2018年1月北京市石景山高三数学(理)试题无答案

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2018年北京市石景山区高三第一学期期末数学(文)试题及答案

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石景山区2017—2018学年第一学期高三期末试卷数学(文）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则集合等于( ）{|23}A x x =-≤≤{|14}B x x x =<->或A B I A ． B ．{}|34x x x >≤或{}|13x x -<≤C ． D ．{}|21x x --<≤{}|34x x <≤2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）i 1ii+A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数满足则的最大值为（）y x ,3,,23,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥3z x y =+A ． B ． C ． D ．34694．已知函数则下列结论正确的是( ）()3,0sin ,0x x x f x x x ⎧+>=⎨⎩≤A ．是偶函数 B 。

是增函数()x f ()x f C ．是周期函数 D ．的值域为()x f ()x f [)+∞-,15．“”是“"的（）10m >A ．充分不必要条件 BC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数,的部分图()2sin()(0f x x ωϕω=+>2πϕ<象如图所示，则的值分别是（）ωϕ， A ．B ．C ．D ．23π-，26π-，46π-，43π，7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么此刍甍的体积为( )1A. 3立方丈 B 。

2018年北京市石景山区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．74．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm36．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+【解答】解：对于A，y＝（x≥0）是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y＝﹣x3，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y＝x，定义域是（0，+∞），是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y＝x+，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调减函数，也不满足题意．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝1，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝2，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝4，i＝4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为4．故选：C．4．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．【解答】解：∵A＝60°，b＝AC＝4，a＝，由余弦定理：cos A＝，即＝，解得：c＝2．那么△ABC的面积S＝|AB|•|AC|•sin A＝＝2．故选：C．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．6．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C（x，y），AB＝2a，则D（x，0），A（﹣a，0），B（a，0），∵线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），∴y2＝λ（x+a）（x﹣a）＝λx2﹣λa2，∴λx2+y2＝λa2．∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2＝32+（﹣1）2＝10，故答案为：10．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x＝1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y ﹣2）2＝1，其圆心C（0，2），半径r＝1．直线l截圆C所得的弦长＝2＝．故答案为．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是（0，1）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）＝k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．【解答】解：解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为＝．故答案为：．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是②③．【解答】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）＝＝＝………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x＝π时f（x）max＝1．当时，即时f（x）min＝﹣2．…………（13分）16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得m＝4，n＝2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；…………………（3分）（Ⅱ）v1＜v2，＜；…………………（6分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝30）＝，P（ξ＝140）＝，P（ξ＝170）＝．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．…………………（13分）17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）依题意，P A⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……（2分）依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．因为，，所以．……（5分）所以AF⊥PC．……（6分）（Ⅱ）取PC的中点M，连接EM．因为M（2，2，2），，，所以，所以BD∥EM．……（8分）又因为EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC．……（9分）解：（Ⅲ）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．……（10分）设平面PCE的法向量为，因为，，所以即令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．……（12分）所以，……（13分）所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．……（14分）18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣ax2的导数为f′（x）＝e x﹣2ax，由已知可得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g'（x）＝e x﹣2，故当0≤x＜ln2时，g'（x）＜0，g（x）在[0，ln2）单调递减；当ln2＜x≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（ln2，1]单调递增；所以g（x）min＝g（ln2）＝2﹣2ln2＞0，故f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．（Ⅲ）当x∈R时，y＝f（x）与y＝bx+1有两个交点．20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，所有可能的数列{a n}为1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4；（Ⅱ）由题意知数列{b n}中b k+1≥b k．又a k+b m﹣k+1＝2018，所以a k+1+b m﹣k＝2018，a k+1﹣a k＝（2018﹣b m﹣k）﹣（2018﹣b m﹣k+1）＝b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0所以a k+1≥a k，即a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）当m＝2时，由b1+b2＝b1b2得（b1﹣1）（b2﹣1）＝1，又，所以b1＝b2＝2，不满足题意；当m＝3时，由题意知数列{b n}中b n+1＞b n，又b1+b2+b3＝b1b2b3当b1≠1时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3＞6b3，所以等式成立b1＝1；当b2≠2时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3≥3b3，所以等式成立b2＝2；当b1＝1，b2＝2得b3＝3，此时数列{a n}为1，2，3．当m≥4时，b1+b2+…+b m＜mb m，而b1b2…b m≥（m﹣1）!b m＞mb m，所以不存在满足题意的数列{a n}．综上数列{a n}依次为1，2，3．。

2018年3月石景山高三数学(理)答案

2019年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCADCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（两空题目，第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-cos23sin2x x =+ 132(cos 2sin 2)22x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分题号 91011121314 答案23，22y x =±1020,1（）132②③16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ0 30 140 170P16 16 13 13ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………… 13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥. ……6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分z yxMFEPBA D C（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以2043cos ,2226AF n ---<>==-⋅， ……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分所以直线l 的方程为1y kx k=+．令1x =-，得1y k k=-+．所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． ……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=，解得：212(,)P k k， ……………11分设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分故当0ln 2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln 21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =） …………8分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =；当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =；当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

石景山区高三一模数学理有答案

北京市石景山区 2018 年高三统一测试数学试题（理科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于（）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为（）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

石景山区2013—2014学年第一学期期末高三数学理科

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 通项公式为（） A ．210n a n =-+ B ．25n a n =-+ C ．1102n a n =-+ D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（）A ．3B ．126C ．127D ．1286．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y x =围成的区域内(阴影部分)的概率为（）A ．12B ．23 C ．34D ．45是输入x21x x =-126x ≥输出x 开始结束否OCxyy x =AB7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[01]x ∈，时，()f x x =，若在区间(11]-，上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（）A ．1[0)2，B ．1[)2+∞，C ．1[0)3，D ．1(0]2，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______． 11．若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为，CD 的长为．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______．14．已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且1A A ⊥平面ABCD ，P 为1A A 上动点，过BD 且垂直于PC 的平面交PC 于E ，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为，当三棱锥E BCD -的体积取得最大值时，四棱锥P ABCD -的高PA 的长为．A DCBE．OA 1ABDCPE三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos 21f x x x x =++()x ∈R ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值，并写出()f x 取最小值时相应的x 值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．A PEBDC18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅ ，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且MP PN =，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈= ，，，，. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（23i n = ，，，）．（ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCAA CBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 3sin 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin 2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，……6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分3sin(2)126x π-≤+≤，312sin 2+136x π-+≤+≤（）， ……11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值31-+．…………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有10300=10030⨯人．…………3分（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:103:2=．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为3535⨯=，从体质为优秀的学生中抽取的人数为2525⨯=．…6分（ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀”为事件A ，则 3335C 9()1C 10P A =-=．故在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为910．…9分（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===，213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===．…………12分题号 9 1011 12 13 14答案 22(1)4x y -+=，2 64 4，34390 ，2所以，随机变量X 的分布列为:X 123 P31061011036191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ，所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分又PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC . ……………4分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．…5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP = ，，，(110)AC = ，，，(011)AE =，，．因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ………6分设平面EAC 的法向量为1()n x y z = ，，，由10n AC ⋅= ，10n AE ⋅= 得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ……………8分所以12221(1)0123cos 31(1)12n AP ⨯+-⨯+⨯<>==+-+⋅ 0，因为二面角E AC D --为锐角，A PEBDCG DA PBCzyxE所以二面角E AC D --的余弦值为33． ……………9分（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ．设(00)F a ，，，则(110)CF a =-- ，，，(112)CP =--，，．设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅= ，20n CP ⋅= 得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =，所以2(11)2a n a =- ，，是平面PCF 的一个法向量．………12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅= ，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ． ……14分 18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =， ()2xf x e '=-，得(0)1f '=-， ……2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.………7分（Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅ ，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，………9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分所以min ()x e x m x ->. 令()1x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， DA PB C zyx EF所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增，则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=，所以24a =， …………1分因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即22214a b a -= ，…………2分解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN = ，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3yy y x -=-+，即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……………3分（Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，，若1(121)i a i n ==- ，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a - ，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意；所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分（ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1，后12n -项取1-，所以2max(1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）．要求n S 的最小值，则只需121n a a a - ，，，前12n -项取1-，后12n -项取1，则2min(1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2018北京石景山区高三(上)期末数学(文)

2018北京石景山区高三（上）期末数学（文）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于（）A ．{}|34x x x >≤或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|21x x --<≤D ．{}|34x x <≤2．设i 是虚数单位，则复数1ii+在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数y x ,满足3,,23,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥则3z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．6D ．94．已知函数()3,0sin ,0x x x f x x x ⎧+>=⎨⎩≤则下列结论正确的是（）A ．()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C ．()x f 是周期函数 D ．()x f 的值域为[)+∞-,15．“10m >”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（）A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）y1211π125π Ox2-2A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈8．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（） A ．点M B ．点NC ．点PD ．点Q第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则,,a b c 的大小关系为_______.10．抛物线24y x =上一点(2,22)到此抛物线焦点的距离为_______.11．执行右面的程序框图，若输入的x 的值为0，则输出的y 的值是________. 12．在数列{}n a 中,12a =，且对任意的*,m n N ∈有m n m n a a a +=⋅,则6_____a =.13．平面向量a r 与b r 的夹角为o60，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +=r r _______ .14．若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组),,,(d c b a __________,符合条件的全部有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）QP N M 图2图130t(s)y(m)ODCBA已知数列{}n a 为递增的等比数列，148a a ⋅=，236a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16．（本小题共13分）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．17．（本小题共13分）某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.（Ⅰ）完成下面的22⨯列联表；不喜欢运动喜欢运动合计女生 50男生合计100200（Ⅱ）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段)50,40[和)70,60[的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.图1B D ACAB D C图218．（本小题共14分）如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，//AB EF ，1AE AD ==，22AB EF ==，90EAB ∠=︒，ABFE ⊥平面ABCD 平面.（Ⅰ）若G 点是DC 中点，求证：//FG AED 平面；（Ⅱ）求证：BF DAF ⊥平面；（Ⅲ）求三棱锥D AFC -的体积．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值.20．（本小题共13分）已知函数()3212()32a f x x x x a R =-+-∈. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(1,)x ∈+∞都有()2f x a '<-成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若过点1(0,)3-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.ABDCGEF数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案C A CD A A B D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． (第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3) 任选一个即可，第二空2分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由14238a a a a ⋅=⋅=及236a a +=…………2分得2324a a =⎧⎨=⎩或3224a a =⎧⎨=⎩（舍） …………4分所以322a q a ==，11a = 所以1112n n n a a q --==…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得121log 2n n n n b a a n -+=+=+…………7分所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+011(222)(12)n n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ …………9分12(1)122n n n -+=+-2212nn n +=-+ …………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β== …………2分所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-…………5分题号 91011121314 答案a b c << 3 13 6423(3,2,1,4); 6因为(0,)αβπ+∈，所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，因为23ADB π∠=，所以3ADC π∠=，所以sin333AH AD π=⋅=； …………11分所以115322ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 17．（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样的定义，可知抽取男生130人，女生70人， …………1分不喜欢运动喜欢运动合计女生 50 20 70 男生 50 80 130 合计100100200…………5分（Ⅱ）由直方图可知在[40,50)内的人数为2人，设为,m n ，在[60,70)内的人数为4人，设为,,,a b c d . ……6分设“两人的运动时间在同一区间段”的事件为A . ………7分从中抽取两名女生的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)m n m a m b m c m d n a n b ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)n c n d a b a c a d b c b d c d …10分两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有7种.7()15P A =………13分18．（本小题共14分）解:（Ⅰ）证明:因为1//,2EF AB EF AB =，1//,2DG AB DG AB =，所以//,EF DG EF DG =， …………2分所以四边形EFGD 为平行四边形，所以//FG ED ； …………4分又因为,ED AED FG AED ⊂⊄面面，AB DC H所以//FG AED 面． …………5分（Ⅱ）证明:因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ⋂平面ABCD AB =,又因为AD AB ⊥，所以AD ABFE ⊥面；因为BF ABFE ⊂面，所以AD BF ⊥； …………8分因为//AB EF ，90EAB ∠=︒，所以2AF BF ==，所以222AF BF AB +=，所以AF BF ⊥； …………10分又因为AD AF A ⋂=所以BF DAF ⊥面. …………11分（Ⅲ） 1133D AFC F ADC ADC V V S EA --∆==⋅=. …………14分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ……… 2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ………4分椭圆方程为2211612x y +=……… 5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y………6分设AB 方程为221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入化简得：22120x tx t ++-= ………8分 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<1221212x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩，又(2,3),(2,3)P Q - APBQ APQ BPQ S S S ∆∆=+2212121216||3()434832x x x x x x t =⨯⨯-=+-=-………13分当0t =时，S 最大为123 ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得2()32f x x x '=-+-．.....1分因为2()32f x x x '=-+-=)1(2---x x ）（，所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(,1)-∞和(2,)+∞ ...........4分（Ⅱ）由x x a x x f 2231)(23-+-=，得2()2f x x ax '=-+-．因为对于任意(1,)x ∈+∞都有()2f x a '<-成立，即对于任意(1,)x ∈+∞都有222x ax a -+-<-成立，即对于任意(1,)x ∈+∞都有21x a x <-成立，设2()1x g x x =-,(1,)x ∈+∞,则21()21411x g x x x x ==+-+≥-- 等号成立当且仅当111x x -=-即2x =. 所以实数a 的取值范围为(,4)-∞． .......................................9分（Ⅲ）设点321(,2)32a P t t t t -+-是函数()y f x =图象上的切点，则过点P 的切线的斜率为2()2k f t t at '==-+-，所以过点P 的切线方程为32212(2)()32a y t t t t at x t +-+=-+--．因为点1(0,)3-在切线上，322112(2)(0)332a t t t t at t -+-+=-+--即322110323t at -+=．若过点1(0,)3-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．令32211()323h t t at =-+，则函数()y h t =与t 轴有三个不同的交点．令2()20h t t at '=-=，解得0t =或2at =．因为1(0)3h =，311()2243a h a =-+，所以必须311()02243a h a =-+<，即2a >．所以实数a 的取值范围为(2,)+∞． . ........................................13分。

北京市石景山区2018届高三上学期期末数学试卷理科含

2018-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．53．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．74．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A． B．C． D．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．67．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为38．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是（结果用数值表示）．10．已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．12．等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．13．有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数，①方程f（x）=﹣x有个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．16．2018年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．19．已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．20．集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．2018-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则|z|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，a，b的值，可得当a=32，b=25时满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件a＞b，执行循环体，k=5，a=32，b=25满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．故选：A．4．下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A． B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7．将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，即可得出结论．【解答】解：函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，∴∀t∈R，m一定为3，故选D．8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局．【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；与C赛过的是B、D、E、F四人；又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是189（结果用数值表示）．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，使得x的次数为5，然后求出x5项的系数．=C7r x7﹣r（﹣3）r，当r=2【解答】解：因为（x﹣3）7的展开式的通项公式为：T r+1时，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展开式中，x5项的系数为：189．故答案为：189．10．已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【分析】由已知及tanC=可求tanC，进而可求C，然后由余弦定理可得，可求AC，代入可求【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，==故答案为：11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．12．等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于4．【考点】等比数列的性质．【分析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，则可用q分别表示a3和a11，代入a11=a1+5（a3﹣a1）中进而求得q．【解答】解：设a1，a3，a11成等比，公比为q，则a3=a1•q=2q，a11=a1•q2=2q2．又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3﹣a1），∴q=4．故答案为413．有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有①③．（填正确的序号）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量．【分析】根据共线向量的定义判断即可．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．14．已知函数，①方程f（x）=﹣x有1个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出函数的图形，即可得到解的个数；②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：①函数，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．（2）求出角的范围结合三角函数的单调性和最值之间的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）…=…=，…因此f（x）的最小正周期为π．…（Ⅱ）当时，，…当，有最大值1．…即时，f（x）的最大值为2．…16．2018年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布列的性质及，能求出a，b，c的值．（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3，由此能求出X的分布列和数学期望EX．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，∴，．…（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为．…（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3．…则，，，．其分布列如下：所以，．…17．如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出P'A⊥AD，AB⊥AP'，从而P'A⊥面ABCD，进而P'A⊥CD，再推导出AC⊥CD，由此能求出CD⊥平面P'AC．（Ⅱ）推导出P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，从而建立空间直角坐标系，求出平面P'AD 的法向量和平面P'CD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣P'D﹣C的余弦值．（Ⅲ）设，利用向量法能求出线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．因为CD⊂面ABCD，所以P'A⊥CD．…因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2．所以AC⊥CD．因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．…所以，．由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量为，设为平面P'CD的一个法向量，则，即，再令y=1，得．==．所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．依题意可设，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），．由（Ⅱ）知，平面P'CD的一个法向量．因为BM∥平面P'CD，所以，所以，解得．所以，线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD…18．已知椭圆的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由点（2，0）在椭圆C上，可得a=2，又，b=，解出即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k （x﹣1）（k≠0）．与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．直线AB'的方程为，令y=0，解得n，又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．又因为，所以．所以．所以椭圆C的标准方程为：．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB ：y=k （x ﹣1）（k ≠0）．…联立y=k （x ﹣1）和x 2+4y 2﹣4=0，得：（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0．所以，．…直线AB'的方程为，…令y=0，解得…又y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1），所以．…所以直线AB'与x 轴的交点Q 是定点，坐标为Q （4，0）．…19．已知函数，g （x ）=x 2e ax （a ＜0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x 1，x 2∈[0，2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于“对于任意x ∈[0，2]，f （x ）min ≥g （x ）max 成立”，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ，．… 当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：所以，函数f （x ）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…因为g（x）=x2e ax，所以g'（x）=（ax2+2x）e ax．…因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．…（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…20．集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．【考点】子集与真子集．【分析】（Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D，并计算此时的值；（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，求出f（2）的值即可；（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则求出，设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集，求出f（k）即可．【解答】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…此时…（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，∴…（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则= (8)分现设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集．由（ⅰ）得…2018年2月10日。

2018年石景山区高三理科数学统一测试(一模)完整版

2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}Ax x x ，集合{|13}B x x ，则A B （）A ．{|13}x xB ．{|11}x xC ．{|12}x xD ．{|23}x x2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)上单调递减的函数为（）A ．yx B ．3yxC ．12log yxD ．1y xx1,1i S 3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．74.在ABC △中，60A，4AC，23BC，则ABC △的面积为（）A ．43B ．4C ．23D ．22考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．是开始否3i ≤输出S结束1SS i 1i i5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A.378cm B.323cmC. 356cm D.312cm6.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种7.设,a bR ，则“a b ”是“a ab b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段C DA B ,且满足2CDAD BD （是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线2212xy的焦距是________,渐近线方程是________. 10.若变量,x y 满足2,239,0,xy xy x ≤≤≥则22xy 的最大值是____________.BACD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin2,x y（为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x xx x≥，若关于x 的方程()f x k 有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，,，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b ，使得=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数2()2cos 23sin cos 1f x xx x .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; （Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 9922689879对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x ＜40 2 B 40≤x ＜80 9 C 80≤x ＜120 m D 120≤x ＜160 3 E160≤x ＜200n（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．如图，四边形ABCD 是正方形，PA平面ABCD ，EB //PA ，4ABPA ，2EB ，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AFPC ；（Ⅱ）求证：BD //平面PEC ；（Ⅲ）求二面角DPCE 的大小．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x 的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l ykx b 与曲线C 相切于点P ，与直线1x相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2()xf x eax ，曲线()yf x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx .（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当xR 时，判断()y f x 与1y bx 交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）FEPBAD C对于项数为m （1m ）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}kk b a a a （1,2,,km ），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018kmk a b （1,2,,km ），求证：kk a b （1,2,,km ）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCADCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（两空题目，第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x cos23sin2xx题号91011121314 答案23，22yx1020,1（）132②③132(cos2sin 2)22x x π2sin(2)6x,,,,,,5分所以周期为2ππ2T. ,,,,,,6分（Ⅱ）因为ππ2x ，所以7ππ13π2666x.,,,,,,7分所以当π13π266x时，即πx 时max ()1f x . 当π3π262x时,即2π3x时min()2f x .,,,,13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B ；………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ；………………… 6分（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，030140170P16161313的数学期望为111132503014017066333E．………………… 13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．,,2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF，(4,4,4)PC，所以80(8)0AF PC ．,,5分所以AFPC . ,,6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM ，(4,4,0)BD，所以2BDEM ，所以//BD EM ．,,8分又因为EM平面PEC ，BD平面PEC ，所以//BD 平面PEC ．,,9分（Ⅲ）解：因为AFPD ，AFPC ，PD PC P ，所以AF 平面PCD ，故(2,0,2)AF为平面PCD 的一个法向量．,,10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z ，因为(4,4,4)PC，(0,4,2)PE，所以0,0,n PC n PE即4440,420,x y z yz令1y ，得1x，2z ，故(1,1,2)n．,,12分所以2043cos ,2226AF n，,,13分所以二面角D PC E 的大小为5π6．,,14分zyxM F EPBADC18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24yx ．……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx byx，消去x 得：2440kyyb．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb，即1bk．……８分所以直线l 的方程为1ykx k．令1x，得1yk k．所以Q 11,kk．……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k，解得：212(,)P k k，……………11分设(,0)M m ，2121(1)()kMQ MPm m kkk221=2m mm k所以当22=0-10mm m ，即10m MQ MP 时，所以MQMP所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ．……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2xf x eax , 由已知可得(1)2f eab ，(1)1f e ab解之得1,2ab e ．…………３分（Ⅱ）令()'()2xg x f x ex ．则'()2xg x e ,…………５分故当0ln 2x时，'()0g x ，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln 21x时，'()0g x ，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min()(ln 2)22ln 20g x g ，…………８分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max()(1)1f x f e ．………11分（Ⅲ）当x R 时，()yf x 与1y bx 有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4,,,,3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1kk b b .又12018km k a b ，所以12018km ka b ,,,,4分111(2018)(2018)0kkm k m k mk mka ab b b b 所以1kk a a ，即kk a b （1,2,,km ）,,,,8分（Ⅲ）当2m 时，由1212b b b b 得12(1)(1)1b b ，又12,b b N所以122b b ，不满足题意；当3m 时，由题意知数列{}n b 中1n n b b ，又123123b b b b b b 当11b 时此时33b ，12333,b b b b 而12336b b b b ，所以等式成立11b ；高三数学（理科）第11页（共11页）当22b 时此时33b ，12333,b b b b 而12333b b b b ，所以等式成立22b ；当11b ，22b 得33b ，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m 时，12m m b b b mb ，而12(1)!m m m b b b m b mb ，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3.,,,,13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

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北京市石景山区2018年高三统一测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．设全集{,,,}U a b c d =，集合{,,}A a c d =，{,}B b d =，则（UA ）∩B =（）(A) {}b (B) {}d (C) {,}a c (D) {,}b d 2．设复数i z +=11，i z 322-=，则21z z ⋅等于（）(A) i --1 （B ）i 51-- （C ）i -5 （D ）i 55- 3．把一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（） (A) 78.8，75.6 (B) 78.8，4.4 (C) 81.2，84.4 (D) 81.2，4.4 4．条件1|:|>x p ，条件2:-<x q ，则p ⌝是q ⌝的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件5．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，x x f 3)(=，则)91(1--f的值是（）(A) 2- (B) 2 (C) 21-(D) 21 6．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭；（2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；（4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中，假命题．．．是（） (A)（1）（2） (B) （2）（3） (C)（1）（3） (D)（2）（4）7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60º，1=b ， △ABC的面积ABC S ∆=3，则CB A cb a sin sin sin ++++的值等于（）(A) 3932 (B) 3326 (C) 338 (D) 32 8. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且102=S ，364=S ，则过点),(n a n P 和))(,2(2*+∈+N n a n Q n 的直线的一个方向向量的坐标可以是（）(A) (1-，1-) (B) )2,21(-- (C) )1,21(-- (D) )21,2(第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．在523)2(x x +的展开式中，5x 的系数是；各项系数的和是．（用数字作答）10．正方体的全面积是24cm 2，它的顶点都在一个球面上，这个球的半径是 cm ；这个球的表面积是 cm 2．11．现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”、“物理”、“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是．（用数字作答）12．已知数列{}n a 是由正整数组成的数列，41=a ，且满足b a a n n lg lg lg 1+=-，其中3>b ，2≥n ，且*∈N n ，则n a = ，113lim 3n nn n na a --→∞-+= ． 13. 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥,1,0,0y x y x 则22)2(y x ++的最小值为．14. 设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，使x m x f ≤)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数1x 、2x 均有21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数x x x x x f cos sin 3)2sin()cos()(++-=ππ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值及最小值；（Ⅲ）求)(x f 的单调递增区间．16.（本小题满分13分）袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；（Ⅲ）求该生两次摸球后得分的数学期望．17.（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3．（Ⅰ）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若函数)(x f y =在区间2[-，]1上单调递增，求b 的取值范围．18.（本小题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，0=⋅=⋅=⋅，2224AB AC PA ==．（Ⅰ）求证：⊥AB 平面PAC ；（Ⅱ）若M 为线段PC λ=|PC |，问λ为何值时能使直线PC ⊥平面MAB ；（Ⅲ）求二面角A PB C --的大小．19.（本小题满分14分）如图所示，已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AP AM 2=，0=⋅AM NP ，点N 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ) 求曲线E 的方程；(Ⅱ) 若点),(),,1(),,(33322111y x B y B y x B -在曲线E 上，线段31B B 的垂直平分线为直线l ，且A B A B A B 321,,成等差数列，求31x x +的值，并证明直线l 过定点；（Ⅲ）若过定点F (0，2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围．20.（本小题满分14分）已知函数)(x f y =对于任意2πθk ≠（Z k ∈），都有式子1cot )tan (-=-θθa f 成立（其中a 为常数）．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）利用函数)(x f y =构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的1x ，令)(12x f x =，)(23x f x =，…，)(1-=n n x f x ，… 在上述构造过程中，如果i x （i =1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果i x 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围；（ⅱ）是否存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为1x ，都可用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（ⅲ）当1=a 时，若11-=x ，求数列}{n x 的通项公式．以下为草稿纸2018年石景山区高三统一测试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．B 二、填空题：每小题5分，满分30分．（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．40；243 10．3；π12 11．180 12．14-n b； 1- 13．5 14．①④⑤三、解答题：本大题满分80分． 15．（本小题满分13分）解：x x x f 2sin 23cos )(2+-= =x x 2sin 232cos 2121+--=21)62sin(--πx ． …………………………………5分（Ⅰ）T=22π=π． ………………………………7分（Ⅱ）∵ ≤≤x 02π， ∴65626πππ≤-≤-x ．∴ 当x =0，即662ππ-=-x 时，)(x f 有最小值1-， …………………9分当x =3π，即262ππ=-x 时，)(x f 有最大值21． …………………11分（Ⅲ）∵πππππk x k 226222+≤-≤+-，k ∈Z ∴ ππππk x k 232223+≤≤+-， ∴ ππππk x k +≤≤+-36，k ∈Z ． ∴)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππk k ++- （k ∈Z ）． …………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A ，B ，C ．………………1分由题意得：2184)(==A P ，4182)()(===C P B P ． ………………3分因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：41)211()21()3(3344=-=C P ． …………………………………………5分（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得2分的概率165)()()()(12=+=B P B P C P A P C P ． …………9分（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．则161)()()0(===C P C P P ξ； 8141412)()()1(12=⨯⨯===C P B P C P ξ；165)()()()()2(12=+==B P B P C P A P C P ξ；41)()()3(12===C P A P C P ξ；41)()()4(===A P A P P ξ． ………………12分∴ 2541441316528111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ………………13分17．（本小题满分12分）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2， …………1分由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a ． ① ………………3分（Ⅰ）因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a ． ② ………………5分由①②联立解得4,2-==b a ．∴ 542)(23+-+=x x x x f ． ………………6分（Ⅱ）b ax x x f ++='23)(2，由①知02=+b a ， ∴ b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立． ………………8分 ① 在16≥=bx 时，03)1()(min >+-='='b b f x f ，∴ 6≥b ．② 在26-≤=bx 时，0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f ，无实数解．③ 在162<<-b 时，01212)(2min ≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．综合上述讨论可知，b 的取值范围是0≥b ． ……………………………12分18．(本小题满分14分) 方法一：（Ⅰ） 0=⋅=⋅=⋅，∴ AB PA ⊥，AC AB ⊥， A AC PA =⋂，∴ ⊥AB 平面PAC ． ……………………3分（Ⅱ）当M 为PC 中点时，即21=λ时，直线⊥PC 平面MAB ， …………4分证明如下：由（Ⅰ）知⊥AB 平面PAC ，⊂PC 平面APC ，∴ AB PC ⊥， ……5分在等腰CAP ∆中， M 为PC 中点，∴ PC AM ⊥， …………6分又A AM BA =⋂ ，∴ ⊥PC 平面MAB ． ……………8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知当M 为PC 中点时，⊥PC 平面MAB ， ⊂PC 平面PBC ，∴ 平面⊥PCB 平面MAB ． ……………………9分过A 作MB AF ⊥于F ，∴ ⊥AF 平面PBC 作PB FE ⊥于E ，连结AE ，由三垂线定理可知，PB AE ⊥． ∴ AEF ∠为二面角A PB C --的平面角． ……………………11分设a AB =，则a AP AC 2==．在PAC Rt ∆中，a AM 2=，由(Ⅰ)知⊥AB 平面PAC ，⊂AM 平面APC ，∴ AM AB ⊥．在BAM Rt ∆中，⇒+=222AM AB BM a a a BM 3222=+=．由面积公式得AM AB AF BM ⋅=⋅,a AF 32=, ……………12分同理，在BAP Rt ∆中，,5a BP =由面积公式得a AE 52=， ……………13分在AFE Rt ∆中，630sin ==∠AE AF AEF ．所以二面角A PB C --的大小为630arcsin． ……………………14分方法二：(Ⅰ)同方法一． …………………3分 (Ⅱ)如图，以A 为坐标原点，AP AB AC ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设2=AP ，则)0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(),2,0,0(B C A P ， …………………4分当M 为PC 中点时，即21=λ时，直线⊥PC 平面MAB ． …………………5分证明如下：当M 为PC 中点时，)1,0,1(M ．)2,0,2(-=，)1,0,1(=,)1,1,1(--=．01)2(0012=⨯-+⨯+⨯=⋅AM PC ,∴ ⊥，即AM PC ⊥． ………………6分0)1()2(10)1(2=-⨯-+⨯+-⨯=⋅，∴ MB PC ⊥，即BM PC ⊥． ………………7分又M BM AM =⋂ ，∴ ⊥PC 平面AMB ． ……………8分（Ⅲ）可证⊥CA 平面BAP ．则平面BAP 法向量为)0,0,2(1=n ， ……………9分下面求平面PBC 的法向量．设平面PBC 的法向量为),,(2z y x n =，)2,0,2(-=,)0,1,2(-=CB ，⎩⎨⎧=++-=-+0020202y x z x ),2,(2z z z n =⇒，令1=z ，则)1,2,1(2=n ， ……………………12分66622||||,cos 212121=⨯=⋅>=<n n n n ．所以二面角A PB C --的大小为66arccos ． ……………………14分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意知，圆C 的圆心为)0,1(-，半径22=r ．∵0,2=⋅=．∴ NP 为线段AM 的垂直平分线，∴ ||||NM NA =．又∵ 22||||==+r NM CN ，∴ 222>=+AN CN ．∴ 动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点且长轴长为22的椭圆． ……………………2分 ∴ 1,1,2===b c a ．∴ 曲线E 的方程为1222=+y x ． ……………………3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线E 的轨迹为椭圆，A 为右焦点，其右准线方程为2:1=x l设1B 到直线1l 的距离为d ．根据椭圆的定义知211==e dA B ,得111222)2(2222x x d A B -=-==．同理可得：2232=A B ，33222x A B -=． ……………………5分 ∵ A B A B A B 321,,成等差数列，∴ A B A B A B 2312=+，代入得231-=+x x ． ……………………6分下面证明直线l 过定点．由231-=+x x ，可设线段31B B 的中点为（),1n -．∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+=+=+.2,2,12,12313123232121n y y x x y x y x 得n x x y y k B B 21313131=--=． ∴ 直线l 的斜率n k 21-=，则直线l 的方程为：)1(2+-=-x n n y ，即02:=++n y nx l ． ……………………8分 ∴ 直线l 过定点，定点为)0,21(-． ……………………9分（Ⅲ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2+=kx y ，代入椭圆1222=+y x ，得034)21(22=+++kx x k ．由0>∆得232>k ． ……………………10分设),(),,(5544y x H y x G ，254214k kx x +-=+则， ①254213k x x += ． ② 又∵ λ=，即)2,()2,(5544-=-y x y x λ． ∴ 54x x λ=． ③由①②③联立得λλ5425254)1(x x x x x ==++，即λλ222223)1()24(k k k +=++-，整理得 λλ22)1()121(316+=+k． ………………12分∵ 232>k ，∴ 3163231642<+<k ， ∴ 316)1(42<+<λλ，解得331<<λ且1≠λ．又∵ 10<<λ， ∴131<<λ． ……………………13分当直线GH 斜率不存在时，直线GH 方程为0=x ，此时31=，即31=λ．∴ 131<≤λ，即所求λ的取值范围是)1,31[． ……………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令θtan -=a x （2πθk ≠），则x a -=θtan ，而xa -==1tan 1cot θθ，故)(x f =11--xa ， ∴ )(x f y ==xa ax --+1（a x ≠）． ………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当a x ≠时，方程x x f =)(有解， ………………4分亦即方程 01)1(2=-+-+a x a x 有不等于a 的解．将a x =代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解a x =．………………5分由 △=0)1(4)1(2≥---a a ，得 3-≤a 或1≥a ，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞． …………………………7分（ⅱ）假设存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ，那么根据题意可知，xa ax --+1=a 在R 中无解，……………8分亦即当a x ≠时，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解．由于a x =不是方程1)1(2-+=+a a x a 的解，所以对于任意x ∈R ，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解，因此⎩⎨⎧≠-+=+.01,012a a a 解得1-=a ．∴ 1-=a 即为所求a 的值． ……………………………………11分（ⅲ）当1=a 时，x xx f -=1)(，所以，nn n x x x -=+11．两边取倒数，得11111-=-=+nn n n x x x x ，即1111-=-+n n x x ．所以数列{nx 1}是首项为111-=x ，公差1-=d 的等差数列．故n n x n-=-⋅-+-=)1()1(11，所以，n x n 1-=，即数列}{n x 的通项公式为nx n 1-=． ……………………………………14分若有其它解法，请酌情给分．。

2018年北京石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题

石景山区2018年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、已知0,0x y >>,且211x y+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是 2、若,0>>b a 则下列不等式不成立的是（）A.ba 11< B.b a > C.a b +<D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21213.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有G b a ∈⊕；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（）A ．①② B ．①③C ．②③ D ．②4．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,652625．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则nm等于（）A ．2-；B ．2C ．21-D ．216．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7A ．38B ．4C ．2D ．348. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，Z 5k []k 即，．给出如下四个结论：[]{}5k n k n =+∈Z 0,1,2,3,4k =① ；[]20133∈② ； []22-∈③ ；[][][][][]01234Z =∪∪∪∪④ 整数属于同一“类”的充要条件是“”．,a b []0a b -∈其中，正确结论的个数为（）． A ．B ．C ．D ．1234第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，S 4=a 若点，则的最大值为 . S y x P ∈),(y x z +=210．如右图，从圆外一点引圆的割线和，O P O PAB PCD过圆心，已知，PCD O 1,2,3PA AB PO ===则圆的半径等于．O 11．在等比数列中，，则公比；{}n a 141=,=42a a -=q ．123++++=n a a a a12．在中，若，则边上的高等于．ABC ∆2,60,a B b =∠=︒=BC 13．已知定点的坐标为，点F 是双曲线的左焦点，点是双曲线右支A (1,4)221412x y -=P 上的动点，则的最小值为．PF PA +14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，11< +22m x m -≤m m x 记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：{}x {}=x m ()={}f x x x -①的定义域是，值域是；=()y f x R 11(,]22-②点是的图像的对称中心，其中；(,0)k =()y f x k Z ∈③函数的最小正周期为；=()y f x 1④ 函数在上是增函数． =()y f x 13(,]22-则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；)(x f （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，16．（本小题共14分）如图1，在Rt 中，，．D 、E 分别是上的ABC ∆90C ∠=︒36BC AC ==，AC AB 、点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．//DE BC ADE ∆DE 1A DE ∆1A D CD ⊥（Ⅰ）求证：平面；BC ⊥1A DC （Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；2CD =BE 1A BC （Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．D 1A B 17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.1123p 、、，14（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求的值；p （Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.X X EX 18．（本小题共13分）已知函数是常数．()=ln +1,f x x ax a R -∈（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；=()y f x (1,(1))P f l （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； =()(1)y f x x ≠l （Ⅲ）讨论函数零点的个数．=()y f x 19．（本小题共14分）图1图2E。

北京市石景山区2018届高三数学下学期一模考试试题文

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市石景山区2018届高三数学下学期一模考试试题文考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A． B．C． D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A． B． C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x＜40 2B 40≤x＜80 9C 80≤x＜120 mD 120≤x＜160 3E 160≤x＜200 n（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E 于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B B C D A A B题号9 10 11 12 13 14答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，所以．………………2分又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………3分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分。

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理)试题

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4开始输出y输入x否是>2x2=-1y x 2=log y x6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（） A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，PA BC O•D正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 3231则圆O 的半径等于． 11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．12．在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方；（Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）ABCDE图1 图2A 1BCDE已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.题号 9 10111213 14 答案2；6611222n ；---3329①③由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -.所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则44sin =cos 555BE θ<⋅>==⋅n ．所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，2221(-0)(0-3)(6--0)A B x x =++22-1245x x =+ …………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33． …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分 A 1BCD Exzy（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X 分布列为：X 0 1 2 3 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--，解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x-''-，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0af e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点；当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=，因为32e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。

2018年高三最新北京市石景山区2018学年第一学期高三期末考试数学试题(理科) 精品

北京市石景山区2018—2018学年第一学期高三期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B =（）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（） A ．144 B ．72 C ．54 D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（）A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若||＝2，||＝2，且⊥-)(，则与的夹角是（） A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14．（Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区2018—2018学年第一学期高三期末考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合PA BCDE题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD AD ⊥.又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分（Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ，解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ ＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1），＝（0，1，12），PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅， ∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S矩形ABCD，∴ 2||||||||=⋅=⋅. ∴ 2||=.又 12+=x AG ，yx∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分（Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ；当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=t t t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数.∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a . 所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分（Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,]. 容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根. 即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k . 当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。

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