八上勾股定理及实数易错题

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八年级数学试卷易错易错压轴勾股定理选择题复习题(含答案)

八年级数学试卷易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题复习题(含答案)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,8222．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）A ．32B ．213C ．5D ．63．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（）A ．1B ．2C ．32D ．34．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（）A ．47B ．62C ．79D ．985．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（）A ．5B ．53C 53D ．5346．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （）A ．5B ．8C ．13D ．4．87．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm8．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（）cm ．A ．9B ．10C ．18D ．209．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A ．0.8米B ．2米C ．2.2米D ．2.7米 10．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．25811．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠12．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④13．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（）A ．62B ．2C ．210D ．614．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（）A ．332cmB ．4cmC ．32cmD ．6cm15．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对16．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm17．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．418．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC 边上的高AD 为（）A ．8B ．9C ．245D ．1019．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A ．北偏西15︒B ．南偏西75°C ．南偏东15︒或北偏西15︒D ．南偏西15︒或北偏东15︒21．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（）A ．①②③B ．②③⑤C ．①⑤D ．③④22．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．1B ．2021C ．2020D ．201923．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．824．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 25．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )A．4 B．16 C．34D．4或3426．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.528．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1，3，2 29．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．30．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（）A ．6B ．2C ．8D ．10【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．【详解】A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；B 、22211145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确； D 、2221147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，能组成直角三角形，故正确；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形． 2．D解析：D【分析】先根据B （3m ，4m+1），可知B 在直线y=43x+1上，所以当BD ⊥直线y=43x+1时，BD 最小，找一等量关系列关于m 的方程，作辅助线：过B 作BH ⊥x 轴于H ，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH 2=EH•FH ，列等式求m 的值，得BD 的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B 的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．3．B解析：B【解析】【分析】如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E 是等腰直角三角形，则BB′=2BE ．又B′E 是BD 的中垂线，则DB′=BB′．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD=2，∴BE=12BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E ．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E 是等腰直角三角形，则BB′=2BE=2,又∵BE=DE ，B′E ⊥BD ，∴DB′=BB′=2．故选B ．【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y∴==79x y∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.5．C解析：C【分析】在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH．即BE．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB 构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E 的运动轨迹是直线是解决此题的关键．6．D解析：D【分析】过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，根据等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出CH ，再利用ABC ACD BCD S S S =+即可求出答案.【详解】如图，过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，∵AC=BC ，CH ⊥AB ，AB=8，∴AH=BH=4，∵AC=5， ∴2222543CH AC AH =-=-=, ∵ABC ACD BCD S S S =+， ∴111222AB CH AC DE BC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, ∴1118355222DE DF ⨯⨯=⨯+⨯, ∴DE+DF=4.8，故选：D.【点睛】此题考查等腰三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意得到ABC ACD BCD S S S =+的思路是解题的关键，依此作辅助线解决问题.7．D解析：D根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ，因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．8．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离，根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．9．D解析：D先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD 2=0.72+2.42=6.25，在Rt △ABC 中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC 2+AB 2=AC 2，AD=AC ，∴AB 2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB ＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．10．C解析：C【分析】根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．【详解】在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，4BC cm ∴=，①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；②如图，当AB AP =时，∵AC BP ⊥，∴28 BP BC cm ==，8t =；③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴()22234x x =+-，解得：258x =， ∴258t =，综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．11．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 12．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，AG ==，∴12ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴4GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，2CF ===，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 13．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴====='' 2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.14．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.【详解】∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，由AD ＝AD ，所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，所以，AC=AE.∵E 为AB 中点，∴AC=AE=12AB ，所以，∠B=30° .∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32,∴= 故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.15．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.【详解】解：由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+=13AC ∴=13AB AC ∴==故ABC 是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.16．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm ，FC=18-2=16cm ，再利用勾股定理计算出SF 长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF 的长，由勾股定理，SF 2=SC 2+FC 2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm ，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．18．C解析：C【分析】本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高.【详解】∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则由面积公式可知，S△ABC＝12AB⋅AC＝12BC⋅AD，∴AD＝245.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD 的值.19．B解析：B【分析】在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析：第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O ∴22172AO AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 设OP x =∴2227AP AO OP x =+=+∵4AB AC ==∴132BO BC == ∴3BP BO OP x =+=+ ∴27=3x x ++∴2x =-，不符合题意；第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O设OP x =∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=-3x =-∴2x =，点P 存在，即1BP =；当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意；∴符合题意的点P 共有：2个故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．20．C解析：C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．21．B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．【详解】解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．22．B解析：B【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．23．A解析：A【分析】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答．【详解】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴由勾股定理得：AB=10，又1122ABCS AB CM AC BC==△，∴6824105 CM⨯==，∴PC+PQ的最小值为245，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．24．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.25．D解析：D【解析】试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：22+=34；35当5是斜边长时，第三边长为：2253-=4．故选D．26．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.27．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝12×CD×BC＝12×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝12S△BCD＝3，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．28．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；B、22+32=13≠42，故不符合题意；C、32+42=25≠62，故不符合题意；D、12+()23=4=22，符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．29．B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．30．A解析：A【分析】设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x，则AC=x+2，∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．。

2020-2021八年级数学试卷易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题精选及答案

2020-2021八年级数学试卷易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题精选及答案一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（）． A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形2．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（）A ．25394+B ．25392+ C ．18253+ D ．253182+ 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（）A ．4B ．5C ．7D ．64．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．3656．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm7．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（）cm ．A ．9B ．10C ．18D ．208．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是（）①DC '平分BDE ∠；②BC 长为()22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长等于BC 的长．A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．③④9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．102B ．2C ．512+ D ．3210．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=︒，则DGQM的值为（）A ．32B ．53C ．45D ．31-11．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（） A ．222b a c =-B ．;C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =12．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ， ②BD ⊥CE ，③∠ACE +∠DBC=30°， ④()2222BE AD AB=+．其中，正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．413．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=︒，4BE =，7AD =，则AB 的长为（）A ．10B ．53C ．213D ．21514．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（） A ．0.6米 B ．0.7米 C ．0.8米 D ．0.9米 15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )A ．5B ．4C ．34D ．4或3416．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A ．3，4，5 B ．1，1，2 C ．8，12，13D ．2、3、517．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．32π C ．2π D ．1218．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m19．下列命题中，是假命题的是( )A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形20．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（）A ．4B ．5C ．6D ．721．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm23．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm24．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③25．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个26．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 230=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（）A ．6B ．8C ．10D ．1227．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（）A ．（22）2013 B ．（22）2014 C ．（12）2013 D ．（12）2014 28．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．929．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.530．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题 1．D 解析：D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由222+=a b c的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．【详解】∵2(1)0a c-=又∵()210ac⎧-≥≥-≥⎪⎩∴()21=0ac⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴12abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴222+=a b c∴△ABC为直角三角形故选：D．【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．2．A解析：A【解析】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是34•AB2=34•（25+12）=9+2534．故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积.【详解】解：在中∵，,∴,∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积.4．D解析：D 【解析】【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取. 【详解】A 中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；B 中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；C 中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；D 中,根据A 可得，C 可得，结合完全平方公式可以求得，错误.故选D. 【点睛】本题考查勾股定理.在A 、B 、C 选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D 选项是由A 、C 选项联立得出的.5．C解析：C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴22226810ABAC BC ，∵D 是AB 的中点， ∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6， ∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ， ∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ， ∴∠DEB= 90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ， ∵DE=DE ， ∴△DHE ≌△EGD ， ∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--， ∴75x =， ∴75EH DG ==， ∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE ≌△EGD ，由此求出BE 的长度.6．C解析：C【分析】当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．【详解】解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，∴AC ′=AB-BC ′=2cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离，根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系．【详解】解：根据折叠的性质知，△C ED CED '≅∆，且都是等腰直角三角形，∴90BDE ∠<︒，45C DE ∠'=︒， ∴12C DE BDE ∠'≠∠ ∴DC '不能平分BDE ∠①错误；45DC E DCE ∴∠'=∠=︒，C E CE DE AD a '====，2CD DC a ='=，2AC a a ∴=，2(22)BC a ==，∴②正确；2ABC DBC ∠=∠，22.5DBC ∴∠=︒，45DCB ∠=︒，112.5BDC ∴∠=︒，BCD ∴∆不是等腰三角形，故③错误；CED ∴∆的周长()222CE DE CD a a a a BC =++=++=+=，故④正确．故选：B ．【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．9．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，. 故选A ．10．D解析：D【分析】先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB ≌△CAM ，之后利用全等三角形的性质定理分别可得30EBA CMA ==︒∠∠，60BPQ APM ==︒∠∠，12PQ PB =，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =，PQ =，所以32QM QP PM =+=；易证Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL），从而得DG AB ==然后代入所求数据即可得DG QM的值．【详解】解：∵在△EAB 和△CAM 中，AE AC EAB CAM AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△EAB ≌△CAM （SAS ），∴30EBA CMA ==︒∠∠，∴60BPQ APM ==︒∠∠,∴90BQP ∠=︒,12PQ PB =, 设1AP =，则AM =2PM=，1PB =，12PQ =，∴2QM QP PM =+=+=； ∵ 在Rt △ACB 和Rt △DCG 中，CG BC AC CD =⎧⎨=⎩， Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），∴DG AB ==∴1DG GM==．故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．11．C解析：C【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可．【详解】解：A 、由222b a c =-得a 2=b 2+c 2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符合题意；B 、由C A B ∠=∠-∠得∠C +∠B=∠A ，此时∠A 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC 不是直角三角形，故此选项符合题意；D 、a ：b ：c=5：12：13，此时c 2=b 2+ a 2，符合勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．12．B解析：B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，∵在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE ，故①正确；②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BDC=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AE=AD ，∴DE 2=2AD 2，∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt △BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∴BD 2<2AB 2，∴()2222BE AD AB<+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 13．C解析：C【分析】设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244ABx y 【详解】解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°，∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49，∴2255164965x y ，即2213x y +=，在直角△ABC 中，2244413213ABx y ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求得22x y +的值是解题的关键．14．B 解析：B【解析】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定（米）．故选B．15．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=22-=4；53②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=22+=3453故选：D16．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=（2）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.（2）2+（3）2=（5）2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．17．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；以AC为直径的半圆的面积S2=98π（cm2）；以BC为直径的半圆的面积S3=258π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．18．D解析：D【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，22500AB BC m+=∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．19．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．20．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC为等边三角形∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°，∴∠FBG＝30°，∵FG＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG ＝45°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°，∴=AB 2=AG 2+BG 22)2=6．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG 为等腰直角三角形是解题关键．21．C解析：C【分析】根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误．【详解】解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，∴CD=12AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AE=DE ，∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，∴∠BAE=∠CDE ，在△ABE 和△DCE 中，AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确；∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确；∵∠AEB+∠BED=90°，∴∠DEC+∠BED=90°，∴BE ⊥EC ，故③小题正确；∵△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ，∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，∴AB=2DE，AC=22DE，在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（2DE）2+（22DE）2=10DE2，∵BE=EC，BE⊥EC，∴BC2=BE2+EC2=2EC2，∴2EC2=10DE2，解得EC=5DE，故④小题错误，综上所述，判断正确的有①②③共3个．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．22．C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．23．B解析：B【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB ＝22AC BC +=2268+＝10，△ADE 是由△ACD 翻折，∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中，∵222DE EB DB +=，∴()22248x x +=-，∴x ＝3，∴CD ＝3．故答案为：B ．【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题． 24．A解析：A【分析】作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变；△DEF 是等腰直角三角形DE=2DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值42，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积．【详解】连接CF ；∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF ；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴DE=2DF=42；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8，则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.25．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.26．B解析：B【解析】【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB=BE=∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B==8．所以AM+NB的最小值为8．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．27．C解析：C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=(12)n−3”，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，…，∴S n=(12)n−3．当n=2016时，S2016=(12)2016−3=(12)2013．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n=(12)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=1102a a ⋅=，'AB C △的面积=142b ⋅=∴2a = 2b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 2=∴'ABC △的面积=21224c c c ⋅⋅==64= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积29．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据勾股定理求出BD ，得到CD 的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D 在线段AB 的垂直平分线上，∴DA ＝DB ，在Rt △BCD 中，BC 2+CD 2＝BD 2，即42+（8﹣BD ）2＝BD 2，解得，BD ＝5，∴CD ＝8﹣5＝3，∴△BCD 的面积＝12×CD ×BC ＝12×3×4＝6， ∵P 是BD 的中点，∴S △PBC ＝12S △BCD ＝3，故选：A ．本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．30．A解析：A【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．【详解】解：如图∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活动中心P应在斜边AB的中点．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．。

勾股定理易错题整理(可交作业)

勾股定理易错题整理(可交作业)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10 B．2 C．10或2D．无法确定【答案】C【解析】第三边不一定是最长边，需要分类讨论，不能按照惯性思维。

2．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1【分析】根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积，找出规律即可．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21﹣2；AC==，AD==2…，∴S △ACD=××=1=22﹣2；S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．故选A．3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2．【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答．【解答】解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，得正方形A2，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，所以正方形D的面积=100﹣36﹣25﹣25=14cm2．4．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．【分析】地毯的长显然是两条直角边的和；根据勾股定理，得另一条直角边的长．【解答】解：根据勾股定理，另一直角边==3，∴3+4=7，故应填7．5．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15C．6 D．以上答案都不对【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6．当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；当AD在三角形的外部时，BC=15﹣6=9．则BC的长是21或9．故选D．6．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．18【分析】首先根据勾股定理和等腰三角形的性质，确定出底边的长，进而求出其周长．【解答】解：如图，作高AD，△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC，AD=4；Rt△ABD中，AB=5，AD=4；根据勾股定理，得：BD==3；∴BC=2BD=6；所以△ABC的周长=5+5+6=16；故选C.7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3【解答】解：若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则根据三角形的内角和定理，得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．设a=x，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得c=2x，再根据勾股定理，得b=x，则a：b：c=1：：2．故选A．8．在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为7．【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积．【解答】解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2=36，又∵AC+BC=8，∴AC2+2AC?BC+BC2=64，∴2AC?BC=64﹣（AC2+BC2）=64﹣36=28，又∵S△ABC=AC?BC，∴S△ABC==7．9．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段8条．．【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段．【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．。

勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)

勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。

八年级数学勾股定理重点易错题

(每日一练)八年级数学勾股定理重点易错题单选题1、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√5答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2、如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（）A．9B．13C．14D．25答案：B解析：画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12，宽为5，∴AB=√52+122=13，即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．故选：B．小提示：此题考查的是勾股定理与最短路径问题，解题的关键是掌握勾股定理和两点之间线段最短．3、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√5答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a，HG=b，则斜边BD的长是（）A．a+b B．a⋅b C．√a2+b22D．√a2−b22答案：C解析：根据全等三角形的性质，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由CE=a，HG=b建立方程组，求解即可得出CD=x= a−b,BC=y=a+b，然后借助勾股定理即可表示BD.解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ， ∵CE =a ，HG =b ， ∴{x +y =a y −x =b 解得：{x =a−b2y =a+b 2，故CD =a−b 2,BC =a+b 2在RtΔBCD 中，根据勾股定理得：BD 2=BC 2+CD 2=(a+b 2)2+(a−b 2)2=a 2+b 22，∴BD =√a 2+b 22.故选:C. 小提示：本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键. 5、在△ABC 中，a ∶ b ∶ c =1 ∶ 1 ∶ √2，那么△ABC 是（） A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：D 解析：根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可． ∵a ：b ：c =1：1：√2，∴三角形ABC 是等腰三角形．设三边长为a,a,√2a∵a 2+a 2=（√2a ）2，∴三角形ABC 是直角三角形．综上所述：△ABC 是等腰直角三角形．故选D．小提示：本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此题关键是利用勾股定理的逆定理解答．6、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故4×12ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；4×12D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．7、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米答案：C解析：在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C ．小提示：本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.8、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于 12 AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ．若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于（）A ．2B ．103C ．158D ．152答案：C 解析：根据勾股定理求出BC ，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ，根据勾股定理求出AE ，再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC=√52−32=4, 连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC 2+CE2=AE2，即32+（4-AE ）2=AE2，解得：AE=258，在Rt △ADE 中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE 2+(52)2=(258)2，解得：DE=158.故选C.“点睛”：本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键. 填空题9、如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．答案：100．解析：三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A 所代表的正方形的面积A =36+64=100．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．所以答案是：100．小提示：本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．10、如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．答案：0.5解析：结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC=√AB2−BC2=√2.52−1.52=2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE=√DE2−CD2=√2.52−22=1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．11、如图，在RtΔABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，RtΔMPN，∠MPN=90∘，点P在AC上，PM交AB 于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________．答案：3解析：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出PQPR =PEPF=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴PQPR =PEPF=2，∴PQ=2PR=2BQ．∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=35，∴AP=5x=3．故答案为3．小提示：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12、如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．答案：14解析：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√102−62=8（米），则AC+BC=14（米），所以答案是：14．小提示：本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．13、若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足√a2−6a+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为_____．答案：5解析：解：∵√a2−6a+9+|b−4|=0，∴a2−6a+9=0，b－4=0，解得a=3，b=4．∵直角三角形的两直角边长为a、b，∴该直角三角形的斜边长=√a2+b2=√32+42=5．所以答案是：5解答题14、如图，已知∠ABD=90°，AB=8 m，AD=17 m，DC=20 m，BC=25 m．（1）求BD的长度；1112（2）求四边形ABCD 的面积．答案：（1）BD =15(2) 210m 2.解析：（1）根据勾股定理即可求出BD 的长；（2）先根据勾股定理的逆定理判断△BDC 是直角三角形，然后根据四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BDC 的面积和即可得出答案．解：（1）∵∠ABD =90°，∴AB 2+BD 2=AD 2， ∴82+BD 2=172， ∴BD =15；(2)∵BD =15，DC =20，BC =25，∴BD 2+DC 2=BC 2， ∴∠BDC =90°，∴四边形ABCD 的面积=12AB ×BD +12CD ×BD=12×8×15+12×20×15=210m 2．小提示：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理判断出△BDC是直角三角形是解决此题的关键．15、如图，在△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．答案：84解析：先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴ΔABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在RtΔACD中，CD=√AC2−AD2=15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴SΔABC=12BC·AD=12×21×8=84．因此ΔABC的面积为84．故答案为84．小提示：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证ΔABD是直角三角形．13。

八年级数学勾股定理易错题集锦

(每日一练)八年级数学勾股定理易错题集锦单选题1、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1､S 2､S 3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S 4､S 5､S 6．其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14，则S 3+S 4=（）A ．86B ．64C ．54D ．48答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S2=12×x×√32x=√34AB2，同理：S1=√34AC2，S3=√34BC2，∵BC2=AB2-AC2，∴S3=S2-S1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D,E 两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3,CG＝2，则CF的长为（）A ．52B ．3C ．2D ．72 答案：A解析：根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.解：由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB ＝FC ，CG ＝BG ＝2，FG ⊥BC∵∠ACB ＝90°，∴FG//AC ，∴BF ＝CF ，∴CF 为斜边AB 上的中线，∵AB ＝√32+42＝5，∴CF ＝12AB ＝52．故选A ．小提示：本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.3、在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A ．6B ．7C ．10D ．13答案：D解析：根据勾股定理a2+b2=c2，计算出斜边长为13．解：由勾股定理得，斜边长＝√52+122=13，故选：D．小提示：本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长．4、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．5、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（）A．4B．8C．9D．7答案：D解析：先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.解：楼梯的水平宽度=√52−32=4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.小提示：本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.6、下列各组数中，不能．．作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25B．9，12，15C．32，42，52D．√2，√3，√5答案：C解析：根据勾股定理依次判断各选项即可.A、72+242=252，故能构成直角三角形；B、92+122=152，故能构成直角三角形；C、(32)2+(42)2≠(52)2，故不能构成直角三角形；D、(√2)2+(√3)2=(√5)2，故能构成直角三角形；故选C.小提示：本题是对勾股定理逆定理的考查，熟练掌握定理是解决本题的关键.7、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=32，则BC的长是（）A．3√22B．3√2C．3D．3√3答案：B解析：折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12AB,所以AB=AC,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，∴EF=12AB，∵EF=32，∴AB=2EF=32×2=3，在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，∴BC=√AB2+AC2=√32+32=3√2,故选B.小提示：本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．8、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M表示的数为()A．2.1B．√10－1C．√10D．√10＋1答案：B解析：先根据勾股定理求出AB的长，进而可而出结论．∵△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=1，∴AC=√AB2+BC2=√32+12=√10．∵A点表示−1，∴M点表示√10－1故选：B．小提示：本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．填空题9、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．答案：34解析：首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.×60=30（cm），根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD=12∴CF=√CD2+DF2=34（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.小提示：此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；10、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．答案：2+2√3解析：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，∴AB=2BC=4m，∴AC=√AB2−BC2=2√3m，∴AC+BC=2+2√3（m）.故答案为2+2√3.小提示：本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.11、将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．答案：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等解析：根据命题的形式解答即可．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，所以答案是：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．小提示：此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键．12、若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为 _______．答案：6.5解析：先根据勾股定理计算出斜边，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.解：因为直角三角形的两条直角边分别5和12，由勾股定理可得：斜边=√52+122=√169=13，因为斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边中线=13÷2=6.5，所以答案是：6.5.小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是要熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.13、在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为______cm2．答案：126或66．解析：解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt △ABD 中，BD = √AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =21，∴S △ABC =12•BC •AD =12×21×12=126cm 2；当∠B 为钝角时（如图2），在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =CD -BD =16-5=11cm ，∴S △ABC =12•BC •AD =12×11×12=66cm 2，所以答案是：126或66．解答题14、如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．答案：5解析：考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．分析：首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出EF的长．解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵{∠EBD=∠C BD=CD∠EDB=∠FDC，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．答：EF的长为5．15、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.答案：见解析解析：连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°证明：连接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=625，∴AC2=CD2+AD2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°−180°=180°小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键。

勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)

勾股定理练习卷姓名一、填空题1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝．3．在△ABC中，假设其三条边的长度分别为9、12、15，那么以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，那么正方形D的面积是cm2．5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间．6．x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上〔设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上〕，小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，假设图中大小正方形的面积分别为52与4，那么直角三角形的两直角边分别为与．〔注：两直角边长均为整数〕二、选择题1．以下各组数为勾股数的是〔〕A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 2．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，那么梯子的长度为〔〕A．12m B．13m C．14m D．15m3．直角三角形两直角边边长分别为6cm与8cm，那么连接这两条直角边中点的线段长为〔〕A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm4．假设将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，那么斜边扩大为原来的〔〕A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍5．以下说法中，不正确的选项是〔〕A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，那么这个三角形是〔〕A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，那么另一直角边为〔〕A．3 B．4 C．12 D．138．如果正方形ABCD的面积为29，那么对角线AC的长度为〔〕A ．23B ．49C ．3D ．29三、简答题 1．〔10分〕如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2．〔10分〕如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，假设AB ＝60m ，BC ＝84m ，AE ＝100m ，那么这条小路的面积是多少3．〔10分〕如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，∠B ＝30°，AD ⊥AB ，垂足为A ，CD ＝1c m ，求AB 的长．4．〔10分〕小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么方法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5．〔10分〕如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，点D 在BC 上，AD ＝24，BD ＝7，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？6．〔10分〕如图8所示，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，且AB ⊥BC ．求证：AC ⊥CD ．参考答案：一、1．直角，a2．25 3．108 4．17 5．12 6．20 7．0.7 8．4，6二、1~4．CBDA 5~8．BBCA三、1．〔1〕5x =；〔2〕24x =2．2240m34．略5．所以AD平分BAC∠，理由略6．证明略四、〔1〕84，85．〔2〕任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的与，并且这两个连续整数及原来的奇数构成一组勾股数．〔3〕略．八年级下册第十八勾股定理水平测试一、填空题〔每题3分，共24分〕1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，那么三角形是三角形；假设这三个内角所对的三边分别为a、b、c〔设最长边为c〕，那么此三角形的三边的关系是．2．等腰直角三角形的斜边长为2，那么直角边长为，假设直角边长为2，那么斜边长为．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，①假设AB＝41，AC＝9，那么BC＝；②假设AC＝1.5，BC＝2，那么AB＝．4．两条线段的长分别为11cm与60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．5．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，那么筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．6．如图2，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝．7．等腰直角三角形有一边长为8c m，那么底边上的高是，面积是．8．如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A与点B的直线距离是．二、选择题〔每题3分，共24分〕1．如图4,两个较大正方形的面积分别为225,289,那么字母A所代表的正方形的面积为〔〕A．4 B．8 C．16 D．642．小丽与小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个〔设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线〕〔〕A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定3．一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边及斜边长的与是49cm,那么斜边的长〔〕A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，那么阴影局部的面积是〔〕A．16 B．18 C．19 D．215．在直角三角形中，斜边及较小直角边的与、差分别为18、8，那么较长直角边的长为〔〕A．20 B．16 C．12 D．86．在△ABC中，假设AB＝15，AC＝13，高AD＝12，那么△ABC的周长是〔〕A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是〔〕A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，那么AE2-BE2等于〔〕A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2三、简答题〔共58分〕1．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m，求它的面积．2的点．3．如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？4．如图9，一游泳池长48米，小方与小朱进展游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点5．如图10〔1〕所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10〔2〕所示．展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索〔此题14分〕：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．〔1〕填表：〔2〕如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜测：l = (用含有m 的代数式表示)．〔3〕证明〔2〕中的结论．参考答案：一、1．直角，222ab c +=2．1，2 3．40，2.5 4．615．14 6．12 7．4或，16或328．10 二、1~4．DBDC 5~8．CCBA三、1．2120cm2．图略3．不正确，可添加DB BC ⊥或5cm DB =4．小方先到达终点54条四、解：〔1〕从上往下依次填12，1，32；〔2〕；〔3〕证明略．Ww点击勾股定理之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一.清新扮靓的规律探究题例1〔成都市〕如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n 〔n 为正整数〕，那么第8个正方形的面积8S ＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般〞．即是先通过观察几个特殊的数式中的变数及不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：照此规律可知：25416S ==，新课标第一网观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -=因此，817822128S -===二.考察阅读理解能力的材料分析题例2〔临安〕阅读以下题目的解题过程：a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断的形状．AB CD EF G HI J问：〔1〕上述解题过程，从哪一步开场出现错误？请写出该步的代号：；〔2〕错误的原因为：〔3〕此题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，此题属于“判断纠错型〞题目．集中考察了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式2222222-=+-没有错，错在将这个等式()()()c a b a b a b两边同除了一个可能为零的式子22-=，那么有()()0-．假设220a ba b+-=，a b a b从而得a b=，这时，ABC为等腰三角形．因此：（1）选C．（2）没有考虑220-=a b(3) ABC∆是直角三角形或等腰三角形三.渗透新课程理念的图形拼接题例3〔长春〕如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC的外部拼接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如下图．出正确的图形〕例如图备用图【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰及底边确实定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四.极具“热点〞的动态探究题例4〔泉州〕:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在及地面OM垂直的墙壁ON上，梯子及地面的倾斜角α为 60．⑴求AO及BO的长；⑵假设梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米X k b1.c o m【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但假设是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半〞，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOBRt∆中,∠O=90,∠α= 60∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，∴米.由勾股定理得：22-22OA AB OB421223=-=.⑵设2,3,==在CODAC x BD xRt∆中,根据勾股定理:222+=OC OD CD∴所以，AC=2x=即梯子顶端A沿NO下滑了米.勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考察的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．〔1〕记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值．〔2〕根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC 222AB BC +=同理，AE =2，EH = 22．即 a 2= 2，a 3=2，a 4= 22(2) ∵011(2)a ==， 122(2)a ==， 232(2)a ==， 3422(2)a ==，点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性与逻辑性较强，它着力于考察观察、分析、比拟、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质与解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图〔１〕是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 与b ，斜边长为c ．图〔２〕是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．〔１〕画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；〔２〕用这个图形证明勾股定理；〔３〕假设图〔１〕中的直角三角形有苦干个，你能运用图〔１〕所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图〔无需证明〕．解：〔1〕所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．〔2〕由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为〔a +b 〕，所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积与，所以梯形的面积又可表示为：．Xk b1.c om〔3〕所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考察解题者的动手能力与创新设计的才能。

八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)

勾股定理易错点与重难点复习（一）1、已知实数a 满足100822018a a a －＋－＝，那么221008a －＝。

20182、已知571x x ＋－－＝，则57x x ＋＋－＝。

12 3、已知a ＋b ＝4，ab ＝1，则a bb a＋＝。

4 4、已知2510x x -+= （1）求1x x +的值；（2）求221xx +的值；（3）求441x x +的值；（4）直接写出551x x +＝_________，661x x +＝_________。

解：1x x +＝5 221x x +＝3 331x x +＝25 441x x +＝7 551x x +＝55 661x x +＝18知识点勾股定理及其逆定理【知识梳理】1、勾股定理的基础概念（1）勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾（a ）和股（b ）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c ）来表示斜边。

（2）勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：2勾＋2股＝2弦。

（3）勾股定理的表示方法：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则2a ＋2b ＝2c 。

（1）勾股定理的前提是，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系。

（2）利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边。

尤其在记忆2a＋2b＝2c时，此关系式只有当c是斜边时才成立。

若b是斜边，则关系式是2a＋2c＝2b；若a是斜边，则关系式是2b＋2c＝2a。

（3）勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由2a＋2b＝2c，得2a＝，2b＝等。

熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助。

2、勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形。

方法2：用四个相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的正方形（赵爽弦图）。

方法3：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a，b，斜边为c）构成如图所示的梯形。

勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)

勾股定理练习卷姓名一、填空题1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝．3．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间．6．已知x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数）二、选择题1．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（）A．12m B．13m C．14m D．15m3．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A ．10cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍5．下列说法中，不正确的是（）A ．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B ．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D ．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（）A ．3B ．4C ．12D ．138．如果正方形ABCD 的面积为29，则对角线AC 的长度为（）A ．23B ．49CD ．29 三、简答题1．（10分）如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2．（10分）如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，若AB ＝60m ，BC ＝84m ，AE ＝100m ，则这条小路的面积是多少?3．（10分）如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，∠B ＝30°，AD ⊥AB ，垂足为A ，CD ＝1c m ，求AB 的长．4．（10分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5．（10分）如图7，在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上，AD＝24，BD＝7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？6．（10分）如图8所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求证：AC⊥CD．参考答案：一、1．直角，a2．25 3．108 4．17 5．12 6．207．0.7 8．4，6二、1~4．CBDA 5~8．BBCA三、1．（1）5x=；（2）24x=2．2240m34．略5．所以AD平分BAC∠，理由略6．证明略四、（1）84，85．（2）任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数．（3）略．八年级下册第十八《勾股定理》水平测试一、填空题（每小题3分，共24分）1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形是三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为c），则此三角形的三边的关系是．2．已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为，若直角边长为2，则斜边长为．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若AB＝41，AC＝9，则BC＝；②若AC＝1.5，BC ＝2，则AB＝．4．已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为 cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．5．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．6．如图2，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝．7．等腰直角三角形有一边长为8c m，则底边上的高是，面积是．8．如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．二、选择题（每小题3分，共24分）1．如图4,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定3．一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．19 D．215．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（）A．20 B．16 C．12 D．86．在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2三、简答题（共58分）1．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m，求它的面积．2的点．3．如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？4．如图9，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点?5．如图10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题14分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．（1）填表：(用含有m的代数式表示)．（2）如果a＋b－c＝m，观察上表猜想：l（3）证明（2）中的结论．参考答案：一、1．直角，222a b c +=2．1，2 3．40，2.5 4．615．14 6．12 7．4或，16或32 8．10 二、1~4．DBDC 5~8．CCBA 三、1．2120cm2．图略3．不正确，可添加DB BC ⊥或5cm DB =4．小方先到达终点54条四、解：（1）从上往下依次填12，1，32；（2）4S m l =；（3）证明略．点击《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一.清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ==， 222S == 2324S == 248S ==照此规律可知：25416S ==，观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -= 因此，817822128S -===二.考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断的形状．解：2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式2222222()()()c a b a b a b -=+-没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子ABC D EFGHIJ22a b -．若220a b -=，则有()()0a b a b +-=，从而得a b =，这时，ABC 为等腰三角形．因此：（1）选C ．（2）没有考虑220a b -=(3) ABC ∆是直角三角形或等腰三角形三.渗透新课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图备用图【解析】：要在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四.极具“热点”的动态探究题例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60．⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行. 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米?X k b1.c o m【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOB Rt ∆中,∠O=90,∠α= 60 ∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，∴122OB AB ==米.由勾股定理得：OA ===. ⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,2,23,4OC x OD x CD ==+= 根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234x x ++= -∴(213120x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴x =所以，即梯子顶端A 沿NO .勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．（1）记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的4a 正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，的值．（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC同理，AE =2，EH = a 2a 3=2，a 4=(2) ∵011a ==， 12a ==， 232a ==， 34a ==，∴1n n a -= ()1,n n ≥是自然数．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．图（２）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为（a +b ），所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ab ab c ++．Xk b1.c om∴221111()2222a b ab ab c +=++． ∴222a b c +=．（3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。

第05讲易错易混集训：利用勾股定理求解易错(解析版)--初中数学北师大版8年级上册

第05讲易错易混集训：利用勾股定理求解易错目录【典型例题】.......................................................................................................................错误！未定义书签。

【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 (1)【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 (3)【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 (7)【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 (10)【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__【答案】7或25【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方223425=+=；当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方22437=-=．故答案为：7或25．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式训练】则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】AD 为边BC 上的高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD 中，2BD AB =-在Rt ACD 中，2CD AC =-当点D 在线段BC 上时，BC =BC=+=，23268AB=+所以三角形ABC的周长AB=如图2：BC=-=，AB=624所以三角形ABC的周长故答案为：3513++【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在且BP＝6，则线段AP的长为__________．AD是BC边上的高，ADB ADC∴∠=∠=︒，90∴在Rt△ABD中，2=-BD AB AD 是BC边上的高，AD【答案】4或25 4【分析】当ABP为直角三角形时，分两种情况：此时t的值即可．【详解】在Rt ABC△中，由勾股定理得：①当APB∠为直角时，如图①，点P与点C重合，4cmBP BC==，4t∴=；∠【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC ＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．(1)求BC边的长；(2)当ABP△为直角三角形时，求t的值；∴(CP BP BC =-=∵222AC CP AP =＋∴()222435t t -=-+∵AC BC ⊥，∴2BP BC =，∴=5t ；当AP BP =时，如下图所示：则(3CP BC BP =-=在Rt APC 中，2AC 即()22243t t +-=，【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm ，底面周长为40cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 且与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为（）cm ．（杯壁厚度不计）A ．20B ．25C ．30D ．40【答案】B故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm 有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是______cm．【答案】15⊥于E，求出SE、【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE CDEF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，⊥于E，过S作SE CD【答案】30【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，再根据勾股定理求出正确答案．【详解】解：如图由勾股定理得()99AB =+如图2所示，当沿长方体的长展开时，【答案】85【分析】可将教室的墙面ADEF 与地面解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面ADEF 过P 作PG BF ⊥于G ，连接∵6AG =米，AP AB ==∴221068PG =-=(米∴16BG =米，∴228PB GB PG =+=∵滑行部分的斜面是半径为∴12332AD ππ=⨯⨯=∵16AB CD ==，CE ∴16412DE =-=，在Rt ADE 中，22AE AD DE =+=（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：∴AC 1=221AC CC +。

八上数学第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选(含答案)

八年级数学上册第一章勾股定理知识点+易错题精选1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理易错题精选一．选择题1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．5，8，13D ．12，13，142．用四个边长均为a 、b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A ．c 2=a 2+b 2B ．c 2=a 2+2ab+b 2C ．c 2=a 2﹣2ab+b 2D ．c 2=（a+b ）2．3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A．360 B．400 C．440 D．4844．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．65．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）A． B．C． D．37．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：158．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（）A．0块 B．1块 C．2块 D．3块10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A 和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定二．填空题11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积= cm2．18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为米（精确到0.1m）．19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里．20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．二．解答题21．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案一．选择题1．【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．2．【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2=ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2=a2+b2．故选：A．3．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．故选：C．4．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．故选：C．5．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．6．【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：根据勾股定理可知：AB==，AC==，BC==，则△ABC是等腰三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，即BD=CD=BC=，AD===，即点A到BC的距离为．故选：C．7．【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2=a2则b2=a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．8．【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2=132+472=2378，∵492=2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．9．【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m．宽小于或等于2.5m的有：①②③．故选：B．10．【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．【解答】解：设AE=xkm，则BE=（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=BE2+BC2，故242+x2=（40﹣x）2+162，解得：x=16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．二．填空题11．【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．【解答】解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；故答案为：10或2．12．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为：10．13．【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1．故答案为： +1．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．16．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为：9017．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形，分别求出△ABD和△CBD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结BD，在△ABD中，∵∠A=90°，BC=3cm，DC=4cm，∴BD==5（cm），S△BCD=BC•DC=×3×4=6（cm2），在△ABD中，∵AD=13cm，AB=12cm，BD=5cm∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD=AB•BD=×12×5=30（cm2），∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36（cm2）．故答案为：36．18．【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，在Rt△ABC中，BC=≈192.2米，故答案为：192.219．【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，再根据勾股定理，即可求得海岛B与灯塔C之间的距离．【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，所以△ABC是直角三角形，∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，∴AC=60海里，∴BC==30（海里）故答案为：3020．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2三．解答题（共6小题）21．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．22．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，∴AC=5，又∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．23．【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）AB==5，BC==，AC==，△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，故答案为：5；；；；（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1=5．24．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．25．【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．26．【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB===12（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程==20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（cm/s）．。

八年级数学上册第一章勾股定理 3 勾股定理的应用勾股定理中的易错题辨析素材北师大版(202

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勾股定理中的易错题辨析一、审题不仔细,受定势思维影响例1 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=,则（ )（A ）A ∠为直角（B ）C ∠为直角(C)B ∠为直角（D ）不是直角三角形错解：选（B ）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠,因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=，即222a b c =+,因根据这一公式进行判断.正解:222a b c -=，∴222a b c =+。

故选（A)例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长。

错解:5==.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5。

但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边。

正解:（1）当两直角边为3和4时，第三边长为5==；（2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.二、概念不明确,混淆勾股定理及其逆定理例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是（）（A ）1、2、3 (B)2223,4,5 （D 错解：选(B ）分析:未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式。

北师大版八年级数学上册第1章勾股定理易错题练习

第1章勾股定理一．选择题1．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84B．24C．24或84D．42或842．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（）A．最大等边三角形与直角三角形面积的和B．最大等边三角形的面积C．较小两个等边三角形重叠部分的面积D．直角三角形的面积3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．304．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．9B．36C．27D．345．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝5，b＝13，c＝12C．a＝1，b＝2，c＝3D．a＝30，b＝40，c＝506．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．988．下列是勾股数的一组是（）A．1，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，7，129．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．8米B．12米C．5米D．5或7米10．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（）A．南偏西15°，3千米B．北偏东15°，3千米C．南偏西15°，3千米D．南偏西45°，3千米二．填空题11．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为．12．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．13．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为．14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有尺高．15．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是．三．解答题16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？17．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．18．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．19．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．20．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？参考答案一．选择题1．C．2．C．3．C．4．B．5．C．6．C．7．C．8．B．9．A．10．A．二．填空题11．10．12．．13．（11，60，61）．14．．15．10cm．三．解答题16．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．17．证明∵AC⊥BD，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ECD≌△BCA（SAS），∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDC，∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°，∴DF⊥AB．∴S△ABD＝S△BCE+S△ACD+S△ABE＝a2+b2+c•EF，∵S△ABD＝c•DF＝c（EF+DE）＝c（EF+c），∴a2+b2+c•EF＝c（EF+c），∴a2+b2＝c2．18．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴满足BD2+CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰长为cm．19．解：（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15∴a＝由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0∴a＞1，0＜b＜5∵a和b均为正整数∴b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，∵+＝240，＝240∴+＝∴b＝4符合题意．∴a＝；a＝31，b＝4．（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625∴152+202＝252∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．20．解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．。

八年级《勾股定理和实数》测试题

八年级?勾股定理和实数?测试题XX一、选择题〔 30 分〕1.以下四组数据不能作为直角三角形的三边长的是〔〕A ． 6、8、 10B.5、12、 13C.12、18、 22D.9、 12、 152.一个直角三角形的一条直角边长为12cm, 斜边长为 15cm, 那么此直角三角形的面积为〔〕A.54 cm 2B.90cm 2C.108cm 2D.180cm 23.将直角三角形的三条边同时扩大 4 倍后 , 得到的三角形为〔〕A. 直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定5.等腰三角形的一腰长为13, 底边长为 10, 那么它的面积为〔〕A.65B.60C.120D.1306.等边三角形的边长是10,它的高的平方等于〔〕A.50B.75C.125D.2007.以下各数 : 0.458, 4.2,,0.1234 ⋯⋯ , -0.121212 ⋯⋯ ,36 中无理数有( )个 .2A. 3B. 4C. 2D. 48.以下说法错误的选项是()A 、无理数的相反数还是无理数B 、无限小数都是无理数C、正数、负数统称有理数 D 、实数与数轴上的点一一对应9.25 的平方根是〔〕A 、5B、－ 5C、5D、536的平方根是±6以下各式正确的选项是()10. “〞,255A.36=±6B.±36=±6C.36 =6D.±36=6255255255255二、填空题〔 10 分〕1.平方根等于本身的实数是。

2.0.81 的算术平方根的倒数是 _________________.3.在△ ABC中，∠C=90°，①假设 a=5， b=12，那么C=②假设 c=10， a﹕ b=3﹕ 4，那么 a=， b=4．△ ABC 中，假设 AC2＋ AB2 = BC2，那么∠ B＋∠ C=5.假设三角形的三边之比为3﹕4﹕ 5，那么此三角形为三角形。

三．计算题1. 化简〔 18 分〕〔1〕1235〔 2〕632〔3〕(57)( 57) 2〔4〕1452242〔5〕5+ 221〔6〕3250 482、求x的值〔 12 分〕〔1〕x2144 0〔2〕4 x225〔3〕x3729 0〔4〕( x0.7) 30.027四、解答题〔 30 分〕1. ，a、b互为倒数，c 、d互为相反数，求3 abc d 1的值2.如下图,在ABC中 ,C=90° ,D 是 BC边上一点 ,DE AB于 E,ADC=45° , 且 AE: DE =7 :1,假设DE=2,求AC的长.AEBDC23. ：字母a 、b满足 a 1b 2 0 ，求a b4. 如图：， AB=4 ，BC=12 ， CD=13 ， DA=3 ，AB ⊥ AD ，求四边形ABCD 的面积。

(带解析)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结

(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结单选题1、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√52、如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a，HG=b，则斜边BD的长是（）A．a+b B．a⋅b C．√a2+b22D．√a2−b223、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1､S2､S3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4､S5､S6．其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14，则S3+S4=（）A．86B．64C．54D．484、若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（）A ．3B ．√41C ．8D ．3或√415、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于 12 AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ．若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于（）A ．2B ．103C ．158D ．152 6、在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A ．a=15，b=8，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=7，b=24，c=25D ．a=3，b=5，c=77、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1､S 2､S 3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S 4､S 5､S 6．其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14，则S 3+S 4=（）A ．86B ．64C ．54D ．488、已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形填空题9、如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．10、如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．11、如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.12、如图的平面直角坐标系中，已知点A(-3，0)、B(0，4)，将△OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形①，②，③，④.则第⑯个三角形的直角顶点的坐标是___________.13、如图．在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，若DE=a，则ΔABC的周长用含a的代数式表示为_______________．解答题14、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．15、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．(带解析)人教版初中数学勾股定理_012参考答案1、答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2、答案：C解析：根据全等三角形的性质，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由CE=a，HG=b建立方程组，求解即可得出CD=x=a−b 2,BC=y=a+b2，然后借助勾股定理即可表示BD.解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，∵CE=a，HG=b，∴{x+y=ay−x=b解得：{x =a−b 2y =a+b 2，故CD =a−b 2,BC =a+b 2在RtΔBCD 中，根据勾股定理得：BD 2=BC 2+CD 2=(a+b 2)2+(a−b 2)2=a 2+b 22，∴BD =√a 2+b 22.故选:C.小提示：本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.3、答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2，同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2，∵BC2=AB2-AC2，∴S3=S2-S1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．4、答案：D解析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角边或5是斜边两种情况进行讨论．当5是直角边时，则第三边=√42+52=√41；当5是斜边时，则第三边=√52−42=3．综上所述，第三边的长是√41或3．故选D ．小提示：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、答案：C解析：根据勾股定理求出BC ，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ，根据勾股定理求出AE ，再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC=√52−32=4,连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC2+CE 2=AE 2，即32+（4-AE ）2=AE 2，解得：AE=258，在Rt △ADE 中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE2+(52)2=(258)2，解得：DE=158.故选C.“点睛”：本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键.6、答案：D解析：解：A ．152+82=172，是勾股数；B ．92+122=152，是勾股数；C ．72+242=252，是勾股数；D ．32+52≠72，不是勾股数．故选D ．7、答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2，同理：S1=√34AC2，S3=√34BC2，∵BC2=AB2-AC2，∴S3=S2-S1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8、答案：B解析：依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．小提示：本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．9、答案：2.5解析：DE分别交BF、CF于点G、点H；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG=m，S△ACH=n，由a2+b2=c2，可得S△ABD+S△ACE=S△BCF，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．如图，DE分别交BF、CF于点G、点H∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG=m，S△ACH=n∵a2+b2=c2∴S△ABD+S△ACE=S△BCF∵S△ABD=S1+m，S△ACE=n+S4，S△BCF=S2+S3+m+n∴S1+m+n+S4=S2+S3+m+n∴S4=S2+S3−S1=3.5+5.5−6.5=2.5所以答案是：2.5．小提示：本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．10、答案：14解析：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√102−62=8（米），则AC+BC=14（米），所以答案是：14．小提示：本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．11、答案：45解析：延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，所以答案是：45．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12、答案：（60，0）解析：先利用勾股定理计算出AB，从而得到△ABO的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于16=3×5+1，于是可判断第⑯个三角形与第①个三角形的状态一样，然后计算即可得到第⑯个三角形的直角顶点的坐标．∵A（-3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=√32+42=5，∴△ABO的周长=3+4+5=12，由题意知，△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵16=3×5+1，∴第⑯个三角形与三角形①的状态一样，∴第⑯个三角形的直角顶点的横坐标=5×12=60，∴第⑯个三角形的直角顶点坐标为（60，0）．故答案为（60，0）．小提示：本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，解决本题的关键是确定循环的次数．13、答案：(6+2√3)a解析：根据“∠BAC=90°，∠C=30°”可知∠B=60°，根据“以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D”可知△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，继而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半，即可知AB和BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，从而可得周长.∵RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°∴∠B=60°，BC=2AB∵以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a，BC=4a根据勾股定理有AB2+AC2=BC2∴AC=√BC2−AB2=√16a2−4a2=2a√3∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2a+2a√3+4a=(6+2√3)a故答案为(6+2√3)a.小提示：本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键.14、答案：（1）证明见解析；（2）23解析：（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．ab，小正方形面积为（b﹣a）2，解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12∴c2＝4×1ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；2（2）由图可知：ab＝13﹣3＝10，（b﹣a）2＝3，4×12∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．小提示：本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．15、答案：证明见解析解析：连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．解：连接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠ABC=90°，∴S四边形ABCD=SΔABD+SΔBDC=12BD⋅AE+12BD⋅CD=12AE⋅AE+12BD⋅BE=12AE2+12BD⋅BE，又∵S四边形ABCD=SΔABC+SΔADC=12AB⋅BC+12CD⋅DE=12AB⋅AB+12BE⋅DE=12AB2+12BE⋅DE，∵12AE2+12BD⋅BE=12AB2+12BE⋅DE，∴AB2=AE2+BD•BE-BE•DE，∴AB2=AE2+（BD-DE）•BE，即AB2=BE2+AE2．小提示：本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．。

八年级勾股定理易错题总结(含答案)

八年级勾股定理易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8，AD=17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动．若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】解：如图1，当点P与点A重合时，根据翻折对称性可得AE=AB=8，如图2，当点C与点Q重合时，根据翻折对称性可得QE=BC=17，在Rt△ECD中，EC2=DE2+CD2，即172=(17−AE)2+82，解得：AE=2，所以点E在AD上可移动的最大距离为8−2=6．故选：A．分别利用当点P与点A重合时，以及当点C与点Q重合时，求出AE的长进而得出答案．本题考查了翻折变换及勾股定理，求出特殊位置的AE值是本题的关键．2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC=5，CD=6.5，则△BCE的周长为()A. 16.5B. 17C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，首先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出AB的长，然后由勾股定理求出AC的长，再将△BCE的周长转化为BC+AC进行求解即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，AD=BD，∵∠ACB=90°，CD=6.5，∴AB=2CD=13，∵BC=5，∴AC=√AB2−BC2=12，∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+12=17．故选B．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是()D. 3A. 1.5B. 2.5C. 83【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，属于中档题．连接DE，由勾股定理求出AB=5，由线段垂直平分线的性质得出CE=DE，由SSS证明△ACE≌△ADE，得出∠ADE=∠ACB=90°，设CE=x，则DE=x，BE=4−x，在Rt△BDE中，由勾股定理，即可得解．【解答】解：如图所示，连接DE，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5，∵AD=AC=3，AE⊥CD，∴AE垂直平分CD，BD=AB−AD=2，∴CE=ED，在△ACE和△ADE中，{AC=AD AE=AE CE=DE,∴△ACE≌△ADE，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDB=90°，设CE=x，则DE=x，BE=4−x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2=BE2，即x2+22=(4−x)2，解得：x=1.5，∴BE=BC−CE=4−1.5=2.5．故选B．4.如图，等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n(m<n)，如图，作高线BD和AE，则下列错误的结论是()A. AE=√4n2−m22B. CD=m22nC. BD=√4n2−m22nD. AD=2n2−m22n【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等有关知识，A.根据等腰三角形的性质得到CE=12m，根据勾股定理可求AE的长；B.根据勾股定理可求CD的长；C.根据三角形面积公式可求BD的长；D.根据线段的和差关系可求AD的长．【解答】解：A.CE=12m，AE=√n2−(12m)2=√4n2−m22，正确，不符合题意；B.CD=m2−(m√4n2−m22n )2=m22n，正确，不符合题意；C.BD=m×√4n2−m22÷2×2÷n=m√4n2−m22n，原来的错误，符合题意；D.AD=n−m22n =2n2−m22n，正确，不符合题意．故选C．5.在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB⋅PC的值为()A. m2B. m2+1C. m2+mD. (m+1)2【答案】A【解析】略6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为()A. 95B. 125C. 165D. 185【答案】D【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，折叠的性质，勾股定理有关知识，综合性较强．连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF ，∵BC =6，点E 为BC 的中点， ∴BE =3，又∵AB =4，∴AE =√AB 2+BE 2=5，由折叠知，BF ⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)∴BH =AB×BE AE =125，则BF =245，∵FE =BE =EC ，∴∠BFC =90°，∴CF =√62−(245)2=185．故选D .7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE =12BD⋅CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2.正确的结论个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+ CD2，得到⑤正确；再求出AE//CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE.∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，故①正确．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，∴∠BGC=180°−(∠BCG+∠CBG)=180°−90°=90°，∴BD⊥CE，，故④正确．∵在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2．又∵在Rt△BGE中，由勾股定理，得BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确．②③无法证明．综上所述，正确的结论有3个．故选C．8.若△ABC中，AB=7，AC=8，高AD=6，则BC的长是()A. 10+√13B. 2√7+√13C. 10±√13D. 2√7±√13【答案】D【解析】略9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点．若DA=DB=15，△ABD的面积为90，则CD的长是()A. 6B. 9C. 12D. √189【答案】B【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的面积有关知识，根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．【解答】解：∵∠C=90，DA=15，DA⋅BC=90，∴S△DAB=12∴BC=12，在Rt△BCD中，CD2+BC2=BD2，即CD2+122=152，解得：CD=9(负值舍去)．故选B．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发在射线AC上以2cm/s的速度运动．设运动的时间为ts.当△PAB是等腰三角形时，则t的值是__________．【答案】5或8或258【解析】【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形等知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8−2t)cm.作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP.可得62+(8−2t)2=(2t)2，解方程即可得解．当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm.可得2t=10，则t=5.当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t−8)cm，即2t−8=8，可得解．【解答】解：①如图1，当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8−2t)cm．作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP．可得：BC=6，∵PD垂直平分AB，∴AP=BP=2tcm．在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，即62+(8−2t)2=(2t)2，36+64−32t+4t2=4t2，．解得：t=258②如图2，当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm．∵AP1=AB，∴2t=10，解得：t=5．③如图2，当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t−8)cm．∵P2B=AB，BC⊥P2A，∴P2C=AC(“三线合一”)，即2t−8=8，解得：t=8．所以当△PAB是等腰三角形时，t的值为5或8或25．8故答案为5或8或258．11.等边△ABC边长为8.P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP，交于点O.以下结论：①若AP=CQ，则△BAP≌△ACQ；②若AQ=BP，则∠AOB=120°；③若AP=CQ，BP=7，则PC=5；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动(到达点C就停止)，则点O经过的路径长为4√3.其中正确的________.【答案】①④【解析】【分析】本题是道易错题，综合的考查了全等的基本知识以及分类讨论的数学思想．第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性或者全等)在来计算路径长．【解答】解：①在三角形△BAP和△ACQ中{AP=CQ∠BAP=ACQ=60°AB=AC,则△BAP≌△ACQ(SAS)，∴①正确②如图，题中AQ=BP，存在两种情况．在P1的位置，∠AO1B=120°；在P2的位置，∠AOB的大小无法确定．∴②错误③如图，作PE垂直于BC于点E，设CP=x，∵∠C=60°，∴CE=12x，BE=8−12x，PE=√32x，PB=7，在Rt△PBE中，根据勾股定理，得PB2=PE2+BE2，化简得x2−8x+15=0，利用完全平方公式化简可得(x−4)2=1，解得x=3或5，∴PC=3或5.故③错误．④由题可得：AP=BQ，由对称性可得(或者证明△ABP和BAQ全等)O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中线，如图，延长CO交AB于点E，由AB=8，∠BCE=30°，∴BE=4，运动轨迹为CE=4√3，故答案为：①④．12.如图，长方形ABCD中，AD=8，AB=4，BQ=5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为______．【答案】3或52或2【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，BC=AD=8，当△BPQ为等腰三角形时，分三种情况：①BP=BQ=5时，AP=√BP2−AB2=√52−42=3；②当PB=PQ时，作PM⊥BC于M，则点P在BQ的垂直平分线上，如图1所示：∴AP=12BQ=52；③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，如图2所示：则四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=5，QE=AB=4，∴PE=√QP2−QE2=√52−42=3，∴AP=AE−PE=5−3=2；综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为3或52或2；故答案为：3或52或2．分三种情况：①BP=BQ=5时，由勾股定理得AP=3；②当PB=PQ时，点P在BQ的垂直平分线上，则AP=12BQ=52；③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，则四边形ABQE是矩形，由勾股定理求出PE=3，得AP=AE−PE=2即可．本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，注意分情况讨论．13.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD=2，则AC的长是______．【答案】4√3【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理有关知识，求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°−30°−90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°−30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=4+2=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB=√DC2−BD2=√42−22=2√3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√62+(2√3)2=4√3．故答案为4√3．14.如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6，E为BC中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内部的一点F，连结CF，则CF的长为________．【答案】185【解析】略15.等腰△ABC的腰长AB=AC=10，底边上的高AD=6，则底边BC=______．【答案】16【解析】解：在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=8．∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=16．故答案为：16．根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD．本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握等腰三角形的三线合一及勾股定理在直角三角形中的表达式．16.如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，已知∠AQB=150°，QA：QC=a：b(b>a)，则PB：QA=______(用含a，b的代数式表示)【答案】√b2−a2：a【解析】解：如图，连接PQ，∵把△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∠PBQ=60°，∴PA=CQ，PB=BQ，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=PB，∠BQP=60°，∵∠AQB=150°，∴∠PQA=90°，∵QA：QC=a：b，∴设QA=ak，QC=bk=PA，∴PQ=√QC2−QA2=k⋅√b2−a2=PB∴PB：QA=√b2−a2：a，故答案为：√b2−a2：a．如图，连接PQ，由旋转的性质可得PA=CQ，PB=BQ，∠PBQ=60°，可证△BPQ是等边三角形，可得PQ=PB，∠BQP=60°，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，把PB和QA转化到同一个直角三角形中是解题的关键．17.将面积为2π的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形，则这两个正方形面积的和为____．【答案】16【解析】【分析】此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为2π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．首先由面积为2π的半圆求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．【解答】解：已知半圆的面积为2π，所以半圆的直径为：，即如图直角三角形的斜边为：4，设两个正方形的边长分别为：x，y，则根据勾股定理得：x2+y2=42=16，即两个正方形面积的和为16．故答案为16．三、解答题（本大题共15小题，共120.0分）18.如图，点O为线段AD上一点，CO⊥AD于点O，OA=OB，OC=OD，点M、N分别是AC、BD的中点，连接OM、ON、MN．(1)求证：AC=BD；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)若AC=2，在图2中，点M在DB的延长线上，求△AMD的面积．【答案】(1)证明：∵CO⊥AD，∴∠AOC=∠BOD=90°，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD=90°OC=OD,∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．(2)解：△MON是等腰直角三角形，理由如下：由(1)得：△AOC≌△BOD，则∠A=∠OBD，在Rt△AOC中，∵M是AC的中点，∴OM=12AC，同理可得ON=12BD，因为AC=BD，∴OM=ON，∵∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，∠A=∠OBD，∴∠NOB=∠MOA，又∵∠AOC=90°，∴∠MON=90°，∵∠MON=90°，OM=ON，∴△MON是等腰直角三角形．(3)解：由(1)得：AC=BD，由(2)得：△MON是等腰直角三角形，∵点M，N分别是AC，BD的中点，且AC=2，∴AM=ND=BN=1，∵在Rt△AOC中，点M是AC的中点，AC=BD，∴OM=AM=1，∴ON=1，在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，1+1=MN2，∴MN=√2，∴MD=√2+1，∵△AOC≌△BOD，∴∠C=∠D，又∵∠A+∠C=90°，∴∠A+∠D=90°，∴∠AMD=90°，∴△AMD是直角三角形，∴△AMD面积为：12×1×(√2+1)=√2+12．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积，勾股定理，属于较难题．(1)欲证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD即可；(2)结论：△MON是等腰直角三角形．只要证明OM=ON，∠MON=90°即可；(3)可得∠A+∠D=90°，得出△AMD是直角三角形，由此可得解．19.如图，等边三角形ABC的边长为4，E为边AB上一点，过点E作DE⊥BC，交BC于点D，在DE右侧作等边三角形DEP，记P到BC的距离为m1，P到AC的距离为m2．(1)若BD=43，试求线段DE的长，并求m1，m2的值；(2)若BD=x(1≤x≤2)，用含x的代数式表示m1，m2，并求P在∠C的平分线上时x的值．【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE⊥BC，∴∠BDE=90°，∵BD=43，∴DE=4√33，∵△DEP是等边三角形，∴PD=DE=4√33，∠PDE=60°，过P作PF⊥BC于F，∴∠PDF=30°，∴PF=12PD=2√33，∴m1=2√33；延长DP交AC于G，∵∠C=60°，∠CDG=30°，∴∠CGD=90°，∴PG=m2．∵BC=4，BD=43，∴CD=83，∴CG=12CD=43，∴DG=√CD2−CG2=4√33，∴PG=DG−PD=0，∴m2=0；(2)∵BD=x，同(1)可得，DE=PD=√3x，∴PF=m1=12PD=√32x，∵BC=4，BD=x，∴CD=4−x，∴CG=12CD=2−12x，∴DG=√CD2−CG2=2√3−√32x，∴PG=DG−PD=2√3−3√32x，∴m2=2√3−3√32x；当P在∠C的平分线上时，PF=PG，∴√32x=2√3−3√32x；解得：x=1．【解析】(1)根据等边三角形的性质得到∠B=60°，PD=DE=4√33，∠PDE=60°，过P作PF⊥BC于F，根据直角三角形的性质得到m1=2√33；延长DP交AC于G，根据勾股定理得到DG=√CD2−CG2=4√33，于是求得m2=0；(2)同(1)可得，DE=PD=√3x，得到PF=m1=12PD=√32x，求得CG=12CD=2−12x，根据勾股定理得到DG=√CD2−CG2=2√3−√32x，求得PG=DG−PD=2√3−3√32x，得到m2=2√3−3√32x；根据角平分线的性质即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20.在△ABC中，点D在BC上，AB=AC=BD，点E在BC的延长线上，∠E=15°．(1)如图1，若∠BAC=80°，求∠DAE的度数；(2)如图2，若CE=CA，AD=2√2，求线段AC的长．【答案】解：(1)如图1，∵AB=AC，∠BAC=80°，(180°−∠BAC)=50°，∴∠B=∠ACB=12∵BD=AB，(180°−∠B)=65°，∴∠BAD=∠BDA=12∵∠E=15°，∴∠DAE=∠BAD−∠E=65°−15°=50°；(2)如图，作DF⊥AC于F，，∵AC=CE，∴∠CAE=∠E=15°，∵∠ACD=∠CAE+∠E=2∠E，∴∠ACD=30°，∵AB=AC=BD，∴∠B=∠ACD=30°，∠BAC=120°，∠BAD=∠ADB=75°，∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=45°，∴∠ADF=90°−45°=45°，∴AF=DF，在Rt△AFD中，∵AD=2√2，由勾股定理得：AF2+AD2=AD2，=2，∴AF=√AD22∴DF=2，在Rt△DFC中，∵∠ACD=30°，∠DFC=90°，∴DC=4，∴FC=√DC2−DF2=√16−4=2√3，∴AC=2+2√3答：AC的长为2+2√3．【解析】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理．(1)根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理求出∠B和∠BAD，再利用三角形外角的性质即可解答；(2)作DF⊥AC于F，首先利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质求出∠ACD=30°，∠ADF=45°，然后利用勾股定理即可求出线段AC的长．21.如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=6，AC=8.用直尺与圆规作线段AB的中垂线交AC于点D，连接DB.并求△BCD的周长和面积．【答案】解：如图所示：设AD=x，则DC=8−x，则62+(8−x)2=x2，解得x=6.25，即AD=6.25．则CD=1.75，×6×1.75=5.25．所以△BCD的周长为6+8=18，面积为12【解析】根据中垂线的作法作图，设AD=x，则DC=8−x，根据勾股定理求出x的值，继而依据周长和面积公式计算可得．此题考查了复杂作图及中垂线的性质，熟悉勾股定理的性质是解题的关键．22.已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；(1)作△ABC，使∠C=α，AC=b，BC=a；(2)已知∠α=45°，a=4√2，b=7，求△ABC的面积．【答案】解：(1)如图所示，△ABC即为所求；(2)如图，作BE⊥AC于E，∵∠α=45°，a=4√2，b=7，BE=CE，∴Rt△CBE中，BE2+CE2=(4√2)2，BE=4，∴S△ABC=1×7×4=14．2【解析】(1)先作出∠ACB=∠α，然后在边CB上截取BC=a得到点B，在边CA上截取AC=b得到点A，即可得到符合要求的图形．(2)先过B作BE⊥AC于E，则根据已知条件可求得BE长，进而得出△ABC的面积．本题主要考查了三角形面积的计算以及作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．23.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90º，探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC=√2．①若P为AB中点，则线段PB=；②猜想：连结BQ，则BQ与AB的位置关系为；PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程．【答案】解：(1)1；AB⊥BQ；PA2+PB2=PQ2；(2)结论仍然成立，理由如下：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D.连接BQ，∵▵ABC和▵PCQ均为等腰直角三角形，∴AC=BC,PC=CQ,∠ACB=∠PCQ=90∘.∴∠ACP=∠BCQ,∴▵APC≌▵BQC(SAS).∴BQ=AP,∠CBQ=∠CAB=45∘,∴∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90∘，即AB⊥BQ，∴▵PBQ为直角三角形．∴PB2+BQ2=PQ2,∴PA2+PB2=PQ2.【解析】略24.如图，AD//BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠AED=∠ECB．(1)判断△DEC的形状，并说明理由．(2)若AD=3，AB=9，请求出CD的长．【答案】解：(1)△DEC是等腰直角三角形，理由如下：∵AB//BC，∠A=90°，∴∠B=180°−90°=90°，又∵AD=BE，∠AED=∠ECB，∴△DAE≌△BEC(AAS)，∴DE=EC，∠BEC=∠ADE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°，∴△DEC为等腰直角三角形；(2)由(1)可知：△DAE≌△BEC，又∵AD=3，AB=9，∴AE=BC=6，∴ED=EC=√9+36=3√5，∵△DEC为等腰直角三角形∴CD=√2ED=3√10．【解析】(1)由“AAS”可证△DAE≌△BEC，可得DE=EC，∠BEC=∠ADE，由余角的性质可得∠DEC=90°，可得结论；(2)由勾股定理可求DE的长，由等腰直角三角形的性质可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明△DAE≌△BEC是本题的关键．25.在下列4×4网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：(1)三边均为有理数．(2)其中只有一边为无理数．【答案】解：(1)如图①，三边长分别为：3，4，5．(2)如图，三边长分别为：2,4,2√5．【解析】(1)根据网格即可画出三边均为有理数的直角三角形；(2)根据网格即可画出其中只有一边为无理数的直角三角形．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是利用勾股定理及其逆定理．26.已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA=DB=DC．(1)如图①，若点D在线段AB上，连结AC，BC.试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)如图②，连结AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E.若AC=BC，AB=16，DC=10，求CE和AC的长．【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，理由：∵DA=DB=DC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；(2)∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分AB，∴∠AEC=∠AED=90°，∵AB=16，DC=10，∴AE=8，AD=CD=10，∴DE=√AD2−AE2=6，∴CE=CD−DE=4，∴AC=√AE2+CE2=√82+42=4√5．【解析】略27. 如图，已知：ΔABC 中，∠ABC =∠ACB =45∘．(1)如图1，D 是△ABC 内一点，B 、D 、E 在同一直线上，∠ADE =∠AED =45°，探究CE 和BD 的关系(数量关系与位置关系)．(2)如图2，D 是ΔABC 外一点，且AD =5，CD =3，∠ADC =45∘，求BD 的长．【答案】解：(1)结论：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由：∵∠ABC =∠ACB =45°，∠ADE =∠AED =45°，∴∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ，∴BD =CE ，∠ADB =∠AEC =135°，∵∠AED =45°，∴∠BEC =90°，即BD ⊥CE ，(2)如图：以AD 为直角边在AD 的上方作等腰直角三角形ADE ，连接CE ，∵∠ADE =45°，∠DAE =90°，AD =5，∴DE =√2AD =5√2，∵∠ADC =45°，∴∠CDE =∠ADC +∠ADE =90°，∵CD =3，∴CE =√CD 2+DE 2=√32+(5√2)2=√59，∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ，∴BD =CE =√59．【解析】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．(1)先根据全等三角形的判定定理证明△BAD≌△CAE ，再根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)以AD 为直角边在AD 的上方作等腰直角三角形ADE ，连接CE ，则∠ADE =45°，∠DAE =90°，AD =5，进而得出DE =√2AD =5√2，由∠ADC =45°，可得∠CDE =∠ADC +∠ADE =90°，根据勾股定理可得CE 的长，然后证明△BAD≌△CAE ，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．28. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是BC 延长线上的一点，且BD =DE.点G 是线段BC 的中点，连结AG ，交BD 于点F ，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ．(1)求证：△DCE 为等腰三角形；(2)若∠CDE =22.5°，DC =√2，求GH 的长；(3)探究线段CE ，GH 的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，∵BD=DE，∴∠DBC=∠E=12∠ACB，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=12∠ACB=∠E，∴CD=CE，∴△DCE是等腰三角形(2)∵∠CDE=22.5°，CD=CE=√2，∴∠DCH=45°，且DH⊥BC，∴∠HDC=∠DCH=45°∴DH=CH，∵DH2+CH2=DC2=2，∴DH=CH=1，∵∠ABC=∠DCH=45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG=GC=BG，∵BD=DE，DH⊥BC∴BH=HE=√2+1∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=√2+1∴1+2GH=√2+1∴GH=√2 2(3)CE=2GH理由如下：∵AB=CA，点G是BC的中点，∴BG=GC，∵BD=DE，DH⊥BC，∴BH=HE，∵GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE，∴CE=2GH【解析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)根据题意可得∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，由BD=DE，可得∠DBC=∠E=12∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE=12∠ACB=∠E，可证△DCE为等腰三角形；(2)根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=√2+1，即可求GH的值；(3)CE=2GH，根据等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE，可得GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE，即CE=2GH．29.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF=CB．(1)求证：BE=FD；(2)若AC=10，AD=8，求四边形ABCF的面积．【答案】解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CE=CD，在Rt△BCE与Rt△FCD中，{CE=CDCB=CF，∴Rt△BCE≌Rt△FCD(HL)，∴BE=FD；(2)∵在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，CD⊥AD，∴CD=√102−82=6，∵CD⊥AD，CE⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC与Rt△AEC中，{CD=CEAC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△AEC(HL)，∴S△ACD=S△ACE 又∵Rt△BCE≌Rt△FCD，∴S四边形ABCF =S四边形AECD=2S△ACD=2×12×6×8=48．【解析】略30.定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．(1)如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；(2)如图2，若直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；(3)如图3，边长为6的等边三角形△AOC 的边OC 与X 轴重合，EF 是该等边三角形的逆等线．F 点的坐标为(5,√3)；试求点E 的坐标。

《勾股定理》易错题集用

《勾股定理》易错题集选择题1、工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A、80cmB、错误！未找到引用源。

C、80cm或错误！未找到引用源。

D、60cm考点：勾股定理的应用。

分析：可将截取的钢条做为直角边或斜边，然后根据勾股定理，计算出钢条的长度，看其是否符合题意．解答：解：将钢条看作直角边，则钢条长度l2+3600=10000，得到l=80（cm），将钢条看作斜边，则l2=3600+10000，所以l=错误！未找到引用源。

＞90cm，不合题意；故选A．点评：本题主要考查对于勾股定理的应用，要注意钢条的长度是否符合题意．2、现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A、错误！未找到引用源。

米B、错误！未找到引用源。

米C、错误！未找到引用源。

米或错误！未找到引用源。

米D、错误！未找到引用源。

米考点：勾股定理的应用。

专题：分类讨论。

分析：分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边．解答：解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

米；②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

米．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A、30厘米B、40厘米C、50厘米D、以上都不对考点：勾股定理的应用。

分析：由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论．解答：解：此题要分两种情况：（1）当50是直角边时，所需木棒的长是错误！未找到引用源。

=10错误！未找到引用源。

；（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30．故选D．点评：解答此题的关键是运用勾股定理解答，注意此题的两种情况．4、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A、6cmB、12cmC、13cmD、16cm考点：平面展开-最短路径问题。

八年级《勾股定理》《实数》易错点测试

八年级《勾股定理》《实数》易错点测试
试卷简介:这些都是郑外、57中、57中、八中等学校的问题，综合性和难度比较大，名师会从试题考查角度、对学生的要求、解题套路等方面分析，希望同学对照自己的作业和考卷，有则改之无则加勉！
学习建议:这是关于勾股定理应用方面的一道题目，难度不是很大，但要求同学们明确自己的解题套路。

大家可以通过做这道题总结一下做题套路，巩固对勾股定理的掌握。

一、解答题(共1道，每道100分)
1.如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D
.
恰好落在BC边上的点F，求CE的长
答案：解：设CE=xcm，则DE=CD-CE=(8-x)cm. 由题意知，AF=AD=10cm，AB=8cm，∴BF=6cm ∴CF=4cm 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即x2+42=(8-x)2 ∴x=3(cm) 即CE=3cm
解题思路：这是一道折叠问题，根据折叠前后的两个图形全等可以得到对应边、对应角都是相等的，从而可以实现线段和角度的等量转移。

设出未知量，然后把所有有用的信息转移到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程解决问题。

易错点：解题套路不明确，不知道如何利用折叠解决问题
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
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八年级数学试卷易错易错压轴勾股定理选择题复习题(及答案)(3)

2020-2021八年级数学试卷易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题复习题(及答案)(3)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（）A ．a =3，b =4，c =6B ．a =5，b =6，c =7C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =252．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）A ．32B ．213C ．5D ．63．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm 6．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为（） A 22d S d + B 2d S d -C ．22d S d +D ．()22d S d + 7．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A．不存在B．等于 1cmC．等于 2 cm D．等于 2.5 cm8．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （）A．5 B．8 C．13 D．4．89．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（）．A．AF⊥AQ B．AF=AQ C．AF=AD D．F BAQ∠=∠10．如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC=9，BC=12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( )A．245B．365C．12 D．1511．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A ．49B ．25C ．12D ．1012．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②13．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．18 14．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A ．9，7，12B ．2，3，4C ．1，2，3D ．5，11，12 15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm16．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（）．A ．36B ．1013C ．60D ．121317．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+ 18．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（）A ．24B ．30C ．40D ．48 19．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（）A ．9B ．5C ．53D ．45 20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1021．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A ．5.3尺B ．6.8尺C ．4.7尺D ．3.2尺22．已知一个三角形的两边长分别是5和13，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（）A ．6B ．8C ．10D ．12 23．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )A ．4B ．16C 34D ．43424．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（）A ．34B ．35C ．45D ．12525．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A ．5B 7C 5D ．5726．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽27．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 230=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（）A ．6B ．8C ．10D ．1228．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．1029．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A．121 B．110 C．100 D．9030．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．3D．2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．D解析：D【解析】A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．故选D．2．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴2239(3)55⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．3．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．∵△ADE为等腰直角三角形，∴AD，即DE2=2AD2．∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．而BD2≠2AB2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C．4．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求解即可，注意要确认a是直角边还是斜边.【详解】解：当a是直角三角形的斜边时,5a==；当a为直角三角形的直角边时,a=故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，12OA AC=，12OB BD=，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯=根据勾股定理得，5cm AB == ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记. 6．D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

苏教版八年级上册数学勾股定理易错汇总

勾股定理易错提优一、选择题1. 直角三角形有一条直角边长为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形的周长为( )A. 20B. 22C. 24D. 262. 下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )A. 6、8、10B. 5、12、13C. 9、40、41D. 7、9、12 3. 如图，在ABC ∆中，5,8,AB AC BC D ===是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).若线段AD 的长为正整数，则点D 共有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( ) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180ºC.三角形两条边长的平方和等于第三条边长的平方D.如果三角形两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 5. 有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是( )6. 四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ，已知AM 为Rt ABM ∆的较长直角边，4AM EF =，则正方形ABCD 的面积为( )A. 18SB. 17SC. 16SD. 15S7. 如图，圆柱形容器的底面周长是24cm ，高为17 cm ，在外侧底面S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm 的点F 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是( )A. 20 cmB. 22 cmC. 23 cmD. 24 cm二、填空题8. 如图，在ABC ∆中，10AB AC ==cm ，12BC =cm ，AD BC ⊥于点D ，则AD =__________cm.9. 如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周骸算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图②所示，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，ABF ∆、BCG ∆、CDH ∆、DAE ∆是四个全等的直角三角形.若2,8EF DE ==，则AB 的长为 .10. 如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH ∆、BDC ∆、GFI ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++= .11. 如图，在ABC ∆中，5,12,13,AC BC AB CD ===是AB 边上的中线，则CD = .12. 如图，长方体的高为3 cm ，底面是正方形，边长为2 cm ，现使一绳子从点A 出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是cm.13.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.14.我国古代有这样一道数学问题: “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺.15.观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)，…，可发现，23142-=，251122-=，271242-=，…，请写出第5组数: .16.如图，每个小方格的边长都为1，求图中格点四边形ABCD的面积．三、解答题17.如图，在△ABC中，已知∠A=90°，D是BC的中点，且DE⊥BC，垂足为点D，交AB于点E．求证：BE2－EA2=AC2．18.一块地如图所示∠ADC=90°，AD=12m，CD=9 m，AB=39m，BC=36 m，求这块地的面积．19.如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在边BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗? 为什么?20.如图，已知AB=12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．21.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE=4，FC=3，求EF的长．22. 如图①，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a 、()b a b <，斜边为c ，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形.(1)利用它们之间的面积关系，探索出关于a 、b 、c 的等式.(2)利用(1)中发现的直角三角形中两直角边a 、b 和斜边c 之间的关系。

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