等比数列一

人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)

§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解法一由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案－60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案－25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

等比数列1

*), 求 a . 4.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n 解法二由解法一知 an-an-1=21-n, 又 an= 1 2 an-1+1, 消去 an-1 得 an=2-21-n.
1 (a +), 则 =-2. 解法三 ∵ an= 1 a +1, 令 a + = n 2 n-1 2 n-1 ∴ an-2= 1 2 (an-1-2). 1 ∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为 2 的等比数列. ∴an-2=-( 1)n-1. 2 即 an=2-21-n.
*), 求 a . 5.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n *), 解法一 ∵an+1= 1 a +1( n N 2 n 1 a +1. ∴an= 1 a +1, a = n-1 2 n-2 2 n-1 两式相减得: an-an-1= 1 2 (an-1-an-2) 1 ∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项 , 公比为 2 的等比数列. 2 1 )n-2=( 1 )n-1. ∴an-an-1= 1 ( 2 2 2 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 1 )2+…+( 1 )n-1 =1+ 1 +( 2 2 2 =2-21-n. 即 an=2-21-n.
n 2n
3n
7.单调性 a1>0, a1<0, q>1, 或 0<q<1, {an} 是递增数列; a1>0, a1<0, 0<q<1, 或 q>1, {an} 是递减数列; q=1 {an} 是常数列; q<0 {an} 是摆动数列. 8.若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban } 是等比数列; 若数列 {an} 是正项等比数列, 则 {logban} 是等差数列.

等比数列课件ppt

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其中任意两个相邻项的比值都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的商是常数，这个常数被称为公比。在等比数列中，每一项都是前一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

等比数列1

解得
16 a1 3
q3 2
因此，
16 3
a 2 a1q
3
8 2
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 与8.
3
课后作业
P60 习题 2.4 A 组 1.(3)(4)
思考P59练习第3,4题.
；led防爆灯的量防爆手电筒的量 / led防爆灯的量防爆手电筒的量；
(分析：要求第１项和第２项，必先求公比q. 可利用方程的思想进行求解。)
．例３一个等比数列的第３项和第４项分别是１
２和１８，求它的第１项和第２项．
解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a3 12, a4 18,
即a1q a1q
2 3
12 18
an a1 qn1
2.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
住,耳边听见柏少华低声说：“别看.”低沉の声音充满磁性,很好听.但他很快便放开了.陆羽定眼一看,随即汗毛直竖.因她看见婷玉依然端坐在原位,目光与表情略显呆滞.她仔细观察婷玉眼睛,发现她の瞳孔仿佛在微微颤抖.这是她の抵抗,德力忙道：“亭飞,别慌,看到眼前那扇银色の门没有？推开它,里边有位擅长各种催眠术法の教授,你要仔细听他说什么...”啊？陆羽一听,急了,同样压低嗓门,“她现在の外语水平听说写都很困难.”别说人才,哪怕天才也没有全能の.她是关心则乱,忽略其中一个细节.柏少君险些笑出声,提醒她,“德力在用华文给她解释.”正在进行中,她却看不见似の瞎着急.陆羽：“...”她心里明白,婷玉是故意选择她在の时候才问催眠一事の.一旦不妙,陆羽完全可以带她逃走.她太想知道被催眠是一种什么样の感受,不入虎穴,焉得虎子.况且,有时候人与人之间需要学会信任,而信任の开端往往要经历各种の猜忌与试探.成之我友,败之反目成仇,事事缩手缩脚只能永远在原地踏步.等待の时间很漫长而无聊.德力の解说虽然生动有趣,听起来仍有些催眠作用,害得陆羽呵欠连连,强打精神坚守在好友身旁.陆易去清理厨房,柏少华回他の房子去了.他知道她担心室友,所以让她在这里守着.他如此淡定,使她の紧张略有放松.唯有柏少君陪着她,整个人瘫在沙发上玩嬉戏,不时地问她在g城有没发现好吃の.见她目不转睛地盯着婷玉の双眼看,不忘提醒她,“别长时间盯着她看,小心连你也被催眠.”陆羽回头瞅他一眼,“我以为德力只懂摄影和厨艺.”“人の爱好有很多,他以前还考过心理咨询资格证,催眠是其中一项技能.”陆羽惊讶地打量正在德力,“心理咨询师工资很高の,他为嘛不做？”“高有什么用？过来找他们医治の人哪个是穷光蛋？天天心理有病,害得他险些抑郁赶紧跑出来了.”德力一直认真讲解,完全听不见旁边の声音,并且额头微微渗出汗珠.不久后,婷玉忽然闷哼一声,身子晃了晃,瞳孔倏然回复正常.陆羽忙过来扶着她,“怎样？清醒没有？”“不对呀,我还没解除你怎么就出来了？”德力在她对面坐下,神情诧异地瞪着她.婷玉脸色苍白,抬起掌心渗出血迹の右手给他看了一眼,“谢谢,”针刺の痛感把她带回来了,然后看着陆羽,“陆陆,陪我回去.”“好.”陆羽扶起她,向客厅の德力和众人道了谢,然后两人搀扶着离开休闲居.看着她们の背影,陆易略惊讶,“怎么把她伤成这样？不是纯教学吗？”佳人一走,德力彻底放松地瘫在沙发里,眼神无力,“本来是,可她很大胆地想体验每一种方法是什么感觉.那样做极耗精神力,别说她,我也很辛苦...”她能自己从催眠中醒过来证明其精神力强悍,鲜少人能与之相比.当然,精神力越强受到の压力越大,自然伤得重些...第294部分婷玉没回房,让陆羽把她扶进小祠堂,取出香案下の一个跪垫让她坐着歇息.“这几天别打扰我.”见她气息微喘,渗汗の脸异常苍白,陆羽不免担忧,“你真の行？实在难受不如让易哥帮你看看？西医也有西医の长处...”婷玉摇摇头,“我知道自己の状况,不用担心我,也不用给我送饭,每天端碗水放在门口便可.”说罢推她出去.陆羽只能退出来,帮她关上屋门.屋里,婷玉盘腿端坐,深呼吸两下平衡体内の气息.她脸色难看,但眼睛在黑夜里炯炯有神.想起刚才身处朦胧空间时,在一把循循善诱の男声中夹着一首异常熟悉の温柔催眠曲.那是母亲小时候在床边唱给她听の.然后她就看到一扇熟悉の雕花木门,忍不住推开,须臾间,小时候の岁月像狂风一般涌了出来.一些忘却の记忆重新涌现,原来母亲曾在她过关于巫医族の事,当时年龄太小不明其意,长大后就忘了.忘记,不代表不存在,儿时の一幕幕,母亲の遵遵教诲逐渐清晰.双手交叉轻置身前,婷玉缓缓闭上双眼.巫医族有些重要の东西只能口传.如果能参透母亲说过の话,她或许能助陆陆重新启动那幅许愿图,哪怕恢复部分功能也好.云非雪の异能与陆陆の截然不同,表面看不出情绪,其实她の内心十分震憾.意识到各种

等比数列 (一)

(3) 三次折叠,报纸厚度分别是: 2 2a米,2 a米,2 a米 3 我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是一组等比数列: 2 4 5 3 6 2 a, 2 a, 2 a , 2 a, 2 a, 2 a … (4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，需要折叠几次才能比泰山高呢？
(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是: 21 2 a = 2097152毫米 = 2097.152米报纸的厚度高过泰山500多米！
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；当q=1时，等比数列{an}为常数列；当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。

思考3：有无数列是既等比又等差的？
注意：当 a 0 时，数列 a, a, a, (a R) 既是等差又是等比数列，当 a 0 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
将等式左右两边分别相乘可得：
n 1
化简得：
a2 a3 a1 a 2
an …… a n1
q ……q q n1
叠乘法推导
an n 1 q a1
即： an
a1 q
n 1
(n1) (n N )

此式对n=1也成立
∴ an
a1 q
n 1
通项公式
已知数列{an}为等比数列，其首项为a1 ，公
a3 a2 q a1 q …
n 1
2
an a1 q （等比数列通项公式）
a 当n=1时， 1 a1 n N 公式成立
*
(a1 , q 0, n1)
想一想？

数学高中等比数列的定义(一)

等比数列的定义（一）一．知识梳理1.等比数列的定义（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.3.等比中项（1）如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=⋅+-11n n a a _________.4.等比数列的性质：若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：（1）数列{}n a c ⋅是以公比为______的等比数列..（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.（3）数列{}n n b a ⋅是以公比为______的等比数列.二．预习自测1.下面四个数列：（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a （3）常数列;,,,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a （4）在数列{}n a 中，)0(1≠=+q q a a nn 其中一定是等比数列的是________.2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.33.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=⋅a a ，则=5a _________.A.1B.2C.8D.44.在等比数列⋅⋅⋅++,66,33,x x x 的第四项为__________.A.24-B.0C.12D.245.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n nD.2)1(-n n 6.82是等比数列⋅⋅⋅,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.137.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a（1）求n a ；（2）若,21=n a 求n .三．典例解析例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例二：若数列{}n a 为等比数列：（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ；（2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a。

高三一轮复习等比数列课件

判断性质
根据通项公式判断等比数列的性质，如公比、项数等。
求解问题
利用通项公式解决等比数列相关的问题，如求和、判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8，则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都相等，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数）。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连续性。
04 等比数列在实际生活中的应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的公比，用a_1表示第一项，用n表示项数。

知识点什么是等比数列

知识点什么是等比数列
等比数列是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍等比数列的定义、性质以及一些常见的应用。

一、等比数列的定义
等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比
值都相等。

这个比值称为公比，通常用字母q表示。

具体地说，设等
比数列的第一项为a1，公比为q，则该数列的通项公式为an = a1 *
q^(n-1)。

二、等比数列的性质
1. 任意一项与它的前一项构成的比值都相等。

2. 两个非零项的比值不受它们具体数值的影响，只与它们在数列中
的位置有关。

3. 等比数列的前n项和为Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中n为正整数。

三、等比数列的应用
1. 财务领域：等比数列可以用来计算复利的增长情况。

例如，一个
初始金额为a1的投资，在每年以相同的比率q增长。

那么经过n年，
它的价值为an = a1 * q^(n-1)。

2. 自然界中的现象：某些自然现象的变化规律可以用等比数列来描述。

比如，细菌繁殖的数量、物种的进化过程等。

3. 几何问题：等比数列可以与几何图形相联系。

例如，等比数列的前n项和可以与等比数列的“部分和”的面积相联系。

4. 算法设计：在编程中，等比数列的概念常常用于设计算法，特别是循环结构的算法。

总结：
等比数列是数学中一种重要的数列，具有许多特点和应用。

它的定义、性质和应用可以帮助我们更好地理解数学知识和解决实际问题。

无论在数学学习中，还是在日常生活中，了解和运用等比数列都具有重要意义。

等比数列的所有公式

等比数列的所有公式等比数列，又称等比级数，是一种有规律的数列，其特点是每一项都是前一项的一个固定比率乘积，它所特有的公式让其成为数学中最重要的数列之一。

首先，我们来看看等比数列的第一个公式，即通项公式a_n=a_1*q^{n-1}。

这个公式表示，等比数列的每一项都是前一项的一个固定比率q乘积。

比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的第二项是2*3=6，第三项是2*3*3=18，以此类推。

其次，我们来看看等比数列的第二个公式，即求和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)。

这个公式表示，等比数列的前n项和可以通过第一项以及公比来计算。

比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的前三项和就是2*(1-3^3)/(1-3)=60。

再次，我们来看看等比数列的第三个公式，即等差数列的等比数列公式a_n=a_1*q^{n-1}+d*(1-q^{n-1})/(1-q)。

这个公式表示，等比数列也可以用等差数列的方法来计算。

比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，等差数列的公差是4，则等比数列的第二项是2*3+4*(1-3)/(1-3)=10，第三项是2*3^2+4*(1-3^2)/(1-3)=22，以此类推。

最后，我们来看看等比数列的第四个公式，即极限公式lim_{n->oo}a_n=a_1*q^n。

这个公式表示，当n趋近于无穷大时，等比数列的每一项都会收敛到一个固定值。

比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的最后一项会收敛到2*3^∞=0。

等比数列的四个公式表明，它具有极强的规律性，在数学中有着重要的地位。

它不仅可以用来计算等比数列的每一项，还可以用来计算等比数列的前n项和，甚至可以用等差数列的方法来计算等比数列，这些都使得等比数列具有极大的实用价值。

等比数列1

看下面的数列：
（1） 1，2，4，8，16…… （2） 81，27，9，3，1 …… （3） 125，25，5，1 …... 发现：数列（1）从第二项起每一项与它前
一项的比都为常数2；
数列（2）从第二项起每一项与它前
一项的比都为常数1/3；
数列（3）从第二项起每一项与它前
一项的比都为常数1/5；
6 .3
小结： an+1/an=q(q ≠0)
1 理解并掌握等比数列的定义及通项公式。
定义：
通项公式：(1) an=a1qn-1 (2) an=amqn-m(n,m ∈N）
2 理解等比数列与等差数列的异同。
思考题：当a1与q为何种关系时，等比数
列为递增数列、递减数列、常数列、
摆动数列？
课堂练习：P53 1-4
作业： P57 2 ①、④ 4 ① 5
等比数列
第一课时及其通项公式。
1 等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。 an+1/an=q (q ≠０)
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
２
等比数列的与等差数列的相对比：
相同点：
１无论等差数列还是等比数列都至少有三项；２无论等差数列还是等比数列都是从第二项起与前一项的关系。
不同点：
等差数列的公差或某一项可以为０，但等比数列的公比或某一项不能为０。
问：常数列是等比数列吗？
答：不一定是等比数列，这是因为，若
此常数列为0，则此数列从第二项起，
第二项与它前一项的比将没有意义，故非零数列才是等比数列。因此，既是等
注：
1 公式an=a1qn-1还可以改写成 an=(a1qn)/q=cqn (这里 c=a1/q) 2 公式an=a1qn-1还可以变形为 an=amqn-m(m,n∈Ｎ)

等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
等比中项
由三个数a，G，b组成的等比数列，可以看成是最简单的等比数列，这时， G叫做 a 与b的等比中项。
G ab
等比数列的通项公式
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是
1,2,22 ,23 ,,263 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 22 23 262 263.
一尺之棰，日取其Biblioteka ，万世不竭等比数列一等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
作业
书本P53 习题2.4 A组第1，2，（8 2）题
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？
如果等比数列{an }的首项是a1 , 公比是q, 则等比数列{an }的通项公式是
an a1qn1
例题选讲
例1、一个数列的第3项和第4项分别是12和 18，求它的第1项和第2项。
练习：在等比数列中，若a2=2， a6=162 ，求a10。

等比数列

2 n
1
an
(3)若{an}是正项等比数列，则{logman}必为等差数列
(4)若{an}是等差数列 ,则{ m
an
}必为等比数列
(5) 若{an}等比，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m……仍成等比
(6)单调性:an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)
当
a1>0 q>1
或
若G2=ab,则G为a,b等比中项 (错）反例02=5×0
二、等比数列通项公式：an=a1qn-1=amqn-m
三、等比数列性质： 1、若n+m=p+q,则anam=apaq,特别地,当n+m=2p 时,aman= a2p
(2)若{an}{bn}等比数列 ,则
{man}{a }{ a n }{|an|}{manbn}{m b n } (m≠0)均为等比数列
2.4
一、等比数列： a n 1 1、定义： = q(定值) 注意：等比数列任意项及公比 an 均不为0
2、等比中项：若a,G,b成等比数列，称G为a,b的等比中项，且G2=ab或G=± ab (ab>0)
注意(1)若G为a,b等比中项，则ab>0
(2)若G为a,b等比中项，则G2=ab (对)
a1<0 0<q<1
时为增,当
a1<0 q>1
a1>0
或
0<q<1
时为减
q=1时为常数列，q<0时为摆动数列 (7)同位法则：若{an}等比，所有奇数项同号，所有偶数项同号，但奇数项与偶数项不一定同号
例1、列，求插入3个数a,b,c之积

等比数列知识点总结

等比数列知识点总结等比数列是数学中一种重要的数列类型，它具有许多特殊的性质和应用。

本文将对等比数列的定义、性质以及常见应用进行总结和归纳。

一、定义等比数列是指由一个常数q不等于0决定的数列，其中每一项等于前一项乘以q。

若记第一项为a₁，则等比数列的一般形式为：a₁, a₁q, a₁q², a₁q³, ...二、性质1. 公比等比数列中相邻项的比值称为公比，记作q。

公比q决定了等比数列的变化规律，常用来描述数列的增长或衰减速度。

2. 通项公式设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则该等比数列的第n项可用通项公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)3. 前n项和公式若想求等比数列的前n项和Sₙ，有以下公式：Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)4. 性质总结等比数列具有以下性质：- 相邻项的比值为常数，即公比；- 任意三项可以构成一个等差数列；- 任意连续项的和等于下一项与首项之差。

三、应用等比数列在数学及实际问题中有广泛的应用，如下所示：1. 连续质押利息的计算如果一个银行产品每年的质押利率都是几乎相等的，那么质押多年后的总利益可以用等比数列来计算。

其中，每年的质押金额是等比数列的通项公式。

2. 音乐乐谱的音符时值在音乐乐谱中，音符的时值通常是按照等比数列的方式组合的。

例如，二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符之间的时值关系符合等比数列。

3. 拆分物品时的数量计算当一件物品需要依次拆分成若干小份，每一次拆分都是等比数列的规律。

通过等比数列的通项公式，可以计算每一次拆分后的物品份数。

4. 金字塔的层数与物体数量在一些多层金字塔或可重叠的图形中，每一层的物体数量往往是按照等比数列的方式递增或递减的。

通过等比数列的性质，可以推导出金字塔中每一层物体的数量。

总结：等比数列是数学中常见的数列类型之一，具有明确的定义和性质。

对于等比数列的应用，它可以帮助我们解决质押利息的计算、音乐乐谱的时值问题、物品拆分的数量计算以及金字塔中物体数量的推导。

等比数列求项数公式(一)

等比数列求项数公式(一)
等比数列求项数公式
1. 等比数列定义
等比数列是指数列中的任意两项相邻的比值相等的数列。

2. 等比数列的通项公式
等比数列的通项公式可以用来求解数列的任意一项。

假设等比数
列的首项为a，公比为r，第n项为an，则通项公式为：
an = a * r^(n-1)
3. 项数的求解公式
给定等比数列的首项a、公比r和末项an，我们可以通过以下公
式求解数列的项数n：
n = log(r, (an/a)) + 1
其中，log(r, (an/a))表示以r为底an/a的对数值。

4. 举例说明
假设我们有一个等比数列的首项a为2，公比r为3，我们想要求解数列的第10项。

首先，根据等比数列的通项公式，我们可以得到第n项的表达式：
an = 2 * 3^(n-1)
代入n = 10，得到：
a10 = 2 * 3^(10-1) = 2 * 3^9 = 2 * 19683 = 39366
所以，等比数列的第10项为39366。

接下来，我们可以使用项数的求解公式，给定首项a为2，末项an为39366，公比r为3，来求解该数列的项数n。

n = log(3, (39366/2)) + 1 = log(3, 19683) + 1 ≈ 9 + 1 = 10
所以，该等比数列共有10项。

通过以上例子，我们可以看到等比数列的通项公式和项数求解公式的应用。

利用这些公式，我们可以方便地求解等比数列的任意一项和项数。

(完整版)等比数列知识点总结

a1 n -mn 等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1， q 称为公比2、通项公式：a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n (a ⋅ q ≠ 0, A ⋅ B ≠ 0) n 1 q1，首项： a ；公比： q推广：a = a nmq n -m ⇔ q n -m =a⇔ q = a naamm3、等比中项：（1）如果 a , A , b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A 2 = ab 或 A = ±ab11 n n 1 n 1 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 {a }是等比数列 ⇔ a2= a - ⋅ a +4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：（1）当q =1时， S n = na 1（2）当q ≠1时，a (1 - q n )S ==n1- qa - a q1n1- q= a - a1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' 1- q 1- q（ A , B , A ', B ' 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n ，都有n +1 = qa 或 n n +1 = q (q 为常数，a a n n≠ 0) ⇔ {a } n为等比数列a a nn a na（2）等比中项：a 2= a n +1 a n -1 (a n +1n -1 ≠ 0) ⇔ { } n为等比数列（3）通项公式：= A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) ⇔{a }为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1或a n +1 = qa n ⇔ {a n } 为等比数列7、等比数列的性质：（1）当q ≠1时①等比数列通项公式a a nn n mt 3 a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) n 1q是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q ；②前n 项和a (1- q n ) a - a q n a a S = 1 = 1 1 1 - 1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' n1- q 1- q 1- q 1- q，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。

等比数列的通项和公式

等比数列的通项和公式
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的通项和公式包括通项公式和前n项和公式
等比数列的通项公式为：an=a1×q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

这个公式用于表示等比数列中任意一项的值。

等比数列的前n项和公式为：
当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；
当q=1时，Sn=na1。

这两个公式用于计算等比数列前n项的和。

等比数列的通项和公式包括通项公式和前n项和公式。

等比数列(1)

1 1 1 1, , , ; 2 4 8
1, 20, 202,
2
②
③
5 6 7
203,
3
…;
4
9，9 ，9 ，9 ，9 ，9 ，9
④
共同特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
2.4 等比数列(1)
□讲授新课 1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.
1, 20,
2, 20
3 20
,…Leabharlann 4. “出门见九堤，每堤有九木，每木有九，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？《孙子算经》
堤、木、巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列： 2 3 4 5 6 7
9，9 ，9 ，9 ，9 ，9 ，9
观察这几个数列，看有何共同特点? 1, 2, 4, 8, 16, …,263; ①
an a1 q (a1 , q 0)
推导的方法:
n 1
累乘法
例题1.下列数列一定是等比数列有是等比数列的求出首项和公比。
，
(1) (2) (3) (4) (5)
1，-1/3，1/9,-1/27，… 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20,… n/2. 数列｛an｝的通项公式为an=3 1，1，1，… ，1 a，a，a，… ，a
解：由已知，得
另解：由已知，得
解得运用通项变形公式
基本量法
例3. 数列{an}的通项公式为 n ，其中p、q为常数，且不为零，那么这个数列一定是等比数列吗？
a ＝p· q

等比数列一

人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)

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