2018北师大版数学九年级上册课件25一元二次方程的根与系数的关系共21张
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【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a=试应用 1 2 3 4 5 6
3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
×
3 2
2
+ 2×
1 2
=- .
13 8
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
北师大版九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系课件(共25张PPT)
x m2 n n 0
一、复习回顾
练习：解下列方程：
(3)2x2 3x 1 0.
公式法 x b b2 4ac 2a
解：a 2,b 3, c 1. b2 4ac 3 2 4 2 1 1 0，
x3 1 22
即 x1 1, x2
3 1， 4
1. 2
=b2 4ac
0
有两个不相等实数根
0
有两个相等实数根
0
没有实数根
一、复习回顾
配方法
x m2 n n 0
解一元二次方程： ax2 bx c 0 a 0
公式法 x
因式分解法
一元二次方程的根 与系数之间还有什 么形式的关系呢？
b b2 4ac 2a
提公因式法 公式法
十字相乘法
=b2 4ac
二、探究新知
x2 2x 1 0; x1 x2 1.
x2 2 3x 1 0; x1 3 2, x2 3 2.
,
x1x2
c. a
23
1
3
1
2
2
二、探究新知
猜想 对于任何一个一元一次方程，这种关系都成立吗？
验证 一元二次方程：ax2 bx c 0 a 0 ，b2 4ac≥0.
x1
b
b2 2a
4ac ，x2
b b2 4ac . 2a
x1 x2
b b2 4ac 2a
b b2 4ac 2b
2a
2a
b. a
二、探究新知
配方，得： x2 4x 22 8 22
即：
x 2 2 12
开方，得：
x 2 23
所以， x1 2 2 3, x2 2 2 3.
四、随堂练习
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(15张)
m＋1 2
，x1·x2＝ －m2
．
6．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2 －1＝_－__5_．
7．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写
出 一 个 根 为 [ － 2 ， 3] 的 一 元 二 次 方
程 x2－x－6＝0(答案不唯一)
10．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之 积．
(1)x2＋4x＝0 解：x1＋x2＝－4 x1x2＝0
(2)2x2－3x＝5 解：x1＋x2＝32 x1x2＝－52
11．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2， m，求m，n的值．
解：由根与系数的关系可得：m＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m＝n，∴n＝－2
则a的值是( D )
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
16．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互 为倒数，则k＝_－__1_．
17．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则 代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__2_3_．
18．关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)a 为何值时，方程的一根为 0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根 x1，x2，那么 x1
＋x2＝ －ba
c
，x1x2＝ a
．
知识点：一元二次方程的根与系数的关系
1．下列一元二次方程两实数根之和为－4的是( D )
A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋9＝0 D．x2＋4x－1＝0
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》PPT
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
=
-b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
2
,
x1 ·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q
(2)关于x的方程 ax2 bx c 0a 0
x2 2
4x1x2
4 9
12
12
Hale Waihona Puke 4 9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
两根为
x1, x2
,则,
x1
x2
b a , x1x2
c a
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根
2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版九年级上册教学课件
x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c； 探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理 一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾 若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知 解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负
九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件 (新版)北师大版
第七页，共13页。
知识源于悟
例3
设x1,x2是方程(fāngchéng)3x2-4x=-1的两根, 不解方程(fāngchéng)
求下列各式的值
(1) ∣x1-x2∣
(2)9x13+13x2
第八页，共13页。
知识源于悟
例4 已知方程(fā5ngc1héng)(5 5 )x2+( )x4=0的一个 根为-1,设另一个根为a,求a3-2a2-4a的值.
第三页，共13页。
知识源于悟
例1 已知m为实数,试判断关于(guānyú)x2-(2m3)x-(m-1)=0 的根的情况.
第四页，共13页。
知识源于悟
例2 m取什么(shén me)值时,关于x的方程 2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根? 求出这时方程的根.
第五页，共13页。
小试牛刀
说明不论m取何值,关于x的方程 (x-1)(x+2)=m2总有两个不相等(xiāngděng) 实数根.
第六页，共13页。
回顾与反思
一元二次方程根与系数(xìshù)的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个(liǎnɡ ɡè)根,则有
b
x1+x2=
a , x1x2=
c a.
第九页，共13页。
小试牛刀
已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-k=0的 两个根恰好等于(děngyú)斜边为5的直 角三角形 的两条直角边的长,求实数k的值.
第十页，共13页。
灵感 智慧
已知关于(guānyú)x的方程kx2+(2k1)x+k-1=0 (k为整数) ①只有整数根,且关于 (guānyú)y的一 元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实 数根y1和y2,试确定k的值.
北师大版数学九年级上册课件：2.5一元二次方程的根与系数的关系 (共21张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
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