2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(十六) 函数与导数的综合问题含解析

合集下载

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十六数学归纳法理

________．
解析：1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个
区域；3 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；…；n 条直线最多可将平面分
nn＋1 n2＋n＋2 成 1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋ 2 ＝ 2 个区域．
n2＋n＋2 答案：f(n)＝ 2
第四个有 3 种方法，或第一个有 4 种方法，第二个有 3 种方法，第三个与第一个不相同有 2 种方法，第四
个有 2 种方法，可得 f(4)＝36＋48＝84. (2)证明：当 n≥4 时，首先，对于第 1 个扇形 a1，有 4 种不同的染法，由于第 2 个扇
形 a2 的颜色与 a1 的颜色不同，所以，对于 a2 有 3 种不同的染法，类似地，对扇形 a3，…，an－1 均有 3 种染法．对于扇形 an，用与 an－1 不同的 3 种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形 a1 颜色相同的情况，而扇形 a1 与扇形 an 颜色相同的不同染色方法数就是 f(n－1)，于是可得 f(n)＝4×3n－1－f(n－1)．
因为a1＝b，所以 b＋r ＝b，解得 r＝－1.
(2)证明：当 b＝2 时，由(1)知 an＝2n－1，因此 bn＝2n(n∈N*)，
2＋1 4＋1
2n＋1
故所证不等式为 2 · 4 ·…· 2n ＞ n＋1.
用数学归纳法证明如下：
3 ①当 n＝1 时，左式＝2，右式＝ 2，
左式＞右式，所以不等式成立．
②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，
2＋1 4＋1
2k＋1
即 2 · 4 ·…· 2k ＞ k＋1，
则当 n＝k＋1 时，
2＋1 4＋1

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六函

课时跟踪检测（十六）函数与导数的综合问题1．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a ∈R 且a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数．解：(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x ＞0)，当a ＜0时，f ′(x )＞0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，由f ′(x )＝ax －1ax 2＞0，得x ＞1a，由f ′(x )＝ax －1ax 2＜0，得0＜x ＜1a， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数，等价于方程(ln x －1)e x＋x ＝m 的根的个数．令h (x )＝(ln x －1)e x＋x ，则h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0.∴1x ＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x －1e x＋1≥0＋1＞0，∴h (x )＝(ln x －1)e x＋x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，∴h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e 1e ＋1e ，h (x )max ＝h (e)＝e. ∴当m ＜－2e 1e＋1e 或 m ＞e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有一个零点． 2．已知函数f (x )＝x e x. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在实数a 使得对于任意的x 1，x 2∈(a ，＋∞)，且x 1＜x 2，恒有f x 2－f ax 2－a＞f x 1－f ax 1－a成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝x e x，所以f ′(x )＝(x ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)，f (x )有极小值f (－1)＝－1e，无极大值．(2)存在满足题意的实数a .理由如下：令g (x )＝f x －f a x －a ＝x e x －a e ax －a(x ＞a )，则f x 2－f a x 2－a ＞f x 1－f a x 1－a等价于g (x )在(a ，＋∞)上单调递增．又g ′(x )＝x 2－ax －ax ＋a eax －a2，记h (x )＝(x 2－ax －a )e x＋a e a，则h ′(x )＝[x 2＋(2－a )x －2a ]e x ＝(x ＋2)·(x －a )e x，故当a ≥－2，且x ＞a 时，h ′(x )＞0，h (x )在(a ，＋∞)上单调递增．故h (x )＞h (a )＝0，从而g ′(x )＞0，g (x )在(a ，＋∞)上单调递增，满足题意；另一方面，当a ＜－2，且a ＜x ＜－2时，h ′(x )＜0，h (x )在(a ，－2)上单调递减．故h (x )＜h (a )＝0，从而g ′(x )＜0，g (x )在(a ，－2)上单调递减，不满足题意．所以a 的取值范围为[－2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝e x＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝0处的导数值为0. (1)求实数a 的值；(2)若f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，(ⅰ)求实数b 的取值范围； (ⅱ)证明：x 1＋x 2＜0.解：(1)因为f ′(x )＝e x ＋a ，所以f ′(0)＝e 0＋a ＝1＋a ，又f ′(0)＝0，所以a ＝－1.(2)(ⅰ)因为f (x )＝e x －x ＋b ，所以f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，也是最小值，且f (0)＝1＋b . 因为f (x )有两个零点x 1，x 2，所以f (0)＝1＋b ＜0，所以b ＜－1，即实数b 的取值范围是(－∞，－1)． (ⅱ)证明：因为f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，所以e x 1－x 1＋b ＝0 ①，e x2－x 2＋b ＝0 ②，由②－①得e x 2－e x 1＝x 2－x 1，即e x 1 (e x 2－x1－1)＝x 2－x 1. 令x 2－x 1＝t ，t ＞0，则e x 1 (e t－1)＝t ，所以e x1＝te t －1，e x2＝t e te t －1.要证x 1＋x 2＜0，只需证e x 1e x2＜1，即证t e t －1·t e te t －1＜1，即证t 2e t＜(e t －1)2，即证t 2e t －(e t )2＋2e t－1＜0. 令m (t )＝t 2e t－(e t )2＋2e t－1，则m ′(t )＝e t (t 2＋2t ＋2－2e t)．令n (t )＝t 2＋2t ＋2－2e t ，则n ′(t )＝2t ＋2－2e t.设φ(t )＝2t ＋2－2e t，则当t ＞0时，φ′(t )＝2－2e t＜0，所以当t ＞0时，φ(t )单调递减，因为φ(0)＝0，所以当t ＞0时，φ(t )＜0，则n ′(t )＜0，所以当t ＞0时，n (t )单调递减，又n (0)＝0，所以当t ＞0时，n (t )＜0，则m ′(t )＜0，所以当t ＞0时，m (t )单调递减，因为m (0)＝0，所以当t ＞0时，m (t )＜0. 综上可知，原式得证．4．若对任意实数k ，b 都有函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，则称函数f (x )为“恒切函数”，设函数g (x )＝a e x－x －pa ，a ，p ∈R.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)已知函数g (x )为“恒切函数”． ①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数h (x )＝g (x )e x－m 为“恒切函数”，求证：0≤m ＜316.(参考数据：e 3≈20) 解：(1)g ′(x )＝a e x－1，当a ≤0时，g ′(x )＜0恒成立，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞－ln a ；由g ′(x )＜0，得x ＜－ln a ，所以函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，函数g (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，函数g (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若函数f (x )为“恒切函数”，则函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＋k ＝k 且f (x 0)＋kx 0＋b ＝kx 0＋b ，即f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝0.因为函数g (x )为“恒切函数”，所以存在x 0，使得g ′(x 0)＝0，g (x 0)＝0，即⎩⎨⎧a e 0x －x 0－pa ＝0，a e 0x－1＝0，解得a ＝e－x ＞0，p ＝ex (1－x 0)．设m (x )＝e x(1－x )，则m ′(x )＝－x e x，由m ′(x )＜0，得x ＞0；由m ′(x )＞0，得x ＜0，故函数m (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而m (x )max ＝m (0)＝1，故实数p 的取值范围为(－∞，1]．②证明：由①知当p 取最大值时，p ＝1，a ＝1，故h (x )＝(e x－x －1)e x－m ，则h ′(x )＝(2e x－x －2)e x. 因为函数h (x )为“恒切函数”，故存在x 0，使得h ′(x 0)＝0，h (x 0)＝0，由h ′(x 0)＝0，得(2ex －x 0－2)ex ＝0，即2ex －x 0－2＝0.设n (x )＝2e x－x －2，则n ′(x )＝2e x－1，由n ′(x )＞0，得x ＞－ln 2；由n ′(x )＜0，得x ＜－ln 2，故n (x )在(－∞，－ln 2)上单调递减，在(－ln 2，＋∞)上单调递增．在单调递增区间(－ln 2，＋∞)上，n (0)＝0，故x 0＝0，则由h (x 0)＝0，得m ＝0.在单调递减区间(－∞，－ln 2)上，n (－2)＝2e －2＞0，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝2e -32－12≈2×(20)-12－12＝15－12＜0，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上存在唯一的x 0，使得2e 0x －x 0－2＝0，即e 0x＝x 0＋22，此时由h (x 0)＝0，得m ＝(e 0x －x 0－1)ex ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋22－x 0－1·x 0＋22＝－14x 0(x 0＋2)＝－14(x 0＋1)2＋14，因为函数r (x )＝－14(x ＋1)2＋14在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32上单调递增，且r (－2)＝0，r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝316，所以0＜m ＜316.综上，0≤m ＜316.。

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测六函

课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 395＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1339log 5＝－59.答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0axx ＋，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－f ，f－＝－f，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝a －1＋，－b ＝2a －2＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数， ∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3，解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}．答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)，又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数． ∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－1，124．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋ln x4，记a n ＝f (n－5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎪⎫24＋ln 44＝－16.答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a－1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，547．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________．解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f x ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f xx －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)．答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x＋1＋m cos(π＋x )， ∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0， ∴f (x )＝－e x＋1(x ≥0)．令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )， ∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x)，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)，又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1. (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1，∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1，故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )，又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8. ∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14.答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。

(江苏专用)高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

高一数学课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二）圆柱、圆锥、圆台和球层级一学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图．解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

江苏专版2020版高考数学(理)一轮复习课时跟踪检测十一：函数与方程(含解析)

作出函数
3 g( x) 的图象 ( 如图所示 ) ．当 x＞ 1 时，g( x) 单调递增，此时 g( x) ＞ 2；当 x≤１
3
33
时， g( x) 单调递减，此时 g( x) ≥－ 2，所以当 t ∈ － 2， 2 时， y＝g( x) － t 有且只有一个零
点． 33
答案：－ 2， 2 9．已知二次函数 f ( x) ＝x2＋ (2 a－ 1) x＋ 1－ 2a，
数 f ( x) 有两个不同零点 x1， x2，函数 g( x) 有两个不同零点 x3， x4 .
(1) 若 x3＜ x1＜ x4，试比较 x2， x3， x4 的大小关系； f′ m f′ n f′ p
(2) 若 x1＝ x3＜ x2，m，n，p∈ ( －∞， x1 ) ， g n ＝ g p ＝ g m ，求证： m＝
若 f (0) ＝－ 2， f ( － 1) ＝ 1，则函数 g( x)
c＝－ 2，解析：依题意得
－ 1－ b＋ c＝ 1，
由此解得 b＝－ 4， c＝－ 2. 由 g( x) ＝ 0 得 f ( x) ＋ x＝0，
x＞ 0，
该方程等价于
①
－ 2＋ x＝ 0，
x≤0，
或－ x2－4x－ 2＋ x＝ 0.
若关于 x 的方
程 f ( x) ＝ kx＋ 2 有且只有 4 个不同的解，则实数 k 的取值范围为 ________．
解析：作出函数 y＝ f ( x) 的大致图象如图所示，若关于 x 的方程 f ( x) ＝ kx＋ 2 有且只有
4 个不同解，当直线 y＝ kx ＋2 与 y＝ ln x 的图象相切时，设切点为 ( m， n) ，可得 n＝ ln m，
1.

2020版高考数学新设计大一轮复习利用导数研究函数的极值、最值习题理(含解析)新人教A版

第2课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数解决函数的极值问题多维探究角度1 根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.x (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －f (x )ln 2－1故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.规律方法运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值【例1－3】已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋m x存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x.设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x(x >0)，所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－m x 2＝－mx 2－x ＋mx2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）>0，12m>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·ex －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1，则f (x )＝(x 2－x －1)·ex －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·ex －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x. ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x.f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x. 若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a<x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三利用导数求解最优化问题【例3】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v×1.5＝180v(升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减；当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增， ∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点. 【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______.解析由题意，连接OD ，交BC 与点G ，由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ， S △ABC ＝12·(23x )2·sin 60°＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5，令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415. ∴体积最大值为415 cm 3. 答案 415[思维升华]1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值. [易错防范]1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A.(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B.(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C.函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D.函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5取得极小值，在x ＝3取得极大值，故选项C 错误. 答案 C2.设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则( ) A.a <－1 B.a >－1 C.a >－1eD.a <－1e解析因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x＋a . 又函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解，当x >0时，－e x <－1，所以a ＝－e x<－1. 答案 A3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A.11或18 B.11 C.18D.17或18解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去.∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18. 答案 C4.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A.0B.1C.2D.无数解析函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点. 答案 A5.(2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( ) A.2e －1B.－1eC.1D.2ln 2解析由题意知，f ′(x )＝2e f ′（e ）x －1e，∴f ′(e)＝2f ′(e)－1e ，则f ′(e)＝1e .因此f ′(x )＝2x －1e，令f ′(x )＝0，得x ＝2e.∴f (x ) 在(0，2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减. ∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 答案 D 二、填空题6.函数f (x )＝x e －x，x ∈[0，4]的最大值是________. 解析 f ′(x )＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )，令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)＝1e 为最大值.答案 1e7.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值是________.解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 答案－48.若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以2≤a <103.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，103三、解答题9.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值. 解 (1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝a x－2bx ， ∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1，令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.10.(2018·天津卷选编)设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列.(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值.解 (1)由已知，得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3，或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x－(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x－3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x＝3x ＋2.易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4. ∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C12.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x，所以由f ′(x )＝0解得x＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 13.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm.解析设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3，则V (t )＝π(12－t )2·(a＋20t )，其中0≤t ≤8，所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π. 因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm. 答案 414.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

高中化学三维设计江苏专版必修一：课时跟踪检测(十六)从自然界获取铁和铜含解析

课时跟踪检测（十六）从自然界获取铁和铜一、单项选择题1．下列说法中，不正确的是( )A ．金属的冶炼，就是利用氧化还原反应原理，在一定条件下将金属从其化合物中还原出来B ．冶炼金属时，必须加入一种物质作为还原剂C ．金属由化合态变为游离态，都是被还原D ．金属单质被发现和应用得越早，其活动性一般越弱解析：选B 由金属冶炼的方法可知，金属冶炼时，除用高温还原法外，还可用电解法、热分解法，后两种方法不用加入还原剂，B 不正确。

2．下列化学反应在金属冶炼工业中还没有得到应用的是( )A ．2NaCl(熔融)=====电解2Na ＋Cl 2↑ B ．Al 2O 3＋3C=====2 125 ℃2Al ＋3CO ↑ C ．Fe 2O 3＋3CO=====高温2Fe ＋3CO 2 D ．2Ag 2O=====△4Ag ＋O 2↑ 解析：选B 目前金属铝的制备方法是电解氧化铝，其他选项中所涉及的内容均符合理论和生产实际。

3．用H 2、C 、CO 分别与等质量的氧化铁在高温下反应，使氧化铁中的铁全部还原出来，消耗H 2、C 、CO 的质量比为( )A ．1∶1∶1B ．1∶3∶14C ．1∶6∶14D ．2∶1∶2 解析：选B 由3H 2～Fe 2O 3，32C ～Fe 2O 3,3CO ～Fe 2O 3可知，相同的质量的氧化铁需要的还原剂的质量比为：(3×2)∶⎝⎛⎭⎫32×12∶(3×28)＝1∶3∶14。

4．工业上，常用Mg 还原法制取金属Ti ，反应原理如下：2Mg ＋TiCl 4=====高温2MgCl 2＋Ti 。

下列说法正确的是( )①该反应属于置换反应；②该反应属于氧化还原反应；③该反应表明Mg 比Ti 活泼；④Ti 被誉为“21世纪的金属”，在航天工业上有广泛用途。

A ．只有①②B ．只有③④C ．只有①②③D ．全部解析：选D 由单质Mg 从化合物TiCl 4中置换出金属Ti ，化合价发生变化，故①②正确；在反应中Mg 作还原剂，Ti 是还原产物，故Mg 的还原性比Ti 强，③正确；④Ti 为性能优良的金属，广泛应用于航天工业，④正确。

2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(三十) 等比数列含解析

课时跟踪检测（三十）等比数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东中学检测)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝________.解析：a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5q (a 1＋a 3＋a 5)＝a 1＋a 3＋a 5－12(a 1＋a 3＋a 5)＝－2.答案：－22．(2018·盐城期中)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝q 2(a 1＋a 2)，所以q 2＝2，所以a 9＋a 10＝q 8(a 1＋a 2)＝16.答案：163．(2018·苏州期末)设各项均为正数的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，a 3－3a 1＝12，则S 5＝________.解析：∵a 2＝6，a 3－3a 1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 2－3a 1＝12且q ＞0，解得a 1＝2，q ＝3， ∴S 5＝2(1－35)1－3＝242.答案：2424．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________. 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝4，所以a 6＝a 4q 2＝32.答案：325．(2019·南京一模)若等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________．解析：设等比数列{}a n 的公比为q ，因为a 1＝1，S 6＝3S 3，当q ＝1时，不满足S 6＝3S 3；当q ≠1时，可得q 6－1q －1＝3(q 3－1)q －1，化简得q 3＋1＝3，即q 3＝2，所以a 7＝a 1q 6＝4. 答案：46．(2018·常州期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1(q 2＋q 3＋q 4＋q 5)＝40，两式相除可得q 2＋q 4＝90，即q 2＝－10(舍)或q 2＝9.又a n ＞0，所以q ＝3，故a 1＝19，所以a 7＋a 8＋a 9＝34＋35＋36＝1 053，即a 7＋a 8＋a 99＝117.答案：117二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·徐州期末)设等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S 2是S 3与S 4的等差中项，则实数q 的值为________．解析：∵S 2是S 3与S 4的等差中项， ∴2S 2＝S 3＋S 4，∴2a 3＋a 4＝0，解得q ＝－2. 答案：－22．(2019·如皋模拟)已知数列{}a n 是正项等比数列，满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2，则log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝________.解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ， ∴log 2a n ＋1a n ＝1，可得q ＝2.∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2， ∴log 2(a 51＋a 52＋a 53＋a 54＋a 55)＝log 2[(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 50]＝log 2251＝51. 答案：513．设等比数列{}a n 的公比为q (0＜q ＜1)，前n 项和为S n .若存在m ∈N *，使得a m ＋ a m ＋2＝52a m ＋1，且S m ＝1 022a m ＋1，则m 的值为________．解析：∵a m ＋a m ＋2＝52a m ＋1，S m ＝1 022a m ＋1，∴⎩⎨⎧a 1q m －1＋a 1q m ＋1＝52a 1q m，a 1(1－q m)1－q ＝1 022a 1q m，解得m ＝9，q ＝12.答案：94．(2018·启东检测)数列{a n }满足a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ＝________.解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.因为数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 答案：25．(2019·姜堰模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝2728，则a 5a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3S 6＝2728，得q ≠1，a 1(1－q 3)1－q a 1(1－q 6)1－q ＝2728，化简得11＋q 3＝2728，解得q ＝13. 所以a 5a 3＝q 2＝19.答案：196．(2018·海安中学测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m ＝________.解析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.答案：57．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×(1－29)1－2＝210－2＝1 022.答案：1 0228．(2019·徐州调研)已知正项等比数列{}a n 的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为________．解析：因为S 8－2S 4＝6，所以S 8－S 4＝S 4＋6.由等比数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，所以S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋6)2S 4＝S 4＋36S 4＋12≥24，当且仅当S 4＝6时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为24. 答案：249．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，所以a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ，所以b n ＝2n ，所以b n ＋1b n＝2，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10．(2018·苏州高三期中调研)已知数列{a n }各项均为正数，a 1＝1，a 2＝2，且a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2对任意n ∈N *恒成立，记{a n }的前n 项和为S n .(1)若a 3＝3，求a 5的值；(2)证明：对任意正实数p ，{a 2n ＋pa 2n －1}成等比数列；(3)是否存在正实数t ，使得数列{S n ＋t }为等比数列．若存在，求出此时a n 和S n 的表达式；若不存在，说明理由．解：(1)因为a 1a 4＝a 2a 3，所以a 4＝6，又因为a 2a 5＝a 3a 4，所以a 5＝32a 4＝9.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a n a n ＋3＝a n ＋1a n ＋2，a n ＋1a n ＋4＝a n ＋2a n ＋3，两式相乘得a n a n ＋1a n ＋3a n ＋4＝a n ＋1a 2n ＋2a n ＋3，因为a n ＞0，所以a n a n ＋4＝a 2n ＋2(n ∈N *)，从而{a n }的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q 1，q 2，则a 2n ＝a 2q n －12＝2q n －12，a 2n －1＝a 1q n －11＝q n －11，又因为a n ＋3a n ＋2＝a n ＋1a n，所以a 4a 3＝a 2a 1＝2＝2q 2q 1，即q 1＝q 2，设q 1＝q 2＝q ，则a 2n ＋pa 2n －1＝q (a 2n －2＋pa 2n －3)，且a 2n ＋pa 2n －1＞0恒成立，所以数列{a 2n ＋pa 2n －1}是首项为2＋p ，公比为q 的等比数列．(3)法一：在(2)中令p ＝1，则数列{a 2n ＋a 2n －1}是首项为3，公比为q 的等比数列，所以S 2k ＝(a 2k ＋a 2k －1)＋(a 2k －2＋a 2k －3)＋…＋(a 2＋a 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3k ，q ＝1，3(1－q k )1－q，q ≠1，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2q k －1，q ＝1，3(1－q k )1－q －2q k －1，q ≠1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ，因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧(S 2＋t )2＝(S 1＋t )(S 3＋t )，(S 3＋t )2＝(S 2＋t )(S 4＋t )，即⎩⎪⎨⎪⎧ (3＋t )2＝(1＋t )(3＋q ＋t )，(3＋q ＋t )2＝(3＋t )(3＋3q ＋t )，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q (1＋t )，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3，q ＝0(舍去)．所以S 2k ＝4k －1＝22k －1，S 2k －1＝22k －1－1，从而对任意n ∈N *有S n ＝2n －1，此时S n ＋t ＝2n ，S n ＋t S n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，又a 1＝1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n －1(n ∈N *)．法二：由(2)知a 2n ＝2q n －1，a 2n －1＝q n －1，且S 1＝1，S 2＝3，S 3＝3＋q ，S 4＝3＋3q ，因为数列{S n ＋t }为等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧(S 2＋t )2＝(S 1＋t )(S 3＋t )，(S 3＋t )2＝(S 2＋t )(S 4＋t )，即⎩⎪⎨⎪⎧ (3＋t )2＝(1＋t )(3＋q ＋t )，(3＋q ＋t )2＝(3＋t )(3＋3q ＋t )，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋6＝q (1＋t )，t ＝q －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，q ＝0(舍去)．所以a 2n ＝2q n －1＝22n －1，a 2n －1＝22n －2，从而对任意n ∈N *有a n ＝2n －1，所以S n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，此时S n ＋t ＝2n ，S n ＋tS n －1＋t＝2为常数，满足{S n ＋t }成等比数列，综上，存在t ＝1使数列{S n ＋t }为等比数列，此时a n ＝2n －1，S n ＝2n －1(n ∈N *).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________．解析：设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2，∴32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥92，a 4＝a 2q 2≤8，∴a 4∈⎣⎡⎦⎤92，8.答案：⎣⎡⎦⎤92，82．(2018·泰州中学高三学情调研)设正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，则m ＋n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q .正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，则2a 3q 2＝a 3(1－q )，可得2q 2＋q －1＝0，q ＞0，解得q ＝12，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a n ·a m ，可得a 1＝4a 21⎝⎛⎭⎫12m ＋n －2，所以m ＋n ＝6.答案：63．(2019·苏锡常镇调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且对任意的正整数n ，都有S n＋1＝λS n ＋3n ＋1，其中常数λ＞0.设b n ＝a n 3n (n ∈N *)．(1)若λ＝3，求数列{}b n 的通项公式； (2)若λ≠1且λ≠3，设c n ＝a n ＋2λ－3·3n (n ∈N *)，证明数列{}c n 是等比数列； (3)若对任意的正整数n ，都有b n ≤3，求实数λ的取值范围．解：因为S n ＋1＝λS n ＋3n ＋1，n ∈N *，所以当n ≥2时，S n ＝λS n －1＋3n ，从而a n ＋1＝λa n ＋2·3n ，n ≥2，n ∈N *﹒ 在S n ＋1＝λS n ＋3n＋1中，令n ＝1，可得a 2＝λa 1＋2×31，满足上式，所以a n ＋1＝λa n ＋2·3n ，n ∈N *.(1)当λ＝3时， a n ＋1＝3a n ＋2·3n ，n ∈N *，从而a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋23，即b n ＋1－b n ＝23，又b 1＝a 13＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为23的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时， c n ＝a n ＋2λ－3·3n ＝λa n －1＋2·3n －1＋2λ－3·3n ＝λa n －1＋2λ－3·3n －1(λ－3＋3) ＝λ⎝⎛⎭⎫a n －1＋2λ－3·3n －1＝λ·c n －1，又c 1＝3＋6λ－3＝3(λ－1)λ－3≠0，所以{}c n 是首项为3(λ－1)λ－3，公比为λ的等比数列，故c n ＝3(λ－1)λ－3·λn －1. (3)在(2)中，若λ＝1，则c n ＝0也可使a n 有意义，所以当λ≠3时，c n ＝3(λ－1)λ－3·λn －1. 从而由(1)和(2)可知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n ＋1)·3n －1， λ＝3，3(λ－1)λ－3·λn －1－2λ－3·3n，λ≠3. 当λ＝3时，b n ＝2n ＋13，显然不满足条件，故λ≠3.当λ≠3时，b n ＝λ－1λ－3×⎝⎛⎭⎫λ3n －1－2λ－3.若λ＞3,λ－1λ－3＞0，b n ＜b n ＋1，n ∈N *，b n ∈[1，＋∞)，不符合，舍去．若0＜λ＜1，λ－1λ－3＞0，－2λ－3＞0，b n ＞b n ＋1，n ∈N *，且b n ＞0.所以只需b 1＝a 13＝1≤3即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ＝1，b n ＝1，满足条件．故λ＝1符合条件；若1＜λ＜3，λ－1λ－3＜0，－2λ－3＞0，从而b n ＜b n ＋1，n ∈N *，因为b 1＝1＞0.故b n ∈⎣⎡⎭⎫1，－2λ－3，要使b n ≤3恒成立，只需－2λ－3≤3即可．所以1＜λ≤73.综上所述，实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，73.。

2019-2020高中数学课时跟踪训练十六瞬时变化率_导数苏教版选修1_1

6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
切线倾斜角为45°.
答案：45°
6．解：∵
＝＝2＋3Δx，
∴当Δx无限趋近于0时，2＋3Δx无限趋近于2，
∴f′(1)＝2，
所以直线的斜率为2，
所以直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
7．解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：
2019-2020高中数学课时跟踪训练十六瞬时变化率_导数苏教版选修1_1
编辑：__________________
时间：__________________
课时跟踪训练(十六) 瞬时变化率—导数
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
当Δx趋于0时，趋于2t，即
切线斜率k＝f′(t)＝2t，
所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，
将(1，a)代入得
t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
答案：7
3．解析：＝＝＝2a＋aΔx，当Δx→0时， →2a，∴2a＝2，a＝1.
答案：1
4．解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，
所以f(

江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测一集合的概念与运算理含解析

课时跟踪检测(一) 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018 •徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A= {x|x = 2k + 1 , k € Z}, B= {x|0 v xv 5}，则A n B= ________ .解析：因为集合A= {x|x = 2k + 1 ,k € Z}为奇数集，B= {x|0 v x v 5}，所以A n B= {1,3}. 答案：{1,3}2. 定义：满足任意元素x €代则|4 —x| € A的集合称为优集，若集合A={1 , a, 7}是优集，则实数a的值为__________ .解析：依题意，当x = 1时，|4 —x| = 3€ A,当x= 7时，|4 —x| = 3€ A所以a= 3符合条件.答案：33. (2018 •如皋高三上学期调研)集合A= {1,3} , B= {a2+ 2,3}，若A U B= {1,2,3},则实数a的值为__________ .解析：T A= {1,3} , B= {a2+ 2,3},且A U B= {1,2,3},••• a2+ 2=2，解得a= 0,即实数a的值为0.答案：04. (2018 •盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5}, B= {1,3,5,7,9} , C= A n B,则集合C的子集的个数为__________ .解析：因为A n B= {1,3,5}，所以C= {1,3,5}，故集合C的子集的个数为23= 8.答案：85. (2019 •徐州期中)已知集合A= {1,2,3,4,5}, B= {( x, y)| x€ 代 y € A, x v y, x +y€ A}，则集合B的子集个数是 _________ .解析：T集合A= {1,2,3,4,5} , B= {( x, y)| x € A, y€A, x v y, x+ y€ A},• B= {(1,2) , (2,3) , (1,3) , (1,4)},•集合B的子集个数是24= 16.答案：166. _____________________ (2019 •南通中学检测)已知集合A= {x|y = .9 —x2}, B= {x| x> a},若A n B= A, 则实数a的取值范围是.解析：因为A n B= A,所以A? B.因为A= {x| y=《9 —x2} = {x|9 —x2>0} = [ —3,3],所以[—3,3] ? [a , +s),所以a w —3.答案：(—a , —3]—保咼考，全练题型做到咼考达标1. _____________________________________________________________ （2018 •常州调研）已知⑴? A ? {1,2,3}，则这样的集合 A 有 _________________________________ 个.解析：根据已知条件知符合条件的 A 为:A = {1} , {1,2} , {1,3} , {1,2,3},•••集合A 有4个. 答案：42. _____________ （2019 •启东中学检测）已知集合 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2x v 33}，则集合 A H B 的元素个数为.x解析：因为 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2 v 33} = {0,1,2,3,4,5} ，所以 A H B = {1,2,3,4,5}，即A HB 的元素个数为5.答案：5 3.已知a wi 时，集合{x |a w x w 2- a }中有且只有3个整数，则实数 a 的取值范围是解析：因为a w 1,所以2-a > 1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数，则 a = 0，集合中有0,1,2三个整数，所以a = 0符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2v 2 — 2a v 4，解得一1 v a v 0,此时，集合中有0,1,2 三个整数，所以—1v a v 0符合题意.综上，实数a 的取值范围是（—1,0]. 答案：（—1,0]4.已知集合 A = {x |1 w x v 5}, B = {x | — a v x w a + 3}，若 B ? （A H B ）,则实数 a 的取值范围为 ___________ .解析：因为B ? （A H E ），所以B ? A3①当 4 ?时，满足B ? A,此时一a > a + 3,即卩a w —：—a v a + 3,B ? A,贝U — a > 1,a + 3 v 5,由①②可知，实数 a 的取值范围为（一a, — 1]. 答案：（—a, — 1]5. _______________ （2018 •通州中学高三测试）设U = R , A = （a , a + 1） , A [0,5），若A ? ?u B,则实数 a 的取值范围是 .解析：因为？u B = （—a, 0） u [5 ,+a ），又 A ? ?u B,所以 a + 1wo 或 a >5,解得 a w —1 或 a >5.3解得—a w — 1.②当B M ?时，要使答案：（—a, —1] U [5 , +a）6. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2019 •淮阴中学检测）设全集U为实数集R,已知集合A= 压 ----------------------------27.设集合 A = {x |x — x -2w 0}, B ={x |x v 1，且 x € Z}，贝U A n B = ____________ 解析：依题意得 A = {x |( x + 1)( x — 2) w 0} = {x | — 1 w x w 2},因此 A n B= {x | — 1 w x v 1,x € Z} = { — 1,0}.答案：{ — 1,0}& (2019 •海安中学检测)已知集合 M= x 2v 1, N ={y |y = x — 1}，则(?R M ) n N解析：因为 M=£v V = ( —a, 0) U (2 ,+R ) , N= {y |y = ^/x —^} = [0 ,+^ ), 所以？R M= [0,2] , (?R M ) n N= [0,2]. 答案：[0,2]9. ______________________________________________________________________ 设全集 U = {x € N *| x w 9}, ?U (A U B = {1,3} , A n ( ?U B ) = {2,4}，贝U B = ___________________ .解析：因为全集 U= {1,2,3,4,567,8,9} ,由?U (A U B = {1,3}, 得 A U B = {2,4,5,6,7,8,9},由 A n (?u B ) = {2,4}知，{2,4} ? A, {2,4} ? 所以 B= {5,6,7,8,9}. 答案：{5,6,7,8,9}10. 已知集合 A = {x |4 w2x w 16}, B = [a ,解析：集合 A = {x |4 w2x w 16} = {x |2 2w2x w24} = {x |2 w x w 4} = [2,4]，因为 A ? B,所以a w 2, b > 4,所以a — b w 2— 4 = — 2，即实数a — b 的取值范围是(一a,— 2].答案：(—a, — 2]2,B ={x |1 w x w 2}，则图中阴影部分所表示的集合为解析：由题意知，集合A =』x |x >2訂阴影部分表示的集合为(?U A ) n B =n{x |1 w x w 2}=认1w x w3答案：「X i w?uBb ］，若A ? B ,则实数a — b 的取值范围是11. (2019 •启东检测)已知集合A= {x| a w x w a+ 3}, B= {x|x + x —6w0},(1)当a= 0 时，求A U B, A n ?R B；(2)若A n B= A求实数a的取值范围.解：⑴当a= 0 时，A= {x|0 w x w3}，又B-{x| —3< x<2},所以?R B= {x| x v — 3 或x >2},所以A U B- {x| —3w x w 3}, A n ?R B= {x|2 v x w 3}.(2)因为A n B- A,所以A? B,a》一3,所以* 解得—3w a w —1,a + 3w 2,所以实数a的取值范围为[—3,—1].12. (2018 •南京高三部分学校联考)已知集合A- {x| x2—4x —5w 0}, A {x|2 x—6>0},M= A n B(1) 求集合M(2) 已知集合C-{x| a—1w x w7—a, a€ R}，若M n C-M求实数a的取值范围.2解：(1)由x —4x —5w0,得—1w x w 5,所以A- [ —1,5].由2x—6>0,得x>3,所以B- [3 ,+s).所以M= [3,5].⑵因为M n C- M所以M? c,—1 w 3,a贝y 7 —a>5, 解得a w2.a —1 w 7—a,故实数a的取值范围为(一g, 2].三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. _________ 已知集合A- {x| x2—2 019x + 2 018 v 0}, B- {x|log 2X< 币，若A? B,则整数m的最小值是____ .解析：由x2— 2 019x + 2 018 v 0，解得 1 v x v2 018，故A- {x|1 v x v 2 018}. 由log 2x v m,解得0v x v 2m,故B- {x|0 v x v 2m}.由A? B,可得2m>2 018 ,10 11因为2 - 1 024,2 - 2 048，所以整数m的最小值为11.答案：11—1, x € M2. 对于集合M定义函数f M(x)—对于两个集合A, B,定义集合A A B1, x?M-{x|f A(x) • f B(x) -—1}.已知A- {2,4,6,8,10} , B- {1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A A B-解析：由题意知，要使f A(x) • f B(x) -—1,必有x€ {x| x € A且x?B} U {x| x € B且x?A} -{1,6,10,12}，所以A A B- {1,6,10,12}答案：{1,6,10,12}3. 已知集合A= {x|1 v x v 3}，集合B= {x|2m< x v 1 —m}.⑴当n^—1时，求A U B；⑵若A? B,求实数n的取值范围；(3)若A n B= ?，求实数n的取值范围.解：(1)当n^—1 时，B= {x| —2v x v2},则A U B= {x| —2v x v 3}.T - n> 2n，⑵由A? B知2mc 1，解得me—2，1 —n> 3，即实数n的取值范围为(一R，—2].(3)由A n B= ?，得1①若2n> 1—n即3时，B= ?，符合题意；1 [n v -，[n v-，②若2n v 1 —n即n v 3时，需$ 3或$3〔1-nf^l 〔2rr^ 3，1 1得0w n v 3或？，即0w n v 3.综上知n>0，即实数n的取值范围为[0，+R ).。

2020版新设计一轮复习数学(理)通用版课时跟踪检测(七) 函数的图象

课时跟踪检测(七) 函数的图象一、题点全面练1．函数f (x )＝x e－|x |的图象可能是( )解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x ，因为e －x ＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.5．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析：选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1·sinx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin2＜0，故排除B ，选A.7.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B 令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a ＞1，又当x ＞－ba时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.8．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：选B 由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．答案：{x |－1＜x ≤1}11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥0，－x (x －a )，x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2. (3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a 2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·大同质检)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称( )A ．(1,0)B ．(－1,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选C 因为f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故f (2x )关于⎝⎛⎭⎫12，0成中心对称． 2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．3．(2019·合肥质检)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x －a )，即a ＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 由y ＝f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5．[直观想象]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x －1＝2⎝⎛⎭⎫12x－1.方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．(三)难点专练——适情自主选6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．7．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。

(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)

( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b，则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理第一节导数的概念与计算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x)′＝a xln_a ， (e x)′＝e x，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．[小题体验]1．(教材习题改编)一次函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．解析：由题意得函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f mn －m＝k .答案：k2．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (3)＝________，f ′(3)＝________.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为－1. 答案：2 －13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________. 解析：由f (x )＝x ＋ln x (x >0)，知f ′(x )＝1＋1x，所以f ′(1)＝2.答案：24．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：31．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝________.解析：对关系式f (x )＝2xf ′(e)＋ln x 两边求导，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，所以f ′(e)＝－1e.答案：－1e2．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________.解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝22－6×2＝－8.答案：－83．已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是________．解析：令x ＝0，得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x＋2x －1＋cos x ，所以f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋1考点一导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝11－x ＋11＋x. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x e x ′ ＝cos x ′e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.[谨记通法] 求函数导数的3种原则考点二导数的几何意义常考常新型考点——多角探明[命题分析]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2016·南通调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， ∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254角度二：求切点坐标2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e) 角度三：求参数的值3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13－4－2a －b ＝－27，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13，∴a ＋b ＝18. 答案：18[方法归纳]导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________．解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．答案：3(x 2－a 2)2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．(2016·徐州一中检测)曲线y ＝f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －6)在原点处的切线方程为________．解析：y ′＝(x －1)(x －2)·…·(x －6)＋x [(x －1)·(x －2)·…·(x －6)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)×(－6)＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .答案：y ＝720x4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 与直线4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限，则点P 0的坐标为________．解析：设P 0(x 0，y 0)．由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知，得3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－4.又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．答案：(－1，－4)二保高考，全练题型做到高考达标1．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为________ m/s.解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴在第4 s 末的瞬时速度v ＝s ′| t ＝4＝8－316＝12516 m/s.答案：125162．(2015·苏州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋lnx 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：14．(2016·金陵中学模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为________．解析：因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 答案：－26．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·无锡调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′a＋b f ′b＋c f ′c＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋bf ′b ＋c f ′c＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解：因为f (1)＝1a－1，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1.由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. 所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝t＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.答案：2782．(2016·无锡一中检测)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1.答案：13．(2016·苏北四市调研)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)f ′(x )＝a ＋b x2.∵点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， ∴f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝74，f 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.∴f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线的斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20x －x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.∴曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0＝6，为定值．第二节导数的应用1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题体验]1．(教材习题改编)函数f (x )＝x 2e x的单调增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝e x (2x ＋x 2)，令f ′(x )>0，得x <－2或x >0，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)2．(教材习题改编)函数f (x )＝13x 3＋32x 2－4x ＋13取得极大值时x 的值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－4，经检验知x ＝－4时，函数y 取得极大值．答案：－43．(教材习题改编)函数f (x )＝32x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝32＋cos x ，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2π]，得x ＝5π6或x ＝7π6，又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝53π12＋12.f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＝73π12－12，f (2π)＝3π.所以函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值为3π.答案：3π4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________．答案：31．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．解析：由题意，知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：－232．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝4x －1x (x >0)，所以可求得f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.又函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 3．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8. ∴最大值为8. 答案：8第一课时导数与函数的单调性考点一判断或证明函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－a ＋5x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]，从而当－1<x ≤0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．[由题悟法]导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x.(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝ln x －x1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x3x －2＞0，x3x －2＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.考点二求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m ，n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，所以3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)因为n ＝－3m ，所以f (x )＝mx 3－3mx 2，所以f ′(x )＝3mx 2－6mx . 令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．[由题悟法] 确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[即时应用](2015·重庆高考改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求g (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．考点三已知函数的单调性求参数的范围题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a3；当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a a 上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． (2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在 (－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．[提醒] f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[越变越明][变式1] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解：因为f ′(x )＝3x 3－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．[变式2] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．解：由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数．[变式3] 函数f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．解：由母题可知，f (x )的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a 3＝1，即a ＝3.[破译玄机]函数的单调区间是指单调递增或单调递减，在求解中应列方程求解，与函数在某个区间上具有单调性是不同的．[变式4] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3，即a 的取值范围为(0,3)．[破译玄机]函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如变式4中利用了3a 3∈(0,1)来求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·镇江五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·徐州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·泰州模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9. 第二课时导数与函数的极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．常见的命题角度有： (1)已知函数求极值； (2)已知极值求参数； (3)由图判断极值．[题点全练]角度一：已知函数求极值1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．角度二：已知极值求参数2．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2 的极小值点，那么函数f (x )的极大值为________．解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，则由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：183．若函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax 2－2ax ＋2a －3，因为函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，所以f ′(x )＝0有两个不等实根，其判别式Δ＝4a 2－4a (2a －3)＞0，所以0＜a ＜3，故实数a 的取值范围为(0,3)．答案：(0,3)角度三：由图判断极值4．已知函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )有________个极大值点，________个极小值点．解析：由导数与函数极值的关系，知当f ′(x 0)＝0时，若在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值．设函数f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．答案：2 2[方法归纳]利用导数研究函数极值的一般流程考点二运用导数解决函数的最值问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝xa－e x(a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最大值．解：(1)f (x )＝x a－e x (a ＞0)，则f ′(x )＝1a－e x.令1a －e x ＝0，则x ＝ln 1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a ；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，＋∞.(2)当ln 1a ≥2，即0＜a ≤1e2时，f (x )max ＝f (2)＝2a－e 2；当1＜ln 1a ＜2，即1e 2＜a ＜1e时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1a ln 1a －1a；当ln 1a ≤1，即a ≥1e时，f (x )max ＝f (1)＝1a－e.[由题悟法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时应用]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a －2b ＝0，f 1＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)得f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e ≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三函数极值和最值的综合问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝a ＝1，故f (x )＝x －2x－3ln x ，则f ′(x )＝x －1x －2x2.由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 2 (2,3) 3 f ′(x ) －0 ＋f (x )1－3ln 2从而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，f (x )有最小值，且最小值为f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x ＞0)，由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a ＞0，x 1x 2＝2a ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a ＞0，h 0＞0，解得0＜a ＜98. 故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98. [由题悟法]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[即时应用]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x )＋0 －0 ＋f (x )81395274所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )在(0，e]上取得最大值f (1)＝－1.答案：－12．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为________解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π23．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 解析：令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：－1ln 24．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________．解析：若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32.故实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．解析：因为f ′(x )＝2f ′1x－1，令x ＝1，得f ′(1)＝1.所以f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x－1.当0<x <2，f ′(x )>0；当x >2，f ′(x )<0.从而f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－2二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.答案：122．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.答案：203．(2016·南京外国语学校)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图。

2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(二十)函数y=A sin(ωx+φ)的图象及其应用含解析

课时跟踪检测（二十）函数y=A sin(ωx+φ)的图象及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相为________．答案：－π42．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．解析：最小正周期为T ＝2π12＝4π.答案：4π3．(2018·苏州高三期中调研)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴是x ＝π12，则φ＝________. 解析：当x ＝π12时，函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2取得最值，所以π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.答案：π34．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ⎝⎛⎭⎫||φ＜π2，x ＝π3为f (x )的图象的一条对称轴，将f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )的解析式为________．解析：∵x ＝π3为f (x )的图象的一条对称轴，∴π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π3，k ∈Z. 又|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12的图象．答案：g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π125．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 答案： 36．(2018·启东中学检测)在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3＝0，所以4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝k 4π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12，所以离原点最近的交点坐标⎝⎛⎭⎫π12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫π12，0 二保高考，全练题型做到高考达标1．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)的频率为32，则ω＝________.解析：因为y ＝2sin(ωx ＋φ)的频率为32，所以其周期T ＝23，所以ω＝2π23＝3π.答案：3π2．(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π3的图象． ∵平移后得到的图象经过坐标原点，且0＜φ＜π2，∴－2φ＋π3＝0，解得φ＝π6.答案：π63.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.解析：由图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又因为－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 答案：324．(2019·启东中学检测)将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最大值是________．解析：将函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋φ的图象． ∵g (x )是偶函数， ∴2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝－π6＋k π，k ∈Z.又φ＜0，∴φ的最大值是－π6.答案：－π65.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________. 解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝－3sin π2x ，所以f (1)＝－ 3.答案：－ 36．若函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫4×π3－π3＝0. 答案：07．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，所以si n(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 9．(2019·连云港调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域．解：(1)因为函数f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.又点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点，所以A ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)由题意得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，2x ＋5π6∈⎝⎛⎭⎫11π6，17π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈(－1,2]，故g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域为(－1,2]． 10．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω＞0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解：(1)f (x )＝12sin 2ωx ＋32(2cos 2ωx －1)＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，若0≤x ≤π2，则－π6≤t ≤5π6.因为g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点，作出函数y ＝sin t 的图象如图所示．由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1.所以－12＜k ≤12或k ＝－1.所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，12∪{－1}．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1在区间[a ，b ](a ，b ∈R ，且a ＜b )上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b －a 的最小值为________．解析：要使b －a 最小，则f (x )在区间[a ，b ]上零点个数恰好是10，由函数f (x )的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为π3，所以满足条件的b －a 的最小值为π3＋4π＝13π3.答案：13π32.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6； ②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|PA |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6，则φ＝－π6，故①正确；②由①知，f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π，5π3，即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确；③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP ＝2π3，所以|PA |＝63，故④正确．答案：①②④3.(2019·如皋中学模拟)如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边0，φ∈(0，π))，x ∈[－4,0]界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞的图象，图象的最高点为B (－1,2)．边界的中间部分为长1 km 的直线段CD ，且CD ∥EF .游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE .(1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 的最近距离为1 km ，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长；(3)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMP Q ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且∠POE ＝θ，求平行四边形休闲区OMP Q 面积的最大值及此时θ的值．解：(1)由已知条件，得A ＝2， ∵T 4＝3，∴T ＝2πω＝12，∴ω＝π6.又∵当x ＝－1时，有y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2，φ∈(0，π)， ∴φ＝2π3.∴曲线段FGBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3，x ∈[－4,0]．(2)由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3＝1，得π6x ＋2π3＝π6＋2k π(k ∈Z)或π6x ＋2π3＝5π6＋2k π(k ∈Z)，解得x ＝12k －3或x ＝12k ＋1(k ∈Z)，又x ∈[－4,0]，∴x ＝－3，∴G (－3,1)， ∴OG ＝10.∴景观路GO 长为10 km.(3)如图，易知OC ＝3，CD ＝1，∴OD ＝2，∠COD ＝π6，作PP 1⊥x 轴于P 1点，在Rt △OPP 1中，PP 1＝OP sin θ＝2sin θ，在△OMP 中，OP sin 2π3＝OMsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ， ∴OM ＝OP ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－θsin2π3＝43·sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝2cos θ－233sin θ. 故S 平行四边形OMP Q ＝OM ·PP 1＝⎝⎛⎭⎫2cos θ－233sin θ·2sin θ＝4sin θcos θ－433sin 2 θ＝2sin 2θ＋233cos 2θ－233＝433sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－233，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3. 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，平行四边形OMP Q 面积的最大值为233.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十五导

课时跟踪检测(十五) 导数与函数的单调性一、题点全面练1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x，∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x－x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f x ⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x－a ＞0，即a ＜2x －e x有解．设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x－e x －1， ∴f ′(x )＝e x－e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x－ax －1，∴f ′(x )＝e x－a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) (二)素养专练——学会更学通4.[直观想象]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．[逻辑推理]已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，126．[逻辑推理、数学运算]已知f (x )＝ax －1x，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x－ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． (三)难点专练——适情自主选7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2，无极大值．(2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＞0，解得a ＜－2.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．。

精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十对数与对数函数理含解析

课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝(－)的定义域为．解析：由－＞，解得＞，所以函数()的定义域为.答案：．函数()＝(－＋)的值域为．解析：令＝－＋＝(－)＋≥，故函数()可化为＝，≥，此函数是一个增函数，其最小值为＝，故()的值域为[，＋∞)．答案：[，＋∞)．计算＋()＝.解析：＋()＝)·)＋＝＋＝＋＝.答案：．(·长沙调研)已知函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点，若点也在函数()＝＋的图象上，则()＝.解析：∵函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点(－，－)，将＝－，＝－代入()＝＋，得－＋＝－，∴＝－，∴()＝－，则()＝－＝－＝.答案：．若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域是[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，＝－＋≥.因为()的值域为[，＋∞)，所以当＞时，＋＞＋≥，所以≥，所以＜≤；当＜＜时，＋＜＋，不合题意．故∈(]．答案：(]．(·镇江期末)已知函数()是定义在上的奇函数，当＞时，()＝－，则不等式()＜的解集是．解析：当＜时，()＝－(－)＝(－)－，()＜，即(－)－＜，解得－＜＜；当＞时，()＝－，()＜，即－＜，解得＞，综上，不等式()＜的解集是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·镇江中学调研)函数＝＋(－)的值域为．解析：由题意知，＞且－＞，∴()的定义域是()．∵函数()＝＋(－)＝[(－)]，∴＜(－)≤＝，当且仅当＝时等号成立．∴[(－)]≤，∴函数＝＋(－)的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·镇江中学学情调研)已知函数()＝的定义域是，则实数的值为．解析：因为函数()＝的定义域是，所以当＞时，－＞，即＜，所以＜，所以＞.令＝，得＝＝，所以实数的值为.答案：．若函数()＝(－＋＋)在区间(－∞，]上递减，则的取值范围为．解析：令函数()＝－＋＋＝(－)＋＋－，对称轴为＝，要使函数在(－∞，]上递减，则有(\\(＞，≥，))即(\\(－＞，≥，))解得≤＜，即∈[)．答案：[)．(·连云港模拟)已知函数()＝，若()＝，则(－)＝.解析：因为()＝的定义域为－＜＜，所以(－)＝＝－＝－()，所以()为奇函数，所以(－)＝－()＝－.答案：－．函数()＝＋的定义域为．解析：由(\\(－≥，,(－＋－)＞，))得(\\(－≤≤，＞且≠，))故函数定义域为()∪(]．答案：()∪(]．(·苏州调研)若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域为[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，()∈[，＋∞)，所以当＞时，()的取值集合⊆[，＋∞)．当＜＜时，＝，不符合题意；当＞时，＝(＋，＋∞)，若⊆[，＋∞)，则有＋≥，解得＜≤.答案：(]．函数()＝·()的最小值为．解析：依题意得()＝·(＋)＝()＋＝－≥－，当且仅当＝－，即＝时等号成立，因此函数()的最小值为－.答案：－．设函数()＝(\\(，＞，－，＜，))若()＞(－)，则实数的取值范围是．解析：由()＞(－)得(\\(＞，＞))或(\\(＜，－＞－，))即(\\(＞，＞－))或(\\(＜，,－－＞－))解得＞或－＜＜.答案：(－)∪(，＋∞)．已知函数()是定义在上的偶函数，()＝，当＞时，()＝.()求函数()的解析式；()解不等式(－)＞－.解：()当＜时，－＞，则(－)＝(－)．因为函数()是偶函数，所以(－)＝()．所以函数()的解析式为()＝(\\(，＞，，＝，－，＜.))()因为()＝＝－，()是偶函数，所以不等式(－)＞－可化为(－)＞()．又因为函数()在(，＋∞)上是减函数，所以－＜，解得－＜＜，即不等式的解集为(－，)．．(·如东上学期第一次阶段检测)已知函数()＝(＋)＋(－)(＞且≠)，且()＝. ()求的值及()的定义域；()若不等式()≤恒成立，求实数的取值范围．解：()因为()＝，所以＝，故＝，所以()＝(＋)＋(－)，要使函数()有意义，需有(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜，所以()的定义域为(－)．()由()知，()＝(＋)＋(－)＝[(＋)(－)]＝(－＋＋)＝[－(－)＋]，故当＝时，()有最大值，所以的取值范围是[，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·南京五校联考)已知函数()＝＋－(＜)与()＝＋(＋)，若函数()图象上存在点与函数()图象上的点关于轴对称，则的取值范围是．解析：设点(，)(＜)，则点关于轴的对称点(－，)在函数()的图象上，所以(\\(＝\()＋－()，＝－＋－＋，))消去，可得＋－＝(－)＋(－＋)，所以－＝(－＋)(＜)．令()＝－(＜)，()＝(－)(＜)，问题转化为函数()与函数()的图象在＜时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数()与函数()的图象如图所示．当()＝(－)的图象过点时，＝.由图可知，当＜时，函数()与函数()的图象在＜时有交点．故的取值范围为(－∞，)．答案：(－∞，)．(·昆山测试)已知函数()＝(∈)．()当＝时，求函数()的值域；()当＞时，求函数()的定义域；()若函数()在区间[，＋∞)上是单调增函数，求实数的取值范围．解：()当＝时，()＝，定义域为(－∞，)．因为函数＝(＜)的值域为(，＋∞)，所以()＝的值域为.()因为＞，所以关于的不等式＞⇔(－)(－)＞⇔(－)＞.(*)①若＜＜，则＞，不等式(*)的解为＜或＞；②若＝，则不等式(*)即(－)＞，其解为≠；③若＞，则＜，不等式(*)的解为＜或＞.综上，当＜≤时，函数()的定义域为(－∞，)∪；当＞时，函数()的定义域为∪(，＋∞)．()令()＝，则()＝ ()．因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数＞，所以当∈[，＋∞)时，()＞，且函数()在[，＋∞)上是单调增函数．而()＝＝＝＋，若－≥，则函数()在[，＋∞)上不是单调增函数；若－＜，则函数()在[，＋∞)上是单调增函数．所以＜.①因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，所以要使当∈[，＋∞)时，()＞，必须()＞，即＞，解得＞.②综合①②知，实数的取值范围是.。

高考数学课时跟踪检测十六直线与圆的位置关系选择性必修第一册

课时跟踪检测（十六）直线与圆的位置关系[A 级基础巩固]1．直线l: y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交D ．相切解析：选C l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C.2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝ 22－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C.5．(多选)与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＝0D ．x ＋y ＝4解析：选ABD 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．6．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：设切线斜率为k ，则由已知得： k ·k OP ＝－1. ∴k ＝－12.∴切线方程为x ＋2y －5＝0.答案：x ＋2y －5＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．解：法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. 则Δ＝4m (3m ＋4)．(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．[B 级综合运用]11．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.5米C ．3.6米D ．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．12．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π4B.π2 C ．πD.3π2解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π.13．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5.∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：414.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2，易得|MN |＝219，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 取MN 的中点Q ，连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， ∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[C 级拓展探究]15．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。