第四章根轨迹设计
合集下载
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
第四章控制系统的根轨迹法
9
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章-根轨迹法(1)
m
(s zi )
称Gk (s) 1或：kg
i 1 n
1为根轨迹方程。
(s pj )
j 1
式中：kg 传递系数，或称为跟轨迹增益； zi，p j为开环零极点。
2024/7/16
8
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
Gk (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi ) |
或kg
i 1 n
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之 间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。
2024/7/16
20
例4－2
某闭环系统的动态结构图如图示，试计算根轨迹的分离点及对应的 Kd
解
令 dK 0得到 ds
K s(s 2)(s 3) (s 1)
s3 4s2 5s 3 0
2 0 1 180
3 s 2
j
1 180
0
实轴上某个开区间右侧的开环零极点数之和为奇数的区间存在根轨迹， 为偶数的不存在根轨迹。
2024/7/16
16
[例4-3]设系统的开环传递函数为：Gk
试求实轴上的根轨迹。
(s)
s2(s
Kg (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
D(s)
0
即
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
2024/7/16
19
Kg
B
Kg Kg 0 Kg 0
z p2 A p1
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这 两相邻极点之间必有分离点；
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之 间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
第4章 根轨迹
二阶系统单位第四章 根轨迹法4-1 4-2 4-3 4-4 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的基本法则 利用根轨迹分析系统的动态性能 广义根轨迹阶跃响应定性分析 ξ＞1 ξ＞11 12 1ω2n 2 Φ(s)= 2 s +2ξωns+ωn2j j 00 j√ 2- 1 - T ±j ωn ξξ＝1 S1,2= T ξω 0t t1 2 2 1 1 2T - T e S 过阻尼 e ξ＝1 1+ Te1,2=n+ T = -ωn h(t)= 1 -(1+ωnt) 0 -ωnt h(t)= 1 1 临界阻尼 T T ξω j0＜ξ＜1 0＜ ξ ＜ 1ξ j n - ξ2 S1,2= - ωn±j ω√1ξ＝0n0h(t)=j 0 0 j零阻尼1 √1-ξ ξ＝012S t = ±j t+β) e-ξω1,2sin(ωdωn 欠阻尼nh(t)= 1 -cosωnt 04-1 根轨迹的基本概念结论：系统的性能与闭环极点的分布密 切相关。
问题1: 根据开环传递函数零点、极点确定闭环系统 问题1: 的零点、极点; 的零点、极点; 问题2: 研究分析系统参数的变化对系统特征根的影 问题2: 响。
定义 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷 时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的 轨迹。
根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传 递函数的零点、极点分布情况，用作图法简 便的求得闭环系统的特征根与系统参数值间 的关系。
根轨迹 —— 系统性能例: 系统结构图如图所示，分析 特征根 S 随开环增益K 变化的趋势。
D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0解. G ( s ) =K K * = 2K = s ( 0 .5 s + 1 ) s( s + 2)K : 开环增益 * K : 根轨迹增益k * = 2ks1s2s1, 2 = −1 ± 1 − k *Φ( s ) =C ( s) K = R( s ) s 2 + 2 s + K *Re[ S1, 2 ] < 0, 系统绝对稳定*D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0s1, 2 = −1 ± 1 − k *b0 s m + b1s m −1 + Λ + bm −1s + bm M ( s ) = G(s) H (s) = a0 s n + a1s n −1 + Λ + an −1s + an D( s)K * ( s − z1 )Λ ( s − z m ) = ( s − p1 )( s − p2 )Λ ( s − pn ) K * ∏ ( s − zi )i =1 mG( s) Φ( s ) = 1 + G( s)H ( s)G( s) H ( s) =∏ (s − p )j =1 jn2 K (τ 1s + 1) Λ (τ 2 s 2 + 2ξ1τ 2 s + 1)... G(s) H (s) = v s (T1s + 1) Λ (T22 s 2 + 2ξ 2T2 s + 1)...K = K*∏ ∏j =1 i =1 nmzi pj根轨迹方程一般情况下K * ( s − z1 ) Λ ( s − z m ) G( s) H ( s) = = ( s − p1 )( s − p2 )Λ ( s − pn ) K * ∏ ( s − zi )i =1m nG( s) H ( s) =mK s − z1 Λ s − z m = K* s − p1 s − p2 Λ s − pn*∏ (s − z ) ∏ (s − p )j =1 j i =1 n im=1∏ (s − p )j =1 jn∠G( s ) H ( s ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − p j ) = ( 2k + 1)πi =1 j =1Φ( s ) =G( s) 1 + G( s) H ( s)1. s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条件） 一 定在根轨迹上。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
《控制工程基础》第四章根轨迹
4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
相角条件：
s1,2 1 1 2K
K s(0.5s 1)
G s H s s (s 2) 180 2k 1k 0,1,2,
（0，+ ∞ ） ；
（-2,0）；
（- ∞，-2 ） ；
实轴以外 ；
用幅值条件可以计算
出各根轨迹点上的开环根
轨迹增益K*。
Page 12
ds
即s2 12s 24 0
解之，得 s1 2.54, s 2 9.46
相应的增益为
K
1
1 .0 7 , Page 21
K
2
14.9
4.3 绘制根轨迹的基本法则
LOGO
方法2 设系统开环传递函数为
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
Gs
H
s
K s
1s 12s
T s 1 T s 1 Page 10
2
1 1
4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
G s H
s
K* s s
z1 s z2 p1 s p2
s zm s pn
K * Az1e jz1 A e j p1
p1
A e jzm zm
A e j pn pn
LOGO
传递函数：
Gb
s
1
Gs G s H
s
特征方程（根轨迹方程）：1+G(s)H(s)=0 或写作 G(s)H(s)= -1
相角条件： GsH s 180 2k 1 k 0,1,2,
幅值条件： GsHs 1
GsH s
第4章根轨迹
试绘制系统的根轨迹图
20
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。 例：
kr
B
kr k r 0 k r 0
z
p2
Ap 1
有开环极点 p 1 , p 2 ，零点 z ,
从点相k r遇 分0 ,离即，到pB1 ,点p 2相遇处会出合发。在当A
12
例４-１ 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)Kr(s22s2) s(s1)s(2)
试确定系统的根轨迹图。
解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图４-５所示。
图中，“×”表示开环传递函 数的极点，“°”表示开环传递函 数的零点。系统的三条根轨迹起 始于三个开环传递函数的极点， 其中两条根轨迹终止于开环传递 函数的两个零点，另一条趋于无 穷远。
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常 需要求得这一交点和相应的Kr值。
设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
1G (j)H (j)0
解方程即可求得ω，Ｋｒ
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s) Kr(s2) s(s3)s(22s2)
绘制系统的根轨迹图。
4
4.1.1根轨迹
设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下 开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为
C(s) R(s)
s2
Kr 2sKr
s1.21 1Kr
5
可得出以下几点：
1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有 两个不相等的实数根，呈过阻尼 状态。
20
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为
分离点或会合点。 例：
kr
B
kr k r 0 k r 0
z
p2
Ap 1
有开环极点 p 1 , p 2 ，零点 z ,
从点相k r遇 分0 ,离即，到pB1 ,点p 2相遇处会出合发。在当A
12
例４-１ 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s)Kr(s22s2) s(s1)s(2)
试确定系统的根轨迹图。
解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图４-５所示。
图中，“×”表示开环传递函 数的极点，“°”表示开环传递函 数的零点。系统的三条根轨迹起 始于三个开环传递函数的极点， 其中两条根轨迹终止于开环传递 函数的两个零点，另一条趋于无 穷远。
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常 需要求得这一交点和相应的Kr值。
设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
1G (j)H (j)0
解方程即可求得ω，Ｋｒ
例4-7 已知系统的开环传递函数为
G(s)H(s) Kr(s2) s(s3)s(22s2)
绘制系统的根轨迹图。
4
4.1.1根轨迹
设系统的结构如图所示。其中，Ｋｒ为零、极点形式下 开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为
C(s) R(s)
s2
Kr 2sKr
s1.21 1Kr
5
可得出以下几点：
1）０＜Ｋｒ＜１时，系统有 两个不相等的实数根，呈过阻尼 状态。
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
第四章根轨迹设计
例4.24：对系统
Gk ( s) Kg s 2 ( s 10)
增加零点z1对系统的影响
-10<-z1<0 时的根轨迹
原系统
-z1>0时的根 轨迹
4.3 增加超前校正环节对根轨迹的影响
2.串入超前校正: 增加一对实数零、极点,零点更靠近原 点(Zc<Pc)，零点起主要作用（K小时效果同PD控制）。
G k(s） K g(s 1) s(s 1)(s2 4s 16)
p 1 0, p 2 1, z 1 1 p 3 , 4 2 j2 3
•飞机纵向运动的传递函数，可见原系统不稳定。
•性能要求：系统稳定。
•方法：引入闭环，合理调节放大系数。
闭环特征方程: s(s 1)(s2 4s 16) K g(s 1) 0
Gc (s) α α R2 R1 R 2 Ts 1 αTs 1 1; T R 1C
4.1 常见校正环节——滞后/积分校正环节
Gc (s) β Ts 1 βTs 1 1 ,T R2 C; R1 R2 R2
极点比零点更靠近原点。 若T足夠大,则为一对靠近原点 的开环偶极子,在不影响远离 偶极子处根轨迹前提下,大大 提高稳态性能。
影响： 1）极点：当kg增大到一定程度， 根轨迹跨入s右半平面，系统不 稳定。 2) 零点: 根轨迹始终在左侧，系 统稳定，随着kg增大，闭环极点 变为共轭复数，再变为实数，相 对稳定性更好。
jw
s -2 -1 0.5 0
-2 -1 0.5 0
s
增加极点-2
增加零点-2
4.2 增加开环零、极点对根轨迹的影响
2.设计方法： 频率响应法 状态空间法 根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点, 若原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装 置,利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导 极点。
Gk ( s) Kg s 2 ( s 10)
增加零点z1对系统的影响
-10<-z1<0 时的根轨迹
原系统
-z1>0时的根 轨迹
4.3 增加超前校正环节对根轨迹的影响
2.串入超前校正: 增加一对实数零、极点,零点更靠近原 点(Zc<Pc)，零点起主要作用（K小时效果同PD控制）。
G k(s） K g(s 1) s(s 1)(s2 4s 16)
p 1 0, p 2 1, z 1 1 p 3 , 4 2 j2 3
•飞机纵向运动的传递函数，可见原系统不稳定。
•性能要求：系统稳定。
•方法：引入闭环，合理调节放大系数。
闭环特征方程: s(s 1)(s2 4s 16) K g(s 1) 0
Gc (s) α α R2 R1 R 2 Ts 1 αTs 1 1; T R 1C
4.1 常见校正环节——滞后/积分校正环节
Gc (s) β Ts 1 βTs 1 1 ,T R2 C; R1 R2 R2
极点比零点更靠近原点。 若T足夠大,则为一对靠近原点 的开环偶极子,在不影响远离 偶极子处根轨迹前提下,大大 提高稳态性能。
影响： 1）极点：当kg增大到一定程度， 根轨迹跨入s右半平面，系统不 稳定。 2) 零点: 根轨迹始终在左侧，系 统稳定，随着kg增大，闭环极点 变为共轭复数，再变为实数，相 对稳定性更好。
jw
s -2 -1 0.5 0
-2 -1 0.5 0
s
增加极点-2
增加零点-2
4.2 增加开环零、极点对根轨迹的影响
2.设计方法： 频率响应法 状态空间法 根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点, 若原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装 置,利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导 极点。
自动控制原理第四章 根 轨 迹 法
K=2.5
-2
＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系 统，响应为衰减振荡；可根据性能要求
K
设置闭环极点。
当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？
4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件
特征方程为： 1+G(s)H(s)=0
即： G(s)H(s)= -1
R(s)
Y(s)
G(s)
-
H(s)
G( s )H( s ) 1
4-1. 根轨迹基本概念
根轨迹的定义：
开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。
R(s)
-
E(s) G1(s)
D1(s) G 2(s)
H(s)
Y(s) D2(s)
如
G1( s )G2 ( s )H ( s )
Kg s( s 1 )( s 2 )
常规根轨迹
求解：设 Gk ( s ) KgG1( s )，则对于1 KgG1( s ) 0，有
dK g ds
d [G11( s )] ds
0 （Kg在根轨迹的分离点上取极值）
或 dG1( s ) 0 （特征式满足 d( s ) 0）
ds
ds
注：只须用其中之一，且只是必要条件
续前例：求分离点上的坐标。
幅值条件
G( s )H( s ) 180( 2k 1 ), k 0，1，2，
相角条件
零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：
m
n
K g (s zi )
(s pi )
G(s)H(s)
i1 n
1 ,或
Kg
i1 m
,
(s pi )
(s zi )
大学自动控制原理第四章 根轨迹法
0.4 0.707
arctan
1 2
arctan1
4
在图上过坐标原点作与负实轴 夹角为45°的射线，它与根轨 迹的交点S=-05±j0.5，这就是 所求的希望闭环极点。
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。 当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生 变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某 一参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以 是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变 参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数 为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。
l 1 l i 1 n i
m
1 K0
m
幅值条件
当K0→∞时，则有 K
0
lim
s z s p
l 1 l i 1 n i
lim
1 0 K 0 K 0
可见，s→∞ejυ也能满足上式，即n-m条根轨迹终 止与无穷远处。 小结：n条根轨迹起始于n个开环极点，其中m条 终止于m个开环零点，n-m条终止于无穷远处。
根的相角条件：argGs H s (2k 1) , k 0,1,2, 假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
K s z1 s z2 s zm G s H s ,n m s p1 s p2 s pn
K s( s 1)
C (s) K 闭环传函 2 R( S ) s s K
闭环特征方程： s2 s K 0
1 1 s 1 4K 闭环特征根：1, 2 2 2
第四章根轨迹法
s z i ( i 1, 2, , m )
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2,, n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s 2 2 s 2) k ( s 1) 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
6k 3 k
2
k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
F ( s) 3s 2 kc 0
d s 2 3s 3.25 ds s 1 0
0
s=
2 2 0.25 0 解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)| k | s zi | | s pi |
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理第四章 根轨迹法
一、根轨迹的连续性和对称性 闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函 数。当Kg从0到无穷变化时，这些系数是连续变化 的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲 线是连续曲线。
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根 必为实根或共轭复根。因此根轨迹必然对称于实 轴。
二、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5
无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。 渐近线与实轴的交点： a
( p ) ( z ) 1 5 2
i i
nm
30
( 2k 1) 渐近线与实轴的倾角： 60 ,180 nm 180
闭环特征方程式为： 1 G( s ) H ( s ) 0 凡是满足该方程的s值，就是系统的特征根， 或者说是根轨迹上的点。
所以该方程也称为根轨迹方程。
1 G( s ) H ( s ) 0
把上式改写为：
G ( s ) H ( s ) 1
G( s ) H ( s ) 为开环传递函数。
特征方程为： s 2 2 s 2 K 0 特征根为：
s1, 2 1 1 2 K
特征根为：
s1, 2 1 1 2 K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1
K 5
K 1 K 0 K 0.5
2
④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j
⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
第四章 根轨迹法
平面内满足幅角条件的所有s 在s 平面内满足幅角条件的所有 1 点，将这些点连成光 滑曲线，即是闭环系统根轨迹。反过来，如果 滑曲线，即是闭环系统根轨迹。反过来，如果s1是根轨 迹上的点，则与这一点对应的 按幅值条件确定。 迹上的点，则与这一点对应的Kg按幅值条件确定。
∏ s−z
i =1 n j =1
∏ s−z
根轨迹的幅值方程： 根轨迹的幅值方程：
i =1 n j =1
m
i
∏ s− p
1 = Kg
j
∏ ( s − zi )
根轨迹的幅角方程： 根轨迹的幅角方程：
m i =1
m
m
∏ (s − p j )
j =1
i =1 n
=∓
1 Kg
“-” 号 ， 对 应 负 反 馈 “+”号对应正反馈 号对应正反馈
(2) 0 < Kg< 1 ：s1 ，s2 均是 负实数。 负实数。 Kg↑ →s1↓ ，s2 ↑。 s1从坐标原点开始沿负实轴 向左移动； 向左移动； s2从（−2，j0） ， ） 点开始沿负实轴向右移动。 点开始沿负实轴向右移动。 (3) Kg= 1： s1 = s2 = −1，重根。 ： ，重根。 (4) Kg >1： s1, 2 = −1 ± j K g − 1 ：
一定要写 成零极点 表达式
式中， 为系统的开环比例系数 为系统的开环比例系数。 式中，K为系统的开环比例系数。 Kg = 2K 称为系统的开 根轨迹增益。 环根轨迹增益。 Kg 系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： Φ( s ) = 2 s + 2s + K g
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + Kg = 0 系统的闭环特征方程为 可求得闭环特征根为： 可求得闭环特征根为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于根轨迹的系统设计
设计常识 设计基本思路 校正环节设计
一些设计常识
设计特点 零极点分布与系统性能 校正简介 基本设计方法类型
系统设计如同文章写作：练兵千日
• 模仿：多学习典型案例
惯用方法：简单的有PID控制或滞后-超前校正等 常用套路：使用闭环、近似为一、二阶系统等
• 创新：熟能生巧
闭环零极点分与阶跃响应的定性关系
常用性能指标与设计方法
1.稳态性能指标： Kp、 Kv、 Ka 动态性能指标：
时域指标： 复域指标： 2.设计方法：
σ % 、 ts、 tp
n、
频率响应法
状态空间法
根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点,若 原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装置, 利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导极 点。
4) 对ζ和ωn适当修正。
考虑到其它极点零点的影响, 留有 余地。
目标系统根轨迹必须穿过主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
第三步：当前系统目标系统
改造当前系统，使其根轨迹穿过标出的主导极点， 且其余零极点远离主导极点。
可能的改造方案（简单复杂）：
引入负反馈，仅调节开环放大系数。
若单纯调整放大系数无效，考虑增加合适的校 正环节。常用且简单有效的方法有：
4.主导极点：离虚轴最近的闭环极点对系统的动态 过程性能影响最大,称主导极点。 非主导极点：模比>5,且附近又无闭环零点,则其 它极点对动态性能影响可以忽略。
此时，系统可近似处理为共轭主导极点构成的二阶 系统或实数主导极点构成的一阶系统;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
5.闭环零点可削弱或抵削其附近闭环极点的作用。 非常接近的一对零极点称为一对偶极子,偶极子越 靠近,零点对极点的抵消作用越强。人为地引入适 当零点,以抵消对动态过程有明显坏影响的极点,可 提高系统的性能指标。
j1
j1
s3 (01 4)(0.4j0.69 0.4j0.69) 4.2,
ωn 0.402 0.692 0.80,
α s3 / s1,2 4.20/0.80 5.25
σ% eζ π / 1ζ2 e0 . 53 . 1 4 / 10 . 52 16.3%
ts
3 ζωn
3 0.5 0.80
基于根轨迹的系统设计思路
设计的一般思路
1. 存在问题及目标性能；
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设
2. 目标性能目标系统； 3. 当前系统目标系统。
定值附近不断振荡，长时间
无法收敛。
建模，并了解系统存在问题（性能指标）
第一步：提出要求（目标性能）
第一步：给出性能指标要求和初定设计方法
根轨迹法的本质
根轨迹法只是一种估计高阶多项式方程根的方法。
1 Kg
N(s) D(s)
0
分析下述系统中， 改变时系统动态特性的变化。
即求 改变时，方程 s(5s 1) 5(1s) 0 根的变化情况。
根轨迹法的本质
1
τ
5s2
5s s
5
0,
即1
τ
s2
s 0.2s
1
0
p1' ,2 0.1 j0.995,z1' 0 τ由0 的参量根轨迹如图417.
系统分析、设计与校正简介
系统分析：建模，结构、参数系统动静态性能
系统设计：根据要求设计控制系统或、改造原系统。
固有系统:最基本的控制系统,其中除放大器的放大系 数可调外,其余参数在设计过程中往往不变,故又称为 不可变部分。
校正装置:为提高固有系统性能，在系统原有结构基础 上引入新的附加环节，以同时改善系统稳态性能和动 态性能。
稳定性、稳定裕度、快速性、平稳性、准确性
P299当性能指标以 时域量（超调量、调 节时间等或阻尼系数、 无阻尼振荡圆频率等） 给出时，采用根轨迹 法进行串联校正设计 比较方便。
第二步：目标性能目标系统
第二步：性能指标要求转化为根轨迹要求，
即时域性能指标转换为一对期望闭环主导极点位
置。
结构：假设系统的性能主要决定于某对极点，尤其 是共轭极点（P299），即近似为二阶系统。
PD、PI、PID控制； 超前、滞后、滞后-超前校正/补偿环节 如何理解PID和滞后-超前等校正环节的作用？
第三步：反馈，调节放大系数
性能要求较易实现
闭环，调节放大系数
-例1，P172
例
4-
2 2:
G
(
s
)
s
(
s
1
)
K ( 0 . 2 5 s
1
目标：超调量 ) 调节时间 8s
16％
•目标系统=0.5；目标主导极点满足 =arccos0.5=60
7.5(s)
满足要求！
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
对应的根轨迹增益Kg为：
Kg s3 p1 s3 p2 s3 p3 4.2 0 4.21 4.2 4
参数：将超调量、调节时间等阻尼系数、无阻尼 振荡圆频率等
主导极点位置： 阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等
第二步：目标性能目标系统
1）确定阻尼角 2) 确定ωn值; 3) 标出主导极点;
σ% eζπ/ 1ζ 2 ζ β arccosζ
ts
3 ζωn
ωn
s1,2 ζωn jωn 1 ζ 2
根轨迹法可简化系统性能分析
•基本思路： 1）系统零极点分布决定系统性能。 2）求系统零极点分布。 分析方法： 1）估计结构图中各传函为何种元件（对象？校正？） 2）去掉或改变一些校正环节、或改变放大系数，估计
系统性能的变化。
正反馈回路的根轨迹
• 绘制法则的变化：
设计引言
当速度设定值改变或负载变 化，蒸气机速度可能会在设 定值附近不断振荡，长时间 无法收敛。
•不加反馈时，当前系统G(s)不满足该条件。
•尝试引入单位反馈，并调节放大系数。 思考： 如何判断是否能实现当前系统目标系统？
闭环，调节放大系数
-例1 ，P172
ts
3
ζωn
ωn
3 ζt s
3 0.5 * 8
0.75
n
n
从图读出： s1,2 0.4j0.69;
根据 ( sj) (pj)
1.稳定性：要求系统稳定,则全部闭环极点应在左 半s平面;系统稳定与闭环零点的位置无关;
2.快速性：要求系统的快速性好,则闭环极点应远 离虚轴,以便使阶跃响应中每个分量都衰减得更 快;
3.工程最佳参数：要求系统的平稳性好,则闭环共 轭复数极点应位于β=45°的等阻尼线上,对应 ζ=0.707;
闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系