2014届高三数学章末综合测试题不等式

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2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)

2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1（2014安徽理）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或解析：数形结合求解。

考点：1.线性规划求参数的值.2.(2014福建文)要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D 元元元元3.(2014福建文)已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D 4.(2014北京理)若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D 【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .5、(2014广东文)若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C .10 D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.6.(2014广东理)若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.5截距最大，此时z 取最大值M ，即()2213M =⨯+-=；()336M m -=--=，故选C.7．(2014湖北文)若变量x ，y＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C[解析]＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x2=-+y x 02=+-y kx A=-x y＋y 取得最大值7.故选C.8．(2014湖北理)由不等式组x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.9.(2014江西理)（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=10.(2014全国大纲文)不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >11.(2014全国新课标Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z取得最大值，故舍去，答案为a = 3.选B.12.(2014全国新课标Ⅰ理)不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C.1p ，2p D .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.13.(2014全国新课标Ⅱ文)设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为()A．8B．7C．2D．1【答案解析】A．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.14.(2014全国新课标Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.15.(2014山东理)已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y>15.【答案】D【解析】y x a a a yx>∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.16.(2014山东文)已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A)33x y>(B)sin sin x y >(C)22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++16.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《基本不等式》

C.最大值为－4 D.最小值为－4 1 1 (2)已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则1＋a1＋b的最小值为________．
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， bc ca ab 求证：＋＋ ≥a＋b＋c. a b c 正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
≥3＋2＋2＋2＝9，
1 当且仅当 a＝b＝c＝时，取等号 3
【审题视点】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．【方法锦囊】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
考向一利用基本不等式求最值
≥2
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，则一般是利用函数即 a＝3. 单调性求解．
1 1 (3)若可用基本不等 x－2× ＋2＝4，当且仅当 x－2＝ (x>2)， x－2 x－2 式，但等号不成立，
1 【训练 1】 (2013· 福州模拟)已知 f(x)＝x＋x－2(x<0)，则 f(x)有( A.最大值为 0 B.最小值为 0
【方法锦囊】【例 3】►(2012· 江苏卷)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 【审题视点】 (1)问题的背景轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮 (1)令 y＝0，解 1 位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1 是人们关心的 20k 20 社会热点问题， 2 2 ＋k )x (k>0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射得 x＝1＋k2，题目往往较长，程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；解题时需认真通过变形利用阅读，从中提炼 (2)设在第一象限有一飞行物基本不等式确出有用信息，建 (忽略其大小)，其飞行高度为立数学模型，转定其最大值； 3.2 千米，试问它的横坐标 a 化为数学问题不超过多少时，炮弹可以击中求解．过二次 (2) 通它？请说明理由． (2)当运用基本 1 不等式的求解 2 2 解 (1)令 y＝0，得 kx－ (1＋k )x ＝0，不等式求最值 20 20k 20 20 来确定对应的时，若等号成立故 x＝ ≤ ＝10，自变量不在 2＝由实际意义和题设条件知 x>0，k>0，的 1 2 1＋k 横坐标的取值 k＋定义域内时，就 k 范围．当且仅当 k＝1 时取等号．所以炮的最大射程为 10 千米．不能使用基本不等式求解，此 (2)因为 a>0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在 k>0，使 3.2＝ka 时可根据变量 1 2 2 2 2 2 － (1＋k )a 成立⇔关于 k 的方程 a k －20ak＋a ＋64＝0 有正根的范围用对应 20 ⇔判别式 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当 a 不超过 6 千函数的单调性求解．米时，可击中目标．

2014年高考数学真题——不等式

2014年高考真题分类——不等式不等式的概念与性质 5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋15．A 5．[2014·四川卷] 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 5．B绝对值不等式的解法 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D10．[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 10．A3．、[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．C一元二次不等式的解法3．、[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．CE4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题13．[2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．413．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．13．111．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 11．C4．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11 4．D4．[2014·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．84．C13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 14．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．1815．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．15．59．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 9．B11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 11．B10．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C. 5 D ．2 10．B6．、[2014·四川卷] 执行如图1-2的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6．C2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．B12．[2014·浙江卷] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．12．[1，3]E6 2a b +≤9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 9．D16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时． 14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24 16．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________．16．－121．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； (ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)．令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)．可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.E7 不等式的证明方法 20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以s <t .E8 不等式的综合应用 16．[2014·浙江卷] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．16.639．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.9．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 9．C19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e－1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以－1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．C21．、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围． 21．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增．∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.E9 单元综合。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测8--不等式、数列

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 8 )(数列与不等式)高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b > B. 1ba< C.1lg()lg a b a b ->- D. 33a b --<2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )A.(3)(1)0x x +->B.(4)(1)0x x +-<C.2230x x -+<D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或15 5. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n ，都有n n S T =231n n +，则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( )A.6B.9C.12D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______. 10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______. 11．不等式11axx <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则21b a ω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥,则_________. 14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）. （1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)mn m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠ （1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t 为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （ 16. 解不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2 由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n=∆=⋅，则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。

2014届高三数学不等式、线性规划期末复习测试卷文

不等式、线性规划A组(30分钟)一、选择题1.已知y>x>0，且x+y=1，那么( )A.x<<y<2xyB.2xy<x<<yC.x<<2xy<yD.x<2xy<<y2.函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )A.{x|-1≤x≤-1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤-1}D.{x|--1≤x≤-1}3.设0<a<1，且m=log a(a2+1)，n=log a(a+1)，p=log a(2a)，则m，n，p的大小关系为( )A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n4.(2013·淮北模拟)“x>0”是“x+≥2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-36.函数y=a x-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中mn>0，则+的最小值为( )A.2B.3C.3+2D.67.在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.24B.C.D.28.(2013·重庆模拟)设x，y均为正实数，且+=1，则xy的最小值为( )A.4B.4C.9D.169.设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )A.1B.C.D.10.定义max{a，b}=设实数x，y满足约束条件且z=max{4x+y，3x-y}，则z的取值范围为( )A.[-6，0]B.[-7，10]C.[-6，8]D.[-7，8]二、填空题11.(2013·北京高考)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为.12.(2013·上海模拟)若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为.13.下列命题正确的序号为.①函数y=ln(3-x)的定义域为(-∞，3];②定义在[a，b]上的偶函数f(x)=x2+(a+5)x+b的最小值为5;③若命题p:对∀x∈R，都有x2-x+2≥0，则命题p:∃x 0∈R，有-x0+2<0;④若a>0，b>0，a+b=4，则+的最小值为1.14.已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为.B组(30分钟)一、选择题1.如果a，b，c，d是任意实数，则( )A.a>b，c=d⇒ac>bdB.a3>b3，ab>0⇒<C.>⇒a>bD.a2>b2，ab>0⇒<2.直线ax+by+c=0的某一侧的点P(m，n)，满足am+bn+c<0，则当a>0，b<0时，该点位于该直线的( )A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营的总利润y(单位:10万元)与运营年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*)，则要使每辆客车运营的年平均利润最大，每辆客车的运营年限为( )A.3年B.4年C.5年D.6年4.若直线2ax-by+2=0(a>0，b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则+的最小值为( )A. B. C.2 D.45.(2013·哈尔滨模拟)“m≥3”是“关于x，y的不等式组表示的平面区域为三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若对任意正数x，均有a2<1+x，则实数a的取值范围是( )A.[-1，1]B.(-1，1)C.[-，]D.(-，)7.已知实数x，y满足如果目标函数z=x-y最小值的取值范围是[-2，-1]，则目标函数最大值的取值范围是( )A.[1，2]B.[3，6]C.[5，8]D.[7，10]8.已知lo(x+y+4)<lo(3x+y-2)，若x-y<λ恒成立，则λ的取值范围是( )A.(-∞，10]B.(-∞，10)C.[10，+∞)D.(10，+∞)9.(2013·山东高考)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最大值时，x+2y-z的最大值为( )A.0B.C.2D.10.(2013·四川高考)若变量x，y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a，最小值为b，则a-b的值是( )A.48B.30C.24D.16二、填空题11.若x+1>0，则x+的最小值为.12.(2013·安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件则x+y的最大值为.13.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的取值范围是.14.在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是.答案解析A组1.【解析】选D.因为y>x>0，且x+y=1，取特殊值:x=，y=，则=，2xy=，所以x<2xy<<y.故选D.2.【解析】选C.不等式转化为或解得-1≤x≤-1或x<-1.综上知x≤-1，故选C.【方法总结】与分段函数有关的不等式的求解方法首先按照分段函数的分类标准去掉“f”号，转化为两个不等式组，然后分别解不等式组，最后取并集得原不等式的解集.3.【解析】选 D.由于0<a<1，所以2a<a2+1，2a<a+1，a2+1<a+1，故2a<a2+1<a+1，故log a(2a)>log a(a2+1)>log a(a+1)，即p>m>n.4.【解析】选C.当x>0时，x+≥2=2.因为x+≥2，所以≥0，故≥0，所以x>0.所以x>0是x+≥2成立的充要条件，选C.5.【解析】选B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即y=x-.作出可行域如图，平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-经过点B时，直线y=x-的截距最大，此时z取得最小值，由得即B(3，4)，代入直线z=2x-3y，得z=2×3-3×4=-6，选B.【方法总结】解决线性规划问题的一般步骤(1)确定线性约束条件.(2)确定线性目标函数.(3)画出可行域.(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等).6.【解析】选C.由已知得定点A的坐标为(1，1)，由点A在直线mx+ny-1=0上，所以m+n-1=0，即m+n=1，又mn>0，所以m>0，n>0，所以+=(m+n)=2+++1≥3+2·=3+2，当且仅当n=-1，m=2-时取等号.故选C.7.【解析】选B.不等式组表示的平面区域如图中的△ABC，由y=x+1，y=2x-1得点B的横坐标为2，由y=-2x-1，y=x+1得点C的横坐标为-.所以S△ABC=|AD|(|x C|+|x B|)=×2×=.8.【解析】选D.由+=1得12+3(x+y)=4+2(x+y)+xy，即x+y=xy-8.因为x+y≥2，所以xy-8≥2，即xy-2-8≥0，所以≤-2或≥4.因为x，y均为正实数，所以≥4即xy≥16，当且仅当x=y时取等号.9.【解题提示】先由目标函数z=ax+by(a>0，b>0)得出何时取最小值，然后由基本不等式求解.【解析】选D.由z=ax+by得y=-x+，可知斜率为-<0，作出可行域如图，由图象可知当直线y=-x+经过点D时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小为2.由得即D(2，3)，代入直线ax+by=2得2a+3b=2.又2=2a+3b≥2，所以ab≤，当且仅当2a=3b=1，即a=，b=时取等号，所以ab的最大值为，选D.10.【解析】选B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y，所以z=直线x+2y=0将约束条件所确定的平面区域分为两部分.如图，令z1=4x+y，点(x，y)在四边形ABCD上及其内部，求得-7≤z1≤10;令z2=3x-y，点(x，y)在四边形ABEF上及其内部(除AB边)，求得-7≤z2≤8.综上可知，z的取值范围为[-7，10].故选B.11.【解题提示】作出可行域D，然后可以看出点(1，0)到D的距离的最小值为点(1，0)到直线2x-y=0的距离.【解析】作出可行域D，如图中阴影所示.点(1，0)到区域D上点的最小距离即是点(1，0)到直线2x-y=0的距离，d==.答案:12.【解析】=≤=，当且仅当x=1时取等号，所以要使≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为a≥.答案:a≥【变式备选】已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是.【解析】因为x+2y+2xy=8，所以y=>0，所以-1<x<8，所以x+2y=x+2·=(x+1)+-2≥2-2=4，当且仅当x=2时取等号.答案:413.【解析】①要使函数有意义，则有3-x>0，得x<3，所以①错误.②因为函数为偶函数，所以a+5=0，即a=-5且a+b=0，所以b=-a=5，所以f(x)=x2+(a+5)x+b=x2+5，所以最小值为5，所以②正确.③正确.④因为a+b=4，所以+=1，所以+==+++≥+2=1，当且仅当a=b=2时取等号，所以④正确.所以正确的序号为②③④.答案:②③④14.【解析】画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|=t，则两直角边长|AB|=|OA|=t，所以=1，求得t==2+2，即t min=2+2.答案:2+2B组1.【解析】选B.对于B，由a3>b3知a>b，而ab>0，由不等式的倒数法则知<.故选B.2.【解析】选D.因为am+bn+c<0，b<0，所以n>-m-.所以点P所在的平面区域满足不等式y>-x-，a>0，b<0.所以->0.故点P在该直线的上侧，综上知，点P在该直线的左上方.3.【解析】选C.=-x-+12≤-2+12=2，当且仅当x=，即x=5时等号成立.4.【解析】选D.圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4，圆的直径为4，直线2ax-by+2=0被圆截得的弦长为4，即直线过圆的圆心，所以-2a-2b+2=0，即a+b=1，所以+=(a+b)=2++≥2+2=4，等号当且仅当a=b=时成立.5. 【解析】选A.当m≥3时，不等式组对应的区域为三角形OBC.当m=1时，此时直线x+y-m=0经过点C，此时对应的区域也为三角形，所以m≥3是不等式组表示的平面区域为三角形的充分不必要条件，选A.6.【解析】选A.依题意，a2<1+x对任意正数x恒成立，则a2≤1，求得-1≤a≤1.7.【解题提示】将目标函数z=x-y最小值的取值范围是[-2，-1]当作已知量，求x+y的取值范围即可.【解析】选B.(x，y)满足的区域如图.变换目标函数为y=x-z，当z最小时就是直线y=x-z在y轴上的截距最大时.当z的最小值为-1时，直线为y=x+1，此时点A的坐标是(2，3)，此时m=2+3=5;当z=-2时，直线为y=x+2，此时点A的坐标是(3，5)，此时m=3+5=8.故m的取值范围是[5，8].目标函数的最大值在点B(m-1，1)取得，即z max=m-1-1=m-2，故目标函数最大值的取值范围是[3，6].8.【解析】选C.要使不等式成立，则有即作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x-y，则y=x-z.平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由解得代入z=x-y得z=x-y=3+7=10，所以要使x-y<λ恒成立，则λ的取值范围是λ≥10.9.【解题提示】此题可先利用已知条件用x，y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入x+2y-z，进而再利用基本不等式求出x+2y-z的最值.【解析】选C.由x2-3xy+4y2-z=0，得z=x2-3xy+4y2.所以==+-3≥2-3=1，当且仅当=，即x=2y时取等号，此时z=2y2，所以x+2y-z=2y+2y-2y2=4y-2y2=2y≤2=2，当且仅当y=2-y即x=2，y=1时取等号.10.【解题提示】本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确地作出可行域，然后求出最大值与最小值.【解析】选C.作出可行域如图，结合图形可知，当y=x+z经过点A时，z取最大值16，当y=x+z经过点B时，z取最小值为-8，所以a-b=24，故选C.11.【解析】x+=x+1+-1，因为x+1>0，所以>0，根据基本不等式得，x+=x+1+-1≥2-1=1，当且仅当x+1=，即(x+1)2=1，即x+1=1，x=0时取等号，所以x+的最小值为1.答案:112.【解析】先画出可行域，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界).作直线y=-x，并向上平移，数形结合可知，当直线过点A(4，0)时，x+y取得最大值，最大值为4.答案:4【方法总结】线性规划需要注意的问题(1)准确无误地作出可行域.(2)画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错.(3)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13.【解析】分离参数后得，a≥-x-，设f(x)=-x-，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=-5，故a≥-5.答案:[-5，+∞)【变式备选】设x，y∈(0，2]，且xy=2，且6-2x-y≥a(2-x)(4-y)恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】不等式6-2x-y≥a(2-x)(4-y)，即6-2x-y≥a(10-4x-2y)，令t=2x+y，即不等式6-t≥a(10-2t)，即(2a-1)t+6-10a≥0恒成立.由于xy=2，所以y=≤2，x∈[1，2]，所以t=2x+，t′=2-，当x∈[1，2]时，t′≥0，所以函数t=2x+在[1，2]上单调递增，所以t的取值范围是[4，5].设f(t)=(2a-1)t+6-10a，则f(t)≥0在区间[4，5]恒成立，因此只要f(4)≥0且f(5)≥0即可，即2-2a≥0且1≥0，解得a≤1，故实数a的取值范围是(-∞，1].答案:(-∞，1]14.【解析】(1)当3≤s<4时，可行域是四边形OABD(图(1))，由⇒交点为A(2，0)，B(4-s，2s-4)，C(0，4)，D(0，s)，此时目标函数在点B处取得最大值，这个最大值是3(4-s)+2(2s-4)=s+4，所以7≤z<8.(2)当4≤s≤5时，可行域是△OAC(图(2))，此时目标函数在点C处取得最大值，z max=8. 综上可知目标函数的取值范围是[7，8].答案:[7，8]。

2014届高三数学复习基本不等式1 201309011

第四课时基本不等式（一）
考点1
利用基本不等式求最值
考点2
利用基本不等式证明不等式或比较大小
考点3
求形如
ax 2 bx c y dx e
的函数的最值
1.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正—— 各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误. 对于公式，要弄清它们的作用和使用条件及内在联
பைடு நூலகம்
系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 2.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2+b2≥2ab逆用就是逆用就是等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
3.利用均值不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正、二定、三相等，
和定积最大，积定和最小”这17字方针.常用的方法为：拆、凑、平方.

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题02 不等式理(含解析)苏教版

（上海版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题02 不等式理（含解析）一．基础题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】不等式0212<---x x 的解集．．是．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】不等式01x x <-的解是___________.3. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .4. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+ba ab . )(C 4)11)((≥++ba b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+.5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（）(A) 22a b > (B) 11a b< (C) 2a ab > (D) 22a b >6. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知实数b a ,【答案】C【解析】二．能力题组 1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是．2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知x y R +∈、，且41x y +=，求19x y+的最小值.某同学做如下解答：因为 x y R +∈、，所以14x y =+≥19x y +≥┄②，①⨯②得 1924x y +≥=，所以 19x y +的最小值为24.判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x 、y 的值. . 【答案】13,105x y ==．【解析】试题分析：本题考查基本不等式的应用，注意应用基本不等式求最大（小）值时的条件：“一正”，“二定”，“三相等”．表面上看，本题不等式的推理过程没有错误，但仔细观察，应该能发现①式等号成立的条件是3. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知a R ∈，不等式31x x a-≥+的解集为P ，且2P -∉，则a 的取值范围是 ( ) A .3a >- B .32a -<< C .2a >或3a <- D .2a ≥或3a <-4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数x x f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+，)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于．5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bm an =时等号成立），己知+∈R y x ,k x y <+恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是.__________．应该对n 分类讨论，1n =时，不等式为(1)(2)(1)f f kf +≤，即2(1)(2)k -+-≤⋅-，32k ≤，2n =时，。

2014-2016高考理不等式真题汇编(含答案)

2014-2016高考理不等式真题汇编(含答案)2014-2016高考理科不等式真题汇编（含答案）一．2014年不等式高考真题1．(2014上海)设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件2．(2014四川)若0a b >>，0c d <<，则一定有（） A 、a b c d > B 、a b c d < C 、a bd c > D 、a b d c< 3.(2014上海)若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.4.(2014新课标I).不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P5. (2014新课标II)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 6(2014天津)设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57. (2014广东)若变量,x y满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.58. (2014北京)若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D - 9(2014天津)设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件10(2014江西) (1).（不等式选做题）对任意,x y R∈,111x x y y -++-++的最小值（）A.1B.2C.3D.4二．填空题1. （2014大纲）设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y=+的最大值为 .2（2014浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a的取值范围是________.3、（2014福建）要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 4（2014福建）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则yx z +=3的最小值为______5 (2014重庆)若不等式对任意2212122++≥++-a a x x实数恒成立，则实数的取值范围是____________.6. （2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240aab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345ab c-+的最小值为 .7(2014湖南).若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且yx z +=2的最小值为6-，则____=k . 8(2014湖南)x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.9 (2014陕西) (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=22m n +的最小值为三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11aba b+=.xa(Ⅰ) 求33ab +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a ++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.4（2014福建）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .（I ）求a 的值；（II ）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .二．2015年不等式高考真题1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）8122.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32D ．2 3．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（）A ．531 B. 6 C.523 D. 44.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若(p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A．q r p=<B．q r p=>C．p r q=< D．p r q=>5．【2015高考湖北，理10】设x∈R，[]x表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，使得[]1t=，2[]2t=，…，[]n t n=同时成立．．．．，则正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．66.【2015高考天津，理2】设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）407.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元 D．18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）1288.【2015高考山东，理5】不等式152x x---<的解集是（）（A）（-∞，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）9.【2015高考福建，理5】若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于( )A．52- B．2- C．32-D．210.【2015高考山东，理6】已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-311.【2015高考新课标1，理15】若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .12.【2015高考浙江，理14】若实数,x y满足221x y+≤，则2263x y x y+-+--的最小值是．13．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．14.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.15.【2015高考湖南，理4】若变量x，y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【2015高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220xa x ++=，方程③：2340xa x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根2016年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、（2016年北京高考）若，满足，则的最大值为（） A.0 B.3 C.4D.52、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足x y 2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2x y+则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）123、（2016年四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4、（2016年天津高考）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 5、（2016年浙江高考）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=A ．2B ．4C ．2D ．6 6、（2016年北京高考）已知，，且，则（）A. B. C.D.二、填空题1、（2016年上海高考）设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、（2016年上海高考）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________3、（2016年全国I 高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5x y R ∈0x y >>110x y ->sin sin 0x y ->11()()022xy -<ln ln 0x y +>kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 4、（2016年全国III 高考）若满足约束条件则的最大值为_____________.不等式一．选择题： 1．(2014上海) 【答案】 B 2．(2014四川) 【答案】D 3.(2014上海) 【答案】 4.(2014新课标I). 【答案】：C,x y 1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩z x y =+225. (2014新课标II) 答案：B 6(2014天津) 【答案】B 7. (2014广东) 【答案】C 8. (2014北京) 【答案】D 9(2014天津) 【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>10(2014江西) 【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+= 二．填空题 1. （2014大纲）【答案】5.2（2014浙江）31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、（2014福建）604（2014福建）1 5 (2014重庆) 【答案】【解析】]211-[∈1-2≥0221≥25221≥)(∴25)21f(|2||21-||21-|)(222，解得，，即恒成立，即有最小值由数轴可知，a a a a a a a x f x x x x f +++++=+++=Θ6. （2014辽宁）【答案】-2 【解析】2-54-3.2-)4-1(211054-3654-3.58|22|1032,153:2151:)2-2∴)22(≥])153([1⇒]1532151)2-2[≥])153([1])215()2-2[])153([1∴0-)215()2-2-42-42222222222222222的最小值为所以，这时，取最大值时，，即当（（（（cb a b b b b bc b a c b a b c b a b b a b a c b b a b ba c cb ba cb ab a +≥=+=++===++••+•+•+=+•=+=+Θ7(2014湖南).【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且不等式组,4y x x y ≤+≤限制的区域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-, 当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.]211-[，【考点定位】线性规划 8(2014湖南)9 (2014陕西) (不等式选做题) A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+Θ三．解答题 1. (2014新课标I) 【解析】：(Ⅰ) 由11ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==故3333342a b a b +≥=g 2a b ==时等号成立， ∴33a b +的最小值为42 (5)分（Ⅱ）由62326a b ab =+≥得32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b，使得236a b +=成立. ……………10分 2. (2014新课标II)3. （2014辽宁）【答案】（1）（2）【解析】（1）}34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴1≤01;34≤≤11≥.1≤1-|1-|2)(x x M x f x x x x x x x f =<<+=所以，的解集为时，解得当时，解得当}34≤≤0|{x x（2）222222223222213()16814444133[0,],[,],[0,]3444()[()][2(1)1](1)(1)(1)(12)111(1)(1)22413()[()],[0,]44g x x x x M N M N x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x f x x f x x Q ，解得--=-+＃?==?+=?+-+-=?+-=-+-+=-=-?=\+Ｎ4（2014福建）解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.二．2015年高考不等式真题答案1.【2015高考四川，理9】【答案】B【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤Q.由2m n=且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤Q.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..2.【2015高考北京，理2】【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122yx z =-+，令0Z=，作直线12yx =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.3．【2015高考广东，理6】【答案】C ．4.【2015高考陕西，理9】【答案】C 【解析】()ln p f ab ab==，，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数在()0,+∞上单调递增，因为，所以，所以，故选C ． 5．【2015高考湖北，理10】【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t得322<≤t，由3][4=t得544<≤t，所以522<≤t ，所以522<≤t，由3][3=t 得433<≤t，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t，与5465<≤t矛盾，故正整数n 的最大值是4. 6.【2015高考天津，理2】【答案】C7.【2015高考陕西，理10】【答案】D 【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+ 由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．8.【2015高考山东，理5】【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩解（I ）得：1x < ,解（II ）得：14x ≤< ,解（III ）得：x φ∈ ,所以，原不等式的解集为{}4x x < .故选A. 9.【2015高考福建，理5】10.【2015高考山东，理6】【答案】B【解析】不等式组20x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.11.【2015高考新课标1，理15】【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y是可行域内一点与原点连线的斜x率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率的最大值为3.最大，故yx12.【2015高考浙江，理14】【答案】3.13．【2015高考新课标2，理14】【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z=-+，当z取到最大时，直线y x z=-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)D，则2=+的最大值为32．学优高考网z x y【考点定位】线性规划．14.【2015高考江苏，7】【答案】(1,2).- 【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-15.【2015高考湖南，理4】【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l，从而可知当2-=x ，1=y 时，min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-，故选A.【2015高考上海，理17】【答案】B2016年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、（2016年北京高考）【答案】C2、（2016年山东高考）【答案】C3、（2016年四川高考）【答案】A4、（2016年天津高考）【答案】B5、（2016年浙江高考）【答案】C6、（2016年北京高考）【答案】C二、填空题1、（2016年上海高考）【答案】（2,4）2、（2016年上海高考）【答案】2+（，）3、（2016年全国I高考）【答案】2160004、（2016年全国III高考）【答案】32。

2014届高三数学复习不等式综合应用 201309014

具体题型如下： ①利用基本不等式求最值、确定范围.
②运用不等式知识研究函数问题，研究方程解的问题.
③利用不等式解决一类实际应用问题. ④探索最值问题，设计可行方案.
考点1
抽象不等关系形成不等式
考点2
综合利用不等式求最值，确定范围
考点3
运用不等式知识研究函数问题，方程解的问题

考点1
绝对值不等式的解法
考点2
绝对值不等式求最值
考点3
绝对值不等式的证明
不等式证明选讲部分的高考要求重点放在“绝对值不等式”部分，解决绝对值不等式问题可采用去绝对值符号或利用绝对值不等式性质的方法进行解决.
第六课时不等式的综合应用
1.不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，
函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析
几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系. 2.能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根
的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学问题.
本课的综合性强，难度相对较大.在考查中不等式的内容既有客观题，又经常考查主观性的题目.在选择题中考查实数大小比较及函数简单综合题，在填空中考查含参数问题及参数范围函数最值问题等.解题关键是建立不等量的关系.其建立的途径主要有：①利用几何、代数意义；②利用判别式；③利用变量的有界性； ④利用函数的单调性；⑤利用均值不等式.涉及不等式的应用问题，建立函数关系式，适当变形，适时巧用均值不等式.
第七课时绝对值不等式
1.绝对值
2.绝对值不等式
①绝对值不等式利用不等式时，注意等号成立的条件.
如｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜等号成立条件是：ab≥0.

高三数学不等式的性质试题答案及解析

高三数学不等式的性质试题答案及解析1.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵不等式的性质，所以选A.【考点】不等式的性质.2.若为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴由于a，b的正负不确定，所以A，B，C都错，所以D正确.【考点】作差法比较大小.3.已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选D.【考点】指数函数的性质，不等式的性质.4.设则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为所以，选C.【考点】比较大小5.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.6.已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围是()A．[－1,20]B．(－1,20)C．[－7,26]D．(－7,26)【答案】A【解析】∵f(1)＝a－c，f(2)＝4a－c，∴a＝ [f(2)－f(1)]．c＝－f(1)＋f(2)，∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．∵－1≤f(2)≤5，－≤f(2)≤.又－4≤f(1)≤－1，≤－f(1)≤.∴－1≤f(3)≤20.7. [2014·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是() A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s【答案】D【解析】s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．8. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.9.已知且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】或,所以是的必要非充分条件.故选B.【考点】充分必要条件10.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】由所以“”是“” 充分而不必要条件故选.【考点】充分性和必要性.11.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 12.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.【答案】见解析【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.13.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋<2，＋<2，＋<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．【答案】若m>0，n>0，则当m＋n＝20时，有＋<2【解析】观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是若m>0，n>0，则当m＋n＝20时，有＋<2．14.函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3.0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）【答案】A【解析】由函数f（x）=可得 1﹣2x≥0 且x+3＞0，解得﹣3＜x≤0，故函数f（x）=的定义域为 {x|﹣3＜x≤0}，故选A．15.设、，若，则下列不等式中正确的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，当时，，∴，∴，【考点】不等式的性质.16.（设函数f(x)＝｜x＋a｜－｜x－4｜，x R（1）当a=1时，解不等式f（x）＜2；（2）若关于x的不等式f(x)≤5－｜a＋l｜恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质及恒成立问题等数学知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，将函数化为分段函数，再解不等式；第二问，利用不等式的性质先求的最大值，再解这个绝对值不等式即可.试题解析：①∵，∴由得.（4分）②因为，要使恒成立，须使，即，解得.（7分）【考点】1.绝对值不等式的解法；2.不等式的性质.17.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()A．2ab-1-a2b2≤0B．a2+b2-1-≤0C．-1-a2b2≤0D．(a2-1)(b2-1)≥0【答案】D【解析】a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.18.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()A．(+)B．C．D．【答案】A【解析】取x=1,y=2,可得(+)=,=,=,=,因此最大的是(+),故选A.19.使a<b成立的一个充分不必要条件是()A．a<b+1B．a<b-1C．>D．a3<b3【答案】B【解析】当a<b-1时,一定有a<b,但当a<b时,不一定有a<b-1,故a<b-1是a<b的充分不必要条件.A选项中的条件是必要不充分条件,C项既不是充分条件也不是必要条件,D项是充要条件.20.若A=+3与B=+2,则A,B的大小关系是()A．A>B B．A<BC．A≥B D．不确定【答案】A【解析】A-B=+3-(+2)=(-)2+≥>0,所以A>B,故选A.21.已知a,b,c∈(0,+∞),若<<,则有()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a【答案】A【解析】由<<,可得+1<+1<+1,即<<,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c;由b+c>c+a可得b>a,于是有c<a<b.22.若m,n∈N*,则“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】a m+n+b m+n>a n b m+a m b n(a m-b m)(a n-b n)>0.当a>b时,由于a,b可能为负值,m,n奇偶不定,因此不能得出(a m-b m)(a n-b n)>0;当(a m-b m)·(a n-b n)>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的既不充分也不必要条件.【误区警示】不等式性质的使用前提23.观察下列不等式：①<1；②＋<；③＋＋<；…；则第5个不等式为________．【答案】＋＋＋＋<【解析】不等式左边为＋＋…＋，不等式右边为，故第5个不等式为＋＋＋＋<24.设a，b，c为正实数，求证：＋abc≥2.【答案】见解析【解析】因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得≥3，即≥. 所以＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2，所以＋abc≥225.已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).【解析】(1)本题是一个含参不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1进行讨论；（2）f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，分离参数为|x－2|＋|x ＋3|>m恒成立．所以对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.试题解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0，当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>1时，解集为全体实数R；当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．【考点】1.含参不等式的求解；2.不等式恒成立问题.26.若（m¹0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是【答案】【解析】当时，当时，或.因为不等式对一切x≥4恒成立，所以不能满足，因此且，所以.本题恒成立问题，从解不等式出发，利用解集形式得出不等关系.【考点】不等式恒成立.27.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】解法一：由得由不等式得或所以解法二：图像法.与的图像不能同时在轴上方或下方，所以它们与轴的交点必然重合，所以本题难点在于将原不等式对正实数恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集.【考点】解不等式，不等式恒成立.28.已知均为正数,证明：．【答案】详见解析．【解析】可利用三元或二元基本不等式证明，但要注意合理的配凑.试题解析：证法一：因为均为正数，由均值不等式得， 2分因为，所以． 5分故．又3，所以原不等式成立． 10分证法二：因为均为正数，由基本不等式得，，．所以． 2分同理， 5分所以．所以原不等式成立． 10分【考点】基本不等式的应用.29.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．30.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_________________【答案】[-1,4](或－1≤a≤4)【解析】因为，所以，解得．【考点】绝对值不等式的性质，恒成立问题．31.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.32.已知，那么下列不等式成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于每个式子中都有，故先比较的大小.因为，所以.又.【考点】不等关系.33.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.34.若在内恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】本题不等式恒成立问题可采用分离参数法．在内恒成立转化为在内恒成立，即，即只要求时的最大值，易求得最大值为3，故．【考点】分离参数法．35.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．36.若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．.B．.C．.D．.【答案】D【解析】令，则，于是；令，则；令，则；，即，两边同乘以得.【考点】基本不等式37.已知，则下列不等式中总成立的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】，故选A．【考点】不定式的性质．38.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．39.设,则的大小关系是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，所以最小，而，，所以，即，所以综上得：.【考点】比较大小.40.已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.【答案】（1）不等式的解集为；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查解绝对值不等式和证明不等式，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想.第一问，利用函数零点将绝对值去掉，将函数转化为分段函数，分类讨论解不等式；第二问，先利用已知函数将所证结论进行转化变成，再利用作差法先证，再开方即可.试题解析：（Ⅰ），当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．…4分所以不等式的解集为．…5分（Ⅱ）即．…6分因为，所以，所以．故所证不等式成立．…10分【考点】1.解绝对值不等式；2.作差法证明不等式.41.已知的最小值是，则二项式展开式中项的系数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，当且仅当时取等号，∴二项式为，∴，∴令，∴，∴.【考点】1.不等式的性质；2.二项式定理.42.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．>B．＋≤1C．≥2D．a2＋b2≥8【答案】D【解析】因为a>0，b>0利用基本不等式有，当且仅当时等号成立，C 错；由得，，A错；，当且仅当时，等号成立，D正确；，当且仅当时等号成立，B错；综上可知，选D.【考点】基本不等式、不等式的性质.43.求下列不等式的解集（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）这是一个含绝对值的不等式，解此类不等式一般可用零点分类讨论，化为解不等式组的问题，另外也可以将其变形为，然后两边平方转化为一元二次不等式求解；（Ⅱ）同样用零点分类讨论，化为解不等式组的问题，也可以利用型不等式解法求解；试题解析：（Ⅰ）解法1：原不等式等价于或或这三个不等式组的解集分别为，，，所以原不等式的解集为； 5分解法2：原不等式等价于，两边平方整理得，，解得，所以原不等式的解集为； 5分（Ⅱ）解法1：原不等式等价于或这两个不等式组的解集分别为，，所以原不等式的解集为； 10分解法2：原不等式等价于，所以或，解得或所以原不等式的解集为. 10分【考点】含绝对值的不等式.44.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，而，故.【考点】指对数的计算以及余弦符号的判断.45.设正有理数x是的一个近似值，令.（Ⅰ）若；（Ⅱ）比较y与x哪一个更接近于，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析;（Ⅰ）利用差比较法证明；（Ⅱ）利用差比较法证明.试题解析：(Ⅰ),,. (5分)（Ⅱ），，，，而，，即，所以比更接近于.【考点】绝对值不等式.46.若不等式对一切成立，则实数的取值范围为____________.【答案】或【解析】根据，化简原不等式为，令，则，成立，有，解得或.【考点】三角函数恒等变形，恒成立问题，二次函数的图像与性质.47.若则________________________。

2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编专题07 不等式

一．基础题组 1.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】若直线2y x =上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为．2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 【答案】6．3.【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则xy x y u 22-=的取值范围是．4.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】已知实数x 、y 满足2035000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 .5.【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】如果1log log 22=+y x ，则y x 2+的最小值是．考点：基本不等式，对数的运算.二．能力题组1. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是．2. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是．3. 【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】已知函数()()R x k x x kx x x f ∈++++=,112424．则()x f 的最大值与最小值的乘积为．4. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则b a -的最大值为 .三．拔高题组1. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x CP +⋅=，则xy 的最大值为 _ ．【答案】3 【解析】试题分析：由9AB AC ⋅=得cos 9bc A ⋅=;又sin cos sinC B A =⋅得cos b c A =⋅;又6ABC S ∆=得2.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计为等腰梯形，腰与底边成角为其横断面要求面积为米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．）为y（米）.．．．．．．．BC与两腰长的和⑴求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.。

2014届高三数学最后一课试题拆解：不等式

不等式1．已知1x >，则11y x x =+-的最小值为（）A. 1B. 2C.D. 3【答案】D【解析】因为1x >，所以11y x x =+-=1(1)11x x -++-3≥,当且仅当2x =时取等号. 2. 设x 、y 满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大【答案】23. 设x 、y 满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知当直线z ax by =+经过点(2,4)时,z 取最大值,所以246a b +=,即213a b +=,所以12a b +=22(2)33a ba b a b +++=53+2233b aa b +223≥⨯+53=3,所以12)a b +≥3=2,故12)a b +的最小值为2.4．若实数x ，y 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．25C ．2D ．22【答案】C【解析】可行域为直角三角形，其面积为12.2S =⨯=5.（2011年南昌一中模拟)若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-6．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a 的取值范围是（）A ． 45-B ． 1C ． 2D ．无法确定【答案】B【解析】要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax y +=0并平移使之与过点,C 24⎛⎫ ⎪33⎝⎭（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a >0，只能和AC 重合，∴1a =.7. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)设x 、y 满足约束条件，若目标函数（其中0,0a b >>)的最大值为3,则的最小值为（）(A ).3 (B ). 1 (C).2 (D ).4 【答案】A（当且仅当a=b=1时，等号成立），故12a b +的最小值为3. 8.(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最小值是( )(A) 2517(B) 85 (C) 95 (D) 2【答案】C【解析】作出可行域如下所示：则()()2222222221xy xy x y a x y x y x y y x +++≥==++++．设y t x =（表斜率），则[2t ∈，]4，则152t t ⎡+∈⎢⎣，174⎤⎥⎦，故max2915x y y x ⎛⎫⎪ ⎪+=⎪+ ⎪⎝⎭，所以95a ≥．即min 95a =．9. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)已知点),(n m A 在直线012=-+y x 上，则n m 42+的最小值为 .10. (2012年海淀区模拟)已知22log log 1a b +≥,则39a b +的最小值为 .【答案】18【解析】因为2log 1ab ≥,所以2ab ≥,所以39a b +=233a b +≥≥≥18.。

2014年高考试题分类汇编(不等式)

2014年高考试题分类汇编（不等式）考点1 不等式的性质1.（2014·山东卷·理科）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是 A.221111x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C.sin sin x y > D.33x y > 2.（2014·北京卷·文科）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.（2014·天津卷·理科）设,a b R Î，则“a b >”是“a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.（2014·辽宁卷·文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 5.（2014·四川卷·文科）若0a b >>，0c d <<，则一定有 A.a b d c > B.a b d c< C.a b c d > D.a b c d < 考点2 解不等式与不等式的证明考法1 一元二次不等式1.（2014·全国卷Ⅰ·理科）已知集合2{230}A x x x =--≥，{22}B x x =-≤<，则A B =A.[2,1]--B.[1,2)-C.[1,1]-D.[1,2) 2.（2014·全国卷Ⅱ·理科）设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则MN =A.{}1B.{}2C.{}01，D.{}1,23.（2014·大纲全国卷·理科）设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =A.(0,4]B.[0,4)C.[1,0)-D.(1,0]- 4．（2014·四川卷·理科）已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =A ．{1,0,1,2}- B.{2,1,0,1}-- C.{0,1} D.{1,0}- 5.（2014·四川卷·文科）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =A.{1,0}-B.{0,1}C.{2,1,0,1}--D.{1,0,1,2}- 6.（2014·山东卷·文科）设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B = A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4) 7.（2014·浙江卷·理科）设全集{}2U x N x =∈≥，集合{}25A x N x =∈≥，则U C A =A.∅B.{}2C.{}5D.{}2,5 8.（2014·浙江卷·文理）已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则MN =A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)9.（2014·江西卷·理科）设全集为R ，集合2{|90}A x x =-<，{|15}B x x =-<≤,则()R A C B =A.(3,0)-B.(3,1)--C.(3,1]--D.(3,3)- 考法2 分式不等式或高次不等式1.（2014·辽宁卷·理科）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--考法3 含有绝对值符号的不等式1.（2014·安徽卷·理科）若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或82.（2014·湖南卷·理科）若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{}33x x -<<，则a = .3.（2014·江西卷·理科）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.44.（2014·江西卷·文科）R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为______.5.（2014·广东卷·理科）不等式521≥++-x x 的解集为 . 考法4 数的大小比较1.（2014·安徽卷·文科）设3log 7a =， 1.12a =， 3.10.8a =，则A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a << 2.（2014·天津卷·文科）设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >> 3.（2014·辽宁卷·文科）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>考点3 基本不等式1.（2014·重庆卷·文科）若42log 34log a b +=（）a b +的最小值是A.6+7+C.6+7+考点4 线性规划类型 11.（2014·全国卷Ⅱ·理科）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为A.10B.8C.3D.2 类型 21.（2014·全国卷Ⅱ·文科）设,x y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．8 B.7 C.2 D.12.（2014·大纲全国卷·文理）设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .3.（2014·浙江卷·文科）若,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是 .4.（2014·北京卷·文科）若,x y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .5.（2014·天津卷·文理）设变量,x y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.56.（2014·福建卷·理科）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为______.7.（2014·辽宁卷·文科）已知,x y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .8.（2014·湖南卷·文科）若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为______.9.（2014·广东卷·理科）若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=A ．8 B.7 C.6 D.510.（2014·广东卷·文科）若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.11 类型31.（2014·全国卷Ⅰ·文科）设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B.3 C ．-5或3 D.5或-32.（2014·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为3.（2014·安徽卷·理科）,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 A.12或-1 B.12或2 C.2或1 D.2或-1 4.（2014·浙江卷·理科）当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .5.（2014·北京卷·理科）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为A.2B.2-C.12 D.12- 6.（2014·福建卷·文科）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为A.5B.29C.37D.49考点5 不等式选讲1.（2014·全国卷Ⅰ·文理）若0,0a b >>，且11a b+=.（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2.（2014·全国卷Ⅱ·文理）设函数()f x =1(0)x x a a a ++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.3.（2014·全国卷Ⅱ·文理）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则的最小值为 .（柯西不等式）。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测9--数列、不等式、数学归纳法

2014届高三数学理科单元过关自测(九)（数列、不等式、数学归纳法）一、选择题：1、不等式2210x x -->的解集是（）A ．），（121- B.），（∞+1 C ．），（），（∞+∞-21 D ．），（），（∞+-∞-121 2.下列命题中正确的是 ( )A.xx y 1+=的最小值是2 B.x x y x sin 2sin ),,0(+=∈π的最小值是22C.4522++=x x y 的最小值是2 D.+∈R x ,x x y 432--=的最大值是342-3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )．A ．1B ．－1C ．2D ．21 4.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =( )A. 9B. 8C. 7D. 65、对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D) k ≤-36、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()2,1，则z OM OA =⋅的最大值为（）A ．3B ．4C ．32D ．427、已知),2(241321...2111N n n n n n ∈≥>+++++过程中，由"1"""+==k n k n 变到时，不等式左边的变化是（）A ．)1(21++k B ．11221121+-++++k k k C ．11221+-++k k D ．)1(21121++++k k 8、如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（）A .)4()1()3(f f f <<B .)4()3()1(f f f <<C .)1()4()3(f f f <<D .)1()3()4(f f f <<班别：姓名：学号：成绩：一、选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题9. 不等式1|31|≥-+x x 的解集是 . 10. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =11、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。

名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编5：不等式

江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编不等式一、填空题1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设y x ,均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ 答案：162、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-010y x y x 且目标函数by ax z +=2 )0,0(>>b a 的最大值是1，则ab 的最大值为答案：81 3、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为＿＿＿＿答案：24、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）若动点(,)P m n 在不等式组24x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内的动点，则11n z m +=+的取值范围是 ▲ . 答案：1[,5]35、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考）设x ，y 是正实数，且x+y=1，则的最小值是．答案：146、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）已知()()1,2,4,a x b y =-= ，若a b ⊥ ，则93x y +的最小值为 ▲ .答案：67、（江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研）已知点Q b a p 与点),(（1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法（1）0132>+-b a （2）0≠a 时，ab有最小值，无最大值（3）M b a R M >+∈∃+22,使恒成立（4）且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞ 其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）答案：（3）（4）8、（江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ▲9、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 答案：－310、（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为6. 答案：611、（江苏省张家港市后塍高中2014届高三12月月考）已知点P 的坐标4(,)1x y x y y xx +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ▲ ．答案：二、解答题 1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯，整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′（2）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ()150110306x x x +≥= 当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14 2、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。

2014年高考理科数学真题分类——不等式

2014年高考数学真题汇编——不等式一．选择题：1．(2014上海)设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件【答案】 B 【解析】Bb a b a b a b a 所以，选必要不充分条件是必要条件成立，则且若不是充分条件且无法推出显然，.∴422∴22,4∴>+>>>>>+2．(2014四川)若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A 、a b c d >B 、a bc d < C 、a b d c > D 、a b d c<【答案】D 【解析】Dcbd a c b d a c d b a cd c d d c 选.0∴0--∴01-1-,001-1-∴011∴0<<>>>>>>>><<<<3.(2014上海)若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy 4.(2014新课标I).不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.5. (2014新课标II)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=6(2014天津)设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B 【解析】此题区域不是封闭区域，属于陷阱题结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3.7. (2014广东)若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.M m M m C --==-∴-=提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选8. (2014北京)若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D -9 (2014山东)已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（CD ）2（10(2014安徽)x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-15 D11(2014天津)设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>12(2014江西) (1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=二．填空题1. （2014大纲）设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.2（2014浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、（2014福建）要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 1604（2014福建）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________15 (2014重庆)若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.【答案】]211-[，【解析】]211-[∈1-2≥0221≥25221≥)(∴25)21f(|2||21-||21-|)(222，解得，，即恒成立，即有最小值由数轴可知，a a a a a a a x f x x x x f +++++=+++= 6. （2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 【答案】-2 【解析】2-54-3.2-)4-1(211054-3654-3.58|22|1032,153:2151:)2-2∴)22(≥])153([1⇒]1532151)2-2[≥])153([1])215()2-2[])153([1∴0-)215()2-2-42-42222222222222222的最小值为所以，这时，取最大值时，，即当（（（（cb a b b b b bc b a c b a b c b a b b a b a c b b a b ba c cb ba cb ab a +≥=+=++===++••+•+•+=+•=+=+7(2014湖南).若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，则____=k .【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且不等式组,4y x x y ≤+≤限制的区域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划8(2014湖南)x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.9 (2014陕西) (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b =时等号成立，故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为 ………5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分 2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）}34≤≤0|{x x （2）【解析】（1）}34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴1≤01;34≤≤11≥.1≤1-|1-|2)(x x M x f x x x x x x x f =<<+=所以，的解集为时，解得当时，解得当（2）222222223222213()16814444133[0,],[,],[0,]3444()[()][2(1)1](1)(1)(1)(12)111(1)(1)22413()[()],[0,]44g x x x x M N M N x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x ，解得--=-+＃==?+=?+-+-=?+-=-+-+=-=-?=\+Ｎ4（2014福建）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .（I ）求a 的值；（II ）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p . 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.。