十二届九年级中环杯决赛答案

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12届初赛解析

杯赛速递——三年级中环杯初赛在短短三年内，三年级中环杯的考点变了又变，让人有种琢磨不透的感觉，但不管考点发生了什么变化，对于杯赛考试总有些东西是不变的。

第一个不变的就是我们大多数家长让孩子参加杯赛的原因——小升初。

小升初是一条漫漫长路，三年级的杯赛只是一个开始，只有积累了经验、获得了认可和鼓励，在四年级的冲刺中才会充满信心，所以不论成绩如何，都请您和孩子一起进行反思，鼓励孩子继续努力。

其次，学习依旧是一个持续反复的过程，不会因为你是三年级的孩子就不考察二年级的知识点了，所以有空的时候就让孩子们回顾一下之前所学吧。

我们一直在努力的往前学，但之前所学的我们还记得多少呢？最后，孩子们需要全面的发展，中环杯的考题已经不仅仅是在考察孩子们的数学水平了，竞赛试题要求孩子们有着良好的阅读理解能力，来弄清题意，适当的把孩子们的精力分一些到语文上去吧。

好啦，说了那么多，让我们一起来看看今年三年级中环杯的解析吧~第十二届“中环杯”小学生思维能力训练活动三年级选拔赛试题解析一、填空题1、计算：100-96+92-88+……+12-8+4=（）【解析】考点：速算与巧算（分组法），等差数列求和公式易错点：等差数列求和公式算出项数后需要除以2，求出组数。

100-96+92-88+……+12-8+4 =（100-96）+（92-88）+……+（12-8）+4求出项数：（100-8）÷4+1=24，24÷2=12，12+1=13100-96+92-88+……+12-8+4 =（100-96）+（92-88）+……+（12-8）+4=4×13=52【答案】522、在下列各数字间的适当位置填入恰当的运算符号或括号，使等式成立。

若数字间不填任何符号或括号，则视为一个数。

例如“2 0+1+1”视为“20+1+1”。

2 0 1 1 1 1 0 2 =2011【解析】考点：巧填算符本题的关键是找到2011，然后利用加减乘除和括号进行运算。

第15届中环杯九年级决赛

AB CN 5
PM 4a 。容易证明 PQ 为 ABC 的中位线，所以 PQ 1 AB 5a 。结合
2
PM PQ
4a 5a
MQ
a
。容易证明
DQM
∽EAD
，所以
QM AD
DM ED
1 ，所以
2
AD 2QM 2a 。而 AQ 1 AB 5a ，所以 QD 3a 。 DBF 被 QMP 所截，由梅涅劳斯
ab
cd
2
1 2
ab
1 2
cd
2 SABD
SCBD
2S ABCD
，分母为
ad
bc
2 sin 60
1 2
ad
sin 60
1 bc sin 60 2
2 sin 60
SADC
SABC
2 sin 60
S ABCD
，所以
ab cd 2SABCD sin 60 3
ad bc
2 sin 60
S ABCD
p 2m1 1
p 2m2 2
p 2mo o
，则
g n n2
p 2m2 2
p 2mo o
22k 1
p 2m1 1
p 2m2 2
p 2mo o
2
，
22k 1 2
p 2m1 1
2
p 2mo 2 o
22k 1
p 2m1 1
p 2mo o
g
22k 1
第 15 届中环杯决赛试题解析（九年级）一、填空题（本大题共 10 小题，每题 6 分，共 60 分）：
1. 计算：
6 33 6
________.
3 9 3 4 2 3 3 1 3 2 1

十三届五年级中环杯选拔赛答案

7. 【答案】 97 块
3 能被 8 K 整除。先用盈亏问题思考，人数 6 7 8 K ，即1 所以 K 7 ，
即学生人数是 13 人。所以蛋糕共有 13 8 7 97 块 8. 【答案】 75 9. 【答案】 3.3
66 12 8 2 10 3.3 （小时）
所以 a3 28 。所以 a2 a3 8 。 17. 【答案】 623
2012 y 6 x y 2012 y x y 6 。 6 x 7 y 2012 7 x y 2012 x x y 2012 x 7
1 1 DE EC 15 8 60cm 2 。 2 2
13. 【答案】52，79 如果要考虑最低的得分，那么其余几人的得分要尽量高，则为 91、90、89，则得解为 52。如要考虑最多得分，那要用平均思想解答。 414－92＝322， 322 ÷4＝80.5，则其余四人的分数分别为 82、81、80、79。 14. 【答案】 C 由 D 与 E 所讲的话可判断出 D 与 E 两人间至少有一人是说谎者；若 C 说实话，则 AB 两人均说谎，说谎人数超过两人，矛盾，故 C 是说谎者，因此 AB 两人都说实话，可推知写字的人是 C 。 15. 【答案】18.75 或 6.25 此题两解。第二次相遇，可能在中点的左面，也可能在中点的右面。首先求出 AB 两地的距离：300×2÷（60－40）＝30 分钟，（60＋40）×30 ＝3000 米。再求第二次相遇两人分别走的时间之差，得到两个结果：18.75 分钟或 6.25 分钟。 16. 【答案】 8 首先当 m 2 时，要使得
（1）根据 x y

部编数学九年级上册第23章旋转(培优卷)(解析版)含答案

第23章旋转（培优卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．2.如图将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋转180°得到△ABC ，设点A ¢的坐标为（a ，b ），则A 的坐标为（）A ．（﹣a ，﹣b ）B ．（﹣a ，﹣b ﹣1）C ．（﹣a ，﹣b +1）D ．（﹣a ，﹣b ﹣2）【答案】D 【解析】解：Q 将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋180°得到△ABC ，,CA CA ¢\=设(),,A m n 而(),,A a b ¢ 由中点坐标公式可得：0212m a n b ì+=ïïí+ï=-ïî ;解得：2m a n b ì=-ïí=--ïî;∴ A （﹣a ，﹣b ﹣2）故选D3.如图，将ABC V 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，且点D 恰好在AC 上，136BAE CDE Ð=Ð=°，则C Ð的度数是（）A ．24°B ．26°C ．30°D ．36°【答案】A 【解析】解：由题意可知：=E C ÐÐ，EAD CABÐ=Ð又∵136BAE Ð=°,∴1(360)1122EAD CAB BAE Ð=Ð=°-Ð=°又∵136E EAD EDC Ð+Ð=Ð=°,∴24E EDC EAD Ð=Ð-Ð=°，∴24Ð°=C 故选：A ．4.如图，Rt ABC △中，30B Ð=°，90C Ð=°，2AC =，BC 平行于y 轴，以点()0,5A 为旋转中心，将Rt ABC △逆时针旋转30°，得到Rt AB C ¢¢△，则点C ¢的坐标为（）A ．()B ．()4C ．()D ．()4【答案】D 【解析】解：过点C ¢向AO 作垂线，垂足为点D ，如图，∵30B Ð=°，90C Ð=°，∴60BAC Ð=°∵∥BC y 轴，∴30BAO B Ð=Ð=°，∴306090BAO BAC Ð+Ð=°+°=°，将Rt ABC △逆时针旋转30°，得到Rt AB C ¢¢△，∴30CAC C AB BAB ¢¢¢Ð=Ð=Ð=°，∴BC AB ¢∥，∴点B ¢在y 轴上，由旋转的性质得，2,60AC AC C AD CAD ¢¢==Ð=Ð=°，∴30AC D ¢Ð=°,∴1121,22AD AC ¢==´= ∵(0,5)A ， ∴5OA =,∴514OD OA AD =-=-=由勾股定理得，C D ¢=∵点C ¢在第二象限，∴点C ¢的坐标为()4故选：D ．5.如图，70BA BC ABC =Ð=°，，将BDC V 绕点B 逆时针旋转至BEA △处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接DE ，则BED Ð为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】A 【解析】∵△BDC 绕点B 逆时针旋转至△BEA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，∴∠CBD =∠ABE ，BD =BE ，∵∠ABC =∠CBD +∠ABD ，∠EBD =∠ABE +∠ABD ，∠ABC =70°，∴∠EBD =∠ABC =70°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =11(180)(18070)5522EBD °-Ð=°-°=°，故选：A ．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M æöç÷ç÷èø，()21M -，()31,4M ，4112,2M æöç÷èø四个点中，直线PB 经过的点是（）A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M 【答案】B 【解析】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC ∴B （2，），设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ì+=+ïí=ïî∴2k b ì=ïí=ïî，∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x ∴点M 1（0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上．故选：B ．7.如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连结AP 、BP 、CP ，若AP ＝6，BP ＝8，CP ＝10．则S △ABP +S △BPC ＝（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转60°后得AB P ¢V ，连接PP ¢，根据旋转的性质可知，旋转角60PBP CAB ¢Ð=Ð=°，BP BP ¢=，∴BPP ¢V 为等边三角形，8BP BP PP ¢¢===，由旋转的性质可知，10AP PC ¢==，在APP ¢V 中，8¢，6，由勾股定理的逆定理得，APP ¢V 是直角三角形，∵1642BPP S BP BP ¢=×==V11682422APP S AP PP ¢¢=××=´´=V ，∴24ABP BPC BPP APP AP BP S S S S S ¢¢¢+==+=V V V V 四边形．故选：D ．8.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （3，0），B （0，4），则点B 2022的横坐标为（）A ．12120B ．12128C ．12132D ．12125【答案】C【解析】解：∵点A （3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4，∴5AB ==，∴OA ＋AB 1＋B 1C 2＝3＋5＋4＝12，∴B 2（12，4），B 4（24，4），B 6（36，4），…，()212,4n B n ∵2022÷2＝1011，∴1011×12＝12132，故选：C ．二．填空题（每小题2分，共16分）9.如果抛物线224y x x m =-+的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m 的值是___．【答案】5【解析】∵抛物线y ＝2x 2−4x ＋m 的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3），∴抛物线y ＝2x 2−4x ＋m 的顶点坐标是（1，3），∴3＝242(4)42m ´--´ ，解得，m ＝5；故答案为：5．10.如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B ¢坐标是______．【答案】()2,3-或()2,3-【解析】解：∵A (-1，2)， OC = 4，∴ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB //x 轴，BM = 3．将平行四边形OABC 绕点O 分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM =OM 1=OM 2=2，∠AOA 1=∠AOA 2=90°BM =B 1M 1=B 2M 2=3，A 1B 1⊥x 轴，A 2B 2⊥x 轴，∴B 1和B 2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．11.如图，△ABC中，∠ABC＝64°，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，使得AA′∥BC，则∠CBC′＝_________°．【答案】52【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△BA′C′，∴BA′=AB，∴∠BAA′=∠BA′A，∵AA′//BC，∴∠A′AB=∠ABC，∵∠ABC=64°，∴∠A′AB=64°，∴∠ABA′=（180°-2×64°）=52°，∵∠CBC′=∠ABA′，∴∠CBC′=52°．故答案为：52．12.如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．-【答案】(1,3)【解析】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：观察图象，可知C对应的点1C坐标为（-2，3），-∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是(1,3)-．故答案是：(1,3)13.如图，在AOB V 中，90AOB Ð=°，3cm AO =，4cm BO =，将AOB V 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到11A OB V 处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，12OD AB =，则线段1B D 的长度为______．【答案】1.5cm【解析】∵在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3cm ，BO ＝4cm ，∴AB 5cm ，∴OD ＝12AB ＝2.5cm ，∵将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，∴OB 1＝OB ＝4cm ，∴B 1D ＝OB 1-OD ＝1.5cm ．故答案为：1.5cm ．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，∠CAB =30º，BC =4．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α度（0<α£180），得到△DEC ，A ，B 的对应点分别为D ，E ．边DC ，DE 分别交直线AB 于F ，G ，当△DFG 是直角三角形时，则BD =__________．【答案】4-【解析】解：根据题意得：CD =AC ，∠CDE =∠A =30°，当∠DFG =90°时，如图：∵∠ACB =90º，∠CAB =30º，BC =4．∴28AB BC ==，∴CD AC ===∵1122ABC S AB CF AC BC D =×=×，∴AC BC CF AB×==∴DF CD CF =-=当∠DGF =90°时，如图：∵∠CDE =∠A =30°，∠DGB =90°，∴∠DFG =60°=∠ABC ，∴点B 与点F 重合，∴4BD CD BC =-=-；综上所述，BD 的长为4-．故答案为：415.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 为等腰三角形，5AC AB ==，8BC =，点A 与坐标原点重合，点C 在x 轴正半轴上，将ABC V 绕点C 顺时针旋转一定的角度后得到11A B C V ，使得点B 对应点1B 在x 轴上，记为第一次旋转，再将11A B C V 绕点1B 顺时针旋转一定的角度后得到211A B C V ，使得点1A 对应点2A 在x 轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为___________．【答案】(12141,3)【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB =AC =5，BC =8,∴BD =CD =12BC =4，∴3AD ==，由题意1(9,3)A ，()218,0A ，3(18,0)A ，4(27,3)A ，5(36,0)A ，6(36,0)A ，()745,3A ,…，每3次是一个循环组，202336741¸=×××，∴2023A 在竖直方向的位置与1A 的位置相同，纵坐标为3，∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为67418912141´+=，∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3)．故答案为（12141，3）16.如图，在矩形ABCD 中，AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120°得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．【解析】解：如图所示，将线段DC 绕点D 顺时针旋转120°得到线段DC ¢，作直线GC ¢交AD 于K ，过点A 作AH GC ¢^于点H ．120,,,EDC EDC GDC CD C D DE DG ¢¢¢Ð=°-Ð=Ð==Q DCE DC G ¢\≌△△（SAS ）90,GC D C KC D ¢¢\Ð=Ð=°=Ð如图所示，当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC ¢上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC ¢．\当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度．120,90,CDC CDA ¢Ð=°Ð=°Q 30,KDC ¢\Ð=°1,602C K DK C KD AKH ¢¢\=Ð=°=ÐC D CD AB ¢===Q 2,4C K DK ¢\==6AD BC ==Q ，2AK AD DK \=-=在Rt AKH V 中，60AKH Ð=°，11,2KH AK AH \====则线段AG三．解答题（共60分）17.（6分）如图，在ABC V 中，AB ＝BC ，∠CBA ＝60°，点E 是BC 上的一点，连接AE ，将EA 绕点E 顺时针旋转90°得到ED ，点D 恰好在AC 的延长线上，若CE ＝2，求AC 的长．1【解析】解：如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ，∵AB ＝BC ，∠CBA ＝60°，∴ABC V 是等边三角形，∴∠BCA ＝60°，∵EN ⊥AC ，∴∠ENC ＝90°，9030CEN BCA Ð=°-Ð=°，∵CE ＝2，∴1CN =，EN ==由题可知EA 绕点E 旋转90°得到ED ，∴ADE V 是等腰直角三角形，∴45AEN EAD Ð=Ð=°，∴AN NE ==∴1AC AN CN =+=．18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC V 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为()3,1A --，()2,4B --，()1,2C --．(1)先将ABC V 沿y 轴正方向平移3个单位长度，再沿x 轴负方向平移1个单位长度得到111A B C △，画出111A B C △，点1C 坐标是______；(2)将111A B C △，绕点1B 逆时针旋转90°，得到212A B C V ，画出212A B C V ，点2C 的坐标是______．(3)我们发现点C ，2C 关于某点成中心对称，对称中心坐标是______．【答案】(1)见解析，()2,1-；(2)见解析，()5,0-；(3)()3,1--【解析】(1)解：如图，111A B C △即为所求，()12,1C -故答案为：()2,1-(2)解：如图，111A B C △即为所求，点2C 坐标为()5,0-故答案为：()5,0-(3)解：∵()1,2C --，2C ()5,0-，∴1532--=-，2012-+=-，∴对称中心坐标是()3,1--，故答案为：()3,1--．19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴的另一个交点为A ，把该抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1绕着点O 旋转180°，得到C 2，C 2与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线C2的顶点E的坐标；(2)将C2绕着点B旋转180°得到C3，连接C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为______．【答案】(1)(1，1)；(2)4【解析】(1)设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1），∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，∴点G与点E关于原点O对称，∴E（1，1）；(2)设C3的最低点为F，令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由题意：点A与点B关于原点O对称，∴B（2，0），∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，∴点E与点F关于原点O对称，∴F（3，﹣1），过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1，∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四边形GHKF为矩形．∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4，根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4，故答案为：4．20.（8分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，90¹°∠BAD，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2BAD EAF ÐÐ=，理由见解析【解析】(1)延长FD 到点G 使DG =BE ，连接AG ．如图（1），在正方形ABCD 中，AB =AD ，90,BAD ADC B Ð=Ð=Ð=°在ABE D 和ADG D 中，AB AD ABE ADGBE DG =ìïÐ=Ðíï=îABE \D ≌ADG D (SAS )，,BAE GAD AE AG \Ð=Ð=，45GAD DAF BAE DAF \Ð+Ð=Ð+Ð=°45EAF GAF \=Ð=Ð°在AEF D 和AGF D 中，GA EA GAF EAFAF AF =ìïÐ=Ðíï=î\AEF D ≌AGF D ，EF GF GD DF BE DF\==+=+(2)2BAD EAFÐÐ=理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，180,180ABC D ABC ABM Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，D ABMÐÐ\=在ABM D 和ADF D 中，AB AD ABM DBM DF =ìïÐ=Ðíï=îABM \D ≌ADF D ，,AF AM DAF BAM \=Ð=Ð2BAD EAF ÐÐ=Q ，DAF BAE BAM BAE EAF \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，EAF EAM\Ð=Ð在EAF D 和ΔEAM 中，AF AM EAF EAMAE AE =ìïÐ=Ðíï=î\EAF D ≌ΔEAM ，EF EM BE BM BE DF \==+=+，EF BE DF\=+21.（10分）如图，ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 、E 在BC 边上，45DAE Ð=°，将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V．(1)求证：BF BC ^；(2)连接DF ，求证：ADF ADE ≌V V ；(3)若3BD =，4CE =，则DF =______，四边形AFDE 的面积＝______．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5；30【解析】(1)证明：∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，∴C ABF Ð=Ð，∵在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，∴45ABC C Ð=Ð=°，∴454590DBF ABC ABF Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴BF BC ^．(2)证明：∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，∴AF AE =，BAF CAE Ð=Ð，∵45DAE Ð=°，90BAC Ð=°，∴904545BAD CAE Ð+Ð=°-°=°，∴45BAD BAF BAD CAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴DAF DAE Ð=Ð，在ADF V 和ADE V 中，AF AE DAF DAE AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADE SAS V V ≌．(3)解：如图，过点A 作AH BC ^于H ，∵将ACE V 绕点A 顺时针旋转90°得ABF V ，3BD =，4CE =，∴4BF CE ==，由（1）得，90DBF Ð=°，在Rt DBF V中，5DF ==，由（2）得，ADF ADE ≌V V ，∴5DE DF ==，ADF ADE S S =△△，∴35412BC BD DE CE =++=++=，∵在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AH BC ^；∴BH CH =，∴162AH BC ==，∴四边形AFDE 的面积：ADF ADE AFDE S S S =+△△四边形2ADE S =△122DE AH =´´´DE AH =´56=´30=．故答案为：5；30．22.（10分）△ABC 和△DEC 是等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，AC BC =，CD CE =．(1)【观察猜想】当△ABC 和△DEC 按如图1所示的位置摆放，连接BD 、AE ，延长BD 交AE 于点F ，猜想线段BD 和AE 有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE 绕着点C 顺时针旋转一定角度()090a a °<<°，线段BD 和线段AE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD 中，45ADC Ð=°，CD =，4=AD ，将AC 绕着点C 逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD 的长．【答案】(1)BD AE = ，BD AE ^；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】(1)BD AE = ，BD AE ^，证明如下：在BCD △和ACE V 中，90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，AC BC =，CD CE =，BCD ACE \@V V ，,BD AE CBD CAE \=Ð=Ð，90ACB Ð=°Q ，90CBD BDC \Ð+Ð=°，BDC ADF Ð=ÐQ ，90CAE ADF \Ð+Ð=°，BD AE \^；(2)成立，理由如下：∵ACB DEC Ð=Ð，∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð，在BCD △和ACE V 中，∵AC BC =，BCD ACE Ð=Ð，CD CE =，∴BCD ACE V V ≌，∴BD AE =，CBD CAE Ð=Ð，∵BGC AGF Ð=Ð，∴CBD BGC CAE AGF Ð+Ð=Ð+Ð，∵90ACB Ð=°，∴90CBD BGC Ð+Ð=°，∴90CAE AGF Ð+Ð=°，∴90AFB Ð=°，∴BD AE ^；(3)如图，过点C 作CH CD ^，垂足为C ，交AD 于点H ，由旋转性质可得：90ACB Ð=°，AC BC =，∵CH CD ^，∴90DCH Ð=°，∵90ADC CHD Ð+Ð=°，且45ADC Ð=°，∴45CHD Ð=°，∴CHD ADC Ð=Ð，∴CD CH ==在Rt DCH V中：2DH ===，∵90ACB DCH Ð=Ð=°，∴ACB ACH DCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCH Ð=Ð，在ACD △和BCH V 中，∵AC BC =，ACD BCH Ð=Ð，CD CH =，∴ACD BCH ≌△△，∴4BH AD ==，CBH DAC Ð=Ð，∴12CBH DAC Ð+Ð=Ð+Ð，∵90ACB Ð=°，∴190CBH Ð+Ð=°，∴290DAC Ð+Ð=°，∴90BHA Ð=°， ∴BH AD ^，∴BHD △是直角三角形，在Rt BDH V中，BD ==．23.（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中BD >2CE ），直线BG 与DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，请直接写出线段BG 与DE 的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：；②当∠DEC ＝45°时，若AB ＝3，CE ＝1，请直接写出线段DH 的长．BH DH -=【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE；(2)①见解析；【解析】(1)解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且．故答案为：BG＝DE且；(2)①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴，∴；②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形，∴CE＝CH＝1，∴．∵AB＝3，∴设DH＝x，则，在Rt△BDH中，，即，解得：（舍）BG DE^BG DE^BG DE^HK=BH DH BH BK KH-=-==EH=BD===BH DE x222=BH DH BD+222(=xx+12x x==故此时如图，当H ，E 重合时，∠DEC ＝45°，连接BD ．设DH ＝x ，∵BG ＝DH ，∴在Rt △BDH 中，，即解得：故此时综上所述，满足条件的DHDH ==BH DH HG x -222=BH DH BD +222(x x +=12x x ==DH。

1995太原第12届全国中学生物理竞赛预赛、决赛竞赛题含答案

第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题一、1．一木板竖直地立在车上，车在雨中匀速行进一段给定的路程，木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略，设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速竖直下落，下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是（）A.雨点下落的速度B.单位体积中的雨点数C.车行进的速度D.木板的面积2．放映电影时，看到影片中的一辆马车从静止起动，逐渐加快，在某一时刻车轮开始倒转。

已知电影放映机的速率是每秒30幅画面，车轮的半径是0.6米，有12根辐条，车轮开始倒转时马车的瞬时速度是米/秒。

3．镭226的半衰期是1600年，如已知在地球上镭226的总量，能否据此确定4800年前地球上镭226的总量？为什么？4．图预12-1中所示的A 、B 是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同之外，其他一切全同。

将两容器抽成真空，再同时分别插入两个水银池中，当水银柱停止运动时(如图)，问二管中水银温度是否相同？为什么？设水银与外界没有热交换。

二、如图预12-2所示，原长L 0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O 点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述a 、b 两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h 0。

a ．在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h m 为40厘米；b ．在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

三、两端封闭的均匀玻璃管内，有一段水银柱将管内气体分为两部分，玻璃管与水平面成角，如图预12-3，将玻璃管整体浸入较热的水中，重新达到平衡，试论证水银柱的位置是否变化，如果变化，如何变？图预12-1图预12-3四、已知太阳每秒辐射出3.8×1026焦的能量。

问： 1）太阳每秒钟损失多少吨质量？2）假设太阳放射出的能量是由于“燃烧氢”的核反应411H →22He+2e +2ν提供，这一核反应放出28MeV(百万电子伏特)的能量。

2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)

20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。

2012 第十二届 5年级 “中环杯”决赛(详解)

5 如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但已知每一个被盖住的数都是质数，那么，积的个位数是__________

分析：积的个位数等于两个因数的个位数乘积的个位数；一位质数有 2、3 、5、 7； 2×3=6 ，2 ×5=10，2× 7=14 ，3× 5=15，7× 5=35，其中符合条件积的个数也是质数的只有 3×5=15， 7×5=35，故积的个位数是 5。 775 33 2325 23 2 5 25575
20
13
分析：如图 1 所示，从上网下看，上面四个的棱长为 12 厘米的正方体的重叠部分是边长为 12+12-20=4 厘米的正方形；如图 2 所示，从上网下看，下面四个的棱长为 13 厘米的正方体的重叠部分是边长为 13+13-20=6 厘米的正方形；如图 3 所示，从侧面看，上面四个的棱长为 12 厘米的正方体和下面四个的棱长为 13 厘米的重叠部分高为 12+13-20=5 厘米；所有这八个小正方体公共部分的体积是 4× 4×5=80 立方厘米
n个0

以 800 01 9 88 89 能够被 3 整除但不能被 9 整除；所以 88 89 的数字之和
n个 0 n个8 n个 8
8 8 8 9 8n 9 能够被 3 整除但不能被 9 整除；所以 n 能够被 3 整除但不能被 9 整
n个8
除；n 第二小为 6；故从小到大排列起来，其中第二个是 80000001 8 一个大长方体的尺寸是 n× 11× 10，它是由一些 1× 1×1 的单位立方体和一个 2× 1×1 的长方体构成。 2×1 ×1 的长方体在大长方体中有 2671 个位置可以放置。那么， n=__________ 分析：当 2× 1×1 的长方体中长度为 2 的棱与 n× 11×10 大长方体中长度为 n 的棱方向一致时，有（ n-1）×11× 10=110n-110 个位置可以放置；当 2×1 ×1 的长方体中长度为 2 的棱与 n×11× 10 大长方体中长度为 11 的棱方向一致时，有 n×（ 11-1）× 10=100n 个位置可以放置；当 2× 1×1 的长方体中长度为 2 的棱与 n ×11× 10 大长方体中长度为 10 的棱方向一致时，有 n× 11× （ 10-1） =99n 个位置可以放置；则 2× 1× 1 的长方体在大长方体中有（110n-110 ） +100n+99n=2671 个位置可以放置；故 n=9 9 如图，有一个长 5 宽 3 的长方形，一个小球从某一个顶点处以 45°的角度向长方形内发射，碰到长方形壁后会反弹。那么当小球再一次回到长方形某个顶点的时候，它经历了 __________次碰撞。

十二届三年级中环杯决赛答案

第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动三年级决赛答案一、填空题：1. 答：3850()25775514157755711511273571157115233850⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++=2. 答：9，163. 答：如下（3） 9×（1） 83 （1）（2）（3）（9）（7）（0）（2）或（4） 9×（1） 83 （9）（2）（4）（9）（8）（8）（2）4. 答：1×2=6÷3=4+5-75. 答：3，36. 答：264把图形分解开来左图可以构成长方形的个数：15×15=225（个）；右图可以构成长方形的个数：3×28=84（个）；重复的长方形的个数：3×15=45（个）；所以构成长方形的个数是：（225＋84）－45=264（个）。

7.答：1362×5×12＋2×2×4=136cm2或者（2×2＋3×5）×（2×2＋3×5）－5×5×9=136cm28.答：540从倒入5杯水，到倒入8杯水，总重量增加了680－470=210（克）。

所以可以求出1杯水的重量是210÷3=70（克）。

由于5杯水连瓶共重470克，所以6杯水连瓶共重470+70=540（克）9.答：154沿与长边平行方向剪两刀，剪成三个小长方形，它们的周长和最大，最大为+⨯+⨯=（厘米）(2017)220415410.答：20一棵树上最多有鹦鹉18－4×2＝10（只），此时同一棵树上杜鹃也最多只有10只，所以一棵树上最多可有鸟10＋10＝20（只）。

二、动手动脑题：1.答：7个四边形，24个三角形最初只有1个四边形。

每操作一次，增加1个四边形、4个三角形。

所以直至第六次，共有四边形1+1×6＝7（个），三角形4×6＝24（个）。

部编数学九年级上册专题23.2旋转章末题型过关卷(人教版)(解析版)含答案

第23章旋转章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022•湖北）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（）A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（5，1）D．（5，﹣1）【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．【解答】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．故选：D．2．（3分）（2022•宁津县二模）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．65°B．80°C．105°D．115°【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出结论．【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°．故选：D．3．（3分）（2022•焦作二模）若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（）①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形一定全等；③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等；④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案．【解答】解：根据分析可得：①对称点的连线必过对称中心，正确；②中心对称的两个图形一定全等，正确；③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确；④根据定义可得此说法正确；①②③④均符合题意．故选：D．4．（3分）（2022春•邯郸校级期末）如图，平面直角坐标系内Rt△ABO的顶点A坐标为（3，1），将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，顶点A的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣3，1）【分析】画出旋转后图形的位置，根据A点坐标可得OB、AB的长度，从而确定对应线段的长度，根据旋转后A点所在象限，确定其坐标．【解答】解：将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，位置如图所示．∵A（3，1），∴OB＝3，AB＝1．∴OB′＝3，A′B′＝1．∵A′在第二象限，∴A′（﹣1，3）．故选：A．5．（3分）（2022秋•明山区校级月考）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A．（2，6）B．（2，﹣6）C．（2，﹣3）D．（2，0）【分析】首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．【解答】解：∵点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，∴P1（﹣2，6），∵点P2与点P1关于原点对称，∴P2的坐标是：（2，﹣6）．故选：B．6．（3分）（2022•香坊区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．7．（3分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B ′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠BAA′的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝25°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝20°，∴∠CA'B'＝25°＝∠BAC，∴∠BAA'＝∠BAC+∠CAA'＝70°故选：A．8．（3分）（2022秋•海拉尔区校级月考）下列是中心对称图形的有（）（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图．依据定义即可进行判断．【解答】解：由中心对称图形的概念可知，（1）（4）（5）（6）是中心对称图形，符合题意；（2）（3）（7）不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故中心对称的图形有4个．故选：C．9．（3分）（2022春•洪雅县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．65°B．75°C．85°D．130°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝105°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°∴旋转角α的度数是75°，故选：B．10．（3分）（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF+1，则AB的值为（）A．2B．C．D．4【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，BE=EN∠BED=∠NEF，DE=EF∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴点N在与AN成30°的直线上运动，∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，AN，∴AF'=12+1=1（AE），2∴AE＝2，∴AC＝4，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春•崂山区期末）如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转　60　度，会和原图案重合．【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．12．（3分）（2022•荆州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有　4　种．【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．故答案为：4．13．（3分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，直线y=+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B【分析】利用直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，然后判断出∠BAO＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2OB，根据旋转角是60°得到AB′⊥x轴，然后写出点B′的坐标即可．【解答】解：令y＝0，则+2＝0，解得x＝令x＝0，则y＝2，∴点A（0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2×2＝4，∵△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，∴∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝30°+60°＝90°，∴AB′⊥x轴，∴点B′（4）．故答案为：（4）．14．（3分）（2022•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为　（2，1）　．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．15．（3分）（2022秋•台州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B'处，则BB'【分析】根据旋转的性质，即可得OB＝OB′，即BB′＝2OB，又由在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC ＝4cm，O是AC的中点，利用勾股定理即可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：根据旋转的性质，可得：OB＝OB′，∵在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，∴AC＝BC＝4cm，∵O是AC的中点，AC＝2cm，∴OC=12∴在Rt△BOC中，OB==cm），∴BB′＝2OB＝．故答案为：．16．（3分）（2022•咸宁一模）在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），∠AOB＝60°，每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为　（﹣1，−【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意B（1第一次旋转后B1（1），第二次旋转后B2（﹣1，第三次旋转后B31），第四次旋转后B4（1发现四次一个循环，∵2022÷4＝505•••2，∴点B2022的坐标为（﹣1，故答案为：（﹣1，三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春•昌图县期末）如图所示，将△ABC置于平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1．并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）画出以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的△A3B3C3，并写出点A3的坐标；【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点即可得到△A2B2C2，从而得到点A2的坐标；（3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（4，1）；（3）如图，△A3B3C3为所作，点A3的坐标为（1，﹣4）．18．（6分）（2022春•梁平区期末）在网格中画对称图形．图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②是中心对称图形，但不是轴对称图形；③既是轴对称图形，又是中心对称图形．【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形．【解答】解：①如图2；②如图3；③如图4．19．（8分）（2022•湖北）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A 按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CD；（2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=BD＝BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=∴BD＝BE﹣DE=1．20．（8分）（2022秋•息县期末）如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．（1）BD与CE的数量关系是：BD　＝　CE．（2）把图①中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．①求证：BD＝CE．②若延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．（3）若AD＝8，AB＝5，把图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD长度的取值范围．【分析】（1）利用线段的差直接得出结论；（2）①利用旋转得出∠DAE＝∠BAC，进而得出∠DAB＝∠EAC，判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论；②由△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；（3）判断出点B在线段AD上时，BD最小，点B在DA的延长线上时，BD最大，即可得出结论．【解答】解：（1）＝，理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，故答案为：＝；（2）①证明：由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC．∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE．②∠DFE＝∠DAE．理由：∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB＝∠AEC．∵∠AOD＝∠EOF，∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF，∴∠DFE＝∠DAE．（3）当点B在线段AD上时，BD最小＝AD﹣AB＝3，当点B在DA的延长线上时，BD最大＝AD+AB＝13，∴3≤BD≤13．21．（8分）（2022•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中AQ=AF∠QAE=∠FAE，AE=AE∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．22．（8分）（2022•焦作二模）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN 于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　BD＝AE　，BD、AB、CB之间的数量关系为　BD+AB（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．（2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=＝2，求出BH，再用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=，∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB=；故答案为：BD＝AE，BD+AB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=，∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD＝2，∴BH＝DH=在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH=∴CH=∴BC＝CH﹣BH=23．（8分）（2022•沈阳）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　200　米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A 顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　PC＝PE，PC⊥PE．　；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题．（2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得PC＝EC2PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝AH2+HE2=10+PC2=12【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△ABP和△DCP中，BP=CP∠APB=∠DPC，∠B=∠C∴△ABP≌△DCP（AAS），∴DC＝AB．∵AB＝200米．∴CD＝200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，又∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴PC＝PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），EF，∴BF＝DE，PE＝PF=12∵DE＝AE，∴BF＝AE，∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠CBF＝∠CAE，在△FBC和△EAC中，BF=AE∠CBF=∠CAE，BC=AC∴△FBC≌△EAC（SAS），∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝FP，EF．∴CP⊥EP，CP＝EP=12③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°同②可得△FBP≌△EDP（AAS），同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP，在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，，AH∴HE=12又∵AC＝BC＝3，∴CH＝3+∴EC2＝CH2+HE2=10+EC2∴PC2=12。

14届中环杯决赛九年级详解

bn y b
0 x b ，满足我们所有的要求；接下来只要统计 2 ~ 100 中，有多少个数的质因数分解中某个质因子的指数大于等于 2 既可，显然这样的质因子只能是 2,3,5,7 （112 100 ）。利用容斥原理， 2 ~ 100 中 22 的倍数有 25 个， 32 的倍数有11个， 52 的倍数有 4 个， 72 的倍数有 2 个，但是有三个数重复统计了： 36,72,100 ，所以好数一共有 25 11 4 2 3 39个
（2）当 x 3 时， x 6 35 35 0 。显然此时 x 的定义域为 6 x 4 ，所以
3 x6 1 4 x
35 35 ， 35 35 ，所以
1 4 x 1 10 3 x 6 3 10
x 6 35 35 6 6 35 35 6 6 35 35 0 ，所以不可能为

i
1 。而
BG j

j 999
AB
（1
j
998 ），则
AB BG j

999 j
。 FAGj
被 OHB 所截，所以
FO OA

AB BG j
GjH HF
1 i 1 999 Gj H
j HF
1
GjH HF

j
999i 1
。根据四边形的蝴蝶定理，我们有
SGj BO SFBO
p
，其指数为
mm

1
，令

y

b p
，则 b | y2 （因为
n y 1
y2

b2 p2
，其中质因子
p
的指数为 2m 2 。由于 m

奥数2012年中环杯四年级奥数决赛(含答案)

第十二届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛一：填空题：（每题 5 分，共 50 分） 1．计算： 43 ÷ 221×13 + 59 ÷ 17 = （【考点】整数计算【分析】原式 = 43 ÷ (221 ÷ 13) + 59 ÷ 17 = 43 ÷ (221 ÷ 13) + 59 ÷ 17 =43÷17+59÷17 =(43+59) ÷17 =102÷17 =6 ）2． 2011 × 2011 的方格，画一条直线，最多可穿过（【考点】数列规律【分析】如图所示：）个方格。

...... ...... ...... ...... 3×3 4×4 5×5 2011×2011 ......在 3 × 3 的方格中，画一条直线，最多可穿过 3 + 2 = 5 个方格。

在 4 × 4 的方格中，画一条直线，最多可穿过 4 + 3 = 7 个方格。

在 5 × 5 的方格中，画一条直线，最多可穿过 5 + 4 = 9 个方格。

以此类推，在 2011 × 2011 的方格中，画一条直线，最多可穿过 2011 + 2010 = 4021 个方格。

（在 n × n 的方格中，画一条直线，最多可穿过 n + (n − 1) = 2n − 1 个方格。

） 3．2012 个连续自然数从小到大排列，取出其中第 2 个数，第 4 个数，第 6 个数……，第 2012 个数，把剩下的数相加，得到的结果是 1025114，则这 2012 个连续自然数的和为（）。

【考点】等差数列【分析】（法一）奇数项，偶数项各 2012 ÷ 2 = 1006 个数，那么第 1 个数 + 第 2011 个数的和： 1025114 × 2 ÷ 1006 = 2038 ，第 2011 个数 − 第 1 个数的和： 2010 第 1 个数 = (2038 − 2010) ÷ 2 = 14 第 2011 个数是： 14 + 2010 = 2024 第 2012 个数是： 2024 + 1 = 2025 这 2012 个连续自然数的和为： (14 + 2025) × 2012 ÷ 2 = 2051234 （法二）奇数项，偶数项各 2012 ÷ 2 = 1006 个数这 2012 个连续自然数奇数项的和为： 1025114 这 2012 个连续自然数偶数项的和为： 1025114 + 1006 = 1026120 这 2012 个连续自然数的和为： 1025114 + 1026120 = 2051234 4．火柴棒搭成的图案的一部分如图所示。

福建省泉州惠南中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

泉州惠南中学2024年秋季期中考试卷九年级数学满分：150分考试时间：120分钟2024．11．14班级：_____号数：_____姓名：_____第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项。

）1．下列二次根式子中，是最简二次根式的是（）ABCD2．下列计算正确的是（）A ．B ．CD3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B ，C 都在横线上．若线段，则线段的长是（）第3题图A ．B ．2C ．D ．44．如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于（）第4题图AB CD5．如图，在中，D ，E 分别在边上，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）2=1-=4=2=4AB =BC 2332A B C sin BAC ∠ABC △,AB AC ADE ACB △△∽第5题图A ．B ．C．D ．6．根据福建省统计局数据，福建省2021年的地区生产总值为43903.89亿元，2023年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为，根据题意可列方程（）A ．B ．C ．D ．7．如图，嘉嘉在时测得一棵4米高的树的影长为8米，若时和时两次日照的光线互相垂直，则B 时的影长DE 为（）第7题图A ．2米B ．C ．4米D ．米8．如图，在中，D ，E 分别是的中点，相交于点，则下列四个结论中，错误的是（）第8题图A ．B ．C ．D ．9．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．如图，在中，平分交于点，若，则CD 的长为（）AED B∠=∠ADE C∠=∠AD DEAC BC=AD AEAC AB=x ()43903.89153109.85x +=()243903.89153109.85x +=243903.8953109.85x =()243903.89153109.85x +=A DF A B ABC △,AB AC ,BE CD O 12DE BC =12OE OB = 1 2ADE ABC =的周长的周长△△ 14ADE BCED =的面积四边形的面积△36︒ABC △36,,A AB AC BD ∠=︒=ABC ∠AC D 2BC =第9题图ABCD10．关于的方程的两个根互为相反数，则的值是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

2024-2025学年福建省泉州实验学校九年级(上)段考数学试卷(二)(含答案)

2024-2025学年福建省泉州实验学校九年级（上）段考数学试卷（二）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，一定相似的是( )A. 两个等腰三角形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形2.Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，tanA 的值为( )A. 12 B. 55 C. 2 55 D. 23.如图，将△ABC 沿着DE 剪成一个小三角形ADE 和一个四边形D′E′CB ，若DE//BC ，四边形D′E′CB 各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE 应是( )A. B. C. D.4.已知α为锐角，sin (α−20°)=32，则α=( )A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°5.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为12，则四边形DBCE 的面积为( )A. 14B. 1C. 32D. 26.如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tanA 的值为( )A. 13B. 12C. 55D. 2 557.如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB =CD =m(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF 的长度为( )A. msinαB. mcosαC. m sin αD. mcos α8.如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F.已知AF =4，则线段AE 的长度为( )A. 6B. 8C. 10D. 129.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C ，嘉琪发现风景区C 在A 地的北偏东15°方向，那么B ，C 两地的距离为( )A. 2 6千米B. (2 2+3)千米C. 3 2千米D. 5千米10.如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD 、BE 、CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M 、N ，求MN的长( )A. 3− 5B. 2C. 5−12D.5+12二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

【四年级奥数】商的变化规律精选

【四年级奥数】商的变化规律精选（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）一、知识点分析（1）重点、考点：发现并运用商的变化规律。

（2）难点、易错点：商的变化规律的探究策略。

（3）教学目标1、让学生探索并掌握一个被除数不变，另一个除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。

2、使学生经历商的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。

二、同步教学：商的变化规律【知识点梳理】商的变化规律1、如果两个数相除，如果被除数乘几，除数不变，则商就乘几。

2、如果两个数相除，如果被除数除以几，除数不变，则商就除以几。

3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几，则商就除以几。

4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几，则商就乘几。

【例题详解】例1在除法算式128÷4中，如果被除数乘2，除数不变，商有什么变化？拓展1 在除法算式128÷4中，如果被除数不变，除数乘8，商有什么变化？拓展2 在除法算式128÷4中，如果被除数乘4，除数乘2，商有什么变化？拓展3在除法算式128÷4中，如果被除数乘3，除数乘6，商有什么变化？拓展4 在除法算式144÷12中，被除数乘6，除数除以3，商有什么变化？拓展5在除法算式128÷4中，被除数除以4，除数乘2，商有什么变化？拓展6 在除法算式128÷4中，被除数除以8，除数除以4，商有什么变化？例2两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数不变，新的商是多少？拓展1 两个数相除，商是210，如果被除数不变，除数乘3，新的商是多少？拓展2 两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数乘6，新的商是多少？例3两个数相除，商是7，余数是8。

如果被除数和除数同时乘10，商是多少？余数是多少？例4凡凡在做一道除法算式题时，将被除数乘5，除数乘6，得到的商是80，正确的商应该是多少？【课堂练习】1、贝贝在做一道除法算式题时，将被除数乘3，除数乘4，得到的商是150，正确的商应该是多少？2、兰兰在做一道整数除法算式题时，将被除数末尾的一个“0”漏写了，结果得到的商是20，正确的商应该是多少？3、小美在做一道整数除法算式题时，给被除数末尾多写了一个“0”，结果得到的商是250，正确的商应该是多少？4、两个数相除，商是450，如果被除数乘5，除数不变，新的商多少？5、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时乘20，那么商是多少？余数是多少？6、两个数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时乘120，那么商是多少？余数是多少？7、两个数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时除以100，那么商是多少？余数是多少？【课堂小结】今天我们学习了什么内容，先由学生总结，再由老师补充。

十三届九年级中环杯选拔赛答案

x y 2
x y
x
2
x y
，所以 x
x y 2
x36 。接下来分类讨论：
（1）当 x 1 时，此时容易知道 y 1 ，满足我们的要求（2）当 x 1 时，由 x
x 36 x y 36 ，由于 x, y 0 ，所以 x y 6 ，代回
8.答： 6 【解答】如下图补成一个三角形，容易证明 GAF , HBC , IDE , GHI 都是等边三角形，所以 SGHI
SGAF SHBC SIDE
S ABCDEF
3 3 9 3 3 2 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 4 3 3 2 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 2 3 3 4
3 4
3 4

93 3 2 3 32，而3 3 ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 3 3 4 4 3 4 3 3 3 1 4 3 1 4 3 2 6

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第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动九年级选拔赛答案
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第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动九年级选拔赛答案
【解答】 x
x y
y3 x x y
3
x y
y3
x y
y
3 x y
2
y x y 。将 y x y x12 代入得