第5章角动量关于对称性

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角动量.关于对称性第五章

依据角动量定理：，
在O-X轴上的投影：，
当角很小时，即单摆的动力学方程。
2 光滑水平面上的弹簧经度系数为k，其一端连结质量为M的木块，另一端固定在O‘点，质量为m的子弹以速度沿水平方向垂直弹簧的方向射向木块并嵌入其中。弹簧原长为
再以m2为研究对象，在质心坐标系（惯性系）中，它受细绳拉力绕质心作圆周运动，由质点组动量定理得：得：质心的速度
m2相对质心的速度大小为：
所以细绳的拉力为：
因细绳质量不计，所以细绳中的张力处处相等，大小均为F。
2．质点系对参考点的角动量定理：外
3．质点系对参考点的角动量守恒定律：若外=0，则恒矢量
4．质点系对轴的角动量：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
：面对z轴观察从沿逆时针转到的角
5．质点系对轴的角动量定理：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
设和间的夹角为，则： --------------（2）
《m,M》由A到B过程中，仅内部保守力作功，系统的机械能守恒，以弹簧自由伸展状态为弹性势能的零点，则： -------------（3）
解（1）、（2）和（3）得：
3质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，弹簧的经度系数为k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度
解：根据质心定义求得m1与m2的质心距m2的距离为：
C
m1
m22
x
y
V0
在水平面上（惯性系）上以释放瞬间质心C的位置为原点，建立坐标系C-xyz，Cz轴垂直纸面向上。

角动量及其规律

强调：讨论力矩时，要说明是对哪个点或对哪个轴的力矩。
10
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M F r sin ( r , F ) F r sin
T
| M z | F1 r1 sin
o
F
力矩 o'点 o点
拉力T
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p 1 p 2 r1 p 1 r2 p 1 r1 p 2 r2 p 2
L z r1 p1 r2 p1 r1 p 2 r2 p 2
若 M z 0 ，则 L z 常量
即：作用于质点的诸力对轴的力矩和为零时，质点对该轴的角动量不变。
14
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒，虽然大小不变，但方向总在变化。
i i i i i
d
dLz dt
22
例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从伸开到收回的过程中，人对转轴的角动量守恒： m i v i ri m i ri 2 C

第五章：角动量、关于对称生 - 欢迎访问百色学院网站学校

第五章：角动量、关于对称生我们将在本章，讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量，即角动量，认识这一概念，它的变化规律和它的守恒，动量和能量不能反映运动的全部特点。

本章介绍经电动力学的适用范围，第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。

§5.1 质点的角动量一、质点的角动量开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行，开普勒三个定律如下：1.第一定律；行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处，如图（5-1.1）所示。

2.第二定律；在航行运动时，联结行星和太阳的线，在相等时间内永远扫出同样大小的面积，图（5-1.2）。

3.第三定律：行星公转周期（公转一次的时间）T 的平方与它们的轨道长半轴a 的立方成正比，即 23112322T a T a =；将行星视为质点分别用r v 和u v表示行星的位置失量和速度。

dtu v 表示质点在时间dt 内的位移dt 内位置矢量扫过面积的大小可用2dtr u ´v v 表示，掠面速度大小则等于2r u ´v v ，2r u´v v 的方向恰与纸面垂直，它的方向不变正可用来表示轨道在一平面内，于是称矢量。

2r u´vv 为掠面速度上述行星的运动规律可写作， 2r u´v v =恒矢量。

它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。

图（5-1.3）所示。

质点A 的质量为 m, 速度 u v 位置矢量r v ，质点A 的矢径r v与质点动量P m u =u v v 的矢积称为质点（矢量乘积）A 对O 点的动量矩，用l v 表示L Pm g g u =? u v u v u v u v v ；图(5-1.4)上，矢量L u v 垂直与由g u v组成的平面矢量L u v 的大小为sin sin L p m g a ug a ==a 为矢量g u v 的正方向和矢量p u v 的正方向之间的夹角，角动量的大单位为2./kg m s .量纳为[]21L L MT-=，图（5-1.5）所示。

第5章角动量关于对称性

对质点，合力对某一参考点的力矩等于各分力
对同一参考点力矩的矢量和，如本题. 对O点
π M T rO FT sin （ ) 2 mg mg rO cos mgr cos M 合 rO F sinπ 0 M合 rO F M合 M重 MT
若
Mi外z 0
Lz ri mi vi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Lz ri m i v i m i ri i
2
讨论
若Lz 不变，ri ，i
ri ，i
例如茹可夫斯基凳，花样滑冰等.
实例分析
[例题]装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相
§5.1.4质点对轴的角动量定理和守恒定律
1. 质点对轴的角动量定理质点对参考点O的角动量
dL M dt
过参考点O建立坐标轴，则上式在 z 轴上的投影为
dLz Mz dt
称质点对 z 轴的角动量定理的微分形式.
z
2. 力对轴的力矩
F
F2
F1
如图所示：作平面与z轴垂直
F F1 F2
§5.2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2.1 质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2 质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量对参考点
L Li ri pi ri mi vi
z
F2
力矩在 z 轴上的投影为
F
F1
r2

角动量与对称性

讨论张力和重力的力矩
三、力对点的力矩与对轴的力矩之间的关系
质点对点的角动量定理及其守恒定律
作用在质点上的合外力对参考点的力矩等于
此为角动量定理的积分形式（也称冲量矩定理）
质点对某轴的角动量对时间的变化率等
平面内的分量亦即质点角动量与Z轴存在一个夹角，我们可将其在
质点系对轴的角动量定理及其守恒定律我们考虑几个质点均分别在与Z轴垂直平面内运动，
考虑到前面已经证明成对出现的内力对参考点力
)
5.2.5轴的角动量对时间的变化率等于质点
轴的力矩之和始终为
在质心参照系中观察，各质点除受常力外，尚有惯性力
当运动速度远小于光速时，经典力学适用。

可将经典在经典力学中，物质的粒子性、波动性截然分开，量子力学以为在一些条件下粒子性是主要的，在另一些
当表征质点（粒子）的某些量（如角动量）远远大于普朗克常量时，可以用经典力
）相比时经典力学要让位于量子力学；
在量子力学中，粒子的能量、角动量均取分立值（经典力学中取连续值），速度与坐标不能同时确定。

角动量关于对称性物理力学答案

第五章角动量关于对称性思考题解答5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:(1) 一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。

(2) 质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩的作用。

(3) 力1F 与z 轴平行，所以力矩为零；力2F与z 轴垂直，所以力矩不为零。

(4) 小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上。

垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。

所以，力矩是产生角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。

(5) 作匀速圆周运动的质点，其质量m ，速率v 及圆周半径r 都是常量。

虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。

答：（1）不正确. 因为计算力矩, 必须明确对哪个参考点. 否则没有意义. 作用于质点的合力可以由加速度确定. 但没有明确参考点时, 谈力矩是没有意义的.（2）不正确. 质点作圆周运动时, 有两种情况: 一种是匀速圆周运动, 它所受合力通过圆心; 另一种是变速圆周运动, 它所受的合力一般不通过圆心. 若对圆心求力矩, 则前者为零, 后者不为零.质点作直线运动, 作用于质点的合力必沿直线. 若对直线上一点求力矩, 必为零; 对线外一点求力矩则不为零.（3）不正确. 该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩. 力与轴平行, 力对轴上某点的力矩一般不为零, 对轴的力矩则必为零.力与轴垂直, 一般力对轴的力矩不为零, 但力的作用线与轴相交, 对轴力矩应为零（4）不正确. 因为一个物体在不受力的情况下, 保持静止或匀速直线运动状态, 它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩. 根据角动量定理, 力矩为物体对同一点角动量变化的原因. 力矩的方向与角动量变化的方向相同, 而与角动量的方向一定不相同.（5）不正确. 因为作匀速圆周运动的质点, 所受合力通过圆心, 对圆心的力矩为零，对圆心的角动量守恒，但对其他点，力矩不为零，角动量不守恒。

第五章角动量对称性

O
v10 m1 m2
思考

举出质点系的动量守恒而角动量不守恒的一个例子。
用一轻质杆连接的等质量的两个小球放在粗糙的水平桌面上，原本静止，然后使这一系统绕杆的中点O点转动起来。在由转动到最终静止的过程中，两小球构成的质点系动量守恒，对O点的角动量不守恒。

O
例题 3
在图示装置中，盘与重物的质量均为m，胶泥的质量为 m’, 原来重物与盘静止，让胶泥从h 高处自由落下，求胶泥粘到盘上后盘获得的初速度（滑轮与绳质量不计，不计轴承摩擦及绳的伸长）。 ⊙ 解：在胶泥与盘的碰撞过程中， O轴正方向把盘、重物、胶泥视为质点系，绳的拉力、盘与重物所受的重 O 力对O轴的力矩之和始终为零，质点系所受外力对O轴的力矩 m' 之和就等于胶泥所受重力矩。 m v2 h v
力矩…

力对轴的力矩力 F 对轴z 的力矩 z 为（轴z过参考点O) ：
z ( ) Z (r F ) z r1 r2 F1 F2

z
z r1 F1

z
r1 F1 sin
z
F2
质点系的角动量…

质点系对轴的角动量定理
质点系对于z 轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对z 轴的力矩之和。

i外z
dLz dt
质点系对轴的角动量守恒定律
若质点系所受一切外力对轴z 的力矩之和始终为零，则质点系对z 轴的角动量保持不变。

i外z
0 时, Lz = 恒量
角动量是经典力学中最基本的概念之一;
角动量是经典力学中最重要的概念之一；

第5章-角动量角动量守恒定律

(2) 角动量 L r mv
MA 大小； M A mgd 1 MB MA MC 0
{
g
d2
B
d3
C
LA 0 方向：垂直图平面向里， LB 大小； LB mvd3
{
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
LC LB
例3、质量 m0 的质点固定不动，在它的万有引力的作用下，质量 m 的质点作半径为 R的圆轨道运动。取圆周上 P 点为参考点，如图所示，试求：①质点 m在图中点1处所受的力矩 M 1 和质点的角动量 m在图中点2处 L1 ；②质点所受的力矩 M 2和质点的角动量 L2 。解
（2）卫星和地球视为系统，由角动量守恒，得
v 2ab 8.1 103 m / s r1mv1 r2 mv2 1 Tr1 dS 2ab 3 T ab v 6 . 3 10 m/s 2 dt Tr2
例8
一轻绳跨过轻定滑轮，一猴子抓住绳的一端，滑轮另一侧的绳子则挂一质量与猴子相等的重物。若猴子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升的速度。 (复习题一、三. 19) v2 。解设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
将质点的角动量对时间求导
3. 角动量守恒定律对某一固定点 o，若质点所受的合力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 dL 即 M 0, 则 M 0 L 常矢量
dt
对于质点系，若系统所受的合外力矩为零，则系统角动量的矢量和守恒。
即 M 外 0,
则
dL M外 0 dt
与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运动过程中弹簧可达的最大长度 b 2a ，试求两球初速度大小v0 。

大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

直
r于和p组
成
的
平
L
面o，
服从右手定则。
x
r r m
p
p
y
物理意义：
设m作直线运动
以o为参考点：L 0
o
r
mp
p
or
以 o为参考L 点 0 ：
若 r、 p大小相同 p，， L 则：
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
0
2m R34rdr5 2m2R
教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。
质点角动量的时间变化率等于
质点所受合力的力矩
rm
o
d
二、力矩
1. 对参考点的力矩： M rF
大小 F d ： Fsrin
方向垂：直 r 和 F 组于成,服的从平右面手
2. 对轴的力矩
z
F
Mz
oFd
r
F//
m
MorFr(F//F)
rF// rF 第一项 M1rF//
角动量定理的微分形式和积分形式，角动量守恒定律，难点：角动量概念，角动量定理及角动量守恒定律的应用
学时： 6
§5.1 角动量转动惯量一、角动量

第5章角动量

M z xFy yFx
Mz为力对 o 点的力矩在 z 轴方向的分量注意. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
Mo M1o M2o 矢量和
M z M1z M 2 z 代数和
8
课堂练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力 mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
dt
14
或由 M r F 直接计算力矩
r a costi b sintj dr v a sinti b costj dt dv a2 costi b2 sintj a dt
2 M r F mr a m r r 0!
方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡，不影响物体绕轴转动状态。
第二项：
M 2 r F
方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力对轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量： M z r F
7
即：
i j k Mo r F x y z Fx F y Fz i yFz zFy j zFx xFz k xFy yFx
M r F o
v r
F

所以小球对O 点的角动量守恒。
m vr m v0 r0
2 2
F
2
v r
r0 2 0 mr mr 0 0 r 思考: 拉力所做的功是多少?。
22
v0 r00
[例3] 卢瑟福粒子散射实验与有核模型。已知粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度 v0 射向一质量为 m ，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量垂直距离为d，称为瞄准距离。设 m m ，原子核可看作不动。试求粒子与重核的最近距离 rs。 v0

第五章角动量、关于对称性

第五章角动量、关于对称性到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。

在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。

并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。

本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。

内容：§5、1 质点的角动量 §5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。

所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。

§5、1 质点的角动量一、质点的角动量我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。

但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。

以有心力为例，天文观测表明：地球相对太阳的运动||||v v ⎧⎪⎨⎪⎩近远大小这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。

特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。

这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是不可缺少的主要物理量之一。

因此，我们通过对几种运动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。

1、行星运动问题（开普勒问题）行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。

dt 时间内：位矢扫过的面积为：|/2|dSr vdt =⨯掠面速度：大小： |/2|dSr v dt=⨯（单位时间内位矢r 扫过的面积）方向：v =r ⊥和v 所构成的平面，符合右手螺旋关系天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：/2r v ⨯=恒矢量（与行星有关）vdt r vv vr/2r v ⨯v(),()r r t v v t ==讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。

（由r v 和所构成） ②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。

2、如图所示：橡皮筋一端固定于O 处，另一端与滑物块相系。

第5章角动量关于对称性gai

绝对动能=质心动能+相对动能
质点系的动量等于质心的动量
第五章角动量关于对称性
♥ 两体碰撞问题
研究两质点相对质心系的动能用u表示m1相对于m2的速度，即
vc ) v1 v2 u v1 v2 (v1 vc ) (v2 乘以m1 m1u m1v1 m1v2
力场中运动，其中t是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度
为零。求t=2时该质点所受的对原点的角动量和力矩。解：据质点动量定理的微分形式，
dv F m dt
(m 1)
ˆ (12t 6) ˆ dv [(3t 2 4t )i j]dt
v 0 dv r 0 dr
第五章角动量关于对称性
♥ 克尼希定理
质心系中第i个质点mi
相对基本参考系 v i ，相对质心系vi
Ek
质点系相对基本参考系总动能
设质心速度vc vi vc vi 2 1 1 2 2 Ek m （ v v ） m （ v v 2 v c i c i i i c v） i 2 i 2 i
m m1 m2 m1m2 m1 m2
u 为二质点相对速率
第五章角动量关于对称性
在研究物体的运动时，人们经常可以遇到质点
或质点系绕某一确定点或轴线运动的情况，并且在
这类运动中也存在着某些共同的重要规律。
(1) 行星绕太阳公转时，掠面速度守恒 v 1 1 r dr r v dt ds r 2 2 dt dt dt O 1 dr v dt r r v 常量 2 r v / 2 常矢量（方向垂直纸面向外）

第五章角动量关于对称性

第五章角动量关于对称性若∑=ii F 0外时，动量守恒动量、能量不能反映运动的全部特点若∑∑==00内非外A ，A时，机械能守恒不能解决所有问题—→引入角动量—→新守恒量—→角动量——与转动相联系的物理量，角动量守恒；宏观，微观领域均有重要应用。

（当然有不同内涵）对称性：20世纪以来物理研究的重要方法与内容，与守恒定律密切相关，本章予以介绍§5.1 质点的角动量一、质点的角动量 1．行星的掠面速度以太阳中心为参考系，建立日心恒星坐标系，则行星可视为其坐标系中质点。

开普勒：1609年，发现了行星运动第二定律，即等面积定律：从太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

若以r v ,分别表示行星（视为质点）的速度和矢径，dt v表示dt 内的位移，利用矢积概念，dt 内矢径扫过面积大小为|,2/|dt v r ⨯掠面速度：大小|,2/|v r⨯2v r ⨯的方向：右手螺旋法则，它的方向不变，说明即轨道在一个平面内。

由开普勒定律：运动规律：2vr ⨯=恒矢量结论： ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变，即：与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。

2．水平面上一端固定的橡皮筋，其另一端的小物体对固定点的掠面速度守恒运动规律：2vr ⨯=恒矢量结论： ①掠面速度大小不变②恒矢量、方向不变，即：与此矢量垂直的轨道平面总在一个平面上。

3．自由粒子．．．．的掠面速度为恒矢量:r 矢径速度v若t ∆相当，则：t v s ∆=∆相等因此，每个相等的时间t ∆内矢径r扫过面积为三角形面积，所有三角形底均为t v s ∆=∆，相等，高均为θsin r OH =相等。

所以扫过面积为t rv OH s ∆⋅=⋅∆θsin 2121相等，故：掠面速度 2vr⨯ 大小相等，方面不变为恒矢量2vr ⨯=恒矢量4．角动量：掠面速度各自保持不变分析：前面例中，保持掠面速度不变时，不同时刻，质点速度不同（大小、方向均不同），所以动能、动量均变化；例3中为自由粒子，v恒矢量，动量动能守恒，所以不能用动量，动能对其共性进行描述，⎪⎭⎫⎝⎛⨯2v r为几何量，面积大小，为此引入动量矩：角动量（矢量对某点可说矩）定义： p r v m r L⨯=⨯=为质点对参考点的角动量质点对于参考点的位矢与动量的矢积称为质点的参考点的角动量。

量子力学第五章对称性及守恒定律

第五章：对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２）此式遍乘2即得待证式。

［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１）今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值）（２）又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。

（１）证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２）证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５）将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

大学物理第5章角动量守恒定律

1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2）对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2

量子力学中的对称性和角动量

量子力学中的对称性和角动量§3.1 引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。

为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。

但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。

反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。

为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。

运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。

经典力学中，Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。

----守恒量。

{}{}0,H u ,=+∂∂=H u H u tu dt du 不显含时间，则和如--表示u 是一个运动常数。

量子力学中，运动方程为[]H F dtdFi ,=，其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。

Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。

§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义在经典物理中，转动后坐标的变化为()()p R p r R r ϕθϕθ,',,'==如果n 为z 轴，转动角为θ，则z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 100cos sin 0sin cos '''θθθθ 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ，将它绕空间n 轴（z 轴）转动一个角度θ，此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ，则()()()r r n R ',ψψθ=。

力学专第五章角动量关于对称性

12
即：质点系的内力矩的矢量和为零；另一种定性解
? ? r??
? Fi
?
r??
? F1
?
r??
? F2
?
?
?? ? ? r ? Fn ? r ?
? Fi
4
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
?? ? 由?则质点r?d的r???动?r?i量i?F定?Fm?i理i?v??可?r?r??知??：ddmr??dm?tddv?v?mti?v?F（??i r??r?是m?自dd参dv??t考m点v??指向质点的位置矢量）
0
? ? ? ? 得
0
0
? v?
t3 ? 2t 2
? i?
6t2 ? 6t
? j
同样由
? v
?
dr?
dt
t
?
0 时,
? r0
?
0
9
? ? 可以求得
? r
?
?? 1
t4
?
2 t3 ??i? ?
2t3 ? 3t 2
? j
?4 3 ?
??
t ? 2 时 F ? 4i ? 18 j
根据力矩和角动量的定义可得
? ? ?
M
?
? r?
? F
?
???
4? i?
4 ?j ???
?? 4i ? 18 j
?
? ? 40k (N.m)
?3
?
? ? ?
Jc
?
r? ?
mv?
?
??? ?
4 3
? i?
4
?j ???
12
? j
?
?
? ? 16k

漆安慎《力学》教案第05章角动量.关于对称性

两者是不同的. (1) 力矩是瞬态量，功是过程量; (2) 力矩与参考点的选择有关.
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第五章角动量·关于对称性
[例题补]求作用于圆锥摆质点m上的重力,拉力及合力对参考点O 和 O′的力矩.（摆长l .）
O
FT
m
O
F
mg
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第五章角动量·关于对称性
[解] 设: 质点m 相对圆锥摆悬点O´的矢径 rO' 且 rO l
一. 几个典型实例
例1. 开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量(以太阳中心为参考点)在相等的时间内扫过相等的面积.
扫过相等面积的大小为 r vdt / 2
v
单位时间内扫过的面积 r v / 2
r
称为掠面速度，写成矢量式为掠面速度 r v / 2 =常矢量
O
r vdt
方向垂直于 r 和 v 组成的平面
对O点的角动量
L O
b
L
大小: L (bsin)m v
方向: 向上,是常矢量. 对O´点的角动量
O
m
注意:为了突出参考点, 角动量的图示通常画在参考点上
大小: L bm v （b与v夹角为 π）
2
方向 : 垂直摆线向外,方向始终在变.
L所扫出的图案是：倒置的圆锥 ——不是常矢量!!!
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M重 rO mg
M重 r mg sin 90
mgr 方向
时刻变
MT rO FT
大小 MT = r FTsin（π2
方向
O
FT
m
O
F
mg
时刻变
M合 rO F
大小 M合 r F sin 0 这是张力和重力的力矩之和

05角动量及其规律

ˆ 方向相同， ˆ 方向相反，方向：方向：若与 k 方向相同，则 Lz > 0 ；若与 k 方向相反，则 Lz < 0
5
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为，练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速率为v，求圆锥摆对点点速率为，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量轴的角动量 • 在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或在讨论质点的角动量时，那个轴的角动量
12
例2：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演：应用角动量守恒解释花样滑冰、员的旋转现象。员的旋转现象。
可用茹可夫斯基凳的实验现象说明: 可用茹可夫斯基凳的实验现象说明重力对转轴的力矩为零，重力对转轴的力矩为零，人两臂从伸开到收回的过程中，伸开到收回的过程中，人对转轴的 2 角动量守恒：角动量守恒： mi vi ri = ω ∑ mi ri = C ∑ ri变小，ω增大；ri增大，ω变小变小，增大增大；增大，变小
= ( ri − r j ) × f ij = rij × f ij = 0 ∴ ∑ τ 内 = 0
ri
o
rj
10
㈡结论
⒈质点系对点的角动量定理
作用于质点系的外力对某点的力矩之和，作用于质点系的外力对某点的力矩之和，等于质点系对 d 该点的角动量对时间的变化率，该点的角动量对时间的变化率，即 ∑ τ 外 = dt ( ∑ L)
解：把盘、重物、胶泥视为质点系，在胶泥与把盘、重物、胶泥视为质点系，盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘与重物所受的重力对o轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力，所以轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力，轴的力矩之和始终为零质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒质点系在碰撞过程中对轴的角动量守恒胶泥碰前速度 v0 = 2 gh ，设碰撞后质点系获得的共同速度为v 同速度为，据角动量守恒 m' 2 gh R = (m'+ m)vR + mvR m' 2 gh 即 m' 2 gh = ( m'+2m )v* ∴ v = m'+2m 讨论：质点系动量是否守恒？讨论：质点系动量是否守恒？方程*并不表示动量守恒若动量守恒，应写成：并不表示动量守恒，方程并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成： m' 2 gh = ( m + m' )v − mv = m' v , v = 2 gh = v 0

第5章 角动量 关于对称性

角动量.关于对称性第五章

角动量及其规律

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第5章角动量关于对称性

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角动量关于对称性物理力学答案

第五章角动量 对称性

第5章-角动量角动量守恒定律

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