1981高考数学试卷

合集下载

1981全国高考文科数学试题

x=10×（1.02）20, 两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴x=14.859（亿) 2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得
10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)≤lg1.2.
（注：用复数法解亦可
）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？
下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即
答：
B
a
D
cLeabharlann EACb证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E
设△ABC的面积为S，则将上式除以得：
六．（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标
解：设AC中点为M（x,y）,则有又设AC斜率为k，则k=3
因此得BD的斜率为
故有直线BD的方程：又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）

1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a解：原式=2)(38b a b三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC SB ac AD BC S sin 2121又 C ab AD BC S sin 2121 C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31k 故有直线BD 的方程：(1))1(312 x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为B a(2) 10)2()1(22 y x解方程（1）、（2）得B 、D 的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标D 1 C 1A C解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y xy 4)2(2422得222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k 即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219 a a a a 即。

1981年试题全国高考数学试题及参考答案

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A＝{有理数},B＝{无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B＝{实数}.(或A∪B＝R,或A∪B＝实数集合.)(2)A∩B＝.(或A∩B＝{ },或A∩B＝空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋DB2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋BD2＝[bsin(180°－A)]2＋[c＋bcos(180°－A)]2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是直角,cosA＝0,∴a2＝b2＋c2＝b2＋c2－2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2＝│BC│2 ＝(c－bcosA)2＋(－bsinA)2＝b2＋c2－2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x－a－b－c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a＋b＋c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n＝1时等式成立.(ii)假设当n＝k时等式成立,即所以当n＝k＋1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087＝0.00377 lg1.0092＝0.00396 lg1.0096＝0.00417lg1.0200＝0.00860 lg1.2000＝0.07918 lg1.3098＝0.11720lg1.4568＝0.16340 lg1.4859＝0.17200 lg1.5157＝0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x＝10×(1.02)20,两边取对数,得lgx＝1＋20lg1.02＝1.17200,∴x＝14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1＋y%)20≤12,即(1＋y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1＋y%)≤lg1.2.即lg(1＋y%)≤0.00396.∴1＋y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB＝10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P－a－Q的平面角,∴∠ADC＝120°.又AD＝2,BCDE为矩形,∴ CD＝BE＝4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF＝60°,AD＝2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－3＝0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y＝k(x－1)＋1,代入双曲线方程,整理得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0, (iii)由第二式解出k＝2,但k＝2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ－sin2θ)t2＋2(4cosθ－sinθ)t＋5＝0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC＝a,BC＝b,作数列u1＝a－b,u2＝a2－ab＋b2,u3＝a3－a2b＋ab2－b3,……,u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－……＋(－1)k b k;求证:u n＝u n－1＋u n－2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－…＋(－1)k b k因a－b＝AC－BC＝AC－AF＝FC＝1,ab＝AC·BC＝CD2＝1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n＝u n－1＋u n－2成立,只要证明a n＋1－(－1)n＋1b n＋1＝a n－(－1)n b n＋a n－1－(－1)n－1b n－1,即a n－1·a2－(－1)n－1b n－1·b2＝a n－1·a＋(－1)n－1b n－1·b＋a n－1－(－1)n－1b n－1, 或或上式确是等式,故证得u n＝u n－1＋u n－2.。

1981年全国高考数学试题及答案解析

1981年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1981高考数学全国卷及答案理

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A 为原点，射线AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c 2-2bccosA.五．（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x解：右式=x 2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x ≠0,x>a+b+c六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式Ynnnx x x x x x 2sin2sin 2cos2cos2cos2cos32=⋅⋅⋅对一切自然数n 都成立证：略七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D;在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C ∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P-a-Q 的平面角，∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4连接AC ，由余弦定理得.72=AC又因AD ⊥a,CD ⊥a,所以a 垂直于△ACD 所在的平面BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC在直角△ABC 中，,57sin==∠ABAC ABCF D C57arcsin=∠∴ABC2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F 因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ，∴AF ⊥平面Q在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin2=︒连结BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin.103sin=∠==∠ABF ABAF ABF九．（本题满分17分）给定双曲线.1222=-yx1．过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程2．过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L 的方程为y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：(2)0344)24()2(2222=-+--+-k kx k kx k又设P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),),,(y x P 则x 1,x 2必须是（2）的两个实根，所以有).02(22422221≠---=+kkk k x x按题意，.22),(212221--=∴+=kk k x x x x因为),(y x 在直线（1）上，所以.2)12(21)222(1)2(222--=+---=+-=kk kk k k x k y再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为,17)21(47)1(822=---y x 这就是所求的轨迹方程2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(3)032)22()2(2222=-+--+-k kx k kx k设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是（3）的两个实根，即.2222221--=+k k k x x 如果B 是Q 1Q 2的中点，就有121=+x x ，即221=+x x ，所以有.222222=--kk k 综合起来，k应满足⎪⎩⎪⎨⎧=--≥-+----.2222,0)32)(2(4)22()(222222k k k k k k k k I由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k=ba bak k k +--+++111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=11112111n11n 111112(1)(1)aba (1),(1)(1)()a(1)(1)(1)n n n n n n n n nnnnnnnn nnnn n n n n n abu a b aba bb aba b a ba bu a b a b a ba b ab ba b au u ---------+++++----=+--=+--=+----==-++-----=+--+=故得于是有11.n n bu a b+=+A。

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案 (理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)。

【免费下载】1981年全国统一高考数学试卷文科

2．（8 分）（1981•北京）化简：
考点：专题：分析：
方根与根式及根式的化简运算．计算题．利用指数幂的运算法则，把原式转化为料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1981年全国高考数学试题

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,u k=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:u n=u n-1+u n-2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1981年全国高考理科数学试题

1981年全国高考理科数学试题一、（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1、A B；2、A B。

解：1、A B={实数},2、A B=Φ。

二、（本题满分6分）在,,,A B C D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。

解：1、选举种数2412A=（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC。

2、选举种数34C=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD。

三、（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，或是充要条件，或是既不充分也不必要条件。

解：见下表四、（本题满分8分）150写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明。

解：2222cos a b c bc A =+-证明：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，如图。

因为BC AC AB =-，所以2222BC AC AB AC AB =+-⋅，所以2222cos a b c bc A =+-。

五．（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：0x a b c a x b c a b x c--->--解：x a b c x x x x b a ca xbc a x b c a x b a c xb x a ca b x ca b x ca b x a c-+-=-==--------- - 0 - 0 0- - + 22[()()()][()][()]0x x b x a c b a c x x a b c x x x a b c =----+=-++=-++>所以原不等式解是0,x x a b c ≠>++。

六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos22222sin 2nn n x x x x xx ⋅⋅⋅⋅= 对一切自然数n 都成立。

数学试卷81年普通高等国统一考试.文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=2)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A ==六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

1981年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A 为原点，射线AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c 2-2bccosA.五．（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x ac b a x 解：右式=x 2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x ≠0,x>a+b+c 六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式Ynnn xx x x x x 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos32=⋅⋅⋅对一切自然数n 都成立证：略七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B 已知点A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D;在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C ∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角 ∠ADC 为两面角P-a-Q 的平面角，∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4 连接AC ，由余弦定理得.72=AC又因AD ⊥a,CD ⊥a,所以a 垂直于△ACD 所在的平面再由BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC 在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABCF D C57arcsin=∠∴ABC 2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F 因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ，∴AF ⊥平面Q 在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin 2=︒连结BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九．（本题满分17分）给定双曲线.1222=-y x1．过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程2．过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L 的方程为y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：(2) 0344)24()2(2222=-+--+-k k x k k x k又设P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),),,(y x P 则x 1,x 2必须是（2）的两个实根，所以有).02(22422221≠---=+k k k k x x按题意，.22),(212221--=∴+=k kk x x x x 因为),(y x 在直线（1）上，所以.2)12(21)222(1)2(222--=+---=+-=k k k k k k x k y再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为,17)21(47)1(822=---y x 这就是所求的轨迹方程 2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(3) 032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是（3）的两个实根，即.2222221--=+k k k x x 如果B 是Q 1Q 2的中点，就有121=+x x ，即221=+x x ，所以有.222222=--k kk 综合起来，k 应满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥-+----.2222,0)32)(2(4)22()(222222k k k k k k k k I由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成u k =a k-a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)kb k=ba b a k k k +--+++111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=11112111n 11n 111112(1)(1) aba (1) ,(1)(1)()a (1)(1) (1)n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n a b u a ba b a bb ab a ba b a b u a b a b a b a b ab b a ba u u ---------+++++----=+--=+--=+----==-++-----=+--+=故得于是有11.n n b u a b+=+。

1981年全国统一高考数学试卷(文科)

1981年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（8分）（1981•北京）化简：．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．1981年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（8分）（1981•北京）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果．解答：解：原式===．点评：本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数f（x）的解析式提取，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期，得到（﹣π，π）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可．解答：解：f（x）=（sinxcos+cosxsin）=，所以f（x）以为振幅，以2π为周期，区间（﹣π，π）恰好是f（x）的一个周期的定义区间，故f（x）在区间上取得最大值．点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．考点：正弦定理．专题：证明题．分析：先写出正弦定理，然后证明．先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以可得证．解答：解：．证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E．设△ABC的面积为S，则=；∴，将上式除以，得：．点评：本题主要考查正弦定理的证明．属基础题．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；中点坐标公式．专题：计算题．分析：本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为﹣1，进行解题，联立方程，求解即可．解答：解：设AC中点为M（x，y），则有，∴M（x，y）=M（1，2）．又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为．故有直线BD的方程：，又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=10 （2）解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（﹣2，3）．（注：用复数法解亦可）点评：本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1，要证明截面ACB1⊥对角面DBB1D1，只需证明截面ACB1内的直线AC垂直对角面DBB1D1内的相交直线BB1、BD即可．解答：证明：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1如图，由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD；又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC，∴AC⊥对角面BB1D1D，已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D．点评：本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1﹣x2）2，（y﹣y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k．1（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得．解答：解：（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．解方程组：，得（2x+k）2=4x，即4x2+4（k﹣1）x+k2=0，故有x1+x2=1﹣k，x1x2=．∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．又因P1，P2在直线y=2x+k上，故（y1﹣y2）2=4（x1﹣x2）2=4（1﹣2k）．根据题设条件，即（1﹣2k）+4（1﹣2k）=45，解得：k=﹣4．（2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有．依题意得△PP1P2的面积关系：，即6=|2a﹣4|，∴a=5，a=﹣1．点评：“设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式l AB=|x1﹣x2|．。

1981年高考作文

1981年高考作文篇一：1981年全国高考数学试题及其解析1981年全国高考数学试题及其解析文史类一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.二．（本题满分8分）化简：[?a7b23(a?b)2]?[2a2?b2a2a2(b?a)3]?[]24三．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π五．（本题满分10分）六．（本题满10分）已知正方形aBcd的相对顶点a（0，-1）和c（2，5），求顶点B和d 七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？八．（本题满分15分）aBcd-a1B1c1d1为一正四棱柱，过a、c、B1三点作一截面，求证：截面acB1⊥对角面dBB1d九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3，求k2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形9时，求P理工农医类一、设a表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设a={有理数},B={无理数},试写出:(1)a∪B,(2)a∩B.二、在a、B、c、d四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出a是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点a和点B.已知点a和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段aB=10.(1)求直线aB和棱a所成的角;(2)求直线aB和平面Q所成的角.(1)过点a(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以aB为直径的半圆有一个内接正方形cdEF,其边长为1(如图).设ac=a,Bc=b,作数列U=a-b,1U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).文史类参考答案及解析一、解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二、解：原式=83(b?a)b三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、四、解：4是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.f(x)?2sin(x??),所以f(x)以2为振幅,以2?为周期,区间(??,?)恰好五、答：sinasinBsinc??.abc证：引ad垂直Bc于d;引BE垂直ca的延长线于设△aBc的面积为S，则S??11ac?BE?bcsin(180??a)221bcsina;211Bc?ad?acsinB2211S?Bc?ad?absinc22111?S?bcsina?acsinB?absinc2221sinasinBsinc将上式除以abc,得：??.2abc又S?六、解：设ac中点为m（x,y）,则有x?0?2?1?5?1,y??2.?m(x,y)?m(1,2)22篇二：1981年高考数学全国卷(理科)及其参考答案1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出a是B的充分条件，还是必要条件，还1四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可）证二：解析法：以a为原点，射线aB为x轴正向，建立直角坐标系，则得a(0,0),B(c,0),c(bcosa,bsina).由两点距离公式得：a2=|Bc|2=(c-bcosa)2+(-bsina)2=b2+c2-2bccosa.五．（本题满分10分）解不等式（x为未知数）：x?aa?abx?bb?cc?0.x?c解：右式=x2(x-a-b-c)>0原不等式解是x≠六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式2cosxxxx?cos2?cos3??cosn?2222sinxx2sinn2n对一切自然数n七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点a和点a和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段aB=10，1．求直线aB和棱a 所成的角;2．求直线aB和平面Q解：1.在平面P内作直线ad⊥a于点d;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，Fdc从点d作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点∴∠aBc等于aB 和a∠adc为两面角P-a-Q的平面角，∴∠adc=1200ad=2，BcdE为矩形，∴连接ac，由余弦定理得ac?27. 又因ad⊥a,cd⊥a,所以a垂直于△acdBc∥a得知Bc垂直于△acd所在的平面，∴Bc⊥在直角△aBc中，sin?aBc?ac7?,aB54??aBc?arcsin752．在△acd所在的平面内，作aF⊥cd交cd的延长线于点因为△acd 所在的平面⊥平面Q，∴aF⊥平面在△adF中，∠adF=600，ad=2，∴aF=2sin60??3连结BF，于是∠aBF是aB和平面Q所成的角，而△aBF为直角三角形，所以sin?aBF?aF33?.?aBF?arcsin.aB1010九．（本题满分17分）y2给定双曲线x??1.221．过点a（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：(2?k2)x2?(4k2?2k)x?4k2?4k?3?0(2)又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(,),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有4k2?2k2x1?x2?2(k?2?0).k?25篇三：高考优秀作文(81)20XX年天津卷高考满分作文评析：愿景文题诠释]天津卷去年考查了开放性很强的命题作文――“留给明天”，今年依旧是命题作文，选用了新词汇“愿景”作为题目。

1981年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

4 41981 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数 P 2=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数 C 3=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出 A 是B 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是A BA 是B 的什么条件1 四边形 ABCD 为四边形 ABCD 为必要条件平行四边形矩形2 a=3 |a|=3 充分条件3 θ=1500sinθ=12充分条件4点（a,b)在圆x2+y2=R2 上a2+b2=R2充要条件解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以 A 为原点，射线 AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得 A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点距离公式得：YCa2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五．（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：x -a a -abx -bb-ccx -c> 0.解：右式=x2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x≠0,x>a+b+c 六．（本题满分10分）b aA O cB X下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 用数学归纳法证明等式cos x ⋅ cos x 2 22• cos x23 ⋅ cos x 2n = sin x2n sin x 2n对一切自然数 n 都成立证：略七．（本题满分 15 分）设 1980 年底我国人口以 10 亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达到多少？（2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数 x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第 21 项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得 lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿 ) 2．设人口每年比上年平均递增率最高是 y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答：略八．（本题满分 17 分）在 1200 的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内，分别有点 A 和点 B 已知点A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4，且线段 AB=10，1．求直线 AB 和棱 a 所成的角;2．求直线 AB 和平面 Q 所成的角解：1.在平面 P 内作直线 AD⊥a 于点 D;在平面 Q 内，作直线 BE⊥a 于点 E ，FD C从点 D 作 a 的垂线与从点 B 作 a 的平行线相交于点 C∴∠ABC 等于 AB 和 a 所成的角∠ADC 为两面角 P-a-Q 的平面角，∴∠ADC=1200 又 AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4 连接 AC ，由余弦定理得 AC 2 7.又因 AD⊥a,CD⊥a,所以 a 垂直于△ACD 所在的平面再由 BC∥a 得知P 1200Q E BABC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC⊥AC在直角△ABC 中， sin ∠ABC =AC = 7 ,AB 5∴ ∠ABC = arcsin752．在△ACD 所在的平面内，作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F因为△ACD 所在的平面⊥平面 Q ，∴AF⊥平面 Q在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF= 2 s in 60︒ = 3连结 BF ，于是∠ABF 是 AB 和平面 Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以sin ∠ABF =AF = AB 3 .∠ABF = arcsin 3 .10 10九．（本题满分 17 分）给定双曲线x 2- y 2= 1.1．过点 A （2，1）的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P 1 及 P 2，求线段 P 1P 2 的中点 P 的轨迹方程2．过点 B （1，1）能否作直线 m ，使 m 与所给双曲线交于两点 Q 1 及 Q 2，且点 B 是线段 Q 1Q 2 的中点？这样的直线 m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线 L 的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：(2 -k 2 )x 2 +(4k 2 -2k )x -4k 2 +4k -3 =0(2)21 又设 P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), P (x , y ), 则 x 1,x2 必须是（2）的两个实根，所以有x 1 + x 2 = 4k 2 - 2k k 2- 2(k 2- 2 ≠ 0).按题意， x = 2 (x 1 + x 2 ),∴ x = 2k 2 - kk 2 - 2 .因为(x , y ) 在直线（1）上，所以y = k (x - 2) + 1 = k ( 2k 2 - kk 2 - 2- 2) + 1 = 2(2k - 1) . k 2- 2再由x , y 的表达式相除后消去 k 而得所求轨迹的普通方程为4( y - 1)28(x - 1)2 - 7 2 = 1, 7这就是所求的轨迹方程 2．设所求直线方程为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(2 - k 2 )x 2 + (2k 2 - 2k )x - k 2 + 2k - 3 = 0(3)设Q 1 (x 1 , y 1 ), Q 2 (x 2 , y 2 ),则x 1 , x 2 必须是（3）的两个实根，即2k 2 - 2k x 1 + x 2 =k 2 - 2. 如果 B 是 Q 1Q 2 的中点，就有 x 1 + x 2 = 1，即 x 1 + x 2 = 2 ，所以有 2k 2 - 2kk 2 - 2= 2. 综合起来，k 应满足⎧(2k 2 - 2k )2 - 4(2 - k 2 )(-k 2 + 2k - 3) ≥ 0, (I )⎪ 2k 2 - 2k⎨ = 2. ⎩⎪k 2 -2由第二式解出 k=2，但 k=2 不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十．（附加题，本题满分 20 分，计入总分）ABFO C1 23 k 已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF ，其边长为 1（如图）设 AC=a ， BC=b ，作数列 u =a-b ， u =a 2-ab+b 2, u =a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n≥3) 证：通项公式可写成u =a k-a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)kb k=a k +1 - (-1)k +1b k +1a + b因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,EDab=AC·BC=CD 2=1a n -1 - (-1)n -1b n -1故得u n -2 == aba + ba n -1 - (-1)n -1b n -1a +b a nb - (-1)n -1 ab na +b ,u n -1 =a n - (-1)nb n a + b = (a - b ) a n - (-1)n b n a + b =a n +1 - a nb - (-1)n ab n - (-1)n +1 b n +1 a + ba n +1 - (-1)n +1b n +1于是有u n -1 + u n -2 = a + b= u n .k=。

1981年全国高考数学试题及其解析

1981年全国高考数学试题及其解析文史类一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？八．（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为53，求k的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P的坐标理工农医类一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B 到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列U1=a-b,U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,Uk=a k-a k-1b+a k-2b2-……+(-1)k b k;求证:un =un -1+un -2(n≥3).文史类参考答案及解析一、解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二、解：原式=)(38b a b -三、解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四、解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五、答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A == 六、解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M yx =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y x解方程（1）、（2）得B 、D 的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七、解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八、证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九、解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组：x k x kx y xy 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：则P(5,0)或P （-1,0）.1,5|,42|6,5|42|53219-==∴-=-⋅⋅=a a a a 即理工农医类参考答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。

1981年全国统一高考数学试卷理科

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。