2018届高考文科总复习课时跟踪检测试卷(16)任意角和弧度制

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近年高考数学大复习第三章三角函数、解三角形课时跟踪检测(十六)任意角和弧度制及任意角的三角函

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课时跟踪检测 (十六）任意角和弧度制及任意角的三角函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P（tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:选B 因为点P在第三象限，所以错误!所以α的终边在第二象限，故选B．2．设角α终边上一点P(－4a,3a）（a〈0)，则sin α的值为（)A．35B．－错误!C．错误!D．－错误!解析：选B 设点P与原点间的距离为r，∵P(－4a，3a)，a<0，∴r＝－4a2＋3a2＝｜5a|＝－5a．∴sin α＝错误!＝－错误!．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0〈α<π）的弧度数为（)A．π3B．错误!C．错误!D．2解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以错误!r＝αr，所以α＝3．4．在直角坐标系中，O是原点，A（错误!，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2,∠AOx＝30°,∠BOx＝120°，设点B坐标为（x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝错误!,即B（－1，错误!）．答案：(－1,错误!)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－错误!,则y＝________．解析：因为sin θ＝错误!＝－错误!，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析:选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确,又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的错误!,即为－错误!×2π＝－错误!．2．(2016·福州一模）设α是第二象限角,P（x,4)为其终边上的一点,且cos α＝错误!x，则tan α＝（）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝错误!x＜0,即x＜0．又cos α＝错误!x＝错误!．解得x＝－3，所以tan α＝错误!＝－错误!．3．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin 2，－2cos 2）,则sin α等于( )A．sin 2 B．－sin 2C．cos 2 D．－cos 2解析：选D 因为r＝错误!＝2，由任意三角函数的定义,得sin α＝错误!＝－cos 2．4．设θ是第三象限角,且错误!＝－cos 错误!，则错误!是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵错误!＝－cos 错误!，∴cos 错误!<0，综上知错误!为第二象限角．5．集合错误!中的角所表示的范围（阴影部分）是( )解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋错误!≤α≤2nπ＋错误!，此时α表示的范围与错误!≤α≤错误!表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z ）时,2n π＋π＋错误!≤α≤2n π＋π＋错误!，此时α表示的范围与π＋错误!≤α≤π＋错误!表示的范围一样．6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析:∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°~360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．答案：217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k ·360°)（k ∈Z),即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z ），所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的错误!，面积等于圆面积的错误!,则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析:设圆的半径为r ，则扇形的半径为错误!，记扇形的圆心角为α，则错误!＝错误!,∴α＝错误!．∴扇形的弧长与圆周长之比为错误!＝错误!＝错误!．答案：错误!9．在(0，2π）内，使sin x 〉cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0，2π）内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin 错误!＝cos 错误!＝错误!，sin 错误!＝cos 错误!＝－错误!．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈（⎭⎪⎫π4，5π4．答案：错误!10．已知扇形AOB 的周长为8．（1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l,圆心角为α，（1)由题意可得错误!解得错误!或错误!∴α＝错误!＝错误!或α＝错误!＝6．（2）法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝错误!lr＝错误!l·2r≤错误!错误!2＝错误!×错误!2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4．∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝错误!lr＝错误!r(8－2r)＝r（4－r）＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝错误!＝2时，扇形面积取得最大值4．∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ）A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0解析:选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0,则可排除A、C、D．2．已知角α＝2kπ－错误!（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝错误!＋错误!＋错误!的值为( )A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B 由α＝2kπ－错误!（k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0,cos θ＞0,tan θ＜0．所以y＝－1＋1－1＝－1．3．已知sin α＜0，tan α＞0．(1）求α角的集合；(2）求错误!终边所在的象限；(3)试判断 tan错误!sin 错误!cos错误!的符号．解:（1）由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为错误!．(2）由2kπ＋π＜α＜2kπ＋错误!，k∈Z，得kπ＋错误!＜错误!＜kπ＋错误!，k∈Z，故错误!终边在第二、四象限．(3)当错误!在第二象限时，tan 错误!＜0,sin 错误!＞0， cos 错误!＜0，所以tan错误! sin错误! cos错误!取正号；当错误!在第四象限时， tan错误!＜0，sin错误!＜0， cos错误!＞0，所以 tan错误!sin错误!cos错误!也取正号．因此,tan错误!sin 错误!cos 错误!取正号．。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习26 任意角和弧度制、三角函数的概念

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题26 任意角和弧度制、三角函数的概念考点知识1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理 1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．(2)公式3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝y r ，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)－π3是第三象限角．(×)(2)若角α的终边过点P (－3,4)，则cos α＝－35.(√)(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(×)(4)若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2.(√)教材改编题 1.－660°等于()A ．－133πradB ．－256πradC ．－113πradD ．－236πrad答案C解析－660°＝－660×π180rad ＝－113πrad.2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．答案－4π解析某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3．已知角α的终边经过点P (2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 答案－31313 －32解析因为x ＝2，y ＝－3，所以点P 到原点的距离r ＝22＋(－3)2＝13.则sin α＝y r ＝－313＝－31313，tan α＝y x ＝－32.题型一角及其表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则() A ．－α是第一象限角 B.α2是第三象限角 C.3π2＋α是第二象限角 D ．2α是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上答案D解析因为α是第二象限角，可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，对于A ，可得－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，此时－α位于第三象限，所以A 错误；对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2位于第一象限；当k 为奇数时，α2位于第三象限，所以B 错误；对于C ，可得2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α位于第一象限，所以C 错误；对于D ，可得π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上，所以D 正确．延伸探究若α是第一象限角，则α2是第几象限角？解因为α是第一象限角，所以k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°<α2<k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角，当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案－675°和－315°解析所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，当k ＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k ＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或αk的终边所在位置．跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析当α是第四象限角时，3π2＋2k π<α<2π＋2k π，k ∈Z ，则3π4＋k π<α2<π＋k π，k ∈Z ，即α2是第二或第四象限角．当α2＝3π4为第二象限角时，α＝3π2不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的充分不必要条件．(2)(2021·北京)若点P (cos θ，sin θ)与点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. 答案5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫满足θ＝5π12＋k π，k ∈Z 即可解析∵P (cos θ，sin θ)与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6关于y 轴对称，即θ，θ＋π6关于y 轴对称，θ＋π6＋θ＝π＋2k π，k ∈Z ，则θ＝k π＋5π12，k ∈Z ，当k ＝0时，可取θ的一个值为5π12.题型二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，半径为r . (1)若α＝35°，r ＝8cm ，求扇形的弧长；(2)若C ＝16cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．解(1)α＝35°＝35×π180rad ＝736πrad ，扇形的弧长l ＝αr ＝736π×8＝149π(cm)． (2)方法一由题意知2r ＋l ＝16，∴l ＝16－2r (0<r <8)，则S ＝12lr ＝12(16－2r )r ＝－r 2＋8r ＝－(r －4)2＋16，当r ＝4(cm)时，S max ＝16(cm 2)，l ＝16－2×4＝8(cm)，α＝lr＝2，∴S 的最大值是16cm 2，此时扇形的半径是4cm ，圆心角α＝2rad. 方法二S ＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝16，当且仅当l ＝2r ，即r ＝4(cm)时，S 的最大值是16cm 2. 此时扇形的圆心角α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA ＝10，OB ＝x (0<x <10)，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值．解(1)根据题意，可算得BC ＝θx ，AD ＝10θ.因为AB ＋CD ＋BC ＋AD ＝30，所以2(10－x )＋θx ＋10θ＝30，所以θ＝2x ＋10x ＋10(0<x <10)． (2)根据题意，可知y ＝S 扇形AOD －S 扇形BOC ＝12θ·(102－x 2)＝12×2(x ＋5)(102－x 2)x ＋10＝(x ＋5)(10－x )＝－x 2＋5x ＋50＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋2254，当x ＝52时，y max ＝2254.综上所述，当x ＝52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.题型三三角函数的概念例3(1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则下列选项正确的是() A ．sin θ＝－217B ．α为钝角C．cosα＝－27 7D．点(tanθ，sinα)在第一象限答案ACD解析角θ的终边经过点(－2，－3)，sinθ＝－217，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－277，B错误，C正确；因为tanθ＝32>0，sinα＝217>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，则实数a的值是()A．－2B.2 11C．－2或211 D．1答案B解析由题设可知，2a＋1(2a＋1)2＋(a－2)2＝35且2a＋1>0，即a>－12，∴4a2＋4a＋15a2＋5＝925，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝211，又a>－12，∴a＝211 .(3)若sinαtanα<0，且cosαtanα>0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案B解析由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，由cos αtan α>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P (a ,2a )(a ≠0)，则2sin α－cos α的值是() A ．－355 B.55C ．－55D.355或－355答案D解析若α的终边上有一点P (a ,2a )(a ≠0)，则cos α＝a a 2＋(2a )2＝a5|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 55，a >0，－55，a <0，sin α＝2aa 2＋(2a )2＝2a5|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧255，a >0，－255，a <0，所以2sin α－cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧355，a >0，－355，a <0.(2)sin2cos3tan4的值() A ．小于0B ．大于0 C ．等于0D ．不存在答案A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A (1，a )是角θ终边上的一点，且sin θ＝336，则实数a 的值为________．答案11解析根据三角函数的终边上点的定义可得，r ＝1＋a 2，所以sin θ＝a a 2＋1＝336>0，即a >0且a 2＝11，所以a ＝11. 课时精练1．与－2023°终边相同的最小正角是() A ．137°B．133°C．57°D．43° 答案A解析因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π6，cos π3，则cos θ等于() A.12B ．－12C.22D ．－22 答案D解析由角θ的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π6，cos π3，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以cos θ＝－1214＋14＝－22.3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为()A.π2B.π4C.π8D.π16答案C解析由图可知，α＝18×2π＝π4，所以该扇形的面积S ＝12×π4×12＝π8.4．(2023·惠州模拟)如果点P (2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析∵点P (2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限， ∴⎩⎨⎧2sin θ>0，sin θ·cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，∴角θ所在的象限是第二象限．5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)() A ．1069千米B ．1119千米 C ．2138千米D ．2238千米答案D解析嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五号绕月每旋转π3弧度，飞过的路程约为l ＝αr ＝π3×2 138≈3.143×2 138≈2238(千米)．6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m ，内环弧长为1.2m ，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()A ．2.58m 2B ．2.68m 2C ．2.78m 2D ．2.88m 2 答案D解析设扇形的圆心角为α，内环半径为r m ，外环半径为R m ，则R －r ＝1.2(m)，由题意可知，α·r ＝1.2，α·R ＝3.6，所以α(R ＋r )＝4.8，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S ＝12α(R 2－r 2)＝12α(R ＋r )(R －r )＝12×4.8×1.2＝2.88(m 2)． 7．(2023·安阳模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________．答案5π3解析因为sin5π6>0，cos 5π6<0，所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sin α＝cos5π6＝－32，故角α的最小正值为α＝2π－π3＝5π3. 8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．答案2π－2 3解析由条件可知，弧长AB ＝BC ＝AC ＝2π3，等边三角形的边长AB ＝BC ＝AC ＝2π3π3＝2，则以点A ，B ，C 为圆心，圆弧AB ，BC ，AC 所对的扇形面积为12×2π3×2＝2π3，中间等边△ABC 的面积S ＝12×2×3＝3.所以莱洛三角形的面积是3×2π3－23＝2π－2 3. 9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.10．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A (1,0)，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－12，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)解(1)由题意知，若点B 的横坐标为－12，可得B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴sin α＝32，于是α＝2π3＋2k π，k ∈Z ，与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z . (2)△AOB 的高为1×cosα2，AB ＝2sin α2，故S △AOB ＝12×2sin α2×cos α2＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12·α·12－12sin α＝12(α－sin α)，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为() A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k ·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z ) 答案D解析∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z )． 12．(多选)已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 可能位于的区间是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 答案AD解析由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，当k ＝1时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎪⎫5π4，9π4. 13．已知△ABC 为锐角三角形，若角θ的终边过点P (sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案B解析因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，A ＋C >π2，即A >π2－B ，C >π2－A ，所以sin A >cos B ，sin C >cos A ，所以θ是第四象限角，所以sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.14．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m ，直道长为28.85m ，点O 为半圆的圆心，点N 为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P 点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q (终点Q 为直道的中点)．若从P 点滑行到Q 点的距离为31.425m ，则∠PON 等于()A.π2B.53C ．2D.2π3答案C解析扇形PON 的弧长为31.425－12×28.85＝17，故∠PON ＝178.5＝2.15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为()A.15B.25C.55D.255 答案B解析设直角三角形的短直角边为x ，一个直角三角形的面积为100－204＝20，小正方形的面积为20，则边长为2 5.大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为12·x (x ＋25)＝20⇒x ＝2 5.则直角三角形的长直角边为4 5.故sin α＝55，cos α＝255，即sin αcos α＝25. 16．如图，点P 是半径为2的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD (顶点A 与P 重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为________．答案3(2＋2)π解析正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为π6，半径分别为2,22，2的三段弧，故路径长l＝π6·(2＋22＋2)＝(2＋2)π3，所以点A与P重合时总路径长为(2＋2)π.。

[精品]2018届高三数学文科一轮复习夯基提能三角函数解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数和答案

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础题组1.给出下列四个命题:①角-是第二象限角;②角是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.若sinαtanα<0,且<0,则角α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=x,则tanα=()A. B. C.- D.-4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.85.角α的终边与直线y=3x重合,且sinα<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=,则m-n等于( )A.2B.-2C.4D.-46.设角α是第三象限角,且=-sin,则角是第象限角.7.(2016江苏连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为.8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为.9.已知sinα<0,tanα>0.(1)求角α的集合;(2)求终边所在的象限;(3)试判断tan sin cos的符号.10.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.B组提升题组11.已知角θ是第四象限角,则sin(sinθ)()A.大于0B.大于或等于0C.小于0D.小于或等于012.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )A.1B.-1C.3D.-313.已知sinθ-cosθ>1,则角θ的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为.15.角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求++的值.16.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P,Q各自走过的弧长.答案全解全析A组基础题组1.C 角-是第三象限角,故①错误;=π+,从而角是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.故选C.2.C 由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号,则α为第二或第三象限角.由<0可知cosα,tanα异号,则α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.3.D ∵α是第二象限角,∴x<0.由题意知=x,解得x=-3.∴tanα==-.4.C 设扇形所在圆的半径为R,则2=×4×R2,∴R2=1,∴R=1,∴扇形的弧长为4×1=4,则扇形的周长为2+4=6.5.A ∵角α的终边与直线y=3x重合,且sinα<0,∴角α的终边在第三象限.又P(m,n)是角α终边上一点,故m<0,n<0.又|OP|=,∴解得m=-1,n=-3,故m-n=2.6.答案四解析由角α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),得kπ+<<kπ+(k∈Z),知角是第二或第四象限角,再由=-sin知sin<0,所以只能是第四象限角.7.答案π解析∵=,∴角α是第四象限角,且sinα=-,cosα=,∴角α的最小正值为.8.答案解析设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.9.解析(1)由sinα<0,知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上; 由tanα>0,知α的终边在第一、三象限,故角α的终边在第三象限. 其集合为.(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,得kπ+<<kπ+,k∈Z,故终边在第二、四象限.(3)当终边在第二象限时,tan<0,sin>0,cos<0,所以tan sin cos>0;当终边在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,所以tan sin cos>0.因此,tan sin cos的符号为正.10.解析设扇形AOB的圆心角为α,半径为r,弧长为l.(1)由题意可得解得或∴α==或α==6.(2)解法一:∵2r+l=8,∴Slr=l·2r≤=×=4,当且仅当2r=l,即α==2时,扇形的面积取得最大值4,∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,r=2,弦长AB=2×2sin1=4sin1.解法二:∵2r+l=8,∴S 扇=lr=r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,当且仅当r=2,即α==2时,扇形面积取得最大值4.∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,弦长AB=2×2sin1=4sin1.B组提升题组11.C ∵角θ为第四象限角,∴-1<sinθ<0,令α=sinθ,则-1<α<0,∴角α为第四象限角,∴sinα=sin(sinθ)<0.12.B 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.所以y=-1+1-1=-1.13.B 由已知得(sinθ-cosθ)2>1,即1-2sinθcosθ>1,sinθcosθ<0,又sinθ>cosθ,所以sinθ>0>cosθ,所以角θ的终边在第二象限. 14.答案(7+4)∶9解析设扇形的半径为R,其内切圆的半径为r.则(R-r)sin60°=r,即R=r.又S 扇=|α|R2=××R2=R2=πr2,∴=.15.解析由题意可知点P(a,-b),则sinα=,cosα=,tanα=-,由题意可知点Q(b,a),则sinβ=,cosβ=,tanβ=,∴++=-1-+=0.16.解析设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒, 则t·+t·=2π.所以t=4,即第一次相遇时所用的时间为4秒.设第一次相遇时,相遇点为C,则∠COx=·4=,则P点走过的弧长为π·4=π,Q点走过的弧长为π·4=π;x C=-cos·4=-2,y C=-sin·4=-2.所以C点的坐标为(-2,-2).。

2018届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业18 任意角和弧度制及任意角的三角函

课时作业18 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( ) A ．－43πB ．－53πC ．－76πD ．－74π解析：－300×π180＝－53π.答案：B2．tan 8π3的值为( )A.33C. 3B ．cos α>0 D ．cos2α>0故B ，C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 4．已知sin α＝5，cos α＝5，则角2α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由sin α＝45，cos α＝35，知2k π＋π4<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π＋π2<2α<4k π＋π，k ∈Z ，∴角2α的终边所在的象限是第二象限．故选B.答案：B5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析：由点P (－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m－8m 2＋9＝－45，所以m ＝12. 答案：C6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．答案：C7．(2017·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.答案：D8．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．答案：B 二、填空题9．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案：－811．设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________．解析：点P 的坐标为(cos α，sin α)，则Q 点坐标为(－cos α，－sin α)．答案：(－cos α，－sin α)12．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM . 其中正确的是________．解析：sin 17π18＝MP >0，cos 17π18＝OM <0.答案：②1．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0解析：∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.答案：C2．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：D3．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心为坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB ，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A. 2B.32C ．1D.12解析：设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)，故所求最大值为1. 答案：C4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A (3,4)，将向量OA →绕点O 按逆时针方向旋转2π3后得向量OB →，则点B 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋23，－2－323B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－23，－2＋323C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋23，－2＋323D ．(－4,3)解析：设OA →与x 轴正半轴所成的角为θ，则sin θ＝45，cos θ＝35.设点B (x ，y )，则x＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－45×32＝－32－23，y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋35×32＝－2＋332. 答案：B5．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439.答案：(7＋43)9。

(福建专用)2018年高考数学总复习课时规范练16 任意角、弧度制及任意角的三角函数文新人教A版

课时规范练16 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固组1.已知角α的终边与单位圆交于点,则tan α=()A.-B.-C.-D.-2.若sin α<0,且tan α>0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是()A. B. C.- D.-4.若tan α>0,则()A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>05.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()A. B.sin 0.5C.2sin 0.5D.tan 0.56.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=()A. B.±C.-D.-7.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为()A. B.C. D.〚导学号24190885〛9.函数f(α)=的定义域为.10.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+的值为.11.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第象限角.12.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为.〚导学号24190886〛综合提升组13.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=的值为()A.1B.-1C.3D.-314.(2017山东潍坊一模,文7)下列结论错误的是()A.若0<α<,则sin α<tan αB.若α是第二象限角,则为第一象限或第三象限角C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α=D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度〚导学号24190887〛15.函数y=的定义域是.〚导学号24190888〛16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在角θ的终边上(不是原点),则的值等于.创新应用组17.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为()A. B.C. D.〚导学号24190889〛18.已知角θ的终边上有一点(a,a),a∈R,且a≠0,则sin θ的值是.〚导学号24190890〛答案：1.D根据三角函数的定义,tan α==-,故选D.2.C∵sin α<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴.又tan α>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限.3.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的,即为×2π=.4.C(方法一)由tan α>0可得kπ<α<kπ+(k∈Z),故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),故四个选项中只有sin 2α>0.(方法二)由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sinαcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C.5.A连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为,这个圆心角所对的弧长为.故选A.6.D依题意得cos α=x<0,由此解得x=-,故选D.7.A由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-2<a≤3.8.D由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin,故α=2kπ-(k∈Z),所以角α的最小正值为.9.(k∈Z)∵2cos α-1≥0,∴cos α≥.由三角函数线画出α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈(k∈Z).10.0设角α终边上任一点为P(k,-3k),则r=|k|.当k>0时,r=k,∴sin α==-,∴10sin α+=-3+3=0;当k<0时,r=-k,∴sin α==-,∴10sin α+=3-3=0.综上,10sin α+=0.11.四由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z).故kπ+<kπ+(k∈Z),即是第二或第四象限角.又=-sin ,故sin <0.因此只能是第四象限角.12.10,2设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.∴扇形的面积S=θr2=(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.13.B由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.14.C若0<α<,则sin α<tan α=,故A正确;若α是第二象限角,则(k∈Z),则为第一象限角或第三象限角,故B正确;若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α=,不一定等于,故C不正确;若扇形的周长为6,半径为2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D正确.15.(k∈Z)由题意知由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.16.由题意知角θ的终边与240°角的终边相同,∵P(x,y)在角θ的终边上,∴tan θ=tan 240°=,于是.17.D由点A的坐标为(4,1),可知OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB边仍在第一象限.故可设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为+α.因为A(4,1),所以tan α=,tan,,即m2=n2,因为m2+n2=(4)2+12=49,所以n2+n2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为.18.或-由已知得r=|a|,则sin θ=所以sin θ的值是或-.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

高中数学总复习练习题---任意角和弧度制(解析版)

高中数学总复习练习题专题47 任意角和弧度制一、选择题1．（2019·广西高一期末（文））150o 化成弧度制为（） A.56πB.4π C.23π D.3π 【答案】A【解析】由题意可得51501501806ππ=⨯=o，故选：A. 2．把85π-化为角度是（） A.96-o B.144-oC.288-oD.576-o【答案】C【解析】由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得8818028855π-=-⨯=-o o . 故选：C.3．下列角的终边与37o 角的终边在同一直线上的是（） A.37-o B.143oC.379oD.143-o【答案】D【解析】与37o 角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅o o ，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-o o o ，所以，143-o 角的终边与37o 角的终边在同一直线上. 故选：D ．4．与468-o 角的终边相同的角的集合是（）A.{}360456,k k Z αα=⋅+∈ooB.{}360252,k k Z αα=⋅+∈ooC.{}36096,k k Z αα=⋅+∈ooD.{}360252,k k Z αα=⋅-∈oo【答案】B【解析】因为4682360252-=-⨯+o o o ，所以252o 角与468-o 角的终边相同，所以与468-o 角的终边相同的角的集合为{}360252,k k Z αα=⋅+∈o o. 故选：B ．5．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α（）A.是第三象限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角【答案】D【解析】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角．故选：D.6．已知角α的终边落在x 轴的非负半轴上，则角2α的终边落在（） A.x 轴的非负半轴上 B.x 轴上 C.y 轴的非负半轴上 D.y 轴上【答案】B【解析】由题意，知()360k k Z α=⋅∈o，则()1802k k Z α=⋅∈o .当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则3602n α=⋅o ，此时，角2α的终边在x 轴的非负半轴上；当k 为奇函数时，设()21k n n Z =+∈，则()()211801803602n n n Z α=+⋅=+⋅∈o o o ，此时，角2α的终边在x 轴的非正半轴上. 综上所述，角2α的终边在x 轴上.故选：B ．7．（2019·河南高一期末）已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A.53πB.23π C.52πD.2π 【答案】C【解析】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C8．（2019·山东高一期末）下列各角中，与角6π终边相同的角是（） A.136π-B.116π-C.116πD.196π【答案】B 【解析】角6π终边相同的角可以表示为2,()6a k k Z ππ=+∈，当1k =-时，6a 11π=-，所以答案选择B 9．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{}1804518090,k k k Z αα⋅+≤≤⋅+∈oooo中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则有3604536090n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于4590o o :角终边所在的区域；当k 为奇数时，设()21k n n Z =+∈，则有360225360270n n α⋅+≤≤⋅+o o o o ，角α的终边在介于225270o o :角终边所在的区域.故选：C.10．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（） A ．4 B ．2C ．4πD ．2π【答案】A【解析】由已知得，=24l θ=，，又因为弧长l R θ=，所以扇形的半径=2R ，所以面积11=42=422S lR =⋅⋅．选A ．11．（2019·安徽高三月考（文））已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A.45B.5C.12D.45或5 【答案】D【解析】据题意，得27,1 2.5,2l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得5,22r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5,r l =⎧⎨=⎩所以45l r =或5.故选D . 12．（2019·湖北高三月考（文））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )A.2+43B.13+2C.2+83D.4+83【答案】A 【解析】如图，由题意可得23AOB π∠=，在Rt AOD ∆中，,36AOD DAO ππ∠=∠=，所以2OB OD =，结合题意可知矢2OB OD OD =-==，半径4OB =，弦2216443AB AD ==-= 所以弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）21(4322)4322=+=，故选A. 二、填空题13．（2019·上海交大附中高一开学考试）2018°是第________象限角. 【答案】三【解析】20185360218=⨯+o o o Q ，又218o 是第三象限角，所以2018o 也是第三象限角. 故答案为：三.14．（2019·上海市吴淞中学高一期末）圆心角为60︒的扇形，它的弧长为2π，则该扇形所在圆的半径为______. 【答案】6 【解析】263l r r r παπ===∴=故答案为：615．（2018·江西高一期末）扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长为________cm 【答案】6π【解析】圆弧所对的圆心角为30°即为6π弧度，半径为1cm 弧长为l ＝|α|•r 6π=⨯16π=（cm ）．故答案为：6π． 16．（2019·上海市复兴高级中学高一月考）若角α与角3-2π终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），且302πα≤＜，则=α______．【答案】2π 【解析】因为角α与角32π-终边相同（始边相同且为x 轴正半轴），所以322k παπ=-，k ∈Z ，又因302πα≤<，所以当1k =时，2πα=.故答案为：2π 三、解答题17．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【答案】(1) {α|＋2k π<α<＋2k π，k ∈Z}；(2) {α|－＋2k π<α≤＋2k π，k ∈Z}；(3){α|k π≤α≤＋k π，k ∈Z}；(4) {α|＋k π<α<＋k π，k ∈Z}. 【解析】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转πrad 而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．18．已知1570α=-o ，2750α=o，135βπ=，23βπ=-．（1）将12,αα用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；（2）将12,ββ用角度制表示出来，并在720,180⎡⎤--⎣⎦o o内找出与它们终边相同的所有角．【答案】（1）1196πα=-终边位于第二象限，2256πα=终边位于第一象限；（2）12108,60ββ==-o o，与1β终边相同的角为252-o 和612-o ，与2β终边相同的角为420-o .【解析】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：1195705701806ππα=-=-⨯=-o oo， 2257507501806ππα==⨯=o o o，又由1195466ππαπ=-=-+，所以1α与角56π的终边相同，所以1α终边位于第二象限；225466ππαπ==+，所以2α与角6π的终边相同，所以2α终边位于第第一象限.（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得131085βπ==o ，2603βπ=-=-o ，根据终边相同角的表示，可得与1β终边相同的角为1360108,k k Z θ=⨯+∈o o，当1k =-时，1360108252θ=-+=-o o o ；当2k =-时，12360108612θ=-⨯+=-o o o. 与2β终边相同的角为236060,k k Z θ=⨯-∈o o ，当1k =-时，136060420θ=--=-o o o.19．在角的集合{}|9045,k k αα︒︒=+∈Z g，（1）有几种终边不同的角？（2）写出区间(180,180)︒︒-内的角？（3）写出第二象限的角的一般表示法．【答案】(1) 4种．(2) 135,45,45,135︒︒︒︒--．(3) 360135,k k ︒︒+∈Z g ．【解析】（1）由题知9045,k k α︒︒=+∈Z g ，令0,1,2,3k =，则45,135,225,315α︒︒︒︒=， ∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种．（2）由1809045180,k k ︒︒︒︒-<+<∈Z g ，得53,22k k -<<∈Z ，∴2,1,0,1k =--， ∴在区间(180,180)︒︒-内的角有135,45,45,135︒︒︒︒--．（3）由（1）知，第二象限的角可表示为360135,k k ︒︒+∈Z g ．20．已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+．由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭．利用函数单调性的定义，可得当05R <…时，函数502y R R=+是减函数；当5R >时，函数502y R R=+是增函数．所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．21．（2019·宁夏银川一中高一期中）已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.（2）因为，所以.，又，所以.22．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R ．（1）若,6cm 3R απ== ，求该扇形的弧长l ．（2）若扇形的周长为12cm ，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．【答案】（1）2π；（2）2α=，扇形的最大面积为29cm . 【解析】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为623l R παπ==⨯=；（2）由题意，扇形的周长为12cm ，所以212R l +=，可得122l R =-，又由扇形的面积公式，可得2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+, 当3R =时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为29S cm =，此时1226l R =-=，即36R αα=⨯=，解得2α=.。

备考高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）

2020年高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、单选题1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.3.若角a=-4，则a的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(-，m)是角θ终边上的一点，且sinθ=，则m的值为（）A. B. 6 C. -或 D. -6或65.已知是角的终边上的点，则（）A. B. C. D.6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.7.设函数，若角的终边经过，则的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 48.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.9.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于A. B. C. D.10.在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin，cos），则cos（+α）=（）A. B. ﹣ C. D. ﹣11.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.12.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题13.角的终边经过点，则________.14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则________．15.已知角终边上有一点,且，则________16.若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点，________．17.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.三、解答题18.若点在角的终边上，求的值．19.已知角终边经过点，且，求，，.20.已知角的终边过点，且，求和的值.21.已知角θ的终边经过点P(-3a,4a）．(a≠0）（1）当a=1时，求sinθ-2cosθ的值：（2）若sinθ<0，求3tanθ+5cosθ的值22.在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点．（1）求、；（2）求．答案解析部分一、单选题1. D解析：角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．故答案为：D.【分析】由已知利用任意角的三角函数定义，得到与的值代入，即可得结果.2. D解析：任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，可得与角终边相同的角是，当时，，故答案为：D。

2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。

(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )，所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。

所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。

【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

(4)求并集化简集合。

2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。

【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测16 Word版含解析

课时跟踪检测(十六)[高考基础题型得分练]．方程－＋－＝的实根个数是( )．．．．答案：解析：设()＝－＋－，′()＝－＋＝(－)(－)，由此可知函数的极大值为()＝－＜，极小值为()＝－＜，所以方程－＋－＝的实根有个．．若存在正数使(－)＜成立，则的取值范围是( )．(－，＋∞)．(－∞，＋∞)．(－，＋∞)．(，＋∞)答案：解析：∵(－)＜，∴＞－.令()＝－，∴′()＝＋－＞.∴()在(，＋∞)上单调递增，∴()＞()＝－＝－，∴的取值范围为(－，＋∞)．．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )．．．．答案：解析：设圆柱的底面半径为，母线长为，则＝π＝π，∴＝.要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和最小．由题意，＝π＋π＝π＋π·.∴′＝π－，令′＝，得＝，则当＝时，最小．故选.．[·河北衡水中学一调]设曲线()＝－－(为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，若总存在曲线()＝＋上某点处的切线，使得⊥，则实数的取值范围为( )．(，＋∞)．[－]答案：解析：由()＝－－，得′()＝－－，因为＋>，所以∈()，由()＝＋，得′()＝－，又－∈[－]，所以－∈[－＋＋]，要使过曲线()＝－－上任意一点的切线，总存在过曲线()＝＋上一点处的切线，使得⊥，则(\\(－＋≤，＋≥，))解得－≤≤，故选.．[·河北石家庄模拟]已知函数()＝，若()＜()，则( )．＋＝．＞．＜．＜答案：解析：因为(－)＝－＝＝()，所以()为偶函数，由()＜()，得()＜()(*)．又′()＝－＋＝.当≥时，(＋)＋－≥(＋)＋－＝，则′()≥，所以()在[，＋∞)上为增函数，从而由(*)式得＜，即＜.。

2018届高考数学(理)一轮总复习检测第三章第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数Word版含解析

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数【最新考纲】 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念(1)分类：①从运动的角度看，可分为正角、负角和零角．②从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算πrad＝180°；②弧长公式：l＝r|α|；③扇形面积公式：S＝12lr＝12r2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)将表的分针拔快5分钟，则分针转过的角度是π6.()(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等．()(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．答案：C3．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析：设角α的终边上点(－4，3)到原点O 的距离为r ，则r ＝（－4）2＋32＝5，∴由余弦函数的定义，得cos α＝x r ＝－45.答案：D4．(2014·课标全国Ⅰ卷)若tan α＞0，则( ) A ．sin 2α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin α＞0 D ．cos 2α＞0解析：由tan α＞可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选A.答案：A5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 答案：1或4一条规律三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．四点注意1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 4．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，应注意分类讨论．一、选择题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34解析：根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34.答案：D2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 解析：由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.答案：C3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵点P(tan α，cos α)在第三象限， ∴tan α＜0，且cos α＜0，由tan α＜0，知α的终边在第二或第四象限，由cos α＜0，知α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上，因此角α的终边在第二象限．答案：B4．(2016·石家庄质检)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3解析：因点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π.答案：C5．已知P(6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ→，则点Q 的坐标是( ) A ．(8，－6) B ．(－8，－6) C ．(－6，8) D ．(－6，－8)解析：|OP|＝62＋82＝100，设∠xOP ＝θ，∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45. 设OQ →＝(x ，y)，则x ＝10cos (θ＋3π2)＝10sin θ＝8，y ＝10sin (θ＋3π2)＝－10cos θ＝－6.答案：A6．(2014·课标全国Ⅰ卷)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M.将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x)，则y ＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )解析：利用单位圆及三角函数的定义，求出f(x)的解析式．如右图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P(cos x ，sin x)，M(cos x ，0)，作MM′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM|＝sin x ，∴f （x ）cosx ＝sin x ，∴f(x)＝sin xcos x ＝12sin 2x ，则当x＝π4时，f(x)max＝12；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f（x）|cosx|＝sin(π－x)，f(x)＝－sin xcos x＝－12sin 2x，当x＝3π4时，f(x)max＝12.只有B选项的图象符合．答案：B二、填空题7．若角α的终边过点(1，2)，则sin(π＋α)的值为________．解析：由三角函数的定义知r＝12＋22＝5，所以sin α＝yr＝25＝255，则sin(π＋α)＝－sin α＝－255.答案：－25 58．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________．解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－88．函数y＝2cos x－1的定义域为________．解析：∵2cos x－1≥0，∴cos x≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)三、解答题10．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a ，4a)，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：r ＝（3a ）2＋（4a ）2＝5|a|. 当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝3a 5a ＝35，tan α＝y x ＝4a 3a ＝43；当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.11．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解：(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB·sin π3＝25 3. ∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

2018北师大版文科数学高考总复习练习：4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数含答案

第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固题组（建议用时:30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有（) A．1个B．2个C．3个D．4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°,从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案 C2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析由题意知tan α＜0，cos α＜0,∴α是第二象限角．答案 B3．(2017·宜春模拟）已知角θ的终边经过点P(4,m），且sin θ＝错误!,则m等于（) A．－3 B．3 C。

错误!D．±3解析sin θ＝错误!＝错误!，解得m＝3.答案 B4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析由三角函数定义可知Q点的坐标（x，y)满足x＝cos 错误!＝－错误!,y＝sin 错误!＝错误!。

答案 A5．设θ是第三象限角，且错误!＝－cos 错误!，则错误!是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由θ是第三象限角，知错误!为第二或第四象限角,∵错误!＝－cos 错误!,∴cos 错误!≤0,综上知错误!为第二象限角．答案 B6．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈（0，π)的弧度数为（)A.错误!B.错误!C.错误!D．2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为错误!r，所以错误!r＝α·r,∴α＝错误!。

高三数学(文科)高考一轮总复习课时跟踪检测3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析

［课时跟踪检测］［基础达标］9 n1. 与N的终边相同的角的表达式中正确的是()9A. n+ 45°k€ Z)B. k 360°+ ^n K^ Z)5 nC. k360°—315°(k€ Z)D. k n+；4(k€ Z)9 n 9 n解析：与9■的终边相同的角可以写成2k n+ 94'(k€ Z)且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.答案：C2. 若a是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A. sin a+ coso<0B. tan a—sin a<0C. cos a—tano<OD. tan a i n a<0解析：在第三象限，sin a<0, cos a<0, tan a>0,则可排除A、C、D三项.答案：B3 .已知角a的终边经过点P( —4a,3a)(a<0)，贝U 2sin a+ cos a的值为()答案：A4. sin1, cos1，tan1的大小关系是( )A. sin 1<cos1<tan1B. tan 1<sin 1<cos1C. cos1<tan1<sin1D. cos1<sin1<tan1厂C.2卡2D.5或―5解析：因为x= —4a，y= 3a，a<0，所以r = —5a，、 3所以sin a=—…，a=4，2sin a+ COS a=22.故选A.解析：如图，单位圆中/ MOP= 1 rad>n rad.因为OMv^vMPvAT，所以cos1<sin1<tan1 故选D.答案：D5 •将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（）nA.3C.解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A、B不正确；又11 冗因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的1即为一-X 2n=--.6 6 3答案：C6. 已知角a终边上一点P的坐标是（2sin2,—2cos2）,则sin a等于（）A. sin2B.—sin2C. cos2D. —cos2解析：因为r （2sin2$+ （—2cos（= 2，由任意角三角函数的定义得sin ay==—cos2.r答案：Dn n7.集合，an+ 4< a< k n+㊁，k€ Z沖的角所表示的范围（阴影部分）是（）解析：当k= 2n（n € Z）时，2n n+ a<2n n+ 2,此时a表示的范围与［W a<?n n表示的范围一样；当k= 2n + 1（n€ Z）时，2n n+ n+ 4W aW 2n n+ n+ 2，此时a冗D.表示的范围与n+詐aW n+ 21表示的范围一样.答案：C8. 已知点A的坐标为（4.3，1），将0A绕坐标原点0逆时针旋转3至0B,‘ 13 D 2n解析：设OA 的倾斜角为a ，B （m ，n ）（m >0, n >0）,则OB 的倾斜角为§+ a因为 m 2 + n 2= (4 3)2 + 12 = 49,所以 n 2 + 备2= 49,所以点B 的纵坐标为学. 答案：D29. 某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的-,面积等于圆面2 2乌丿2解析：设圆的半径为r ,则扇形的半径为；，记扇形的圆心角为 a 则 n 25 . 5 n刃，…a ~6.则点B 的纵坐标为（A. 3,3 2B. 5,3 ~2~Cy因为A （4 3，1），所以tan 1 a 4：3,丄(nntan 3+a =m 西+為=竺—3X 41f 3^3'即m 2备2, 13所以n =㊁或n5积的27, 则扇形的弧长与圆周长之比为•••扇形的弧长与圆周长之比为518- r2一.3< 砾一62sin54n= coS5n=^2，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角11. 已知扇形AOB的圆心角为120°半径为6.(2)S 弓=S 扇一S A AOB1 1=2* 6X4n—2^ 6.3X 3=12 n—9,3.12. 若角a的终边在直线3x+4y= 0上，求sin计cosa的值.解：在角a的终边上任取一点P(4t, —3t)(t M 0),则|OP|= ,_4t 2 3+ —3t2= 5|t|,5答案：1810. _____________________________________________________ 在（0,2内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 ___________________________ .、, n n 2 解析：如图所示，找出在（0,2 T内,使sinx= cosx的x值，s"4= cos n= ?，2 1—5•综上得sin a+ COS a的值为±5.x€5n~4.答案:5n7⑴求AB ;⑵求这个扇形所含的弓形的面积.y —3t 3 x 4t 4当t>0 时，Sin a= r = 5t = —5，COS a= r= 5t= 5,Sin a+ COS a=1 5；当t<0 时，sin a^y=3= 5 COS a=x_ _j4L _ 厂—5t_45,Sin a+ COS a_13.已知a为第四象限角，12cos a—13，求sin a，tan a 的值.解：T a为第四象限角，二sin a——1 —cos2 a——13.丄sin a 5--tan a—_—彳cos a 12［能力提升］1.已知角a= 2k n—5（k€ Z）,若角B与角a的终边相同，则y=霜；+ |COs E| tan B 、，z、+丽的值为（）A. 1B.—1C. 3D. —3n解析：由a 2k n-耳歩Z）及终边相同的概念知，角a的终边在第四象限，又角B与角a的终边相同，所以角B是第四象限角，所以sin«0,cosA0, tan«0.所以y=— 1 + 1 — 1 = — 1.答案：B2.已知sin a<0，tan a>0.⑴求a角的集合；（2）求2角终边所在的象限；（3）试判断tan a鬥步0寸的符号.解：⑴由sin a<0,知a在第三、四象限或y轴的负半轴上; 由tan a>0，知a在第一、三象限，故a角在第三象限；其集合为｛o2k n+ n«2k n+ 号，k€ Z〔丄3n .厂-⑵由2k n+ n<<2k n+ ? ，k € Z，n a 3 n得k n+ 2<2<k n+；4，k€ Z，故訓终边在第二、四象限.⑶当a角在第二象限时，tan2<0, sin》。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.1_任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)有答案

第01节任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．对点练习：下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角α终边经过点122P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，则cos α=（）A.12B. 2C. 3D. 12±【答案】B【解析】由于1,r OP x ===，所以由三角函数的定义可得cos x r α==，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1) 10π3(cm).(2)圆心角为12.(3)l ＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R＝π3×10＝10π3(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆. 【1-2】若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-4】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【答案】C当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.考点2 三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4D ．4【答案】C【解析】由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．± 3 C.33D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2. 【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3 C.5π3D.11π6【答案】D【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得，∴l=n πr 180=2π3= 3 cm. 【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【解析】设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===；当0m >时，,sin r αα=== 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2020高考数学(文)一轮复习课时作业16任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析

A.
π 3
B.π6
C．－
π 3
D．－
π 6
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故 A、B 不正确，又因为拨
1
1
π
快 10 分钟，故转过的角的大小应为圆周的 6.故所求角的弧度数为－ 6×2π＝－ 3.
答案： C
6．[2019 ·江西朔州模拟 ]若点 sin56π，cos56π在角 α的终边上，则 sinα的值为 (
答案：－23
14．函数 y＝ 2cosx－1的定义域为 ________．
解析：
∵2cosx－
1≥ 0，
∴cosx≥
1 2.
由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围
∴x∈ 2kπ－π3，2kπ＋π3 (k∈Z )．
答案： 2kπ－π3，2kπ＋π3 (k∈Z )
(如图阴影所示 )．
[能力挑战 ]
15．已知角
＋ k·360°)<180°－ α<180°－ (90 °＋ k·360°)(k∈Z ) ，则－ k·360°<180°－ α<90°－
k·360°(k∈ Z)，所以 180°－α是第一象限的角．
答案：一
12．在－ 720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为 ________．
解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为：
5 答案： 18
答案： B
17．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的 23，面积等于圆面积的 257，
则扇形的弧长与圆周长的比值为 ________．
解析：设圆的半径为
r ，则扇形的半径为
2r 3
，
记扇形的圆心角为 α，

高考数学一轮复习课时跟踪检测(十八)任意角和弧度制

课时跟踪检测(十八) 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B.π6C ．－π3D ．－π62．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．83．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.124．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．(2012·广东调研)已知sin θ＝34，且θ是第二象限角，那么2θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.9.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .11.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.1．(2012·汕头质检)函数y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象大致是( )2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP u u u r的坐标为________．3．(1)确定tan －3cos 8·tan 5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．答案课时跟踪检测(十八)A 级1．选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．选B ∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．5．选C ∵θ是第二象限角，且sin θ＝34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，∴2k π＋2π3<θ<2k π＋3π4，∴4k π＋4π3<2θ<4k π＋3π2，∴2θ是第三象限角．6．选 B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．7．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.答案：－7510．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H . 则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11．解：(1)根据三角函数定义可知 sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 12．解：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°<α<180°， ∴x <0，因此x ＝－ 3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. B 级1．选A 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，tan x ≤0，sin x ≥0，故y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |＝tan x ＋sin x ＋sin x －tan x ＝2sin x ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2时，tan x >0，sin x <0，故y ＝tan x ＋sin x ＋|tan x －sin x |＝tan x ＋sin x ＋tan x －sin x ＝2tan x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故选A.2．解析：设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧»PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP u u u r的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)3．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.。

弧度制及任意角的三角函数(习题)解析版

专题15 弧度制及任意角的三角函数1．若α为第四象限角，则（） A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0 D ．sin2α<0【答案】D 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，则α＝( )A.π8B.3π8C.5π8D.7π8【答案】D【解析】(1)因为角α的终边经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8＝cos 7π8，则α＝7π8.故选D.4.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32C.12D.32【答案】C【解析】由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12. 5.若tan 0α>，则A. sin 20α> B ． cos 0α> C ． sin 0α> D ． cos20α> 【答案】A【解析】由tan 0α>知，α在第一、第三象限，即2k k ππαπ<<+（k Z ∈），∴222k k παππ<<+，即2α在第一、第二象限，故只有sin 20α>，故选A ．6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- (B)35- (C) 35 (D) 45【答案】B【解析】在直线2y x =取一点P （1，2），则r 5sin θ=y r 25 ∴cos2θ=212sin θ-=35-，故选B ．7.（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15B 5C 25D ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，30|cos |α∴=306|sin |136α∴-，6|sin |56|tan |||||21|cos |30b a a b ααα-==-===-，故选B ． 8.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．【答案】1∶2【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.9.（2022浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值；(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-． 10.下列各式：①sin(－100°)；①cos(－220°)；①tan(－10)；①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10①⎝ ⎛⎭⎪⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0.11.确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6. 【解析】（1）因为103°、220°分别是第二、第三象限的角，所以sin 103°>0，cos 220°<0，所以sin 103°·cos 220°<0；（2）因为3622π<<π，所以6是第四象限的角，所以cos 6>0，tan 6<0，所以cos 6°·tan 6<0. 12.已知sin 0θ>且cos 0θ<，则角θ的终边所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】依据题设及三角函数的定义，可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B ．13.已知sin 0,tan 0αα<>，则角α可以为第（）象限角 A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】sin 0α<，则α的终边在x 边下方，tan 0α>，α是第一象限或第三象限角，综上，α是第三象限角．故选：C ．14.若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．15.已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有⎩⎨⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．16.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为角α的终边在第一象限，所以222k k ππαπ<<+，k Z ∈，所以223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时角α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时角α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时角α的终边落在第三象限，综上所述，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D ．17.时间经过4小时，分针转的弧度数为( ) A ．π-B ．2πC ．4π-D ．8π-【解析】时间经过4小时，分针是按顺时针方向转了4圈，所以分针转过的弧度数为248ππ-⨯=-．故选：D ．18.已知α为第二象限角，则32πα-为( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】α是第二象限角，∴222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，32222k k ππππαπ∴-+<-<-+，k Z ∈． ∴32πα-为第三象限角．故选：C ．19.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】因为α是锐角，故090α︒<<︒，则α一定是第一象限角，若α是第一象限角，不妨取330-︒，则α不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．故选：A ．20.若α，β满足22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是( )A ．παβπ-<-<B ．0παβ-<-<C ．22ππαβ-<-<D ．02παβ-<-<【解析】从题中22ππαβ-<<<可分离出三个不等式：22ππα-<<①，22ππβ-<<②，αβ<③．根据不等式的性质， ②式同乘以1-得22ππβ-<-<④，根据同向不等式的可加性，可得παβπ-<-<．由③式得0αβ-<，所以0παβ-<-<．故选：B ．21.已知α是第三象限角，则2α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角【解析】解：α是第三象限角，即322,2k k k Z ππαππ+<<+∈．当k 为偶数时，2α为第二象限角；当k 为奇数时，2α为第四象限角．故选：D ．22.若角θ为第四象限角，则2πθ+是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】θ是第四象限的角，由2πθ+是将θ的终边逆时针旋转2π，得到角2πθ+，∴2πθ+是第一象限的角故选：A ．23.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为3π，则角θ的余弦值为( ) A ．3B ．12-C ．12D 3 【解析】设角θ所在的扇形的半径为r ，则由题意，可得22123r r θπ=，解得23πθ=，可得21cos cos 32πθ==-．故选：B ． 24.29π化成角度是( ) A ．20︒ B ．40︒C ．50︒D ．80︒【解析】π180rad =︒，即1 180rad π︒=，∴221804099rad πππ︒=⨯=︒．故选：B ．25.圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A ．23radB ．32radC ．23πD ．32π【解析】圆的半径为r ，弧长为32r ，∴圆心角是3322rrad r =．故选：B ．26.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则212l r +=，182S lr ==，∴解得2r =，8l =或4r =，4l =1l rα==或4．故选：C ．27.点P 为圆224x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P '，当转过的弧长为23π时，点P '的坐标为( ) A ．(13) B ．(1,3)- C ．(1,3)--D ．1(2，3 【解析】由题意，||2OP '=，转过的弧长为23π，则旋转角为3π-，∴点P '的横坐标2cos()13x π=-=，纵坐标为2sin()33y π=-=∴点P '的坐标为(1,3)-．故选：B ．28.一个扇形的弧长为6，半径为4，则该扇形的圆心角的弧度数为( ) A ．1B ．32C ．2D ．23【解析】根据扇形的弧长为6，半径为4，计算该扇形的圆心角弧度数为6342l rα===．故选：B ．29.(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解析：选A ．由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A ．30.(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A ．AB ︵ B ．CD ︵C ．EF ︵D ．GH ︵解析：选C ．设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C ．31.(创新型)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ①AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 232.(创新型)(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得①AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得①AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2. 答案：43＋233.若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45①⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35①⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．34.(创新型)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为①AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3；方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优． 35.（2021·河北衡水中学高三三模）已知4cos sin 3θθ-=，则θ的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】两边平方得7sin 209θ=-<，进而得324k k ππθππ+<<+或34k k ππθππ+<<+，k Z ∈，，再分k 为偶数和k 为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由4cos 3sin θθ-=，平方得：2216sin cos 2sin cos 9θθθθ+-=，则161sin 29θ-=，即7sin 209θ=-<，则32222k k ππθππ+<<+或322222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，即有324k k ππθππ+<<+或34k k ππθππ+<<+，k Z ∈，当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin 0θ>，cos 0θ<，cos sin 0θθ-<，不成立，当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin 0θ<，cos 0θ>，成立. ①角θ的终边在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得7sin 209θ=-<，进而根据函数符号得θ的范围，再分类讨论求解.36.（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，则A ∈（）A ．(0,)6πB ．(6π，)4πC ．(4π，)3πD ．(3π，)2π【答案】C 【分析】设()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-，则()0f A =，根据零点存在性定理判断零点所在区间；【详解】解：A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，设()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-，即()sin 2cos tan 10f A A A A =-+-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为连续函数，又sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在(0,)2π中取4x π=，得2()sin 2cos tan 144442f ππππ=-+-=-，在(0,)4π中取6π，得1()sin 2cos tan 166662f ππππ=-+-=-，(0)sin 02cos0tan 013f =-+-=-，334()sin 2cos tan 103333f ππππ-=-+-=>，()()043f f ππ<，(,)43A ππ∴∈. 故选：C .37.（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，①AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【分析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B38.（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点,24P π⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为122sin 2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，05ω<<).若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，则点M 到x 轴的距离为（）A ．14B 3C ．12D ．32【答案】B 【分析】根据,24P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标，求得2ω=，若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，即53x π=，代入即可求得结果. 【详解】由曲线过,24P π⎛⎫ ⎪⎝⎭知，21422sin 24ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭，即sin 14πω⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，又05ω<<，求得2ω=，若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，即53x π= 代入得到5215332sin 2234y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯= ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭故选：B39.（2021·辽宁高三三模）（多选题）如图，圆心在坐标原点O 、半径为1的半圆上有一动点P ，A 、B 是半圆与x 轴的两个交点，过P 作直线l 垂直于直线AB ，M为垂足．设AOP α∠=，则下列结论正确的有（）A ．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos 1αα+>B ．若0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin αα>C ．若()0,απ∈，则2BM AM PM +≥D ．若[]0,απ∈，则PA PB +的最大值为2 【答案】AC 【分析】利用三角形三边关系可判断A 选项的正误；取0α=可判断B 选项的正误；利用基本不等式可判断C 选项正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，sin PM α=，cos OM α=，由三角形三边关系可得OM PM OP +>，即sin cos 1αα+>，A 选项正确；对于B 选项，当0α=时，sin αα=，B 选项错误；对于C 选项，2PBA α∠=，cos2cos22PB AB αα==，2cos2cos 22BM PB αα==，则222sin2AM BM α=-=，sin2sincos222PM PB ααα==，由基本不等式可得222cos2sin 4sincos22222BM AM PM αααα+=+≥=，当且仅当sincos22αα=时，因为0απ<<，即当2πα=时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，2sin2PA α=，2cos2PB α=，所以，2sin2cos222224PA PB αααπ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 0απ<<，可得34244παππ<+<，所以当242αππ+=时，即当2πα=时，PA PB +取最大值为2D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用sin x 和cos x 的最值直接求；①把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值； ①利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值．40.（2021·宁夏银川一中高三其他模拟（文））若33sin 22πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，[0,2)θπ∈，则θ=___________. 【答案】116π【分析】根据三角函数的诱导公式，求得3cos θ=，结合[0,2)θπ∈，进而求得θ的值. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得33sin cos 22πθθ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，即3cos 2θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=. 故答案为：116π. 41.（2021·浙江高三其他模拟）已知E 为平面内一定点且1OE =，平面内的动点P 满足：存在实数1λ≥，使()112OP OE λλ+-=，若点P 的轨迹为平面图形S ，则S 的面积为___________. 【答案】36π+【分析】以O 为圆心，以12为半径作圆，过E 作圆O 的切线EA ，EB 分别与圆O 切于点A ，B ，连结OA ，OB ，延长EO 与圆O 交于点F ，设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，由1λ≥，则点Q 在EP 的延长线上，若要存在1λ≥使得12OQ =，所以EP 的延长线与圆O 有交点，从而得出点点P 的轨迹图形，从而可求解. 【详解】以O 为圆心，以12为半径作圆，过E 作圆O 的切线EA ，EB 分别与圆O 切于点A ，B ，连结OA ，OB ，延长EO 与圆O 交于点F ，存在点P 以及实数1λ≥，设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，OQ OE OP OE λλ-=-，即EQ EP λ=由1λ≥，可知点Q 在EP 的延长线上，若要存在1λ≥使得12OQ =，相当于EP 的延长线与圆O 有交点，故P 只能在图中阴影部分，所以点P 的轨迹面积AOEBOEAOF BOF S S SS S =+++扇形扇形，因为EA 与圆O 相切于点A ，所以OA AE ⊥，由勾股定理可知，3AE =所以3AOE S =△3BOE S =△ 因为12AO OE =，所以120AOF ∠=︒，所以13412AOF BOF S S ππ==⨯=扇形扇形，综上所述，S 的面积为36π+. 故答案为：364π+.【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，由1λ≥，可知点Q 在EP 的延长线上，由条件得出相当于EP 的延长线与圆O 有交点，从而得出点点P 的轨迹图形，属于中档题.。

高考数学复习课时跟踪检测-任意角和蝗制任意角的三角函数含解析

课时跟踪检测（二十）任意角和弧度制、任意角的三角函数[A 级基础题——基稳才能楼高]1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵π2<2<π,∴2弧度的角在第二象限．2．点P (cos 2 019°,sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°,即角2 019°与角219°的终边相同,219°＝180°＋39°,所以角219°在第三象限,即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0,sin 2 019°<0,所以点P 在第三象限．3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12,则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C 。

32D 。

12解析：选B 根据三角函数的定义,角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值． 4．半径为1 cm,圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A 。

23 cm B 。

2π3 cmC 。

56cm D 。

5π6cm解析：选D ∵α＝150°＝56π rad ,∴l ＝α·r ＝56π cm。

5．(四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3,－4),则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B 。

3715C 。

3720D 。

1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3,－4),∴sin α＝－45,cos α＝35,∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315。

故选D 。

[B 级保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P (tan α,cos α)在第三象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．2．(南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2,－2cos 2),则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2,由任意角的三角函数的定义,得sin α＝y r＝－cos 2。

高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形4.1任意角

课时作业16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1．设角θ的终边经过点P (5t,12t )(t ＜0)，则sin θ＋cos θ的值为__________．2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝__________.3．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是__________．4．若α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第__________象限角．5．若α是第四象限角，则π－α在第________象限．6．已知点A ，B 是半径为2的圆O 上的两点，∠AOB ＝2 rad ，则劣弧的长度是__________．7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋c os α＋45tan α＝________.8．(2012江苏连云港模拟)若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是________．9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.二、解答题10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．11．(2013届江苏宿迁月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．12．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？参考答案一、填空题1．－1713解析：r ＝OP ＝(5t )2＋(12t )2＝－13t .∴sin θ＝y r ＝12t －13t ＝－1213，cos θ＝x r ＝5t －13t ＝－513，∴sin θ＋cos θ＝－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－1713.2.35 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0， ∴r ＝OP ＝(－3cos θ)2＋(4cos θ)2＝－5cos θ，∴cos α＝x r ＝－3cos θ－5cos θ＝35.3．{－1,3} 解析：若x 是第一象限角，则y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3.同理，若x是第二、三、四象限角，则y ＝－1，－1，－1.4．三解析：设α＝2k π＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫k ∈Z ，π2<β<π，∴α2＝k π＋β2，k π＋π4＜α2＜k π＋π2，∴α2是第一或第三象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2＜0，∴α2是第三象限角．5．三解析：π－α＝－α＋π，若α是第四象限的角，则－α是第一象限的角，再逆时针旋转180°，得π－α是第三象限角．6．47．－25或－45解析：取直线3x ＋4y ＝0上的点P 1(4，－3)，则|OP 1|＝5，则sin α＝－35，cos α＝45，ta n α＝－34，故sin α＋cos α＋45ta n α＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－25.取直线3x ＋4y ＝0上的点P 2(－4,3)，则sin α＝35，cos α＝－45，ta n α＝－34.故sin α＋cos α＋45ta n α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，sin α＋cos α＋45ta n α的值为－25或－45.8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π－π6，k ∈Z 解析：由对称性知，角β的终边与－π6的终边相同，故角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z. 9．－8 解析：根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三或第四象限，又因为点P的横坐标为正数，断定该角为第四象限角，故y ＜0，由sin θ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.二、解答题10．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55. 因此ta n α＝7，ta n β＝12.所以ta n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)ta n(α＋2β)＝ta n[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由ta n(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.11．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， ta n α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25， ta n β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋ta n α·ta n β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.12．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得214,2210,R R R θθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵8＞2π，舍去，∴θ＝12.(2)∵扇形的周长为40，∴θR ＋2R ＝40， S ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.。