第四章根轨迹设计
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第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R(s)
G(s) H (s)
C (s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K G( s) H ( s) s( s 1)(s 2) 试求根轨迹在实轴上的分离点。
解：
N (s) s(s 1)(s 2)
M ( s) 1
d N ( s) d [ ] [s(s 1)(s 2)] 3s 2 6s 2 0 ds M (s) ds
i 1 j 1
m
n
0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
• 通过选择若干次试验点，检查这些点是否满足相角条 件，由那些满足相角条件的点可连成根轨迹，这就是 绘制根轨迹的试探法 。 • 对任何正值，在[s]平面上从G(s)H(s)的各零点和极点分
| 0.5 j 0 | | 0.5 j 1| 1.118 1.118 1.25
自动控制原理第4章根轨迹
起点——对应于根轨迹上K*=0的点；
终点——对应于根轨迹上K*=∞的点。
规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段 右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则这一 线段就是根轨迹。
规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋于 无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。
-1
0
Re
-1 渐近线
-2
-3
图4.6 例4.1渐近线图
规则5 根轨迹在实轴上的分离点和汇合点。 两条或两条以上根轨迹分支在复平面上某一点相 遇后又分开，则该点称为根轨迹的分离点或汇合 点。通常当根轨迹分支在实轴上相交后进入复平 面时，习惯上称为该相交点为根轨迹的分离点， 反之，当根轨迹分支由复平面进入实轴时，它们 在实轴上的交点称为汇合点。
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。
引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
的有关数据。
解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，开环 零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用 “×”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。
终点——对应于根轨迹上K*=∞的点。
规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段 右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则这一 线段就是根轨迹。
规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋于 无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。
-1
0
Re
-1 渐近线
-2
-3
图4.6 例4.1渐近线图
规则5 根轨迹在实轴上的分离点和汇合点。 两条或两条以上根轨迹分支在复平面上某一点相 遇后又分开，则该点称为根轨迹的分离点或汇合 点。通常当根轨迹分支在实轴上相交后进入复平 面时，习惯上称为该相交点为根轨迹的分离点， 反之，当根轨迹分支由复平面进入实轴时，它们 在实轴上的交点称为汇合点。
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。
引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
的有关数据。
解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，开环 零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用 “×”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。
自动控制原理第四章根轨迹法.
如果实轴上相邻开环零点(其中一个可为无穷远零点) 之间有根轨迹，则这两相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与极点之间，则它们 中可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也 有会合点。 （成对出现）
在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹 角称为分离角。分离角d与相分离的根轨迹的支数 k有 关，即 180 (4-10) d k
回章首 回节首
4
开环极点用“ ”来表示，开环零点用“ o” 来表示。 （引例系统没有开环零点） 在图 4-2 上， Kg＝0 时为 根轨迹的起点。 闭环特征方程为
s2 s 0 即 s(s 1) 0
所以根轨迹的起点是系统 的开环极点。
回章首
回节首
5
当增益Kg=0.25时，方程为
(s z j ) ( s pi )
i 1 j 1 n m
GO ( s) K g
(4-1)
Kg 称为根轨迹增益， s=-zj，j=1，2，…，m 为系统的开环零点， s=-pi，i=1，2，…，n 为系统的开环极点。
回章首
回节首
9
根轨迹增益Kg与系统开环增益Ko的关系为
Ko K g zj
4-2-3 根轨迹的分支数 n阶系统对于任意增益值其特征方程都有n个根， 所以当增益 Kg在由 0→变化时，在s平面有n条根轨 迹，即根轨迹的分支数等于n，与系统的阶数相等。
第四章 根轨迹
z4
2.S到该点左边实轴上的零 极点的相角为0o; 3.S到该点右边实轴上的零极 点的相角为180°
Φ 4=180o
若S位于根轨迹上，则相角条件成立：
j j
——S之右所有开环实数零点到S的相角之和 ——S之右所有开环实数极点到S的相角之和
π和-π相等，相角条件等效于：
得证。
规则6、根轨迹的分离点和会合点
∏ ( s -pi) i=1 开环极点“×”, pi
n
=0
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j j j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
* i 1 i j 1
n
m
j
)0
• 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为
(s p ) K (s z
* i 1 i j 1
j
)0
m d n * [ ( s pi ) K ( s z j )] 0 ds i 1 j 1
• 两式相除得
的交点和此时的根轨迹增益 K g 。 方法一：闭环系统的特征方程为：
Kg
F ( s) s( s 1)( s 5) K g s 3 6s 2 5s K g 0 3 2 将 s j 代入得： F ( j ) j 6 j 5 K g 0
2.S到该点左边实轴上的零 极点的相角为0o; 3.S到该点右边实轴上的零极 点的相角为180°
Φ 4=180o
若S位于根轨迹上，则相角条件成立：
j j
——S之右所有开环实数零点到S的相角之和 ——S之右所有开环实数极点到S的相角之和
π和-π相等，相角条件等效于：
得证。
规则6、根轨迹的分离点和会合点
∏ ( s -pi) i=1 开环极点“×”, pi
n
=0
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j j j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
* i 1 i j 1
n
m
j
)0
• 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为
(s p ) K (s z
* i 1 i j 1
j
)0
m d n * [ ( s pi ) K ( s z j )] 0 ds i 1 j 1
• 两式相除得
的交点和此时的根轨迹增益 K g 。 方法一：闭环系统的特征方程为：
Kg
F ( s) s( s 1)( s 5) K g s 3 6s 2 5s K g 0 3 2 将 s j 代入得： F ( j ) j 6 j 5 K g 0
第四章 根轨迹法4-1
2）用幅值条件确定增益K
K s s 1
例如 s 1 , 2 0 . 5 , K 0 . 5 0 . 5 0 . 25
图4-6
例4-5 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G (s)H (s) K s 2 s s 1
试证明该系统根轨迹的复数部分为一圆。
nm
(s ) nm
n m 1
[( p 1 p 2 p n ) ( z 1 z 2 z m )] s
(n m )s
n m 1
上式右边展开
s
nm
比较对应s幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点
(n m ) ( p1 p 2 p n ) ( z1 z 2 z m )
2、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数。 我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由 前面 的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所 有的根轨迹都是有头有尾 、有始有终。所以其分支数必等 于开环的极点数或系统的阶数。
22
3、根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴。 特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。 4、根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征） 渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。 渐近线于实轴的夹角：
自动控制原理第四章根轨迹法
s poj
j1
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果n m, 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远(开环无限零点)。
因：K=0 A(s)= s =-poj K=0时的闭环极点=开环极点；
K= A(s)=0 s =-zoi K=时的闭环极点=开环零点。
1
K
Ps Qs
0
P s
1 K
Qs
(2) 求根轨迹的分离点。
P(s)=1;
P'(s)=0
Q(s)=s(s+1)(s+2); Q'(s)=3s2+6s+2
P'(s) Q(s)- P(s) Q'(s)=0
3s2+6s+2=0
s1=-0.422, s2=-1.578
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹的绘制 4.3 推广的根轨迹 4.4 控制系统根轨迹分析 4.5 循序渐进设计示例 4.6 应用MATLAB分析根轨迹
4.1 根轨迹的基本概念
例1: 某小功率位置随动系统结构图如下所示， 求该二阶系统的根轨迹图。
R(s)
-
Y(s)
G(s)
Gs H s
jω
X
O
σ
实轴外也可能有分离点(会合点)——复数 。
分离点求法（有多种求法）
第4章 根轨迹法
j=1
m
D(s) = ∏ (s + pi )
i =1
−
G(s)
C(s)
T(s) =
G(s) 1 + G(s)H(s)
1 + G(s)H(s) = 0
H(s)
N(s) = D(s)
∏ (s + z j ) ∏ (s + pi )
i =1 j=1 n
m
=−
1 Kg
幅值条件与幅角条件
m
∏ sk + z j ∏ s k + pi
C(s)
β1
α1
60
σ
β3
βsc = ±180 (1 + 2k) + ∑ α j − ∑ βi = 180 + 45 − 135 − 26.6 − 90 = 333.4
j=1 i =1
m
n −1
s 4 + 5s 3 + 8s 2 + (6 + K g )s + 2K g = 0
s4 s3 s
2
1 5 8− 6+ Kg 5 50K g 34 − K g
1 s+2
−3
×
σd
−2
×
−1
×
0 σ
七、根轨迹的渐近线 1、渐近线与实轴的交点 、
∏ s + zj ∏ s + pi
m
D(s) = ∏ (s + pi )
i =1
−
G(s)
C(s)
T(s) =
G(s) 1 + G(s)H(s)
1 + G(s)H(s) = 0
H(s)
N(s) = D(s)
∏ (s + z j ) ∏ (s + pi )
i =1 j=1 n
m
=−
1 Kg
幅值条件与幅角条件
m
∏ sk + z j ∏ s k + pi
C(s)
β1
α1
60
σ
β3
βsc = ±180 (1 + 2k) + ∑ α j − ∑ βi = 180 + 45 − 135 − 26.6 − 90 = 333.4
j=1 i =1
m
n −1
s 4 + 5s 3 + 8s 2 + (6 + K g )s + 2K g = 0
s4 s3 s
2
1 5 8− 6+ Kg 5 50K g 34 − K g
1 s+2
−3
×
σd
−2
×
−1
×
0 σ
七、根轨迹的渐近线 1、渐近线与实轴的交点 、
∏ s + zj ∏ s + pi
第四章 根轨迹法
j 1
i 1
• 假设在一开环极点p1附近取一点s1, 则
m
n
(s1 p1 ) s1p1 (2k 1) s1 z j s1 pi
j1
i1
m
n
ik
pk (2k 1) pk z j pk pi
j1
i1
ik
• 同理得
n
m
θ zk (2k 1)π (z k pi ) (z k z j)
0 (1 j) (1 j) 30
2 3
a
(2k 1)
nm
, ,
33
j
a
p02
j1.15 j1
45
p01
60
-1 2 60 0
3
p03
1 G(s)H(s) 0即(s3 2s2 2s K* ) 0 j3 22 2j K* 0 s j
2 2 K * 0
3
增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
(2)闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传函的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m） 条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。例1a 证1
2011_第4章 根轨迹设计v4
−0.4 0.96
0.95
−0.6 0.91 −0.8 0.83 −1 −1.5 0.72 −1 0.58 0.4 −0.5 Real Axis 0.2 0 0.5 1
−1 0.89 0.81 −1.5 −2.5 −2 0.7 −1.5 0.56 0.38 0.2 0 0.5 1 −1 −0.5 Real Axis
14
利用Routh判据验证临界稳定性：
0.632kz G( z) = ( z − 1)( z − 0.368)
闭环特征方程： − 1)( z − 0.368) + 0.612kz = 0 (z
对应的W特征方程为：z=(w+1)/(w-1)
0.632kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.632k ) = 0
1 + D ( z )G ( z ) = 0
连续系统闭环特征方程
1 + D ( s )G ( s ) = 0
结论：离散系统与连续系统的闭环特征 方程形式完全一样。连续系统中根轨迹 的定义及绘制法则，在z域完全适用. Z平面根轨迹应相对于单位圆来分析
11
离散系统中根轨迹的绘制法则
开环传递函数
D( z )G ( z ) =
y(t)
•解：该系统的开环Z传递函数为：
⎡ 1 − e − Ts ⎤ 0.368 k ( z + 0.722) k G (z) = Ζ ⎢ ⎥ = ( z − 1)( z − 0.368) s ( s + 1) ⎦ ⎣ s
第四章 根轨迹法课件
2）分支数和对称性
根轨迹一定对称于实轴，并且有 n支。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何 变化特征方程始终有n个根，即使出现重根，当K 从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根 ，所以根轨迹一定有n支。
特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴。
n
1
m
1
i1 pi l1 zl
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条 件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离 点还要看其它规则。
5）渐近线
当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远； 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近
线与实轴的夹角为：
k
(2k 1)1800 nm
G(s)H (s) K (s z1)(s z2 )....(s zm ) , K 0 (s p1)(s p2 )....(s pn )
式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm 为开环零 点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：
1 K (s z1)(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1)(s p2 )....(s pn )
,
k 0,1,2,,| n m | 1
所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为
n
m
pi zl
i1
l 1
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法
第四章根轨迹法
本章⽬录
4.1 根轨迹的⼀般概念
4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质
4.3 绘制根轨迹的⼀般规则
4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍
4.5 例题
4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹
4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹
⼩结
本章简介
从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。若其特征⽅程中，各
系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。如果连续变化,则sb也连续变化。相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。从⽽分析出系统所具有的性能。或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第四章 根轨迹法
G(s)H(s) = 1
2.相角条件： 2.相角条件： 相角条件 ∠G( s)H(s) = ±(2k + 1)π
k = 0 , 1, 2L
安徽工业大学电气信息学院
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 开环传递函数写成如下形式： 式，把开环传递函数写成如下形式：
G(s)H(s) = Kg ⋅
∏(s + z ) ∏(s + p )
n m
− δa =
∑(− p ) − ∑(−z )
j =1 j i =1 i
n− m
− 开环极点的实部之和 开环零点的实部之和 − δa = 开环极点数− 开环零点数
源自文库
安徽工业大学电气信息学院
[例]系统开环传递函数为：G k ( s ) 系统开环传递函数为： 求渐近线与实轴的交点和倾角。 求渐近线与实轴的交点和倾角。 [解]：根轨迹有3支。 根轨迹有3
m
=1
安徽工业大学电气信息学院
∴ 相角条件： 相角条件：
∠∑(s + zi ) − ∠∑(s + p j ) = ±(2k + 1)π ,
i =1 j =1 m n
k = 0 ,1, 2L
安徽工业大学电气信息学院
幅值条件： 幅值条件：
Kg ⋅
∏(s + z ) ∏(s + p )
2.相角条件： 2.相角条件： 相角条件 ∠G( s)H(s) = ±(2k + 1)π
k = 0 , 1, 2L
安徽工业大学电气信息学院
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 开环传递函数写成如下形式： 式，把开环传递函数写成如下形式：
G(s)H(s) = Kg ⋅
∏(s + z ) ∏(s + p )
n m
− δa =
∑(− p ) − ∑(−z )
j =1 j i =1 i
n− m
− 开环极点的实部之和 开环零点的实部之和 − δa = 开环极点数− 开环零点数
源自文库
安徽工业大学电气信息学院
[例]系统开环传递函数为：G k ( s ) 系统开环传递函数为： 求渐近线与实轴的交点和倾角。 求渐近线与实轴的交点和倾角。 [解]：根轨迹有3支。 根轨迹有3
m
=1
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∴ 相角条件： 相角条件：
∠∑(s + zi ) − ∠∑(s + p j ) = ±(2k + 1)π ,
i =1 j =1 m n
k = 0 ,1, 2L
安徽工业大学电气信息学院
幅值条件： 幅值条件：
Kg ⋅
∏(s + z ) ∏(s + p )
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
状态反馈控制器
基于系统状态反馈，通过调整状态反馈增益来改善系统性能，适用于线性时不 变系统。
根轨迹法与其他控制方法的比较与选择
根轨迹法具有直观性和简便性，适用于 分析开环系统的性能。但在选择控制方 法时，需综合考虑系统特性和性能要求
。
对于线性时不变系统，根轨迹法和PID 控制器是常用的控制方法。根据具体需 求，可以选择适合的方法进行系统分析
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于 掌握等优点，适用于分析线性时 不变系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用范围
控制系统设计
控制系统教学
根轨迹法可用于控制系统设计，通过 调整系统参数，优化系统的性能指标 。
根轨迹法是控制系统教学的重要内容 之一，有助于学生深入理解系统的动 态特性和稳定性。
系统分析和故障诊断
察根轨迹的移动。
根轨迹的特性
根轨迹具有连续性和 对称性，表示极点的 连续变化。
根轨迹的形状和分布 取决于系统的开环传 递函数和参数变化。
根轨迹的起点和终点 对应于系统的特定参 数值，如开环极点和 零点。
根轨迹的绘制方法
01
02
03
04
确定系统的开环传递函数。
选择一组参数值，计算系统的 闭环极点。
在实际应用中，工程师可以根据根轨迹图对系统进行优化，例如调整控制器参数，以达到理 想的系统性能。
基于系统状态反馈，通过调整状态反馈增益来改善系统性能，适用于线性时不 变系统。
根轨迹法与其他控制方法的比较与选择
根轨迹法具有直观性和简便性，适用于 分析开环系统的性能。但在选择控制方 法时，需综合考虑系统特性和性能要求
。
对于线性时不变系统，根轨迹法和PID 控制器是常用的控制方法。根据具体需 求，可以选择适合的方法进行系统分析
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于 掌握等优点，适用于分析线性时 不变系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用范围
控制系统设计
控制系统教学
根轨迹法可用于控制系统设计，通过 调整系统参数，优化系统的性能指标 。
根轨迹法是控制系统教学的重要内容 之一，有助于学生深入理解系统的动 态特性和稳定性。
系统分析和故障诊断
察根轨迹的移动。
根轨迹的特性
根轨迹具有连续性和 对称性，表示极点的 连续变化。
根轨迹的形状和分布 取决于系统的开环传 递函数和参数变化。
根轨迹的起点和终点 对应于系统的特定参 数值，如开环极点和 零点。
根轨迹的绘制方法
01
02
03
04
确定系统的开环传递函数。
选择一组参数值，计算系统的 闭环极点。
在实际应用中，工程师可以根据根轨迹图对系统进行优化，例如调整控制器参数，以达到理 想的系统性能。
(完整版)第四章根轨迹法
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj )
(s) G(s)
j 1
1 G(s)H(s)
G(s)H(s)
(s
K*(s p1 )(s
z1 )(s zm p2 )(s
) pn
)
1
m
zi
K K*
i 1 n
pj
j 1
m
G( s) H ( s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。
解.
G(s)
K s(0.5s 1)
K* 2K s(s 2)
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
C(s)
K*
(s) R(s) s2 2s K *
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
§4.1.2 根轨迹 —— 系统性能
K*
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj )
(s) G(s)
j 1
1 G(s)H(s)
G(s)H(s)
(s
K*(s p1 )(s
z1 )(s zm p2 )(s
) pn
)
1
m
zi
K K*
i 1 n
pj
j 1
m
G( s) H ( s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。
解.
G(s)
K s(0.5s 1)
K* 2K s(s 2)
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
C(s)
K*
(s) R(s) s2 2s K *
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
§4.1.2 根轨迹 —— 系统性能
K*
第4章根轨迹
闭环特征根如果是实数根，则 分布在ｓ平面的实轴上；如果是 复数根，则成对出现，实部相等， 虚部大小相等符号相反，如图所 示。因此，形成的根轨迹必定对 称于实轴。
当Ｋｒ取某一数值时，ｎ阶特征方程式有ｎ个确定的根。
当Ｋｒ＝０→∞变化时，每一个根由始点连续地向其终点移
动，形成一条根轨迹，ｎ个根也就形成ｎ条根轨迹。
(pj)
j1
j1
j1
当 ssk 时 ， 认： 为 zi pj （ 零极点 ） 的重
18
m
m
m
(szi)
i1 n
(spj)
1 Kr
sm( (zi))sm1
i1 n
sn( (pj))sn1
(zi)
i1 n
(pj)
kr 时根轨迹一支走向 z , 另
一支走向 ，A、B点称为根轨迹
在实轴上的分离点和会合点。
一般，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相 邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个 是可能是无限大零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有 会合点。
21
设系统的开环传递函数为 G(s)H(s)KrB(s)
2）当Ｋｒ＝１时，特征根为 两个相等的实数根，系统呈临界 阻尼状态。
3）１＜Ｋｒ值＜∞时，特征
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 可见：根轨迹图全面的描
第四章根轨迹设计
1. 存在问题及目标性能； 2. 目标性能目标系统； 3. 当前系统目标系统。
建模，并了解系统存在问题（性能指标）
第一步：提出要求（目标性能） 第一步：给出性能指标要求和初定设计方法
稳定性、稳定裕度、快速性、平稳性、准确性
P299当性能指标以 时域量（超调量、调 节时间等或阻尼系数、 无阻尼振荡圆频率等） 给出时，采用根轨迹 法进行串联校正设计 比 较 方 便 。
4.1 常见校正环节——滞后-超前校正环节
Gc (s) (T1 s 1)(T 2 s 1) T ( 1 s 1)(βT 2 s 1) β
若T2 T1 ,则 βT2 T2 T1
T1 β
利用滞后校正部分提供 的靠近原点 的开环偶极子[1 /T , 1 /( βT ) ], 2 2 提高系统稳态性能, 利用超前校正 部分提供的零、极点( 1 /T , β/ T ) 1 1 提高系统的动态品质。
180 (2k 1) k 0,1,2, θ , ; σa nm ,n m 1
( p
j 1
n
j
) ( zi )
i 1
m
nm
4.2 增加开环零、极点对根轨迹的影响
例4.23
Gk ( s)
jw
Kg s ( s 1)
s -1 0.5 0
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参数：将超调量、调节时间等阻尼系数、无阻尼 振荡圆频率等
主导极点位置： 阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等
第二步：目标性能目标系统
1）确定阻尼角 2) 确定ωn值; 3) 标出主导极点;
σ% eζπ/ 1ζ 2 ζ β arccosζ
ts
3 ζωn
ωn
s1,2 ζωn jωn 1 ζ 2
•不加反馈时，当前系统G(s)不满足该条件。
•尝试引入单位反馈，并调节放大系数。 思考： 如何判断是否能实现当前系统目标系统？
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
ts
3
ζωn
ωn
3 ζt s
3 0.5 * 8
0.75
n
n
从图读出： s1,2 0.4j0.69;
根据 ( sj) (pj)
基于根轨迹的系统设计思路
设计的一般思路
1. 存在问题及目标性能；
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设
2. 目标性能目标系统； 3. 当前系统目标系统。
定值附近不断振荡，长时间
无法收敛。
建模，并了解系统存在问题（性能指标）
第一步：提出要求（目标性能）
第一步：给出性能指标要求和初定设计方法
常用性能指标与设计方法
1.稳态性能指标： Kp、 Kv、 Ka 动态性能指标：
时域指标： 复域指标： 2.设计方法：
σ % 、 ts、 tp
n、
频率响应法
状态空间法
根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点,若 原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装置, 利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导极 点。
7.5(s)
满足要求！
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
对应的根轨迹增益Kg为：
Kg s3 p1 s3 p2 s3 p3 4.2 0 4.21 4.2 4
j1
j1
s3 (01 4)(0.4j0.69 0.4j0.69) 4.2,
ωn 0.402 0.692 0.80,
α s3 / s1,2 4.20/0.80 5.25
σ% eζ π / 1ζ2 e0 . 53 . 1 4 / 10 . 52 16.3%
ts
3 ζωn
3 0.5 0.80
基于根轨迹的系统设计
设计常识 设计基本思路 校正环节设计
一些设计常识
设计特点 零极点分布与系统性能 校正简介 基本设计方法类型
系统设计如同文章写作：练兵千日
• 模仿：多学习典型案例
惯用方法：简单的有PID控制或滞后-超前校正等 常用套路：使用闭环、近似为一、二阶系统等
• 创新：熟能生巧
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
4.主导极点：离虚轴最近的闭环极点对系统的动态 过程性能影响最大,称主导极点。 非主导极点：模比>5,且附近又无闭环零点,则其 它极点对动态性能影响可以忽略。
此时，系统可近似处理为共轭主导极点构成的二阶 系统或实数主导极点构成的一阶系统;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
5.闭环零点可削弱或抵削其附近闭环极点的作用。 非常接近的一对零极点称为一对偶极子,偶极子越 靠近,零点对极点的抵消作用越强。人为地引入适 当零点,以抵消对动态过程有明显坏影响的极点,可 提高系统的性能指标。
PD、PI、PID控制； 超前、滞后、滞后-超前校正/补偿环节 如何理解PID和滞后-超前等校正环节的作用？
第三步：反馈，调节放大系数
性能要求较易实现
闭环，调节放大系数
-例1，P172
例
4-
2 2:
G
(
s
)
s
(
s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
)
K ( 0 . 2 5 s
1
目标：超调量 ) 调节时间 8s
16％
•目标系统=0.5；目标主导极点满足 =arccos0.5=60
4) 对ζ和ωn适当修正。
考虑到其它极点零点的影响, 留有 余地。
目标系统根轨迹必须穿过主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
第三步：当前系统目标系统
改造当前系统，使其根轨迹穿过标出的主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
可能的改造方案（简单复杂）：
引入负反馈，仅调节开环放大系数。
若单纯调整放大系数无效，考虑增加合适的校 正环节。常用且简单有效的方法有：
根轨迹法的本质
根轨迹法只是一种估计高阶多项式方程根的方法。
1 Kg
N(s) D(s)
0
分析下述系统中， 改变时系统动态特性的变化。
即求 改变时，方程 s(5s 1) 5(1s) 0 根的变化情况。
根轨迹法的本质
1
τ
5s2
5s s
5
0,
即1
τ
s2
s 0.2s
1
0
p1' ,2 0.1 j0.995,z1' 0 τ由0 的参量根轨迹如图417.
系统分析、设计与校正简介
系统分析：建模，结构、参数系统动静态性能
系统设计：根据要求设计控制系统或、改造原系统。
固有系统:最基本的控制系统,其中除放大器的放大系 数可调外,其余参数在设计过程中往往不变,故又称为 不可变部分。
校正装置:为提高固有系统性能，在系统原有结构基础 上引入新的附加环节，以同时改善系统稳态性能和动 态性能。
根轨迹法可简化系统性能分析
•基本思路： 1）系统零极点分布决定系统性能。 2）求系统零极点分布。 分析方法： 1）估计结构图中各传函为何种元件（对象？校正？） 2）去掉或改变一些校正环节、或改变放大系数，估计
系统性能的变化。
正反馈回路的根轨迹
• 绘制法则的变化：
设计引言
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设 定值附近不断振荡，长时间 无法收敛。
1.稳定性：要求系统稳定,则全部闭环极点应在左 半s平面;系统稳定与闭环零点的位置无关;
2.快速性：要求系统的快速性好,则闭环极点应远 离虚轴,以便使阶跃响应中每个分量都衰减得更 快;
3.工程最佳参数：要求系统的平稳性好,则闭环共 轭复数极点应位于β=45°的等阻尼线上,对应 ζ=0.707;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
稳定性、稳定裕度、快速性、平稳性、准确性
P299当性能指标以 时域量（超调量、调 节时间等或阻尼系数、 无阻尼振荡圆频率等） 给出时，采用根轨迹 法进行串联校正设计 比较方便。
第二步：目标性能目标系统
第二步：性能指标要求转化为根轨迹要求，
即时域性能指标转换为一对期望闭环主导极点位
置。
结构：假设系统的性能主要决定于某对极点，尤其 是共轭极点（P299），即近似为二阶系统。
主导极点位置： 阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等
第二步：目标性能目标系统
1）确定阻尼角 2) 确定ωn值; 3) 标出主导极点;
σ% eζπ/ 1ζ 2 ζ β arccosζ
ts
3 ζωn
ωn
s1,2 ζωn jωn 1 ζ 2
•不加反馈时，当前系统G(s)不满足该条件。
•尝试引入单位反馈，并调节放大系数。 思考： 如何判断是否能实现当前系统目标系统？
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
ts
3
ζωn
ωn
3 ζt s
3 0.5 * 8
0.75
n
n
从图读出： s1,2 0.4j0.69;
根据 ( sj) (pj)
基于根轨迹的系统设计思路
设计的一般思路
1. 存在问题及目标性能；
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设
2. 目标性能目标系统； 3. 当前系统目标系统。
定值附近不断振荡，长时间
无法收敛。
建模，并了解系统存在问题（性能指标）
第一步：提出要求（目标性能）
第一步：给出性能指标要求和初定设计方法
常用性能指标与设计方法
1.稳态性能指标： Kp、 Kv、 Ka 动态性能指标：
时域指标： 复域指标： 2.设计方法：
σ % 、 ts、 tp
n、
频率响应法
状态空间法
根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点,若 原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装置, 利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导极 点。
7.5(s)
满足要求！
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
对应的根轨迹增益Kg为：
Kg s3 p1 s3 p2 s3 p3 4.2 0 4.21 4.2 4
j1
j1
s3 (01 4)(0.4j0.69 0.4j0.69) 4.2,
ωn 0.402 0.692 0.80,
α s3 / s1,2 4.20/0.80 5.25
σ% eζ π / 1ζ2 e0 . 53 . 1 4 / 10 . 52 16.3%
ts
3 ζωn
3 0.5 0.80
基于根轨迹的系统设计
设计常识 设计基本思路 校正环节设计
一些设计常识
设计特点 零极点分布与系统性能 校正简介 基本设计方法类型
系统设计如同文章写作：练兵千日
• 模仿：多学习典型案例
惯用方法：简单的有PID控制或滞后-超前校正等 常用套路：使用闭环、近似为一、二阶系统等
• 创新：熟能生巧
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
4.主导极点：离虚轴最近的闭环极点对系统的动态 过程性能影响最大,称主导极点。 非主导极点：模比>5,且附近又无闭环零点,则其 它极点对动态性能影响可以忽略。
此时，系统可近似处理为共轭主导极点构成的二阶 系统或实数主导极点构成的一阶系统;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
5.闭环零点可削弱或抵削其附近闭环极点的作用。 非常接近的一对零极点称为一对偶极子,偶极子越 靠近,零点对极点的抵消作用越强。人为地引入适 当零点,以抵消对动态过程有明显坏影响的极点,可 提高系统的性能指标。
PD、PI、PID控制； 超前、滞后、滞后-超前校正/补偿环节 如何理解PID和滞后-超前等校正环节的作用？
第三步：反馈，调节放大系数
性能要求较易实现
闭环，调节放大系数
-例1，P172
例
4-
2 2:
G
(
s
)
s
(
s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
)
K ( 0 . 2 5 s
1
目标：超调量 ) 调节时间 8s
16％
•目标系统=0.5；目标主导极点满足 =arccos0.5=60
4) 对ζ和ωn适当修正。
考虑到其它极点零点的影响, 留有 余地。
目标系统根轨迹必须穿过主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
第三步：当前系统目标系统
改造当前系统，使其根轨迹穿过标出的主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
可能的改造方案（简单复杂）：
引入负反馈，仅调节开环放大系数。
若单纯调整放大系数无效，考虑增加合适的校 正环节。常用且简单有效的方法有：
根轨迹法的本质
根轨迹法只是一种估计高阶多项式方程根的方法。
1 Kg
N(s) D(s)
0
分析下述系统中， 改变时系统动态特性的变化。
即求 改变时，方程 s(5s 1) 5(1s) 0 根的变化情况。
根轨迹法的本质
1
τ
5s2
5s s
5
0,
即1
τ
s2
s 0.2s
1
0
p1' ,2 0.1 j0.995,z1' 0 τ由0 的参量根轨迹如图417.
系统分析、设计与校正简介
系统分析：建模，结构、参数系统动静态性能
系统设计：根据要求设计控制系统或、改造原系统。
固有系统:最基本的控制系统,其中除放大器的放大系 数可调外,其余参数在设计过程中往往不变,故又称为 不可变部分。
校正装置:为提高固有系统性能，在系统原有结构基础 上引入新的附加环节，以同时改善系统稳态性能和动 态性能。
根轨迹法可简化系统性能分析
•基本思路： 1）系统零极点分布决定系统性能。 2）求系统零极点分布。 分析方法： 1）估计结构图中各传函为何种元件（对象？校正？） 2）去掉或改变一些校正环节、或改变放大系数，估计
系统性能的变化。
正反馈回路的根轨迹
• 绘制法则的变化：
设计引言
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设 定值附近不断振荡，长时间 无法收敛。
1.稳定性：要求系统稳定,则全部闭环极点应在左 半s平面;系统稳定与闭环零点的位置无关;
2.快速性：要求系统的快速性好,则闭环极点应远 离虚轴,以便使阶跃响应中每个分量都衰减得更 快;
3.工程最佳参数：要求系统的平稳性好,则闭环共 轭复数极点应位于β=45°的等阻尼线上,对应 ζ=0.707;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
稳定性、稳定裕度、快速性、平稳性、准确性
P299当性能指标以 时域量（超调量、调 节时间等或阻尼系数、 无阻尼振荡圆频率等） 给出时，采用根轨迹 法进行串联校正设计 比较方便。
第二步：目标性能目标系统
第二步：性能指标要求转化为根轨迹要求，
即时域性能指标转换为一对期望闭环主导极点位
置。
结构：假设系统的性能主要决定于某对极点，尤其 是共轭极点（P299），即近似为二阶系统。