备战2010 高考数学难重点精讲12 等差、等比数列的性质运用
初中数学等差等比数列知识点详解与应用方法
初中数学等差等比数列知识点详解与应用方法等差数列和等比数列是初中数学中非常重要的内容，它们有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将详细解释等差数列和等比数列的概念、性质和应用方法。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示第n项，n表示项数。
等差数列的性质有：1. 公差d确定了等差数列的特征，不同的公差会得到不同的等差数列。
2. 等差数列的相邻两项之间的差值是恒定的，因此可以根据已知的前几项求出后续的项。
3. 等差数列的和可以通过求出平均数并乘以项数来计算，即等差数列的前n项和Sn为：Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2其中，aₙ表示第n项。
二、等差数列的应用方法等差数列在实际生活中有着广泛的应用，下面介绍几种常见的应用方法：1. 求等差数列的前n项和：根据等差数列的前n项和的公式，可以快速求出等差数列的前n项和。
这在处理大量数据时非常实用，可以帮助我们节省计算时间。
差，我们可以求出任意项的值。
这对于需要预测未来数值或者补充已知数列的缺项非常有帮助。
3. 求等差数列的项数：有时候我们知道等差数列的首项和差值，需要确定等差数列的项数。
这时我们可以通过求解aₙ = a₁ + (n - 1) * d来得到项数n。
三、等比数列的概念与性质等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。
等比数列的性质有：1. 公比r确定了等比数列的特征，不同的公比会得到不同的等比数列。
2. 等比数列的相邻两项之间的比值是恒定的，因此可以根据已知的前几项求出后续的项。
3. 等比数列的和可以通过将首项乘以(公比^n - 1)并除以(公比 - 1)来计算，即等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a₁表示首项，r表示公比。
等差,等比数列的性质及应用
a1 + a2 + ⋯ + a6 = 36 ① 解：由题意知， an + an −1 + ⋯ + an − 5 = 180 ②
6( ∴①+②得： a1 + a n ) = 216, ∴ a1 + a n = 36
又 sn = 324
∴
n ( a1 + a n ) 2
= 324
即
n × 36 2
， 往往求解复杂，故常转换思路利用 整体代换和化归思想方法来解决。
练习: 练习
s 在等差数列｛ 在等差数列｛an｝中， 2
则
= 7, s6 = 90，
s4
37 =______.
二.典型例题 典型例题 例4: 在等比数列｛an｝中，an>0(n∈N*)，
公比 q∈(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列｛an｝的通项公式; (2)设bn=log2an ，数列｛bn｝的前n项和
S1 S 2 Sn + +⋯ + 最大时，求n的值. 1 2 n
解：由(1)知:
bn = log2 an = log2 2 =5−n
5−n
∵ bn +1 − bn = [5 − (n + 1) ] − ( 5 − n ) = −1
∴ {bn } 是以4为首项，-1为公差的等差数列
∴ Sn =
9 n − n2 2
2.等比数列 {a n } 中， a15 = 10, a 45 = 90 等比数列
则 a 60 =
±270
四.总结：
1.应用等差、等比数列的性质解题时，
高中数学等比数列的性质及应用策略
高中数学等比数列的性质及应用策略数列是高中数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊情况。
在学习数列时，我们经常会遇到等比数列的问题。
本文将重点讨论等比数列的性质以及应用策略，帮助高中学生更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为an = ar^(n-1)。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是关键，它可以帮助我们求解等比数列中的任意一项。
通过观察数列中的规律，我们可以发现每一项与前一项的关系，从而得到通项公式。
例如，考虑等比数列1，2，4，8，16，...。
我们可以发现每一项都是前一项乘以2，即an = 2 * an-1。
而首项为1，因此通项公式为an = 2^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n项和可以帮助我们计算数列的总和，从而解决实际问题。
等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法证明得出。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以计算出前3项的和为7，前4项的和为15，前5项的和为31，依次类推。
二、等比数列的应用策略等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
在解决问题时，我们可以运用等比数列的性质和应用策略，快速解决问题。
1. 求解未知项通过等比数列的通项公式，我们可以根据已知的首项和公比求解数列中的任意一项。
这在实际问题中非常有用。
例如，某公司的年收入是等比数列，已知第1年的收入为100万元，公比为1.2。
我们可以利用通项公式an = 100 * (1.2)^(n-1)求解第5年的收入为多少。
2. 求解总和通过等比数列的前n项和公式，我们可以计算数列的总和。
这在求解累加问题时非常方便。
例如，某人每天存钱，第1天存1元，第2天存2元，第3天存4元，以此类推。
2010年高考数学复习必备精品：等比数列
等比数列一．【课标要求】1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等比数列与指数函数的关系二．【命题走向】等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。
客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具预测2010年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力三．【要点精讲】1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。
（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。
3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。
它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。
本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。
2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。
这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。
3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。
这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。
4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。
2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。
比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。
3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。
高考数学难点突破_难点12__等差数列、等比数列的性质运用
单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题
.
错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，
(2) 问以数列 {
1
2
} 为桥梁求
an, 不易突破 .
an
技巧与方法： (2) 问由式子 1 an 1
1 an 2
4
得
1
an
2 1
1 an 2
=4, 构造等差数列
(3)
设
Sn=a12+a22+…
+an
2
,
bn=Sn+1－
Sn
是否存在最小正整数
成立？若存在，求出 m的值；若不存在，说明理由 .
m, 使得对任意
n∈
*
N
,
有
bn<
m
25
命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能 力，属★★★★★级题目 .
知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数
(1) 求数列 { bn} 的通项公式；
(2)
记
Tn=C1n b1 +C2n b2+C3n b3+… +Cnn bn, 求 lim n
Tn 4n bn
.
7.( ★★★★ ) 设 { an} 为等差数列， { bn} 为等比数列， a1 =b1=1, a2+a4=b3, b2· b4=a3, 分别求 出 { an} 及 { bn} 的前 n 项和 S10 及 T10.
q5, ∴ q5=－ 1 , 即 q=－ 1 .
32
2
S5，S10－ S5，S15－ S10, … , 也成等比数
等差数列与等比数列的特点与应用
等差数列与等比数列的特点与应用等差数列与等比数列是数学中常见而重要的数列类型。
它们具有一些独特的特点和广泛的应用，本文将对它们进行详细介绍和讨论。
一、等差数列的特点与应用等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
如果一个等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式可表示为an = a + (n-1)d，其中n为项数。
等差数列具有如下特点：1. 公差：公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。
通过公差的正负，可以判断等差数列是递增还是递减。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = (n/2)(a + an)。
等差数列在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 计算问题：等差数列的通项公式和总和公式可以用于求解各种计算问题，如求和问题、推理问题等。
2. 法则问题：等差数列的特性在数学中被用作问题求解的法则，如等差数列法则可以用于逻辑推理、证明等。
3. 几何问题：等差数列在几何问题中也有应用，如等差中项法则可以用于解决线性函数的几何性质。
二、等比数列的特点与应用等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
如果一个等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式可表示为an = ar^(n-1)，其中n为项数。
等比数列具有如下特点：1. 公比：公比是等比数列中相邻两项之比的固定值。
公比可以为正数、负数或零，通过公比的正负和大小，可以判断等比数列的增长趋势。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。
3. 总和公式：等比数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = a(1-r^n)/(1-r)。
等比数列在实际应用中也有广泛的应用，例如：1. 财务问题：等比数列可以用于计算复利问题，如银行利息、投资回报等。
2. 比例问题：等比数列可以用于描述比例关系，如物体的等比缩放、图形的相似性等。
高考数学中的等比数列与等差数列
高考数学中的等比数列与等差数列数列是数学中的重要概念，它是由一定规律排列的一串数所组成的序列。
当数列的规律是由一个公式或者一个固定的增量所决定时，就分别称为等比数列和等差数列。
在高考数学中，常常会涉及到等比数列和等差数列的题目。
本文将分别从概念、性质、公式和应用四个方面介绍这两种数列。
一、等比数列1. 概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比相等的数列。
比值称为公比，通常用字母q表示，第一项通常用a1表示。
其通项公式为an=a1×q^(n-1)。
2. 性质a) 公比q为0或q为1的等比数列是特殊的等比数列。
b) 等比数列有无限项。
c) 等比数列的公比为正，且不等于1。
d) 等比数列可以借助画图工具画出图形，形状为不断递减的曲线。
3. 公式等比数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
b) 通项公式：an=a1×q^(n-1)。
c) 通项公式与前一项的关系：an=aq^(n-1)。
4. 应用等比数列的应用非常广泛，可以在许多实际问题中发挥重要作用。
例如，在金融领域的利率计算和复利计算中，都需要用到等比数列的概念和公式。
此外，等比数列还可以用来分析种群数量的规律、电路电信号的衰减规律等等。
二、等差数列1. 概念等差数列又称为等差数列，它是指一个数列中，每相邻两项之差相等的数列。
差值称为公差，通常用字母d表示。
首项用a1表示，其通项公式为an=a1+(n-1)×d。
2. 性质a) 前n项和Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。
b) 一个等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。
c) 等差数列的公差为正、负或零。
d) 等差数列可以借助画图工具画出图形，形状为一条直线。
3. 公式等差数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。
b) 第n项公式：an=a1+(n-1)d。
c) 前一项与通项的关系：a(n-1)+d=an。
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用等差数列和等比数列是高考数学中经常出现的重要题型，它们的性质运用是高考数学中的难点之一、本文将详细介绍等差数列和等比数列的性质，并针对其常见的应用题进行解析，为大家突破这一难点提供一定的帮助。
1.等差数列的性质及应用（1）首项与公差：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项为：an = a₁ + (n-1)·d（2）前n项和：设等差数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn = n/2·(a₁ + an) = n/2·(2a₁ + (n-1)·d)（3）性质应用1：已知等差数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：a₁=(2Sn)/n-d（4）性质应用2：已知等差数列的前n项和Sn，求公差d：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：d=[2Sn-n·(2a₁+n·d)]/(n-1)2.等比数列的性质及应用（1）首项与公比：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项为：an = a₁ · r^(n-1)（2）前n项和：设等比数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)（3）性质应用1：已知等比数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：a₁=Sn·(r-1)/(r^n-1)（4）性质应用2：已知等比数列的前n项和Sn，求公比r：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：r=(Sn·(r-1))^(1/n)在解答等差数列和等比数列的应用题时，需要根据题目所给条件进行计算，灵活运用上述性质及公式。
初中数学点知识归纳数列的等差和等比性质和应用
初中数学点知识归纳数列的等差和等比性质和应用数列是数学中一个非常重要的概念，在初中数学的学习中经常会遇到。
而其中最常见且重要的两种数列就是等差数列和等比数列。
在本文中，我们将归纳总结这两种数列的性质，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指一个数列中后一项与前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。
其中，an表示第n项。
1. 等差数列的性质（1）首项与公差确定了一个等差数列，即任意一个等差数列都可以由它的首项和公差唯一确定。
（2）等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = n * (a + an) / 2。
（3）等差中项的个数为n的数列的和为Sn = (n+1) * a/2。
2. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在时间、距离和速度的计算中。
例如，一个物体从静止开始做匀加速直线运动，其速度等差数列，时间为等差数列。
我们可以通过等差数列的概念和公式来计算物体在不同时间下的速度、位移等信息。
二、等比数列等比数列是指一个数列中后一项与前一项之比都相等的数列。
通常用字母a表示首项，r表示公比。
等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)。
其中，an表示第n项。
1. 等比数列的性质（1）首项与公比确定了一个等比数列，即任意一个等比数列都可以由它的首项和公比唯一确定。
（2）等比数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
（3）等比数列的无穷项和S∞可以通过求和公式得到，即S∞ = a /(1 - r)。
其中，r的绝对值小于1时等比数列的和才存在。
2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中的应用也非常广泛，特别是在人口增长、财富增长、利润增长等方面。
例如，一个城市的人口增长率为1.1，而起始人口为10000人。
我们可以通过等比数列的概念和公式来计算在不同年份下该城市的人口数量。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。
公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。
2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。
3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。
例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。
此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。
等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。
公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。
3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。
在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。
在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。
它们不仅具有一些特殊的性质，而且在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两种数列形式。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，则该数列为等差数列。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列的公差表示了每一项与它的前一项之间的差值。
公差为正数时，数列递增；公差为负数时，数列递减。
公差值的大小决定了数列项之间的间隔。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常常见，例如计算等差数列的累计收入、人口增长等。
来表示时间的流逝、距离的增长、数学函数中的连续变化等。
通过等差数列，我们可以更好地分析和预测某些变化规律，进而指导实际问题的解决。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，则该数列为等比数列。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列的公比表示了每一项与它的前一项之间的比值。
公比大于1时，数列递增；公比在0和1之间时，数列递减。
公比的大小决定了数列项之间的倍数关系。
2. 通项公式：等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常重要，例如计算等比数列的总利润、物质累积等。
用来表示指数增长、利润的倍增、生物种群的繁衍等。
数列的等差与等比性质及其应用
数列的等差与等比性质及其应用在数学的广袤领域中，数列如同璀璨的星辰，闪耀着智慧的光芒。
其中，等差数列和等比数列是两种极为重要的数列类型，它们具有独特的性质，并且在实际生活和学术研究中有着广泛而多样的应用。
让我们先来认识一下等差数列。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数被称为公差，通常用字母“d”表示。
比如说，数列 2，5，8，11，14……就是一个公差为 3 的等差数列。
等差数列有许多重要的性质。
其中之一是通项公式：an ＝ a1 ＋（n 1)d，这里的 an 表示第 n 项的值，a1 是首项。
通过这个公式，只要知道首项、公差和项数，就能轻松求出任意一项的值。
另一个重要性质是前 n 项和公式：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
这两个公式在解决与等差数列求和相关的问题时非常实用。
等差数列在实际生活中的应用十分广泛。
比如，在薪资计算中，如果员工的工资每年按照固定的金额增长，那么就可以用等差数列来计算其在一定年限内的总收入。
假设一个员工第一年的工资是 5 万元，每年固定增长 1 万元，那么在第 5 年，他的工资就是 5 ＋（5 1)×1 ＝9 万元。
如果要计算他前 5 年的总收入，就可以使用前 n 项和公式：S5 ＝ 5×（5 ＋ 9) ／ 2 ＝ 35 万元。
再来说说等比数列。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
这个常数被称为公比，通常用字母“q”表示。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个公比为 2 的等比数列。
等比数列的通项公式为 an ＝ a1×q^（n 1) 。
前 n 项和公式则分为两种情况，当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q)；当 q ＝ 1 时，Sn ＝na1 。
等比数列在金融领域有着重要的应用。
2010高考数学复习知识清单数列
2010高考数学复习知识清单——数列概念知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定顺序排列的数所组成的。
在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。
它们有着独特的性质和广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的性质进行介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等差数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1+(n-1)d中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来计算。
这个公式是通过求前n项和的巧妙方法，可以避免逐项相加的麻烦。
等差数列的应用非常广泛。
例如，在数学中，等差数列可以用来描述等分数列、算术平均数等概念。
在物理学中，通过等差数列可以描述匀速直线运动的位移、速度等参数。
在经济学中，等差数列可以用来描述递增或递减的趋势，分析经济指标的变化规律。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列中相邻两项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公比大于1时，数列递增；当公比小于1时，数列递减；当公比等于1时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等比数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1*r^(n-1)中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
高中数学高考知识点名师讲义(24)--等差、等比数列的性质及应用
等差、等比数列的性质及应用一、教学目标：：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 二、教学重点：等差（比）数列的性质的应用．三、教学过程：（一）主要知识： (一)等差数列的性质()()nm a a d d n m a a nm n m --=-+=,1()qp m n m qp a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中(){}{}{}{}{}.,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。
(5)等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2d 。
(6)若等差数列的项数为2n ，则有1,+==-n na a S S nd S S 偶奇奇偶。
（7）等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n n -=+=，11-+=n n S S 偶奇。
（8）{}n a 为等差数列，()n n a n S 1212-=-。
（9）通项公式是a n =An+B ()0≠A 是一次函数的形式；前n 项和公式()02≠+=A Bn An S n 是不含常数项的二次函数的形式。
（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1） （10）若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+01n n a a 来确定n 。
若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 来确定。
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难点12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.●难点磁场(★★★★★)等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________.●案例探究［例1］已知函数f (x )=412-x (x <－2).(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解：(1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y+,即y =f－-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n =341-n .(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立.［例2］设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值.解法一：设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得.设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大.而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大.解法二：接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5.5.由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大.●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( )32B. 32A.-C.2D.－2二、填空题2.(★★★★)已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________.3.(★★★★)等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.(★★★★)已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________.三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.6.(★★★★★)已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim.7.(★★★★)设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 10.8.(★★★★★){a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *)(1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列. 参考答案难点磁场解法一：将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得： ① ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+1002)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二：由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(dm -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210.解法三：由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）.将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四：S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md )=S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d .由解法一知d =240m ,代入得S 3m =210.解法五：根据等差数列性质知：S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有：2(S 2m －S m )=S m +(S 3m－S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法六：∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴n S n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , n S n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m , m S m 22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210.解法七：令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案：210 歼灭难点训练一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1, ∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21.∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案：B二、2.解析：解出a 、b ,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8)3.解析：利用S 奇/S 偶=nn 1+得解.答案：第11项a 11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2. 答案：2三、5.(1)解：依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5.5＜k ＜7.因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，因此，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .所以有：2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0,∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2d n d d d d n d --∴<----= 最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d 24)＜6.5.从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大.点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a da a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1.(2)T n =C 1nb 1+C2nb 2+…+Cn nb n =C1n(2·30－1)+C2n·(2·31－1)+…+Cn n(2·3n－1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 7.解：∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32,得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=41.由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =－855.由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8.证明：(1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2,故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0,∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1. (2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+.21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数-+∴-=-=-=---=+-+-=+∴+++k k k k k k k k k x d d d a a d a d a x x d a x。