三视图求体积面积
利用三视图求几何体的表面积与体积
圆锥的表面积：S圆锥 r(rl)
圆台的表面积： S(r 2 r '2 r l r 'l) 圆台
球的表面积：
S 4R2 球
柱体的体积：V Sh
柱
锥体的体积： V 1Sh
锥3
台体的体积：V1(S S'SS')h
台3
球的体积：
4R3
V
球
3
例1.已知一几何体的三视图如下图，试求其表面积与 体积.
1
1
长对正 高平齐 宽相等
正视图
侧视图
俯视图
（２）所求多面体的体积
V V 长 方 体 V 三 棱 锥 4 4 6 1 3 1 2 2 2 2 2 8 3 4 c m 3
长对正 高平齐 宽相等
练习
一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列 几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左） 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为：
1
主视图
侧视图
2
2 236cm2, 3cm3
俯视图
直观图
长对正 高平齐 宽相等
练习 长对正 高平齐 宽相等
已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），
根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积
A 是() Leabharlann m3 ．1A.8
B.8 2
3
3 2
C.12
D.12 2
3
2 主视图
侧视图
2
俯视图
练习
如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何
三视图求体积面积
设计师工作单位鉴定评语作为设计师工作单位的鉴定评语，旨在客观评价设计师工作单位的综合实力，包括设计团队的专业水平、创意能力、项目管理能力、行业影响力等方面。
下面是一份关于设计师工作单位鉴定评语的示范，供参考：一、整体评价（1）设计师工作单位示范性强，具备行业领导力，始终站在行业的前沿，形成了一支高效协同的设计团队。
（2）设计师工作单位拥有很强的综合实力，凭借其扎实的专业技术和创新能力，在行业中树立了良好的口碑。
（3）设计师工作单位具备较强的项目管理能力，能有效组织和协调各个环节，确保项目高质量、高效率地完成。
（4）设计师工作单位在行业内具有较高的影响力和知名度，承接了一系列重要设计项目，为行业发展做出了积极贡献。
二、团队实力评价（1）设计师工作单位的设计团队实力雄厚，拥有一批高素质、高水平的设计师，他们具备丰富的设计经验和创意能力。
（2）设计师工作单位的设计团队有着较强的专业素养和发现问题解决问题的能力，能从多个角度出发，给出独到的解决方案。
（3）设计师工作单位的设计团队注重学习和创新，不断追求卓越，积极遵循最新设计思潮，提供具有前瞻性的设计作品。
（4）设计师工作单位的设计团队具备良好的团队协作意识和沟通能力，能够充分发挥各自的专业特长，形成协同合作的效果。
三、创意能力评价（1）设计师工作单位的创意能力突出，作品独具匠心，独特的设计理念和独创的设计手法得到了广泛认可。
（2）设计师工作单位善于发现需求，通过深入的用户研究和洞察，创造出满足用户期待的创新设计解决方案。
（3）设计师工作单位在设计过程中注重功能性和美感的结合，既追求实用性，又追求艺术性，使作品更具观赏性和体验价值。
（4）设计师工作单位的创意作品在行业内产生了积极的影响，具有一定的艺术性和商业价值，为客户带来了实际效益。
四、项目管理评价（1）设计师工作单位具备高效的项目管理能力，熟悉设计项目的全过程，能够合理安排资源，科学组织工作流程。
（2）设计师工作单位能够准确把握项目需求，在限定的时间内高质量地完成项目，得到了客户的充分认可和赞赏。
高中数学讲义：三视图——几何体的体积问题
三视图——⼏何体的体积问题一、基础知识：1、常见几何体的体积公式：（:S 底面积，:h 高）（1）柱体：V S h=×（2）锥体：13V S h =×（3）台体：(1213V S S h =++×，其中1S 为上底面面积，2S 为下底面面积（4）球：343V R p =2、求几何体体积要注意的几点（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地。
对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。
（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分。
然后再寻找相关要素（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等。
二、典型例题：例1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一半圆锥+ 三棱锥），所以12V V V =+圆锥棱锥，锥体的高计算可得h =（利用正视图），底面积半圆的半径为6，三角形底边为12，高为6（俯视图看出），所以1126362S =××=三角形，2636S p p =×=圆，则13V S h =×=三角形棱锥，13V S h =××=圆圆锥，所以12V V =+=+圆锥棱锥答案：+例2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 .思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以()1424122S =×+×=底，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即4h =，所以1163V S h =×=底答案：16例3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均为4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长为2（正视图得到），所以2112416V S h =×=×=，另一个四棱柱底面为梯形，上下底分别为2,6，所以()2126282S =+×=，228432V S h =×=×=。
三视图与几何体的体积与面积交汇题型解析与训练
积为 ２ ＋
詈 ： ×÷ ＝ ，为，体 是 ； Ｉ 竹 （） 詈高 １ 积 詈当 ｓ 则
俯视 图是 Ｃ时 ， 几何 体是直 三棱 柱 ， 该 故体 积是
目
．
１
其它要素 ， 单凭 观察与判断是得不 出结论 的 ， 解析 ： 该几何体是 由二个长方体组 成 ， 下 面体积为 １ ３× × ３＝９ 上面的长方体体积为 ３ ，
Ｘ３ＸＩ＝９ 因此其 几何 体 的体 积 为 ｌ ｍ ． ， ８ｃ
题 型 三 由几 何 体 的体 积 或 面 积及 三 视
解法 １ 由题意可知当俯视图是 Ａ时 ， ： 即每 个视 图是边长为 ｌ的正方形 ， 那么此几何体是
３×（ ×２×０ ）＝３ 答案 ： ３
ｎ＝
｜｜ 爸
Ｑ 潜 ４ ｜
・
３・
三角形（ 如图２所示）腰长为 ｌ求该 四棱锥的 ， ，
体积． 解析： 由于 正视 图 （ 主视 图）和侧 视 图 （ 左 视 图）为两个 全 等 的等 腰 直 角 三 角形 ， 可 知 则 四棱锥 底 面 为 正 方 形 ， 四个 侧 面 为 正 三 角 形 ，
・
２ 四棱锥 的底面边长为￣ ， ， ／ 高为 ， 以体积 ２ 所
Ｊ
（ ） 耵＋ √ Ｂ ４ ２３
（ ）４Ｔ＋ Ｄ １
ｊ
１已知 一个 四棱 锥 的正视 图 （ 视 图 ）和 ． ・ 主
侧视图（ 左视 图）为两个完全相同的等腰直角
分析： 由几何体 的三视图可知 ： 空间几 该 何体为一圆柱 和一正四棱锥组成 的． 解： 圆柱 的底 面半 径为 １ 高为 ２ 体 积为 ， 。
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
由三视图求面积、体积-高中数学知识点讲解
由三视图求面积、体积1．由三视图求面积、体积【知识点的认识】1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．2．三视图的画图规则：（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．3．常见空间几何体表面积、体积公式圆柱：푆圆柱=2휋푟(푟+푙)（1）表面积公式：{圆锥：푆圆锥=휋푟(푟+푙)圆台：푆圆台=휋(푟2+푟′2+푟푙+푟′푙) 球：푆球=4휋푟2柱体：푉柱=푆ℎ1锥体：푉锥=푆ℎ（2）体积公式：{台体：푉台=(푆+푆푆′+푆′)ℎ33球：푉球=4휋푟31/ 3【解题思路点拨】1．解题步骤：（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）（2）选对应公式（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）（4）代公式计算2．求面积、体积常用思想方法：（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8﹣2πB.8﹣πC.8 ―휋2D.8 ―휋41分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入4正方体与圆柱的体积公式计算．1解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，4正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2，∴几何体的体积V＝23﹣2 ×14×π×12×2＝8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．。
由三视图确定几何体的面积或体积
2
HOMEWORK PRACTICE
练一练
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型，并计算表面积或
体积。
2、经历探索简单的几何体活动，培养动手实践能力，发展学生逆向思维能力。
02
练一练
根据物体的三视图描述物体的形状.
02
练一练
1．如图，是由一些棱长为1cm的小正方体构成的立体图形的三种视图，那么
3.在水平面内得到的由左向右观察物体
的视图，叫做左视图。
俯视图
左
视
图
01
三视图知识点回顾
将三个投影面展开在一个平面内，
得到这个物体的一张三视图.
主视图
高
投影规则：
主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等
长
左视图和俯视图的宽要相等。
宽
宽
即:主视图和俯视图的长要相等
主视图和左视图的高要相等
左视图
俯视图
01
01
三视图知识点回顾
我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，
其中正对着我们的叫正面，正面下方的叫水平面，右边的叫做侧面.
对于一个物体（例如一个正方体）在三
个投影面内进行正投影，
1.在正面内得到的由前向后观察物体的
视图，叫主视图。
主视图
正面
2.在水平面内得到的由上向下观察物
体的视图，叫做俯视图。
定制作每个密封罐所需钢板的面积 (图中尺寸单位：mm).
100mm
50mm
50mm
由展开图可知，密封罐由两个正六边形和6个正方形组成。
01
利用三视图计算实物面积
人教版九年级数学下册第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积
2. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体
的A侧.18面cm积2 是（ A ）
B.20cm2
C. 18 6
3 4
10 2
2
cm
D. 18
75 2
3
解析：由三视图可得,几何体是三棱柱，几何体的侧面积 是三个矩形的面积和,矩形的长为3cm，宽为2cm,∴侧面 积为3×3×2=18cm2.
=
300
240
1 2
=36000（cm2
)
S侧面面积= 300 200=60000（cm2 )
S帐篷表面积=36000 +60000 =96000（cm2）
课堂小结
由三视图确定几何体的表面积或体积，一般步骤为： ① 想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状； ② 定形：综合确定几何体（或实物原型）的形状； ③ 展开图：画出展开图，求展开面积。
由三视图描述实物形状，画出物体表面展开图
由三视图确定几何体的表面积或是体积， 首先要确定该几何体的形状。
1.根据下列几何体的三视图，画出它们的展开图。
（1）
（2）
（3）
典例解析
例1 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封
罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所
需钢板的面积．
50
100 50
第3课时 由三视图确定几何体的 表面积或体积
R·九年级下册
复习导入
由三视图描述几何体(或实物原型),一般先根据各视图想象从 各个方向看到的几何体形状, 然后综合起来确定几何体(或实物原 型)的形状, 再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系, 确定轮廓线的位置,以及各个方向的尺寸.
课题：由三视图求几何体的表面积和体积 (2)
课题：由三视图求几何体的表面积和体积【学习目标】1．了解立体图形展开图的概念．2．会利用三视图计算立体图形的侧面积和表面积．【学习重点】利用三视图想象立体图形．【学习难点】画出立体图形的展开图并进行有关计算．情景导入生成问题旧知回顾：1．长宽高分别是5，4，3的长方体表面积为94．2．半径为5的球体的表面积为100π．自学互研生成能力知识模块一根据三视图求几何体的表面积【自主探究】长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是(C)A．52B．32C．24D．9【合作探究】教材P99例5：归纳：①由三视图还原出几何体；②按题目要求求出侧面积、底面积和全面积．知识模块二根据三视图求物体的体积【自主探究】如图所示是某几何体的三视图．(1)指出该几何体的名称；(2)求出该几何体侧面展开图的面积；(3)求出该几何体的体积．解：(1)六棱柱；(2)48cm2；(3)243cm3.【合作探究】如图是某几何体的展开图．(1)这个几何体的名称是；(2)画出这个几何体的三视图；(3)求出这个几何体的体积．(π取3.14)解：(1)圆柱；(2)三视图为：(3)体积为V＝πr2h＝3.14×52×20＝1570.交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 根据三视图求几何体的表面积知识模块二 根据三视图求物体的体积检测反馈 达成目标【当堂检测】1．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为24．2．如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸(单位：cm )，求该几何体的表面积．解：该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm ，底面三角形的高为3cm ，则底面边长为2，故S 底面面积＝12×2×3＝3(cm 2)，S 侧面面积＝2×3×3＝18(cm 2)，故这个几何体的表面积S ＝2S 底面面积＋S 侧面面积＝23＋18(cm 2)．【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
专题 由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积和体积一、方法与技巧二、常见几何体1．（2016•益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．24【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．2．（2016•凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选B3．（2016•衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．4．（2016•广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3故选A5．（2016•江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．6．（2016•安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．7．（2016•杭州模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．8．（2016•呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B9．（2016•广东模拟）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．（2016•延边州模拟）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C． D．4【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．11．（2016•江西校级一模）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．12．（2016•太原二模）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．13．（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．14．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．15．（2016•岳阳二模）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．16．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．17．（2016•榆林一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．18．（2016•揭阳一模）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是48．【解答】解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=××（2+6）×6×6=48，故答案为：48．三、常见几何体的组合体19．（2016•佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．20．（2016•乐山模拟）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选B．四、常见几何体的切割体21．（2016•茂名一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．22．（2016•威海一模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．【解答】解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．23．（2016•张掖校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为26【解答】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．∴几何体的体积V==26．故答案为：26．24．（2016•商洛模拟）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体是正方体削去一个角，体积为1﹣=1﹣=．故选：D．25．（2016•银川校级一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为54+18．【解答】解：由三视图可知正方体边长为6，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：∴被截去的几何体的表面积S=+×（6）2=54+18．故答案为54+18．26．（2016•哈尔滨校级二模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【解答】解：根据已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：该几何是由一个以俯视图为底面的四棱锥，切去两个棱锥所得的组合体，四棱柱的体积为：×（2+4）×4×4=48，四棱锥F﹣EHIJ的体积为：×（2+4）×4×2=8，中棱锥F﹣HGJ的体积为：=，故组合体的体积V=，故答案为：4．（2011•北京模拟）已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．5.5 C．5 D．4.5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积可以做出，高是3，做出截去得到三棱锥的体积，长方体的体积也可以做出．【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积是×1×1=，高是3，∴截去得到三棱锥的体积是2××=1，长方体的体积是3×2×1=6∴几何体的体积是6﹣1=5故选C．。
知识卡片-由三视图确定几何体的体积和面积
由三视图确定几何体的体积和面积能量储备先根据三种视图想象物体的形状，再把所想象的物体的三种视图画出来，如果所想象的物体的三种视图与已知的三种视图完全一致，就说明想象出的物体形状是正确的。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解决此类问题的方法是先根据三种视图的主要轮廓线推测几何体的具体形状，再根据几何体的相关性质对问题进行求解例1：如图5221所示是一个包装盒的三种视图，则这个包装盒的体积是( ) A ．1 000π cm 3 B ．1 500π cm 3C ．2 000π cm 3D ．4 000π cm 3解析：根据三种视图不难判断出包装盒是圆柱，并且圆柱的高为20cm ，底面直径为20cm ，根据圆柱的体积公式求解即可。
圆柱的底面积为π·(202)2＝100π(cm 2)， 则圆柱的体积为100π×20＝2 000π(cm 3)。
答案：C ,例2：一个长方体的三视图如图539所示，则这个长方体的体积为( )A ．30B ．15C ．45D ．20解析：观察图形可知，该长方体的长为3，宽为2，高为5，故此长方体的体积为3×2×5＝30.答案：A★★易混易误点易混易误点: 确定几何体形状例：在工地上，工人师傅用小推车运送砂浆，已知小推车(如图4215所示)车厢的主视图和左视图如图4216所示，请你算一算，这辆小推车一趟能运多少体积的砂浆？解：梯形面积为(100＋50)÷2×40＝3 000(cm²)，3000×50＝150000(cm³)＝0.15（m³）答：这辆小推车一趟能运0.15 m³的砂浆.分析：根据题图中的数据及实物图，可以把小车车厢看作是前侧面(注意标注的方向)与后侧面都是梯形(上底长100 cm、下底长50 cm、高40 cm)、高为50 cm的四棱柱.蓄势待发考前攻略三视图的计算常与侧面展开图、面积、体积等内容联系起来，一般是根据视图所提供的数据计算原几何体的体积或面积．完胜关卡。
三视图体积面积计算教师版
..高一直观图三视图及体积面积计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D【解析】试题分析：左视图是指从几何体的左边看几何体的投影，如图A的投影为D,E的投影为G,B的投影为C,线段AF的投影为DF,故选D．考点：三视图2．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台【答案】C【解析】试题分析：该几何体的主视图和俯视图都为矩形，左视图为三角形，可以得到该几何体是一个横着放的三棱柱。
考点：三视图的还原图3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【答案】D【解析】试题分析：由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C，如果俯图是D，正视图和侧视图不可能相同．故选D．考点：三视图．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2＋．2＋【答案】B【解析】试题分析：根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．考点：平面图形的直观图5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）试卷第2页，总20页..【答案】A 【解析】试题分析：根据斜二测画法知， 平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的12，∵O ′C ′=1，O ′A ′，∴OC=O ′C ′=1，OA=2O ′A ′= 由此得出原来的图形是A ． 考点：斜二测画法6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．1+．2+．1+．【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面PAC ⊥平面ABC，PA PC PD AC ==⊥,且1PD =，BA BA ==，所以112AB CAP S S ∆∆===，PAB ∆与PBC ∆，所以1sin 6022PAB PBC S S ∆∆==︒=，故该三棱锥的表面各为12222⨯+⨯=+B ．试卷第4页，总20页AC考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】试题分析：设正方体棱长为1，由题意得，剩余几何体为一个正方体被一个平面截去一个角，其截去体积为211111326⨯⨯⨯=，因此剩余部分体积为15166-=，比值为15，选D ．考点：三视图，三棱锥体积8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．..考点：1．三视图；2．空间几何体的体积计算．9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8π D． 【答案】C 【解析】何体的外接球的表面积248S r ππ== ，故答案为：C ．考点：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 【答案】D试卷第6页，总20页【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为21111236ππ⨯⨯⨯⨯=，故选D ． 考点：空间几何体的三视图．11． 三棱锥S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，在三棱锥S ABC 中，SC平面ABC ，AB=BC=4，SC=4，所以．故选A ．考点：三视图的应用． 12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 （ ）ABD【答案】A 【解析】试题分析：：∵边长为1=∴侧视图的底边长为故所求的面积为：12S ==考点：三视图13．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）..A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥．所以()112422432V ⎡⎤=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．故B 正确．考点：三视图． 14．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是（ ）A 、13BD【答案】D【解析】试题分析：由三视图可得四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为h =，且底面积111S =⨯=，所以11133V Sh ==⨯=，故选D ． 考点：三视图．15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 【答案】A试卷第8页，总20页【解析】试题分析：该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为21241822s ππ=⨯-⨯=-，所以体积为3242V sh π==-考点：三视图与棱柱体积16．一个体积为A ．36B ．8C ．38D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：设棱柱的高为h，由左视图可知，底面的正三角形高为角形的边长为4，所以底面积为142⨯⨯=以有13h ⨯=3h =，可得左视图的面积为3=，故选择A考点：三视图17．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．31cm B ．32cm C ．33cm D ．36cm 【答案】A 【解析】试题分析：该三棱锥的体积是313212131cm V =⨯⨯⨯⨯=． 考点：三视图18．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （ ）..A ．34B ．4C ．324D ．334【答案】C【解析】=2的正方形，故体积为21233⨯=选C ． 考点：三视图19．如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）（A ）403 （B ）323 （C ）163 （D ）283【答案】A【解析】试题分析：由三视图得到其直观图（上图所示），则体积为1140[(14)4]4323⨯+⨯⨯=，故选A .考点：三视图.试卷第10页，总20页20．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积1004)3421(31636=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，答案选B ． 考点：空间几何体的三视图与体积21．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h =( )AC．．【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为5和6的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有1563V h =⋅⋅⋅=，解得h =选B ．考点：根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量． 22．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是.A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 【答案】A【解析】试题分析：此几何体是正方体挖了一个圆锥，所以体积ππ32821312222-=⨯⨯-⨯⨯=V ．考点：1．三视图；2．几何体的体积．23．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中N MFE DCB A①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④ 【答案】C 【解析】试题分析：把展开图还原为正方体，由图可知：①BM 与ED 是异面直线，所以错误；②CN 与BE 是平行直线，所以错误； ③连接图中AN ，AC 知三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 夹角为︒60，所以CN 与BM 所成角也为︒60，正确；④因为CN 与AF 垂直，所以DM 与BN 是异面直线．考点：线面位置关系、空间想象能力、异面直线所成的角． 24．（2014•未央区二模）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．二、填空题25．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是．【答案】【解析】试题分析：根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．解：∵三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，直角边分别为2，4，∴面积为=4，故答案为：．.点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则，灵活应用其中的数量关系．．26．三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于．【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于12133创?．2考点：三视图27．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．1【答案】6【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面三角形是等腰三角形，底边为1，高为1，棱锥的高为1，因此体积为61 考点：三视图及棱锥体积28．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m【答案】4 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面积63421=⨯⨯=S ，高2=h ，因此体积431==Sh V ，故答案为4. 考点：几何体的体积.29．如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是__ ___cm 2，体积为_ __ cm 3．【答案】14+ 【解析】试题分析：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，2354AB BC DB CD ====，，，，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，∴几何体的表面积是.34325124141112222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+其体积：1113424332S CBD AB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故答案为：14+． 考点：空间几何体的三视图．30．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．【解析】试题分析：该多面体为一个三棱锥ABCD,如图，其中12AB BC CD BD AD ===，，考点：三视图31．某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.【答案】2 【解析】试题分析：三棱锥左视图为三角形，由三棱锥的主视图可知：三棱锥的高为2，所以左视图的高为2，三棱锥的俯视图宽为为2，所以左视图三角形的底面边长为2 所以左视图的面积22221=⨯⨯=s ，所以选A 考点： 三视图32．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．【答案】34【解析】由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中，底面是边长为3与4的矩形，且⊥1VC 平面1111D C B A ，31=VC ，由图形，可知1VA 最长，在11C VA Rt ∆中，344332221=++=VA .11B 1考点：三视图.33．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .正(主)视图俯视图侧(左)视图.【答案】()21533+ 【解析】试题分析：由条件知原几何体是正六棱锥，底面是边长为1的正六边形，侧棱长为2，h ==，一个侧面面积为1112S =⨯=，∴表面积01(11sin 60)662S =⨯⨯⨯⨯+=.考点：三视图.34．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；【答案】251π【解析】试题分析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，<br />其表面为S=25142322)23()23(422ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯ 故答案为：251π.考点：由三视图求面积、体积.三、解答题35．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ，N 分别是 AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积．【解析】试题分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，90CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．36．如图，某多面体的直观图及三视图如图所示： E,F 分别为PC,BD 的中点.（1）求证：PAD EF 平面// （2）求证：PAD PDC 平面平面⊥ （3）求此多面体的体积【答案】（1）四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ,且ABCD PAD 平面平面⊥.连结AC ，则F 是AC 的中点。
三视图与体积、表面积(例、练及答案)
专题十三：三视图与体积、表面积（例、练及答案）1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．C ．D ．8练习一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．44．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）1111ABCD A B C D E 1AA 1B E D 、、2367276A ．B ．C ．D ．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）)21+π21⎫+π⎪⎪⎝⎭122⎫+π⎪⎪⎝⎭12⎫π⎪⎪⎝⎭34π32π17π172π32π16π36π72πA ．B ．C ．D ．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）6+8+6+8+a b ()520,02a b a b +=>>174π214π4π5πP ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =12131415A ．15B ．16C ．D ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A ．B ．C ．12D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．B ．7C ．D ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．5035339438320322323314．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．参考答案1．【答案】【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为，∴表面积为．2．【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。
根据三视图求几何体的表面积和体积
想象
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
根据三视图求几何体的表面 积和体积
学习目标
• 1、能想象出几何体的展开图 •描述实物形状，画出物体表面展开图
由三视图描述实物形状，画出物体表面展开图
练习
根据几何体的三视图画出它的表面展开图：
实 物
展 开 图
展
开
实
图
物
实 物
展 开 图
C
2.一个机器零件的三视图如图所示(单位:cm)，这个机器零件 是一个什么样的立体图形？它的表面积是多少？
15
15
10 主视图
12 左视图
10 俯视图
圆柱的表面积： S圆柱 2r22π rh
柱体的体积： V柱S底h
S 圆锥的表面积： 圆锥 r2 r母 l
锥体的体积：
V锥
1 3S底h
C A
例6 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封 罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐 所需钢板的面积．
50
50
100
100
解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱．
密封罐的高为50mm，店面正六边形的直径为 100mm，边长为50mm，图是它的展开图． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积 为
高考数学 高频考点归类分析 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算(真题为例)
典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B 。
【考点】由三视图判断几何体。
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3。
因此此几何体的体积为：11633932V =⨯⨯⨯⨯=。
故选B 。
例2. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】 A. 2865+ B. 3065+ C. 56125+ D. 60125+【答案】 B 。
【考点】三棱锥的三视图问题。
【解析】如下图所示。
图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。
利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：()1S =234=102⋅+⋅底，()()()22111S =234=10S =45=10S =25415=65222⋅+⋅⋅⋅⋅⋅-后左右，，这里有两个直角三角形，一个等腰三角形。
∴该三梭锥的表面积是3065+。
故选B 。
例3. （2012年广东省理5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，几何体的直观图如图所示。
圆锥的高221534PO 几何体的体积1=9594573V V V 圆柱圆锥。
故选C 。
例4. （2012年广东省文5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4， 则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=半球体圆锥。
空间几何体三视图、表面积及体积
面积，h为高)；
4 3 (7)球的表面积和体积公式：S＝4πR ，V＝ πR (R为球的半径)． 3
2
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必记知识 重要结论
1．一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在 正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽 度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．
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类型一
三视图与直观图的辨识和画法
[ 例1]
某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图 )
不可能是(
(基本法) 从正视图和侧视图想像直观图，再检验答案． 若下部分是圆柱，上部分可以是圆柱或者棱柱，A、B、C适合题意， 若是D答案，其正视图应为(如右图)中间有虚线．
2 1 3 到的，根据三视图可知其表面积为6 2 － ×1×1 ＋2× ×( 2 4
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2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则对角线长为 a2＋b2＋c2 (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 3a＝2R. (3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA ＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为 一个球内接长方体(或其他图)．
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利用三视图求表面积和体积
练习 长对正 高平齐 宽相等
若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体 的体积是
若某空间几何体的
三视图如图所示，
2
2
则该几何体的体积是
1
1.如图所示，三棱锥P ABC的侧棱的长度 均为1，且侧棱间的夹角均为40o , 动点M在棱 PB上移动，动点N在棱PC上移动，求 AM MN NA的最小值.
D' G
F
E D
A
6
C' 2
B'
4
2 2
C
4
B
正视图
侧视图
长对正 高平齐 宽相等
正视图
侧视图
俯视图
（２）所求多面体的体积
V
V长方体
V三棱锥
446
1 3
1 2
2
2
2
284 3
cm3
长对正 高平齐 宽相等
练习
一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列 几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左） 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为：
2.如图，圆柱OO1的地面半径为2，高为4，点
P为母线B
B1的中点，A
OB
2
，试问一只
蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到P点的最小距离.
1
A.8
B.8 2
3
3 2
C.12
D.12 2
3
2 主视图
侧视图
2
俯视图
练习
如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何
利用三视图求几何体的表面积和体积
6
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由三视图求几何体的体积和表面积的思路
1、由三视图确定几何体的形状 （1）由俯视图确定几何体的底面 （2）根据正视图或侧视图确定几何体侧棱与侧面特征，调整 实线和虚线所对应的棱、面的位置 （3）确定几何体直观图形状 2、由题目中的数据进行代入公式求解
布置作业：
《优化设计》p22-基础巩固3,4,6,7 P24例2，变式训练2， P25-基础巩固7,9
积等于
.
解析:该几何体如图所示，挖去的圆锥的母线长为
62 22 2 10
则圆锥的侧面积等于 4 10 圆柱的侧面积为2π×2×6=24π,圆柱的一个底面面 积为 22 4 ,所以组合体的表面积
为 4 10 24 4 4 10 28 .
答案: 4 10 28
题型二：三视图有关的体积计算
1 3Байду номын сангаас
(S
SS' S')h
题型一：三视图有关面积计算
例1.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )
A.72 B.66 C.60 D.30
解析:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为
直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,
如图所示,所以表面积为
2
温故知新
1、三视图
画三视图的三大原则
正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽
温故知新
面积
圆柱的表面积：S圆柱 2r(r l) 圆锥的表面积：S圆锥 r(r l) 圆台的表面积：S圆台 (r 2 r'2 rl r'l)
体积
柱体的体积：V柱 Sh
锥体的体积：V锥
1 Sh 3
台体的体积：V台