2019年安徽省淮北宿州市高三第二次模拟考试理科数学试卷含答案
安徽省淮北、宿州市2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题
2019届高三第三次模拟考试数学（理科）试题时间：120分钟 满分：150分第I 卷(选择题 60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数i2i2+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集为实数集R ，集合{}2A |4x x =<，{}B |31x x =>，则=B)C (A R IA ． {}|20x x -≤≤B ．{}|20x x -<≤C ．{}|1x x <D ．{}|0x x ≤3．已知数列{}n a 为等比数列，则“321a a a <<”是“数列{}n a 单调递增”的A ． 充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月-2019年2月全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比；环比表示连续2个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.下列说法错误的是A ．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%B ．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C ．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%D ．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%5．已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的焦点到其渐近线的距离为22，且离心率为3，则该双曲线实轴的长为第6题图A. 1B.3C. 2D.32 6．若实数x ，y 满足x y x 32≤≤+，则y x +的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为 A ．29π B ．163πC ．18πD ． π368．已知xx x f 2)(⋅=，)5(log 3f a =，)21(log 3f b =，)3(ln f c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >>9．函数x x x f 2sin 2cos 3)(-=的图像向右平移4π个单位，若所得图像对应的函数在[]a a ,-是递增的，则a 的最大值是A ． 6πB ．4πC ．3π D ．π10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点．如图所示，在Rt ABC ∆中，扇形区域¼ADE 记为Ⅰ，扇形区域¼CBD记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1P ，2P ，3P ，（参考数据：5 2.236≈）则A ．12P P >B ． 12P P <C ． 123P P P =+D ． 213P P P =+11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0,20190,ln )(x x x x x e x f ，（其中e 为自然对数的底数），函数2)()12()()(2+--=x f m x f x g ，若函数)(x g 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是第7题图第10题图A.2>m B ． 2≥m C ． 221+>m D ．221221+>-<m m 或 12.已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为62，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A. π4B.π28C.π212D.π12第II 卷 (非选择题，90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量)7,2(,4,3=-==b a b a ，则=+b a ．14．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则x 项的系数等于 __________．15．在ABC ∆中，内角C B A ,,满足BCC B C B cos tan cos tan )tan (tan 2+=+,则A cos 的最小值为 ．16.如图，抛物线x y E 42=：的焦点为F ,点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于B A ,两点，使得BM AB ⊥，又A 点在x 轴上的投影为C ，则=--+BC BF AC AF ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第22、23题为选考题 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，11=a ，121+=+n n n S a a ． （I ）求数列{}n a 的项12-n a ； （II ）求数列{}n a 的前n 2项和n S 2.18．（本小题满分12分）如图，边长为2的菱形ABCD 中，F E ，分别是AB ，BC 的中点，将DAE ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 重合于点P .（I ）已知G 为线段PD 上的一点，满足GD PG =3，求证：//PB 平面EFG . （II ）若平面 ⊥PEF 平面 DEF ，求直线PD 与平面PBF 所成角的正弦值．第16题图20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，右焦点F 的坐标为），（02，且点），（22在椭圆C 上.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（II ）过点F 的直线交椭圆于B A ,两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()22ln (1)f x x a x b =+-+，其中01a <≤，b R ∈，函数()1x x g x e -=，其中e 为自然对数的底数. （I ）判断函数()f x 的单调性；（II ）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，求证：122x x +>；22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 31（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，与y 轴相交于点P ，（I ） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）求PBPA 11+的值． 第16题图2019届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBCDCCADABAA11.略解：作函数草图，设t x f =)(，原题等价于方程02)12(2=+--t m t 一根在[)1,0，一根在),1(+∞上，由一元二次方程根的分布知识解得2>m .12.略解：易得正四面体内切球半径为1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为030，由数据求得所截曲线长为π4.第II 卷 (非选择题，90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 41 14． 112 15．1216. 4 16.略解 法一：设),(),,(2211y x B y x A ,AB 过焦点得121=x x ，又BM AB ⊥ 得B 在以MF 为直径的圆上，故12222=+y x ，而2224x y = ， 得2222241x y x ==-，又4411)1(122222222121==-=-=-=+-+=-x x x x x x x x x x BF AF 又ABM ACM ∠=∠，所以AMBC 四点共圆，进而得BC AC = 故=--+BC BF AC AF 4法二：可由B 点垂直关系及B 在抛物线上解得),32(),,32(12y A y B +-，并可计算求得结果为4. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第22、23题为选考题 17． 解（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ， 两式相减得()1212+++=-n n n n a a a a ，因为数列{}n a 为正项数列， 所以22=-+n n a a ，又11=a ， ……………3分故数列{}12-n a 是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()21112⨯-+=-n a n 12-=n . …………… 6分 （2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()122132-=⨯-+=n n a n - ……………8分 所以n n n a a a a a S 2123212+++++=-Λ()()n n n n n n 22212321212+=⨯-++⨯-+=. ……………12分18．解：（1）证明：在菱形ABCD 中，连接,,AC BD EF ，记AC BD M =I ，EF BD O =I ，则13BO OM OD ==，对折后，连接OG ， 在PBD ∆中， 31==OD BO GD PG ， (2)∴PB //GO ， ………………3 又⊄PB 平面EFG ，⊆OG 平面EFG ， (4)∴PB //平面EFG . (5)（2）连接PO ，由PF PE =，得EF PO ⊥，Q PEF ⊥平面DEF ，平面PEF I 平面DEF EF =，⊆PO 平面PEF ，∴PO ⊥平面DEF .又EF BD ⊥，∴OP OD OF ,,两两垂直，以OP OD OF ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………………………………………6 则1====PF BF EB PE ，BEF ∆≅PEF ∆，所以BO PO =，设BO PO =a =，则在POD Rt ∆中，由222PD OD PO =+得， 510=a ， ………………………………………………8 在Rt BOF ∆中, 由勾股定理得，515=OF ， (9)则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,510,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,515F ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,5103,0D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510,0,0P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=510,510,0，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,510,515，设平面PBF 的一个法向量为()z y x ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n BF ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--05105150510510y x z y ，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,1,36， ………………………………………………11 记直线PD 与平面PBF 所成的角为θ.则sin cos ,PD n PD n PD nθ⋅=<>=⋅u u u r r u u u u r u u u r u u u r r515=. (12)19.解（1）由题意得,5.6510049511852475256521551345235=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=μ (2)14σ=≈∴=+≤<-=≤<)2()5.795.37(σμξσμξP P 0.95440.68260.95440.81852-=-= (5)（2）由题意知，()()1P 2P ξμξμ<=≥=， 获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()31322120P =⋅==X ，()9232322140P =⋅⋅==X ， ()61312150P =⋅==X ，()9232312131322170P =⋅⋅+⋅⋅==X ，()181313121100P =⋅⋅===X则X 的分布列为： (10)451811009270615092403120=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX20.解：（1）由已知得222224212a b a b c c ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， (2)解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， (3)∴椭圆C 的标准方程22184x y +=， ……………………………4 ∴椭圆C的离心率2c e a ===. ……………………………5 (2)设11(,y )P x ，22B(,y )x ，则11(,y )A x -， 可设PB 的直线方程为y kx m =+联立方程22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(21)4280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++ (7)Q AF FB k k =，∴121222y y x x =-- .................................8 整理得，12122()()40kx x m k x x m +-+-=， (9)∴2222842()402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =- ……………………………11 ∴PB 的直线方程为：4(4)y kx k k x =-=-，直线PB 恒过定点(4,0). (12)21.解：（I ）()f x '=2ln 2(1)x a x xx+-，0x >①当()0,1x ∈时，2(1)0a x x -<，2ln 0x <，∴()0f x '<，∴()f x 在()0,1上递减；②当()1,x ∈+∞时，2(1)0a x x ->，2ln 0x >，∴()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上递增. 综上可知，()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增. (4)（II ）不妨设12x x <，由题意及（I ）可知，()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，且()()min 10f x f b ==< 令 ()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈则()()()2F x f x f x =--22ln (1)x a x b =+-+22[ln (2)(21)]x a x b --+--+()22ln ln 2x x =--[ln x =+()()ln 2ln ln 2x x x ---⎤⎡⎤⎦⎣⎦()221ln 2lnln[(1)1]ln()0221x x x x x x=-+=--+>--即()()2,(0,1)f x f x x >-∈，∴()()()2112f x f x f x =>-，Q 101x <<，∴121x ->， Q 21x >由（I ）知()f x 在()1,+∞上递增，∴212x x >-，∴122x x +>.` (8)（III ）当12a =，1b =时，()221ln (1)12f x x x =+-+ ()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增. ()()min11f x f ==. ()1x x g x e -=，()11x xg x e--'=，令()0g x '=，得1x =，所以函数()g x 在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减.()max g x =()11g =.综上所述，()()f x g x ≥当且仅当1x =时等号成立. (12)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）Q 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 31∴消去参数t 后，直线l 的普通方程为013=+-y x ， (2)Q C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=，∴22cos 2sin ρρθρθ=+，∴2222x y x y +=+，整理得，曲线C 的普通方程为2)1()1(22=-+-y x . …………………………5 （2）设B A ,两点对应的参数分别为12,t t ， 将直线l 方程⎩⎨⎧+==ty t x 31代入曲线C 的2)1()1(22=-+-y x得，01242=--t t ………………………………7 ∴121211024t t t t +=⋅=-<， ………………………………8 ∴PB PA 11+=1212121212112222t t t t t t t t t t +-+====⋅⋅ ……10 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）Q (3)610f a a =-+=，∴610a a -=-， ......... (2)∴()()2210,610,a a a ≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得8.a = ……………………………5 （2）当[][]91,9,6,10x x x∈+∈， (6)①当10a ≥时，()942f x a x a a x x x =--+=--，max ()2610f x a =-=，8a ∴=，舍去②当1a ≤时，()9910f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当110a <<时，{}max ()max 6,10f x a a a a =-+-+，则610610a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或6101010a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得8a =或8a <， ..........................................9 综上可得，实数a 的取值范围是(],8-∞． (10)。
2019届安徽省淮北市、宿州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省淮北市、宿州市高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】首先化简所给的复数，然后求得其共轭复数即可确定其所在的象限.【详解】由题意可得：，则其共轭复数为：，对应的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设全集为实数集，集合，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求得集合A,B，然后进行补集和交集的运算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，故.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知数列为等比数列，则“”是“数列单调递增”的A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用数列的性质和单调性的定义分别考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】若数列单调递增，则，即充分性成立；若，则，若，则，解得，此时数列单调递增；若，则，解得，此时数列单调递增；据此可知必要性成立，综上可得：“”是“数列单调递增”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的单调性，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．CPI是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月-2019年2月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比；环比表示连续2个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.下列说法错误的是A．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5% B．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1% D．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%【答案】D【解析】由题意逐一考查所给的说法正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%，题中的说法正确；B. 2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%，题中的说法正确；C. 2018年6月份居民消费价格环比下降0.1% ，题中的说法正确；D. 2018年11月份居民消费价格环比下降0.3%，2018年11月份居民消费价格同比上升2.2%，题中的说法错误.故选：D.【点睛】本题主要考查统计图表的阅读与识别，属于中等题.5．已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，且离心率为，则该双曲线实轴的长为A．B．C．D．【答案】C【解析】首先求得焦点到渐近线的距离，然后结合题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定实轴的长即可.【详解】由题意可得，焦点到渐近线的距离：，故，求解方程组可得：，则双曲线实轴的长为.故选：C.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，双曲线的性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．若实数，满足，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】将原问题转化为线性规划的问题，据此结合线性规划的结论即可求得的最小值.【详解】原问题等价于时求目标函数的最小值，绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】首先确定三视图所对应的几何体的结构特征，然后求得外接球的半径，最后由体积公式求得其体积即可.【详解】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三视图对应的几何体为三棱锥，则三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为，由题意可得：，故该多面体外接球的体积.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的外接球问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知，，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较的大小即可.【详解】由函数的解析式可知函数为奇函数，当时，，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数是定义在R上的单调递增函数，由于,故.即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．函数的图像向右平移个单位，若所得图像对应的函数在是递增的，则的最大值是A．B．C．D．【答案】A【解析】首先求得函数图像向右平移个单位后的解析式，然后结合函数的单调递增区间确定实数a的最大值即可.【详解】由题意可得：，则函数图像向右平移个单位的解析式为：.函数的单调递增区间满足：，解得：,当时，函数的单调递增区间为，据此可得的最大值是.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移变换，三角函数的性质，辅助角公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；以为圆心，为半径画弧，交于点；以为圆心，以为半径画弧，交于点，则点即为线段的黄金分割点．如图所示，在中，扇形区域记为Ⅰ，扇形区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，（参考数据：）则A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意结合几何图形的性质考查所给的式子是否成立即可.【详解】由题意可知：，故，且，故选项B正确，选项ACD错误；故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型及其应用，属于中等题.11．设函数（其中为自然对数的底数），函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】将原问题转化为二次函数在给定区间上有解的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可确定m的取值范围.【详解】令，则，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数存在极大值，由一次函数图像可知函数在区间上单调递减，绘制函数的大致图像如图所示，则原问题等价于关于的一元二次方程存在两个实数根，一个根位于区间上，另一个根位于区间上，注意到二次函数开口向上，且两根之积，据此有：，解得：，即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A．B．C．D．【答案】A【解析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可.【详解】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：，球心到截面的距离：，则，，据此可得截面对应的弧长为：，则四面体的一个面截球面的弧长为：，则正四面体表面与球面的交线的总长度为.故选：A.【点睛】本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知向量，则_____________．【答案】【解析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值.【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：，且：，故：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则项的系数等于__________．【答案】112【解析】首先确定的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式可确定项的系数. 【详解】由题意可得：，解得：，故所给的二项式展开式的通项公式为：，令可得，故项的系数等于.故答案为：．【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．15．在中，内角满足,则的最小值为_________．【答案】【解析】首先整理所给的三角函数式结合正弦定理得到三角形三边的大小关系，然后利用余弦定理结合均值不等式即可确定的最小值.【详解】由题意可得：，即：，，由正弦定理可得：，由余弦定理有：.当且仅当时等号成立.据此可得：的最小值为.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，余弦定理的应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题16．已知数列的各项均为正数，前项和为，，．（1）求数列的项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列的项；（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前项和.【详解】（1）由得，，两式相减得，因为数列为正项数列，所以，又，故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）知，，由及得故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以-所以.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．如图，边长为2的菱形中，分别是，的中点，将，分别沿，折起，使，重合于点.（1）已知为线段上的一点，满足，求证：平面.（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）在菱形中，连接，记，，由题意结合几何关系可证得//，利用线面平行的判定定理即可证得题中的结论；（2）连接，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的结论即可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）在菱形中，连接，记，，则，对折后，连接，在中，，∴//，又平面，平面，∴//平面.（2）连接，由，得，平面，平面平面，平面，∴平面.又，∴两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，所以，设，则在中，由得，，在中,由勾股定理得，，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，取，记直线PD与平面PBF所成的角为.则.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，由空间向量求线面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据：①；②；③若,则.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意求得和的值，然后求解概率值即可；（2）由题意可知的可能取值为20，40，50，70，100，据此求得分布列，然后求解数学期望即可.【详解】（1）由题意得,，，∴.（2）由题意知，，获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，，，，，，则的分布列为：20 40 50 70 100.【点睛】本题主要考查正态分布的应用，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．【答案】（1），（2）答案见解析.【解析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.【详解】（1）由已知得，解得，∴椭圆的标准方程，∴椭圆的离心率.(2)设，，则，可设的直线方程为，联立方程，整理得，∴，，∴，整理得，，∴，解得，∴的直线方程为：，直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．已知函数，其中，，函数，其中为自然对数的底数.（I）判断函数的单调性；（II）设，是函数的两个零点，求证：；（III）当，时，试比较与的大小并证明你的结论.【答案】（I）在上递减，在上递增.（II）见解析（III）答案见解析. 【解析】（I）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调区间；（II）不妨设，由题意及（I）可知，，，构造对称差函数，，由函数的性质结合题意即可证得题中的不等式；（III）由题意求得函数的最小值和函数的最大值即可证得题中的不等式.【详解】（I），，①当时，，，∴，∴在上递减；②当时，，，∴，∴在上递增.综上可知，在上递减，在上递增.（II）不妨设，由题意及（I）可知，，，且，令，，则，即，∴，，∴，，由（I）知在上递增，∴，∴.（III）当，时，，在上递减，在上递增. .，，令，得，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减..综上所述，当且仅当时等号成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，与轴相交于点.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】(1)消去参数可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线C的直角坐标方程；(2)联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程的几何意义和韦达定理即可求得的值．【详解】（1）直线的参数方程为，(t为参数)∴消去参数后，直线的普通方程为，的极坐标方程为，∴，∴，整理得，曲线C的普通方程为.（2）设两点对应的参数分别为，将直线方程(t为参数)，代入曲线C：，得，，∴，∴=.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．已知函数（1）若，求实数的值；（2）若函数在区间上的最大值是10，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；(2)由题意分类讨论，和三种情况即可确定实数的取值范围.【详解】（1），，解得（2）当，①当时，，，，舍去②当时，，此时命题成立；③当时，，则或，解得或，综上可得，实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
安徽省淮北宿州市2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题含答案
安徽省淮北、宿州市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.3.设全集为实数集 R ，集合 A ={x |x ＜4}，B ={x|3 ＞1}，则 A ∩（∁ B ）=（ ） A.B.C.D.已知数列{a }为等比数列，则“a ＜a ＜a ”是“数列{a }单调递增”的（） n1 2 3 nA. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水 平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的 2018 年 2 月-2019 年 2 月全国居民消费价 格指数（CPI ）数据折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比；环比表示连续 2 个 单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/ 上期数×100% ）．下列说法错误的是（ ）A. B. C. D. 2019 年 2 月份居民消费价格同比上涨 2019 年 2 月份居民消费价格环比上涨 2018 年 6 月份居民消费价格环比下降 2018 年 11 月份居民消费价格同比下降5.已知双曲线 （a ＞0，b ＞0）的焦点到其渐近线的距离为 ，且离心率为 3，则该双曲线实轴的长为（）A. 1B. C. 2D. 6. 若实数 x ，y 满足 x +2≤y ≤3x ，则 x +y 的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的 体积为（ ）x 2 RA.B.C. D.8.已知 f （x ）=x •2，，，c =f （ln3），则 a ，b ，c 的大小关系为（）A.B.C. D.9.函数的图象向右平移 个单位，若所得图象对应的函数在[-a ，a ]是递增的，则 a 的最大值是（）A.B. C. D.10. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段 A B =2QUOTEAB =2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接 AC ；以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D ；以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点，则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点．如图所示，在 △R t A BC 中， 扇形区域 记为Ⅰ，扇形区域 记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点 取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 P ，P ，P ，（参考数据： ）则（ ）123A.B.C. D.11. 设函数， ＞ ，，（其中 e 为自然对数的底数），函数 g （x ）=f （x ）-（2m -1）f（x ）+2，若函数 g （x ）恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.B.C.D.或12. 已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为 ，球的半径为 ，则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ，， ，，则=______．14. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 x 项的系数等于______．|x | 215. 在△ABC中，内角A，B，C满足，则cos A的最小值为______．16. 如图，抛物线E：y=4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则|A F|+|AC|-|BF|-|BC|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{an }的各项均为正数，前n项和为S，a=1，a a=2S+1．n1n n+1n（Ⅰ）求数列{a }的项a；n2n-1（Ⅱ）求数列{a }的前2n项和S．n2n18. 如图，边长为2的菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，△将DAE△，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C重合于点P．（Ⅰ）已知G为线段PD上的一点，满足，求证：PB∥平面EFG．（Ⅱ）若平面PEF⊥平面DEF，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．219. 在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行 了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100 人的得分统计结果如表所示：组别 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数4 13 21 25 24 11 4（Ⅰ）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ～N （μ，198），μ 近似为这 100 人得 分的平均值（．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P （37.5＜ξ≤79.5）； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于 μ 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 μ 的可以获赠 1 次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）概率20 50现有市民甲参加此次问卷调查，记..（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分 布列与数学期望．附：参考数据：①35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4=6550； ① ；①若 X ～N （μ，σ ），则 P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974，20. 已知椭圆 ：＞ ＞ ，右焦点 F 的坐标为（2，0），且点 ，在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）过点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点（直线不与 x 轴垂直），已知点 A 与点 P 关于 x 轴对称， 证明：直线 PB 恒过定点，并求出此定点坐标．21. 已知函数 f （x ）=ln x +a （x -1） +b ，其中 0＜a ≤1，b ∈R ，函数，其中 e 为自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数 f （x ）的单调性； （Ⅱ）设 x ，x 是函数 f （x ）的两个零点，求证：x +x ＞2；1 2 1 2（Ⅲ）当 ，b =1 时，试比较 f （x ）与 g （x ）的大小并证明你的结论．2 2 222.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sin，θ直线l与曲线C相交于A，B两点，与y轴相交于点P，（Ⅰ）求直线l （Ⅱ）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；的值．23.已知函数（Ⅰ）若f（3）=10，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，9]上的最大值是10，求实数a的取值范围．1. 【答案】D【解析】解： 设 z===，答案和解析其共轭复数为 =故选：D ．，对应的点位于第四象限．求出复数的代数形式，得到其共轭复数的代数形式，再根据其实部和虚部的情况作出判断．本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，看清题目是解对本题的 关键．不同属基础题．2.【答案】B【解析】解：A={x|x ＜4}={x|-2＜x ＜2}，B={x|3 ＞1}={x|x ＞0}， 则∁ B={x|x ≤0}，则 A ∩（∁B ）={x|-2＜x≤0}，故选：B ．化简集合 A 、B ，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为数列{a }为等比数列，n当 a ＜a ＜a 得：，所以123或，所以 a -a =a q （q-1）＞n+1 n10，即数列{a }单调递增，n当数列{a }单调递增时，易得 a ＜a ＜a ，n123即“a ＜a ＜a ”是“数列{a }单调递增”的充要条件，故选：C ．2 xRRn-11 2 3 n由等比数列的单调性及充分必要条件得：当 a ＜a ＜a 得：123或，所以 a -a =a q （q-1）＞0，即数列{a }单调递增，n+1 n1n，所以当数列{a }单调递增时，易得 a ＜a ＜a ，即“a ＜a ＜a ”是“数列{a }单调递增”的充要条件，得解．本题考查了等比数列的单调性及充分必要条件，属中档题．4.【答案】D【解析】解：通过图象上的数据即可知，选项 A ，B ，C 的说法都正确；通过图象知，2018 年 11 月份居民消费价格同比上涨 2.2%；∴D 错误．故选：D ．根据题意并观察图象上的数据即可判断出 A ，B ，C 都正确，只能选 D ．考查对同比增长率和环比增长率的概念的理解，以及读图的能力．5. 【答案】C【解析】， 解：根据题意，双曲线 则 b=（a ＞0，b ＞0）的焦点到渐近线的距离为，又由双曲线的离心率 3，即 e= =3，即 c=3a ，则有 b==2 a ，解可得 a=1，则双曲线的实轴 2a=2；故选：C ．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得 b 的值，又由双曲线的离心率分析可得 c=2a ，联 立两式分析可得 a 的值，由双曲线的长轴长 2a 计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是 b 的值．n-1n 1 2 3 1 2 3 n6.【答案】C【解析】解：实数x，y满足x+2≤y≤3x表示的平面区域如图所示，∴A（1，3），∵直线z=x+y过可行域内A（1，3）的时候z最小，最小值为4，故选：C．先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A时，z取最小值即可本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7.【答案】A【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：根据几何体的特征，得到该几何体的外接球的球心为垂直于平面ACD和垂直于平面ABC 的斜边CD和AB的交点O，故：r=所以：V=，．故选：A故选：A．直接利用三视图和几何体之间的转换求出外接球的半径，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察 学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】D【解析】解：根据题意，f （x ）=x •2 =，当 x ＜0 时，f （x ）=x •（ ） ＜0，又由 log =-log 2＜0，则 b ＜0，当 x ≥0 时，f （x ）=x •2 ，其导数 f ′（x ）=2 +x•2 ln2＞0，则 f （x ）在[0，+∞）上为增函数， 其 f （0）=0，则当 x ＞0 时，f （x ）＞0；又由 0＜log3＜1＜ln3，则 0＜a ＜c ，综合可得：c ＞a ＞b ；故选：D ．根据题意，由函数的解析式分析可得当 x ＜0，f （x ）=x•（ ） ＜0，据此可得 b ＜0，当 x ≥0 时，f （x ）=x •2 ，求出其导数，分析可得 f （x ）在[0，+∞）上为增函数，由此分析可得 0＜a ＜c ，综 合可得答案．本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：，=，把函数的图象向右平移个单位，得到：g （x ）=，令：解得：（k ∈Z ），（k ∈Z ），所得图象对应的函数在[-a ，a]是递增的， 所以：a ＞0，|x| x 3 3 x x xx x整理得：当 k=0 时，≤．，故选：A ．首先把函数的关系式便形成余弦形函数，进一步利用函数图象的平移变换和伸缩变换的 应用再利用余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换和伸缩变换的应 用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：根据几何概型可知，P ，P ，P 的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系，123∵AB=2，BC=1，∴AC=，CD=1，AD= -1，设∠A=α，则∠C=-α，∵tanα= ＜，∴α＜S = ×AD •α= ×（ 1-1） α，S = ×BC ×（ 2-α）= ×（-α），S -S ≈ ×1.236α- + α＜ ×1.236 × - + × ＜0， 1 2∴S1 2 1 2故选：B ．根据几何概型可知，P ，P ，P 的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系．123本题考查了几何概型，属中档题．11.【答案】A【解析】解：当 x ＞0 时，f ′（x ）=，由 f ′（x ）＞0 得 1-lnx ＞0 得 lnx ＜1，得 0＜x ＜e ， 由 f ′（x ）＜＞0 得 1-lnx ＜0 得 lnx ＞1，得 x ＞e ，即当 x=e 时，函数 f （x ）取得极大值，同时也是最大值，f （e ）=1，当 x →+∞，f （x ）→0，当 x →0，f （x ）→-∞，作出函数 f （x ）的图象如图， 设 t=f （x ），2 2 2 2 2 ＜S ，∴P ＜P由图象知当 t ＞1 或 t ＜0，方程 t=f （x ）有一个根，当 t=0 或 t=1 时，方程 t=f （x ）有 2 个根，当 0＜t＜1 时，方程 t=f （x ）有 3 个根，则 g （x ）=f （x ）-（2m-1）f （x ）+2，等价为 h （t ）=t -（2m-1）t+2， 当 t=0 时，h （0）=2≠0，∴若函数 g （x ）恰有 4 个零点，则等价为函数 h （t）=t-（2m-1）t+2 有两个零点，满足 t＞1 或 0＜t＜1，则即 h （1）=1-2m+1+2=4-2m ＜0 得 m ＞2，即实数 m 的取值范围是 m ＞2，故选：A ．求函数 f ′（x ），研究函数的单调性和极值，作出函数 f （x ）的图象，设 t=f （x ），若函数 g （x ）恰有 4 个零点，则等价为函数 h （t）=t -（2m-1）t+2 有两个零点，满足 t ＞1 或 0＜t＜1，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求 的导数，研究函数的 f （x ）的单调性和极值是解决本题的关键．12.【答案】A【解析】解：∵正四面体 A-BCD 的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为，取 CD 中点 E ，连结 BE ，AE ，过 A 作 AF ⊥底面 BCD ，交 BE 于 F ，则 BE=AE=，==3，BF= =2，DF=AF==4，设正四面体内切球半径为 r ，则（4-r ）2=（2） +r ，解得正四面体内切球半径为 r=1，2 22 22 2，∵球的半径为∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r1==2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×（3××2π×2）=4π．故选：A．求出正四面体内切球半径为1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，由此能求出正四面体表面与球面的交线的总长度．本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.【答案】【解析】解：∵；∴；∴；∴；∴故答案为：．．根据条件即可求出，从而得出．，从而得出，进而可求出考查向量的数量积的运算，向量数量积的坐标运算，向量长度的求法．14.【答案】112【解析】解：由于所有项的二项式系数之和为2=256，n=8，故的二项展开式的通项公式为T =r+1•（-2）•，nr令 4- =1，求得 r=2，可得含 x 项的系数等于 4 =112，故答案为：112．由题意利用二项式系数的性质，求得 n=8，可得的二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于 1，求得 r 的值，可得含 x 项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基 础题．15.【答案】【解析】解：由于：整理得：，，即：2sinAcosBcosC=sinBcosBcosC+sinCcosBcosC 故：2sinA=sinB+sinC ， 利用正弦定理得： 2a=b+c ，所以：cosA=，==，，故最小值为 ．故答案为：直接利用三角函数关系式的变换，进一步利用正弦定理和基本不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应 用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】4【解析】解：抛物线 E ：y =4x 的焦点为 F （1，0），点 M 与 F 关于坐标原点 O 对称，过 F 的直线 y=k （x-1） 与抛物线交于 A ，B 两点，可得 k x -（k+4）x+k =0，设 A （x ，y ），B （x ，y ），AB 过焦点得 x x =1，又 AB ⊥B M22 2 2 2 1 1 2 2 1 2得B在以MF为直径的圆上，故，而，得，又又∠ABM=∠ACM，所以AMBC四点共圆，进而得AC=BC故|AF|+|AC|-|BF|-|BC|=4故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，直线方程，设A（x，y ），B（x ，y），AB过焦点得x x =1，结合112212AB⊥BM，转化求解|AF|-|BF|，通过四点共圆，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，四点共圆等知识的应用，本题也可由B点垂直关系及B在抛物线上解得，并可计算求得结果为4．17.【答案】解：（1）由a a=2S+1得，a a=2S+1，n n+1n n+1n+2n+1两式相减得a（a-a）=2a，n+1n+2n n+1因为数列{a}为正项数列，n所以a-a=2，n+2n又a=1，1故数列{a}是以a=1为首项，公差为2的等差数列，2n-11所以a=1+（n-1）×2=2n-1．2n-1（2）由（1）知，a-a=2，n+2n由a=1及a a=2S+1得a=31n n+1n2故数列{a}是以a=3为首项，公差为2的等差数列，2n2所以a=3+（n-1）×2=2n+1．2n所以S=a+a+a+…+a+a2n1232n-12n=．【解析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用分组法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，连接AC，BD，EF，记AC∩BD=M，EF∩BD=O，则，对折后，连接OG，在△PBD中，，………2′∴PB∥GO，………………3′又PB⊄平面EFG，OG⊆平面EFG，………………4′∴PB∥平面EFG．………………5′（2）解：连接PO，由PE=PF，得PO⊥EF，∵PEF⊥平面DEF，平面PEF∩平面DEF=EF，PO⊆平面PEF，∴PO⊥平面DEF．又BD⊥EF，∴OF，OD，OP两两垂直，以OF，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．…………………………6′则PE=EB=BF=PF=1△，BEF≌△PEF，所以BO=PO，设BO=PO=a，则在△R t POD中，由PO+OD=PD 得，，………………………………………………8′在△R t BOF中，由勾股定理得，，………………………………………………9′则，，，，，，，，，，，，，，，设平面PBF的一个法向量为，，，，，，则，，取，，，………………………………………………11′记直线PD与平面PBF所成的角为θ．则＜，＞=．…………12′【解析】（1）证明连接AC，BD，EF，记AC∩BD=M，EF∩BD=O，连接OG，证明PB∥GO，然后证明PB∥平面EFG．（2）连接PO，说明OF，OD，OP两两垂直，以OF，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PD与平面PBF所成的角的正弦函数值．222本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，…2′∴P（37.5＜ξ≤79.5）=P（μ-2σ＜ξ≤μ+σ）═…5′（Ⅱ）由题意知，＜，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，，，，，则X的分布列为：20405070100XP…10′…12′【解析】（Ⅰ）利用频率分布表求解平均数即可．利用正态分布的性质通过P（37.5＜ξ≤79.5）=P （μ-2σ＜ξ≤μ+σ）求解即可．（Ⅱ）由题意知，，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，求出概率得到X的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，正态分布的性质的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得， (2)解得， (3)∴椭圆C的标准方程， (4)∴椭圆C的离心率． (5)（Ⅱ）设P（x，y），B（x，y），则A（x，-y），112211可设PB的直线方程为y=kx+m联立方程∴∵k =k ，∴，，整理得（2k +1）x +4kmx +2m -8=0，……………………………7， (8)整理得，2kx x +（m -k ）（x +x ）-4m =0， (9)1 2 1 2 ∴，解得 m =-4k (11)∴PB 的直线方程为：y =kx -4k =k （x -4），直线 PB 恒过定点（4，0）． (12)【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求出 a ，b 即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设 P （x ，y ），B （x ，y ），则 A （x ，-y ），设 PB 的直线方程为 y=kx+m ，联立方程 1 1 2 2 1 1，整理得（2k +1）x +4kmx+2m -8=0，利用韦达定理通过 k =k 推出 m=-4k ，AFFB利用直线系求解直线 PB 恒过定点（4，0）．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆是简单性质的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（I ）f '（x ）=，x ＞0，0＜a ≤1．①当 x ∈（0，1）时，2a （x -1）x ＜0，2ln x ＜0，∴f '（x ）＜0，∴f （x ）在（0，1）上递减； ②当x ∈（1，+∞）时，2a （x -1）x ＞0，2ln x ＞0，∴f '（x ）＞0，∴f （x ）在（1，+∞）上递增． 综上可知，函数 f （x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．（II ）证明：不妨设 x ＜x ，由题意及（I ）可知，x ∈（0，1），x ∈（1，+∞）．1 2 1 2且 f （x ） =f （1）=b ＜0．min 令 F （x ）=f （x ）-f （2-x ），x ∈（0，1）．则 F （x ））=f （x ）-f （2-x ）=ln x +a （x -1） +b -[ln （2-x ）+a （2-x -1） +b ]=ln x -ln（2-x ）．=[ln x +ln （2-x ）][ln x -ln （2-x ）]=ln （-x +2x ）ln =ln[-（x -1）即 f （x ）＞f （2-x ），x ∈（0，1）．∴f （x ）=f （x ）＞f （2-x ），2 1 1∵0＜x ＜1，∴2-x ＞1，∵x ＞1． 1+1]ln＞0．由（I ）知 f （x ）在（1，+∞）上递增，∴x ＞2-x ，∴x +x ＞2．12（III ）当 ，b =1 时，f （x ）=ln x + （x -1） +1，f （x ）在（0，1）上递减，f （x ）在（1，+∞）上 递增．∴f （x ） =f （1）=1．min函数 ，g ′（x ）=．2 2 2 AF FB 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2令 g ′（x ）=0，得 x =1，∴函数 g （x ）在区间（0，1）单调递增，在区间（1，+∞）单调递减．g （x ） =g （1）=1．max综上所述，f （x ）≥g （x ），当且仅当 x =1 时等号成立． 【解析】（I ）f'（x ）=，x ＞0，0＜a ≤1．利用导数研究其单调性即可得出．（I I ）不妨设 x ＜x ，由题意及（I ）可知，x 121∈（0，1），x ∈（1，+∞）．f （x ） 2min=f （1）=b ＜0．令 F （x ）=f （x ）-f （2-x ），x ∈（0，1）．利用导数研究其单调性即可得出．（I II ）当，b=1 时，f （x ）=ln x+ （x-1） +1，f （x ）在（0，1）上递减，f （x ）在（1，+∞）上递增．根据单调性可得 f （x ） =f （1）=1．min函数，g ′（x ）=．利用导数研究其单调性可得 g （x ）=g （1）=1．即可得出结max论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方 法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线 l的参数方程为（t为参数），∴消去参数 t后，直线 l的普通方程为：x -y +1=0．曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ+2sin θ，转换为直角坐标方程为：x +y =2x +2y ． 整理得，曲线 C 的普通方程为（x -1） +（y-1） =2． （Ⅱ）设 A ，B 两点对应的参数分别为 t 和 t 12 ，将直线 l 方程代入曲线 C 的（x -1） +（y -1） =2．得到：4t -2t -1=0， ∴t +t = ，t •t =- ．1 21 2∴=，== ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换． （Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．2 22 2 2 2 2 2 2本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵f（3）=|6-a|+a=10，∴|6-a|=10-a，∴（2）当x∈[1，9]，x+解得a=8，∈[6，10]，①当a≥10时，f（x）=2a-x-，f（x）=2a-6=10，∴a=8，舍去②当a≤1时，f（x）=x+≤10，此时命题成立；③当1＜a＜10时，f（x）=max{|6-a|+a，|10-a|+a}，max则或，解得a=8或a＜8，综上可得，实数a的取值范围是（-∞，8]．【解析】（Ⅰ）代值计算即可；（Ⅱ）先求出x+∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a 的范围．本题考查函数最值的求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．max。
2019年高三二模数学(理科)(含答案)
2019年高三二模数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.计算=（）A. B. i C. D. 12.已知集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A. 5，B.C. D. 或3.已知{a n}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=（）A. B. C. D. 24.如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆．将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）=（）A. B. C. D.5.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A. B. C.D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k=（）A. 7B. 8C. 9D. 107.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.8.为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为A. B. C. D.10.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.在的展开式中的x3的系数为（）A. 210B.C.D. 28012.函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.点P从（-1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为______．14.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= ______ ．15.已知数列{a n}中，a1=3，a2=7．当n∈N*时，a n+2是乘积a n•a n+1的个位数，则a2019=______．16.已知F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19、在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：;（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.20、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程；过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．21、已知函数f（x）=4x2+-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．22、已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，以及一元二次不等式的解法，是基础题目．化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2-4x＞0}={x∈R|x＜0或x＞4}，∴A∩B={5，6}．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=-， 故选B ． 4.【答案】C【解析】解：由图可知：正方形的边长为2， S 阴==，S 正=2×2=4，则P （A ）===，故选：C ．由扇形的面积得：S 阴==，由几何概型中的面积型得：则P （A ）===，得解．本题考查了扇形的面积及几何概型中的面积型，属简单题． 5.【答案】D【解析】解：若a ＞1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＞a ＞1，此时b-a ＞0，b ＞1，即（b-1）（b-a ）＞0，若0＜a ＜1，则由log a b ＞1得log a b ＞log a a ，即b ＜a ＜1，此时b-a ＜0，b ＜1，即（b-1）（b-a ）＞0， 综上（b-1）（b-a ）＞0， 故选：D ．根据对数的运算性质，结合a ＞1或0＜a ＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6.【答案】C【解析】解：∵=-，∴s=++…+=1…+-=1-，由S≥得1-≥得≤，即k+1≥10，则k≥9，故选：C．由程序框图结合数列的裂项法进行求解即可．本题主要考查程序框图的应用，根据数列求和以及裂项法是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】B【解析】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x-）+]=sin （2x-）的图象，故选：B．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x的系数的应用，以及诱导公式的应用．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过点C（1,1）时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（4+）≥2+=2+；当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．10.【答案】C【解析】解：将该三棱锥补成正方体，如图所示；根据题意，2R=，解得R=；∴该三棱锥外接球的表面积为=4πR2=4π•=27π．S球故选：C．把该三棱锥补成正方体，则正方体的对角线是外接球的直径，求出半径，计算它的表面积．本题考查了几何体的外接球表面积的应用问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，分类讨论求得展开式中的x3的系数．【解答】解：由于的表示7个因式（1-x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取-x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取-x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为××2×-××23=210-1120=-910.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．本题考查了图象的平移和根据图象解决实际问题，是数型结合思想的应用，应熟练掌握．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则可使log2x图象左移大于1个单位即可，得出a＞1；若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=-2，解得a=-，∴a的范围为a＞1或a≤-，故选：D．13.【答案】（-，）【解析】解：如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则∠xOQ=，∴Q点坐标为（cos，sin），即（-，）．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．本题考查了单位圆与三角函数的定义和应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.【解答】解：由f（x）=ax3+x+1，得f′（x）=3ax2+1，∴f′（1）=3a+1，即f（x）在x=1处的切线的斜率为3a+1，∵f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴3a+1=4，即a=1．故答案为1．15.【答案】1【解析】解：由题意得，数列{a n}中，a1=3，a2=7，当n≥2时，a n+1是积a n a n-1的个位数；则a3=1，依此类推，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，数列{a n}是以周期T=6的周期数列，则a2019=a3+336×6=a3=1；故答案为：1．根据题意可得：由数列的递推公式可得a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，a9=1，a10=7，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】5【解析】解：∵F是双曲线的右焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点∴而|PA|+|PF|≥|AF|=5当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为：5．根据PA|+|PF|≥|AF|=5求得答案．本题考查了三点共线，距离公式，属于基础题17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知2cos C（a cos B+b cos A）=c，利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin[π-（A+B）]=sin C，∴2cos C sinC=sin C，∴cos C=，∵C为三角形ABC的内角，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5或a+b=-5（舍去）∴△ABC的周长为5+.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），填表如下：根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为数学期望为，或（）．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．19.【答案】（I）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；（II）解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图,由（I）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD,以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意得：B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，，则，设平面MBC的法向量，则,即，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量，设直线AD与平面MBC所成角为θ，则，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.【解析】本题考查面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质,同时考查利用空间向量求线面角.（I）利用面面垂直的性质得AB⊥平面BCD,从而AB⊥CD；（II）建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式即可得出.20.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=l（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．21.【答案】解：（1）函数f（x）=4x2+-a，则y=xf（x）=4x3+1-ax的导数为y′=12x2-a，由题意可得12-a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+-12，f′（x）=8x-，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，-7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x-1），即为y=7x-14；（2）由f（x）=4x2+-a，导数f′（x）=8x-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3-a，由f（x）有两个零点，可得3-a=0，即a=3，零点分别为-1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或，则f（x）=-1-b或f（x）=-b，由题意可得f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，则-1-b＞0，且-b＞0，即b＜-1且b＜，可得b＜-1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（-∞，2）．【解析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=-1或t=，即f（x）=-1-b或f（x）=-b都有3个实数解，由图象可得-1-b＞0，且-b＞0，即可得到所求a+b的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
安徽省宿州市2019年高考数学一模试卷(理科)含答案解析
安徽省宿州市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A．B．C．D．2．复数z满足（1+i）z=2﹣3i，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．向量，满足||=1，||=2，•（+）=0，则在方向上的投影为（）A．B．C．0 D．4．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8 B．12 C．24 D．365．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点的纵坐标之和为（）A．10 B．11 C．15 D．167．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．45 B．C．D．608．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣2，0）对称B．关于点（0，﹣2）对称C．关于直线x=﹣2对称D．关于直线x=0对称9．已知的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，则a4+b4的最小值为（）A．16 B．12 C．8 D．410．以下四个命题中，正确命题的个数是（）①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题；②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；③直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是；④．A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与△ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是（）A．B．C．D．12．函数f（x）在R上的导函数为f'（x），对于任意的实数x，都有f'（x）+2019＜4034x，若f（t+1）＜f（﹣t）+4034t+2019，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题已知函数，则=．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是．16．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足，且a1，a2+6，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC 与平面ABC 垂直，AB=BC ，AM=CN ，点O 、D 、E 分别是AC 、MN 、AB 的中点．过点E 作平行于平面AMNC 的截面分别交BD 、BC 于点F 、G ，H 是FG 的中点．（Ⅰ）证明：OB ⊥EH ；（Ⅱ）若直线BH 与平面EFG所成的角的正弦值为，求二面角D ﹣AC ﹣H 的余弦值．19．（12分）某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？ （Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：①根据表中数据，是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？ ②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X 为3个人中选择表演的人数，求X 的分布列和期望． 附：K 2=；20．（12分）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，对于任意的0＜x1＜x2，存在正实数x0，使得f （x1）﹣f（x2）=f'（x0）•（x1﹣x2），试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t∈R），曲线（θ为参数，θ∈[0，2π]）．（Ⅰ）以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2相交于点A、B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2019年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞}={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（，1）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数z满足（1+i）z=2﹣3i，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2﹣3i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣3i）（1﹣i），∴z=﹣﹣i，则复数z的虚部是﹣．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．向量，满足||=1，||=2，•（+）=0，则在方向上的投影为（）A．B．C．0 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的运算公式求出、夹角的余弦值，再根据向量投影的定义写出运算结果．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，•（+）=0，∴+•=12+1×2×cosθ=0，θ为、的夹角；∴cosθ=﹣；∴在方向上的投影为||cosθ=1×（﹣）=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积和向量投影的定义与应用问题，是基础题目．4．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（）A．8 B．12 C．24 D．36【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=84，b=48，满足a＞b，则a变为84﹣48=36，由b＞a，则b变为48﹣36=12，由a＞b，则，a=36﹣12=24，由a＞b，则，a=24﹣12=12，由a=b=12，则输出的a=12．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，求出极值点以及函数的极值的符号，判断选项即可．【解答】解：函数，可得f′（x）=2x（），令f′（x）=0，可得x=0或x=，函数由3个极值点，排除C，D；当x=时，f（）=2（1﹣ln2）＞0，排除B，故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值点的求法，函数的图象的判断，是中档题．6．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点的纵坐标之和为（）A．10 B．11 C．15 D．16【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求出对应的最值点，结合直线的性质进行判断即可．【解答】解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），使z=x+y取得最大值的点有无数个，但属于集合T的只有6个，（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），T中的点的纵坐标之和为：1+5+4+3+2+1=16．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线条数的确定，利用数形结合求出最优解是解决本题的关键．本题非常容易做错，抽象符号容量大，能否解读含义显得非常重要了，属中档题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．45 B．C．D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为3，和4的直角三角形为底面的三棱柱，切去了一个边长为3，和4的直角三角形为底面，高是3的三棱锥，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为3，和4的直角三角形为底面的三棱柱，切去了一个边长为3，和4的直角三角形为底面，高是3的三棱锥．（如图）ABC﹣D是切去的三棱锥可得：矩形ABB′A′的面积为：5×3=15，梯形ADC′A′的面积为：=，梯形BDC′B′的面积为：，底面ABC的面积为：，三角形ABD是直角三角形：其面积为：，∴该几何体的表面积为：．故选A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣2，0）对称B．关于点（0，﹣2）对称C．关于直线x=﹣2对称D．关于直线x=0对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的平移变换求出g（x），通过图象的对称中点坐标可得判断．【解答】解：函数令（k∈Z），解得x=∴对称中心坐标是（，0）函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，可得g（x）=3sin（3x+）﹣4令3x+=kπ（k∈Z），解得x=∴对称中心坐标是（，﹣4）对称中心不相同，故C，D选项不对．两个函数对称的纵坐标为﹣2，故A不对．故选B．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移变换后的对称性的判断．利用对称中心或对称轴即可判断．9．已知的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，则a4+b4的最小值为（）A．16 B．12 C．8 D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，得到ab关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：∵的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，∴（+）：（4a2+4b2）=1：4，∴|ab|=2，∴a4+b4≥2|a2b2|=8．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．10．以下四个命题中，正确命题的个数是（）①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题；②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；③直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是；④．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其的逆否命题与原命题同真假；②，已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m、n不一定垂直；③，当l1∥l2时a=±；④，由微积分的基本定义可判定；【解答】解：对于①，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其的逆否命题与原命题同真假，故正确；对于②，已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；对于③，当l1∥l2时a=±，故错；对于④，由微积分的基本定义知．正确；故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．11．在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与△ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，与△ABC各边距离等于1个单位，组成的图形△A′B′C′与△ABC相似，内切圆半径为1，求出△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，即可求出这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率．【解答】解：由题意，与△ABC各边距离等于1个单位，组成的图形△A′B′C′与△ABC相似，内切圆半径为1，设△ABC内切圆的半径为r，则，∴r=2，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，∴这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是，故选A【点评】本题考查几何概型，考查面积为测度，属于中档题．12．函数f（x）在R上的导函数为f'（x），对于任意的实数x，都有f'（x）+2019＜4034x，若f（t+1）＜f（﹣t）+4034t+2019，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2019x2+2019x，根据函数的单调性得到g（t+1）＜g（﹣t），得到关于t的不等式，求出t的范围即可．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2019x2+2019x，则g′（x）=f′（x）﹣4034x+2019＜0，故g（x）在R递减，而g（t+1）﹣g（﹣t）=f（t+1）﹣f（﹣t）﹣4034t﹣2019＜0，即g（t+1）＜g（﹣t），故t+1＞﹣t，解得：t＞﹣，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．二、填空题（2019•宿州一模）已知函数，则=1．【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式、特殊角的三角函数值先求出的值，再求出的值．【解答】解：由题意知，，则===1，所以f（1）==1，即=1，故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为：=2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．15．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】点G是△ABC的重心，可得：，由题意，可得a=5，b=7，c=8，根据余弦定理可得角B的大小．【解答】解：由题意：点G是△ABC的重心，可得：，∵，∴可得a=5，b=7，c=8，由余弦定理可得：cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．故答案为【点评】本题考查重心的性质，是基础题，解题时要认真审题．16．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过A，B，F向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线AB的斜率，计算|AD|可得F为AD的中点，利用中位线定理得出p的值．【解答】解：过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，F′，则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|，|FF′|=p．∵，∴|DB|=2|BF|=2|BB′|，∴直线l的斜率为，∴|AD|=2|AA′|=12，∴F是AD的中点．∴|FF′|=|AA′|=3，即p=3．故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019•宿州一模）数列{a n}的前n项和S n满足，且a1，a2+6，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由，再写一式，两式相减，可得a n =a n ﹣a n ﹣1，即a n =3a n ﹣1．由a 1，a 2+6，a 3成等差数列，得2（a 2+6）=a 1+a 3，解得a 1=3，即可求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，确定通项，利用裂项法求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）由，再写一式，两式相减，可得a n =a n ﹣a n﹣1，即a n =3a n ﹣1．由a 1，a 2+6，a 3成等差数列，得2（a 2+6）=a 1+a 3，解得a 1=3． 故数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n =3n ．（Ⅱ）a n +1=3n +1，S n =，则S n +1=．b n ==（﹣），所以数列{b n }的前n 项和T n = [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和．18．（12分）（2019•宿州一模）如图所示，四边形AMNC 为等腰梯形，△ABC 为直角三角形，平面AMNC 与平面ABC 垂直，AB=BC ，AM=CN ，点O 、D 、E 分别是AC 、MN 、AB 的中点．过点E 作平行于平面AMNC 的截面分别交BD 、BC 于点F 、G ，H 是FG 的中点． （Ⅰ）证明：OB ⊥EH ；（Ⅱ）若直线BH 与平面EFG 所成的角的正弦值为，求二面角D ﹣AC ﹣H 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意知等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC=．得OB⊥平面AMNC．又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG即可．（Ⅱ）以O为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点O、D分别是等腰梯形AMNC两底AC、MN 的中点，所以OD⊥OC．又AB=BC，则OB⊥AC．于是等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC=．即OB⊥OD，得OB⊥平面AMNC．又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG．因为EG⊂平面EFG，所以OB⊥EH．（Ⅱ）以O为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．所以E（，F（0，），G（﹣，H（﹣），有，平面EFG的一个法向量为．设直线BH与平面EFG所成的角为α，则sinα=|cos＜|=，得a=b．设平面HAC的法向量为，由，取y=1，得，所以cos＜＞=，因为二面角D﹣AC﹣H为锐二面角，所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值为．【点评】本题考查了空间线线、线面位置关系，即向量法求空间角，属于中档题．19．（12分）（2019•宿州一模）某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：①根据表中数据，是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．附：K2=；【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率；（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635，即可得出结论；②由题意，每名男性选择表演的概率为，则X～B（3，），可得X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）这3位好友选择表演分别记为A，B，C，则，，分别表示这3位好友拒绝表演．这3位好友参与该活动的可能结果为{A，B，C}，{，B，C}，{A，，C}，{A，B， }，{，，C}，{A，， }，{，B， }，{，， }共有8种．其中3位好友不少于3位好友选择表演的可能结果有4种．根据古典概型公式，所求概率为P==；（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635，所以有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关．②由题意，每名男性选择表演的概率为，则X～B（3，），所以随机变量X的概率分布列为：故随机变量X的期望为EX=3×=．【点评】本题考查概率的计算，考查X的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．20．（12分）（2019•宿州一模）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，离心率e为．求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，该圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，圆O的方程为x2+y2=，直线MN的方程为x+2y﹣1=0，设A（x，y1），1B（x2，y2），则|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，从而S△ABG最大，|y1﹣y2|就最大．可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出△ABG的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆，焦距为2，离心率e为．∴由题意，2c=2，解得c=1，由e=，解得a=2．∴b=．∴椭圆的标准方程为=1．（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，该圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，又圆O的方程为x2+y2=，∴直线MN的方程为x+2y﹣1=0，令y=0，得x=1，即点F的坐标为（1，0），则点F关于y轴的对称点为G（﹣1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，最大，|y1﹣y2|就最大．∴S△ABG由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，∴，．又∵直线l与椭圆C交于不同的两点，∴△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，=|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|==，则S△GAB===．令t=，则t≥1，S△GAB令f（t）=t+，则函数f（t）在[，+∞）上单调递增，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，≤3．∴f（t）≥f（1）=，∴S△GAB故△ABG的面积的最大值为3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等知识点的合理运用．21．（12分）（2019•宿州一模）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，对于任意的0＜x1＜x2，存在正实数x0，使得f （x1）﹣f（x2）=f'（x0）•（x1﹣x2），试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）分别计算f′（x 0）和f′（），作差得到f′（x 0）﹣f′（）=，设t=，则t ＞1，得到关于t 的函数，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=﹣ax +（4﹣a ）=﹣，当a ≤0时，则f′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增．当a ＞0时，则由f′（x ）=0得，x=，x=﹣1（舍去）；当x ∈（0，）时，f′（x ）＞0，当x ∈（，+∞）时，f′（x ）＜0；所以f （x ）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减； 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增．当a ＞0时，f （x ）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ＞0时，f （x ）存在极值．f （x 1）﹣f （x 2）=4（lnx 1﹣lnx 2）﹣a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+（4﹣a ）（x 1﹣x 2），由题设得f′（x 0）==﹣a （x 1+x 2）+（4﹣a ），又f′（）=﹣a•+4﹣a ，所以f′（x 0）﹣f′（）=，设t=，则t ＞1，则=lnt ﹣（t ＞1），令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，故＞0，又因为x2﹣x1＞0，因此f′（x0）﹣f′（）＞0，即f′（）＜f′（x0），又由f′（x）﹣ax+（4﹣a）知f′（x）在（0，+∞）上单调递减，所以＞x0，即x1+x2＞2x0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查计算能力，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2019•宿州一模）在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t∈R），曲线（θ为参数，θ∈[0，2π]）．（Ⅰ）以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2相交于点A、B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数后得到其普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）法一：利用弦长公式直接求解，利用参数的几何意义求解．法二、运用直线的参数方程求解．【解答】解（Ⅰ）由消去参数后得到其普通方程为x2﹣4x+y2=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得ρ=4cosθ．∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由消去参数后得到其普通方程为x+y﹣3=0，由曲线C2可知：以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．那么：圆心到直线C1的距离为，∴弦长．解法2：把代入x2﹣4x+y2=0得8t2﹣12t+1=0，则有：，，则，根据直线方程的参数几何意义知．【点评】本题考查了直角坐标方程与极坐标、参数方程之间的转换，考查了参数方程的几何意义．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019•宿州一模）设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而证出结论即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：当a=﹣1时，，故f（x）的最小值为3，则lnf（x）的最小值为ln3＞lne=1，所以lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值不等式可得：f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|≥|（x﹣2）﹣（x﹣a）|=|a﹣2|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣2|≥a，解得a≤1，故a的最大值为1．【点评】本题考查了求分段函数的最值问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2019淮北二模理科数学试卷及答案
淮北∙宿州市2019届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案D B C D C CA D AB A A 11.略解：作函数草图，设t x f =)(，原题等价于方程02)12(2=+--t m t 一根在[)1,0，一根在),1(+∞上，由一元二次方程根的分布知识解得2>m .12.略解：易得正四面体内切球半径为1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为030，由数据求得所截曲线长为π4.第II 卷(非选择题，90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.4114．11215．1216.416.略解法一：设),(),,(2211y x B y x A ,AB 过焦点得121=x x ，又BM AB ⊥得B 在以MF 为直径的圆上，故12222=+y x ，而2224x y =，得2222241x y x ==-，又4411)1(122222222121==-=-=-=+-+=-x x x x x x x x x x BF AF 又ABM ACM ∠=∠，所以AMBC 四点共圆，进而得BCAC =故=--+BC BF AC AF 4法二：可由B 点垂直关系及B 在抛物线上解得),32(),,32(12y A y B +-，并可计算求得结果为4.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第22、23题为选考题17．解（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ，两式相减得()1212+++=-n n n n a a aa ，因为数列{}n a 为正项数列，所以22=-+n n a a ，又11=a ，……………3分故数列{}12-n a 是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()21112⨯-+=-n a n 12-=n .……………6分（2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()122132-=⨯-+=n n a n -……………8分所以n n n a a a a a S 2123212+++++=- ()()n n n n n n 22212321212+=⨯-++⨯-+=.……………12分18．解：（1）证明：在菱形ABCD 中，连接,,AC BD EF ，记AC BD M = ，EF BD O = ，则13BO OM OD ==，对折后，连接OG ，在PBD ∆中，31==OD BO GD PG ，………2∴PB //GO ， (3)又⊄PB 平面EFG ，⊆OG 平面EFG ，..................4∴PB //平面EFG . (5)（2）连接PO ，由PF PE =，得EF PO ⊥， PEF ⊥平面DEF ，平面PEF 平面DEF EF =，⊆PO 平面PEF ，∴PO ⊥平面DEF .又EF BD ⊥，∴OP OD OF ,,两两垂直，以OP OD OF ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系 (6)则1====PF BF EB PE ，BEF ∆≅PEF ∆，所以BO PO =，设BO PO =a =，则在POD Rt ∆中，由222PD OD PO =+得，510=a ，………………………………………………8在Rt BOF ∆中,由勾股定理得，515=OF ，………………………………………………9则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,510,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,515F ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,5103,0D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510,0,0P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510,510,0PB，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,510,515BF ，设平面PBF 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n BF n PB ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--05105150510510y x z y ，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,1,36n ， (11)记直线PD 与平面PBF 所成的角为θ.则sin cos ,PD n PD n PD nθ⋅=<>=⋅515=.…………1219.解（1）由题意得,5.6510049511852475256521551345235=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=μ (2)14σ=≈∴=+≤<-=≤<)2()5.795.37(σμξσμξP P 0.95440.68260.95440.81852-=-= (5)（2）由题意知，()()1P 2P ξμξμ<=≥=，获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()31322120P =⋅==X ，()9232322140P =⋅⋅==X ，()61312150P =⋅==X ，()9232312131322170P =⋅⋅+⋅⋅==X ，()181313121100P =⋅⋅===X 则X 的分布列为： (10)451811009270615092403120=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX X 20405070100P3192619218120.解：（1）由已知得222224212a b a b c c ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， (2)解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， (3)∴椭圆C 的标准方程22184x y +=， (4)∴椭圆C的离心率22c e a === (5)(2)设11(,y )P x ，22B(,y )x ，则11(,y )A x -，可设PB 的直线方程为y kx m=+联立方程22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(21)4280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++ (7)AF FB k k =，∴121222y y x x =--.................................8整理得，12122()()40kx x m k x x m +-+-=， (9)∴2222842()402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =- (11)∴PB 的直线方程为：4(4)y kx k k x =-=-，直线PB 恒过定点(4,0). (12)21.解：（I ）()f x '=2ln 2(1)x a x xx+-，0x >①当()0,1x ∈时，2(1)0a x x -<，2ln 0x <，∴()0f x '<，∴()f x 在()0,1上递减；②当()1,x ∈+∞时，2(1)0a x x ->，2ln 0x >，∴()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上递增.综上可知，()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增. (4)（II ）不妨设12x x <，由题意及（I ）可知，()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，且()()min 10f x f b ==<令()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈则()()()2F x f x f x =--22ln (1)x a x b =+-+22[ln (2)(21)]x a x b --+--+()22ln ln2x x =--[ln x =+()()ln 2ln ln 2x x x ---⎤⎡⎤⎦⎣⎦()221ln 2ln ln[(1)1]ln()0221x x x x x x=-+=--+>--即()()2,(0,1)f x f x x >-∈，∴()()()2112f x f x f x =>-， 101x <<，∴121x ->， 21x >由（I ）知()f x 在()1,+∞上递增，∴212x x >-，∴122x x +>.` (8)（III ）当12a =，1b =时，()221ln (1)12f x x x =+-+()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增.()()min11f x f ==.()1x x g x e -=，()11x xg x e--'=，令()0g x '=，得1x =，所以函数()g x 在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减.()max g x =()11g =.综上所述，()()f x g x ≥当且仅当1x =时等号成立. (12)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1） 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 31∴消去参数t 后，直线l 的普通方程为013=+-y x ， (2)C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=，∴22cos 2sin ρρθρθ=+，∴2222x y x y +=+，整理得，曲线C 的普通方程为2)1()1(22=-+-y x (5)（2）设B A ,两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 方程⎩⎨⎧+==t y t x 31代入曲线C 的2)1()1(22=-+-y x 得，01242=--t t (7)∴121211024t t t t +=⋅=-<， (8)=5 (10)23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1） (3)610f a a =-+=，∴610a a -=-， (2)∴()()2210,610,a a a ≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得8.a = (5)（2）当[][]91,9,6,10x x x∈+∈，…………………………………………6①当10a ≥时，()942f x a x a a x x x =--+=--，max ()2610f x a =-=，8a ∴=，舍去②当1a ≤时，()9910f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当110a <<时，{}max ()max 6,10f x a a a a =-+-+，则610610a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或6101010a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得8a =或8a <， (9)综上可得，实数a 的取值范围是(],8-∞． (10)。
安徽省淮北市2019届高三第二次模拟考试理科数学
安徽省淮北市2019届高三第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}R 12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2 2. 复数()()()i 3i R z a a a =+-+∈，若0z <，则a 的值是（ ）A ．a =．a =．1a =- D ．1a = 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1N n n a a S n *+==+∈，则5S = （ ） A ． 31B ．42C ．37D ．47 4. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -,给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）A ．123,,C C CB ．312,,C C C C.321,,C C CD ．132,,C C C 5. 在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ）A ．13B ．12 C. 23 D ．346. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π7. 已知()122051,1log 3,cos 6a x dxbc π=-=-=⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.a c b << D ．b c a <<8. 已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12a b+（ ） A ．有最小值BC.D9. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A ．144种B ．288种 C. 360种 D ．720种10.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭11. 函数()())ln 00x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],32ln 2-∞-B ．[)32ln 2,-+∞C.)+∞ D．(,-∞12.将函数4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()4y xπϕϕπ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象(如图)，点,M N分别是函数()f x图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设MONθ∠=，则()tanϕθ-的值为（）A．2-．21．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC∆中，三顶点的坐标分别为()3,A t，(),1B t-，()3,1C--，ABC∆为以B为直角顶点的直角三角形，则t=．14．已知随机变量X的分布列如下表，又随机变量23Y X=+，则Y的均值是．15．已知22cosa xdxππ=⎰，则二项式6x⎛+⎝展开式中的常数项是．16．设数列{}n a的各项均为正数，前n项和为n S，对于任意的2,,,n n nn N a S a+∈成等差数列，设数列{}n b的前n项和为n T，且()2ln nnnxba=，若对任意的实数(]1,x e∈（e是自然对数的底）和任意正整数n，总有()nT r r N+<∈．则r的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 如图，在ABC ∆中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若34ADC π∠=，求AD 长；（Ⅱ）若2BD DC =，sin sin BADCAD∠=∠ABD ∆的面积．18． 在多面体ABCDEF 中，AF AD ⊥，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，2AD AF CD ===，4AB =. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C AF D --的余弦值．19． 大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史。
安徽省淮北、宿州市2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题
淮北·宿州2019届高三第二次模拟考试数学（理科）试题时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题 60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数i2i2+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集为实数集R ，集合{}2A |4x x =<，{}B |31xx =>，则=B)C (A RA ． {}|20x x -≤≤B ．{}|20x x -<≤C ．{}|1x x <D ．{}|0x x ≤3．已知数列{}n a 为等比数列，则“321a a a <<”是“数列{}n a 单调递增”的A ． 充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月-2019年2月全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比；环比表示连续2个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.下列说法错误的是A ．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%B ．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C ．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%D ．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%第6题图5．已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的焦点到其渐近线的距离为22，且离心率为3，则该双曲线实轴的长为A.1 B.3 C.2 D.32 6．若实数x ，y 满足x y x 32≤≤+，则y x +的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为 A ．29π B ．163πC ．18πD ． π368．已知xx x f 2)(⋅=，)5(log 3f a =，)21(log 3f b =，)3(ln f c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>9．函数x x x f 2sin 2cos 3)(-=的图像向右平移4π个单位，若所得图像对应的函数在[]a a ,-是递增的， 则a 的最大值是 A ．6π B ．4π C ．3πD ．π10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点．如图所示，在Rt ABC ∆中，扇形区域ADE 记为Ⅰ，扇形区域CBD 记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1P ，2P ，3P ，（参考数据：5 2.236≈）则A ．12P P >B ． 12P P <C ． 123P P P =+D ． 213P P P =+11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0,20190,ln )(x x x x x e x f ，（其中e 为自然对数的底数），函数2)()12()()(2+--=x f m x f x g，第7题图第10题图若函数)(x g 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是 A.2>m B ． 2≥m C ． 221+>m D ．221221+>-<m m 或 12.已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为62，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A. π4B.π28C.π212D.π12第II 卷 (非选择题，90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量)7,2(,4,3=-==b a b a ，则=+b a ．14．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则x 项的系数等于 __________．15．在ABC ∆中，内角C B A ,,满足BCC B C B cos tan cos tan )tan (tan 2+=+,则A cos 的最小值为 ．16.如图，抛物线x y E 42=：的焦点为F ,点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于B A ,两点，使得BM AB ⊥，又A 点在x 轴上的投影为C ，则=--+BC BF AC AF ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第22、23题为选考题 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，11=a ，121+=+n n n S a a ． （I ）求数列{}n a 的项12-n a ； （II ）求数列{}n a 的前n 2项和n S 2.18．（本小题满分12分）如图，边长为2的菱形ABCD 中，F E ，分别是AB ，BC 的中点，将DAE ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 重合于点P .第16题图（I ）已知G 为线段PD 上的一点，满足GD PG =3，求证：//PB 平面EFG . （II ）若平面 ⊥PEF 平面 DEF ，求直线PD 与平面PBF 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：（I ）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分)198,(~μξN ，μ近似为这100人得分的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求)5.795.37(≤<ξP ； （II ）在（I ）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望． 附：参考数据：① 655049511852475256521551345235=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；赠送话费的金额（元）2050概率3231 第16题图②14198≈ ；③若),(~2σμN X ,则，，9544.0)22(6826.0)(=+≤<-=+≤<-σμσμσμσμX P X P ，9974.0)33(=+≤<-σμσμX P20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，右焦点F 的坐标为），（02，且点），（22在椭圆C 上.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（II ）过点F 的直线交椭圆于B A ,两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()22ln (1)f x x a x b =+-+，其中01a <≤，b R ∈，函数()1x x g x e -=，其中e 为自然对数的底数. （I ）判断函数()f x 的单调性；（II ）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，求证：122x x +>；（III ）当12a =，1b =时，试比较()f x 与()g x 的大小并证明你的结论.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty tx 31（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，与y 轴相交于点P ，（I ） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）求PBPA 11+的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数a a xx x f +-+=9)( （I ）若10)3(=f ，求实数a 的值；（II ）若函数)(x f 在区间[]9,1上的最大值是10，求实数a 的取值范围．淮北∙宿州市2019届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBCDCCADABAA11.略解：作函数草图，设t x f =)(，原题等价于方程02)12(2=+--t m t 一根在[)1,0，一根在),1(+∞上，由一元二次方程根的分布知识解得2>m .12.略解：易得正四面体内切球半径为1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为030，由数据求得所截曲线长为π4.第II 卷 (非选择题，90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 41 14． 112 15．1216. 4 16.略解 法一：设),(),,(2211y x B y x A ,AB 过焦点得121=x x ，又BM AB ⊥ 得B 在以MF 为直径的圆上，故12222=+y x ，而2224x y = ， 得2222241x y x ==-，又4411)1(122222222121==-=-=-=+-+=-x x x x x x x x x x BF AF 又ABM ACM ∠=∠，所以AMBC 四点共圆，进而得BC AC = 故=--+BC BF AC AF 4法二：可由B 点垂直关系及B 在抛物线上解得),32(),,32(12y A y B +-，并可计算求得结果为4. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第22、23题为选考题 17． 解（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ， 两式相减得()1212+++=-n n n n a a a a ，因为数列{}n a 为正项数列， 所以22=-+n n a a ，又11=a ， ……………3分 故数列{}12-n a 是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()21112⨯-+=-n a n 12-=n . …………… 6分（2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以()122132-=⨯-+=n n a n - ……………8分 所以n n n a a a a a S 2123212+++++=-()()n n n n n n 22212321212+=⨯-++⨯-+=. ……………12分18．解：（1）证明：在菱形ABCD 中，连接,,AC BD EF ，记ACBD M =，EFBD O =，则13BO OM OD ==，对折后，连接OG ， 在PBD ∆中，31==OD BO GD PG ， ………2 ∴PB //GO ， ………………3 又⊄PB 平面EFG ，⊆OG 平面EFG ， (4)∴PB //平面EFG . (5)（2）连接PO ，由PF PE =，得EF PO ⊥，PEF ⊥平面DEF ，平面PEF 平面DEF EF =，⊆PO 平面PEF ，∴PO ⊥平面DEF .又EF BD ⊥，∴OP OD OF ,,两两垂直，以OP OD OF ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………………………………………6 则1====PF BF EB PE ，BEF ∆≅PEF ∆，所以BO PO =，设BO PO =a =，则在POD Rt ∆中，由222PD OD PO =+得， 510=a ， ………………………………………………8 在Rt BOF ∆中, 由勾股定理得，515=OF ， ………………………………………………9 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,510,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,515F ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,5103,0D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510,0,0P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=510,510,0PB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,510,515BF ，设平面PBF 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n BF n PB ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--05105150510510y x z y ，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,1,36n ， (11)记直线PD 与平面PBF 所成的角为θ.则sin cos ,PD n PD n PD nθ⋅=<>=⋅515=. (12)19.解（1）由题意得,5.6510049511852475256521551345235=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=μ .........2 19814σ=≈∴=+≤<-=≤<)2()5.795.37(σμξσμξP P 0.95440.68260.95440.81852-=-= (5)（2）由题意知，()()1P 2P ξμξμ<=≥=， 获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()31322120P =⋅==X ，()9232322140P =⋅⋅==X ， ()61312150P =⋅==X ，()9232312131322170P =⋅⋅+⋅⋅==X ，()181313121100P =⋅⋅===X则X 的分布列为： (10)451811009270615092403120=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EXX20 40 50 70 100P31 92 61 92 18120.解：（1）由已知得222224212a b a b c c ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， (2)解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， (3)∴椭圆C 的标准方程22184x y +=， ……………………………4 ∴椭圆C 的离心率22222c e a ===. ……………………………5 (2)设11(,y )P x ，22B(,y )x ，则11(,y )A x -， 可设PB 的直线方程为y kx m =+联立方程22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(21)4280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++ (7)AF FB k k =，∴121222y y x x =-- .................................8 整理得，12122()()40kx x m k x x m +-+-=， (9)∴2222842()402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =- ……………………………11 ∴PB 的直线方程为：4(4)y kx k k x =-=-，直线PB 恒过定点(4,0). (12)21.解：（I ）()f x '=2ln 2(1)x a x xx+-，0x >①当()0,1x ∈时，2(1)0a x x -<，2ln 0x <，∴()0f x '<，∴()f x 在()0,1上递减； ②当()1,x ∈+∞时，2(1)0a x x ->，2ln 0x >，∴()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上递增.综上可知，()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增. (4)（II ）不妨设12x x <，由题意及（I ）可知，()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，且()()min 10f x f b ==<令 ()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈则()()()2F x f x f x =--22ln (1)x a x b =+-+22[ln (2)(21)]x a x b --+--+()22ln ln 2x x =--[ln x =+()()ln 2ln ln 2x x x ---⎤⎡⎤⎦⎣⎦()221ln 2ln ln[(1)1]ln()0221x x x x x x=-+=--+>-- 即()()2,(0,1)f x f x x >-∈，∴()()()2112f x f x f x =>-，101x <<，∴ 121x ->，21x >由（I ）知()f x 在()1,+∞上递增，∴212x x >-，∴122x x +>.` ……………8 （III ）当12a =，1b =时，()221ln (1)12f x x x =+-+ ()f x 在()0,1上递减，()f x 在()1,+∞上递增. ()()min 11f x f ==. ()1x x g x e -=，()11x x g x e--'=，令()0g x '=，得1x =，所以函数()g x 在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减.()max g x =()11g =.综上所述，()()f x g x ≥当且仅当1x =时等号成立. (12)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty t x 31∴消去参数t 后，直线l 的普通方程为013=+-y x ， ……………………………2C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=，∴22cos 2sin ρρθρθ=+，∴2222x y x y +=+，整理得，曲线C 的普通方程为2)1()1(22=-+-y x . (5)（2）设B A ,两点对应的参数分别为12,t t ， 将直线l 方程⎩⎨⎧+==ty t x 31代入曲线C 的2)1()1(22=-+-y x得，01242=--t t (7)∴121211024t t t t +=⋅=-<， ………………………………8 ∴PB PA 11+=()212121212121212124115222222t t t t t t t t t t t t t t t t +-⋅+-+====⋅⋅⋅ ……10 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）(3)610f a a =-+=，∴610a a -=-， ……… …………2 ∴()()2210,610,a a a ≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得8.a = ……………………………5 （2）当[][]91,9,6,10x x x∈+∈， …………………………………………6 ①当10a ≥时，()942f x a x a a x x x=--+=--，max ()2610f x a =-=，8a ∴=，舍去 ②当1a ≤时，()9910f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立； ③当110a <<时，{}max ()max 6,10f x a a a a =-+-+，则610610a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或6101010a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩， 解得8a =或8a <， ..........................................9 综上可得，实数a 的取值范围是(],8-∞． (10)。
2019届安徽省淮北市高三第二次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省淮北市高三第二次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合则 ( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足 ,则复数对应的点所在象限是（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知满足，则（）A. B. C. D.4. 已知函数为偶函数，则（）A. B. C. D.5. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.6. 已知函数，其部分图像如下图，则函数的解析式为（）A. B.C. D.7. 在如图所示的程序框图中，若输入的，则输出的结果为( )A. 9B. 8C. 7D. 68. 已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率范围是（）A. B. C. D.9. 已知，给出下列四个命题：____________________________________________________________其中真命题的是( )A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（）A. B. C. D. 311. 如图，中，是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若 , ,则的最小值为（）A. 2B.C. 3D.12. 已知函数，若对任意的 ,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.二、填空题13. 若的展开式中项的系数为4，则________________14. 中国古代数学经典中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．若三棱锥为鳖臑,且⊥平面 , 又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为 __________15. 在中，角的对边分别为，若，则等于 __________16. 梯形中，对角线交于，过作的平行线交于点，交于，过作的平行线交于点，若，则 ______(用表示)三、解答题17. 已知数列是等比数列，且 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和 .18. 如图，三棱柱中，四边形是菱形，,二面角为， .（Ⅰ）求证：平面平面 ;（Ⅱ）求二面角的余弦值.19. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为，其范围为，分别有 5个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．早高峰时段（），从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数时的中位数和平均数；（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．20. 已知椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点， , 是椭圆上一点，的最大值为（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且（i）求证：为定值;（ii）求面积的取值范围.21. 已知函数 .（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.22. 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于，两点.（1）求圆心的极坐标；（2）直线与轴的交点为，求 .23. 选修4-5：不等式选讲设函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
安徽省淮北市、宿州市高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设全集为实数集R，集合A={x|x2＜4}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|-2≤x≤0}B. {x|-2＜x≤0}C. {x|x＜1}D. {x|x≤0}3.已知数列{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}单调递增”的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.CPI是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月-2019年2月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比；环比表示连续2个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.下列说法错误的是（）A. 2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%B. 2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C. 2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%D. 2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%5.已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离为，且离心率为3，则该双曲线实轴的长为（）A. 1B.C. 2D.6.若实数x，y满足x+2≤y≤3x，则x+y的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为（）A. B. C. 18π D. 36π8.已知f（x）=x•2|x|，，，c=f（ln3），则a，b，c的大小关系为（）A. c＞b＞aB. b＞c＞aC. a＞b＞cD. c＞a＞b9.函数的图象向右平移个单位，若所得图象对应的函数在[-a，a]是递增的，则a的最大值是（）A. B. C. D. π10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB=2QUOTEAB=2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点，则点E 即为线段AB的黄金分割点．如图所示，在Rt△ABC中，扇形区域记为Ⅰ，扇形区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为P1，P2，P3，（参考数据：）则（）A. P1＞P2B. P1＜P2C. P1=P2+P3D. P2=P1+P311.设函数（其中e为自然对数的底数），函数g（x）=f2（x）-（2m-1）f（x）+2，若函数g（x）恰有4个零点，则实数m的取值范围是（）A. m＞2B. m≥2C. D.12.已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为（）A. 4πB.C.D. 12π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则=______．14.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则x项的系数等于______．15.在△ABC中，内角A，B，C满足，则cos A的最小值为______．16.如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则|AF|+|AC|-|BF|-|BC|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，a1=1，a n a n+1=2S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的项a2n-1；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n．18.如图，边长为2的菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C重合于点P．（Ⅰ）已知G为线段PD上的一点，满足，求证：PB∥平面EFG．（Ⅱ）若平面PEF⊥平面DEF，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．19.在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：为这100人得分的平均值．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（37.5＜ξ≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据：①35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4=6550；②；③若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，20.已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．21.已知函数f（x）=ln2x+a（x-1）2+b，其中0＜a≤1，b∈R，函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求证：x1+x2＞2；（Ⅲ）当，b=1时，试比较f（x）与g（x）的大小并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l与曲线C相交于A，B两点，与y轴相交于点P，（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．23.已知函数（Ⅰ）若f（3）=10，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，9]上的最大值是10，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设z===，其共轭复数为=，对应的点位于第四象限．故选：D．求出复数的代数形式，得到其共轭复数的代数形式，再根据其实部和虚部的情况作出判断．本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，看清题目是解对本题的关键．不同属基础题．2.【答案】B【解析】解：A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，B={x|3x＞1}={x|x＞0}，则∁R B={x|x≤0}，则A∩（∁R B）={x|-2＜x≤0}，故选：B．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为数列{a n}为等比数列，当a1＜a2＜a3得：，所以或，所以a n+1-a n=a1q n-1（q-1）＞0，即数列{a n}单调递增，当数列{a n}单调递增时，易得a1＜a2＜a3，即“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}单调递增”的充要条件，故选：C．由等比数列的单调性及充分必要条件得：当a1＜a2＜a3得：，所以或，所以a n+1-a n=a1q n-1（q-1）＞0，即数列{a n}单调递增，当数列{a n}单调递增时，易得a1＜a2＜a3，即“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}单调递增”的充要条件，得解．本题考查了等比数列的单调性及充分必要条件，属中档题．4.【答案】D【解析】【分析】考查对同比增长率和环比增长率的概念的理解以及读图的能力．根据题意并观察图象上的数据即可判断出A，B，C都正确，只能选D．【解答】解：通过图象上的数据即可知，选项A，B，C的说法都正确；通过图象知，2018年11月份居民消费价格同比上涨2.2%；∴D错误．故选：D．5.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则b=，又由双曲线的离心率3，即e==3，即c=3a，则有b==2a，解可得a=1，则双曲线的实轴2a=2；故选：C．根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c=2a，联立两式分析可得a的值，由双曲线的长轴长2a计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值．6.【答案】C【解析】解：实数x，y满足x+2≤y≤3x表示的平面区域如图所示，∴A（1，3），∵直线z=x+y过可行域内A（1，3）的时候z最小，最小值为4，故选：C．先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A时，z取最小值即可本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7.【答案】A【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：根据几何体的特征，得到该几何体的外接球的球心为垂直于平面ACD和垂直于平面ABC的斜边CD和AB的交点O，故：r=，所以：V=．故选：A故选：A．直接利用三视图和几何体之间的转换求出外接球的半径，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）=x•2|x|=，当x＜0时，f（x）=x•（）x＜0，又由log3=-log32＜0，则b＜0，当x≥0时，f（x）=x•2x，其导数f′（x）=2x+x•2x ln2＞0，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，其f（0）=0，则当x＞0时，f（x）＞0；又由0＜log3＜1＜ln3，则0＜a＜c，综合可得：c＞a＞b；故选：D．根据题意，由函数的解析式分析可得当x＜0，f（x）=x•（）x＜0，据此可得b＜0，当x≥0时，f（x）=x•2x，求出其导数，分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，由此分析可得0＜a＜c，综合可得答案．本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：，=，把函数的图象向右平移个单位，得到：g（x）=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所得图象对应的函数在[-a，a]是递增的，所以：a＞0，整理得：≤，当k=0时，．故选：A．首先把函数的关系式便形成余弦形函数，进一步利用函数图象的平移变换和伸缩变换的应用再利用余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：根据几何概型可知，P1，P2，P3的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系，∵AB=2，BC=1，∴AC=，CD=1，AD=-1，设∠A=α，则∠C=-α，∵tanα=＜，∴α＜S1=×AD2•α=×（-1）2α，S2=×BC2×（-α）=×（-α），S1-S2≈×1.2362α-+α＜×1.2362×-+×＜0，∴S1＜S2，∴P1＜P2故选：B．根据几何概型可知，P1，P2，P3的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系．本题考查了几何概型，属中档题．11.【答案】A【解析】解：当x＞0时，f′（x）=，由f′（x）＞0得1-ln x＞0得ln x＜1，得0＜x＜e，由f′（x）＜＞0得1-ln x＜0得ln x＞1，得x＞e，即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，f（e）=1，当x→+∞，f（x）→0，当x→0，f（x）→-∞，作出函数f（x）的图象如图，设t=f（x），由图象知当t＞1或t＜0，方程t=f（x）有一个根，当t=0或t=1时，方程t=f（x）有2个根，当0＜t＜1时，方程t=f（x）有3个根，则g（x）=f2（x）-（2m-1）f（x）+2，等价为h（t）=t2-（2m-1）t+2，当t=0时，h（0）=2≠0，∴若函数g（x）恰有4个零点，则等价为函数h（t）=t2-（2m-1）t+2有两个零点，满足t＞1或0＜t＜1，则即h（1）=1-2m+1+2=4-2m＜0得m＞2，即实数m的取值范围是m＞2，故选：A．求函数f′（x），研究函数的单调性和极值，作出函数f（x）的图象，设t=f（x），若函数g（x）恰有4个零点，则等价为函数h（t）=t2-（2m-1）t+2有两个零点，满足t＞1或0＜t＜1，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的f（x）的单调性和极值是解决本题的关键．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．求出正四面体内切球半径为1，由球O的半径知球O被正四面体表面截得小圆半径为2，故球O被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，由此能求出正四面体表面与球面的交线的总长度．【解答】解：∵正四面体A-BCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，取CD中点E，连结BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，则BE=AE==3，BF==2，AF==4，设正四面体内切球半径为r，则（4-r）2=（2）2+r2，解得正四面体内切球半径为r=1，∵球O的半径为，∴由球的半径知球被正四面体表面截得小圆半径为r1==2，故球O被正四面体一个表面截为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×（3××2π×2）=4π．故选：A．13.【答案】【解析】解：∵；∴；∴；∴；∴．故答案为：．根据条件即可求出，从而得出，进而可求出，从而得出．考查向量的数量积的运算，向量数量积的坐标运算，向量长度的求法．14.【答案】112【解析】解：由于所有项的二项式系数之和为2n=256，n=8，故的二项展开式的通项公式为T r+1=•（-2）r•，令4-=1，求得r=2，可得含x项的系数等于4=112，故答案为：112．由题意利用二项式系数的性质，求得n=8，可得的二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，可得含x项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由于：，整理得：，即：2sin A cos B cos C=sin B cosBcos C+sin C cos B cosC故：2sin A=sin B+sin C，利用正弦定理得：2a=b+c，所以：cos A=，=，=，故最小值为．故答案为：直接利用三角函数关系式的变换，进一步利用正弦定理和基本不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】4【解析】解：抛物线E：y2=4x的焦点为F（1，0），点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线y=k（x-1）与抛物线交于A，B两点，可得k2x2-（k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB过焦点得x1x2=1，又AB⊥BM得B在以MF为直径的圆上，故，而，得，又又∠ABM=∠ACM，所以AMBC四点共圆，进而得AC=BC故|AF|+|AC|-|BF|-|BC|=4故答案为：4．求出抛物线的焦点坐标，直线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB过焦点得x1x2=1，结合AB⊥BM，转化求解|AF|-|BF|，通过四点共圆，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，四点共圆等知识的应用，本题也可由B 点垂直关系及B在抛物线上解得，并可计算求得结果为4．17.【答案】解：（1）由a n a n+1=2S n+1得，a n+1a n+2=2S n+1+1，两式相减得a n+1（a n+2-a n）=2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2-a n=2，又a1=1，故数列{a2n-1}是以a1=1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n-1=1+（n-1）×2=2n-1．（2）由（1）知，a n+2-a n=2，由a1=1及a n a n+1=2S n+1得a2=3故数列{a2n}是以a2=3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n=3+（n-1）×2=2n+1．所以S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n=．【解析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用分组法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，连接AC，BD，EF，记AC∩BD=M，EF∩BD=O，则，对折后，连接OG，在△PBD中，，………2′∴PB∥GO，………………3′又PB⊄平面EFG，OG⊆平面EFG，………………4′∴PB∥平面EFG．………………5′（2）解：连接PO，由PE=PF，得PO⊥EF，∵PEF⊥平面DEF，平面PEF∩平面DEF=EF，PO⊆平面PEF，∴PO⊥平面DEF．又BD⊥EF，∴OF，OD，OP两两垂直，以OF，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．…………………………6′则PE=EB=BF=PF=1，△BEF≌△PEF，所以BO=PO，设BO=PO=a，则在Rt△POD中，由PO2+OD2=PD2得，，………………………………………………8′在Rt△BOF中，由勾股定理得，，………………………………………………9′则，，，，，，设平面PBF的一个法向量为，则，，取，………………………………………………11′记直线PD与平面PBF所成的角为θ．则=．…………12′【解析】（1）证明连接AC，BD，EF，记AC∩BD=M，EF∩BD=O，连接OG，证明PB∥GO，然后证明PB∥平面EFG．（2）连接PO，说明OF，OD，OP两两垂直，以OF，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PD与平面PBF所成的角的正弦函数值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，∴P（37.5＜ξ≤79.5）=P（μ-2σ＜ξ≤μ+σ）═（Ⅱ）由题意知，，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，，，，，X【解析】（Ⅰ）利用频率分布表求解平均数即可．利用正态分布的性质通过P（37.5＜ξ≤79.5）=P（μ-2σ＜ξ≤μ+σ）求解即可．（Ⅱ）由题意知，，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，求出概率得到X的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，正态分布的性质的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，解得，∴椭圆C的标准方程，∴椭圆C的离心率．（Ⅱ）设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，-y1），可设PB的直线方程为y=kx+m联立方程，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，∴，∵k AF=k FB，∴整理得，2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-4m=0，∴，解得m=-4k∴PB的直线方程为：y=kx-4k=k（x-4），直线PB恒过定点（4，0）．【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组求出a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，-y1），设PB的直线方程为y=kx+m，联立方程，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，利用韦达定理通过k AF=k FB推出m=-4k，利用直线系求解直线PB恒过定点（4，0）．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆是简单性质的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（I）f'（x）=，x＞0，0＜a≤1．①当x∈（0，1）时，2a（x-1）x＜0，2ln x＜0，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上递减；②当x∈（1，+∞）时，2a（x-1）x＞0，2ln x＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上递增．综上可知，函数f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．（II）证明：不妨设x1＜x2，由题意及（I）可知，x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．且f（x）min=f（1）=b＜0．令F（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1）．则F（x））=f（x）-f（2-x）=ln2x+a（x-1）2+b-[ln2（2-x）+a（2-x-1）2+b]=ln2x-ln2（2-x）．=[ln x+ln（2-x）][ln x-ln（2-x）]=ln（-x2+2x）ln=ln[-（x-1）2+1]ln＞0．即f（x）＞f（2-x），x∈（0，1）．∴f（x2）=f（x1）＞f（2-x1），∵0＜x1＜1，∴2-x1＞1，∵x2＞1．由（I）知f（x）在（1，+∞）上递增，∴x2＞2-x1，∴x1+x2＞2．（III）当，b=1时，f（x）=ln2x+（x-1）2+1，f（x）在（0，1）上递减，f（x）在（1，+∞）上递增．∴f（x）min=f（1）=1．函数，g′（x）=．令g′（x）=0，得x=1，∴函数g（x）在区间（0，1）单调递增，在区间（1，+∞）单调递减．g（x）max=g（1）=1．综上所述，f（x）≥g（x），当且仅当x=1时等号成立．【解析】（I）f'（x）=，x＞0，0＜a≤1．利用导数研究其单调性即可得出．（II）不妨设x1＜x2，由题意及（I）可知，x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．f（x）min=f （1）=b＜0．令F（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1）．利用导数研究其单调性即可得出．（III）当，b=1时，f（x）=ln2x+（x-1）2+1，f（x）在（0，1）上递减，f（x）在（1，+∞）上递增．根据单调性可得f（x）min=f（1）=1．函数，g′（x）=．利用导数研究其单调性可得g（x）max=g（1）=1．即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t后，直线l的普通方程为：x-y+1=0．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y．整理得，曲线C的普通方程为（x-1）2+（y-1）2=2；（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1和t2，将直线l方程代入曲线C的（x-1）2+（y-1）2=2．得到：4t2-2t-1=0，∴t1+t2=，t1•t2=-．∴=，==．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵f（3）=|6-a|+a=10，∴|6-a|=10-a，∴，解得a=8，（Ⅱ）当x∈[1，9]，x+∈[6，10]，①当a≥10时，f（x）=2a-x-，f（x）max=2a-6=10，∴a=8，舍去，②当a≤1时，f（x）=x+≤10，此时命题成立；③当1＜a＜10时，f（x）max=max{|6-a|+a，|10-a|+a}，则或，解得a=8或a＜8，综上可得，实数a的取值范围是（-∞，8]．【解析】本题考查函数最值的求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．（Ⅰ）代值计算即可；（Ⅱ）先求出x+∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a的范围．。
2019届安徽省淮北、宿州市高三第二次教学质量检测数学(理)参考答案
2019届淮北、宿州市高三第二次教学质量检测
数学（理）参考答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：设z===，
其共轭复数为=，对应的点位于第四象限．
故选：D．
求出复数的代数形式，得到其共轭复数的代数形式，再根据其实部和虚部的情况作出判断．
2.【答案】B
【解析】
解：A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，B={x|3x＞1}={x|x＞0}，
则∁
R
B={x|x≤0}，
则A∩（∁
R
B）={x|-2＜x≤0}，
故选：B．
化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．
3.【答案】C
【解析】
解：因为数列{a
n
}为等比数列，
当a
1＜a
2
＜a
3
得：，所以或，所以
a n+1-a
n
=a
1
q n-1（q-1）＞0，即数列{a
n
}单调递增，
当数列{a
n }单调递增时，易得a
1
＜a
2
＜a
3
，
即“a
1＜a
2
＜a
3
”是“数列{a
n
}单调递增”的充要条件，
故选：C．
由等比数列的单调性及充分必要条件得：当a
1＜a
2
＜a
3
得：，
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安徽省宿州市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
安徽省宿州市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 2．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=， 故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.3．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数． 【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个 故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．5．已知变量的几组取值如下表：x1 2 3 4 y2.4 4.3 5.37若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】 【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．6．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 7．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.8．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 9．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.11．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
淮北市2019届高三第二次模拟考试
淮北市2019届高三第二次模拟考试数学理科 试题卷参考公式：如果事件、互斥, 那么 如果事件、互斥独立, 那么 如果随机变量(),B n p ξ，则()()(),1E np D np p ξξ==-第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x ∈N |x 2﹣5x +4＜0}，则∁U A 等于（ ） A ．{1，2} B ．{1，4} C ．{2，4} D ．{1，3，4} 2．设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．设命题p ：∃x 0∈（0，+∞），x 0+＞3；命题q ：∀x ∈（2，+∞），x 2＞2x ，则下列命题为真的是（ ）A ．p ∧（￢q ）B ．（￢p ）∧qC ．p ∧qD ．（￢p ）∨q4．等比数列{a n }中，a 3﹣3a 2=2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于（ ） A ．3B ．2或3C ．2D ．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 （ ）A B ()()()P A B P A P B +=+A B ()()().P AB P A P B =A．9πB．18π C．36π D．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C． D．﹣19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A ．B ．C ．πD ．10．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （x +1）=f （x ﹣1），且当﹣1＜x ＜0时，f （x ）=2x ﹣1，则f （log 220）等于（ ） A ． B ．﹣C ．﹣D ．11．已知单位圆有一条长为的弦AB ，动点P 在圆内，则使得≥2的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=，若存在x 1、x 2、…x n 满足==…==，则x 1+x 2+…+x n 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知13,,1,222a b a b ⎛⎫==+= ⎪ ⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为 ．14. 若随机变量()22,3XN ，且()()1P X P X a ≤=≥，则()52x a ax⎛+ ⎝展开式中3x 项的系数是 ．15. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆知总成立.据此，短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积是3cm ．16. 设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A n A n A =-为数列{}n a 的前202项和，函数()1x f x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()3,1,cos 1,sin m n A A ==+，且m n 的值为2.（1）求A ∠的大小；（2）若a B ==，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC M =在PC 上，且PA 面MBD .（1）求证:M是PC的中点；（2）在PA上是否存在点F，使二面角F BD M--为直角？若存在，求出AF AP的值；若不存在，说明理由.19.2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选. 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客. 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X，求X的分布列和数学期望.附:()()()()()22n ad bcKa b a d a c b d-=++++20. 已知椭圆(222:12x yE aa+=>的离心率3e=，右焦点(),0F c，过点2,0aAc⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E于,P Q两点.（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证:,,M F Q三点共线；(3) 当FPQ∆面积最大时，求直线PQ的方程.21. 已知函数()()()21'0xf x ax x e f=+-+.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若()()()l n,x xg x e f x x h x e-=+=，过(),0O分别作曲线()y g x=与()y h x=的切线12,l l，且1l与2l关于x轴对称，求证:()321222e eae++-<<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ=过点()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程； （2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.淮北市2019届高三第二次模拟考试参考答案一、选择题1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C． D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C ．二、填空题 13.14-14.1620 15.16π 16.2332n n n +-+ 三、解答题17. 解：(1)3cos sin 2sin 3m n A A A π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)cos ,sin 33B B =∴=,由sin sin b a B A =得632212b ==，())1sin 22sin sin cos cos sin 22ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=.18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.MEABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()(131,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,,,,222A B D C P M ⎛--- ⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=得：()1F λ-，面MB D 的一个法向量为21,,33n ⎛=- ⎝⎭，面FBD 的一个法向量为21,3m ⎛=- ⎝，由0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19. 解：(1)将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.(2)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ,i 0,1,2,3444XB P XC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：()4E X np ==.20. 解：(1) 由3a a =⇒=∴椭圆E 的方程是22162x y +=. (2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y kx =-. 由方程组()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->， 得k <<设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++，由()()()()()()12211221222323x y x y x k x x k x ---=-----()22121222182765212521203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-=+--=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，得,,,MF FQ M F Q ∴三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221623x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223630my my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.332FPQ m y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++====，令23t m=+，则212111,39 29FPQS y y t mt∆=-==∴==+=，即26,m m==FPQS∆最大，FPQS∆∴最大时直线PQ的方程为30x-=.21. 解：由已知得()()()2'21,'00xf x ax a x e f⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e=+-.(1)()()()2'2121x xf x ax a x e x ax a e⎡⎤=++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦. ①若0a>，当12xa<--或0x>时，()'0f x>；当120xa--<<时，()'0f x<，所以()f x的单调递增区间为()1,2,0,a⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a⎛⎫--⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x xa f x x e f x xe==-=，当0x>时，()'0f x>；当0x<时，()'0f x<，所以()f x的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③若12a-<<，当12xa>--或0x<时，()'0f x<；当102xa<<--时，()'0f x>，所以()f x的单调递增区间为10,2a⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭.④若()211,'022xa f x x e=-=-≤，故()f x的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a<-，当12xa<--或0x>时，()'0f x<；当120xa--<<时，()'0f x>，所以()f x的单调递增区间为12,0a⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭.当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,()0,+∞；(2)()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e ee u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()101e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故()321222e e a e ++-<<-.22. 解：(1)由ρ=()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦，PA PB ∴的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.。
2019-2020年安徽省淮北市高三第二次模拟考试理科数学模拟试卷有答案
安徽省淮北市高三第二次模拟考试理科数学一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集，集合，则 =（）A.[2，3）B.（2，4）C.(3，4]D.(2，4]2.复数，则等于（）A. B. C. D.3.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A. B. C. D.4.已知数列{ a n}的前n项和为S n ，点( n，S n)在函数f( x)=的图象上，则数列{ a n} 的通项公式为（）A. B. C. D.5.过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为 ( ）A. B. C. D.6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A.24种B.28种C.32种D.16种7.下列四个结论：①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“”的否定是“③在中，“”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）A.10072B.10082C.10092D.201029.已知函数满足对恒成立，则函数（）A.一定为奇函数B.一定为偶函数C.一定为奇函数 D.一定为偶函数10.已知函数若函数只有一个零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.12.如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)13.函数在区间上的最大值是.14.设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前n项和为，已知，，则．15.已知，抛物线的焦点为，直线经过点且与抛物线交于点，且，则线段的中点到直线的距离为.16.已知函数，存在，，则的最大值为( ).三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)17.(本小题满分12分)在中，边分别是内角所对的边，且满足，设的最大值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当为的中点时，求的长．18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.（Ⅰ）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB．（Ⅱ）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点，P是上任意一点，P在轴上的射影为，,动点的轨迹为C，直线与轨迹交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数 .(Ⅰ)时，求的单调区间和极值；(Ⅱ)时，求的单调区间( III )当时，若存在，使不等式成立，求的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.已知在三角形ABC中， AB=AC. 以 AB 为直径的圆O 交 BC 于 D ，过 D 点作 O 的切线交 AC 于 E .求证：(Ⅰ) DE垂直于AC(Ⅱ) BD2=CE ·CA23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(Ⅰ)设与相交于两点,求；(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线 ,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．安徽省淮北市高三第二次模拟考试理科数学答案1. 【分析】本题主要考查了交集的运算，首先化简两个集合，再利用补集与交集的运算法则计算出结果. 【解答】解：由题意得：A={y|2≤y≤4}，B={x|3≤x≤4}.则={x|2≤x＜3}.故选A.2. 【分析】本题主要考查了复数的运算，首先利用复数的运算法则把z化简为最简结果，再利用求模公式计算出结果.【解答】解：.故答案为B.3. 【分析】本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可.【解答】解：的最小值，即求2x+y的最小值，当取K点时为最小值，平移直线y=-2x到K（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即Z最小值=8.故选C.4. 【分析】本题主要考查了定积分的运算和数列的知识，首先由定积分的知识求出f（x）的函数关系式，再利用数列的前n项和与通项公式之间的关系求解.【解答】解：∵f( x)= =，∴当n=1时，.当n≥2时，.当n=1时不符合上式.则.故选D.5. 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用基本不等式求出当圆心到直线的距离为1时，三角形的面积最大，从而利用点到直线的距离求解.【解答】解：由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x-2）.则圆心到直线l的距离d=.S=.当且仅当，即时取等号.∴=1.解得：k=.故选C.6. 【分析】不同主要考查了组合的应用.把给出的问题分为两类：其中一位同学得到两本小说，其中一位同学得到1本小说和1本诗集，进而解答此题.【解答】解：因为没命同学至少1本书，则一定有两个同学得到两本书，这两本书可能是2本小说，也可能是1本小说和1本诗集，则不同的分法为.故选D.7. 【分析】本题主要考查了命题的真假的判定. ①用否命题的定义进行判定；②根据特称命题的否定是全称命题进行判定；③在由三角形的性质进行判定；④由幂函数的性质进行判定.【解答】解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，故①错误；②命题“”的否定是“对于任意x∈R，x2-x-1≥0”，故②正确；③在△ABC中，“sin A＞sin B”等价为a＞b，等价为“A＞B”，则，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件，故③正确．④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的.则正确命题的个数为3.故选C.8. 【分析】本题主要考查了程序框图与算法的循环结构，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3；第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5；第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7；…第n次执行循环体，S=n2，不满足退出循环的条件，i=2n+1；…第1008次执行循环体，S=10082，不满足退出循环的条件，i=2017；第1009次执行循环体，S=10092，满足退出循环的条件，故输出的S值为：10092故选C.9. 【分析】本题主要考查的是三角函数的图像与性质.利用已知的等式确定出的一条对称轴.从而利用“左加右减，上加下减”的平移规律，以及偶函数的定义进行解答.【解答】解：由条件可知，即的一条对称轴.又是由向左平移个单位得到的，所以关于对称，即为偶函数.应选D.10. 【分析】本题主要考查了函数的零点的知识，分析已知的条件，把方程的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，从而求出a的取值范围.【解答】解：∵只有一个零点，∴方程只有一个根，∴函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象只有一个交点，函数图象如下所示：由图象可知 .故选B.11. 【分析】本题主要考查了由三视图由体积的知识.由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案.【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，故选C.12. 【分析】本题主要考查了向量以及数列的知识.由向量的运算法则得出，证明{a n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论.【解答】故选D.13本题主要考查了导数的应用.利用导数确定出函数的单调区间，进而求出最大值. 【解答】解：∵，∴y′=1-2sinx.所以，故答案为.14【解答】故答案为10.15可得，从而求出线段AB的中点到直线的距离. 【解答】解：故答案为.16【解答】解：故答案为.17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，，即.由余弦定理知，，在上单调递减，的最大值.（2）根据题意：利用余弦定理又因为D是AC的中点，所以AD等于，所以18. 解：（Ⅰ）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和依题意得解得．所以区间内的频率为．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（Ⅰ）得，区间内的频率为，将频率视为概率得因为的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．19. 证明：（1）取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，.取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴.∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．∴DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB．（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．20. 解：（Ⅰ）设, ∴,∵.∴∵P在上，∴所以轨迹的方程为．（Ⅱ）因为点的坐标为因为直线与轨迹C于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. 解：（Ⅰ）时，令解得，当时，当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；所以的极小值是，无极大值；（ II ）① 当时，，令解得：，或.令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；② 当时，，在上单调递减；③ 当时，，令解得：，或令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；( III )由（ II ）知，当时，在上单调递减.所以，因为存在，使不等式成立，所以，即整理得，因为，所以所以，所以，的取值范围是.22. 证明：（1）连接OD、AD．∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又AB=AC，∴BD=DC．∴OD∥AC，DE⊥AC．(II)由（I）得D为BC中点，所以.所以.有得.23. 解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为, ,则.（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时, 取得最小值,且最小值为.24. 解：（Ⅰ）当时，等价于．①当时，不等式化为，无解；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（Ⅱ）因为不等式的解集为空集，所以因为，当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以...令，所以．当且仅当，即时等号成立所以．所以的取值范围为．...。
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D． m 1 2或m 1 2
2
2
12.已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为 2 6 ，球的半径为 5 ,则正四面体表面与球面
的交线的总长度为
A. 4
B. 8 2
C.12 2
D.12
第 II 卷 (非选择题，90 分)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
A． x | 2 x 0 B．x | 2 x 0 C．x | x 1 D．x | x 0
3．已知数列 an为等比数列，则“ a1 a2 a3 ”是“数列 an单调递增”的
A． 充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动
第 6 题图
A．2019 年 2 月份居民消费价格同比上涨 1.5% B．2019 年 2 月份居民消费价格环比上涨 1.0%
高三数学理科试题 第 1 页 共 6 页
C．2018 年 6 月份居民消费价格环比下降 0.1% D．2018 年 11 月份居民消费价格同比下降 0.3%
x2
5．已知双曲线
17．（本小题满分 12 分）已知数列 an 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ， a1 1， anan1 2Sn 1．
பைடு நூலகம்I）求数列 an 的项 a2n1 ；
13. 已知向量 a 3, b 4, a b ( 2, 7 ) ，则 a b
．
14．在 x 2 n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 x 项的系数等于 __________． x
15．在 ABC 中，内角 A, B, C 满足 2(tan B tan C) tan B tan C ,则 cos A 的最小值为
AB
2
，过点
B
作
AB
的垂线，并用圆规在垂线上截取
BC
1 2
AB
1，
连接 AC ；以 C 为圆心， BC 为半径画弧，交 AC 于点 D ；以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于
点 E ，则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点．如图所示，在 RtABC 中，扇形区域 ADE 记为Ⅰ，扇形区
．
cos C cos B
16.如图，抛物线 E：y2 4x 的焦点为 F ,点 M 与 F 关于坐标原点 O 对称，
过 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点，使得 AB BM ，又 A 点在 x 轴上的
投影为 C ，则 AF AC BF BC
．
第 16 题图
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 22、23 题为选考题
9．函数 f (x) 3 cos 2x sin 2x 的图像向右平移 个单位，若所得图像对应的函数在 a, a是递增的，
4
则 a 的最大值是
A． 6
B． 4
C． 3
D．
10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金
分割点，具体方法如下：取线段
11．设函数
f
(x)
e ln x
x
,
x 0，（其中 e 为自然对数的底数），函数 g(x) f 2 (x) (2m 1) f (x) 2 ，
2019x, x 0
若函数 g(x) 恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是
A. m 2
B． m 2
C． m 1 2 2
淮北·宿州 2019 届高三第二次模拟考试
数学（理科）试题
时间：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
9
A．
2
16
B．
3
C．18
D． 36
第 7 题图
8．已知 f (x) x 2 x ， a f (log3
5)，b
f (log3
1)，c 2
f (ln 3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为
A． c b a
B． b c a
C． a b c
D． c a b
a2
y2 b2
1 a
0, b 0 的焦点到其渐近线的距离为 2
2 ，且离心率为 3 ，则该双曲线实
轴的长为
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
6．若实数 x ， y 满足 x 2 y 3x ，则 x y 的最小值是
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为
第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
2i 1．已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 2 i 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
2．设全集为实数集 R ，集合 A x|x2 4 ， B x|3x 1 ，则 A (CR B)
域 C BD 记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 P1 ，
P2 ， P3 ，（参考数据： 5 2.236 ）则
A． P1 P2
B． P1 P2
C． P1 P2 P3
D． P2 P1 P3
第 10 题图
高三数学理科试题 第 2 页 共 6 页
情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的 2018 年 2 月-2019 年 2 月全国居民消费价格指数（CPI）
数据折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比；环比表示连续 2 个单位周期（比如连续两
月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数×100%）.
下列说法错误的是