中考数学总复亮点汇编---三角形专题

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中考三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.⒉ 三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形21D C B A D CB A （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.5 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.图3 图4图5图6图7 图8三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

中考数学总复亮点汇编--三角形专题

点滴学堂整理1. （14.00 分微）【信搜20索18关安注【徽初省中中网考课数学习学】】公如众图号，1，获R取t△更多AB资C料中，∠ACB＝90°，点 D 为边 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E．点 M 为 BD 中点，CM 的延长线交 AB（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF 的大小；（3）如图 2，若△DAE≌△CEM，点N 为CM 的中点，求证：AN∥EM．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出∠CME 即可解决问题；（3）首先证明△ADE 是等腰直角三角形，△DEM 是等边三角形，设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出＝，＝，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：如图 1 中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠DCB＝90°，∵DM＝MB，∴CM＝DB，EM＝DB，∴CM＝EM．第1 页（共114 页）（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，∴∠ADE=40°，∠CDE=140°，∵CM=DM=ME，∴∠NCD=∠MDC，∠MDE=∠MED，∴∠CME=360°﹣2×140°=80°，∴∠EMF=180°﹣∠CME=100°．（3）证明：如图 2 中，设FM=a．∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=ED=EM=CM=DM，∠AED=∠CME=90°∴△ADE 是等腰直角三角形，△DEM 是等边三角形，∴∠DEM=60°，∠MEF=30°，∴AE=CM=EM= a，EF=2a，∵CN=NM，∴MN= a，∴=，=，∴=，∴EM∥AN．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2.（4.00 分）【2018 福建省中考数学a 卷】把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D 在同一直线上．若AB=，则CD= ﹣第2 页（共114 页）1 ．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A 作AF⊥BC 于F，在Rt△ABC 中，∠B=45°，∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF== 点滴学堂整理∴CD=BF+DF﹣BC=1+ ﹣2= ﹣1，。

2025年中考数学总复习+微专题7 全等三角形之六大模型++++课件

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【解析】(1)∵△ADB与△ADF关于直线AD对称,∴AB=AF,∠BAD=∠FAD,
∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAD+∠FAE=∠DAE=45°,∠BAD+∠CAE=∠CAB-∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠CAE,
在△AEF与△AEC中,
=
∠ = ∠ ,
=
∠AOB的平分线,请说明此做法的理由;
拓展实践:(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口A,
现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路
灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等,试问路灯应该安装在哪个位置?请用
4.(2024·淄博沂源县二模 ) 如图 , 点E 在△ABC的外部,点 D 在BC 上,DE 交 AC 于点
F,∠1=∠2=∠3,AB=AD.
求证:△ABC≌△ADE.
14
【证明】∵∠1=∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF,∠C=180°-∠3-∠DFC,∠E=180°-∠2-∠AFE,
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
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(2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
∴△AED为等边三角形,
∴AE=AD=ED=4,
过A点作AF⊥ED于F,

∴EF= ED=2,

∴AF= − = − =2 ,

∴S△AED= ED·AF= ×4×2

=4 .
∴AP= AM,
∴AB+AN= AM.

2025年中考数学考点分类专题归纳之三角形

2025年中考数学考点分类专题归纳三角形知识点一、三角形的有关概念和性质1．三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边．2．三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3．三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．备注：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外．（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．备注：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形．（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．备注：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心． 4．三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．知识点二、三角形的内角和与外角和1．三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1．直角三角形的两个锐角互余2．有两个角互余的三角形是直角三角形2．三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°．知识点三、全等三角形的判定与性质知识点四、全等三角形的证明思路 SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边知识点五、全等三角形证明方法运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．可以适当总结证明方法．1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等．(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等．(3) 等式性质．2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明．(2) 证明两个角所在的两个三角形全等．(3) 利用角平分线的判定进行证明．(4) 同角（等角）的余角（补角）相等．(5) 对顶角相等．3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明．4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形．5．证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件．（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件．（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质．知识点六、线段垂直平分线与角平分线1．线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．角平分线的性质（1）角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．3、与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段．知识点七、等腰三角形1．等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．2．等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．知识点八、勾股定理及勾股定理的逆定理1．勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方．（即：222a b c +=）2．勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段．3．勾股定理的逆定理（1）原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．（2）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：①首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；②验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形．4．勾股数满足222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形．常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41．如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形．观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1．较小的直角边为连续奇数；2．较长的直角边与对应斜边相差1．3．假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立．（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）知识点九、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．1．（2024贵州贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG2．顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的（）A．重心B．外心C．内心D．中心3．已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（）A．4 B．6 C．8 D．104．(2024湖南长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm5．（2024湖北黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（）A．75°B．80°C．85°D．90°6．（2024广西防城港）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD 等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．（2024贵州黔西南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙8．（2024山东东营）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④9．(2024山东临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（）A．B．2 C．2D．10．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．5 B．C．4 D．11．(2024黑龙江大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB ＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°12．（2024湖北黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°13．(2024浙江湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°14．（2024福建A卷）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2024山东淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．D．816．(2024湖北黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．217．（2024陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．2C．D．318．（2024四川泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．319．(2024湖南长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米20．（2024湖北荆州）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°21．(2024四川攀枝花)如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°22．（2024内蒙古包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°23．（2024江苏苏州）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）A．3 B．4 C．2D．324．(2024四川绵阳)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝_______．25．（2024甘肃白银）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝___．26．（2024江苏泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为___．27．（2024四川巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝_____．28．（2024湖南永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝_____．29．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝______．30．（2024浙江金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_______．31．（2024浙江衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_______（只需写一个，不添加辅助线）．32．（2024广东深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB ＝4，则阴影部分的面积是___．33．如图，AC＝BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD＝BE．你所添加的条件是_______________．34．（2024湖南永州）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有___种．35．（2024山东德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为___．36．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是____．37．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝___．38．（2024四川南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE ＝19°，则∠C＝____度．39．(2024贵州遵义)如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为____度．40．（2024天津，17，3分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．41．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝____°．42．（2024湖北荆州，15，3分）为了比较1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得1___．（填“＞”或“＜”或“＝”）43．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝_______．44．( 2024云南，6，3分)在△ABC中，AB，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．45．（2024山东东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B．C．D．46．（2024广西贺州，18，3分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE＝8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为________．47．（2024云南曲靖，11，3分）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是____．48．（2024江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为_________（用含α的式子表示）．49．(2024福建A卷，15，4分)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB，则CD＝_______．50．(2024湖北宜昌，18，7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．51．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．（1）求证：点F为AB的中点；（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．52．（2024江苏镇江，22，6分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝____°．53．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB．54．（2024江苏南通，22，8分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？。

中考数学三角形专题复习

中考数学三角形专题复习三角形是初中数学几何部分的基础，初中数学大部分数学题的答案都需要用到三角形的相关知识点上。

平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆形的学习与三角形密切相关。

所以，要学好初中几何，必须熟练掌握和运用三角形的相关知识点和题型。

在中考数学中三角形的考点一般会涉及到以下内容：1.三角形的分类、角关系和性质。

2.三角形中的几条重要线段及其性质。

(角平分线、中心线、高线、垂直平分线、中心线)3、全等三角形的判定和性质。

全等三角形的判定和性质是三角形部分的重点内容，一般三角形常用的有四种判定定理，直角三角形还需加上HL定理。

除了需要掌握基本的性质、判定、定理之外，全等三角形常用模型也必须要熟悉，像手拉手模型和一线三等角模型，在考试中出现的频率比较高。

4、等腰三角形。

等腰三角形的学习需要从定义、性质、判断三个方面进行学习和掌握。

等腰三角形的三线合一性质是考试必考的。

另外，等腰三角形一定要有分类讨论的意识，比如在一些关于等腰三角形的几何综合题中，经常要用到分类讨论的思想。

5、等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质，且三边都相等，三角都为60°，在考试中经常会考到其性质。

6.直角三角形。

学习直角三角形需要掌握几个知识点，比如直角三角形的性质、直角三角形的判定以及初中几何中最重要的定理勾股定理。

直角三角形的所有性质定理和判断都要熟练掌握。

比如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理，考试中经常考，但是很容易被学生忽略。

除此之外还需掌握两中特殊的三角形（含有45度的直角三角形和含有30度的直角三角形）的性质，在解题中经常需要运用到这两种三角形的性质，像经常直接用在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半这条性质计算直角三角形的边长。

7.相似的三角形。

相似三角形的性质及其判断是学习的重点。

相似三角形、全等三角形和锐角三角形函数作为三角形的三大工具，广泛应用于角度计算、边长计算和角关系证明中。

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点学霸炼技法

坡度(坡
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八

解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；

中考数学考总复习考点14 三角形及其全等

考点14 三角形及其全等一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；学科-网（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2cm B．3cmC．12cm D．15cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 如图，下列有四个说法，正确的个数是①∠B ＞∠ACD ；②∠B +∠ACB =180°–∠A ；③∠A +∠B =∠ACD ；④∠HEC ＞∠ B ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①∠B <∠ACD ，故①错误； ②∠B +∠ACB =180°–∠A ，故②正确； ③∠A +∠B =∠ACD ，故③正确；④∠HEC =∠AED ＞∠ACD ＞∠B ，则∠HEC ＞∠B ，故④正确．故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B典例4 如图，点G 为△ABC 的重心，则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是A ．1∶2∶3B ．2∶1∶2C ．1∶1∶1D ．无法确定【答案】C【解析】如图，分别延长AG 、CG 、BG ，交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ，根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得，ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==，即可得ABG ACG S S ∆∆=，同理可得ABG BCG S S ∆∆=，所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=，即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1，故选C ．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD【答案】D【解析】A．∵∠A=∠C，∠ADB=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CDB（AAS），故正确；B．∵AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SAS），故正确；C．∵∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（ASA），故正确；D．∵AB=CD，BD=DB，∠ADB=∠CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正确，故选D．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．如图所示，其中三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC__________的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线5．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是A．∠DAE=∠CBE B．△DEA不全等于△CEBC．CE=DE D．△EAB是等腰三角形7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图所示，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.(1)若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等的理由是__________；(2)若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF全等的理由是__________；(3)若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF全等的理由是__________；(4)若AB=DE，AC=DF，则△ABC与△DEF全等的理由是__________.学-科网9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.求证：(1)∠ABD=∠FAD；(2)AB=2CE.10．如图，AB AC =，90BAC ∠=，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ，且BD CE >．求证：BD EC ED =+．11．如图，操场上有两根旗杆CA 与BD 之间相距12m ，小强同学从B 点沿BA 走向A ，一定时间后他到达M 点，此时他测得CM 和DM 的夹角为90°，且CM =DM ，已知旗杆AC 的高为3m ，小强同学行走的速度为0.5m/s ，则：（1）请你求出另一旗杆BD 的高度；（2）小强从M 点到达A 点还需要多长时间？1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是A．B．C．D．3．（2017•河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是A．中线B．角平分线C．高D．中位线4．（2018•百色）顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的A．重心B．外心C．内心D．中心5．（2018•毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是A．4 B．6C．8 D．106．（2018•贵阳市）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是A．线段DE B．线段BEC．线段EF D．线段FG7．（2018•昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为A．90°B．95°C．100°D．120°8．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于A．150°B．180°C．210°D．270°9．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于A．40°B．45°C．50°D．55°10．（2018•聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°–α–β11．（2018•黔西南州市）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙12．（2018•安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACDA．∠B=∠C B．AD=AEC．BD=CE D．BE=CD13．（2018•南京市）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥A D．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为A．a+c B．b+cC．a–b+c D．a+b–c14．（2018•辽阳市）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为A．5 B．24 5C．4 D．12 515．（2018•绵阳市）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=__________．16．（2018•泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为__________．17．（2018•陇南市）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a–7|+（b–1）2=0，c为奇数，则c=__________．18．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△ED C．19．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=A D．求证：△ABC≌△ADC．1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD22543-=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，变式拓展故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】D【解析】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】A【解析】∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】B【解析】∵∠1+∠C+∠ABC=∠2+∠D+∠DAB=180°，且∠1=∠2，∠C=∠D，∴∠ABC=∠DAB，∴∠ABC–∠2=∠DAB–∠1，∴∠DAE=∠CBE．故A正确；∵∠1=∠2，∴AE=BE.在△DEA和△CEB中DAE CBEC DAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEA≌△CEB（AAS），故B错误；由△DEA≌△CEB可得CE=DE．故C正确．∵∠1=∠2，∴BE=AE，∴△EAB是等腰三角形故D正确；故选B．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案是：135．8．【答案】ASA，AAS，SAS，HL【解析】(1)在△ABC和△DEF中，因为∠B=∠E=90°，AB=DE，∠A=∠D，所以△ABC≌△DEF(ASA)；(2)在△ABC和△DEF中，因为∠B=∠E=90°，∠A=∠D，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(AAS)；(3)在△ABC和△DEF中，因为AB=DE，∠B=∠E=90°，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(SAS)；(4)在Rt△ABC和Rt△DEF中，因为AC=DF，AB=DE，所以Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)．故答案为：ASA；AAS；SAS；HL.10．【解析】90BAC∠=，CE AE⊥，BD AE⊥，90ABD BAD∠∠∴+=，90BAD DAC∠∠+=，90ADB AEC∠∠==，ABD DAC∠∠∴=，在ABD和CAE中，ABD EACBDA EAB AC∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABD≌CAE（AAS），BD AE∴=，EC AD=，AE AD DE=+，∴BD=EC+ED．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM和△MBD中，1A BDCM MD∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB，∵AC=3m，∴MB=3m，∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m；（2）9÷0.5=18（s）．学_科网答：小强从M点到达A点还需要18秒．1．【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选C．2．【答案】A【解析】三角形具有稳定性．故选A．3．【答案】A【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．直通中考【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心，故选A．5．【答案】C【解析】设第三边长为x，则8–2<x<2+8，6<x<10，故选C．6．【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选B．7．【答案】B【解析】∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故选B．8．【答案】C【解析】如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°，故选C．9．【答案】C【解析】∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD=50°，故选C．10．【答案】A【解析】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选．【解析】乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等；在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等；不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．13．【答案】D【解析】∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠CED =90°，∠A +∠D =90°，∠C +∠D =90°，∴∠A =∠C ，∵AB =CD ，∴△ABF ≌△CDE ，∴AF =CE =a ，BF =DE =b ， ∵EF =c ，∴AD =AF +DF =a +（b –c ）=a +b –c ，故选D ． 14．【答案】B【解析】由题意可得，OC 为∠MON 的平分线， ∵OA =OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC ⊥AB ，设OC 与AB 交于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，∵AB =6，OA =5，AC =OA ，OC ⊥AB ，∴AC =5，∠ADC =90°，AD =3，∴CD =4，∵2AB CD ⋅=2AC BE ⋅，∴642⨯=52BE⨯，解得，BE =245，故选B ．155【解析】∵AD 、BE 为BC ，AC 边上的中线，∴BD =12BC =2，AE =12AC =32，点O 为△ABC 的重心，∴AO =2OD ，OB =2OE ， ∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=94，∴54BO 2+54AO 2=254，∴BO 2+AO 2=5，∴AB 22BO AO +5．16．【答案】5【解析】根据三角形的三边关系，得4<第三边<6．又第三条边长为整数，则第三边是5．故答案为：5．17．【答案】7【解析】∵a，b满足|a–7|+（b–1）2=0，∴a–7=0，b–1=0，解得a=7，b=1，∵7–1=6，7+1=8，∴6<c<8，又∵c为奇数，∴c=7，故答案是：7．18．【解析】∵在△ABC和△EDC中，A EAC ECACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABC≌△EDC（ASA）．19．【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，AB ADBAC DAC AC AC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABC≌△ADC．考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是 A ．35°B ．20°C ．35°或20°D ．无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C ．典例2 如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，在底边BC 上截取BD =AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.1．等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的腰长为A．3 cm B．6 cm C．3 cm或6 cm D．3 cm或9 cm考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，∠PAB的度数是A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于A．20°B．30°C．35°D．40°考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】①∵62+82=100=102，∴6、8、10是勾股数；②∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；③∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；④∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D．【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析．6．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A．12 cm B．10 cmC．8 cm D．6 cm1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于A．30°B．40°C．45°D．36°3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是A．3，4，5B．6，7，8C．12，25，27 D．23，25，424．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为A．8 B．4 C．12 D．65．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是A．a2+b2=c2 B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶56．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17 C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5 C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC 是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．2C．2D．211．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．12．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．13．如图，在△ABC 中，∠C =∠ABC ，BE ⊥AC ，垂足为点E ，△BDE 是等边三角形，若AD =4，则线段BE的长为__________．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．19．如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若BD=12CE，AB=9，求线段DF的长．21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD =62米．（1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A ．3，4，5 B ．2，3，4 C ．4，6，7D ．5，11，122．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 A ．5 B ．6 C ．7D ．83．（2018·湖州）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB =AC ，∠CAD =20°，则 ∠ACE 的度数是A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°4．（2018·宿迁）若实数m 、n 满足|2|40m n --=，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 A ．12B ．10C ．8D ．65．（2018·绥化）已知等腰三角形的一个外角为130︒，则它的顶角的度数为__________．6．（2018·青海）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到DEC △，连接AD ，若∠BAC =25°，则∠BAD =__________．7．（2018·甘孜州）直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD =7，AB =2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__________．8．（2018·桂林）如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________．9．（2018·襄阳）已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若CD =3，AD =1，AB =2AC ，则BC 的长为__________． 10．（2018·嘉兴）已知，在ABC △中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为点E F ，，且DE DF =．求证：ABC △是等边三角形．11．（2018·广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．1．【答案】B【解析】当3 cm 是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm ），此时能够组成三角形；当3 cm 是腰时，则底是15-3×2=9（cm ），此时3+3<9，不能组成三角形，应舍去，故选B ． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形， ∴9060150BAP BAD PAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵PA =AD ，AB =AD ，∴PA =AB ， ∴180150152ABP ︒-︒∠==︒，∴901575PBC ABC ABP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，同理：75PCB ∠=︒，∴180757530BPC ∠=︒-︒-︒=︒．故选B ． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP变式拓展为等边三角形．故答案为：5．5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】B【解析】如图，底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：12×2π×6π=6（cm），展开得：∵BC=8 cm，AC=6 cm，根据勾股定理得：AB=2268=10（cm），故选B．1．【答案】C【解析】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故选C．2．【答案】D【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．4．【答案】C【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=8+4=12，故选C．考点冲关5．【答案】D【解析】A．a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B．∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C．52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形．故选D．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=22AB BD-=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，。

中考数学总复习考点系统复习微专题五大常考全等三角形模型

CD
DE⊥DF
∠BDE＝∠ADF，∠ADE＝∠CDF (同角的余角相等)
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠DAC＝45°，BD＝AD. 又∵DE⊥DF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°. ∴∠BDE＝∠ADF. ∴△BDE≌△ADF(ASA)．
模型四组合型(平移＋折叠、平移＋旋转)
模型展示图形特点
共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合
针对训练 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是斜边BC上的高，点E为AB边上一点，连接ED，过点D作DF⊥DE交AC于点F. 求证：△BDE≌△ADF.
第3题图
【找一找】
已知
结论
∠B＝∠DAF＝∠C＝∠DAE＝45°，BD＝AD＝ ∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC
第5题图
已知 AD∥BC，∠ABC＝90°
CE⊥BD
结论 ∠ADB＝∠DBC，∠A＝90°
∠BEC＝∠A＝90°
证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝∠DBC，∠A＝∠ABC＝90°. ∵CE⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠A＝∠BEC＝90°. ∵BD＝BC， ∴△ABD≌△ECB(AAS)． ∴AD＝BE.
模型展示
图形特点
将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合或者绕该顶点旋转后
重合
针对训练
4. (2019西安爱知中学模拟)如图，D是AC上一点，AB＝AD，DE∥AB，∠B＝∠DAE. 求证：BC＝AE.
【找一找】
已知 AB∥DE
结论 ∠BAC＝∠ADE
第4题图
证明：∵DE∥AB，

中考重点三角形的性质与运用

中考重点三角形的性质与运用三角形是几何学中的重要概念，也是数学中常见的几何形状之一。

在中考中，三角形的性质与运用是一个重要的考点。

本文将介绍三角形的基本性质、特殊的三角形以及运用三角形性质解决问题的方法。

一、三角形的基本性质三角形是由三条线段组成的闭合图形。

在研究三角形的性质时，我们首先需要了解三角形的基本术语和基本性质。

1. 三角形的术语三角形有三个顶点（A、B、C）、三条边（AB、BC、CA）、三个内角（∠A、∠B、∠C）和三个角度（∠A、∠B、∠C）。

我们可以用∠A、∠B、∠C来表示三角形的三个内角，并用a、b、c来表示三角形的三个边长。

2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，三角形可以分为不同的类型：（1）根据边长的分类：等边三角形：三条边的边长相等；等腰三角形：两条边的边长相等；普通三角形：三条边的边长都不相等。

（2）根据角度的分类：锐角三角形：三个内角都小于90°；钝角三角形：有一个内角大于90°；直角三角形：有一个内角等于90°。

3. 三角形的角度和边长关系三角形的内角和为180°。

即∠A+∠B+∠C=180°。

二、特殊的三角形在三角形中，有一些特殊的三角形具有特殊的性质，这些三角形在中考中往往会出现。

下面介绍几种常见的特殊三角形。

1. 直角三角形直角三角形是指有一个内角等于90°的三角形。

在一个直角三角形中，两条边的平方和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²。

2. 等腰三角形等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在一个等腰三角形中，两个底角（底边所对的两个内角）相等。

3. 等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。

在一个等边三角形中，三个内角都是60°。

4. 30°-60°-90°三角形30°-60°-90°三角形是指一个内角为30°，另一个内角为60°的三角形。

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结一、三角形的定义和性质1.三角形是由三条边和三个内角组成的封闭图形。

2.三角形的内角和等于180度。

3.三条边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、三角形的分类1.根据角度分类：(1)锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。

(2)直角三角形：有一个内角为直角的三角形。

(3)钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。

2.根据边长分类：(1)等边三角形：三条边长度相等的三角形。

(2)等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。

(3)普通三角形：三条边长度都不相等的三角形。

三、三角形的重要性质1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。

2.三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其两个不相邻内角。

3.三角形的角平分线：三角形的内角平分线上的点到三条边的距离相等。

4.三角形的中线：三角形的中线连接相邻顶点的中点，长度相等。

5.三角形的高：三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

6.三角形的面积公式：S=1/2*底边长*高。

四、三角形的相似性质1.相似三角形的性质：(1)对应角相等：相似三角形的对应角相等。

(2)对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。

(3)边角对应：相似三角形的角与边成比例。

2.判定相似三角形的定理：(1)AA相似判定定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。

(2)SAS相似判定定理：如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比值相等，则它们相似。

(3)SSS相似判定定理：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们相似。

五、三角形的勾股定理1.勾股定理的形式：直角三角形中，较长的斜边的平方等于两直角边的平方和。

(1)a²=b²+c²(2)b²=a²-c²(3)c²=a²-b²2.利用勾股定理求三角形的边长：(1)已知直角边和斜边，可以求另一个直角边的长度。

(2)已知两个直角边的长度，可以求斜边的长度。

2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：《三角形》经典考点专题点评

《三角形》经典考点专题点评三角形在平面图形中是最简单也是最基本的图形，一切多边形都可以分成若干个三角形，三角形在我们生活中无处不在．从本专题开始，中学对几何的学习就正式开始了．7年级对三角形的学习主要包含等腰（边）三角形与三角形的全等．当然，我们也引入了一些直角三角形的知识点作为扩展内容．三角形的学习除了最基础的点（特殊点）、线（角度）、面（面积）以外，还要学习图形的平移、旋转和翻折，当然也需要掌握一些图形的构建方法．因此，学习好三角形能大幅提高我们对于基本图形的判断、复杂图形的分解与转化能力，以及辅助线的添加意识．本专题的编排顺序是由二次全等、中线倍长的证明引出，接着通过截长补短以及平移、旋转和翻折等其他常用方法和技巧来加深学生对三角形学习的理解．经典拉分题思维点评题1如图7－1所示，已知∠A＝90°，AB＝AC，M是AC的中点，A党⊥BM交BC于点党，交BM于点E．求证：∠AMB＝∠党MC．满分证明(1)如图7－2所示，作∠BAC的平分线AG交BM于点G．(2)由条件AB＝AC、∠BAG＝∠AC党＝45°、∠ABG＝∠CA党，可证得△BGA≌△A党C，从而得到AG＝C党．(3)由条件AG＝C党、AM＝CM，∠MAG＝∠MC党＝45°，可证得△AMG≌△CM 党．(4)因此∠AMB＝∠党MC．技巧贴士本题要求证的是两个角相等，一般采用证明两角所在的两个三角形全等的方法．从图中观察到∠AMB与∠党MC所在的两个三角形△AME与△CM党显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM—CM．结合本条件，加上结论，全等三角形条件有两个，因此我们想到通过添加辅助线，构造两个全等三角形△AMG、△CM党，从而得到∠AMB ＝∠党MC．题2如图7－3所示，已知在△ABC中，AB＝AC，延长AB至党使B党＝AB，E为AB 中点．求证：C党＝2EC．满分证明(1)如图7－4所示，延长CE至F使CE＝EF，再连接BF．(2)易证△ACE≌△BFE，从而可得AC＝BF、∠CAE＝∠FBE．(3)由∠CB党＝∠CAE＋∠ACB、∠CBF＝∠FBE＋∠ABC，可得∠CB党＝∠CBF．(4)由条件B党＝AB＝AC＝BF，BC＝BC，易证△CBF≌△CB党．(5)因此C党＝CF＝2EC．技巧贴士本题还可用三角形中位线定理解答（三角形中位线是指连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半）．取AC的中点G，连接EG、BG，由AB＝AC，E、G分别为AB、AC中点，得出BE＝CG，从而△BEC≌△CGB．故CE＝BG．由中位线定理可知BG＝12C党，所以CE＝12C党．题3如图7－5所示，已知在△ABC外作正方形AB党E和ACGF，M是BC的中点．求证：AM＝12 EF．满分解答(1)如图7－6所示，延长AM至N，使MN＝AM，连接BN．(2)易证△ACM≌△NBM，从而可得∠ACB＝∠NBC．(3)由∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，可得∠ABC＋∠NBC＋∠BAC＝180°，即∠ABN＋∠BAC＝180°．(4)再由∠EAF＋∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝360°，得到∠EAF＋∠BAC＝180°，即∠ABN＝∠EAF．(5)结合条件EA＝AB，BN＝CA＝AF，易证△ABN≌△EAF．(6)因此EF＝AN＝2AM，即AM＝12 EF．技巧贴士已知条件中出现了中点以及AM＝12EF形式，这暗示了可使用“中线倍长”的方法．通过将中线AM延长一倍后，证明AN＝EF，找到AN、EF所在的△ABN、△EAF，证明两个三角形全等即可．思维点评二次全等，就是通过两次三角形全等，解决题目中涉及的角度、线段间的关系．7年级学习了全等三角形，自然全等三角形是一种手段与工具．它能用于证明角、边的等量关系，因此证明边、角相等，往往就是证明边、角所在三角形全等．所以，对于角、边的关系，一定要将其置于某个载体，如两个全等三角形中，此外，解决二次全等往往使用逆推的思路，在题1贴士中所构造的△AMG≌△CM党所缺少的条件是AG＝C党，通过△BGA≌△A党C来提供．中线倍长，是初中数学几何中常见的一种添加辅助线的方法．若题目出现中点、中线，要求证或出现“A＝2B”，一般延长一倍的中线．如图7－7所示，通过△ACM≌△BNM，从而实现“A＝2B”．题4如图7－8所示，在△ABC中，AB＝AC，B党为边AC上的高，P为线段BC边上的动点（且不与B、C两点重合），过P点分别作AB、AC边上的垂线且与AB、AC分别交于M、N两点，求证：B党＝PM＋PN．满分证明(1)如图7－9所示，在NP的延长线上截取PE＝PM，连接BE．(2)由条件PE＝PM、∠MPB＝∠EPB（在．Rt△BMP与Rt△PNC中，由于∠MBP＝∠C，因此∠MPB＝∠NPC．又∠BPE与∠NPC为对顶角，因此∠MPB＝∠EPB)，BP＝BP，易证△BPM≌△BPE，从而可得∠BEP＝90°．(3)因此四边形BEN党为矩形，可得EN＝B党．(4)由EN＝EP＋PN得B党＝PM＋PN．技巧贴士本题是运用“补短法”，把所要求的B党＝PM＋PN中的PM“补”到PN所在的直线上，接着，只需证明四边形BEN党为矩形，结合已有的两个直角，只需证明一个∠BEP ＝90°，从而便有证明△BPM≌△BPE(本分析思路仍为逆向思维，可见在证明几何问题中，逆向思维出现较多)．当然，本题还可用“截长法”（详见本专题[思维点评]）和“面积法”来做，“面积法”思路如下：连接AP，由于△ABC为等腰三角形，再运用S△ABC＝S△ABP ＋S△APC，即可得证．题5如图7－10所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，顶角∠A＝100°，∠B的平分线BE 交AC于E，求证：BC＝AE＋EB．满分证明(1)如图7－11所示，在BC上取B党＝BE，BF＝AB．(2)由条件AB＝BF、BE＝BE、∠ABE＝∠EBC＝20°，易证△ABE≌△FBE．(3)因此∠BFE＝100°'故∠BEF＝60°，∠EF党＝80°．(4)又由于B党＝BE，可得∠BE党＝∠B党E＝80°，∠FE党＝∠BE党－∠BEF＝20°，故∠EF党＝∠E党F，EF＝E党．(5)由于∠党EC＝180°－∠BEA－∠BE党＝40°＝∠C，所以E党＝C党，即C党＝EF＝AE．(6)由BC＝B党＋C党，B党＝EB，得BC＝AE＋EB．技巧贴士本题运用“截长法”，把最长的BC截取题中所要求的其中一段，如B党＝BE．至于BF＝AB的出现则在于从∠B的角平分线得到启示，看到角平分线，往往意味着三角形翻折，△ABF≌△FBE也可认为两三角形翻折（相等会为全等提供可能性），并且出现等腰三角形往往还意味着存在等量代换．题6如图7－12所示，在正方形ABC党中，点E在党C的延长线上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，求证：党E－BF＝EF．满分证明(1)如图7－13所示，在党C上截取党G，使得党G＝BF，连接AG．(2)由四边形ABC党是正方形，可得∠A党G＝∠ABF＝90°，A党＝AB．(3)又由于党G＝BF，可得△A党G≌△ABF，故∠GA党＝∠FAB，AG＝AF．(4)∠党AB＝90°＝∠党AG＋∠GAB＝∠BAF＋∠GAB＝∠GAF，即∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝45°，∠GAE＝∠FAE＝45°．(5)又因为AG＝AF、AE＝AE，故△EAG≌△EAF，即得EF＝EG＝E党－G党＝党E －BF．技巧贴士本题运用“截长法”，在党C上截取党G＝BF，可得△A党G≌△ABF．而在有正方形的题目中看到∠EAF，即使∠EAF≠45°，也要反应出存在一对含该角度∠EAF的全等三角形，即题中的△EAG≌△EAF．思维点评一般问题中出现“A＝B＋C”，且B、C不在同一直线上的形式，就可以考虑“截长补短”，即把不同的线段通过辅助线联系起来，最终得到所要求的等量关系．事实上，“截长补短”意味着两种方法：一是“截长”（在A上截取B或C），二是“补短”（在B上延长C得A或在C上延长B得A）．这两种方法在三角形中基本上是互补的，截长补短不适用的情况主要在圆中才有体现（详见9年级与“圆”相关的专题）．还有以下几点在证明三角形全等中需要特别注意．(1)三角形中，大量存在“等量代换”的技巧，即使没有告诉我们“A＝B”．(2)即使只告诉一般的三角形，通过辅助线，通过角、边的关系，中间往往会存在大量等腰三角形、等边三角形（这里隐含了“一般与特殊”的思想方法，通常联系等腰三角形、等边三角形，一般三角形的情况比较少）．(3)相等会为全等提供可能性：只要出现“A＝B”，A和B都属于某个三角形，通过各种方式证明A和B所在的两个三角形全等就可以解决部分问题．再对题4的“截长法”做如下简述：在B党上截取线段BF，使BF＝PM，可证得△BPF≌△PBM，从而得到BF＝PM，PF⊥B党，即可求得四边形PF党N为矩形，得到PN ＝党F，即可得证．题7如图7－14所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，党、E为AB上两点，且∠党CE＝45°，求证：A党2＋BE2＝党E2．满分证明(1)如图7－15所示，将△A党C绕C旋转到如图位置，则△CA党≌△CBF．(2)由∠A＝∠ABC＝45°，可得∠EBF＝∠ABC＋∠CBF＝∠ABC＋∠A＝90°，故△BEF为直角三角形，且BF＝A党．(3)又因∠AC党＋∠ECB＝45°，且∠AC党＝∠FCB，故∠ECB＋∠FCB＝∠FCE＝45°＝∠党CE．(4)由党C＝CF，CE＝CE，可得△C党E≌△CFE，党E＝FE，即BE2＋A党2＝党E2．技巧贴士勾股定理及其逆定理：在△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2（a、b为直角边，c为斜边）．根据本题结论，通过等量代换，要将A党、BE、党E置于一个直角三角形中．先由BC＝AC这一信息，想到若将△A党C进行旋转，即可得到两对全等的三角形，同时也构建出了一个直角三角形，从而通过三角形的全等，可将所求边转化到同一直角三角形中，从而得到结论．题8如图7－16所示，P为等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．满分解答(1)如图7－17所示，过B作∠P'BP＝60°，BP'＝BP，连接P'P、AP'．(2)由于么P'BP＝60°，BP'＝BP＝4，可得P'P＝4，∠P'PB＝60°．(3)又因△P'BA≌△PCA，得PC＝AP'＝5，且AP2＋P'P2＝AP'2，故∠APP'＝90°．(4)即得∠APB＝∠P'PB＋∠APP'＝150°．技巧贴士本题的考点在于3、4、5这三条边长．熟悉直角三角形性质的同学不难发现，若三角形的三边长存在3：4：5的关系时，此三角形便是一个直角三角形．同样常见的例子还有5：12：13等．因此，只要发现这类边长中存在的特殊比例关系，我们便能通过之前所学习过的三角形“平移”、“旋转”、“翻折”的一系列变化方法，得到我们所需要的答案．题9如图7－18所示，在四边形ABC党中，B党平分∠ABC．党P⊥BC于点P，AB＋BC ＝2BP．求证：∠BA党＋∠C＝180°．满分证明(1)如图7－19所示，过点党作党E⊥BA交BA延长线于点E．(2)由于B党平分∠ABC，故党E＝党P（角平分线定理），可得Rt△BE党≌Rt△BP 党，故BE＝BP．(3)由于AB＋BC＝2BP，得到AB＋BP＋PC＝BP＋BE，所以AB＋PC＝BE，即得PC ＝BE－AB＝AE．(4)又由于党E＝党P，∠党EA＝∠党PC＝90°，且AE＝CP，可得△党EA≌△党PC，得到∠EA党＝∠C．(5)由于∠BA党＋∠EA党＝180°，即得∠BA党＋∠C＝180°．技巧贴士在看到角平分线时，要想到角平分线上任一点到两边的垂直距离相等（角平分线定理）．本题往往还会以另一种形式出现：已知B党平分∠ABC，党P上BC于点P，∠BA 党＋∠C＝180°，求证AB＋BC＝2BP，解题思路类似．思维点评旋转是图形的基本运动，是初中数学几何中比较常见的解题技巧．在一些特殊的几何图形（如等边三角形、正方形等）中经常出现，我们往往将这些图形中的某一部分旋转一定角度，为正确地解决问题提供可能．旋转的关键在于等量“A＝B”，A边所在的三角形固定不变，将B边所在的三角形进行旋转，使A、B重合形成一个新的图形．并且，旋转点往往还有一个特殊情况：旋转点是三条、四条线段的交点．比如题7中的C点(C点有四条线段经过，故其他几点不作考虑)；题9中的党点(党点有四条线段经过，故其他几点不作考虑)；至于题8的旋转点，可以为点A或点B，旋转的最终情况就是如上情况，如果旋转到右半侧（以点C或点B为旋转点），解答方式类似．。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形

中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。

它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。

一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。

（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。

例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。

2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。

3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。

二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。

3、直角三角形的两个锐角互余。

(中考考点梳理)三角形-中考数学总复习知识点梳理(全国通用)

专题12 三角形1、三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

(2)三角形的分类①按边之间的关系分：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。

②按角分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

(3)三角形的三边之间的关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

(4) 三角形的高、中线、角平分线角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

(5) 三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

(6)三角形的角①三角形的内角和等于180°。

推论：直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的外角和等于360°。

(7)三角形的面积三角形的面积=21×底×高 2、特殊三角形(1)等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

中考复习初中数学中的三角形知识点

中考复习初中数学中的三角形知识点三角形是初中数学中一个重要的几何形状，对于中考来说，掌握三角形的相关知识点是非常重要的。

在本文中，我们将从三角形的定义、分类、性质以及相关定理等方面，对中考复习中的三角形知识点进行整理和总结。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的闭合图形，这三条线段称为三角形的边，而将边两两相接的交点称为三角形的顶点。

根据三角形的边长的关系，三角形可以分为以下几种特殊情况：1. 等边三角形：三条边的长度相等的三角形称为等边三角形。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形称为等腰三角形。

3. 直角三角形：其中一个角度为90°的三角形称为直角三角形。

4. 钝角三角形：有一个角度大于90°的三角形称为钝角三角形。

5. 锐角三角形：没有角度大于90°的三角形称为锐角三角形。

二、三角形的性质1. 角度性质：a) 三角形的内角和为180°。

即三个内角度数的和等于180°。

b) 直角三角形中，一直角（90°）与一个锐角的和等于180°。

c) 三角形的三个内角必有一个大于90°。

2. 边长性质：a) 三角形的任意两边之和大于第三边。

即对于三角形的三边a、b、c来说，有a+b>c，a+c>b，b+c>a。

b) 三角形两边之差小于第三边。

即对于三角形的三边a、b、c来说，有|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。

三、三角形的相关定理1. 直角三角形的性质：a) 勾股定理：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则成立a²+b²=c²。

b) 斜边上的中线等于直角边的一半。

即对于直角三角形的斜边c来说，斜边上的中线等于直角边的一半。

2. 等腰三角形的性质：a) 顶角定理：等腰三角形的底边上的两个角度相等。

b) 底边上的中线等于底边的一半。

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