2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学试题及答案
2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学官方答案
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试及答案本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数()f x =( A)A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合{a,b,c}的子集个数是( D)A. 5B. 6C. 7D. 83.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ C ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 4.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ D ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-= 5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ A ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ B ） A. 64m 2 B. 48m 2 C. 32m 2 D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ A ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ C ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ B ）A. ()(),12,-∞-+∞B.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D. （-1,12） 解：关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，所以()2120f a a =+->，220a a --<，-1<a<2.10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ B ）A.13B. 12C. 1D. 3210.解：这个四面体是图中的O-MNP ，又以xOz 平面为投影面得到正视图是如图阴影的四边形ONQP ，它的面积为2，所以 ()111112,22a ⨯⨯+⨯⨯-=解得3a =-。
2022-2023学年北京市房山区高二下学期期中学业水平调研数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市房山区高二下学期期中学业水平调研数学试题一、单选题1．（ ）36C =A ．20B ．40C ．60D ．120【答案】A【分析】根据组合公式即可求解.【详解】.366!654C 203!(6-3)!321⨯⨯===⨯⨯故选：A.2．随机变量的分布列如表：则（ ）ξa b +=ξ123Pab14A ．B ．C ．D ．14121334【答案】D【分析】根据随机变量分布列的性质即可得出答案.【详解】根据随机变量分布列的性质得，所以．114a b ++=34a b +=故选：D ．3．已知随机变量，则的值为（ ）13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (1)P X ≥A ．B ．C ．D ．78123818【答案】A【分析】由对立事件概率求法有，结合二项分布概率公式求目标概率值.(1)1(0)P X P X ≥=-=【详解】由.0033117(1)1(0)1C ((1228P X P X ≥=-==--=故选：A4．展开式中，二项式系数最大的项是（）8x ⎛ ⎝A ．第3项B ．第4顶C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式确定展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题设，展开式中二项式对应二项式系数为，1r T +8C r 所以，二项式系数最大的项为，即：第5项.4r =5T 故选：C5．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．2【答案】B【分析】根据逐次试验可得正确的选项.【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选：B.6．数学课外活动小组的4名同学和他们的2位辅导老师排成一排照相合影，要求2位老师不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．720种B ．288种C ．96种D ．48种【答案】B【分析】老师不在两端，可先选择两位同学站两端的位置，剩下的师生全排列即可.【详解】老师不在两端，可先选择两位同学站两端的位置，有种排法，24A 剩下师生一共4人进行全排列有种排法，根据分步乘法计数原理得共有种排法.44A 2444A A 288⋅=故选：B.7．现有100件产品，其中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率（ ）A ．B ．C ．D ．95100959929525【答案】B【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，由古典概型概率计算公式，计算可得答案．【详解】解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品；则第二次抽到正品的概率为，9599P =故选：B ．8．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是A ．B ．C ．D ．15131416【答案】B【详解】分析：第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，从而得到这三个人获得第一名是等概率事件，由此求出结果.详解：甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁或戊，∴又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是.∴13故选：B.点睛：本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.9．如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）A ．14B ．18C ．30D ．36【答案】B【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为411621C C C 30=其中两名女航天员在一个舱内的方案数为212421C C C 12=所以满足条件的方案数为种.181230=-故选:B.10．党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少.如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）.根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%【答案】D【解析】由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果.【详解】由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题11．________（用数字作答）4!=【答案】24【分析】直接利用阶乘进行运算,.!(1)21n n n =⨯-⨯⨯⨯ 【详解】.4!432124=⨯⨯⨯=故答案为：.2412．已知服从两点分布，且，则______．X ()00.3P X ==()1P X ==【答案】0.7【分析】利用两点分布的性质解答.【详解】解：因为服从两点分布，所以．X ()()1100.7P X P X ==-==故答案为：0.713．若小明投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，恰有1次命中的概率是__________．23【答案】29【分析】由题意知小明投篮命中次数，利用独立重复试验概率公式求概率即可.2(3,)3X B 【详解】由题设，小明投篮命中次数，2(3,)3X B 所以.112322212(1)C ()(1)333399P X ==-=⨯⨯=故答案为：2914．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，20%18%12%则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为__________．【答案】23【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】记事件A 为“甲地下雨”，B 为“乙地下雨”，所以，，()20%0.2P A ==()18%0.18P B ==()0.12P AB =所以.()0.122(|)()0.183P AB P A B P B ===故答案为：.23三、双空题15．的展开式中，的系数是__________；第四项的二项式系数是__________．62x ⎛ ⎝3x 【答案】24020【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有项的系数，通过3x 二项式系数定义求解即得.【详解】由题意得：，只需，可得，()()36662166C 21C 2rr rr r r r r T x x---+⎛==- ⎝3632r -=2r =所以，第四项的二项式系数是242336C (2)(240T x x ==36C 20=故答案为：；.24020四、填空题16．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论：①抽取2次后停止取球的概率为；35②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为；910③取球次数X 的期望为2；④取球次数X 的方差为．920其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②④【分析】根据概率和分布列，期望，方差的计算公式即可求解.【详解】①抽取2次后停止取球的情况为“第一次是黑球，第二次是白球”，所以概率为，故①错；11321154C C 3C C 10⨯=②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的情况为：“白球1个，黑球0个，第1次是白球”或“白球1个，黑球1个，且第2次是白球”，所以概率和为：，故②正确；111332111554C C C 9C C C 10+⨯=③取球次数X 的取值为1，2，3.1315C 3(1).C 5P X ===11321154C C 3(2).C C 10P X ==⨯=111321111543C C C 1(3).C C C 10P X ==⨯⨯=所以分布列为X 123P35310110331153()123.51010102E X =⨯+⨯+⨯==取球次数X 的期望为，故③错误；32④取球次数X 的方差故④正确.2223333319()123.2521021020E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：②④.五、解答题17．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．【答案】(1)0.432(2)0.288(3)0.992【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率.【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为.0.60.80.90.432⨯⨯=（2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.(10.6)0.80.90.288-⨯⨯=（3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.1(10.6)(10.8)(10.9)0.992--⨯-⨯-=18．根据下列条件进行计算：(1)若，求n 的值；()2*C 66n n =∈N (2)已知，求的值．41),)x x y =+∈Z x y +【答案】(1)12n =(2)29.x y +=【分析】（1）根据组合公式即可求解；（2）根据二项式的展开式对应相等即可求解.【详解】（1），()2*C 66n n =∈N 所以，!(1)662(2)21n n n n -==-⨯！！即，21320n n --=所以，()12(11)0n n -+=所以或(舍去)12n =11n =-所以.12n =（2）因为，41),)x x y =+∈Z4040131222313404444441)C 1C 1C 1C 1C 1=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4121=+++17=+所以.17,)x x y Z ++∈所以，，17x =12y =所以29.x y +=19．抢“微信红包”已经成为人们欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 040x ≤<2B4080x ≤<9C 80120x ≤<mD 120160x ≤<3E160200x ≤<n(1)写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；(2)从A ，E 两组数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率；(3)记C 组红包金额的平均数与方差分别为，E 组红包金额的平均数与方差分别为，试分211,v s 222,v s 别比较与、与的大小．（只需写出结论）1v 2v 21s 22s 【答案】(1)，，中位数落在组4m =2n =B (2)23(3)，12v v <2212s s <【分析】（1）根据已知数据确定m ，n 的值，由中位数定义确定其所在的组别；（2）应用列举法求A ，E 两组数据中任取2个数据差的绝对值大于100的概率；（3）利用平均数、方差公式求组、组的平均值和方差，比较大小即可.C E 【详解】（1）由数据知：金额在之间共有；金额在之间共有；80120x ≤<4m =160200x ≤<2n =显然，金额在之间共有人，金额在之间共有人，080x ≤<291110+=>040x ≤<210<所以，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在组.B （2）由数据知：组有，组有，A {22,22}E {162,192}所以，从、任取2个数据可能情况：、、、、、A E {22,22}{22,162}{22,162}{22,192}{22,192}，6种；{162,192}其中数据差的绝对值大于100的情况：、、、，4种；{22,162}{22,162}{22,192}{22,192}所以，所求概率求.23（3）由数据知：组有，组有，C {95,98,99,102}E {162,192}所以，即，195989910298.54v +++==<21621921772v +==12v v <，222221125[(9598.5)(9898.5)(9998.5)(10298.5)]44s =-+-+-+-=.22221[(162177)(192177)]2252s =-+-=所以.2212s s <20．为了保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期､月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量超过2160度且在4200度以下（含0.56534200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.6153元/度.电力部门从本省的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：0.8653用户编号12345678910年用电量（度）1000126014001824218024232815332544114600以表中抽到的10户作为样本，估计全省居民的用电情况，并将频率视为概率.(1)从全省居民用电户中随机地抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率；(2)若从全省居民用电户中随机抽取2户，若抽到用电量为第一阶梯的有户，求的分布列与数X X 学期望.【答案】(1)25(2)分布列见解析，()45E X =【分析】（1）观察样本中第一阶梯的户数与总户数之比为所求；（2）分别计算出第一阶梯户数为0,1,2的概率画出分布列，然后根据数学期望的公式容易得到答案.【详解】（1）从表中可以看出，这10户中有4户的用电量为第一阶梯，从这10户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，42105=从全省居民用电户中随机抽取1户，估计抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是.∴25（2）由（1）知，从全省居民用电户中随机抽取1户，抽到的这户用电量在第一阶梯中的概率是，25从全省居民用电户中随机抽取2户，∴抽到用电量为第一阶梯的户数满足，X 22,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭的所有可能取值为，X 0,1,2，()()2223C 0,1,255k k kP X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的分布列为：X ∴X012P 9251225425数学期望.()24255E X =⨯=21．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；X X （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的p p 值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【答案】（1）分布列见解析，；（2），答案见解析.()1E X =0.01p ≈【解析】（1）先分析的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出的概率分布以及数学X X 期望；（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验101100方案的合理性.【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，，252102(0)9C P X C ===11552105(1)9C C P X C ===252102(2)9C P X C ===∴X 的分布列如下：X 012P295929．252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，101100∴01090110101111110.015%22221024p C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.。
2013—2014学年度第二学期七年级数学期中测试卷及答案
2013—2014学年度第二学期期中学业水平调研测试七年级数学试卷2．答卷前，考生必须将自己的学校、班级、姓名、试室、考号按要求填写在试卷密封线左边的空格内．答卷过程中考生不能使用计算器．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个A ．±2B ．2C ．2D ．±22．点P （3，4）在（ ） A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，直线a ∥b ，∠1=52°，则∠2的度数是（ ） A ． 38°B ． 52°C ． 128°D ．48°4．右图1通过平移后可以得到的图案是（ ）5．下列运算正确的是（ ） A ．=±3B ． |－3|=－3C ． －=－3D ． －32 = 96．在0，3.14159，3 ，227，39中，无理数的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．点A 的坐标为（﹣2，﹣3），现将点A 向下平移2个单位，则经过平移后的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣2，﹣5）C ．（0，﹣3）D ．（﹣4，﹣3）8．点到直线的距离是指（ ） A ．从直线外一点到这条直线的垂线 B ．从直线外一点到这条直线的垂线段 C ．从直线外一点到这条直线的垂线的长 D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长9．有下列四个命题：（1）相等的角是对顶角；（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（3）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。
其中是假命题．．．的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 10．如图2，直线a ∥b ，则|x ﹣y |=（ ） A ． 20 B ． 80 C ． 120D ． 180二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在相应位置上。
2013学年度广东省广州市高中二年级学生学业水平测试及答案
12013学年度广州市高中二年级学生学业水平测试英语本试卷分四部分，共 12 页，满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的测试证号和姓名； 填写考区考场室号、座位号，再用 2B 铅笔把对应的两个号码涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅 笔、圆珠笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
II 语言知识及应用 (共两节，满分45分)完形填空 (共15小题，每小题2分，满分30分)Some say online learning will replace university education, but degrees still have a value.Perhaps there is ___16__ for both.“University wasn’t for me,” says Rachel Stiles. “I wasn’t __17__ for it at the time, I wasn’tmature enough.”” Stiles __18__ her course and found a job instead. But she realized that auniversity degree would be __19__ for her dream career in medicine. With her __20__ in mind,she kept her job and began a distance learning degree in medical science.She says: “I really enjoyed being able to __21__ a living, while also studying to further myfuture job. I enjoyed being able to come home in the evenings and having something else to focuson that I was really __22__in.”It also seems like employers are putting more emphasis on _ _23_ _ and personalcharacteristics that they are on your actual degree, “If you can show to employer that you’veworked and also studied for a __24__ at he same time, it proves you are hardworking,” says Julie.“If anybody of any age wants to further themselves, or to learn something, it’s such a(n) __25__way of doing i t.”Judy Wivell, a science lecturer in social science in New Zealand, was in her early 60s whenshe became a __26__ again, talking a postgraduate course at Derby University.She says: “I wanted a supervision qualification to support my work, where I __27__supervise(监督) students,” she says.Today, online degree courses can offer __28__ experiences to traditional universities, butthey cannot __29__ the role of universities. They can serve another purpose though: they can helpyou take your career to the next __30__.216. A space B. problem C. time D. class17. A. good B. ready C. sorry D. lucky18. A. took B. won C. quit D. studied19. A. difficult B. useless C. important D. successful20. A. rules B. stories C. goals D. changes21. A. find B. make C. get D. follow22. A. kept B. locked C. caught D. interested23. A. education B. money C. appearance D. experience24. A. surprise B. degree C. chance D. prize25. A. challenging B. expensive C. easy D. long26. A. scientist B. worker C. teacher D. student27. A nearly B. regularly C. hardly D. rarely28. A. similar B. cheaper C. larger D. formal29. A. take off B. take over C. take out D. take on30. A. level B. place C. employer D. rear语法填空阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，并将答案填写在答题卡标号为3l~40的相应位置上。
2024-2025学年广东省广州市小学三年级数学上册期末达标测试试题及答案
2024-2025学年广东省广州市小学三年级数学上册期末达标测试试题班级：________________ 学号：________________ 姓名：______________一、单选题（每题3分）1.小红的身高是1米3分米，用小数表示是（）。
A. 1.3厘米B. 1.3分米C. 1.3米答案：C2.2个100相加的和是（）。
A. 200B. 20C. 2答案：A3.小红有12支铅笔，小明的铅笔是小红的2倍，小明有（）支铅笔。
A. 2B. 24C. 6答案：B4.3个小朋友排成一排照相，有（）种不同的排法。
A. 2B. 3C. 6答案：C5.一个正方形的边长是8厘米，它的周长是（）。
A. 24厘米B. 32厘米C. 64厘米答案：B二、多选题（每题4分）1.下列哪些数是质数？（多选）A. 2B. 4C. 7D. 9E. 11答案：ACE解析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2、7、11都是质数，而4和9不是质数（4有因数1、2、4，9有因数1、3、9）。
2.一个平行四边形的相邻两条边分别是a和b，高是h。
平行四边形的面积可以用以下哪些式子来表示？（多选）A. a × hB. b × hC. (a + b) × hD. a × b答案：AB解析：平行四边形的面积公式为“底乘以高”，当底为a时，高为h，面积为a × h；当底为b时，高为h，面积为b × h。
选项C是求周长的公式，选项D是求矩形面积的公式，均不适用于平行四边形。
3.一个四位数，它的千位上的数字与个位上的数字相同，且和是8。
这个四位数可能是哪些？（多选）A. 1001B. 2362C. 4444D. 7171E. 8008答案：ACD解析：根据题意，千位和个位数字相同且和是8，则这两个数字只可能是1、2、3、4、5、6、7中的一个，且它们的和是8。
广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)
广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8} 2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．365．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣368．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．09．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．610．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集运算得答案．解答：解：由M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，得M∩N={1，2，4，8}∩{2，4，6，8}={2，4，8}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分别求出各个函数的定义域，从而得到答案．解答：解：函数y=的定义域是（0，+∞），A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是R，D中的定义域是（0，+∞），故选：D．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了常见函数的性质，是一道基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程由通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a5=a1+4d=9，S2=2a1+d=4，解得a1=1，d=2，∴a2=a1+d=3故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体是三棱柱，依据所给数据直接计算即可．解答：解：由题意可知：几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S=×4×=6，高是3，所以它的体积：Sh=18，故选：C点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．5．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，可得结论．解答：解：将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos（x+）=﹣sinx 的图象，再结合正弦函数的图象特征，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，得到a＞b＞0，分别进行判断即可．解答：解：∵2a＞2b＞1，∴a＞b＞0，只有（）a＜（）b成立，故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据不等式的性质是解决本题的关键．7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，计算即可得到．解答：解：由于AB=AC=5，BC=6，则cosB==，则•=||•||•cos（π﹣B）=5×6×（﹣）=﹣18．故选C．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．8．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可．解答：解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（2，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．6考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，由已知解析式，求得a=3，进而得到f（1），再由f（﹣1）=﹣f（1），即可得到．解答：解：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f（0）=a﹣3=0，解得，a=3，即有f（x）=3x+1﹣3，即f（1）=9﹣3=6，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣6．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和性质，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v==，由于a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得.=．即可得出．解答：解：设甲地到乙地的距离为s．则他往返甲乙两地的平均速度为v==，∵a＞b＞0，∴，∴．=．∴．故选：D．点评：本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是x+4y+3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，能求出直线的方程．解答：解：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，得：﹣3+0+c=0，解得c=3，∴所求直线的方程为x+4y+3=0．故答案为：x+4y+3=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.14π．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，符合几何概型，从而可得=；从而求得．解答：解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则=；故S=0.14π；故答案为：0.14π．点评：本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是21．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y，z 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2z=3，满足条件z＜20，x=2，y=3，z=5满足条件z＜20，x=3，y=5，z=8满足条件z＜20，x=5，y=8，z=13满足条件z＜20，x=8，y=13，z=21不满足条件z＜20，输出z的值为21．故答案为：21．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为2．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cosC的值求出sinC的值，根据A=2C，得到sinA=sin2C=2sinCcosC，求出sinA 的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，即为BC的长．解答：解：∵△ABC中，AB=c=，cosC=，A=2C，∴sinC==，sinA=sin2C=2sinCcosC=2××==，由正弦定理=得：a==2，则BC=a=2，故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，从而解得；（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，从而令t﹣=求得最小值及最小值点．解答：解：（1）依题意f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]；实验室这一天上午10点，即t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，所以上午10点时，温度为4℃．（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，故当t﹣=时，即t=22时，y取得最小值，y min=﹣4；故当t=22时，这一天中实验室的温度最低．点评：本题考查了三角函数的应用及最值问题，属于基础题．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，求出“可回收垃圾”的总量与“可回收垃圾投放正确”的数量，计算概率即可；（2）根据数据统计，求出生活垃圾的总量以及生活垃圾投放错误的总量，计算概率即可．解答：解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨），其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨，设事件A为“可回收垃圾投放正确”，所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）=；（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨，故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨；所以，生活垃圾投放错误的总量为100﹣70=30吨，设事件B“生活垃圾投放错误”，故可估计生活垃圾投放错误的概率为P（B）==．点评：本题考查了数据统计与概率计算的问题，解题时应分析数据，根据数据统计计算概率，是基础题．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．解答：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==＜r=3，由此能求出a＞或a＜﹣．（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．解答：解：（1）圆C：x2+y2=9的圆心C（0，0），半径r=3，圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==，∵线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B，∴d＜r，∴，解得a＞或a＜﹣．（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，∵k PC=﹣，∴﹣，解得a=2，∵a=2符合a＞或a＜﹣，∴存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，所以：a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．所以：解得：a1=1所以：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1证明：（2）已知①②①﹣②得：==所以：由于n≥1所以：＜6点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．考点：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．点评：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。
2021-2022学年广东省广州市南沙区人教版四年级上册期末学业水平测试数学试卷
4715000000中的5在百万位上，表示5个百万；
4715000000的千万位是1，将尾数“四舍”，所以4715000000≈47亿。
4715000000读作：四十七亿一千五百万，从个位起，第九位是亿位，其中5表示5个百万，省略“亿”后面的位数约是47亿。
33．仔细分析，完成统计。
为落实“双减”政策，下面是某小学开展兴趣类课后服务活动人数的统计表。
兴趣小组
唱歌
跳舞
书法
绘画
篮球
足球
人数（人）
33
18
25
30
25
20
（1）请你根据统计表的数据绘制条形图。
（2）条形图中每格代表（）人。
（3）你从统计图中得到什么信息？
34．用0、0、0、1、2、3、4这七个数字组成只读一个0的七位数。（写对三个或三个以上得满分）
故答案为：C
【点睛】本题考查学生对算盘表示数的运用，属于基础知识，要熟练掌握。
11．四十七亿一千五百万亿5个百万47
【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出此数；
数字在哪一位上就表示几个这样的计数单位；
省略“亿”位后面的尾数求近似数，根据千万位上数字的大小来确定用“四舍”法、还是用“五入”法，再在数的后面写上“亿”字。据此进行解答。
30．为弘扬数学文化，感受数学魅力，学校准备举行数学文化节活动。其中计算小达人摊位项目由5个同学负责制作135张口算卡片，已经制作25张，剩下的平均每人要完成多少张？
31．在结对交流活动中，某小学共捐赠950本图书，如果把这些图书每10本捆一捆，每5捆装一箱，一共需要装多少个箱子？
2013年广州市普通高中毕业班综合测2答案
值． ……………………………………………10分
若 p q 是真命题，则 p 是真命题且 q 是真命题，即 p 是假命题且 q 是真命
题．……………11分
所以
0
a≤
2 1,或a 1 , 2
……………………………………………………12分
0 a≤1.
解
得
0 a≤ 2 1
或
1 a≤1． ………………………………………………………………………13分 2
不同的线段．…………………………5 分
其中长度为 1 的线段有 8 条，长度为 2 的线段有 4 条，长度为 2 的线段有 6 条，长度
为 5 的线段有 8 条，长度为 2 2 的线段有 2 条． 所以 所有可能的取值为1， 2，2， 5，2 2 ．………7 分
且 P 1 8 2 ， P 2 4 1 ， P 2 6 3 ，
由
余
弦
定
理
15． 2
得
AB2 AC2 BC2 cos BAC
………………………………………………………2 分
2 AB AC
802 502 702 1 ．………………………3 分 280 50 2
因为 BAC 为△ ABC 的内角，所以 BAC ．……………………4 分 3
（2）方法 1：因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等， 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心．…………………… 5 分 设外接圆的半径为 R ， 在△ ABC 中，由正弦定理得 BC 2R ， …………………………………7 分 sin A
半轴，建立空间直角坐标系 D xyz 如图．…………………5 分
D
H B x
E y
广东省江门市普通高中2022-2023学年高二上学期调研测试(一)数学试题及答案
江门市2023年普通高中高二调研测试（一）数 学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5． 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{}n a 满足11+12,2(2N n n a a a n n -==-≥∈且），则该数列的第5项为 A ．54B ．65C ．45D ．562.已知(4,9)A ,(6,3)B 两点,以线段AB 为直径的圆的标准方程是A.()()225610x y +++= B.()()225620x y +++=C.()()225620x y -+-= D.()()225610x y -+-=3.20y ++=的倾斜角及在y 轴上的截距分别是A.60,2︒ B.60,2︒- C.120,2︒- D.120,2︒4.若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A ．,,a c a a c +-B ．,,c c b c b +-C ．,,a b a b c +-D ．,,a b c a b c c +-++5.已知M 是抛物线216y x =上的一点且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则FM 等于A.16B.20C.4D.8内部资料·注意保存试卷类型：B6．直线0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列选项正确的是A.无论A ，B 取任何值，直线都存在斜率B.当0A =，且0B ≠时，直线只与x 轴相交C.当0A ≠，或0B ≠时，直线与两条坐标轴都相交D.当0A ≠，且0B =，且0C =时，直线是y 轴所在直线7.已知{}n a 为等差数列，13545a a a ++=，24633a a a ++=，则10S 等于A.250B.410C.50D.628.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M上，若四边形OABC 为平行四边形，且30OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为A.322B.322 D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省青岛市西海岸新区高二年级上册学期期中学业水平检测数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省青岛市西海岸新区高二上学期期中学业水平检测数学试题一、单选题1．某校把纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例记入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分）：纸笔测试实践能力成长记录甲908395乙889095丙908890则学期总评优秀的是（ ）A ．甲B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、丙C【分析】根据比例关系直接计算每个学的成绩，对比得到答案.【详解】甲的；9050%8320%9530%90.1⨯+⨯+⨯=乙的；、8850%9020%9530%90.5⨯+⨯+⨯=丙的成绩.9050%8820%9030%89.6⨯+⨯+⨯=故选：C2．数列的一个通项公式是（ ）234513579，，，，A ．B ．21n na n =+21n n a n =-C ．D ．23n n a n =-23n n a n =+B【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.21n n a n =-故选：B3．某社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出人数是[)2500,3000（ ）A ．100B ．50C ．40D ．25B【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】区间[2500,3000)的频率为，抽取人数为.0.00055000.25p =⨯=2000.2550⨯=故选：B4．已知一组数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，则其第70百分位数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6C【分析】按百分位数的计算过程计算.第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算 .%i n p =⨯第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数．【详解】第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算 .2170%14.7i ⨯=＝第3步，因i 不是整数，故取大于14.7的比邻整数为15，则第70百分位数为第15项数据5；故选：C5．从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品.A ．①②B ．①④C ．③④D ．①③B【详解】试题分析：∵从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，∴①④是互斥事件.互斥事件和对立事件.6．若数列，，，，是等比数列，则的值是（ ）9-m x n 16-x A ．12B ．C ．D ．12±12-12.5-C【分析】根据等比数列得到，结合得到答案.()2916x =-⨯-290x q =-⨯<【详解】数列，，，，是等比数列，则，故，9-m x n 16-()2916x =-⨯-12x =±，故.290x q =-⨯<12x =-故选：C7．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，n 2930则的最小值为（ ）n （参考数据：，）lg 20.3010=lg 30.4771=A ．9B ．8C ．7D ．6A【分析】通过归纳法归纳出每次舍弃的线段的长度，然后由等比数列的前项和公式求得前次舍n n 弃的线段的和，然后列不等式求解．【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为，第三次操作去132133⨯掉的线段长度和为，…，第操作去掉的线段长度和为，221333⨯⨯n 121(33n -⋅由此得，121()12121123()1(2333333313nn n --+⨯++⨯=⨯=-- 所以，，2291()330n -≥21(330n ≤，，2lg lg 303n ≤-lg 301lg 310.47718.4lg 3lg 2lg 3lg 20.47710.3010n ++≥==≈---所以的最小值是9.n 故选：A ．二、多选题8．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下，甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，下列说法正确的是（ ）A ．他们最大速度的平均值相等B ．他们最大速度的中位数相等C ．同样情况下，甲运动员的发挥比乙更稳定D ．同样情况下，乙运动员的发挥比甲更稳定AD【分析】直根据题意，分别计算甲乙两个人的平均数，中位数，方差，可得甲的方差大于乙的方差；结合方差的意义，判断即可．【详解】解：甲的平均数，(273830373531)633=+++++÷=乙的平均数，(332938342836)633=+++++÷=甲的中位数为：，乙的中位数为：，则他们最大速度的中位数不相等，3135332+=333433.52+=，(22222221[(2733)(3833)(3033)(3733)(3533)3133)15.76S ⎤=-+-+-+-+-+-=⎦甲，(22222221[(3333)(2933)(3833)(3433)(2833)3633)12.76S ⎤=-+-+-+-+-+-=⎦乙22S S > 甲乙乙比甲稳定．∴故选：AD.9．已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，{}n a 1q ≠M 3a 11a N 5a 9a 则下列说法正确的是（ ）A ．B ．72a N =227a M =C ．D ．M N <M N>BC【分析】首先利用等差，等比中项的定义，判断AB ；再利用基本不等式判断CD.【详解】由等比中项的定义可知，，223117M a a a =⋅=等差中项的定义可知，， 故A 错误，B 正确；592N a a =+592a a N +=若是负数，则，若是正数，则，因为数列是公M M N <M M ==592a a N +={}n a 比的正项等比数列，所以，根据基本不等式可知，故C 正确；D 错误.1q ≠59a a ≠M N <故选：BC10．如图，由到的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通M N 过元件1，元件2的概率都是，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件p 相互独立.已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则（ ）A ．B ．元件1和元件2恰有一个能通的概率为45p =425C ．元件3和元件4都通的概率是0.81D ．电流能在与之间通过的概率为0.9504M N ACD【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.【详解】对于A ，由题意，可得，整理可得，则()122C 10.96p p p -+=220.960p p -+=，则，故A 正确；()()1.20.80p p --=40.85p ==对于B ，，故B 错误；()()11228C 1C 0.810.80.3225p p -=⨯⨯-==对于C ，，故C 正确；0.90.90.81⨯=对于D ，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为，()12222C 0.910.9C 0.90.99⨯⨯-+⨯=则电流能在与之间通过的概率为，故D 正确.M N 0.960.990.9504⨯=故选：ACD.11．已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（ ）{}n a 12a =112n n a a -=-2n =A ．565a =B ．对任意，恒成立*n ∈N 1n n a a +<C ．不存在正整数，，使，，成等差数列p qr pa r a q a D ．数列为等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ABD【分析】首先判断D ，根据数列的递推关系，通过D 构造等差数列的定义，即可判断；根据等差数列的通项公式，得到数列的通项公式，再通过代入的方法，判断ABC.{}n a 【详解】因为，（）,所以,（）,112n n a a -=-*2,N n n ≥∈112n n a a +=-*N n ∈即，因为，1111n n a a +-=-1110a -=≠所以，1111111111n n n n na a a a a +===+----得，，111111+-=--n n a a 1111a =-所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭11=-n n a 得，故D 正确；11n a n =+A.，故A 正确；516155a =+=B.，所以，故B 正确；()111111011n n a a n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+-+=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1n n a a +<C. 若存在正整数，，使，，成等差数列，则，p qr pa r a q a 2r p q a a a =+即，得，令，满足等式，所以C 错误；21122r p q +=++211r p q =+3,4,6p r q ===故选：ABD三、填空题12．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验，统计情况如下：寿命（h ）100-200200-300300-400400-500500-600个数2030804030估计优质品（寿命300h 以上者）的概率为______.##0.7534【分析】直接计算频率得到答案.【详解】.804030150320308040302004p ++===++++故答案为.3413．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生14的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______.25##7200.35【分析】根据对立事件概率的求法，可得答案.【详解】由题意，选出的两个人只有两男、两女、一男一女三种情况，则选中两人中恰有一人是女生的概率为.12714520--=故答案为.72014．已知等差数列的公差为2，且，，是等比数列的前三项，则数列的前{}n a 1a 2a 5a {}n b {}n n a b 项和______.n n S =1(1)3nn +-⋅【分析】根据等比数列的性质求得得通项公式，从而可求得，然后由错位相减法求和．1a n a n b 【详解】等差数列的公差为2，且，，是等比数列的前三项，{}n a 1a 2a 5a {}n b 所以，，，2215a a a =2111(2)(8)a a a +=+11a =所以，，，即，，，21n a n =-23a =59a =11b =23b =213b q b ==所以,13n n b -=,1(21)3n n n a b n -=-⋅,21113353(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅ ,2131333(23)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ 相减得，1213(13)21232323(21)312(21)313n n nnn S n n ----=+⨯+⨯++⨯--⋅=+⨯--⋅- 2(22)3n n =---⋅所以．1(1)3nn S n =+-⋅故．1(1)3nn +-⋅四、双空题15．已知某区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，在一次统一中，该区三所学校强基学生的平均分分别为118，120，114，方差分别为15，12，21，则该区所有数学强基学生成绩的平均数______，方差______.x ==2S 117 21.5【分析】根据总体均值与总体方差的计算公式求解即可.【详解】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，则甲、乙、丙三所学科基地学校的人数占比分别为：，，241248162=++81248166=++161248163=++所以，111118120114117263x =⨯+⨯+⨯=方差的公式为，所以()2211n i i S x xn ==-∑()2222211112n n i i i i i S x x x x x x n n ===-+=-∑∑所以，()1112222222242424111511811815242424i i i i i i s x x x x ====∑-⇒=∑-⇒∑=+⨯甲甲，()1112222222888111212012012888i i i i i i s x x x x ====∑-⇒=∑-⇒∑=+⨯乙乙()111222222161616112111411421161616i i i i i i s x x x x ====∑-⇒=∑-⇒∑=+⨯丙丙则.()()()2222211181524120128114211611721.548S ⎡⎤=+⨯++⨯++⨯-=⎣⎦故117；21.5.五、解答题16．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字为2”，乙表示事件“第二次取出的球的数字为3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（ ）A ．丙与丁相互独立B ．甲与丙相互独立C ．乙与丙相互独立D ．乙与丁相互独立D【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8，有5种情况，()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2；()556636P ==⨯丙两次取出的球的数字之和为7，有6种情况，()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1；()61666P ==⨯丁；()()1=6P P =甲乙，A 错误；，B 错误；()()()0P P P =≠⋅丙丁丙丁()()()136P P P =≠⋅甲丙甲丙，C 错误；，D 正确.()()()136P P P =≠⋅乙丙乙丙()()()1=36P P P =⋅乙丁乙丁故选：D.17．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球个，n 从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件，且事件发生的概率是.M M 12(1)求的值；n (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为，第二次取出小球后得分为，记事件为“a b N ”，求事件发生的概率.2a b +=N (1)2n =(2)13【分析】（1）袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，得到，解得答案.2n +()122n P M n ==+（2）红色小球记为，黄色的小球记为，蓝色小球记为，，列举出所有情况共12种，满A B 1C 2C足条件共有4种，得到概率.【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同，2n +其中事件发生有种结果，所以，解得.M n ()122n P M n ==+2n =（2）把红色小球记为；黄色的小球记为；蓝色小球记为，；A B 1C 2C 则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为AB1C 2C A×(),A B ()1,A C ()2,A C B(),B A ×()1,B C ()2,B C 1C ()1,C A ()1,C B ×()12,C C 2C ()2,C A ()2,C B ()21,C C ×共12个样本点，其中事件包含的样本点有，，，，共4个，N ()1,A C ()2,A C ()1,C A ()2,C A 所以.()41123P N ==18．某学校高一级部根据同年龄段女生的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为，，，，[)150,180[)150,155[)155160,[)160165,[)165170,，.[)170175,[)175,180(1)求值；x (2)已知样本中身高大于175厘米的人数是36，求出样本总量的数值和身高超过170厘米的人数N；n (3)求样本中位数的值.0x (1)0.03x =(2)1200；216(3)0164x =【分析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算身高大于厘米的样本的频率是，再计算样本总量，身高超过170厘米的1750.031200N =频率为，得到答案.0.18（3）判断身高位于的频率为，身高位于的频率为，再根据[)150,1600.220.5<[)150,1650.570.5>中位数公式计算得到答案.【详解】（1）由频率分布直方图的性质，解得()0.0040.040.070.050.00651x +++++⨯=0.03x =（2）身高大于厘米的样本的频率是，所以样本总量，1750.00650.03p =⨯=3612000.03N ==身高超过170厘米的频率为，()0.0060.0350.18p =+⨯=所以身高超过170厘米的人数.0.181200216n =⨯=（3）因为身高位于的频率为[)150,160()0.040.00450.220.5+⨯=<身高位于的频率为[)150,165()0.0040.040.0750.570.5++⨯=>所以中位数应该，由，[)0160,165x ∈()()00.040.00451600.070.5x +⨯+-⨯=分解得.0164x =19．已知是数列的前项和，且.n S {}n a n 214n S n n =-(1)求的通项公式；{}n a (2)若，求.123n nT a a a a =++++ n T (1)152n a n=-(2)2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩【分析】（1）由与的关系求解；n a n S （2）分段讨论后由等差数列的前项和公式求解.n 【详解】（1）()214N *n S n n n =-∈当时，，1n =211141113a S ==⨯-=当时，，2n ≥()()221141411152n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=-----=-⎣⎦也符合上式，所以，1a 152n a n =-（2）因为，所以时，；时，，152n a n =-17n ≤≤0n a >7n >0n a <当时，，17n ≤≤()212312313152142n n n n n n T a a a a a a a a S n n +-=++++=++++===- 当时，7n >()123123789n n n T a a a a a a a a a a a =++++=++++-+++ .()()212371237897221498n n a a a a a a a a a a a S S n n =++++-++++++++=-=-+ 综上：2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩20．某区，，三所学校有意愿报考名校自招的人数分别为24，8，16人，受疫情因素影响，A B C 该区用分层随机抽样的方法从三所学校中抽取了6名学生，参加了该区统一举办的现场小范围自招推介说明会.(1)从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，求这2名学生来自不同学校的概率；(2)若考生小张根据自身实际，报考了甲乙两所名校的自招，设通过甲校自招资格审核的概率为，23通过乙校自招资格审核的概率为，已知通过两所学校自招资格审核与否是相互独立的，求小张至45少能通过一所学校自招资格审核的概率.(1)1115(2)1415【分析】（1）首先确定三所学校被抽到的人数，再利用编号，列举的方法，即可所求概率；（2）首先求两所学校都没有通过的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.【详解】（1）用分层随机抽样的方法从三个学校中一共抽取了6名选手参加全市集训，现三所学校应该抽取的人数分别为3，1，2设来自学校的三名学生分别为，，；来自学校的学生为；来自学校的两名学生分A 1A 2A 3AB BC 别为，1C 2C 从这6名中随机抽取2名学生进行座谈和学情调查，样本空间()()()()(){()()()()1213111122322122,,,,,,,,,;,,,,,,,;Q A A A A A B A C A C A A A B A C A C =()()()()()()}331321212,,,,,;,,,,,A B A C A C B C B C C C 共包含15个样本点Ω记这2名学生来自不同学校为事件，D 事件含，，；，，；，，，D ()1,A B ()11,A C ()12,A C ()2,A B ()21,A C ()22,A C ()3,A B ()31,A C ()32,A C ，共11个样本点，()1,B C ()2,B C 所以()()()1115n D P D n ==Ω（2）记小张至少能通过一所学校自招资格审核为事件，通过甲学校自招资格审核为事件，通E M 过乙学校自招资格审核为事件，则事件“至少通过一所学校自招资格审核”的对立事件是“两所N E 学校都通不过”，因为与相互独立，所以与相互独立M N M N 所以()()()()2414111113515P E P M N P M P N ⎛⎫⎛⎫=-=-=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭答：小张至少能通过一所学校自招资格审核的概率为141521．已知为数列的前项和，，为数列的前项和，.n S {}n a n 12n n S a +=n T {}n b n 12nn n n b S S +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围.220232024n T λλ-≥*N n ∈λ(1)12n n a -=(2)2024λ≥【分析】（1）根据与的关系求解数列的通项公式即可；n a n S {}n a （2）由得，按照列项求和法，再根据含参不等式求解正实数的取值范围即可.n S n b n T λ【详解】（1）解：由题意，对任意，有①*N n ∈12n n S a +=当时，，可得，，所以1n =11S a =1112a a +=11a =当时，②2n ≥1112n n S a --+=①-②得：122n n n a a a -=-所以，即12nn a a -=12nn a a -=所以，对任意，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列*n ∈N {}n a 所以11122n n n a --=⨯=（2）解：因为2121nn n S a =-=-所以()()111221121212121n n n n n n n n n b S S +++===-----所以1231111111111337212121n n n n n T b b b b ++=++++=-+-++-=---- 可以看出，随着的增大而增大，所以，且对任意，n T n 1n T →*n ∈N 1n T <所以恒成立，有，220232024n T λλ-≥220232024λλ-≥所以，所以()()202410λλ-+≥2024λ≥22．已知数列满足：，，.{}n a 11a =22a=2132n n n a a a ++=-(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；{}1n n aa +-{}n a (2)证明：；222222334411111123n n a a a a a a a a ++++++<---- (3)若正整数，，记.1122k k x b a b a b a =⋅+⋅++⋅ {}0,1k b ∈()12k W x b b b =+++ （ⅰ）求；()21n W -（ⅱ）证明.()()432W n W n +=+(1)证明见解析，12n n a -=(2)证明见解析(3)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析()21n W n-=【分析】（1）根据递推关系式结合等比数列的定义证明数列为等比数列，再按照迭代法即{}1n n aa +-可求解数列的通项公式；{}n a （2）将通项放大成等比求和的式子，按照等比数列的和求解证明即可；（3）根据结合等比运算即可求和证明.()12kW x b b b =+++ ()21n W -()()432W n W n +=+【详解】（1）解：因为，所以213n n n a a a ++=-()2112n n n n a a a a +++-=-又因为所以是以1为首项，2为公比的等比数列2110a a -=≠{}1n n a a +-所以所以112n n n a a -+-=()()21121111222n n n n n a a a a a a ---=+-++-=++++= （2）解：因为()2121111111142222221n n n n n n n n n a a --++==≤=--⋅-所以2222211223344111111111124122314nnk k n n a a a a a a a a -=++⎛⎫-⎪++++≤=⨯<⎪---- ⎪-⎝⎭∑ （3）解：（ⅰ）由题知：112221n n -+++=- 又因为01121121212n n --=⋅+⋅++⋅ 所以()21111n W n-=+++= （ⅱ）因为()12kW n b b b =+++ 又因为()01101231121243422231212222k k k k n b b b b b b -++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ 所以()()()1243112k W n b b b W n +=+++++=+。
广东省深圳市高级中学(集团)2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题及答案
深圳市高级中学（集团）2022-2023学年第二学期期中测试高二数学（满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22A x xx =+≤，{}1,B a =，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A.{}2,1,0−−B.{}21x x −≤≤C.{}21x x −≤<D.{}2,1,0,1−−2.函数()y f x =的图象如图所示，它的导函数为()y f x ′=，下列导数值排序正确的是（ ）A.()()()1230f f f ′′′>>>B.()()()1230f f f ′′′<<<C.()()()0123f f f ′′′<<<D.()()()1203f f f ′′′>>>3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1 4.已知等差数列{}n a 中，35a =，109a =−，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（ ） A.4 B.5C.6D.75.已知1x =是函数()332f x x ax =−+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ） A.1−B.1C.2D.46.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ，B ，C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）A.12B.14C.36D.72 7.若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A.210,e B.240,eC.10,eD.40,e8.已知随机变量ξ的分布列为：ξ x yPyx则下列说法正确的是（ ） A.存在x ，()0,1y ∈，()12E ξ>B.对任意x ，()0,1y ∈，()14E ξ≤ C.对任意x ，()0,1y ∈，()()D E ξξ≤D.存在x ，()0,1y ∈，()14D ξ>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）A.0.008a =B.120X =C.70分以下的人数约为6人D.本次考试的平均分约为93.610.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()7213,1631,6n n n n a n −−≤≤ = −−> ，若32k S =−，则k 可能为（ ） A.4 B.8 C.9 D.1211.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件1A ：第一次取出的是红球；事件2A ：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A.事件1A ，2A 为互斥事件 B.事件B ，C 为独立事件 C.()25P B =D.()234P C A =12.已知函数()1sin 2cos 2f x x x =，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点,02π对称 B.()f x 在区间,66ππ−上单调递增C.()f x 在区间[]1,10内有7个零点D.()f x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若nx+的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为______.14.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p −=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k −=.梧桐山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln 3 1.1≈）15.设函数()1ln f x x k x x=−−，若函数()f x 在()0,+∞上是单调减函数，则k 的取值范围是______.16.已知函数()e e xxf x x x −−的两个零点为1x ，2x ，函数()ln lng x x x x x =−−的两个零点为3x ，4x ，则12341111x x x x +++=______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。
2013学年第一学期高二级工作总结(新)
2013学年第一学期高二级工作总结本学期高二年级在学校各功能处室的领导和指挥下，认真贯彻学校的工作思路，落实各处室的工作安排，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，“团结协作，全员德育”，狠抓教育教学常规，细化过程评价，全面提高工作效率和管理水平，结合高二年级特点，扎扎实实地开展各项工作，较好地完成了本学期的工作任务。
本学期即将结束，现就本学期高二级组工作中的一些具体做法和体会总结如下：一、注重教师团队建设，打造和谐级组1．坚持打造一流团队的理念，努力提高高二年级团队氛围，从各备课组到整个级组，从班主任到副班主任到所有科任教师的合作，做到资源共享，相互协调，全级上下一盘棋，所有教师勤奋工作，甘于奉献，顾全大局，服从学校和年级组的安排，成立了高二年级管理委员会，设立高二级“智囊团”，积极为年级组的工作献计献策，逐步使高二级组形成了团结协作，全员德育，全员管理的良好局势。
老师们能积极撰写德育论文，在学校举办的德育论文比赛中，不仅各班主任积极参与，而且科任老师也积极响应，如王传贵、傅瑞丹、郭碧霞等老师也提交了高质量的德育论文，将教学中的德育工作形成系统的理论思想，逐步使教师的角色从传统的“讲授型”到“研究型”、“专家型”蜕变。
2．利用各种会议，加强老师培训，积极组织老师们参加学校安排的各项教学教研活动，更新老师们的教育教学观念，使全级教师共同学习，进一步提升了老师们的教学教研能力。
3．关注教师的可持续发展和人文关怀。
积极参加学校举办的羽毛球赛，体艺节教工接力赛及元旦“唱响一实好声音”等活动，全级所有教师积极参与到比赛或啦啦队行列，营造了积极参加健康活动的氛围，让老师在活动中感受“快乐工作、幸福生活”。
本年级组和工会小组还组织了野炊、烧烤、唱K、聚餐等工作之余的活动，丰富了老师们的业余生活，愉悦了身心，释放了压力，提升了工作幸福指数。
（左图为高二级全体老师参加“庆元旦迎新春-唱响一实好声音”,精彩演绎《相亲相爱的一家人》）二、注重常规，加强制度化、规范化管理1.按照教务处下发的坐班制度严格实行坐班考勤，实行了班主任每周例会和周总结制度，及时召开全级组教师会议、备课组长会议、段考质量分析会议、小组长培训会议、特优生、特长生、特困生会议及全体学生级会等会议，做到各项常规工作有的放矢、井井有条。
浙江省杭州市建兰中学2025届九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】
浙江省杭州市建兰中学2025届九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C D ．2、（4分）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x =上，且AB ∥y 轴，C 、D 在y 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（）A ．1.5B ．1C ．3D ．23、（4分）如图,四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则四边形ABCD 的周长为（）A ．32B ．16C ．8D ．44、（4分）小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象，则他解的这个方程组是（）A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩5、（4分）下列各数：2,0,3,0.020000,,9,π-其中无理数的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．16、（4分）下列等式一定成立的是（）A ．B ．∣C 45=±D ．=-47、（4分）与最简二次根式是同类二次根式，则a 的值为（）A ．7B ．9C ．2D ．18、（4分）用配方法解一元二次方程x 2﹣4x +2＝0，下列配方正确的是（）A ．（x +2）2＝2B ．（x ﹣2）2＝﹣2C ．（x ﹣2）2＝2D ．（x ﹣2）2＝6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE=DF ，BE ，CF 相交于点G ,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，则△BCG 的周长为_____．10、（4分）已知( 30m -．若整数k 满足 m k +=．则k =_________．11、（4分）若关于x 的不等式组2()102153x m x +->⎧⎨+<⎩的解集为﹣172＜x ＜﹣6，则m 的值是_____．12、（4分）在平行四边形ABCD 中，若∠A+∠C=140°，则∠B=．13、（4分）将函数y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，正方形网格上有111A B C 和222A B C ．（每一个小正方形的边长为1）()1求证：111222A B C A B C ∽；()2请你在正方形网格中画一个以点2C 为位似中心的三角形并将222A B C 放大2倍．15、（8分）如图，在 ABCD 中，点E ，F 是直线 BD 上的两点，DE BF =，连结AE ，AF ，CE ，CF ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形．（2）若BD AD ⊥，5AB =，3AD =，四边形AFCE 是矩形，求DE 的长．16、（8分）已知一次函数y ＝kx －4，当x ＝2时，y ＝－3.(1)求一次函数的表达式；(2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x 轴交点的坐标．17、（10分）再读教材:宽与长的比是2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示;MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB 折到图③中所示的AD 处，第四步,展平纸片,按照所得的点D 折出DE,使DE ⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形BADQ 的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形BCDE 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.18、（10分）某商场计划销售A ，B 两种型号的商品，经调查，用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元．（1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A ，B 型商品共100件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，已知A 型商品的售价为200元/件，B 型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，点A 是x 轴上的一个动点，点C 在y 轴上，以AC 为对角线画正方形ABCD ，已知点C 的坐标是()0,4C ，设点A 的坐标为(),0A n ．()1当2n =时，正方形ABCD 的边长AB =______．()2连结OD ，当OD =n =______．20、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 的中点，PO ＝2，则菱形ABCD 的周长是_________.21、（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，30A ︒∠=，9BC =，若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A →→运动，同时点Q 从B C →以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。
2013广州二模文科数学答案
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =． 所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=． 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， ABCODABCOD所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠．…………………………………………………………11分 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分 因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分 因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 PABC则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以231133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==， 所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分 （ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， A B CDOxylE直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．。
2013-2014学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷
2011-2012学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷一、选择题：1．（5分）（2011秋•广州期末）设全集U={a，b，c，d，e}，集合A={a，b，c，d}，B={d，3．（5分）（2011秋•广州期末）实物图如图，下列各选项中为实物图的俯视图的是（）．C4．（5分）（2011秋•广州期末）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘（甲）得到的数为x，转盘（乙）得到的数为y，则事件x+y=6的概率为（）B5．（5分）（2005•安徽）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面B6．（5分）（2010•广东模拟）在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S为B7．（5分）（2011•黄州区校级模拟）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（）（8．（5分）（2012•雁峰区校级学业考试）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）9．（5分）（2007春•常州期末）将棱长相等的正方体按图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，…，则第20层正方体的个数是（）10．（5分）（2011秋•广州期末）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，2]上的值．．C．．二、填空题：11．（5分）（2011秋•广州期末）已知{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果a n=2005，则序号n等于．12．（5分）（2011•惠州模拟）一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：（其*上的频率．13．（5分）（2010•青浦区二模）[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为．14．（5分）（2011•黄冈模拟）已知点P（x，y）在曲线上运动，作PM垂直x轴于M，则△POM（O为坐标原点）的周长的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）（2011秋•广州期末）已知函数，其中x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的递增区间．16．（12分）（2012•增城市校级模拟）柜子里有2双不同的鞋，随机地取出2只，求下列事件的概率．（1）取出的鞋不成对；（2）取出的鞋都是同一只脚的．17．（14分）（2011•沧浪区校级模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）（1）证明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．18．（14分）（2010•广东模拟）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x﹣6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足•=0．（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程．19．（14分）（2011秋•广州期末）已知等比数列{a n}共有m项（m≥3 ），且各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b m=a m，判断数列{a n}前m项的和S m与数列的前m项和T m的大小并加以证明．20．（14分）（2004•官渡区校级模拟）设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围；（3）求证：当x≤﹣时，恒有f（x）＞g（x）．2011-2012学年广东省广州市高二数学学业水平测试模拟试卷参考答案一、选择题：1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．A二、填空题：11．669 12．0.7 13．9 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．16．17．18．19．20．。
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试题及答案
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试卷时限：120分钟 满分：150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1. 直线l 过点()2,1A ，(),3B m 的直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. ()0,4C. [)2,4D. ()()0,22,42. 直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=，则“1a =−”是“12l l ⊥”的（ ）条件 A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知空间向量()()0,1,2,1,2,2a b ==−，则向量a在向量b 上的投影向量是（ ）A. 122,,333− B. 244,,333−C. ()2,4,4−D. 422,,333−4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点M 是棱1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，则（ ）A 12133DP AB AD AA =−+B. 11233DP AB AD AA =−+C. 12233DP AB AD AA =++D. 11122DP AB AD AA =−+5. 将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4−重合，点()2021,2022与点(),m n 重合，则m n +=（ ） A 1B. 2023C. 4043D. 40466. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．直线1FC ..到平面1AB E 的距离为（ ）．A.B.C.23D.137. 过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4B. 5C. 6D. 78. 在四棱锥P ABCD −中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（ ）A. B. 2C. D. 3二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得2分，共20分）9. 下列说法中不正确的是（ ）A. 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x −=−来表示B. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+来表示 C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 10. 下列命题中正确的是（ ）A. 若,,,A B C D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l 与平面α所成的角等于50°C. 已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，则{},,a b b c a b c ++++也是空间的一个基底D. 对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R,,x y z ∈R ），则,,,P A B C 四点共面11. 已知点()1,1M −，()2,1N ，且点P 在直线l ：20x y ++=上，则（ ）的A. 存在点P ，使得PM PN ⊥B. 存在点P ，使得2PM PN =C. PM PN +的最小值为D. PM PN −最大值为312. 如图，四边形ABCD 中，90BAD ∠=°，AB AD ==，45ACB ∠=°，1tan 2BAC ∠=，将ABC 沿AC 折到B AC ′位置，使得平面B AC ′⊥平面ADC ，则以下结论中正确的是（ ）A. 三棱锥B ACD ′−体积为8B. 三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为44πC. 二面角B AD C ′−−D. 异面直线AC 与B D ′所成角的余弦值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 直线1:230l mx y +−=与直线()2:3160l x m y m +−+−=平行，则m =_________. 14. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D −的底面ABCD是矩形，AB =，AD =，1AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=°，则线段1AC 的长为_______________.15. 已知正方形的中心为直线220x y −+=，10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350x y +−=，则它邻边所在的直线方程为___________．的的16. 已知a ，0b R a ∈≠，，曲线221a y y ax b x+==++，，若两条曲线在区间[]34，上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求证：动直线()()222231310m m x m m y m++++−++=（其中R m ∈）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线1:240l x y −+=和2:20l x y +−=的交点P ，且与直线3:3450x l y −+=垂直的直线l 的方程.18. 在ABC 中，()()()3,4,1,3,5,0A B C −. （1）求BC 边的高线所在的直线的方程；（2）已知直线l 过点A ，且B C 、到l 的距离之比为1:2，求直线l 的方程.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC CD ⊥，π4ABC ∠=，112CDCE BE ===，2PA AD ==，F 为PD 的中点．（1）证明：AB PE ⊥；（2）求二面角A EF D −−的平面角的余弦值．20. 如图1，边长为2的菱形ABCD 中，120DAB ∠=°，E ，O ，F 分别是AB ，BD ，CD 的中点.现沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，如图2.（1）求cos EOF ∠；（2）若过E ，O ，F 三点的平面交AC 于点G ，求四棱锥A OEGF −的体积.21. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k −+≤≤时，求折痕长的最大值．22. 如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE −的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．1. B 【解析】由直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，得直线的斜率存在时，1k <−或1k >. 当2m ≠时，31222k m m −==−−， 212m ∴<−−或212m >−，解得02m <<或24m <<. 当直线的斜率不存在时，2m =符合题意 综上，实数m 的取值范围是()0,4.故选：B 2.B 【解析】直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=， 当12l l ⊥时,有()120a a −−=，解得2a =或1a =−. 所以“1a =−”时“12l l ⊥”成立，“12l l ⊥”时“1a =−”不一定成立， 则“1a =−”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B 3. B 【解析】由已知可得，6a b ⋅= ，3b = ，所以，向量a 在向量b 上的投影向量是244,,23333a b b b b b − == ⋅⋅. 故选：B . 4. B 【解析】在平行四边形11BB C C 中，因为M 为1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，且11//BB CC ，所以，11112C P C M BP BB ==，则()()111222333BP BC BC BB AD AA ++， 因此，()11212333DP DA AB BP AD AB AD AA AB AD AA =++=−+++=−+. 参考答案故选：B. 5. C 【解析】解：设()2,0A ，()2,4B −，则,A B 所在直线的斜率为40122AB k −==−−−，由题知过点()2021,2022与点(),m n 的直线与直线AB 平行， 所以202212021n m −=−−，整理得202120224043m n +=+=故选：C 6.D 【解析】11,AE FC FC ⊄ 平面1AB E ,AE ⊂平面1AB E , 1FC ∴ 平面1AB E ,因此直线1FC 到平面1AB E 的距离等于点1C 到平面1AB E 的距离，如图，以D 点为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立直角坐标系.则1111(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,),(1,1,)22A B C E F111111(1,0,),(1,0,),(0,1,1),(1,0,0)22FC AE AB C B =−=−==设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11020n AE x z n AB y z ⋅=−+=⋅=+=，令2z =，则(1,2,2)n =− 设点1C 到平面1AB E 的距离为d ，则1113n C B dn⋅=故直线1FC 到平面1AB E 距离为13. 故选：D. 7. D 【解析】当截距为0时，是直线OP ,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为,,a b 则直线方程为1x ya b+=，∵直线过点()3,4P , ∴341+a b =①，∵0,0a b >>,∴3400>,>a b ,结合①可得，34<1<1,a b,∴3,4a b >>,又∵,a b 为整数，45a b ∴≥≥，， 由①解得412433a b a a ==+−−,3a −为12的因数， ∴31,2,3,4,6,12a −=,对应4,5,6,7,9,15a =,相应16,10,8,7,6,5,b = 对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D. 8. A 【解析】由题意，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则()0,2,0C ，()002P ,,，()2,0,0A ，()0,0,1M ，()2,2,0B ，()2,0,2PA =−，()2,2,1BM =−−，设()2,0,2PEtPA t t ==−，01t ≤≤，则()2,0,22E t t −，又PE PF =，PA PC =，所以()0,2,2PF tPC t t ==− ，则()0,2,22F t t −，由题意，M E B F 、、、四点共面，所以BM xBE yBF =+，的所以2(22)222(22)1(22)(22)t x yx t y t x t y−=−−−=−+− =−+−，解得32,43x y t ===，所以42,0,33E ，420,,33F ，所以2222,2,,2,,3333BE BF =−−=−− ，所以7cos ,11BE BF BEBF BE BF⋅==，即7cos 11EBF ∠=，所以sin EBF ∠所以1144sin 229EBF S BE BF EBF =××∠=×， 又4141,0,,0,,3333ME MF =−=− ，所以1cos ,17ME MF MEMF ME MF⋅==，即1cos 17EMF ∠=，所以sin EMF ∠所以1117sin 229EMF S ME MF EMF =××∠=×， 所以截面MEBF的面积为EBF EMF S S S =+=+= 故选：A 9. ABC 【解析】对于A ，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A 错误； 对于B ，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B 错误；对于C ，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C 错误； 对于D ，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D 正确；故选：ABC 10. AC 【解析】A ：因为0AB BC CD DA +++=，所以本选项命题正确；B ：因为直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°， 所以直线l 与平面α所成的角等于()9018013040°−°−°=°，因此本选项命题不正确；C ：假设{},,a b b c a b c ++++不是空间一个基底，所以有()()a b cx a b y b c ++=+++成立， 因为{},,a b c组是空间的一个基底，所以可得111x x y y ==+ =，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以{},,a b b c a b c ++++ 也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；D ：因为只有当1x y z ++=时，,,,P A B C 四点才共面， 所以本选项命题不正确， 故选：AC 11. BCD 【解析】对于A ：设(),2P a a −−，若1a =−时()1,1P −−，此时PM 斜率不存在，203PN k =≠，PM 与PN 不垂直，同理2a =时PM 与PN 不垂直， 当1a ≠−且2a ≠时31PM a k a −−=+，32PN a k a −−=−， 若PM PN ⊥，则33121PM PN a a k k a a −−−−⋅=⋅=−−+， 去分母整理得22570a a ++=，2Δ54270−××<，方程无解，故PM 与PN 不垂直，故A 错误； 对于B ：设(),2P a a −−，若2PM PN =，则即221090a a ++=，由2Δ10429280=−××=>，所以方程有解，则存在点P ，使得的2PM PN =，故B 正确；对于C ：如图设()1,1M −关于直线l 的对称点为(),M a b ′，则111112022b a a b − = +−++ ++= ， 解得31a b =− =− ，所以()3,1M ′−−，所以PM PN PM PN M N +=+≥=′′，当且仅当M ′、P 、N 三点共线时取等号（P 在线段M N ′之间），故C 正确；对于D ：如下图，3PM PN MN −≤=，当且仅当P 在NM 的延长线与直线l 的交点时取等号，故D 正确.故选：BCD 12. ABC【解析】过B 作BEAC ⊥于E ，在ABC 中，因为1tan 2BAC∠=，所以sinBAC ∠cos BAC ∠由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠,=，解得BC =所以sin2BE BC ACB=∠==，2CE=，因为()ABC ACB BACπ∠=−∠+∠,所以sin sin()ABC ACB BAC∠=∠+∠sin cos cos sinACB BAC ACB BAC=∠∠+∠∠=+=，由正弦定理得sin sinAC ABABC ACB=∠∠=6AC=，所以11sin sin(90)22ACDS AC AD DAC AC AD BAC=⋅⋅∠=⋅⋅°−∠11cos61222AC AD BAC=⋅⋅∠=××=，因为平面B AC′⊥平面ADC，平面'B AC 平面ADC AC=，BE AC⊥，所以'B E⊥平面ADC，所以三棱锥B ACD′−的体积为11122833ACDS BE⋅=××=，所以A正确，设O为ACD的外心，ACD外接圆半径为r，由余弦定理得2222cosCD AC AD AC AD DAC=+−⋅∠22222cos(90)2sin36202632AC AD AC AD BACAC AD AC AD BAC+−⋅°−∠=+−⋅∠=+−××所以CD=，由正弦定理得2sinCDrDAC==∠r=取AC的中点M，连接,,OM OE OC，则1OM=，OE，设三棱锥B ACD′−外接球的半径为R，球心为'O，设'OO x=，则222222(2)R OE x R x OC=++ =+ ，即22222(2)10R x R x =++ =+ ，解得1x =，211R =， 所以三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为2444R π=π，所以B 正确，过E 作EF AD ⊥于F ，连接'B F ，因为'B E ⊥平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，所以'B E AD ⊥，因为'B E EF E = ，所以AD ⊥平面'EB F ，因为'B F ⊂平面'EB F ，所以'B F AD ⊥，所以'B FE ∠为二面角B AD C ′−−的平面角，因为sin 4EF AE DAC =⋅∠=''tan B E B FE EF ∠=C 正确，如图，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，过D 作DG AC ⊥于G ，则cos 2AG AD CAD =⋅∠==，sin 4DG AD CAD =⋅∠==， 则'(2,0,0),(4,0,0),(2,4,0),(0,0,2)C A D B −−所以'(6,0,0),(2,4,2)AC B D ==−−设异面直线AC 与B D ′所成角为θ，则cos θ，所以D 错误， 故选：ABC13. －2 【解析】由1:230l mx y +−=，得到12:32ml y x =−+，因为12l l //，所以10m −≠，由()3160x m y m +−+−=，得到3611m y x m m −=−−−− 所以3213621mm m m −=− −− ≠− − ，即2603m m m −−= ≠ ，解得2m =−，故答案为：2−.14. 【解析】依题意，11AC AC CC =+ ，得22221111()2AC AC CC AC AC CC CC =+=+⋅+ ， 由底面ABCD为矩形，AB =，AD =222224AC AB AD =+=+= ，显然22118CC AA == ， 又1111()AC CC AB AD CC AB AA AD AA ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos 60cos 60422AB AA AD AA =⋅⋅°+⋅⋅°+= ，因此21424820AC =+×+=，所以1AC = .故答案为：15. 390,330x y x y −+=−−= 【解析】解：22010x y x y −+= ++= ，解得10x y =− =，∴中心坐标为(1,0)M −，点M 到直线1:350l x y +−=的距离d 设与1l 垂直两线分别为34l l 、，则点(1,0)M −，设34,l l 方程为230x y d −+=23d =−或9 ， ∴它邻边所在的直线方程为390,330x y x y −+=−−=．故答案为：390,330x y x y −+=−−= 16.1100【解析】曲线221a yy ax b x+==++，， 221a ax b x+∴=++， 222a ax bx x ∴+=++，()21220x a bx x ∴−++−=， 于是可以看作关于a ，b 的直线方程， 则()a b ，是该直线上的点，22a b ∴+表示原点到点()a b ，的距离的平方，设原点到直线的距离为d ， 根据点到直线的距离公式得到d =()()222222222211x x a b d x x −− ∴+≥== + +， 令[]234t x x =−∈，，，则[]12t ∈，，则2x t =+， ()222222221545214t t a b d t t t t t ∴+≥=== ++++ ++， 设()[]5412f t t t t=++∈，，， 可知函数()f t 在[]12，上为减函数， ∴当1t =时，()()115410max f t f ==++=， ∴当1t =时，22a b +最小值为1100． 故答案为:1100． 17. 【解析】(1)证明：解法一：令0m =，则直线方程为310x y ++= ① 再令1m =时，直线方程为640x y ++=② ①和②联立方程组310640x y x y ++=++=，得12x y =− = ，将点()1,2A −代入动直线()()222231310m m x m my m++++−++=中，即()()()()()22222311231312222130m m m m m m m ++×−++−×++−−+−+++−故动直线()()222231310mm x m m y m ++++−++=恒过定点()1,2A −. 解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得()()232310x y m x y m x y −++++++=① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴ 有3020310x y x y x y −+=+=++=，解得12x y =− = ， 故动直线恒过点()1,2A −．(2)解法一：联立方程24020x y x y −+=+−=，解得()0,2P ， 直线3:3450x l y −+=的斜率为34，由3l l ⊥，则直线l 的斜率为43k =−， 故直线l 的方程为4360x y +−=. 解法二：设所求直线方程为430x y m ++=， 将解法一中求得的交点()0,2P 代入上式可得6m =−，故所求直线方程为4360x y +−=. 解法三：设直线l 的方程为()()2420x y x y λ−+++−=， 即()()12420x y λλλ++−+−=，又3l l ⊥， ∴ ()()()31420λλ×++−×−=， 解得11λ=，故直线l 的方程为4360x y +−=. 18. 【解析】（1）设BC 边高线所在的直线为m ，的所以由3011215m BC m m k k k k −⋅=−⇒⋅=−⇒=−−， 所以直线m 的方程为()423220y x x y −=−⇒−−=； （2）当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为3x =， 显然B C 、到l 的距离之比为2:1，不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，方程为()43430y k x kx y k −=−⇒−+−=， 因为B C 、到l 的距离之比为1:2，1k =，或15k =−， 方程为10x y −+=，或5230x y +−=， 综上所述：直线l 的方程10x y −+=，或5230x y +−=. 19. 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//AD BC ，取BE 中点G ，连接,AG AE ，由112CDCE BE ===，得2CG AD ==，则四边形AGCD 是平行四边形，又BC CD ⊥， 因此AGCD 是矩形，即有AG BC ⊥，有AE AB =，π4AEB ABC ∠=∠=， 从而π2BAE ∠=，即AB AE ⊥，而PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AB PA ⊥， 又,,PA AE A PA AE ∩=⊂平面PAE ，于是AB ⊥平面PAE ，而PE ⊂平面PAE ， 所以AB PE ⊥.（2）由（1）知,,AG AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意，(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,1,1)A E D F ，(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)AE EF ED ==−=−，设平面AEF 的一个法向量(,,)m x y z = ，则00m AE x y m EF x z ⋅=+= ⋅=−+= ，令1x =，得(1,1,1)m =− ，设平面DEF 的一个法向量111(,,)n x y z = ，则111100n ED x y n EF x z ⋅=−+= ⋅=−+=，令11x =，得(1,1,1)n = ，因此1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉==，显然二面角A EF D −−的平面角为钝角， 所以二面角A EF D −−的平面角的余弦值为13−.20. 【解析】（1）连接OA ，OC ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂平面ABD ，故OA ⊥平面BCD ，分别以OC ，OD ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1A，()0,B ，()1,0,0C，()D ，因为E ，F 分别是AB ，CD的中点，所以10,2OE =，12OF =， 所以334cos 114OE OF EOF OE OF −⋅∠===−×⋅ . 【小问2详解】连接EG ，FG ，AF ， 设平面OEGF的法向量为(,,)n x y z = ，则0n OE ⋅=，0n OF ⋅=，即1111102102y z x y += +=，令1y =，则13x =−，13z =，所以()n =− ， 设A 到平面OEGF 的距离为h，而10,2AE =−，AE nh n ⋅==依题意得四边形OEGF 是一个菱形，()0,πEOF ∠∈，sin EOF ∠，所以2sin OEF OEGF S S OE OF EOF ==⋅⋅∠=四边形，所以1133A OEGF OEGF V S h −=××==四边形. 21. 【解析】解：（1）①当0k =时，此时点A 与点D 重合，折痕所在直线的方程为12y =． ②当0k ≠时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为(),1G a ，02a <≤，所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，有1·11OG k k k a k a=−⇒⋅=−⇒=−， 故点G 的坐标为(),1k −，从而折痕所在的直线与OG 的交点(线段OG 的中点)为122k P−,， 故折痕所在直线的方程为122k y k x −=+，即2122k y kx =++．综上所述，折痕所在直线的方程为2122k y kx =++．()2当0k =时，折痕的长为2;当20k −+≤<时，折痕所在的直线交直线BC 于点212222k M k++,，交y 轴于点2102k N + ,．(22027k<≤−+=−,∴(211122=1222k +<≤<×,则N 在AD 上，221132(2)2222k k k ++=+−，20k −+≤<，21222k k ∴++的取值范围为10,2 ，故点M 在线段BC 上．(22222211||224444732222k k MN k k +=+−++=+≤+×−=− ，∴2.=而22>，故折痕长度的最大值为2.22.【解析】（1）设AC BD F ∩=，连接EF ，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2AC ∴=，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=−=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥； PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ， 平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ， 又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥， EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE ，EF === EF BD ⊥，113224BDE S BD EF ∴=⋅== ， 又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ， 1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF −−∴==⋅=××= . （2）12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴，2PC =， 以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A −，B，E，D ，10,,02O −，10,2P − ，3,02AB ∴，30,2AE =，(OP =，1,02DO=−，3,02DA =−，设()()01OM OP λλ==≤≤，12DM DO OM ∴=+=−；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则302302AB n x y AE n y z ⋅=+= ⋅==，令1y =−，解得：x =，z =，n ∴=− ， 设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ−∴=， ()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ−++−+ ∴===−++， 111,52t ∈ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+ +== + ， ()max sin 1θ∴==，此时12DM =−，0,1,MA DA DM ∴=−=− ， ∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅== .。
2022-2023学年天津市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知点A （1，-1），B （1，2），则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．0B ．C ．D ．4π3π2πD【分析】由两点的横坐标相等，得出倾斜角.,A B 【详解】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角为.,A B 2π故选：D2．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）22y x =A ．1B ．2C ．3D ．4A【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，22y x =1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-所以焦点到准线的距离；11122d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：A3．椭圆的焦距是2，则m 的值是2214x y m +=A ．5B ．5或8C ．3或5D ．20C【详解】试题分析：因为焦距是，所以，当焦点在轴时，21c =x 解得：，当焦点在轴时，22222,4,41a m b c a b m ==∴=-=-=5m =y 解得：，故选择C ．222224,,41a b m c a b m ==∴=-=-=3m =椭圆简单的几何性质．4．若圆被直线平分，且直线与直线垂直，则直线的方程是()()22126x y ++-=l l 30x y -=l （ ）A ．B ．350x y +-=310x y ++=C ．D ．350x y -+=370x y -+=B【分析】由已知得直线过圆心，再根据垂直可得直线方程.l 【详解】因为圆被直线平分，所以圆心在直线上，()()22126x y ++-=l ()1,2-l 又直线与直线垂直，l 30x y -=设直线的方程为，l 30x y c ++=把，代入上式，解得，=1x -2y =1c =所以直线的方程为，l 310x y ++=故选：B.5．若圆：与圆：相切，则的值可以是（ ）1C ()2211x y -+=2C 22880x y x y m +-++=m A ．16或-4B ．7或-7C ．7或-4D ．16或-7A【分析】根据两圆位置关系，以及二元二次方程表示圆，列出关系式求解即可.【详解】因为表示圆，故，解得：；22880x y x y m +-++=646440m +->32m <对圆，其圆心为，半径；1C ()1,011r =对圆，其圆心为，半径2C ()4,4-2r =当两圆外切时，，即，解得；1212C C r r =+51=16m =当两圆内切时，，即，解得；1221C C r r =-51=-4m =-综上所述：的取值可以为或.m 164-故选.A6．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.7．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且()2222:10,0x y C a b a b -=>>(P -F C ，则双曲线的方程为（ ）2PF =C A ．B ．2213y x -=2213x y -=C ．D ．22126x y -=22162x y -=A【分析】根据一条渐近线过点，可确定，再结合，，推得(P -ba =2OP =2PF =为等边三角形，从而确定，可求得双曲线方程.OFP △c【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：C b y x a =±(P -所以，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，ba =b =则 ,60POF ∠=又（为坐标原点），所以为等边三角形，从而2PF =2=O OFP △,||2c OF ==由，，解得，，所以双曲线的方程为,222+=a b c b =21a =23b =C 2213y x -=故选：A.8．设A ，B 为双曲线Γ：的左，右顶点，F 为双曲线Γ右焦点，以原点O 为圆心，2214x y -=为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M ，连接AM ，BM ，则tan ∠AMB =（ ）OFA ．4BC ．2.DA【分析】首先求点的坐标，并判断轴，这样中，直接求解.M BM x ⊥AMB tan AB AMB MB∠=【详解】，以原点O 为圆心，为半径的圆的方程是，2225c a b =+=OF 225x y +=设点是圆与渐近线在第一象限的交点，M 12y x=，解得：，即 225120x y y xx ⎧+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩2,1x y ==()2,1M ，轴，()2,0B BM x ∴⊥中，AMB4tan 41AB AMB MB ∠===故选：A本题考查圆与双曲线的方程，双曲线的渐近线，三角函数的简单综合问题，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以C ()222210,0x y a b a b -=>>1A 2A 1F 2F 线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近12A A C M M 2AM 线平行.若，则的面积是（ ）1F M =22MAF △A BCDA【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，2A M 2OMA 260MOA ∠=︒由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，22282a c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2c a =2a =，从而求出的面积.24c a ==22MA F △【详解】过点M 作MB ⊥x 轴于点B ，OM 与ON 是双曲线的两条渐近线，故，12NOA MOA ∠=∠因为与渐近线ON 平行，所以，2A M 12NOA MA O ∠=∠故，2OM MA =因为，所以，2OM OA a ==22OM OA MA ==所以是等边三角形，，2OMA 260MOA ∠=︒故，，22a OB BA ==112a BF OF OB c =+=+因为1F M =由勾股定理得：，即，12122MB F B FM +=22282a c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭又因为，tan 60OM bk a ==︒=b =由得：，222c a b =+2c a =从而，解得：，22322842aa a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2a =所以，24c a ==则，222AF c a =-==故.222211222A F M S A F MB =⋅=⨯= 故选：A10．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆：上点处的曲率半径公式为.C ()222210x y a b a b +=>>()00,P x y 3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆的标准方程为（ ）C 12C A ．B ．2212x y +=2214x y +=C ．D ．22142x y +=221164x y +=D【分析】根据，得到，结合，确定的最大值和2200221x y a b +=22222000444221x y a b x a b a b b -+=-+2200x a ≤≤R 最小值，得到立与，联立求出，求出椭圆方程.28a b =21b a =2,4b a ==【详解】因为点在椭圆上，则，即，()00,P x y 2200221x y a b +=2220021⎛⎫=- ⎪⎝⎭x y b a 所以，2222222000044424202211x a x y x a b x a b a b a b b -+=+=-+-因为，所以当时，取得最大值，最大值为，2200x a ≤≤00x =220044x y ab +21b 此时取得最大值，为，3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32222218a ab b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭当时，取得最小值，最小值为，220x a =220044x y ab +21a 此时取得最小值，为，3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32222211b a b a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭联立与，解得：，28a b =21b a =2,4b a ==所以椭圆方程为.221164x y +=故选：D二、填空题11．己知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则1l ()2100mx y m ++=>C 2214x y -=__________.m =4【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.C 【详解】对双曲线：，其渐近线方程为，C 2214x y -=12y x=±对直线：，且斜率为，1l()2100mx y m ++=>02m -<根据题意可得，解得.1122m -⨯=-4m =故答案为.412．与：外切于原点，且被轴截得的弦长为4的圆的标准方程为C 22240x y x y +-+=y __________.()()22125x y ++-=【分析】根据两圆的位置关系，结合弦长公式，求得圆心和半径，即可得解.【详解】对圆：，其圆心的坐标为，半径，C 22240x y x y +-+=C ()1,2-r =设所求圆的圆心为，半径为，()1,(0)C a b a <1r 因为所求圆与圆外切于原点， 故可得，且；C 2b a =-2221a b r +=又所求圆被轴截得的弦长为4，故，y 4=联立上式可得：，1,2a b =-=1r =故所求圆的标准方程为.()()22125x y ++-=故答案为.()()22125x y ++-=13．如果数满足等式,那么的最大值是__________.,x y 223412x y +=3yx -【分析】化简等式,可得到满足椭圆方程,故用线性规划把看做与椭圆上223412x y +=,x y 3yx -(3,0)点连线的斜率,临界条件为相切,联立可得的取值范围,即得的最大值.0∆=m 3yx -【详解】解:由题知,,即,223412x y +=22143x y +=所以可以看做在椭圆上的点,(,)x y 22143x y +=记,即,3ym x =-(3)y m x =-即是与椭圆上点连线的斜率,(3,0)当直线与椭圆相切时,斜率可取得最值,(3)y m x =-m 联立直线和椭圆,即,223412(3)x y y m x ⎧+=⎨=-⎩可得,2222(34)2436120m x m x m +-+-=因为相切,所以,22222(24)4(34)(3612)350m m m m ∆=-+-=-=所以,235m =所以m ≤≤故答案为14．已知椭圆：的焦点为，，短轴端点为，若，则C ()22101x y m m m +=>+1F 2F P 122F PF π∠=__________.m =1【分析】根据题意可得，列出等量关系，即可求得结果.b c =【详解】对椭圆：，其，C ()22101x y m m m +=>+2221,,1a m b m c =+==又，故，0m>b =1c =根据椭圆的对称性，因为，解得.122F PF π∠=1=1m =故答案为.115．已知直线与抛物线：的准线相交于点A ，O 为坐标原点，若1y x =-C ()220y px p =>则抛物线的方程为___________.2AO k =24y x=【分析】由抛物线方程求得准线方程，联立直线方程求得点坐标，再根据斜率，即可求得，则A p 问题得解.【详解】对抛物线：，其准线方程为：，C ()220y px p =>2px =-又其与直线交于点，故可得点的坐标为，1y x =-A A ,122p p ⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，则，解得，则抛物线方程为.2AOk =1222pp--=-2p =24y x=故答案为.24y x=16．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为C ()222210,0x y a b a b -=>>F F l M ，若与另一条渐近线交于点N ，且满足，则该双曲线的离心率为____________.l 4MF MN =【分析】根据的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.NOM ∠【详解】根据题意，作图如下：设点坐标为，其到渐近线：的距离，F (),0cOM b y x a =MF b ==因为，显然，OF c=OM a=又因为，故可得，4MF MN =4MN b=在中，，设，则，Rt OMN 4tan b MON a ∠=MOF θ∠=tan ba θ=又，故，22tan tan 21b a MON b a θ∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭2241bb a a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭解得：，故双曲线的离心率.212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭e==故答案为三、解答题17．已知抛物线：的焦点到双曲线，且抛物线的焦C ()220y px p =>221x y -=点与椭圆：的右焦点F 重合，直线与椭圆相交于A ，B 两点，若()222210x y a b a b +=>>b y x a =.4AF BF +=(1)求抛物线的标准方程；(2)求椭圆的标准方程.(1)；24y x =(2).22143x y +=【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合题意，即可求得参数以及抛物线方程；p （2）根据椭圆的定义，结合题意，即可求得以及椭圆方程.,a b 【详解】（1）抛物线：的焦点为，C ()220y px p =>,02p ⎛⎫⎪⎝⎭双曲线的一条渐近线为，221x y -=0x y -=，=2p =故抛物线的标准方程为.24y x=（2）取椭圆的左焦点为，连接，如下所示：1F 11,AF BF 根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，1AF BF故，解得，142AF AF BF AF a +=+==2a =根据题意，，又，解得1c =222a b c =+b =故椭圆的标准方程为.22143x y +=18．直线：，圆：，圆.l 70x y --=1C 2224310x y x y +---=2C 224630x y x y ++--=(1)求直线被圆截得的弦长；1C (2)过直线上一点作的一条切线，切点为，当最小时，求外接圆的方程.P 2C Q PQ 2C PQ △(1)；4(2).()22118x y -+=【分析】（1）求得圆的半径长度，以及点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可；1C （2）根据题意求得满足题意的点的坐标，求得线段的长度以及其中点的坐标，即可求得P 2C P 外接圆方程.2C PQ △【详解】（1）对圆：，其圆心，半径，1C 2224310x y x y +---=()11,2C 16r =点到直线的距离1C :l 70x y --=d =故直线被圆截得的弦长为；1C 4==（2）对圆：，其圆心，半径，2C 224630x y x y ++--=()22,3C -24r =因为为直角三角形，故，2C PQ △22222PC r PQ =+当最小时，显然最小，此时即为点到直线的距离，PQ 2PC 2PC 2C l故满足题意时，的坐标为，2PC =P (),7m m -由，故点坐标为，2PC ==4m =P ()4,3-因为为直角三角形，2C PQ △故其外接圆圆心为线段的中点，半径为2C P ()1,0212PC =则外接圆的方程为.2C PQ △()22118x y -+=19．已知椭圆：的实轴C ()222210x y a b a b +=>>2213y x -=长.(1)求椭圆的标准方程；C (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等A B C O O 22245x y +=P PAB 边三角形，求直线的方程..AB (1)；2214x y +=(2)或.y x =y x =-【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求解即可；,,a b c （2）根据的长度求得，结合弦长公式，即可求得结果.OP AB【详解】（1）由椭圆C c a=对双曲线，其实轴长为，故可得，2213y x -=222b =又，解得，222a b c =+2224,1,3a b c ===则椭圆的标准方程为：;C 2214x y +=（2）根据题意，，因为为等边三角形，2245OP =PAB 由，可得.OP =2325AB =当直线的斜率不存在时，此时不满足题意，AB 22AB b ==故直线的斜率存在，设其为，则直线方程为，AB k AB y kx =联立椭圆方程可得：，2214x y +=()224140k x +-=根据题意，显然有，设坐标分别为，0> ,A B ()()1122,,,x y x y 则，1212240 ,41x x x x k +==-+，()()()2222121221613214415k AB k x x x x k +⎡⎤=+⨯+-==⎣⎦+解得，1k =±故直线的方程为：或.AB y x =y x =-20．已知椭圆：在椭圆上，两个焦点分C ()222210x y a b a b +=>>P C 别为，，过的直线与椭圆交于，两点，过与平行的直线与椭圆交于，D 两1F 2F 1F 1l C A B 2F 1l C C 点（点A ，D 在x 轴上方）.(1)求椭圆的标准方程；C (2)求四边形ABCD 面积的最大值以及此时直线的方程，1l (1)；22132x y +=.1x =-【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的一点，求得，则椭圆方程得解；,,a b c （2）根据四边形为平行四边形，将问题转化为求三角形面积的最大值；设出直线的ABCD AOB 1l 方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式表达其面积，再求最小值即可.【详解】（1）根据题意可得：，又，2233142c a a b =+=222a b c =+解得：，2223,2,1a b c ===故椭圆的标准方程为.C 22132x y +=（2）根据（1）中所求可得的坐标为，1F ()1,0-根据题意，连接作图如下：,,,AO BO AD BC根据椭圆的对称性，四边形为平行四边形，ABCD 设其面积为，故，S S =4AOB S 当直线斜率为零时，显然不满足题意，1l故直线的斜率不为零，设其方程为：，1l 1x my =-联立椭圆方程：可得：，22132x y +=()2223440m y my +--=设的坐标分别为，,A B ()()1122,,,x y x y 则，12122244,2323m x x x x m m +==-++，AB ==点到直线的距离，O AB d =142S AB d =⨯⨯=，则，[)1,t =∈+∞221m t=-故211212tS t t t ==++对函数，，12y t t =+[)1,t ∈+∞'y 2120t =->故在单调递增，在单调递减，12y t t =+[)1,+∞112y tt =+[)1,+∞故，当且仅当，即时取得等号；S ≤1t=0m =故四边形ABCD ，此时直线的方程.1l 1x =-关键点点睛：处理问题的关键是能够根据四边形的形状，将四边形面积最大值的问题转化为求三角形面积的问题.。
2013广州二模理科数学试题及参考答案
试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2013.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14πB ．πC ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2m ax m in 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ．11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22fx x x =-，点集()()(){}M x yf x f y =+，≤2，()()(){}N x y fx f y =-，≥0，图2则M N 所构成平面区域的面积为 ．13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段B D 上，且满足13BE BD =，延长A E 交BC 于点F ，则BF FC的值为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足||P H <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边A B 、AC 上的点，且满足A D D B=12CE EA=（如图3）．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使二面角1A D E B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ； （2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程； （2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线A B 的距离等于D ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<； （2）证明：1n n <+1232n a a a +++<．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 10．1011．216 12．2π 13．36；3981 14．1415．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△A B C 中，因为80A B =m ，70B C =m ，50C A =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为B AC ∠为△A B C 的内角，所以3B AC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O为△A B C 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△A B C 中，由正弦定理得2s i nBCR A =， ……………………………………………………………7分 因为70B C =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以232R ==，即3R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△O B D中，3O B R ==，703522BC BD ===， 所以2O D ==………………………………………………………11分3=所以点O到直线BC 的距离为C3m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3B AC π∠=，所以3BO C 2π∠=．所以3BO D π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35taBD O D BO D===∠．…………………………………………………………11分所以点O 到直线BC 的距离为33m ．……………………………………………………………12分17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．………………………………………………1分满足||P H <P 构成的平面区域是以H形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部 构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足|2P H <的概率为112484π+π=+．………………………………………………………4分 （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分其中长度为1的线段有8条，的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为8条，长度为2条． 所以ξ所有可能的取值为15227分 且()821287P ξ===，(41287P ξ===，()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为21321127714714E ξ=⨯++⨯++7=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象……10分能力和运算求解能力等，本小题满分14分） 证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且A D D B=12CE EA=，所以1AD =，2A E =． 在△A D E 中，60DAE ∠= ，由余弦定理得DE ==因为222AD DE AE +=， 所以A D D E ⊥．折叠后有1A D D E⊥．……………………………………………………………………………………2分 因为二面角1A D E B --是直二面角，所以平面1A D E ⊥平面B C E D． …………………………3分 又平面1A D E 平面BCED D E =，1A D ⊂平面1A D E ，1A D D E ⊥， 所以1A D ⊥平面B． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分 由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而P H ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥P H ．…………………………………………………6分 又1A D BD D = ， 所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A B D 所成的角． ……………………………………………………8分设P B x=()03x ≤≤，则2x BH =，2PH x =．…………………………………………………9分在Rt △1P A H中，160P A H ∠=，所以112A H x=．………………………………………………10分 在Rt △1A D H中，11A D =，122D H x =-．………………………………………………………11分由22211A D D H A H +=，数学资源网得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．…………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知E D D B ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线D B 、D E 、1D A 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图．设2P B a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2D H a =-． ……………………6分所以()10,0,1A ，()2,0P a -，()0E ．…………7分所以()12,,1PA a =-．…………………………………………………8分因为E D ⊥平面1A B D ，所以平面1A B D 的一个法向量为()0D E =．………………………………9分因为直线1PA 与平面1A B D 所成的角为60，所以11sin 60PA D E PA D E=………………………………………………………10分32a==，………………………………………11分解得54a=．………………………………………………………………………12分即522PB a==，满足023a≤≤，符合题意．…………………………………13分所以在线段BC上存在点P，使直线1P A与平面1A B D所成的角为60 ，此时52PB=．………14分数学资源网19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a=-+-在[]0,1上与x轴有两个不同的交点，必须()()101,0.ffa⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………2分即()()2,1224012412aaaa a-⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………4分112a<≤．数学资源网所以当112a<≤时，函数()2212f x x ax a=-+-在[]0,1上与x轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax=--在()0,+∞上有最小值时a的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a x a x a g xa x a x a--⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a>时，()g x在()0,a和[),a+∞上单调递减，()g x在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a=时，()1,,21, 1.xg xx x-⎧=⎨-+<⎩≥1()g x在()0,+∞上有最小值1-；………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．…………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．…………………………7分 要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………9分 所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ………………………10分 若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ……………………………………………13分故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤⎥⎦⎝⎦．……………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．……………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=． (4)分因为2210101011444A C x x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．…………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．……………8分不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，直线A B 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………10分 所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知C A D B A D ∠=∠45=，同理可得02AC =+．……………11分A B CDO xylE所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32B C k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．……………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………14分方法2：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．…………8分由（2）知C A D B A D ∠=∠45= ，所以C A B ∠90= ，即A C A B ⊥． 由（2）知104A C x x k -=，204A B x x k -=．所以1020144A C AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………11分 以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．…………………………………………………1分 因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．……………………………………………………2分 所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内． 而n a 是函数()f x 的零点， 所以01n a <<．…………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=， 由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．…………………………………………………………………………4分即231n n n n a a a -=<． 所以211n a n >+．………………………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．……………………………6分以下证明222111112111n n n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，……………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++．……………………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立．2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ②即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立． 即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立． 所以121n n a a a n +++>+ ．………………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a nn-=<． …………11分因为当2n ≥时，()2111111nn nn n<=---，……………………………………12分所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n=+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<．综上所述，1n n <+1232n a a a +++<．…………………………………………14分。
广西2021-2022学年高二上学期12月高中学业水平考试数学试题
广西2021-2022学年高二上学期12月高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若{}1,2,3a ∈，则=a （ ） A ．0B ．1C ．4D ．52．已知函数()f x x =，则()2f =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知i 是虚数单位，则()()35i 1i +++=（ ） A ．2B ．iC ．3i -D ．46i +4．下列几何体表示圆锥的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某校高二年级共有800名学生，其中女生有320人，男生有480人.为了解该年级学生对未来职业生涯的规划，现采用分层随机抽样的方法从中抽出50名学生进行调查，那么应抽取女生的人数为（ ） A ．13B ．20C ．27D ．346．下列命题中，含有存在量词的是（ ） A ．存在一个平行四边形是矩形 B ．所有正方形都是平行四边形 C ．一切三角形的内角和都等于180︒D ．任意两个等边三角形都相似7．下列选项中，角α是第一象限角的是（ ）A ．B ．C ．D ．8 （ ） A ．π4-B ．π3-C ．π2-D ．π1-9．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，AB =u u u r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,a b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b +>+ B ．22a b < C ．11+<+a b D ．1a b <-11．已知()cos α-=cos α=（ ）A B C D 12．已知a r为非零向量，则()43a -⨯=r （ ）A ．12a -rB ．4a -rC ．3a rD ．10a r13．复数()i ,R a b a b +∈与复平面内的点(),a b 一一对应，则复平面内的点()2,3对应的复数是（ ） A ．23i +B ．1i +C ．4i -D ．5i -14．下列数中最大的是（ ） A ．2log 3B ．2log 5C ．2log 7D ．2log 915．已知棱柱的底面积为1，高为2，则其体积为（ ） A ．9B ．7C ．5D ．216．已知向量()2,3a =r ，()1,2b =r ，则a b +=r r （ ）A ．()1,1--B ．()3,5C ．()4,7D ．()6,917．函数()212xy x =≤≤的最大值为（ ）A ．17B ．15C ．13D ．418．函数y =的定义域是（ ） A ．{}0x x ≥ B ．{}1x x ≥C ．{}2x x ≥D ．{}3x x ≥19．已知sin α=cos α=tan α=（ ） A ．0B ．1C ．3D ．520．函数y x =，y =1y x=的图像都通过同一个点，则该点坐标为（ ） A ．()1,1-B ．()1,0C ．()1,1D ．()1,221．不等式220x x +->的解集为（ ） A ．{2x x <-或}1x > B ．{}2x x >-C ．{}1x x <D ．R22．将函数sin y x =的图象向左平移π3个单位长度得到函数()y f x =的图象，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()πsin 5f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()πsin 7f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23．某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的概率为13，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（ ）A ．110 B ．19C ．18D ．1724．cos20cos25sin 20sin 25︒︒-︒︒= （ ）A ．23B ．34C 2D ．4525．函数cos y x =，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π26．“0x =”是“20x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题27．如图，点C ，D 是线段AB 的三等分点，则下列结论正确的有（ ）A ．AC DB =u u u r u u u r B ．AB AC =u u u r u u u r C ．2AB CB =u u u r u u u rD ．2AD CD =u u u r u u u r28．带电粒子束射入物质时，根据其能量大小会在该物质的某个深度形成一个剂量高峰，称为布拉格峰（Bragg Peak ）.基于这个特性，可以利用质子束或重离子束治疗癌症.在某重离子束射入人体组织的过程中，其相对剂量y （%）随入射深度x （cm ）的变化趋势如图所示.下列说法正确的有（ ）A ．相对剂量在区间()10,12上逐渐减少B ．相对剂量在区间()8,10上逐渐增加C ．相对剂量达到布拉格峰时的入射深度在区间()10,12内D ．相对剂量在区间()2,4上的增长速度比在区间()8,10上的增长速度快三、填空题29．2022年7月21日至30日某地区的最高温度（单位：℃）分别为：33，33，32，36，34，35，35，37，34，38，则这组数据的65%分位数是____________.30．已知向量()2,1a =r ，()1,0b =r ，则a b ⋅=r r___________.31．某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为2144m 的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是___________m.32．如图，为了测定河两岸点B 与点C 间的距离，在点B 同侧的河岸选定点A ，测得45CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，120m AB =，则点B 与点C 间的距离为__________m.四、解答题33．某中学组织学生到某电池厂开展研学实践活动，该厂主要生产型号为2号的干电池．为了解2号干电池的使用寿命，在厂技术员的指导下，学生从某批次2号干电池中随机抽取50节进行测试，得到每一节电池的使用寿命（单位：h）数据，绘制成如下的统计表．请根据表中提供的信息解答下列问题．(1)求表中a，b，c的值，并将如下频率分布直方图补充完整；(2)试估计该批次2号干电池的平均使用寿命．34．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，E 为SD 的中点.(1)求证：SB ∥平面EAC ； (2)若SA AD =，求证：AE SC ⊥.35．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I 上的函数()f x ，以及函数()(),R g x kx b k b =+∈，切比雪夫将函数()()y f x g x =-，x I ∈的最大值称为函数()f x 与()g x 的“偏差”.(1)若()[]()20,1f x x x =∈，()1g x x =--，求函数()f x 与()g x 的“偏差”；(2)若()[]()21,1f x x x =∈-，()g x x b =+，求实数b ，使得函数()f x 与()g x 的“偏差”取得最小值.。
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2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试和详细答案本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高， 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数()f x =( A)A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合{a,b,c}的子集个数是( D)A. 5B. 6C. 7D. 83.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n +==+，则3a 的值为（ C ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 4.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为（ D ） A. 230x y --= B. 230x y +-= C. 260x y --= D. 260x y +-= 5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是（ A ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ B ） A. 64m 2 B. 48m 2 C. 32m 2 D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ A ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ C ）A ．2B ．4C ．8D ．169.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ B ）A. ()(),12,-∞-+∞B.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭D. （-1,12）解：关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，所以()2120f a a =+->，220a a --<，-1<a<2.10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是（ B ）A.13 B. 12 C. 1 D. 3210.解：这个四面体是图中的O-MNP ，又以xOz 平面为投影面得到正视图是如图阴影的四边形ONQP ，它的面积为2，所以 ()111112,22a ⨯⨯+⨯⨯-=解得3a =-。
四面体的体积是（M-OPN ）(△OPN 是底面，MQ 是高) =1111111332ODA S OD ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ =1131132⨯⨯⨯⨯ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11.在△ABC 中，∠ABC=450，AC=2，BC=1，则sin ∠BAC 的值为4. 12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是 乙 .（填“甲”或“乙”）13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==则BC = （2,2） .14.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]，0x 是函数()21log f x x x=-14解：函数()2log f x x =-21log x x=的解，即函数21log ,y x y x==与21log ,y x y x ==与图像，可见交点的横坐标。
画1<0x <2，1<0x <2，又[x]实数x 的最大整数，g(0x )=[0x ]=1.8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 9 15 0乙甲图2AB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），得到频率分布表如下：（1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数；（2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率.解（1）∵样本中身高在[)175,180上的学生人数等于100（0.25+0.04+0.09+0.01）=39人， ∴估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数是391000100⨯=390人， （2）样本中身高在区间[)170,180上的女生有100（0.04+0.01）=5人，分别记为1,2,3,4，其中身高在区间[)175,180上的女生有100×0.01=1人，记为5.从这5人中选2人有10种不同选法。
其中恰好有一名身高在区间[)175,180上有4中，所以恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率是42105P ==。
16. （本小题满分12分）已知函数()sin cos ,6f x x x xR π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.（1）求(0)f 的值；2 3 4 51454 5323 4 545352551（2）若α是第四象限角，且133f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值. 解（1）11(0)sin cos01622f π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，（2）∵1sin cos 3633f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111cos cos cos 22223ααααα++-==， 又α是第四象限角，所以sin sin ,tan 3cos αααα==-==-。
17. （本小题满分14分）如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。
（1）求证：1//BC 平面CEF ；（2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1AG 的长度；若不存在，说明理由。
证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点，所以1//EF AD ，所以1//BC EF ，又BC 1在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，所以1//BC 平面CEF 。
（2）设在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥，记1AG =x ， 以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴建立坐标系，则C 1（1,1），E(0，12),G(x,0),若1EG C E ⊥，则11EG C E k k ⨯=-，1111221,104x x -⨯=-=--，当1AG =14时，有图3CAA 1C 1FD 1A 1B 1EG图3ABA 1C 1D1EG C E ⊥。
又CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EG 在平面A 1B 1C 1D 1内，所以CC 1⊥EG ，又CC 1与1C E 相交于点C 1，CC 1与1C E 都在平面1CC E 内， 所以EG ⊥平面1CC E ，又CE 在平面1CC E 内，所以EG CE ⊥。
所以当1AG =14时，有EG CE ⊥。
18. （本小题满分14分）,已知直线:l y kx =与圆()221:11C x y -+=相交于A,B 两点，圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M 。
（1）求k 的值； （2）求AB 的长； （3）求圆2C 的方程。
解：（1）直线:l y kx =经过点(M ，所以3,k k ==。
（2）圆()221:11C x y -+=的圆心为C 1（1,0），半径为1，直线:,0l y x ==， 点C 1（1,0）到直线l 的距离等于12d =，所以AB ==（3）方法1：过点M 作与直线l 垂直的直线/l，它的方程是)3y x -，即y =+设圆2C 的圆心2C (,a +，又C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l相切于点(M 。
所以1221C C MC =+,1=+14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法2：设圆2C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>则12221C C r MC r l MC⎧=+⎪=⎨⎪⊥⎩，即1..............(1)........(2)1......................(3)r r =+==-，由（3）解得b =+2）得到r =再把b和r 代入（11=解得14a =或20a =，对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6； 所以圆2C 的方程为()2244x y -+=或(2236x y +-=。
方法3：当圆2C 在直线l 的下方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/l 相交于点P ，设圆2C 的半径为r 。
∵C 1（1,0），圆2C与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M，∴OM =12AB C P MN OM ==-==222112C P C M PM C M C N r =-=-=-， 121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()2221122r r ⎛⎛⎫+=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得r=2. 在直角三角形OM 2C 中，24OC ==，∴cos ∠MO 2C =∴∠MO 2C =300，又直线l 的倾斜角为300，所以2C 在x 轴正半轴上，得2C （4,0），所以圆2C 的方程为()2244x y -+=。
同理，当圆2C 在直线l 的上方时，过点M 作与直线l 垂直的直线/l ，过 1C 作直线l 的平行线与直线/l 相交于点P ，设圆2C 的半径为r 。
∵C 1（1,0），圆2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M，∴OM =1222AB C P MN OM ==-==222112C P C M PM C M C N r =+=+=+，121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()222112r r ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得r=6.在直角三角形OM 2C 中，2OC ==cos ∠MO 2C 12=,∴∠MO 2C =600，又直线l的倾斜角为300，所以2C 在y 轴正半轴上，得2C （0,，所以圆2C 的方程为(2236x y +-=。