2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)

法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G
∵AB是⊙O的切线， ∠CAG＝∠ACG， 又∵OC⊥CG，AD⊥OB， ∴CG∥AD.
∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.
[悟一法] (1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角
有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来
综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的 一个条件． (2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的 弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形
[研一题]
[例3] 如图，梯形ABCD内接于
⊙O，DC∥AB，AB＝ACD· EC. 分析：本题考查弦切角定理，圆内接四边形、相似三 角形等知识的综合应用，解答本题可转化为证明△EAD∽ △ECA.
证明：AE切⊙O于点A， ∴∠EAC＝∠B(弦切角定理)， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC，又∵DC∥AB， ∴四边形ABCE是平形四边形，∴∠E＝∠B. ∵梯形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠E， ∴AD＝AE. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACE， 又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EAC， ∴EA2＝ED· EC， ∴AD2＝ED· EC.
所以∠DCE＝∠CBE.
所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
法二：连接AC、BE，在DC延长线上取一点F. 因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF. 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
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解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角， 但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是 弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
或全等三角形，从而证得线段相等．
[通一类] 2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆 周上一点(异于A、B)，过C作圆O 的切线l，过A作直线l的垂线AD， 垂足为D，AD交半圆于点E.求证：
CB＝CE.
证明：法一：连接BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点， 所以∠AEB＝90°， 即BE⊥AD. 又因为AD⊥l，所以BE∥l. 所以∠DCE＝∠CEB. 因为直线l是圆O的切线，
[读教材·填要点] 1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆 相交 ，另一边和圆 相切 的角叫
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
[通一类] 1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是 ⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有 哪几个弦切角？
解：弦切角分三类：如题图：
(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部． 即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.
[研一题] [例2] 已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE， ∴ ＝ CE . AC
又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于 度数的一半，
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
E，试写出图中所有的弦切角． 分析：本题考查弦切角的定义．解答本 题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依
据定义作出判断．
解：由弦切角的定义可知， ∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．
[悟一法]
[悟一法]
充分利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行 四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有 关问题的桥梁，证明三角形相似是解决此类问题的有效
途径．
[通一类] 3．AB是圆O的直径，过A、B作两弦AC和BD相交于E，求 证：AB2＝AE· AC＋BE· BD. 证明：如图，AB是圆的直径． AC与BD相交于E，作EF⊥AB，F为垂足．
∴∠DAC＝∠CAB.
法二： 如图， 延长 BO 交⊙O 于 E， 连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
∴∠EFB＝90°.
连接BC，则∠ECB＝90°， ∴E、F、B、C四点共圆．
∴AE· AC＝AF· AB.①
同理A、D、E、F四点共圆． ∴BE· BD＝BF· AB.②
将①、②两式相加得
AF· AB＋BF· AB＝AE· AC＋BE· BD＝AB2.
弦切角定理在几何证明中有广泛的应用，高考中 常与三角形相似、圆的切线等问题结合考查.2012年辽 宁高考以解答题的形式将弦切角定理与相似三角形的 判定及应用相结合考查，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.