CD AB ，又因为2AE EP ，所以::CO OA PE EA ，所以//EO PC ，又因为PC 平面PBC ，EO 平面PBC ，所以//EO 平面PBC ．……………………14分17．（1）当0k 时，122n n n a a a ，即211n n n n a a a a ，所以，数列 n a 是等差数列．……………………2分设数列 n a 公差为d ，则112,264,a a d 解得12,4.3a d……………4分所以，21(1)(1)4282()22333n n n n n S na d n n n．…………6分（2）由题意，4352a a a k ，即24k ，所以2k ．……………8分又4322122326a a a a a ，所以23a ，由1222n n n a a a ，得211()()2n n n n a a a a ，所以，数列 1n n a a 是以211a a 为首项，2 为公差的等差数列．所以123n n a a n ，……………………10分当2n ≥时，有12(1)3n n a a n ，于是，122(2)3n n a a n ，232(3)3n n a a n ，…32223a a ，21213a a ，叠加得，12(12(1))3(1),(2)n a a n n n L ≥，所以2(1)23(1)241,(2)2n n n a n n n n ≥，……………………13分又当1n 时，12a 也适合．所以数列 n a 的通项公式为2*41,n a n n n N ．…………………14分 18．（1）当 1.5a 时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则0.5BD ，且ACD BCD ，由已知观察者离墙x 米，且1x ，则0.5 2.5tan ,tan BCD ACD x x，…………2分所以，tan tan()ACD BCD222.50.5222.50.5 1.25 1.2511x x x x x x x ，当且仅当1x 时，取“ ”．…………………6分又因为tan 在(0,)2米时，视角最大．…8分（2）由题意得，24tan ,tan a aBCD ACD x x，又1tan 2 ，所以221tan tan()(2)(4)2x ACD BCD x a a ，……………………10分所以22684a a x x ，当12a ≤≤时，20683a a ≤≤，所以2043x x ≤≤，即2240430x x x x≤≥，解得01x ≤≤或34x ≤≤，……………………14分又因为1x ，所以34x ≤≤，所以x 的取值范围为[3,4]．……………………16分19．（1）因为点P，所以OP k又因为AF OP，1b c ，b ，所以2234a b ，……………………………………2分又点P 在椭圆上，所以22311a b，（第18题图）解之得221313,34a b ．故椭圆方程为221131334x y ．……………………………4分（2）由题意，直线AF 的方程为1x y c b，与椭圆C 方程22221x y a b联立消去y ，得2222220a c xx a c c ，解得0x 或2222a c x a c ，所以Q 点的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c ，……………7分所以直线BQ 的斜率为22222222()2BQ b c a b bca c k a c a a c ，由题意得，22c bcb a，所以222a b ，………………9分所以椭圆的离心率2221c b e a a ．………………10分（3）因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cxy b，与直线AF 的方程1x yc b联立，解得两直线交点的坐标(2222,b c bc a a )．因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(222222,b c bc a a)，………………12分由点P 在椭圆上，得4224642441b c b c a a b ，又222b ac ,设22c t a，得224[(1)]1t t t ． (*)……………14分令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t ，2'()4(221)0f t t t ，所以函数()f t 单调增，又(0)10f ，(1)30f ，所以，()0f t 在区间(0,1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分 20．（1）函数()f x 的定义域为R ，因为22()cos()()1cos 1()f x x a x x ax f x ，所以函数()f x 是偶函数． ……………………………………3分（2）当1a 时，2()cos 1f x x x ，则'()sin 2f x x x ，令()'()sin 2g x f x x x ，则'()cos 20g x x ，所以'()f x 是增函数，又'(0)0f ，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，]上是增函数，又函数()f x 是偶函数，故函数()f x 在[，]上的最大值是22，最小值为0．…………………………8分（3）'()sin 2f x x ax ，令()'()sin 2g x f x x ax ，则'()cos 2g x x a ，①当12a ≥时，'()cos 20g x x a ≥，所以'()f x 是增函数，又'(0)0f ，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，+∞)上是增函数，而(0)0f ，()f x 是偶函数，故()0f x ≥恒成立．………………………………………12分②当12a ≤时，'()cos 20g x x a ≤，所以'()f x 是减函数，又'(0)0f ，所以'()0f x ≤，所以()f x 在(0，+∞)上是减函数，而(0)0f ，()f x 是偶函数，所以()0f x ，与()0f x ≥矛盾，故舍去．………14分③当1122a 时，必存在唯一0x (0，)，使得0'()0g x ，因为'()cos 2g x x a 在[0，]上是增函数，所以当x (0，x 0)时，'()0g x ，即'()f x 在(0，x 0)上是减函数，又'(0)0f ，所以当x (0，x 0)时，'()0f x ，，即()f x 在(0，x 0)上是减函数，而(0)0f ，所以当x (0，x 0)时，()0f x ，与()0f x ≥矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是[12，+∞)． ………………………………………16分江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题数学Ⅱ参考答案及评分标准21．【选做题】．A ．因为1,3EG GA ,所以4EA EG GA ,又因为错误!未找到引用源。

江苏地区苏北四市2016-2017年度高三学年第二次调研检验数学试卷(修正版)

苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则AB = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为． 10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=．（1）求角A 的值；（2）若3cos 5B =，求sin()B C -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（ⅰ）当直线的PA 斜率为12时，求FMN ∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求APQ ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈．（1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤；（2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．求证：2AB BC AD BD ⋅=⋅．B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求a ，b 的值．C ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，圆C 的参数方程为（t 为参数），当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．D ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩π2sin()()4l m m ρθ-=∈R已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式12x x m +-<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙分别从A ，B ，C ，D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率；（2）设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++．（1）求21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数，并化简：01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++；（2）证明：1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++=．苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{-2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分所以24sin 22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--．…………………………………………………14分 16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥，所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分（2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BCEB B =，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==，所以43AD BD =，在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==，所以CD BD =．则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =，所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB =(km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分（2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==，所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==，令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()fθ的最小值为()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP =． ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=．………………………………………4分（2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN 的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k -++，……………………10分直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k k Q k k --++，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q kS OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k ==”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分19．（1）当0a =时，2()2e x f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-，若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e'()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln 2x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <<'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x x +≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n时，121(1)(1)6(1)a a S ，故25a ；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n nna a S n ，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n nnnna a a a S n S n ），即11(1)()6(1)n nn n a a a a ，又0n a ，所以116nn a a ，………………………………………………3分所以216(1)66k a ak k a，25+6(1)61ka k k ，*k N ，故**33, ,,31, ,.nn a n n a n n n N N 为奇数为偶数 …………………………………………5分（2）当n 为奇数时，1(32)(33)6nS n a n n ，由(31)n S n n ≤得，23321n n a n ≤恒成立，令2332()1n n f n n ，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n ，所以(1)4a f ≤．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n ，由(31)n S n n ≤得，3(1)a n ≤恒成立，所以9a ≤．又10a a ，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分（3）当2a时，若n 为奇数，则31na n ，所以31na n ．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m qm N ，则1(1)154nm nnb b q ．设(1)km n ，因为214114443k k ，所以(1)21545[3(1444)1]m n k ， 213[5(144+4)2]1k ，…………………………14分因为215(144+4)2k 为正整数，所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m qm N 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分解法2：设222231(3)k b a k k ≥，所以公比2315k q ．因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k mm N ，则31qm ，故15(31)n n b m ，由1315(31)n nk m 得，11[5(31)1]()3n n k m n N ，而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n nk k m m m m ，即215(31)n nnk k m m ，…………………………………………………14分又因为12k ，25(31)n m m 都是正整数，所以n k 也都是正整数，所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()qm m N 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准21．[选做题]A ．因为D 为弧BC 的中点，所以DBC DAB ∠=∠，DCDB =，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒，又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥，所以ABD △∽BDE △，所以2AB BD BDAD BE BC==，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为2，4．……………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，…………………………………………5分圆心C 到直线l 1m =-或5m =-．…………10分D ．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-，所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．甲选做D 题的概率为1113C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2=．A B CDE（第21(A)题）则1111()32212P E =⨯⨯=．答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为112． …………………3分（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分1112(0)(1)32212P X ==-⨯⨯=，212111115(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222111(3)C (1)3212P X ==⨯-=． ……………………………………………8分X 的数学期望4()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n ，………………………………1分由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n nn n n nnn n n n n x x x x xx 可知， 1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111111C C C C C C nnn n n n nn n ．所以0111111121C C C C C C C n n n nn n n nn n n ------+++=．…………………………………4分（2）当*kN 时，!!C !()!(1)!()!k nn n k k k n k k n k 11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ．……………………………6分所以12222211111(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n nnn k k k k k nnnnn nn n k k k n k k n11111(CC )(C C )nnk k n k kn nn n k k nn．………8分由（1）知0111111121C C C CC C Cn n n n n nn nn nn ------+++=，即1211(C C )C nn k kn n n n k ，所以1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++=． …………………………………10分。

淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试

淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上学期期末考试化学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Fe 56选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．2015年巴黎气候变化大会召开，旨在保护环境造福人类。

下列说法不正确的是A．扩大铅蓄电池、汞锌锰干电池的生产，满足消费需求B．采用碳捕集和储存技术，逐步实现二氧化碳的零排放C．对工业废水、生活污水净化处理，减少污染物的排放D．催化处理汽车尾气，减轻氮氧化物污染和光化学烟雾2．下列有关氮元素及其化合物的表示正确的是A．质子数为7、中子数为8的氮原子：B．溴化铵的电子式：C．氮原子的结构示意图：D．间硝基甲苯的结构简式：3．下列说法正确的是A．Fe在少量Cl2中燃烧生成FeCl2B．石油的裂解、煤的干馏都是化学变化C．化学反应的焓变与反应的途径有关D．等质量的铜按a、b两种途径完全转化为硝酸铜，途径a、b消耗的硝酸一样多4．H2S在O2中不完全燃烧生成S和H2O。

下列说法正确的是A．氧元素的单质存在同素异形体B．微粒半径：O2－＞S2－C．还原性：H2S＜H2O D．该反应中化学能全部转化为热能5．短周期元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X在元素周期表中原子半径最小，Y 原子在周期表中处于族序数等于周期序数3倍的位置，Z是最外层电子数最少的金属元素，W与Y属于同一主族。

下列叙述正确的是A．原子半径：W＞Z＞YB．元素W最高价氧化物的水化物为强酸C．化合物X2Y、Z2Y中化学键的类型相同D．元素Y的简单气态氢化物的热稳定性比W的弱6．常温下，下列各组离子一定能在指定溶液中大量共存的是A．pH＝1的溶液：Ag+、Al3+、Cl－、SO42－B．能使酚酞试液变红的溶液：Na＋、K＋、HCO3－、S2－C．c(OH－)/c(H+)=10－12的溶液：NH4+、Cu2+、NO3－、Cl－D．水电离产生的c(OH－)=10－12 mol·L－1的溶液：K+、Fe2+、SO42－、NO3－7．下列实验操作正确的是A．用装置甲收集SO2B．用装置乙制备AlCl3晶体C．中和滴定时，锥形瓶用待装液润洗D．使用分液漏斗和容量瓶时，先要检查是否漏液8．给定条件下，下列选项中所示的物质间转化均能一步实现的是9．下列指定反应的离子方程式正确的是A ．用氨水吸收足量的SO 2气体：2OH －＋SO 2＝SO 32－ + H 2OB ．NaAlO 2溶液中AlO 2－的水解：AlO 2－＋2H 2O ＝Al(OH)3 ↓＋OH －C ．加入NaClO 将污水中的NH 3氧化成N 2：3ClO －＋2NH 3＝N 2↑＋3Cl －＋3H 2OD ．NaHCO 3溶液中加少量Ba(OH)2溶液：HCO 3－＋Ba 2＋＋OH －＝BaCO 3↓＋H 2O10．一种微生物燃料电池如图所示，下列关于该电池说法正确的是A ．a 电极发生还原反应B ．H +由右室通过质子交换膜进入左室C ．b 电极反应式为：2NO 3－＋10e －＋12H +＝N 2↑＋6H 2OD ．电池工作时，电流由a 电极沿导线流向b 电极不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。

苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷

（第4题）苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．． 1．已知集合{0,}A a =，{0,1,3}B =，若{0,1,2,3}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．2．已知复数z 满足24z =-，若z 的虚部大于0，则z = ▲ ．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．45．函数()2sin()(0)f x x ωϕω=>+的部分图象如图所示，若AB= 5，则ω的值为 ▲ ． 6．若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ▲ ．7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为 ▲ ．8. 已知矩形ABCD 的边4AB =，3BC =，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面（第3题） (第5题)BAC ，则三棱锥D ABC -的体积为 ▲ ．9．若公比不为1的等比数列{}n a 满足21213log ()=13a a a ⋅⋅⋅，等差数列}{n b 满足77b a =，则1213+b b b ++的值为 ▲ ．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时，2()log (2)(1)f x x a x b =++-+（,a b 为常数）.若(2)1f =-，则(6)f -的值为 ▲ ．11.已知||=||=2OA OB =1OA OB ⋅．若点C 满足||=1OA CB +，则||OC 的取值范围是 ▲ ．12.已知函数2cos ,0,()(),0x x x f x x a x x ⎧=⎨-<⎩+≥．若关于x 的不等式()f x <π的解集为(,)2π-∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13.已知点(0,1)A ，1,0B （），(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成．．．．．．．．．．文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin 5A =，1tan()2A B -=-.（1）求tan B 的值；（2）若5b =，求c .16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ，点E 为棱PD 的中点．求证：（1）PB //平面EAC ；（2）平面PAD ⊥平面ABCD ．E PABCD（第16题）如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元／百米、40万元／百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数42=+(19)y x x ≤≤模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元．题中所涉及长度单位均为百米．（1）求()f x 的解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．18．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*11110,n n n n n n n n a S a S a a a a n λλ++++--=≠∈+N ．（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值；（2）若12λ=，求n S ．xy OBA CP MN南东西如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，左顶点为(40)A -，，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．20．（本小题满分16分）已知函数321()e 2(4)243x f x x x a x a ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；（2）关于x 的不等式4()e 3x f x <-在(2)-∞，上恒成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 极值点的个数．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的．．．．．答题．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，xyO ME D A P（第19题）与射线AQ 相交于两点B ，C ．求证：BT 平分∠OBA ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值和特征向量．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为28sin()1303ρρθπ--+=，已知3(1,)2A π， 3(3,)2B π，P 为圆C 上一点，求PAB △面积的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是直角三角形，=1AB AC =，12AA =，点P 是棱1BB 上一点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤.（1）若1=3λ，求直线PC 与平面1A BC 所成角的正弦值；（2）若二面角1P AC B --的正弦值为23，求λ的值.23. （本小题满分10分）已知数列{}n a 满足32n a n =-，12111()nf n a a a =+++，2g()()(1)n f n f n =--，A 1C 1B 1ACBP（第22题）*n ∈N .（1）求证：1g(2)3>；（2）求证：当3n ≥时，1g()3n >.数学参考答案一、填空题1. 2；2. 2i ； 3．75； 4．9； 5．3π； 6.13； 7．35； 8. 245； 9．26； 10. 4； 11．； 12．()-∞+；13．4； 14.12．二、解答题15．（1）在锐角三角形ABC 中，由3sin 5A =，得4cos 5A =， (2)分所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅，得tan 2B =. ………………7分（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得sin B =，cos B =，……9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=11分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分16．(1) 连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．………2分因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ．………4分因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC ．……………………6分(2) 因为P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． …………………8分因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．…………………………………10分OPABCDE因为 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ．…………12分因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． …………………14分17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为)=19y x x ≤≤，PM x =所以点P坐标为2,x x x ⎛+ ⎝⎭，直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分则点P 到直线0x y -=24x ==， (4)分又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米．则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 因为22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭，所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 18.（1）令1n =，得221a λ=+．令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++． (2)分由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，因为0λ≠，所以1λ=．………4分（2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+，所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，………………………6分所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列，所以()11212n n S n a =-⋅++， ……………………………………………………8分即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①-②得，13222n n n n n a a a -=-++，……………………………………………10分即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a an n n -=++≥， ………………………12分所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. (14)分代入①得2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. （1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k kk k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k k k k -++，则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分（3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =12分由OMl ，得2D A E A D AM Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=…………………………………………………14分=≥=即k =时取等号，所以当k =AD AE OM+的最小值为 …………………………16分20. (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分 (2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，……………………………6分即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =，所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<，所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分(3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ……11分令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥．………12分ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=，所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； ……………………………14分②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <；综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． ……………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21A ．连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥，所以ABOT ，所以TBA BTO ∠=∠．… 5分又OT OB =，所以OTB OBT ∠=，……8分所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． ………………………………10分 21B ．矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分由()0f λ=，解得12λ=，23λ=．. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分21C ．圆C 的直角坐标方程为224130x y y ++-+=，即22((2)3x y ++-=． ………………………………………………4分又(0,1),(0,3)A B --,所以2AB =．…6分 P 到直线AB 距离的最小值为=8分所以PAB ∆面积的最小值为122⨯10分21D ．因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分=21()()()x y x y x y -+-+-3≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y ++-+≥． ……………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．因为=1AB AC =，12AA =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,2)A ，1(1,0,2)B ，(1,0,2)P λ．……………………………………………1分（1）由13λ=得，2(1,1,)3CP =-，1(1,02)A B =，-，1(0,1,2)A C =-，设平面1A BC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由11110,0A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111120,20.x z y z -=⎧⎨-=⎩不妨取11z =，则112x y ==，从而平面1A BC 的一个法向量为1(2,2,1)=n ．…3分设直线PC 与平面1A BC所成的角为θ，则111sin |cos ,|33||||CP CP CP θ⋅=<>==⋅n n n ，所以直线PC 与平面1A BC ．…………………………5分（2）设平面1PAC 的法向量为2222(,,)x y z =n ， 1(1,022)A P λ=，-，由21210,0A C A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得222220,(22)0.y z x z λ-=⎧⎨+-=⎩不妨取21z =，则22222x y λ=-=，，所以平面1PAC 的法向量为2(22,2,1)λ=-n ．……………………………………7分则12cos ,<>=n n ，又因为二面角1P AC B --的正弦值为23，，………………………………………………………9分化简得2+890λλ-=，解得1λ=或9λ=-（舍去），故λ的值为1． …………………………10分23．（1）由题意知，32n a n =-,2121111()n n n n g n a a a a ++=++++， …………1分当2n =时，234111111691(2)47101403g a a a =++=++=>． ……………2分（2）用数学归纳法加以证明：①当3n =时，34591111(3)g a a a a =++++11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>，所以当3n =时，结论成立．………………………………………………4分②假设当n k =时，结论成立，即1()3g k >，则1n k =+时， (1)g k +()g k =22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-…………6分 22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--，由3k ≥可知，23730k k -->，即1(1)3g k +>．所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②可得，当3n ≥时，1()3g n >． …………………10分。

江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)高三年级第一次质量检测(期末)数学试卷含附加题(原卷版)

徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A =｛x | 0虽＜2｝，B住| 1—x也勺贝U A (J B =__________ .2.已知复数z满足z2 =/ ,且z的虚部小于0，则________________ .3.若一组数据7, x,6,8,8的平均数为7,贝V该组数据的方差是 __________ .4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为__________ .5.函数f ( x)logg x 2的定义域为_________ .6.某学校高三年级有A, B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_______ .7.若关于x的不等式x2 -mx 3 0＜的解集是(1,3)，则实数m的值为.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线诅_丫2= 1的右准线与渐近线的交点在抛物线3y2 =2 px上，则实数p的值为__________ .9.已知等差数列｛a n ｝的前n项和为S n，a2^39=8，S5 =一5，则S15的值为10.已知函数y 3sin 2 x的图象与函数y - cos2 x的图象相邻的三个交点分别是A, B,C，则ABC的面积为_________ .11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M : x2y2-4x-8y 12 —0，圆N与圆M外切与点(0, m)，且过点(0, -2)，则圆N的标准方程为 _____________ .12.已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x =1对称，当? (0,1］时, ; S 4-S + Z [ ! End While \；Print SI!Iaxf ( x)e 其中e是自然对数的底数)，若f (2020 ~ln 2) = 8，贝U实数a的值为.13.如图，在ABC中，D, E是BC上的两个三等分点, AB AD 2 AC AE，则cos ^ADE的最小值为 ______ .I 再I|>^ / / V I14.设函数f ( x)节x 3』ax b | , x走［-1,1］，其中a,b^R .若f ( x)刍M恒成立，则当M取得最小值时，a +b的值为__________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P -ABC中，AP -AB，M ,N分别为棱PB, PC的中点，平面PAB -平面PBC .(1 )求证：BC II平面AMN ;(2)求证：平面AMN —平面PBC .P/816.(本小题满分14分)在ABC中，角A, B,C的对边分别为a, b, c，且cos A.5(1 )若a= 5 , c ； 2丐，求b的值；(2)若B _，求tan2C的值.417.(本小题满分14分) 如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长I为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为01，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心0为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥OO1的体积为V .(1 )将V表示成r的函数;(2)求V得最大值.g 173)18.(本小题满分16分)2 2 2作直线I 与圆O : x y 二b 相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点直线I 的斜率为k .(1 )用k 表示椭圆C 的离心率；(2)若O P O 才_0 ,求椭圆C 的离心率.《第18fi)19.(本小题满分 16分)已知函数f ( x) --—(a )ln x ( a R).x(1)若曲线y 二 f ( x)在点(1, f (1))处的切线方程为x y 1- 0，求a 的值；20.(本小题满分16分) 已知数列｛a n ｝的首项a i3，对任意的n N * ,都有a n 1 ka n 1 (k 0)—,数列｛a n 1｝-是公比不为1的等比数列.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2 3 y 2C :亠—2 _1 (a b 0)的右顶点为A ,过点A(1)求实数k的值；‘4 —为奇数(2)设b n——为偶数，数列｛ b n ｝的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使'a n 1,n得S2"恰好为数列｛ b n ｝中的项.S2m 1徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学U （附加题）21.【选做题】本题包含 A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .［选修4 — 2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵M = ［2 3｝的一个特征值为 4,求矩阵M 的逆矩阵M L. t 1B .［选修4 —4 :坐标系与参数方程］（本小题满分 10分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为P （cot 出sin ）信，曲线C 的参数方程为（勺为参数，円R ）.在曲线C 上点M ,使点M 到I 的距离最小，并求出最小值C .［选修4 — 5 :不等式选讲］（本小题满分 10分）已知正数x, y, z 满足x +y 菠化，求 -------- + ----- — + --- 的最小值x 2y y 2 z z 2 xJ x 二 2 3 cos BJnliy "^2sin 1第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC A i B i C i中，侧面BB l C i C为菱形，BB i C i 60，平面AA i B i B 平面BB1C1C .（1 ）求直线AC i与平面AA i B i B所成角的正弦值;益3(1 )若n 4，求a。

苏北四市2016届高三第一学期期末考试数学试卷(含答案)

（第4题）苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． {0,1,AB =的虚部大于0，则z =45．函数()2sin()(0)f x x ωϕω=>+的部分图象如图所示，若AB= 5，则ω的值为 ▲ ．6．若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ▲ ．7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为 ▲ ．8. 已知矩形ABCD 的边4AB =，3BC =，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D ABC -的体积为 ▲ ． 9．若公比不为1的等比数列{}n a 满足21213log ()=13a a a ⋅⋅⋅，等差数列}{n b 满足77b a =，则1213+b b b ++的值为 ▲ ．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时，2()log (2)(1)f x x a x b =++-+（,a b 为常数）.若(2)1f =-，则(6)f -的值为 ▲ ．2 34 （第3题） (第5题)11.已知||=||=2OA OB =1OA OB ⋅．若点C 满足||=1OA CB +，则||OC 的取值范围是 ▲ ．12.已知函数2cos ,0,()(),0x x x f x x a x x ⎧=⎨-<⎩+≥．若关于x 的不等式()f x <π的解集为(,)2π-∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13.已知点(0,1)A ，1,0B （），(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则最小正整数．．．．．．．．．．过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin 5A =，1tan()2A B -=-.（1）求tan B 的值；（2）若5b =，求c .16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ，点E 为棱PD 的中点．求证：（1）PB //平面EAC ；（2）平面PAD ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元／百米、40万元／百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数2=+9)y x x x≤≤模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元．题中所涉及长度单位均为百米．（1）求()f x 的解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．E PABCD（第16题）南18．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*11110,n n n n n n n n a S a S a a a a n λλ++++--=≠∈+N ．（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值；（2）若12λ=，求n S ． 19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，左顶点为(40)A -，，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．20．（本小题满分16分）已知函数321()e 2(4)243x f x x x a x a ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；xy OMED AP （第19题）（2）关于x 的不等式4()e 3x f x <-在(2)-∞，上恒成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 极值点的个数．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点B ，C ．求证：BT 平分∠OBA ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值和特征向量．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为28sin()1303ρρθπ--+=，已知3(1,)2A π， 3(3,)2B π，P 为圆C 上一点，求PAB △面积的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是直角三角形，=1AB AC =，12AA =，点P 是棱1BB 上一点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤.（1）若1=3λ，求直线PC 与平面1A BC 所成角的正弦值；（2）若二面角1P AC B --的正弦值为23，求λ的值.（第21-A 题）A 1C 1B 1ACBP（第22题）23. （本小题满分10分）已知数列{}n a 满足32n a n =-，12111()nf n a a a =+++，2g()()(1)n f n f n =--，*n ∈N . （1）求证：1g(2)3>；（2）求证：当3n ≥时，1g()3n >.数学参考答案一、填空题1. 2；2. 2i ； 3．75； 4．9； 5．3π； 6.13； 7．35； 8. 245； 9．26； 10.4；11．；12．()-∞+；13．4； 14. 12．二、解答题15．（1）在锐角三角形ABC 中，由3sin 5A =，得4cos 5A =， …………2分所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅，得tan 2B =. ………………7分（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得sin B =，cos B =，……9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………11分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分16．(1) 连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．………2分因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ．………4分因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC ．……………………6分(2) 因为P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． …………………8分因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．…………………………………10分因为 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ．…………12分因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． …………………14分17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为)=19y x x ≤≤，PM x = OPABCDE所以点P坐标为,x x ⎛+ ⎝⎭，直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分则点P 到直线0x y -=24x ==，………………4分又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米．则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 因为22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭，所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 18.（1）令1n =，得221a λ=+．令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++．…………2分由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，因为0λ≠，所以1λ=．………4分（2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+，所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，………………………6分所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列，所以()11212n n S n a =-⋅++， ……………………………………………………8分即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①-②得，13222n n n n n a a a -=-++，……………………………………………10分即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a an n n -=++≥， ………………………12分所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. ……………………14分代入①得2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. （1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分（3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =12分由OMl ，得2D A E A D AM Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=…………………………………………………14分=≥=即k =所以当k =AD AE OM+的最小值为 …………………………16分 20. (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分(2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，……………………………6分即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =，所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<，所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分(3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ……11分令321()3g x x x ax a =-+-， ①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥．………12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=，所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+- 11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； ……………………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <；综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． ……………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21A ．连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥，所以ABOT ，所以TBA BTO ∠=∠．… 5分又OT OB =，所以OTB OBT ∠=，……8分所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． ………………………………10分21B ．矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分由()0f λ=，解得12λ=，23λ=．. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分21C ．圆C 的直角坐标方程为22434130x y x y ++-+=，即22(23)(2)3x y ++-=． ………………………………………………4分又(0,1),(0,3)A B --,所以2AB =．…6分 P 到直线AB 距离的最小值为2333-=，…8分所以PAB ∆面积的最小值为123=32⨯⨯．…………………………………10分21D ．因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分 =21()()()x y x y x y -+-+-3=≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y ++-+≥． ……………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．因为=1AB AC =，12AA =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,2)A ，1(1,0,2)B ，(1,0,2)P λ．……………………………………………1分（1）由13λ=得，2(1,1,)3CP =-，1(1,02)A B =，-，1(0,1,2)A C =-，设平面1A BC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由11110,0A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111120,20.x z y z -=⎧⎨-=⎩ 不妨取11z =，则112x y ==，从而平面1A BC 的一个法向量为1(2,2,1)=n ．…3分设直线PC 与平面1A BC 所成的角为θ，则111sin |cos ,|||||CP CP CP θ⋅=<>==⋅n n n ，所以直线PC 与平面1A BC ．…………………………5分（2）设平面1PAC 的法向量为2222(,,)x y z =n ， 1(1,022)A P λ=，-，由21210,0A C A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得222220,(22)0.y z x z λ-=⎧⎨+-=⎩ 不妨取21z =，则22222x y λ=-=，，所以平面1PAC 的法向量为2(22,2,1)λ=-n ．……………………………………7分则12cos ,<>=n n ，又因为二面角1P AC B --的正弦值为23，，………………………………………………………9分化简得2+890λλ-=，解得1λ=或9λ=-（舍去），故λ的值为1． …………………………10分23．（1）由题意知，32n a n =-,2121111()n n n n g n a a a a ++=++++， …………1分当2n =时，234111111691(2)47101403g a a a =++=++=>． ……………2分（2）用数学归纳法加以证明：①当3n =时，34591111(3)g a a a a =++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>，所以当3n =时，结论成立．………………………………………………4分②假设当n k =时，结论成立，即1()3g k >，则1n k =+时，(1)g k +()g k =22212(1)1111()k k k k a a a a +++++++- …………6分 22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--，由3k ≥可知，23730k k -->，即1(1)3g k +>．所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②可得，当3n ≥时，1()3g n >． …………………10分。

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案2016年秋高三(上)期末测试卷理科数学一、选择题1.已知$a+2i$，其中$i$是虚数单位，则$ab=b+i$，其中$a$，$b$是实数。

(D)3.已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{xy=2x,y\in A\}$，则$A\cap B=\{2\}$。

(A)4.命题$p$：甲的数学成绩不低于100分，命题$q$：乙的数学成绩低于100分，则$p\lor(\neg q)$表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分。

(D)5.在平面直角坐标系$xOy$中，不等式组$\begin{cases}-1\leq x\leq 3\\ x+y-1\geq x-y-1\end{cases}$表示的平面区域的面积为$12$。

(D)7.执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值得集合为$\{1,3\}$。

(D)8.设曲线$x=2y-y^2$上的点到直线$x-y-2=0$的距离的最大值为$a$，最小值为$b$，则$a-b$的值为$2$。

(B)9.函数$y=\sin x-\frac{1}{2}$的图像大致是$\begin{cases}y=\sin x-\frac{1}{2},-\pi\leq x\leq \pi\\ y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。

(A)10.已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$2$，$D$为该圆上一点，且$AB+AC=AD$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为$4\sqrt{3}$。

(D)A）设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，x1+x22>2，x1<x2，则（）B）f(x1)=f(x2)C）f(x1)>f(x2)D）f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案：（C）改写后：设在定义在实数集上的函数f(x)的导数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，当x1+x22>2，x1f(x2)。