高中数学 2.5 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和新人教A版必修5

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2.5等比数列的前n项和(第1课时)

1- q
a1 (1- q 2n ) = 6560 ②
1- q
① ②
得
1+ qn
=
82
∴ q n = 81, 把q n = 81，代入①得，
a1 (1- 81) = 80 1- q
∴a1 = q -1
n ∈N * , 且q n = 81 >1 ∴q >1 ∴ a1 = q -1> 0
∴{an }是递增数列，
2.5 等比数列前n项和（1）等比数列的前n项和公式
1.等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
2.等比数列通项公式： an = a1q n-1
3.等比数列的性质：
若{an }等比数列，且 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N * )
则am • an = a p • aq 当m+n = 2 p时，am • an = ap 2
等比数列的前n项和
若{an }等比数列，的公比为 q.
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an 由等比数列的定义，可知an = a1q n-1
Sn = a1 + a1q + a1q 2 + …+ a1q n-1 ① 两边同时乘以 q, 得
a1 (1 - q 6 ) = 63
(1)由题意得
1-q 2
a1 + a1q = 30 a1 + a1q + a1q2 =155
解得
a1
=
1 2
解得
a1 = 5 或 q=5
a1 = 180 q=-5

人教A版高中数学必修五2.5第1课时等比数列的前n项和课件

C.a1d>0,dS4<0
D.a1d<0,dS4>0
【解析】选 B.因为数列{an}是等差数列,a3,a4,a8 成
等比数列,所以 a1
3d
2
a1
2d
a1
7d
，解得
a1
5 3
d
所以
S4
2 a1
a4
2 a1
a1
3d
2 3
d
,
所以 a1d
5 3
d 2＜0 ， dS4
2 3
d 2＜0
4．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__3_或__－__4___．
A．2－218
B．2－219 C．2－2110 D．2－2111
【解析】因为 a4＝a1q3＝q3＝18，所以 q＝12，
所以 S10＝1－1－121210＝2－219.故选 B.
1．数列{2n－1}的前99项和为 ( C )
A．2100-1
B．1-2100
C．299-1
D．1-299
2．为在( 等A比)数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值
②
①-②得： Sn(1-q)=a1-a1qn
当q≠1时，
等比数列{an}的前n项和
有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题1：a1=1,q=2,n=64.可得: S64= 估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
等比数列的前n项和公式
答案：6
5.在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn；
6.(2014·福建高考)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求 an. (2)设 bn＝log3an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解析】(1)设{an}的公比为 q，依题意得

高中数学第二章数列 2.5 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和课件新人教A版必修

1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
答案：C
3．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和A．2
B．4
15
17
C. 2
D. 2
答案：C
4．等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝8，则 S5＝________．答案：248 5．等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝216，则前 4 项和 S4＝ ________．答案：185
法二：由性质 Sm＋n＝Sn＋qnSm，得 S20＝S10＋q10S10，即 30＝10＋10q10，所以 q10＝2. 所以 S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. (2)由题意，得SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－802，40，解得SS奇偶＝＝－－81060，. 所以 q＝SS偶奇＝－－18600＝2. [答案] (1)70 (2)2
第二章数列
2．5 等比数列的前 n 项和
第 1 课时等比数列的前 n 项和
第二章数列
1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式推导思路． 2. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 3．掌握等比数列前 n 项和公式的有关性质．
1．等比数列的前 n 项和公式
已知量
首项、公比与项数
(2)设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，所有奇数项、偶数项之和分别记作 S 奇，S 偶，由题意可知， S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有 q＝SS偶奇＝13. 又因为 a1·a1q·a1q2＝64，所以 a31·q3＝64，即 a1＝12，故所求通项公式为 an＝12×13n－1.

人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和课件

1 4
1 2
1,n 2
8,得
Sn
1 [1 (1 )8 ] 22
1 1
255 256
2
例2
已知等比数列 an,
a1 27, a9
1 243
.
求前8项的和.
课堂小结
性质：
Sn为等比数列前n项和，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ,仍是等比数列。（注：所有的Sn , S2n Sn , S3n S2n ,均不等于0.）
q 1时 :
Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
注意：
1、使用公式求和时，需注意对 q 1 和 q 1 的情
况加以讨论；
2、推导公式的方法：错位相减法
a1、q、n、a n、sn 知三求二
公式应用：
例1：求等比数列
1 , 1 , 1 , 248
的前8项的和。
解:由
a1
1,q 2
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①-② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn (1 q)Sn a1 a1qn
Sn
a1
na1 (1 q
n
1 q
(q )
1) (q 1)
2.5 等比数列的前n项和
温故知新
等差数列
定义 an1 an d
通项公式 an a1 (nn m)d
mnrs
am an ar as
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
等比数列
an1 q an

高中数学第二章数列 2.5 等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解练习(含解析)新

第1课时等比数列前n 项和的求解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为() A ．63 B ．64 C ．127 D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127.答案：C2．设在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为() A.154B.152C.74D.72解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1（1－q 4）（1－q ）·a 1q 2＝（1－q 4）（1－q ）q 2＝1－24（1－2）×22＝154. 答案：A3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于()A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. 因为S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，所以q m＝8. 所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________．解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1（1－833）1－8＝4a 1（299－1）7＝47×30＝1207.答案：12077．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －28．(2016·某某卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1121 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n 及其前n 项和S n ； (2)设b n ＝1＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前10项和T 10.解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1，S n ＝1（1－3n ）1－3＝3n－12.(2)由(1)知b n ＝1＋log 3a n ＝1＋(n －1)＝n ，则1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T 10＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②① —②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.B 级能力提升1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，即S n ＝2n－1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)．答案：D2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则该数列的项数n ＝________．解析：a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）q 4a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2.因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－2）1－q ＝－a 11－q ＝1，所以a 11－q ＝－1.所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝q n－1＝15，所以q n＝16，即(q 4)n4＝24，所以n4＝4，所以n ＝16.答案：163．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝5，4a 23＝a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝2，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设＝a nb n b n ＋1，求数列{}的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 23＝a 2a 6得4a 23＝a 24，所以q 2＝4，由条件可知q >0，故q ＝2，由a 1＋2a 2＝5得a 1＋2a 1q ＝5，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由b n ＋1＝b n ＋a n 得b n ＋1－b n ＝2n －1，故b 2－b 1＝20，b 3－b 2＝21，……，b n －b n －1＝2n －2(n ≥2)，以上n －1个等式相加得b n －b 1＝1＋21＋…＋2n －2＝1·（1－2n －1）1－2＝2n －1－1，由b 1＝2，所以b n ＝2n －1＋1(n ≥2)．当n ＝1时，符合上式，故b n ＝2n －1＋1(n ∈N *)．(3)＝a nb n b n ＋1＝b n ＋1－b n b n b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝12－12n ＋1.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学

第十五页，共五十页。
• 『规律总结(zǒngjié)』在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
第六页，共五十页。
• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
第三十一页，共五十页。
(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－－65kk＝＝1－5b91，，解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第一页，共五十页。
第二章
数列(shùliè)
等比数列的前项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共五十页。
自主预习(yùxí)学案

高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修

解：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104 ×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)．由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13，所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1，所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126，所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

高中数学 2.5等比数列的前n项和(1)课件新人教A版必修

来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要
求得到的麦粒到底有多少呢？这种求和
请同学们考虑如何求出这个和？的方法,就
S64 1 2 22 23 2是63错. 位相(1) 2S64 2(1 2 22 23 减法26!3).
即2S64 2 22 23
26如3 果1020604粒. 麦粒重为(240)
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人 — 宰相西萨班达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：＂陛下，请您在这张棋盘的第１个小格里，赏给我１粒麦子，在第２个小格里给２粒，第３小格里给４粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏赐给您的仆人吧！＂国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿
1
于是当n 8时， 3
S8
271
1 3
8
1 1
1640 81
3
练1.根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列
an的前n项和Sn :
(1)a1 3, q 2, n 6;
(2)a1
2.7, q
1 3
, an
1 90
.
例2.已知数列an的前n项和Sn 3n k :
(1)求通项公式;
例3.已知等比数列an的前n项和为Sn ,
求证 : S7 , S14 S7 , S21 S14成等比数列.
若等比数列an的前n项和为Sn ,
则Sk , S2k Sk , S3k S2k成等比数列. 练3.一个等比数列的前5项和为10, 前10项和为50, 那么它的前15项和为____ .
小结

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(2021年整理)

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2。

5 错误!第一课时等比数列的前n项和（1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2）能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？（3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4）等比数列前n项和的性质有哪些？［新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项a n与公比q公式S n＝错误!S n＝错误![在应用公式求和时，应注意到S n错误!常数列求和，即S n＝na1.2．等比数列前n项和的性质（1）等比数列{a n}中，若项数为2n，则错误!＝q；若项数为2n＋1，则错误!＝q。

（2)若等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n,S2n－S n，S3n－S2n…成等比数列（其中S n，S2n －S n,S3n－S2n…均不为0)．(3）若一个非常数列{a n}的前n项和S n＝Aq n－A(A≠0，q≠0,n∈N＊),则数列{a n｝为等比数列，即S n＝Aq n－A(A≠0,q≠0，q≠1，n∈N＊）⇔数列｛a n}为等比数列．错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√"，错误的打“×”)(1）求等比数列｛a n｝的前n项和时可直接套用公式S n＝a11－q n1－q来求( )预习课本P55～58，思考并完成以下问题（2）首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为S n＝na（)（3)若某数列的前n项和公式为S n＝－aq n＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＊）,则此数列一定是等比数列( )解析：（1）错误．在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用,否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列,则是非零常数列，所以前n项和为S n＝na。

高中数学人教A版必修5《2.5等比数列的前n项和1》课件

2 2 2 2 2 2 2 2..
48 49 50 51 52 53
2222 22
56 57 58 59 60 61
2222 22
54 55
2 2..
62 63
2 2..
1+2+4+8+……+263=?
264-1 超过7000亿吨
二、新课讲解：
即 S 1 2 22 23 263， ① 2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
国王奖励国际象棋发明者问题
国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,第64个格子
放2 颗6麦3 粒，请给我足够的麦粒来实现
没问题！！！
12 3 4 5 6 7
1222 222 2 8 9 10 11 12 13 14 15
问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。
解析1：找个具体的等比数列来检验
Sn 1 2 4 8 16 Sn 16 8 4 2 1
2Sn (116) (2 8) (4 4) (8 2) (16 1)
17 10 8 10 17
每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
Sn a1 q(Sn a1qn1)
移项，得：1 qSn a1 a1qn
当q≠1时，
①
当 q=1 时， Sn na1
(五)方程探究过程小结：
根据等比数列求和式子的特点，对其部分项
提出公因式＿q＿后，可将其用含＿S＿n ＿的式子表示出来，从而建立关于＿S＿n ＿的方程，

人教版数学高二-2.5等比数列的前n项和(1课时)教案

2.5等比数列的前n 项和（1课时）教案●学习目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

●教学重点等比数列的前n 项和公式推导●教学难点灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。

下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。

1、等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。

人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和第1课时

例题讲解：
例1 、求下列等比数列前 8 项的和：
111 , , , ...;
（1） 2 4 8
（2） a1
27, a9
1 ,q
243
0.
习题讲解：教材 P.58 练习第 1 题. 1、求相应的等比数列an的前 n 项和 Sn ．
(1)a1 3, q 2, n 6;
1
1
(2)a1
2.7, q
讲授新课
1 2 22 23 24 ... 263
第64格放多少麦粒？
263
问题1：棋盘上的麦粒构成什么数列？
1 、2 、22、23、、263
问题2：棋盘上的小麦一共有多少？
1+ 2 + 22 + 23 + + 263 =
探究1:
错位相减法
S64=1+2+22+23+…+263
①
2S64= 2+22+23+···+263+264 ②
正确结论：应分q=1和q ≠1讨论
当 q
1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
当 q 1时， Sn na1
探究结果：
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
na1
q 1
探究 2:如果已知 a1、an、q ，如何直接表示 Sn ?
当 q 1时，
Sn
a1 a1qn 1q
a1 a1qn1 q 1q
由②－①可得： S64 =264-1
如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨.而全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何不能兑现自己的承诺.