2020届湖南省邵阳市高三第一次联考试题卷数学(文)
2020年湖南省邵阳市新建中学高三数学文联考试卷含解析
2020年湖南省邵阳市新建中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（▲）A．52条B．60条C．66条D．78条参考答案：B略2. 已知正数满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：D，∴，化简，，解之得。
3. 执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的结果为（）A．-1008 B．1009 C．3025 D．3028参考答案：B4. +的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简+，则答案可求．【解答】解：∵ +=，∴+的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．解答：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴b=2a∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，b=2a∴a=1，b=2∴双曲线的方程为故选B．点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=│cos 2x│B．f(x)=│sin 2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)= sin│x│参考答案：A 对于A,函数的周期T=,在区间单调递增,符合题意；对于B,函数的周期T=,在区间单调递减,不符合题意；对于C，函数，周期T=2π,不符合题意；对于D,函数的周期T=π,不符合题意.7. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）．A．30 B．60C．70 D．80参考答案：C8. 在中，“”是“”的（）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件参考答案：B由得，即，所以或，即，或，即，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.9. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A. B ．1 C ．2 D ．4参考答案： C 10.若条件p:|x+1|≤4，条件q:x 2<5x －6，则┐p 是┐q 的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中整理后的常数项为 .参考答案：答案：12. （1+2x ）3（1﹣x ）4展开式中x 6的系数为 ．参考答案：﹣20解答：解：（1+2x ）3的展开式的通项公式为T r+1=?（2x ）r ，（1+2x ）3（1﹣x ）4展开式的通项公式为 T k+1=?（﹣x ）k ．故（1+2x ）3（1﹣x ）4展开式中x 6的系数为?22?+?23?（﹣）=12﹣32=﹣20，故答案为﹣20．13. 函数的零点有 ▲ 个．参考答案： 314. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c 的值为 ．参考答案：3【考点】余弦定理．【分析】由a ，b ，c 成等比数列，可得b 2=ac ，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a 2+c 2=37，从而求得（a+c ）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， ∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b 2=a 2+c 2﹣2accosB=ac=a 2+c 2﹣ac×，解得：a 2+c 2=37． ∴（a+c ）2=a 2+c 2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．15. 已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为.参考答案：16. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图所示， 规定不低于60分为及格，则及格人数是。
2020年高考模拟试卷湖南邵阳市高考(文科)数学一模测试试卷 含答案
2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}2．若复数z满足z2＝5﹣12i，则z＝（）A．3+2i或﹣3﹣2i B．3﹣2i或﹣3+2iC．1+2i或1﹣2i D．±133．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+4B．3πC．2πD．π4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．5．设a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的（）A．充要不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要也不必要条件6．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）7．已知函数f（x）＝sin（x+α），x∈R，则当α∈[0，π]时函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），则该数列的前50项之和是（）A．18B．8C．9D．49．已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则f（log212）＝（）A．B．C．D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE ＝2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝2，则直线PF的方程为（）A．x﹣y﹣＝0B．x﹣y+1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．x+y﹣＝0 12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，π），有f′（x）sin x＜f（x）cos x，且f（x）+f（﹣x）＝0．设a＝﹣2f（﹣），b＝f（），c ＝f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a二、填空题：有4个小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则△ABC的面积为．14．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：（i）老年人的人数多于中年人的人数；（ii）中年人的人数多于青年人的人数；（ⅲ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为；②抽取的总人数的最小值为．15．已知函数f（x）＝，若存在四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4＝．16．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为．三、解答题：有6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且满足a1，a2+，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．18．已知函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）﹣．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）在区间[m，]上的最小值为﹣1，求m的最大值．19．如图，在平面图形PABCD中，ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝，M为CD的中点，将△PAD沿直线AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PM与平面ABCD所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．半圆O：x2+y2＝1（y≥0）的直径两端点为A（﹣1，0），B（1，0），点P在半圆O 及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．21．已知f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，+∞），都有x•f（x）≥a，求实数a的取值范围．22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点．运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：[﹣5，0），[0，5），[5，10），[10，15），[15，20]，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”．（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”；采用促销无促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价x i（单位：元）和日销量y i（单位：件）（i＝1，2…，10）的一组数据后决定选择y＝a+bx2作为回归模型进行拟合．具体数据如表，表中的w i＝x i2（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）45.8395.52413.5 4.621.6﹣2.3﹣7.2①根据上表数据计算a，b的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价x定为多少时日利润z可以达到最大．附①：K2＝P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828附②：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．若复数z满足z2＝5﹣12i，则z＝（）A．3+2i或﹣3﹣2i B．3﹣2i或﹣3+2iC．1+2i或1﹣2i D．±13【分析】设复数z＝a+bi（a，b∈R），满足z2＝5﹣12i，可得a2﹣b2+2abi＝5﹣12i，可得a2﹣b2＝5，2ab＝﹣12，解出即可得出．解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），满足z2＝5﹣12i，∴a2﹣b2+2abi＝5﹣12i，∴a2﹣b2＝5，2ab＝﹣12，解得a＝3，b＝﹣2，或a＝﹣3，b＝2．∴z＝3﹣2i，或﹣3+2i．故选：B．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+4B．3πC．2πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由题意可知，几何体是半个圆柱，所以几何体的体积为：＝π．故选：D．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．解：不妨设OA＝1，扇形中心角为θ．∴此点取自扇面（扇环）部分的概率＝＝．故选：C．5．设a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的（）A．充要不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．解：设f（x）＝x|x|＝，如图示：则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．而a＞b⇔a3＞b3，故“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的充要条件，故选：C．6．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z＝x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．7．已知函数f（x）＝sin（x+α），x∈R，则当α∈[0，π]时函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的性质的应用．奇偶性的应用和函数的值的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin（x+α），设g（x）＝，h（x）＝sin（x+α），由于g（﹣x）＝＝﹣g（x）所以函数g（x）为奇函数．当α＝0或π时，函数h（x）为奇函数．当时，函数h（x）为偶函数．所以f（x）＝g（x）h（x）为偶函数或奇函数．当函数为偶函数时，若x时，选B．当x时，选A．当函数为奇函数时x或x，函数sin x＞0，g（x）＝＜0．选项D有可能．故排除C．故选：C．8．在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），则该数列的前50项之和是（）A．18B．8C．9D．4【分析】利用数列的通项公式，利用递推思想先求出数列的前8项，得到数列{a n}是以6为周期的数列，由此能求出该数列的前50项之和．解：∵在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），∴a3＝3﹣1＝2，a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣3+1＝﹣2，a7＝﹣2+3＝1，a8＝1+2＝3，∴数列{a n}是以6为周期的数列．∵50＝6×8+2，∴该数列的前50项之和是：S50＝8×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2＝8（1+3+2﹣1﹣3﹣2）+1+3＝4．故选：D．9．已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则f（log212）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由f（x）＝f（x+4）分析可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由对数的运算性质可得log212＝log23+2，由函数的解析式，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），则函数f（x）是周期为4的周期函数，f（log212）＝f（log23+2﹣4）＝f[﹣（2﹣log23）]＝﹣f（2﹣log23）＝﹣2 2﹣log23＝﹣．故选：A．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE ＝2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与A1B1所成角的正弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（2，2，2），A1（2，0，3），B1（2，2，3），＝（2，2，2），＝（0，2，0），设异面直线DE与A1B1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝＝．∴异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为．故选：B．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝2，则直线PF的方程为（）A．x﹣y﹣＝0B．x﹣y+1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．x+y﹣＝0【分析】利用抛物线的定义，结合＝2，P的纵坐标为正数求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．解：设Q到准线l的距离为d，则|QF|＝d，∵P（P的纵坐标为正数）为C的准线上一点，Q是直线PF与C的一个交点，＝2，∴|PQ|＝2d，∴直线PF的斜率为﹣，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），或x+y﹣＝0．故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，π），有f′（x）sin x＜f（x）cos x，且f（x）+f（﹣x）＝0．设a＝﹣2f（﹣），b＝f（），c ＝f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】可设，根据条件即可得出x∈（0，π）时，g′（x）＜0，即得出g （x）在（0，π）上是减函数，并根据条件可判断出g（x）是偶函数，这样即可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．解：设，∴，∵x∈（0，π）时，f′（x）sin x＜f（x）cos x，∴x∈（0，π）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上是减函数，又x∈R时，f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的偶函数，∴，∴c＜b＜a．故选：D．二、填空题：有4个小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则△ABC的面积为5．【分析】利用数量积运算性质、三角形面积计算公式即可得出．解：∵•＝﹣4+4＝0，∴AC⊥AB．又＝＝，||＝＝2．∴△ABC的面积＝×＝5．故答案为：5．14．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：（i）老年人的人数多于中年人的人数；（ii）中年人的人数多于青年人的人数；（ⅲ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为6；②抽取的总人数的最小值为12．【分析】由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论．解：①若青年人的人数为4，则老年人数小于2×4＝8，故老年人数最多为7，∵老年人的人数多于中年人的人数，故中年人的人数对多为6．②由题意，∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5，抽取的总人数的最小值为3+4+5＝12，故答案为：6；12．15．已知函数f（x）＝，若存在四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4＝8．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象对称性即可求得答案．解：作出函数f（x）的图象如图，由图可知x1+x2＝2，x3+x4＝6，则x1+x2+x3+x4＝8．故答案为8．16．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为．【分析】以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OA＝OE，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO ＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．解：如图以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，则NF与OB垂直，又NB＝NO，F为BO的中点，由对称性可得OA＝OE，由S△ABO＝OA•OB sin∠AOB，S△EBO＝OE•OB sin（π﹣∠AOB）＝OE•OB sin∠AOB，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，由圆内接三角形A'B'C'的面积S＝a'b'sin C'，a'＝2sin A'，b'＝2sin B'，S＝2sin A'sin B'sin C'≤2（）3，由f（x）＝sin x，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin＝sin＝，当且仅当A'＝B'＝C'＝时，取得等号，可得2（）3≤2×＝．即三角形OEF的面积的最大值为．进而得到S△ABO最大值为2×＝，故答案为：三、解答题：有6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且满足a1，a2+，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．【分析】（1）由递推关系式S n＝2a n﹣a1，可得a n＝2a n﹣1（n≥2），结合a1，a2+，a3成等差数列，可求得a1＝1，从而可得数列{a n}的通项公式为；（2）由（1）得＝，利用等比数列的求和公式可求得T n＝2﹣，再由|T n ﹣2|＜，即可求得使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．解：（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n＝2a n﹣1，（n≥2），从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又∵a1，a2+，a3成等差数列，∴a1+a3＝a2+1，∴a1+4a1＝4a1+1，解得a1＝1，∴{a n}的通项公式为：a n＝2n﹣1；（2）由（1）得＝，所以T n＝＝2﹣，由|T n﹣2|＜，即＜，∴2n﹣1＞500，即2n＞1000，∴n的最小值是10．18．已知函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）﹣．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）在区间[m，]上的最小值为﹣1，求m的最大值．【分析】（1）化简可得出，然后解不等式，k∈Z即可得出f（x）的单调递减区间；（2）根据题意即可得出，存在，使，从而得出，k∈Z，这样即可求出m的最大值．解：（1）＝＝，解得，，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为；（2）当f（x）在区间上的最小值为﹣1时，存在，使，∴，k∈Z，解得，k∈Z，则k＝0时，存在，∴m的最大值为．19．如图，在平面图形PABCD中，ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝，M为CD的中点，将△PAD沿直线AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PM与平面ABCD所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，可得PE⊥AD，然后证明BD⊥PE，可得PE⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（2）由（1）知，PE⊥平面ABCD，连接EM，可得∠PME＝30°，求解三角形可得PE ＝1，再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，∵PA＝PD，得PE⊥AD，由底面ABCD为菱形，得BD⊥AC，∵E，M分别为AD，CD的中点，∴EM∥AC，则BD⊥EM，又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，则BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD，而PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，PE⊥平面ABCD，连接EM，可得∠PME＝30°，设AB＝a，则PE＝，EM＝，故tan∠PME＝tan30°＝，即，解得a＝2．故PE＝1，．故．20．半圆O：x2+y2＝1（y≥0）的直径两端点为A（﹣1，0），B（1，0），点P在半圆O 及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．【分析】（1）设Q（x，y），则P（x，），分别讨论P在直径AB上时，以及P在半圆O上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；（2）设曲线上两动点G（x，y），H（x0，y0），显然G，H至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．解：（1）设Q（x，y），则P（x，），由题意可得当P在直径AB上运动时，显然y＝0（﹣1＜x＜1）；当P在半圆O上时，x2+（）2＝1（y≥0），所以曲线C的方程为y＝0（﹣1＜x＜1）或x2+＝1（y≥0）；（2）设曲线上两动点G（x，y），H（x0，y0），显然G，H至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，则|GH|2＝（x﹣x0）2+（y﹣y0）2≤（x﹣x0）2+y2＝（x﹣x0）2+4（1﹣x2），∵（x﹣x0）2+4（1﹣x2）＝﹣3x2﹣2x0x+x02+4＝﹣3（x+）2++4≤+4＝，∴|GH|2≤，等号成立时，G（，），H（﹣1，0）或G（﹣，），H（1，0），由两点的距离公式可得|GH|max＝，故曲线C的“直径”为．21．已知f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，+∞），都有x•f（x）≥a，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，结合已知定义域分类讨论a的范围即可求解；（2）由x•f（x）≥a，得ax2﹣a﹣xlnx≥0，结合x≥1，可得，构造函数，结合导数分类讨论a，判定g（x）的单调性，可求．【解答】解（1），令φ（x）＝ax﹣1，x∈（0，+∞），当a≤0时，φ（x）＜0，f（x）在（0，+∞）单调递减，当a＞0时，令φ（x）＝0，，由f'（x）＞0，，f（x）在[1，+∞）上单调递增；由f'（x）＜0，，f（x）在上单调递减；所以，f（x）的递增区间是[1，+∞）；f（x）的递减区间是；（2）∵x•f（x）≥a，即ax2﹣xlnx≥a，得ax2﹣a﹣xlnx≥0，又x≥1，不等式两边同时除以x，得，即，设，则，若a≤0，则当x＞1时，，lnx＞0，此时g（x）＜0，不满足题意；若a＞0，令g'（x）＝0，即ax2﹣x+a＝0，当△＝1﹣4a2≤0时，即，g'（x）≥0恒成立，所以g（x）在x∈[1，+∞）上递增．而g（1）＝0，所以当x∈[1，+∞）时，g（x）≥0满足题意；当△＞0时，即，g'（x）＝0有两个不等的实数根，设为x1，x2，且x1＜x2，则x1x2＝1，，所以0＜x1＜1＜x2，当1＜x＜x2，g'（x）＜0，故g（x）在（1，x2）上单调递减，而g（1）＝0，当x∈（1，x2）时，g（x）＜0，不满足题意，综上，．22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点．运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：[﹣5，0），[0，5），[5，10），[10，15），[15，20]，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”．（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”；采用促销无促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价x i（单位：元）和日销量y i（单位：件）（i＝1，2…，10）的一组数据后决定选择y＝a+bx2作为回归模型进行拟合．具体数据如表，表中的w i＝x i2（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）45.8395.52413.5 4.621.6﹣2.3﹣7.2①根据上表数据计算a，b的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价x定为多少时日利润z可以达到最大．附①：K2＝P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828附②：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣．【分析】（1）直接由题意可得2×2列联表；（2）①由已知求得b与a的值；②由①求得线性回归方程，若售价为x，单价利润为x ﹣15，日销售量为，写出日利润z＝，利用导数求最值．解：（1）2×2列联表如图，采用促销无促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100∵＞6.635，∴有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关；（2）①由根式可得，，；②由①可得线性回归方程为．若售价为x，单价利润为x﹣15，日销售量为．故日利润z＝，z′＝﹣（x+30）（x﹣40）．当x∈（0，40）时，z＝单调递增，当x∈（40，+∞）时，z＝单调递减，∴当售价为40元时，日利润达到最大值为元．。
湖南省邵阳市桃源中学2020年高三数学文联考试卷含解析
湖南省邵阳市桃源中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+ C．24+2 D．32参考答案：C2. 如图是函数的部分图象，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，给出下列四个命题：①函数f（x）的表达式为；②g（x）的一条对称轴的方程可以为；③对于实数m，恒有；④f（x）+g（x）的最大值为2．其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：B【分析】先根据图象确定函数的解析式，结合函数图像的对称性和辅助角公式进行化简分析即可．【详解】由图象知，A＝2，，即T＝π，则＝π，得ω＝2，由五点对应法得，则f（x）＝2sin（2x+），故①正确，当x＝时，f（）＝2sinπ＝0，则函数关于x＝不对称，故③错误，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，当时，g（﹣）＝2sin（）＝﹣2为最小值，则是函数g（x）的一条对称轴，故②正确，f（x）+g（x）＝2sin（2x+）+2sin2x＝2sinxcos+2cos2xsin+2sin2x＝3sin2x+cos2x＝2sin（2x+），则f（x）+g（x）的最大值为2，故④错误，故正确的是①②，【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的解析式以及三角函数的性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．3. 是虚数单位，、、、，若复数为实数，则（）A． B． C． D．参考答案：C4. 若函数的导函数是，则函数的单调递减区间是(A) (B)(C) (D)参考答案：C5. 若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）A.4B.C.2D.参考答案：D略6. 已知命题p:，ln(x+1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（A）（B）（C）（D）B由x＞0时x+1＞1，ln(x+1)有意义，知p是真命题，由2＞1，22＞12，-1＞-2，(-1)2＜(-2)2知q是假命题，即p，均是真命题。
湖南省十三校联考2020年高考数学一模试卷(文科)Word版含解析
一、：本大共12 小，每小 5 分，共 60 分，在每小出的四个中，只有一是切合目要求的．1．全集 U=A ∪B={ 1，2，3，4，5} ，A ∩（?U B）={ 1，2} ，会合 B=（）A． { 2，4，5} B． { 3，4，5} C．{ 4，5} D．（ 2，4）．复数z=（1 i）2+ （i 虚数位）在复平面内的点在（）2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．x＜1，q：x（x+1）＜ 0， p 是 q 成立的（）3 p：2A．充分不用要条件 B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件4． x∈R，向量 =（ x，1）， =（ 4， 2），且， | | =（）A．B．5 C．D．5．数 x，y 足不等式，2x y 的最大（）A．B．1 C．2 D． 46．《九章算 ?商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之“ 堵”，已知某“堵”的三如所示，“ 堵”的面（）A． 4 B．6+4C．4+4D．27．如出的是算1+ + +⋯ +的的一个程序框，判断框内填入的条件是（）A． i ≤1009 B．i ＞1009 C．i ≤1010 D．i ＞10102 ﹣sin x 在﹣2， 2 上的图象大概为（）8．函数 f （x）=x | | [ ]A．B．C．D．9．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资本投入．若该民企2016年整年投入研发资本 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增添12%，则该民企整年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是（参照数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）（）A． 2017 年 B．2018 年 C．2019 年 D ．2020 年10．在△ ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为a， b，c，若a=4 ，b=5，cosA= ﹣，则向量在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．11．将函数 f （x）=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g（x）的图象．若g（x1） ?g（x2）=9，且 x1，x2∈ [ ﹣ 2π，2π] ，则 | x1﹣x2| 的最大值为（）A．πB．2πC． 3πD．4π12．抛物C1：x2=2py（p＞0）的焦点与双曲C2：的右焦点的在第一象限内与C1交于点M ，若C1在点M 的切平行于C2的一条近，p=（）A． B ．C．D．二、填空：本共 4 小，每小 5 分．13．在[ 1，1] 上随机地取一个数k，事件“直 y=kx 与（ x 5）2+y2=9 相交” 生的概率．14．某校高三文科班 150 名男生在“学生体健康 50 米跑” 中，成所有介于 6 秒与11 秒之．将果分红五：第一 [ 6，7] ；第二（ 7，8] ，⋯，第五（ 10，11] ．如是按上述分方法获得的率散布直方．按国家准，高三男生50 米跑成小于或等于7 秒定秀，若已知第四共48 人，校文科班男生在次中成秀的人数是．15．已知四周体 P ABC 的四个点都在球O 的球面上，若PB⊥平面 ABC，AB ⊥AC ，且 AC=2 ，PB=AB=2 ，球 O 的表面．16．若函数 f （x）=cos2x asinx 在区[ ，]上的最小大于零， a 的取+范是．三、解答：共70 分，解答写出文字明、明程或演算步．17．（ 12 分）在数列 { a n} 中，已知 a1=1，a2=3， a n+2 =3a n+12a n．（Ⅰ）明数列 { a n+1a n } 是等比数列，并求数列 { a n} 的通公式；（Ⅱ） b n=log 2（a n 1），b n 的前 n 和 S n，求＜2．+{ }18．（ 12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB ， BC 的中点，将△AED，△ DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A ，C 两点重合于 P．设 EF 与 BD 交于点 O，过点 P 作 PH⊥BD，垂足为 H．（Ⅰ）求证： PH⊥底面 BFDE；（Ⅱ）若四棱锥 P﹣BFDE 的体积为 12，求正方形 ABCD 的边长．19．（ 12 分）空气质量指数（ Air Quality Index，简称 AQI ）是定量描绘空气质量状况的无量纲指数，参加空气质量评论的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、O3、CO 等六项．空气质量依据 AQI 大小分为六级：一级0～50 为优；二级 51～100 为优异；三级 101～ 150 为轻度污染；四级151～200 为中度污染；五级 201～ 300 为重度污染；六级＞ 300 为严重污染．某人依据环境监测总站宣布的数据记录了某地某月连续10 天 AQI 的茎叶图如图所示：（Ⅰ）利用该样本预计该地本月空气质量优异（AQI ≤ 100）的天数；（按这个月总合 30 天计算）（Ⅱ）若从样本中的空气质量不好（AQI ＞ 100）的这些天中，随机地抽取三天深入剖析各样污介入标，求这三天的空气质量等级互不同样的概率．20．（ 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 E：x2+（y﹣t）2=r2（t ＞ 0，r＞0）经过椭圆 C：的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线．（Ⅰ）求圆 E 的方程；（Ⅱ）设与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆 C 于 M ，N 两点，求△ AMN 的面积的最大值．21．（ 12 分）已知函数 f （x） =xlnx +a| x﹣ 1| ．（Ⅰ）当 a=0 时，求 f （x）的单一区间与极值；（Ⅱ）若 f（ x）有两个零点，务实数 a 的取值范围．四、选考题：请考生在第（ 22） -（ 23）两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：，曲线C2：x2+ （y﹣ 1）2=1，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线 l ：θ=α（ρ＞0）分别交 C1，C2于 A ， B 两点，求的最大值．23．已知函数 f （x）=| x﹣ 1|+ a| x+2| ．（Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f （x）≥ 5 的解集；（Ⅱ）当 a＜﹣ 1 时，若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积等于6，求 a 的值．2017 年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校要点中学联考高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设全集U=A ∪B={ 1，2，3，4，5} ，A ∩（?U B）={ 1，2} ，则会合B=（）A． { 2，4，5} B． { 3，4，5} C．{ 4，5}D．（ 2，4）【考点】交、并、补集的混淆运算．【剖析】选由已知得 1，2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素，由此能求出B．【解答】解：∵全集 U=A ∪B={ 1， 2， 3，4，5} ，A∩（ ?U B）={ 1， 2} ，∴1， 2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素，∴B={ 3， 4， 5} ．应选： B．【评论】此题考察会合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．复数 z=（1﹣ i）2+ （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】利用复数的运算法例、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（ 1﹣ i）2+=﹣2i+=﹣ 2i 1﹣i=1 ﹣3i 在复平+面内对应的点（ 1，﹣ 3）在第四象限．应选： D．【评论】此题考察了复数的运算法例、几何意义，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．．设x＜1，q：x（x+1）＜ 0，则 p 是 q 成立的（）3 p：2A．充分不用要条件 B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【考点】必需条件、充分条件与充要条件的判断．【剖析】利用函数的单一性与不等式的解法化简p，q，即可判断出结论．【解答】解： p：2x＜ 1，解得 x＜0．q：x（x+1）＜ 0，解得﹣ 1＜ x＜ 0．则p 是 q 成立的必需不充分条件．应选： B．【评论】此题考察了函数的单一性与不等式的解法、简略逻辑的判断方法，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设 x∈R，向量 =（ x，1）， =（ 4，﹣ 2），且，则 | | =（）A．B．5 C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【剖析】由向量平行，先求出，再由平面向量运算法例求出，由此能求出| ． |【解答】解：∵ x∈R，向量 =（x，1）， =（4，﹣ 2），且，∴ = ，解得 x= ﹣2，∴ =（﹣ 2， 1），=（ 2，﹣ 1），|| =．应选： A．【评论】此题考察向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法例的合理运用．5．实数 x，y 知足不等式组，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣B．1 C．2D． 4【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数 k 的几何意义，进行平移，联合图象获得 k=2x﹣ y 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分ABC ）．令k=2x﹣y 得 y=2x﹣ k，平移直线 y=2x﹣k，由图象可知当直线 y=2x ﹣ k 经过点 A 时，直线 y=2x ﹣ k 的截距最小，由，可得A （3，2）此时 k 最大．将 A （3，2）的坐标代入目标函数2×3﹣2=4，即2x﹣ y 的最大值为4．应选： D．【评论】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决此类问题的基本方法，利用 k 的几何意义是解决此题的要点．6．《九章算术 ?商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图以下图，则该“堑堵”的侧面积为（）A． 4 B．6+4C．4+4D．2【考点】由三求面、体．【剖析】由已知中的三可得：几何体是一个以主底面的三棱柱，代入棱柱面公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三可得：几何体是一个以主底面的三棱柱，底面周： 2+2×=2+2，故棱柱的面S=2×（ 2+2）=4+4，故： C．【点】本考的知点是棱柱的面，几何体的三，度基．7．如出的是算 1 ⋯+ 的的一个程序框，判断框内填+ + +入的条件是（）A． i ≤1009 B．i ＞1009 C．i ≤1010 D．i ＞1010【考点】程序框．【剖析】剖析程序中各量、各句的作用，再依据流程所示的序，可知：程序的作用是累加并出S 的．【解答】解：程序运转程中，各量以下表所示：第一次循： S=0+1，i=1，第二次循： S=1+ ，i=2，第三次循：S=1+ ，i=3，⋯+依此推，第1009 次循：S=1 ⋯+，i=1010 ，此不足条件，退+ + +出循此中判断框内应填入的条件是：i≤1009，应选： A．【评论】算法是新课程中的新增添的内容，也必定是新高考取的一个热门，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这类题考试的要点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．此中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽视点是：不可以正确理解流程图的含义而致使错误．2 ﹣sin x 在﹣2， 2 上的图象大概为（）8．函数 f （x）=x | | [ ]A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【剖析】求出函数 f（ x）=x2﹣ sinx 在（ 0，2] 上导函数，求出极值点的个数，以及 f（ 2）的值，即可判断函数的图象．【解答】解：函数 f （x）=x2﹣sin| x| 在 [ ﹣ 2， 2] 是偶函数，则： f（ x） =x2﹣ sinx 在（ 0，2] 可得 f ′（x）=2x﹣ cosx，令 2x﹣ cosx=0，可得方程只有一个解，如图：可知 f （x）=x2﹣sinx 在（ 0，2] 由一个极值点，清除 A ，C，f（2）=4﹣ sin2＞3，清除 D．应选： B．【评论】此题考察函数的图象的判断，函数的极值的求法，考察转变思想以及计算能力．9．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资本投入．若该民企2016年整年投入研发资本130 万元，在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增添12%，则该民企整年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是（参照数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）（）A． 2017 年 B．2018 年 C．2019 年 D ．2020 年【考点】对数的运算性质．【剖析】设该民企整年投入的研发资本开始超出 200 万元的年份是第 n 年，则130×（ 1+12%）n﹣2016≥200，从而得出．【解答】解：设该民企整年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是第n 年，则130×（ 1+12%）n﹣2016≥ 200，则n≥2016 = 2019.8，+取n=2020．应选： D．【评论】此题考察了对数的运算性质、对数函数的单一性、不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在△ ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为a， b，c，若a=4 ，b=5，cosA= ﹣，则向量在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】依据 cosA=﹣得出A为钝角，sinA=，利用正弦定理求出B，再利用余弦定理求出 c，依据向量投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：△ ABC 中， a=4，b=5，cosA=﹣，∴A 为钝角，且 sinA= ，∴=sinB===，由题知 A＞ B，故 B=；∵a2 =b2+c2﹣2bccosA，∴（ 4）2=52+c2﹣2?5c?（﹣），解得 c=1 或 c=﹣ 7（舍去），∴向量在方向上的投影为：| | cosB=ccos =1×=．应选： B．【评论】此题考察了平面向量的数目积与正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．11．将函数 f （x）=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g（x）的图象．若g（x1） ?g（x2）=9，且 x1，x2∈ [ ﹣ 2π，2π] ，则 | x1﹣x2|的最大值为（）A．πB．2π C． 3π D．4π【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【剖析】利用函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特点，得出结论．【解答】解：将函数 f （x）=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移 2 个单位，获得 g（x）=sin2（x+ ） +2=sin（ 2x+ ） +2 的图象，若 g（x1）?g（ x2）=9，则 g（x1）=g（ x2）=3．∵ x1，x 2∈ [ ﹣ 2π， 2π] ，∴ 2x+∈ [﹣，] ，∴ 2x1+ =+2kπ，2x2+ =+2nπ，k， n∈ Z．故当 2x 1+=﹣ ，2x 2 + =时， | x 1﹣x 2| 获得最大值为 3π，应选： C ．【评论】 此题主要考察函数 y=Asin （ ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特点，属于中档题．12．抛物线 C 1：x 2（ ＞ ）的焦点与双曲线 C 2： 的右焦点的连线=2py p 0在第一象限内与 C 1 交于点 M ，若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线， 则 p=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 双曲线的简单性质．【剖析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标， 由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出 C 1：x 2=2py 在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率获得交点横坐标与p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值．【解答】 解：由抛物线 C 1：x 2=2py （p ＞0），可得焦点坐标为 F （0， ）．由双曲线 C 2：得 a= ， b=1，c=2．因此双曲线的右焦点为（ 2， 0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为px+4y ﹣2p=0①．设该直线交抛物线于 M （x 0，），则 C 在点 M 处的切线的斜率为．由题意可知= ，得 x 0p ， p ）= p ，代入 M 点得 M （把 M 点代入①得： p × p+4× p ﹣2p=0．解得 p=．应选： D ．【评论】此题考察了双曲线的简单几何性质， 考察了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数， 是中档题．二、填空 ：本 共4 小 ，每小5 分．13．在[1，1] 上随机地取一个数 k ， 事件 “直 y=kx 与 （ x5）2+y 2=9 相交 ” 生的概率 ．【考点】 几何概型．【剖析】利用 心到直 的距离小于半径可获得直 与 订交， 可求出 足条件的 k ，最后依据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】 解： （ x 5） 2+y 2 =9 的 心 （ ， ），半径 ．5 0 3 心到直 y=kx 的距离，要使直 y=kx 与 （ x 5）2+y 2=9 订交，＜ ，解得 ＜ k ＜ ．3∴在区[1， 1 上随机取一个数 k ，使直 y=kx 与 （ x 5）2y 2=9 订交相]+交的概率= ．故答案 ： ．【点 】本 主要考 了几何概型的概率， 以及直 与 订交的性 ， 解 的关 弄清概率 型，同 考 了 算能力，属于基 ．14．某校高三文科班 150 名男生在 “学生体 健康 50 米跑 ” 中，成 所有介于 6 秒与 11 秒之 ． 将 果分红五 ：第一 [ 6，7] ；第二 （ 7，8] ，⋯，第五 （10，11] ．如 是按上述分 方法获得的 率散布直方 ．按国家 准，高三男生50 米跑成 小于或等于7 秒 定 秀，若已知第四 共48 人， 校文科班男生在 次 中成 秀的人数是9 ．【考点】频次散布直方图．【剖析】求出第四组的频次，再计算此次测试中成绩小于或等于7 秒的频次和频数即可．【解答】解：由频次散布直方图得，第四组的频次为=0.32，在此次测试中成绩小于或等于7 秒（优异）的频次是1﹣0.16﹣0.38﹣ 0.32﹣0.08=0.06因此优异人数是150×0.06=9 人．故答案为： 9．【评论】此题主要考察了频次散布直方图和频次、频数的计算问题，是基础题．15．已知四周体 P﹣ABC 的四个极点都在球 O 的球面上，若 PB⊥平面 ABC， AB ⊥AC ，且 AC=2 ，PB=AB=2 ，则球 O 的表面积为 16π ．【考点】球的体积和表面积．【剖析】由题意将四周体P﹣ABC 放在对应的长方体中，依据长方体与外接球的直径之间关系，可求出球的半径，代入球的表面积公式求出答案．【解答】解：由题意知， PB⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ，且AC=1，AC= ，PB=AB=2 ，以下图结构长方体：则长方体的外接球和四周体的外接球是同样的，即长方体的体对角线等于球的直径2R，因此 2R==4，则 R=2，2则球 O 的表面积 S=4πR=4π× 4=16π，故答案为： 16π．【评论】此题考察空间几何体的外接球问题，利用四周体结构长方体是解题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是此题的打破点．16．若函数 f （x）=cos2x+asinx 在区间 [ ，] 上的最小值大于零，则 a 的取值范围是（﹣∞，1）∪（ 2，∞）．+【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【剖析】将函数化简只有一个函数名，转变为二次函数问题，利用三角函数的有界线，求解即可．【解答】解：函数 f （x）=cos2x+asinx化简可得： f（ x） =1﹣2sin2x+asinx∵ x∈ [ ，] 上，∴ sinx∈[ ，1] ，令 sinx=t，（）函数f （x）转变为g（t）=﹣2t2 at 1，（）上的最小值大于零+ +其对称轴 t=，当时， g（）最小为由题意：，可得： a＞﹣ 1，∴a≥4．当时， g（ 1）最小为 1﹣a由题意： 1﹣ a＞0，可得： 1＞a∴a＜1．当，其最小或1a．即 2＜a＜ 4，与 a＞ 1 或 1＞a∴2＜ a＜4，上可得 a 的取范是（∞， 1）∪（ 2，+∞）．【点】本考了三角函数与二次函数的合，利用二次函数的性，在其范内的最．属于．三、解答：共70 分，解答写出文字明、明程或演算步．17．（12 分）（2017?衡阳一模）在数列 { a n} 中，已知 a1=1，a2=3，a n+2=3a n+12a n．（Ⅰ）明数列 { a n+1a n } 是等比数列，并求数列 { a n} 的通公式；（Ⅱ） b n=log 2（a n 1），b n 的前 n 和 S n，求＜2．+{ }【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【剖析】（Ⅰ）由 a n+2=3a n+12a n得： a n+2a n+1=2（a n+1a n），合 a1=1， a2 =3，即a2 a1=2，可得： { a n+1 a n} 是首 2，公比 2 的等比数列，而利用叠加法可得数列{ a n } 的通公式；（Ⅱ） b n=log2（a n+1） =n，，利用裂相消法，可得=2＜2．【解答】明：（Ⅰ）由 a n+2=3a n+1 2a n得： a n+2 a n+1=2（a n+1 a n），又∵ a1 =1，a2=3，即 a2 a1=2，因此， { a n+1 a n} 是首 2，公比 2 的等比数列．⋯ a n+1a n=2×2n﹣1=2n，⋯a n=a1+（a2a1） +（ a3a2）+⋯+（a n a n﹣1）=1+2+22+⋯+2n﹣1==2n1；⋯（7 分）（Ⅱ）b n=log2（ a n+1）=log22n=n，⋯（8 分）S n=，⋯（9分），因此=2＜2．⋯（14 分）【点】本考数列的观点及表示法，考等比关系确实定及等比数列的乞降，考化与剖析推理能力，属于中档．18．（12 分）（2017?衡阳一模）如，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分是 AB ， BC 的中点，将△ AED ，△DCF 分沿 DE，DF 折起，使 A ，C 两点重合于 P． EF 与 BD 交于点 O，点 P 作 PH⊥BD ，垂足 H．（Ⅰ）求： PH⊥底面 BFDE；（Ⅱ）若四棱 P BFDE 的体 12，求正方形 ABCD 的．【考点】棱柱、棱、棱台的体；直与平面垂直的判断．【剖析】（Ⅰ）推出 PD⊥ PF，PD⊥PE， PD⊥平面 PEF，从而平面 PBD⊥平面BFDE ，由此能明 PH⊥底面 BFDE．（Ⅱ）正方形 ABCD 的 x，推出 PO⊥ PD，从而 PH=，由四棱P BFDE 的体 12，求出正方形 ABCD 的 6．【解答】明：（Ⅰ）由正方形 ABCD 知，∠ DCF=∠DAE=90°，EF∥ AC ，BD⊥AC， EF⊥ BD，∵点 E，F 分是 AB ，BC 的中点．将△ AED ，△ DCF 分沿 DE， DF 折起，使A ，C 两点重合于 P．∴ PD⊥ PF，PD⊥PE，∵ PE∩PF=P， PE、 PF? 平面 PEF．∴ PD⊥平面 PEF．又∵ EF? 平面 PEF，∴ PD⊥ EF，又 BD ∩PD=D，∴EF⊥平面 PBD，又 EF? 平面 BFDE，∴平面 PBD⊥平面 BFDE ．∵平面 PBD∩平面 BFDE=BD ，过点 P 作 PH⊥BD ，垂足为 H，∴PH⊥底面 BFDE．解：（Ⅱ）设正方形 ABCD 的边长为 x，则 PD=x，PE=PF= ，DB= ，DE=DF= ，EF= ，∠ BPD=90°，PO= = =x，OD= = x，∴PO2+PD2=OD2，∴ PO⊥PD，∴，∴ PH===，∵四棱锥 P﹣BFDE 的体积为 12，∴ V P﹣BFDE = = = =12，解得 x=6．∴正方形 ABCD 的边长为 6．【评论】此题考察线面垂直的证明，考察正方形边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思想能力的培育．19．（ 12 分）（ 2017?衡阳一模）空气质量指数（Air Quality Index ，简称 AQI ）是定量描绘空气质量状况的无量纲指数，参加空气质量评论的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、O3、CO 等六项．空气质量依据AQI 大小分为六级：一级 0～50 为优；二级 51～100 为优异；三级 101～ 150 为轻度污染；四级 151～200 为中度污染；五级201～ 300 为重度污染；六级＞ 300 为严重污染．某人依据环境监测总站宣布的数据记录了某地某月连续10 天 AQI 的茎叶图如图所示：（Ⅰ）利用该样本预计该地本月空气质量优异（AQI ≤ 100）的天数；（按这个月总合 30 天计算）（Ⅱ）若从样本中的空气质量不好（ AQI ＞ 100）的这些天中，随机地抽取三天深入剖析各样污介入标，求这三天的空气质量等级互不同样的概率．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频次散布直方图．【剖析】（Ⅰ）由茎叶图可得样本中空气质量优异的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（Ⅱ）该样本中轻度污染共 3 天，中度污染为 1 天，重度污染为 1 天，求出基本领件的个数，由概率公式可得的．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为4，故空气质量优异的概率为=，故利用该样本预计该地本月空气质量优异的天数为30×=15；（Ⅱ）该样本中轻度污染共 3 天，中度污染为 1 天，重度污染为 1 天，则从中随3 个，机抽取 3 天的所有可能结果为=10 个，此中空气质量等级恰巧不一样有该两天的空气质量等级恰巧不一样的概率P=．【评论】此题考察计算基本领件数及发生的概率，波及茎叶图的知识，属基础题．20．（ 12 分）（ 2017?衡阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 E：x2+（ y﹣t）2=r2（t＞0，r＞ 0）经过椭圆 C：的左右焦点F1，F2，与椭圆C 在第一象限的交点为 A ，且 F1， E， A 三点共线．（Ⅰ）求圆 E 的方程；（Ⅱ）设与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆 C 于 M ，N 两点，求△ AMN 的面积的最大值．【考点】直与的地点关系．【剖析】（Ⅰ）由三角形的中位定理，求得丨AF2 丨，再由的定，丨AF1丨=2a丨 AF 2丨，依据勾股定理即可求得t 的，由 EF1半径，即可求得r 的，求得 E 的方程；（Ⅱ）直l 的方程 y= m，代入方程，利用达定理，弦公式+和基本不等式的性，即可求得△AMN 的面的最大．【解答】解：（Ⅰ） C：，2a=4，短 2b=2，焦距2c=2因 F1， E，A 三点共， F1A E 的直径， F2在 E 上，AF 2⊥F1F2，因此 OE 三角 AF1F2中位，由 E（0，t），丨 AF 2丨 =2t，丨 AF 1丨=2a丨 AF 2丨=4 2t，由勾股定理可知：丨 AF 丨 2 丨F1F2 丨2+AF 丨2，即（4 2t）2（2）2+（2t）1 =2 =2，解得： t= ，半径 r= = ，∴ E 的方程 x2+（ y ）2= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点 A 的坐（，1），因此直 OA 的斜率，⋯6分故直 l 的方程 y= m，+立，得 x2+ mx m22=0．，⋯7分M （x1， y1）， N（ x2，y2），因此x1+x2= m，x1?x2=m2 2，△ =2m2 4m2+8＞ 0，因此 2＜m＜ 2，⋯8分又丨MN 丨= ?丨x1x2丨，=因点?A 到直l 的距离=d=，⋯9分，⋯10 分因此S△AMN = 丨MN 丨?d= ? ? ，= ≤×=，当且当 4 m2=m2，即 m=±等号成立，∴△ AMN 的面的最大．此直 l 的方程 y=x±．⋯12分【点】本考定的用，考直与的地点关系，达定理，弦公式及基本不等式的性，考算能力，属于中档．21．（ 12 分）（ 2017?衡阳一模）已知函数f（ x） =xlnx +a| x1|（Ⅰ）当 a=0 ，求 f （x）的区与极；（Ⅱ）若 f（ x）有两个零点，求数 a 的取范．【考点】利用数研究函数的性；利用数研究函数的极．．【剖析】（Ⅰ）由 f（ x）=xlnx ，知 f ′（x ）=1+lnx ，x＞0，由此能求出函数 f（x）的区和极小、最小；（Ⅱ）由已知可得： f（ 1）=0，故 1 函数的一个零点； a 行分，求出不一样状况下，足条件的 a ，合果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵ a=0 ， f （x）=xlnx ，∴f ′（ x） =1+lnx， x＞ 0，∵ f ′（ x）＞ 0 解得 x ＞，f′（x）＜0解得0＜x＜，∴函数 f（x）的减区间为（ 0，），增区间为（，+∞），f（x ）在 x=获得极小值﹣．（Ⅱ）由已知可得： f （1）=0，故 1 为函数的一个零点；若a=0，则函数仅有一个零点，不知足条件；若a＞0，则当x＞1 时， f（ x） =xlnx +ax﹣a， f ′（ x） =lnx+1+a＞0 恒成立，此时函数为增函数，不存在零点，当0＜x＜1 时， f（x）=xlnx ﹣ax+a， f ′（ x） =lnx +1﹣ a，若此时函数存在零点，则 lnx+1﹣a=0 有解，即 a=lnx+1＜ 1 有解，即 0＜a＜1；若 a＜0，则当0＜x＜1 时， f（ x） =xlnx ﹣ax+a， f ′（ x） =lnx+1﹣ a＞ 0 恒成立，此时函数为增函数，不存在零点，x＞1 时，f（x）=xlnx +ax﹣a，f （′x）=lnx+1+a，若此时函数存在零点，则 lnx +1+a=0有解，即a=﹣（ lnx +1）＜﹣ 1 有解，即 a＜﹣1；综上可得： 0＜a＜ 1，或 a＜﹣ 1．【评论】此题考察利用导数求函数的单一区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，认真解答，注意等价转变思想的合理运用．四、选考题：请考生在第（ 22） -（ 23）两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10 分）（ 2017?衡阳一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C1：，曲线 C2：x2+（ y﹣ 1）2=1，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线 l ：θ=α（ρ＞0）分别交 C1，C2于 A ， B 两点，求的最大值．【考点】参数方程化成一般方程；曲的极坐方程．【剖析】（Ⅰ）由曲 C1一般方程 x+y=6 可得曲 C1的极坐方程；先将曲 C2化 x2+y2 2y=0，而可得曲 C2的极坐方程；（Ⅱ） A（ρ1，α），B（ρ2，α），0＜α＜，ρ1 ，ρ2=2sinα，=可得= sin α（cosα+sin α），而获得答案．【解答】解：（Ⅰ）曲 C1：，一般方程 x+y=6，极坐方程ρcosθρsin θ；=6+曲C ：x2（y 1）2 2 y2 2y=0，∴ρ=2sin；θ2+ =1，即x +（Ⅱ） A （ρ1，α）， B（ρ2，α）， 0＜α＜，ρ，ρ2=2sinα，⋯（6分）1== sin α（ cos α+sin α）= （sin2 α+1 cos2 α）= [ sin（2α ） +1] ，⋯（ 8 分）当α=，获得最大（ +1）．⋯（ 10 分）【点】本考的知点是直与的极坐方程，的参数方程，三角函数的最，度中档．23．（ 2017?衡阳一模）已知函数 f （x）=| x 1|+ a| x+2| ．（Ⅰ）当 a=1 ，求不等式 f （x）≥ 5 的解集；（Ⅱ）当 a＜ 1 ，若 f（x）的象与 x 成的三角形面等于 6，求 a 的．【考点】不等式的解法；三角不等式．【剖析】（Ⅰ）通 x 的范，求出各个区上的x 解集，取并集即可；（Ⅱ）求出 f （x）的分析式，画出函数象，求出三角形点的坐，表示出三角形面，获得对于 a 的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1 ， f（ x）≥ 5 化： | x 1|+| x+2| ≥5①，当x≤ 2 ，①式化 2x 6≥0，解得： x≤ 3；当 2＜x＜1 ，①式化 3＞5，不可立；当 x≥1 时，①式化为 2x+1≥5，解得 x≥2综上， f（x ）≥ 5 的解集是 { x| x≤﹣ 3 或 x≥2} ；（Ⅱ）当 x≤﹣ 2 时， f（ x）=﹣（ a+1）x﹣2a+1；当﹣ 2＜x＜1 时， f （x）=（a﹣1）x+2a+1；当x≥1 时， f（x ）=（a+1）x+2a﹣1，综上， f（x ）=；画出函数 f（ x）的图象以下图；则 f（ x）与 x 轴围成的△ ABC 三个极点分别为：A（﹣ 2， 3）， B（﹣，0），C（，0）由题设可得： S=（﹣）?3=6，化简得 2a2+3a﹣2=0，解得 a=﹣2 或 a=（不合题意，舍去）；故 a 的值是﹣ 2．【评论】此题考察了绝对值不等式问题，也考察分类议论思想与数形联合的应用问题，是综合性题目．。
2020届邵阳市高三年级第一次联考文科数学参考答案
|
Tn
2
|
1 500
，即
1 2
n1
1 500
．
∴ 2n1 500 ，即 2n 1000 ．
∴n 的最小值为 10．
………………10 分
18．（12 分）
解：（1）由题意知： f (x) cos x sin x 3 cos2 x 3 2
化简得： f (x) 1 sin 2x 3 cos 2x sin(2x )
2
2
3
当 f(x)单调递减时，
………………3 分
2x
3
2k
2
,
2k
3 2
，k∈Z，
解得： x k
, 12
k
7 12
，k∈Z，
即函数
f(x)的单调递减区间为
k
12
,
k
7 12
，k∈Z．
……………6 分
数学（文）参考答案 第 1 页 共 4 页
x
<1)；
当 P 在半圆 O 上时， x2 y 2 1( y 0) ， 2
所以曲线 C 的方程为 y=0(-1< x <1)或 x 2 y 2 1( y 0) ． ………………5 分 4
数学（文）参考答案 第 2 页 共 4 页
（2）设曲线 C 上两动点 G(x, y), H x0 , y0 ，
z
1 3
x2
1200
(x
15)
单调递增；
湖南省邵阳市竹市镇中学2020年高三数学文联考试卷含解析
湖南省邵阳市竹市镇中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量若点C在函数的图象上，则实数的值为（）A B C D参考答案：D2. 已知复数z满足：则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．3. 已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（x﹣y）＞0 C．x3＜y3 D．参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【分析】根据特殊值代入判断A、B、C，根据指数函数的性质判断D．【解答】解：对于A，令x=1，y=﹣1，显然不成立，对于B，由x＞y，得x﹣y＞0，log2（x﹣y）有意义，当x﹣y＜1时，不成立；对于C，令x=2，y=1，显然不成立，对于D，由＜，得2﹣x＜2﹣y，即﹣x＜﹣y，即x＞y，故D成立，故选：D．4. 已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（）A．B．C．π﹣2 D．或参考答案：D【考点】对数函数的值域与最值．【分析】由题意讨论a的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解．【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是减函数，故log a2﹣log aπ=1；故a=；当a＞1，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函数，故log aπ﹣log a2=1；故a=故选D．5. 设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=99, a2+a5+a8=93，若对任意n∈N*都有S n≤S k成立，则k的值为( )A.22B.21C.20D.19参考答案：C因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，对任意都有成立，则为数列的最大项，而在数列中，，故为数列的最大项.6. 的值是（）A B C 2 D参考答案：B7. 若a，b是空间两条不同的直线，是空间的两个不同的平面，则a的一个充分不必要条件是A．B．C．D．参考答案：D8. 已知函数，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．参考答案：B略9. 下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性函数的单调性B3 B4【答案解析】D A选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。
湖南省邵阳市雨山中学2020年高三数学文联考试卷含解析
湖南省邵阳市雨山中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B命题意图：本题考查集合的基本运算及简易逻辑，简单题．2. （）A 充分不必要条件 B必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件参考答案：A3. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，S n为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a10=﹣17，则的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解可得a1、d的值，进而讨论可得a1、d的值，即可得=，令≥且≥，解出n的值，解可得n=4时，取得最小值；将n=4代入=中，计算可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，且a10=﹣17，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），a10=a1+9d=﹣17解得d=﹣2，a1=1或d=0，a1=﹣17（舍去）当d=﹣2时，S n=n+=﹣n2+2n，则=，令≥且≥，解可得2+≤n≤3+，即n=4时，取得最小值，且=﹣；故选：A．4. 函数的定义域是[a,b] (a < b)，值域是[2a,2b]，则符合条件的数组（a,b）的组数为（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：B．试题分析：首先，把看成变量的话，这是一开口向上的对称轴为1的抛物线，所以，即．下面进行分类讨论：（1），所以，且更接近于对称轴，所以，即，，两式子相减即可得到，即，因为，而，所以不符合题意；（2）当时，所以最小值即为顶点，，即．故有两种可能：①，此时离对称轴更远，所以最大值为，矛盾；②，此时离对称轴更远，所以最大值为，（舍去小于1的根）；（3）当时，所以最大值是，最小值是，即，，所以必然有一根小于1，矛盾．综上所述，，．所以符合条件的数组为．故符合符合条件的数组的组数为1组．故应选B．考点：分段函数的定义域和值域．5. 如图，单位正方体中，下列说法错误的是（A）（B）若，则（C）若点在球心为的球面上，则点在该球面上的球面距离为（D）若，则三线共点参考答案：C6. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．7. 下列四个命题中，正确的是A．{0}R B．2C．2D．{2参考答案：D略8. 若，则（）A．B． C. D．参考答案：A9. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为A．3 B．2 C．1 D．参考答案：B10. 如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A． B． C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数周期为__________.参考答案：12. 已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．参考答案：（0，2），．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知： ?=0，即（x1﹣，y1+）?（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．13. 若点在椭圆外，过点作该椭圆的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为参考答案：切点弦所在直线的方程为14. 已知平面向量，，与垂直，则参考答案：-1略15. 已知（2x+）n的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（数字回答）参考答案：60【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=64，解得n=6．再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．∴的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r，令6﹣=0，解得r=4．∴展开式中的常数项==60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知；，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________________参考答案：略17. 已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f′（x）≤0．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）单调递减．∴函数f（x）=﹣xe x在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）+tf（x）+1=0等价为m2+tm+1=0，要使关于x的方程f2（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2+tm+1，则，即t＜﹣e﹣，∴实数t的取值范围为：．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省邵阳市灵山寺中学高三数学文联考试卷含解析
2020年湖南省邵阳市灵山寺中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，若，前5项的和，则．参考答案：在等差数列中，，解得，所以。
【答案】【解析】2. 已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为，当时，的最小值是（）A ．12B ．10C ．8D ．4参考答案：C3. 若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（）A. 在上是增函数B. 在上是增函数C. 在上是减函数D. 在上是增函数，在上是减函数参考答案：C4.集合，集合。
先后掷两颗骰子，设掷第—颗骰子得点数记作，掷第二颗骰子得点数记作，则的概率等于A． B． C． D．参考答案：答案：B5. 记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知，则A．B．C．D．参考答案：A依题意有，可得，，.6. 若x，y满足约束条件则的最小值为_______．参考答案：3【分析】本题首先可以通过题目所给出的不等式方程组绘出图像，然后确定图像的三个顶点坐标，最后将其分别带入中即可得出最小值。
【详解】如图所示，根据题目所给的不等式方程组绘出的图形可知，交点为、、，然后将其带入中可得，的最小值为3。
【点睛】本题考查了线性规划的相关性质，解决本题的关键是能否根据题目所给条件画出可行域并在可行域中找出使目标函数取最值的点，考查数形结合思想，是简单题。
7. 设分程和方程的根分别为和，函数，则（）A． B．C． D．参考答案：A略8.数列中，，则必有A． B. C. D.参考答案：答案:D9. 点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于A. B. C. D.参考答案：C10. 已知等差数列{a n}中，，，记数列的前n项和为S n，若，对任意的恒成立，则整数m的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E 是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e=，故答案为：．12. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是_____________①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④ CB 1与BD 为异面直线；参考答案： （1）、(2)、(4)13. 已知是等比数列，，则=。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学第一次大联考试题 文
三湘名校教育联盟• 2020届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为 A. (-3,-2] B. (-2,3] C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λ A.-3 B. -1 C.1 D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 166.设Z a ∈，函数 a x e x f x-+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有 A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.8 B.16 C.24 D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x=+2有交点的概率为21，则a = A.41 B. 21C. 1D.2 9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
湖南省邵阳市2024届高三第一次联考试题数学含答案解析
湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题一､选择题1.已知集合{}{}4,,3,4,8,9A x x n n B ==∈=N ∣，则集合A B ⋂的元素个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】因为集合{}{}4,,3,4,8,9A xx n n B ==∈=N ∣，所以{}4,8A B ⋂=，其元素个数为2，故选：C.2.下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A.2(1i)+B.2(1i)-C.1i1i-+ D.4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.3.命题“2,460x x x ∃∈-+<R ”的否定为（）A.2,460x x x ∃∈-+>RB.2,460x x x ∃∈-+≤RC.2,460x x x ∀∈-+<RD.2,460x x x ∀∈-+≥R 【答案】D【解析】根据全称命题或者特称命题的否定，所以2,460x x x ∃∈-+<R 的否定为2,460x x x ∀∈-+≥R ，故选：D.4.若抛物线22(0)x py p =>上一点(),6M n 到焦点的距离是4p ，则p 的值为（）A.127B.712C.67D.76【答案】A【解析】因为抛物线22(0)x py p =>的准线为2p y =-，由题意可得：642p p +=，解得127p =.故选：A.5.如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A.43B.52C.23-D.103【答案】D【解析】12AB AM MB AM CM AM DA=+=+=+()111222AM DN NA AM AB AN ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以3142AB AM AN =-，所以4233AB AM AN =- ，所以42,33λμ==-，82102333λμ-=+=.故选：D.6.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）A.56B.90C.110D.132【答案】B【解析】根据题意分两类，第一种两个“对唱”节目相邻：1292C A 9218=⨯=，第一种两个“对唱”节目不相邻：229298C A 2722⨯=⨯=，则不同的排法种数为187290+=.故选：B7.已知函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在170,72a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1710,π99a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.70,π17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.67π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.78π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.89π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】由πππ2π32π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得2π2π2ππ,3939k k x k -≤≤+∈Z ，()f x \的单调增区间为2π2π2ππ,,3939k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .()f x 在170,72a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，17π0729a ∴<≤，8π017a ∴<≤.由ππ32π32ππ,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2ππ2π4π,3939k k x k +≤≤+∈Z ，()f x \的单调减区间为2ππ2π4,π,3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又函数在1710,π99a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，7π1710π999a ∴≤<，7π10π1717a ∴≤<.综上，7π8π1717a ≤≤，即实数a 的取值范围为78π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C8.设e,,8756a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.b a c <<D.c<a<b【答案】D【解析】117711881e e 871e e 718a b ==，设()()()2e 1e ,01,,x xx f x x f x x x-=<<='，()0f x '∴<()f x \在()0,1上单调递减.又1111,,7878f f ⎛⎫⎛⎫>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ∴<；又171e e 87a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设()()e e ,e e,xxg x x g x '=-=-1x <时，()0,g x '<()g x ∴在(),1-∞单调递减.()110,7g g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭a c ∴>；综上，c<a<b ，故选：D.二､多选题9.设点(),P x y 为圆22:1C x y +=上一点，已知点()()4,0,5,0A B ，则下列结论正确的有（）A.x y +B.2244x y x y +--的最小值为8C.存在点P 使PB =D.过A 点作圆C 的切线，则切线长为【答案】AD【解析】设x y t +=，即0x y t +-=1≤得t ≤≤t 的最大值是，A 正确；222244(2)(2)8x y x y x y +--=-+-+，只有2x =且2y =时，2244x y x y +--才能取得最小值8，但221x y +=时，11x -≤≤且11y -≤≤，因此上述最小值不能取得，B 错；由PB =得=，整理得22(3)2x y -+=，因此满足PB =的点P 在圆22(3)2x y -+=，此圆圆心为(3,0)，半径为，而13+<，因此它与圆C 外离，因此圆C 上不存在点P ，满足，PB =，C 错；圆C 圆心为(0,0)C ，半径为1r =，则过A 点作圆C 的切线的切线长为==，D 正确．故选：AD ．10.下列说法正确的有（）A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和2212,s s ，且12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C.已知随机变量()2,X N μσ~，若()()151P x P x ≥+≥=，则3μ=D.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37，则这组数据的第40百分位数为39【答案】BCD【解析】对于A ，由题意，若两层样本容量依次为,m n ，而12x x =，则总体均值为x ，则总体的方差为()()2222222121122ms ns m n s s x x s x x m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++，当且仅当m n =时，()2221212s s s =+，故A 错误；对于B ，由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，故B 正确；对于C ，由()()()()151151P X P X P X P X ≥+≥=≥+-<=,故()()15P X P X ≥=<，根据正态分布对称性1532μ+==,故C 正确；对于D ，由50,40,39,45,32,34,42,37，则32,34,37,39,40,42,45,50，由此可得840% 3.2⨯=，所以这组数据的第40百分位数为39，故D 正确.故选：BCD11.如图所示，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2,AA AB E ==为1AA 的中点，则（）A.DE //平面1A CAB.DE ⊥平面11D C EC.P 为棱11A B 上任一点，则三棱锥C PDE -的体积为定值D.平面DCE 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为π8【答案】BC【解析】A ：由E 为1AA 的中点，所以A 错；B ：11C D ⊥ 平面11,AA D D DE ⊂平面11AA D D ，11C D DE ∴⊥，又1,DE D E ⊥11C D ⊂平面11D C E ，1D E ⊂平面11D C E ，DE ∴⊥平面11D C E ，B 对；11C:A B //,CD CD ⊂平面CDE ，11A B ⊄平面CDE ，11A B ∴//平面11,,P CDE CDE P A B V -∈∴为定值，C 对；D ：设外接球球心为O ，即为对角线1AC 中点.O 到平面DCE 距离为1A 到平面DCE 距离的一半，1A 到平面CDE 距离等于A 到平面CDE 距离，设为d ，由A CDE C ADE V V --=，即1133CDE ADE S d S CD ⋅=⋅，12222122d ⨯⨯⨯==⨯⨯O 到平面CDE距离为2，正四棱柱外接球半径为2=，所以截面圆半径211π,π.D 22r S r ==∴==∴错.故选：BC12.已知函数()f x 与其导函数()g x 的定义域均为R ，且()1f x -和()21g x +都是奇函数，且()103g =，则下列说法正确的有（）A.()g x 关于=1x -对称B.()f x 关于()1,0对称C.()g x 是周期函数D.112(2)4i ig i =∑=【答案】ACD【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x -=---，所以()()11f x f x ''-=--，即()()11g x g x -=--，所以()g x 的图象关于直线=1x -对称.故A 正确；因为()1f x -为奇函数，则其图象关于()0,0对称，向左平移一个单位后得到()f x 的图象，则()f x 的图象关于()1,0-对称，故B 错误；因为()21g x +为奇函数，则()()2121g x g x +=--+，则有()()11g x g x +=--+，所以()()2g x g x =--+①,又()()11g x g x -=--，则()()2g x g x =--②,由①②()2(2)g x g x --=--+，则()2(2)g x g x -=-+，则()(4)g x g x =-+，()4(8)g x g x +=-+，则()(8)g x g x =+，所以8是函数()g x 的一个周期.，()g x 是周期函数，故C 正确；因为()103g =，()()2g x g x =--+，()(4)g x g x =-+所以()()()122203g g g =--=-=-，()()()()1140,6233g g g g =-=-=-=，所以1121(2)(123456789101112)43i ig i =∑=--++--++--++⨯=，故D 正确，故选：ACD.三､填空题13.()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________.【答案】25【解析】对于5(1)x -，其()515C 1kk kk T x -+=-，当2k =时，与2x凑成2x ，此时2x 系数为()225C 1220-⨯=，当4k =时，与x 凑成2x ，此时2x 系数为()445C 115-⨯=，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为20525+=.故答案为：25.14.已知数列{}n a 的首项为()*12,21n n a a n n ++=+∈N ，则10a=__________.【答案】9【解析】因为12a =，()*121n n a a n n ++=+∈N ，当1n =时，123a a +=，解得：21a =，()*1223n n a a n n +++=+∈N ，两式相减可得：22n n a a +-=，所以{}n a 的偶数项是以21a =为首相，公差为2的等差数列，所以10210121892a a ⎛⎫=+-⨯=+= ⎪⎝⎭.故答案为：9.15.已知1ππcos cos2cos4,,874θθθθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则22cos 4cos θθ-=__________.【答案】1【解析】因为2sin cos cos 2cos 42sin 2cos 2cos 4cos cos 2cos 42sin 4sin ==θθθθθθθθθθθθ2sin 4cos 4sin 88sin 8sin ==θθθθθ18=-，∴sin sin80θθ+=，∴8()2ππ(Z)k k θθ+-=+∈，或8()2π(Z)k k θθ--=∈，又ππ(,)74θ∈，∴2π9θ=，228π2π16π2π2π2π2cos 4cos 2cos cos cos 1cos cos 1cos 1999999θθ-=-=+-=+-=．故答案为：1.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，点P 为它们的一个交点，且121cos 2F PF ∠=-.当2212112e e +取最小值时，21e 的值为__________.【答案】78【解析】设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为：()2222222210,0x y a b a b -=>>.不妨设点P 为第一象限的交点，由题意知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，由余弦定理得：22212121242cos c PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22212221231434c a a e e =+∴=+，.222222121212221211131111212412e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222122121311111233.412412e e e e ⎛⎛⎫⨯ ⎪ =⋅+++≥⋅++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当且仅当442114e e =时取等号，22212e e ∴=.2122211131774,228e e e e ∴=+=∴=.故答案为：78.四､解答题17.现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为93%，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%,40%.（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X 的数学期望()E X .解：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为5%，第2台加工零件的次品率为7%.记事件A 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，事件i B 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i 台车床加工的”，1,2i =.则()()()220.40.07140.60.050.40.0729P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯∣.（2）X 的可能取值为0,1,2,3,,10 ，且X 服从二项分布.由（1）知，()0.60.050.40.070.058P A =⨯+⨯=.()()~10,0.058,100.0580.58X B E X ∴∴=⨯=.18.在ABC 中，内角A 3sin2cos22A A -=.（1）求角A 的大小；（2）若2DC BD = ，求AD BD的最大值.解：（1）由已知π2sin 22,6A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 216A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ππ110π,2π666A A <<∴-<-< .ππ2,62A ∴-=π3A ∴=.（2）()112,33DC BD BD BC AC AB =∴==- .又2133AD AB BD AB AC =+=+uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r，2AD AB AC BD AC AB +∴==- 令0b t c =>，AD BD ∴===1=≤==+.当且仅当1t =-取等号.AD BD ∴1.19.如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为2cm 和113cm,,AA BB 为圆台的两条不同的母线.1,O O 分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且OAB 为等边三角形.（1）求证：11A B //AB ；（2）截面11ABB A 与下底面所成的夹角大小为60 ，求异面直线1AA 与11B O 所成角的余弦值.（1）证明： 圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.∴母线1AA 与母线1BB 的延长线必交于一点，11,,,A A B B ∴四点共面.圆面1O //圆面O ，且平面11ABB A 圆面111O A B =，平面11ABB A 圆面O AB =.11A B ∴//AB .（2）解： ABO 为等边三角形，π3AOB ∴∠=，如图建立空间直角坐标系O xyz -，设1(0)OO t t =>.()()133,0,0,,,0,2,0,22A B A t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.()13331,0,,,,022AA t AB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11ABB A 的一个法向量()1,,n x y z =.则有：0,3330.22x tz x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =1331,,y z n t t ⎫==∴=⎪⎪⎭.底面的一个法向量()20,0,1n = ，因为截面与下底面所成的夹角大小为60 ，所以121cos60cos,2n n︒==，32t∴=，131,0,2AA⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，又()1112,3A B AB B==-∴坐标为32⎛⎫⎪⎝⎭.()11O B∴=，11111111113cos,13132AA O BAA O BAA O B⋅==.∴异面直线1AA与11O B 所成角的余弦是1313.20.设数列{}()*na n∈N满足：2212naaa nn+++=.等比数列{}n b的首项11b=，公比为2.（1）求数列{}{},n na b的通项公式；（2）求数列n na bn⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n T.解：（1）221,12naaa n nn+++=≥.2121(1),221naaa n nn-∴+++=-≥-.22(1)21na n n nn∴=--=-.即()21,2na n n n=-≥.当1n=时，11a=，满足上式.()2212na n n n n∴=-=-，根据等比数列{}n b的首项11b=，公比为2，可知12n n b -=.（2）由（1）知：()1212n n n a b n n-=-⋅.()0111232212n n T n -∴=⋅+⋅++-⋅ ，()()11212232212n n n T n n -=⋅++-⋅+-⋅ .()1112222212n nn T n -∴-=+⋅++⋅--⋅ ()()12121221212n nn --=+⋅--⋅-()()11421212n n n -=+---⋅()222123n n n =⋅--⋅-()3223n n =-⋅-.()2323n n T n ∴=-+.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点A 是椭圆C 的右顶点.过点()3,0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,E F ，且都在x 轴的上方.在x 轴上是否存在点P ，使APE OPF ∠=∠，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）依题意得22221,2b a c a b c ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩解得11,,22a b c ===，∴椭圆C 的标准方程为22134y x +=.（2）存在点P ，使APE OPF ∠=∠，点P 的坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.理由如下： 直线l 过点()3,0，与椭圆224:13C x y +=交于不同的两点,E F .且都在x 轴上方.∴直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()3,0y k x k =-≠.联立方程()223,4 1.3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222234243630k x k x k +-+-=.此时0∆>，设()()()1122,,,,,0E x y F x y P m ，则2212122224363,3434k k x x x x k k -+==++.APE OPF ∠=∠ ，()()()()()()122112121233PE PF k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--∴+=+=----()()()()()()()22221212121272624362363434k k m m x x m x x m k k k k x m x m x m x m --+⋅+-+++++=⋅=⋅----()()()2222212726722418240.34k k mk m mk k x m x m k ---++=⋅=--⋅+11860,3m m ∴-=∴=.存在P 点满足条件.P ∴点坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.（1）解：()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-++-=++==>---'.当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减.当20a -<<时，在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '<，在2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '>,故()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增.当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减.综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a ≤-时，()f x 在()1,∞+上单调递减.（2）证明：1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+.令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x='+-.令()()()21,2sin m x h x m x x x ==--''.i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()222e 22sine e 0h ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =.ii.(]1,πx ∈，()212sin 0m x x x =--<'恒成立，()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<，()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x '∴∈>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减.又()()010,0h h x >∴>.()πlnππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =.iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()112cos 0h x x x ∴=-+<'恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.()()πlnππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点.iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x +-≤+-下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<.设()2ln n x x x =--.()110n x x=->'.()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫≥-->-> ⎪⎝⎭，ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点.又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.。
2020-2021学年湖南省高考数学一模试卷(文科)及答案解析
湖南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．53．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．17．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．610．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f 的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|x＜0}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜2} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即N={x|﹣1＜x＜2}，∵M={x|x＜0}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．2．复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解，然后求出复数的模即可．【解答】解：复数z满足（z﹣1）（1+i）=2i，可得z===2+1．|z|==．故选：C．3．若p：a，b∈R+；q：a2+b2≥2ab，则（）A．p是q充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由a2+b2≥2ab得：（a﹣b）2≥0，∀a，b是R恒成立，推不出a＞0，b＞0，不是必要条件，由“a＞0，b＞0”能推出“a2+b2≥2ab，是充分条件，故“a＞0，b＞0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件，故选：B．4．已知平面向量为单位向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得到，从而由便可得到，进行向量数量积的运算便可得到，从而便可得出向量，的夹角．【解答】解：根据条件，；∴由得，；∴；∴向量的夹角为．故选：D．5．函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数零点的判定定理．【分析】的零点，即方程f（x）﹣的根，也就是f（x）=的根，即函数y=f（x）与y=交点的横坐标，画出图形得答案．【解答】解：由f（x）﹣，得f（x）=，作出函数y=f（x）与y=的图象如图，由图可知，函数的零点个数为3．故选：A．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣3的最大值为（）A．8 B．5 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足的可行域，由图易得：当x=4，y=2时z=x+2y﹣3的最大值为5，故选：B．7．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件个数，由此能求出这两次出现的点数之和大于点数之积的概率．【解答】解：现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，基本事件总数n=6×6=36，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为p=．故选：D．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．抛物线y2=8x的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|=5，则双曲线的实轴长为（）A．1 B．2 C．D．6【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得c=2，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得P 的坐标，代入双曲线的方程，解得a=1，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，由题意可得c=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，n=±2，将P（3，±2）代入双曲线的方程，可得﹣=1，且a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的实轴长为2a=2．故选：B．10．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n﹣a n+1=2a n a n+1变形可知﹣=2，进而可知a n=，并项相加即得结论．【解答】解：∵a n﹣a n+1=2a n a n+1，∴﹣=2，又∵=5，∴=+2（n﹣3）=2n﹣1，即a n=，∴a n a n+1=（a n﹣a n+1）=（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故选：A．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．3πC．6πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，直观图如图所示：且长方体的长、宽、高分别是1、1、2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球与长方体的相同，设该几何体外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，解得R=，∴该几何体外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：C．12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f=f （2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f=22=4，故答案为：4．14．在等比数列{a n}中，，则a3+a4= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}的公比为q，由于，可得q4（a1+a2）==8，解得q2，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴q4（a1+a2）==8，解得q2=4．则a3+a4=q2（a1+a2）==2．故答案为：2．15．已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为20 米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，用AB表示出BC，BD，在△BCD中使用余弦定理列方程解出AB．【解答】解：由题意知CD=20，∠BCD=120°，∠ACB=45°，∠ADB=30°．AB⊥BC，AB⊥BD．设AB=h，则BC=h，BD=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，即3h2=h2+400+20h，解得h=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数，且f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个长度单位后得到函数g（x）的图象，求当时g（x）的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，利用周期公式即可解得ω的值，利用正弦函数的图象和性质，令，即可解得f（x）的单调减区间．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2sin（2x﹣）+1，由x的范围，可求，由正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵=，∵，∴ω=1，…从而：，令，得，∴f（x）的单调减区间为．…（Ⅱ）∵，…∵，∴，∴当，即时，g（x）max=2×1+1=3．…18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女10 50合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求解m、n即可．（Ⅱ）利用已知条件直接列出联列表，然后情况k2，即可判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015解得m=0.0025，n=0.0035…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：高消费群非高消费群合计男15 35 50女10 40 50合计25 75 100…根据上表数据代入公式可得所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．…19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，因为AB=BC，所以BF⊥AC，又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，所以BF⊥平面ACD，…因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，因为EM⊄面ABC，BF⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；…解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM⊂面EMC，所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，又EM⊥AD，所以M为AD的中点，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，，在△DCM中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为．…20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足，求直线PQ的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，求得c，运用椭圆的离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得椭圆的上顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线的方程；（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），求得向量FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，联立抛物线的方程，运用判别式为0，化简整理，计算即可得到k，m的值，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故物线C2的标准方程为x2=8y．（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，即（*），联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去），联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得，经检验，m=﹣1符合要求．故直线PQ的方程为．21．已知函数，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．【解答】解：（Ⅰ），∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）∵恒成立，即，①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，令，则g′（x）=，再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2；综合①②可得：k=2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC 的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…解答题（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．己知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数式，讨论x的范围，解不等式，求交集即可得到所求解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为f（x）min≤a﹣，运用一次函数的单调性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，当x≥1时，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，3x＜2，即x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，﹣x﹣2＜2，即x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣．综上可得，不等式的解集为（﹣4，）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min=﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3．即有a的取值范围是[﹣1，3]．。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学上学期第一次大联考试题文(含解析)
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学上学期第一次大联考试题文（含解析）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合(){}|20A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则()⋂=U C A B （ ） A. {}1-B. {}1,3-C. {}1,2,3D.{}1,0,2,3-【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|02}A x x =≤≤，得到{|0U C A x x =<或2}x >，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合(){}|20{|02}A x x x x x =-≤=≤≤，{}1,0,1,2,3B =-， 则{|0U C A x x =<或2}x >，所以(){}1,3U C A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念和运算，以及正确求解集合A 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】 【分析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解. 【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3.“01x <<”是“2log (1)1x +<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因为2log (1)111x x +<⇔-<<， 所以(0,1)(1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ） A.23钱 B. 1钱 C.43钱 D.53钱 【答案】B 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解．【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.5.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 6.已知a ，b 均为单位向量，3a b +=，则()()2(a b a b +⋅-= )A. 12-B.12C. 32-D.32【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a b ⋅，代入即可求解． 【详解】解：a ，b 均为单位向量，且a b 3+=，223a 2a b b ∴=+⋅+，1a b 2∴⋅=， 则()()2212a b a b 2a a b b 2+⋅-=-⋅-=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 7.在ABC ∆中，1AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（ ）A. 12B. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin 3A =，再利用面积公式即可得解.【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =.所以sin 3A ==.所以ABC ∆的面积为11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8.要得到函数()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数()sin 2g x x =的图像（ ） A. 向左平移12π个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换的公式，化简得()sin(2)6g x x π=+，再结合三角函数的图象的变换，即可求解.【详解】由题意，函数()1cos 2sin 2cos 2(cos 22)622f x x x x x x π⎛⎫=--=--⎪⎝⎭12cos 2sin(2)226x x x π=+=+， 将()sin 2g x x =向左平移12π个单位，可得()sin[2()]sin(2)126f x x x ππ=+=+，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟练利用三角恒等变换的公式，化简得到()g x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，则29()2f =（） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-． 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.11.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. [2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.12.已知()f x '是()()f x x ∈R 的导函数，且()()f x f x '>，(1)f e =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（ ） A. (,)e -∞ B. (e,)+∞C. (,1)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数()()xf x F x e =，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】令()()xf x F x e=，则()()()0x f x f x F x e '-'=>， ∴()F x 在R 上为增函数，∴()0xf x e -<可化为()(1)F x F <，∴1x <． 故选：C【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数2()lg(23)f x x x =+-的单调递减区间为_______． 【答案】(,3)-∞- 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”判断即可．【详解】令函数x 2+2x ﹣3＝u ，（u ＞0）则y ＝lg u 是增函数， 函数u ＝x 2+2x ﹣3，开口向上，对称轴为x 1=﹣， ∵u ＞0， 即x 2+2x ﹣3＞0， 解得：x ＞1或x 3＜﹣． ∴函数u 在(,3)-∞-单调递减，根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为(,3)-∞-． 故答案为：(,3)-∞-．【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”，属于基础题. 14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15.已知()ln(e 1)(0)axf x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax axaxax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当n S 取最大值时，n 的值为______. 【答案】674 【解析】 【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 详解】由()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,nn n n SS S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列.所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-.当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0nS <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674.【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可； （2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-. （2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.18.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+．（1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，2DAB π∠=，求tan C ．【答案】（1）23π；（2. 【解析】 【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解；（2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30c C BD+=,②，联立①和②可得解. 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac +--=⋅+ 即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==- 又0A π<<，23A π∴= . （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30c C BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin C C +=1cos 22sin C C C =,化简可得：tan C =点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.设函数()21sin sin cos 34f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期、最大值及取最大值时x 的取值集合；（2）讨论()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期π；当5,12x k k Z ππ=+∈时，最大值为2（2）递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，递减区间为,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简函数()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得422333x πππ-≤-≤，结合正弦函数的图象与性质，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，函数()211sin sin cos 224f x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 21cos 2124424x x x -+=+-+3sin 2cos 224423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即5,12x k k Z ππ=+∈时，()f x （2）由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得422333x πππ-≤-≤， 结合正弦函数的图象与性质，可得：当42332x πππ-≤-≤-，即212x ππ-≤≤-，函数单调递减；当2232x πππ-≤-≤，即51212x ππ-≤≤，函数()f x 单调递增； 当22233x πππ≤-≤，即5122x ππ≤≤，函数()f x 单调递减， 综上可得，函数()f x 的单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 单调递减区间为,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的恒等变换，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2n n a =；（2）由2n n b n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =.当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--， ∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2n n a =， ∵1n =也适合，∴2n n a =.（2）2n n b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.21.设函数2()2ln f x x ax x =-++.（1）若()f x 在其定义域上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当3a =时，()f x 在[,)()n e n Z +∞∈上存在两个零点，求n 的最大值. 【答案】(1)(-∞;(2)-2.【解析】分析：（1）由()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数求解新函数的单调性研究最值即可.（2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x---+==，得出函数的单调性和极值，然后根据()f x 在)(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上存在两个零点，列出等价不等式求解即可. 详解：（1）∵定义域为()0,+∞，()1'2f x x a x =-+， ∵()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥，12a x x ≤+， ∵12x x+≥a 的取值范围是(-∞. （2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x---+==， 由()'0f x >得()10,1,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，由()'0f x <得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()f x 在12x =处取得极大值131ln 0242f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在1x =处取得极小值()10f =， ∴1x =是一个零点，当1x >，()0f x >，故只需12n e <且()0n f e ≤，∵()21221313210e e f e e e e-+-=-+-=>，()242130f e e e -=-<，∴n 的最大值为-2. 点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x 轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.22.已知函数()e 2x f x ax a =+++．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0x 时，()2f x ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y ex =+（2）[1,0]-【解析】【分析】(1)当0a = 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;(2)当0x ≤ 时,将()2f x 恒成立转化为e 0x ax a ++恒成立,由0x = 使不等式成立得到1a ≥-,然后构造函数()e x h x ax a =++求导,对a 分三种情况讨论可得.【详解】（1）当0a =时，()e 2x f x =+，(1)e 2f =+．()e x f x '=，(1)e f '=，∴切线方程为(e 2)e(1)y x -+=-，即2y ex =+．（2）当0x 时，e 22x ax a +++，即e 0x ax a ++，令()e x h x ax a =++，则(0)0h ，1a -，当0a =时，()e 0xh x =>，满足题意；当0a >时，()0x h x e a '=+>，∴()h x 在(,0]-∞上递增，由x y e =与(1)y a x =-+的图像可得()0h x 在(,0]-∞上不恒成立；当10a -<时，由()e 0x h x a '=+=解得ln()x a =-，当ln()x a <-时，()0h x '<，当ln()0a x -<时，()0h x '>，∴()h x 在(,0]-∞上的最小值为(ln())h a -，∴(ln())ln()0h a a a -=-，解得10a -<．．综上可得实数a的取值范围是[1,0]【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.。
2020年湖南省邵阳市九公桥镇东义中学高三数学文联考试题含解析
2020年湖南省邵阳市九公桥镇东义中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）参考答案：考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由绝对值不等式的解法可得集合N，进而有交集的意义可得答案．解答：解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选B．点评：本题考查集合的交集运算，关键是求出集合M、N．2. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则（）A. ；B. 8；C. 或8；D. 6参考答案：B略3. 已知集合，则A∪B= （A）（B）（C）（D）参考答案：B求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.4. 在平行四边形中，为一条对角线，则（）A.（2，4）B.（3，5）C.D.（—2，—4）参考答案：C略5. 复数等于（）A.3-4iB.5-4iC.3-2iD.5-2i参考答案：A6. 若的最小值为，则二项式的展开式中的常数项是A．第10项B．第9项C．第8项D．第7项参考答案：B7. 已知命题命题使，若命题“且”为真，则实数的取值范围是( )A． B．C． D．参考答案：D略8. 函数（A）（B）（C）（D）参考答案：A9. 集合P={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即P=（﹣1，3），∵Q={﹣1，0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10. 下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（）A． B．C． D．命题意图: 考查函数的奇偶性、单调性，稍难题.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．参考答案：（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），可判断（1）；（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），从而可得f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．12. 数列{a n}满足，，则______.参考答案：【分析】由已知得设，则是公比为的等比数列，求出其通项，再用累加法求出，即可得结果.【详解】设，若则与矛盾，是公比为的等比数列，，.故答案为:【点睛】本题考查等比数列的通项，以及累加法求通项，合理引进辅助数列是解题的关键，属于中档题.13. 若，，，则的值为_______________.参考答案：略14. 在等差数列中，，其前项和，则。