重庆市南开中学高一数学上学期期末试卷(含解析)

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2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设函数y =√x −1的定义域为M ，集合N ={y|y =x 2,x ∈R}，则M ∩N =( )A. ⌀B. NC. (1,+∞)D. M2.已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x +1x ∈[−52,−2]，则下列说法正确的是( )A. p 是q 的充要条件B. p 是q 的充分不必要条件C. p 是q 的必要不充分条件D. p 是q 的既不充分也不必要条件3.设f 0(x)=|x|−10，f n (x)=|f n−1(x)|−1(n ∈N ∗)，则函数y =f 20(x)的零点个数为( )A. 19B. 20C. 31D. 224.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A. 120B. 150C. 180D. 2405.设，，，则的大小关系是( )A.B. C.D.6.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象( )A. 关于直线x =π8对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π16对称D. 关于点(−π16,0)对称7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx 是定义在[a −1,2a]上的奇函数，则a +b =( )A. −13B. 13C. 12D. −128.下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cosA <cosB 的充要条件B. 已知p ：1x+1>0，则¬p ：1x+1≤0C. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sinx +cosx =π2成立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有()A. f(x)为偶函数B. f(x)为增函数C. 若x>1，则f(x)>1D. 若x1>x2>0，则f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)210.函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，那么()A. f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值B. f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值C. f(x)的图象关于直线x=1对称D. ∃a=2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数11.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是()A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点C. f(x)在(0,π2)单调递增D. ω的取值范围是[136,19 6)12.关于函数f(x)=|ln|2−x||，下列描述正确的有()A. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称C. 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4D. 方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为______ ．14.设x，y∈R+，且满足4x+y=40，则lgx+lgy的最大值是______ ．15.若x=π6是函数f(x)=3sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f(x)的最大值是______．16.若对任意的x∈[1,4]，关于x的不等式|x2−ax+4|≤2x恒成立，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．18.2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210−2x+90．(1)当x=40时，求该产品每吨的生产成本；(2)若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．19.计算：(1)12lg2+√(lg√2)2−lg2+1−3√a9⋅√a−3÷3√a13√a7，其中a>0(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)20.计算或解答(12分)(1)计算：(2)求的值域21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(π3,5π6)时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)={−x 3+x2(x>1)alnx(x≤1)．(1)求f(x)在[−1,e](e为自然对数的底数)上的最大值；(2)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查集合的交集的运算，注意运用函数的定义域的求法和值域的求法，考查运算能力，属于基础题．运用函数的定义域的求法和值域的求法，化简集合M，N，再由交集的定义即可得到所求集合．解：函数y=√x−1的定义域为M，可得M={x|x−1≥0}={x|x≥1}，集合N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，则M∩N=[1,+∞)=M，故选D．2.答案：B解析：解：∵命题p：14≤2 x≤12，∴命题P：−2≤x≤−1，∵命题q：x+1x ∈[−52,−2]，∴−2≤x≤−12，∴p是q的充分不必要条件，故选B．由题设知：命题p：−2≤x≤−1，命题q：−2≤x≤−12，由此得到p是q的充分不必要条件，本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：C解析：解：依题意，令f0(x)=0，则|x|−10=0，∴x有2个解±10；当f1(x)=0时，即|f0(x)|−1=0，∴|x|−10=±1，即x有4个解：±9、±11；当f2(x)=0时，即|f1(x)|−1=0，∴|f0(x)|−1=±1，即|x|−10=0、±2，∴x有6个解：±8、±10、±12；…当f9(x)=0时，x有20个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；当f10(x)=0时，x有21个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；当f11(x)=0时，x有22个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；当f12(x)=0时，x有23个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；∴当0≤n≤9时，y=f n(x)=0时的解的个数为2(n+1)=2n+2个，当n≥10时，y=f n(x)=0时的解的个数为21+(n−10)=11+n个，∴函数y=f20(x)的零点个数为11+20=31个．附：y=f20(x)=0，即f20(x)=|f19(x)|−1=0，即f19(x)=|f18(x)|−1=±1，即f18(x)=|f17(x)|−1=0、2，即f17(x)=|f16(x)|−1=±1、3，即f16(x)=|f15(x)|−1=0、2、4，即f15(x)=|f14(x)|−1=±1、3、5，即f14(x)=|f13(x)|−1=0、2、4、6，即f13(x)=|f12(x)|−1=±1、3、5、7，即f12(x)=|f11(x)|−1=0、2、4、6、8，即f11(x)=|f10(x)|−1=±1、3、5、7、9，即f10(x)=|f9(x)|−1=0、2、4、6、8、10，即f9(x)=|f8(x)|−1=±1、3、5、7、9、11，即f8(x)=|f7(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12，即f7(x)=|f6(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13，即f6(x)=|f5(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14，即f5(x)=|f4(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15，即f4(x)=|f3(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，即f3(x)=|f2(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，即f2(x)=|f1(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，即f1(x)=|f0(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，即f0(x)=|x|−10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，解得：x =0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，∴函数y =f 20(x)的零点个数为31个，故选：C ．令f n (x)=|f n−1(x)|−1=0，则|f n−1(x)|=1，问题转化为方程|f n−1(x)|=1的根的个数，找出规律：当0≤n ≤9时y =f n (x)=0时的解的个数为2(n +1)=2n +2个、当n ≥10时y =f n (x)=0时的解的个数为21+(n −10)=11+n 个，进而可得结论．本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．4.答案：C解析：解析：本题考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识．设圆锥底面半径为母线长为侧面展开图扇形的圆心角为；根据条件得，即根据扇形面积公式得故选C5.答案：D解析：试题分析：由对数函数的性质知：，所以答案选．考点：1.指数大小比较；2.对数函数的性质．6.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到g(x)=sin(2x +3π4+φ)的图象，由于函数g(x)的图象关于y 轴对称，且|φ|<π2)，所以φ=−π4．故f(x)=sin(2x −π4).当x =π8时，f(π8)=0，故A 错误，B 正确；当x =−π16时，f(−π16)=sin(−3π8)≠1，故C 、D 错误．故选：B ．直接利用函数的平移变换求出函数f(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题，7.答案：B解析：根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a值，进而根据奇函数满足f(−x)=−f(x)，可求出b值，进而得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中熟练掌握奇函数的定义域关于原点对称，满足f(−x)=−f(x)，是解答的关键．解：∵奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的定义域[a−1,2a]关于原点对称，故a−1+2a=0，，解得：a=13又∵奇函数满足f(−x)=−f(x)，即−ax3+bx2−cx=−(ax3+bx2+cx)=−ax3−bx2−cx，∴b=0，∴a+b=1，3故选：B8.答案：A解析：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否定．选项A因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈(0,π)，在(0,π)上，y=cosx是减函数．由此知△ABC 中，“A>B”⇔“cosA<cosB”，即可得答案；选项B，根据命题的否定求解可知不正确；选项C，根据命题“对任意的x∈R，x2+x+1>0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．>√2，从而可得结论．选项D，sinx+cosx的最大值为√2，而π2解：对于A，在△ABC中，a>b⇔A>B⇔cosA<cosB，可得a>b是cosA<cosB的充要条件，A正确．对于B，p：x>−1，则¬p：x≤−1，而11+x≤0的解集是x<−1，B不正确；对于C，命题p：对任意的x∈R，x2+x+1>0，则¬p：存在x∈R，x2+x+1≤0，C不正确；对于D，sinx+cosx=√2sin(x+45°)最大值为√2，∵π2>√2，∴D不正确．故选：A．9.答案：BCD解析：本题考查幂函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于中档题．根据题意，将(9,3)代入函数的解析式，求出a的值，即可得函数的解析式，由此依次分析选项，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则3=9a，则a=12，则f(x)=x12=√x，据此分析选项：对于A，f(x)是非奇非偶函数，A错误，对于B，f(x)是增函数，B正确，对于C，若x>1，必有f(x)=√x>1，C正确，对于D，f(x)=√x，若x1>x2>0，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，等价于√x1+x22>√x1+√x22，等价于x1+x22>x1+x2+2√x1x24，等价于x1+x2>2√x1x2，成立，D正确．故选：BCD．10.答案：ACD解析：解：∵函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，∴f(x)=log a(1−x)在(0,1)上是减函数，而y=1−x是减函数，则a>1，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)=log a|x−1|=log a(x−1)，y=x−1是增函数，而a>1，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，f(2−x)=log a |2−x −1|=log a |x −1|=f(x)， ∴f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确；由a >1可知，∃a =2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数，故D 正确．故选：ACD ．先根据函数f(x)=log a |x −1|在(0,1)上是减函数，求出a 的范围，然后根据复合函数的单调性可知f(x)在(1,+∞)上的单调性和最值，从而判断选项A ，B ；计算f(2−x)=f(x)即可判断选项C ；由a 的取值范围即可判断选项D ．本题主要考查对数函数图象与性质，考查复合函数的单调性，属于中档题．11.答案：AD解析：解：画出大致图象如下图，当x =0时y =sin(−π6)=−12而ω>0，所以x >0时小区间递增，函数在[0,π]仅有3个零点时，则π的位置在C ～D 之间(包括C ，不包括D)，令f(x)=sin(ωx −π6)=0，则ωx −π6=kπ得，x =(π6+kπ)⋅1ω (k ∈z)，y 轴右侧第一个点横坐标为π6ω，周期T =2πω，所以π6ω+T ≤π<π6ω+32T ⇒π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω⇒136≤ω<196，所以D 正确．在[0,π]区间上，函数达到最大值和最小值，所以存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，所以A 正确，由大致图象得，可能有两个最大值，B 不一定正确；因为ω最小值为136，所以0<x <π2时，−π6<ωx −π6<11π12∉(−π2,π2)，所以x ∈(0,π2)，函数f(x)不单调递增，所以C 不正确．故选：AD ．T+|OA|]，再由题意根据在区间[0,π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|,32用ω表示周期，得ω的范围．本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的大致位置，进而解ω的)单调性．此题属于中难档题．范围，再判断区间(0,π212.答案：ABD解析：解：根据函数f(x)=|ln|2−x||，画出图象得：根据函数的图象，对于A：函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞)，故A正确；对于B：函数的图象关于x=2对称，故B正确；对于C：当y=m(m>0)，函数的图象有四个交点，满足x1+x2+x3+x4=4，但是x1+x2=4不一定存在，故C错误；对于D：根据函数的图象，方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根，即x=1或3，故D正确．故选：ABD．直接利用函数的图象和函数的性质，单调性，对称性和函数的零点和方程的根的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函授的单调性函数的图象和零点及方程的根，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2,√2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：2先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)本题考查求幂函数的解析式和函数值，要注意根式与指数幂的互化．属简单题14.答案：2解析：解：4x⋅y≤(4x+y2)2=400当且仅当4x=y=20时取“=”∴xy≤100，∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2．故答案为：2利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可．本题主要主要考查了对数的运算法则，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．．15.答案：2√213解析：解：∵f(x)=3sin2x+acos2x=√9+a2sin(2x+θ)(其中tanθ=a3)，又x=π6是函数的一条对称轴，∴2×π6+θ=π2+kπ，即θ=π6+kπ，k∈Z．由a=3tanθ=3tan(π6+kπ)=tanπ6=√33，得√9+a2=√9+13=2√213．∴函数f(x)的最大值是2√213．故答案为：2√213．根据条件化简f(x)，然后由已知求出θ得到a值，则函数的最值可求．本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题．16.答案：[3,6]解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了构造法与转化思想及函数思想，是中档题．去掉绝对值，不等式化为x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，求出f(x)的最大值；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，求出g(x)的最小值；从而得出实数a 的取值范围．解：不等式|x 2−ax +4|≤2x 化为−2x ≤x 2−ax +4≤2x ，即−x 2−2x −4≤−ax ≤−x 2+2x −4；由x ∈[1,4]，知−x <0，所以x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，则f(x)的最大值为f(4)=4+1−2=3；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，则g(x)的最小值为g(2)=2+2+2=6；所以实数a 的取值范围是3≤a ≤6．故答案为：[3,6]．17.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)， ∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526，即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35，∵α，β∈[0,π2]，∴cosα=1213，cosβ=45，则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665；(2)∵f(B 2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3，又a、b、c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理知12=a2+c2−b22ac=(a+c)2−3ac2ac=36−3ac2ac，即ac=9，则△ABC的面积S=12acsinB=9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B的度数，由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，利用余弦定理列出关系式，将cosB以及b2=ac代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，当x=40时，yx =4010+9040−2=4.25万元；(2)L=6x−(x210−2x+90)=−0.1(x−40)2+70，∴x=40万元时，最大利润为70万元．解析：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，x=40代入，即可求该产品每吨的生产成本；(2)利润是销售额减成本，利用配方法，即可求该厂2016年获得利润的最大值．本题考查了利润函数模型的应用，考查学生的计算能力，正确建立函数关系式是关键．19.答案：解：(1)原式=lg√2+√(lg√2−1)2−3a92a−32÷3a132a−72=lg√2+1−lg√2−√a33÷√a33=1−1=0．(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)=sin60°⋅cos30°+sin30°cos60°=√32⋅√32+12⋅12=1．解析：(1)利用对数、分数指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果．(2)由题意利用诱导公式求得所给式子的值．本题主要考查对数、分数指数幂的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．20.答案：(1)；(2)(−1,1)．解析：解：(1)原式=；(2)由，得，解得−1<y <1．故的值域为(−1,1)．21.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分，可得A =2，再根据34⋅2πω=5π12−(−π3)，∴ω=2．结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3，故f(x)=2sin(2x −π3).(2)当x ∈(π3,5π6)时，2x −π3∈(π3,4π3)，sin(2x −π3)∈(−√32,1]，f(x)=2sin(2x −π3)∈(−√3,2]，即f(x)的值域为(−√3,2]．解析：(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=f(x)={x 3+x 2(x <1)alnx(x ≤1)1当−1≤x <1时，f′(x)=−x(3x −2)，解f′(x)>0得0<x <23：解f′(x)<0得−1<x <0或23<x <1∴f(x)在(−1,0)和(23,1)上单减，在(0,23)上单增，从而f(x)在x =23处取得极大值f 23)=427又∵f(−1)=2，f(1)=0，∴f(x)在[−1,1)上的最大值为2．当1≤x ≤e 时，f(x)=alnx ，当a ≤0时，f(x)≤0；当a >0时，f(x)在[1,e]单调递增；∴f(x)在[1,e]上的最大值为a ．∴当a ≥2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为a ；当a <2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为2．(Ⅱ)假设曲线y =f(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设P(t,f(t))(t >0)，则Q(−t,t 3+t 2)，且t ≠1∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗) 是否存在P ，Q 等价于方程(∗)是否有解．①若0<t <1，则f(x)=−t 3+t 2，代入方程(∗)得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0，即：t 4−t 2+1=0，而此方程无实数解，②当t >1时，∴f(t)=alnt ，代入方程(∗)得：−t 2+alnt ⋅(t 3+t 2)=0，即：1a =(t +1)lnt设ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=lnx +1x +1>0在[1,+∞)恒成立．∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，从而ℎ(x)≥ℎ(1)=0，则ℎ(x)的值域为[0,+∞)．∴当a >0时，方1a =(t +1)lnt 有解，即方程(∗)有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线y =f(x)上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．解析：(I)由f(x)={−x 3+x 2,x <1alnx,x ≥1知，当−1≤x <1时，f′(x)=−3x 2+2x =−3x(x −23)，令f′(x)=0得x =0或x =23，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表知f(x)在[−1,1)上的最大值为2.当1≤x≤2时，f(x)=alnx.当a≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0；当a>0时，f(x)在[1,e]上单调递增．当a≤2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为2；当a>2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为a．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t,f(t))(t>0)，则Q(−t,t3+t2)，显然t≠1.由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．本题考查导数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．解答关键是利用导数求闭区间上函数的最值．。

2021-2022学年重庆市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

重庆市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．780°＝（）A．B．C．D．2．命题“∃x＞0，2x＜1”的否定是（）A．∃x＞0，2x≥1B．∀x＜0，2x≥1C．∀x＞0，2x≥1D．∃x＜0，2x＜13．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，3）4．“x＞0且y＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1〗B．〖1，3〗C．〖3，+∞）D．（﹣∞，1〗∪〖3，+∞）6．已知a＝20.3，b＝30.4，c＝log0.20.3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知AB＝CD ＝4，BC＝3，AD＝7，则该玉佩的面积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．函数的图象是由函数y＝sin x的图象经过变换得到，则这个变换可以是（）A．先将图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍B．先将图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍C．先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位D．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位10．已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B11．下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则c2ln a＞c2ln bB．若x＞0，则C．不等式的解集为〖，+∞）D．若a+b＝2，则2a+2b≥412．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（）A．sinαsinβ＜B．cosαcosβ≤C．sinα+sinβ＞1D．cosα+cosβ＜三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f（x）的图象如图所示，则f（x）＝.（写出一个正确结果即可）14．将函数f（x）的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则f（0）+f（2）＝．15．已知x＞0，y＞0，2xy＝x+y+4，则x+y的最小值为．16．设max函数f（x）＝max{21﹣x，4﹣|x﹣2|}，若关于x的方程f（x）＝t有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）求值：log427•log2+（）•4；（2）已知角α的终边经过点P（2，3），求cos（π﹣α）sin（π+α）+sin2α的值．18．（12分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求不等式在（0，π）上的解集．19．（12分）已知函数f（x）＝x++1（x＞0）．（1）若f（x）的最小值为5，求正实数a的值；（2）求证：“f（x）在（2，+∞）上单调递增”的充要条件是“a≤4”．20．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝log a（x2﹣x+a）的定义域为R．（1）求a的取值范围；（2）讨论关于x的不等式f（x）＞1+log a x的解集．21．（12分）如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是四弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径OA，OB上．（1）若四边形PMON为矩形，求其面积的最大值；（2）若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+9﹣a，a∈R．（1）若f（x）在〖0，1〗上的值域为〖4，6〗，求a的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0只有一个正整数解，求a的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D〖解析〗780°＝×π弧度＝弧度．故选：D．2．C〖解析〗命题是特称命题，则否定是∀x＞0，2x≥1．故选：C．3．A〖解析〗集合A＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．4．A〖解析〗①当x＞0且y＞0时，由基本不等式可得，当且仅当x＝y时取等号，∴充分性成立，②当x＝1且y＝0时，满足，但x＞0且y＞0不满足，∴必要性不成立，∴x＞0且y＞0是的充分不必要条件，故选：A．5．B〖解析〗当x≤1时，f（x）＝﹣x2+2ax﹣a的对称轴为x＝a，由递增可得，1≤a，当x＞1时，指数函数是增函数；由x∈R，f（x）递增，即有﹣1+2a﹣a≤2，解得a≤3．综上可得，a的范围是1≤a≤3．故选：B．6．D〖解析〗∵y＝log0.2x在（0，+∞）上是减函数，∴c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，又∵30.4＞30.3＞20.3＞1，∴b＞a＞1，∴b＞a＞c，故选：D．7．B〖解析〗∵，∴＝sin（2α﹣+）＝cos2（）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×（）2＝．故选：B．8．A〖解析〗如图所示，延长AB，DC交于点O，过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，则点E，F分别为BC，AD的中点，且OB＝OC，因为BC∥AD，所以＝，即＝＝，解得OB＝3＝OC＝BC，所以△OBC是边长为3的等边三角形，所以∠BOC＝，所以玉佩的面积S＝S扇形﹣S△OBC＝•∠BOC•OA2﹣BC•OE＝××72﹣×3×＝﹣．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AC〖解析〗先将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，故A正确；也可先将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得y＝sin2x的图象，再将图象向左平移个单位可得函数的图象，故C正确，故选：AC．10．ABC〖解析〗∵A，B为U的两个非空子集，A⊆∁U B，∴作出韦恩图如下：对于A，∃x∈U，x∉A且x∈B成立，故A正确；对于B，∀x∈A，x∉B一定成立，故B正确；对于C，∀x∈U，x∈A或x∈B，故C正确；对于D，∃x∈U，x∈A且x∈B不成立，故D错误．故选：ABC．11．BD〖解析〗A：当c＝0时，则c2ln a＝c2ln b，∴A错误，B：∵若x＞0，则x+≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，∴B正确，C：∵，∴x4﹣2x2﹣3≥0且x≠0，∴x2≥3或x2≤﹣1（舍去），∴x或x，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣〗∪〖，+∞），∴C错误，D：∵a+b＝2，则2a+2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴D正确，故选：BD．12．BD〖解析〗因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0＜α，β＜，令α＝β＝，则sinαsinβ＝×＝＞，故A错误；由α+β＞，得α＞﹣β，则0＜﹣β＜，因为0＜2β＜2π，所以0＜sin2β≤1，0＜sin2β≤，cosαcosβ＜sinβcosβ＝sin2β≤，故B正确；sinα+sinβ＞cosβ+sinβ＝cos（β+）．由0＜β＜得＜β+＜，所以﹣1＜cos（β+）＜1，故C错误；cosα+cosβ＜sinβ+cosβ＝sin（β+），因为1＜sin（β+）＜，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．x﹣2〖解析〗由图像可知，函数f（x）是偶函数，x≠0且α＜0，故幂函数的〖解析〗式可以为f（x）＝x﹣2，故〖答案〗为：x﹣2．14．﹣2〖解析〗由题意知f（x+1）+1＝g（x），∵g（x）为奇函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），即f（﹣x+1）+1＝﹣f（x+1）﹣1，得f（x+1）+f（1﹣x）＝﹣2，令x＝1，得f（2）+f（0）＝﹣2，故〖答案〗为：﹣2．15．4〖解析〗∵x＞0，y＞0，∴xy≤，∵2xy＝x+y+4，∴x+y+4≤，即（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，解得x+y≥4或x+y≤﹣2（舍去），即x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以x+y的最小值4，故〖答案〗为：4．16．（2，4）〖解析〗由题意知，令21﹣x＝4﹣|x﹣2|，解得x＝0，x＝x2，根据max{a，b}＝，得f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图所示，由方程f（x）﹣t＝0有3个不等的根，得函数y＝f（x）图象与直线y＝t有3个不同的交点，由图象可得，当2＜t＜4时函数y＝f（x）图象与直线y＝t有3个不同的交点，所以t的取值范围为2＜t＜4．故〖答案〗为：（2，4）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）log427•log2+（）•4＝•（﹣log32）+•＝log23•（﹣log32）+•32＝﹣+4＝．（2）因为角α的终边经过点P（2，3），所以sinα＝，cosα＝，所以cos（π﹣α）sin（π+α）+sin2α＝（﹣sinα）•（﹣sinα）+2sinαcosα＝sin2α+2sinαcosα＝+2××＝．18．解：（1）函数＝﹣sin2x＝﹣sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为〖kπ+，kπ+〗（k∈Z）．（2）由得，﹣sin（2x+）＞，即sin（2x+）＜0，又x∈（0，π），2x+∈（，），所以2x+∈（π，2π），即x∈（，），所以不等式在（0，π）上的解集为（，）．19．（1）解：∵x＞0，a＞0，∴f（x）＝x++1＝2+1，当且仅当x＝即x＝时，等号成立，∴2+1＝5，∴a＝4．（2）证明：先证充分性：若a≤4，①当a＜0时，f（x）＝x++1，∵y＝x在（2，+∞）上单调递增，y＝在（2，+∞）上也单调递增，∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，②当a＝0时，f（x）＝x+1，显然f（x）在（2，+∞）上单调递增，③当0＜a≤4时，f（x）＝x++1，由对勾函数的性质可知函数f（x）在（，+∞）上单调递增，∵0＜a≤4，∴0，∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，再证必要性：若f（x）在（2，+∞）上单调递增，①当a＜0时，f（x）＝x++1，∵y＝x在（2，+∞）上单调递增，y＝在（2，+∞）上也单调递增，∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴a＜0符合题意，②当a＝0时，f（x）＝x+1，显然f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴a＝0符合题意，③当a＞0时，f（x）＝x++1，由对勾函数的性质可知函数f（x）在（，+∞）上单调递增，∴，∴0＜a≤4，综上所述，a的取值范围为{a|a≤4}，∴“f（x）在（2，+∞）上单调递增”的充要条件是“a≤4”．20．解：（1）∵a＞0且a≠1，函数f（x）＝log a（x2﹣x+a）的定义域为R，∴∀x∈R，x2﹣x+a＞0成立，∴Δ＝1﹣4a＜0，解得a＞，∵a＞0且a≠1，∴或a＞1，∴a的取值范围是（，1）∪（1，+∞）．（2）由（1）知，或a＞1，不等式f（x）＞1+log a x⇔，当时，函数y＝log a x在（0，+∞）上单调递减；∴0＜x2﹣x+a＜ax，∴（x﹣1）（x﹣a）＜0，解得a＜x＜1，当a＞1时，函数y＝log a x在（0，+∞）上单调递增，∴x2﹣x+a＞ax＞0，∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，且x＞0，解得0＜x＜1或x＞a．综上，当时，不等式的解集为（a，1），当a＞1时，不等式的解集为（0，1）∪（a，+∞）．21．解：（1）设∠POA＝α，则PM＝ON＝4sinα，PN＝OM＝4cosα，所以S PMON＝OM×ON＝16sinαcosα＝8sin2α（0＜α＜），当2α＝，即α＝时，S PMON有最大值，最大值为8；（2）由（1）知S△PMA＝×MA×PM＝（4﹣4cosα）×4sinα＝8sinα（1﹣cosα），S△PNB＝×PN×BN＝（4﹣4sinα）×4cosα＝8cosα（1﹣sinα），∴S△PMA+S△PNB＝8cosα（1﹣sinα）+8sinα（1﹣cosα）＝8（sinα+cosα﹣2sinαcosα），令t＝sinα+cosα＝sin（α+）∈（1，〗，则2sinαcosα＝t2﹣1，则S△PMA+S△PNB＝8（t﹣t2+1）＝﹣8（t﹣）2+10，所以函数S△PMA+S△PNB＝8（t﹣t2+1）＝﹣8（t﹣）2+10在（1，〗上单调递减，又t＝1时，S△PMA+S△PNB＝8，t＝时，S△PMA+S△PNB＝8﹣8，所以（S△PMA+S△PNB）∈〖8﹣8，8）．22．解：（1）因为f（x）＝x2﹣ax+9﹣a的图象的开口向上，对称轴x＝，当＜0，即a＜0时，f（x）在〖0，1〗上单调递增，则，此时a的值不存在；当＞1，即a＞2时，f（x）在〖0，1〗上单调递减，则，解得，a＝3；当0≤≤1，即0≤a≤2，f（x）在x＝处取得最小值f（）＝﹣，此时a不存在，综上，a＝3；（2）关于x的不等式f（x）＜0只有一个正整数解，等价于a＞只有一个正整数解，令g（x）＝，则g（x）＝＝x+1+﹣22﹣2，当且仅当x+1＝时取等号，取正数x＝﹣1，类比对勾函数的性质，易得g（x）在（﹣1，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，而2＜﹣1＜3，g（1）＝5，g（0）＝9，g（2）＝，g（3）＝，5＞，当时，不等式只有一个正整数解x＝2，故a的范围为{a|}．。

重庆南开中学高2018级高一(上)期末数学考试及答案word版本

重庆南开中学高2021级高一〔上〕期末测试数学试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部,总分值卷〔选择题共60分〕12个小题,每题5分,共60分,每题只有一个选项符合要求〕〕条件将函数y=sinx的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变得到图像C1,再将图像C I向右平移一个单位得到的图像C2,那么图像C2所对应的函数的解析式为〔37、A、yA、c sinsin1-x22xln x,b1B、y sin - x -2 6D、y sin 2xln x,c e lnx,那么a,b,c的大小关系为〔C、 a b cD、 b a c150分,测试时间120分钟、选择题〔本大题共1、集合A x2x 4 ,B x log2 x 0 , 那么AI B (A、1,2B、1,2C、0,1D、0,12、A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、一个扇形的周长为10cm,圆心角为2弧度,那么这个扇形的面积为〔、2)cm4、5、A、25 函数A、0,1函数igA、1,2C、254D、2522xx212,5 ,那么f x的零点所在的区间为〔1,2 C、2,3 D、3,4的单调递减区间为〔c 1C、 22D、-,326、那么 f (2021) +f (2021) +f (2021)的值为(A 、01_ . ,一.六的取值范围为〔A 、 1,B 、 1,1C 、,1D 、 1,1应位置〔只填结果,不写过程〕 213、幕函数y m 2 3m 3 x m m 1在〔0,+8〕单调递减,那么实数m 的值为 14、计算：log6 2 210g 6 3 101g 2一,一 11 18、(12分)定义在R 的函数f x a x-x a 1a(1)判断f (x)的奇偶性和单调性,并说明理由；8、 0, 且cos-,那么cos 的值为〔5A 、-1109、定义在 B 、 J10C 、 7.2R 上的奇函数f 10(x)满足 f (x+4)D、 (x) 7；2 70包成立,且f (1) = 1 ,10、化简tan20° +4sin20°的结果为〔A 、1 11、如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为 A,点B,C 在圆O 上,点B 的坐标为 1,2,点CAOC o假设BC75 ,贝^ sin —cos — 73cos 2— — 的值为 ( 2 2 2 2A 、B 、2.55"5"5 2.5 512、函数 x 1 2 ,x log 2,x假设方程f 〔x 〕 = a 有四个不同的解X I 、 X 2、X 3、 X 4 ,、填空题: 第II 〔本大题共4个小题, 卷〔非选择题,共90分〕每题5分,共20分〕各题答案必须填写在做题卡上相C 、2x3 x 4,那么 x 3x 1x215、0,2 且cos- -,那么tan的值为.10goi x 1, 1 x k16、函数f x 1 2,假设存在实数k使函数f (x)的值域为[0,2],2x 2x 1,k x a那么实数a的取值范围为.三、解做题：(本大题共6个小题,共70分)各题解答必须答在做题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)317、(10 分) tan 2,tan -.2(1)求tan的值；sin — sin(2)求——2------------------------- 的值.cos 2sin19、〔12 分〕函数 f x sin2 x 2,3sin x cos x cos2R的图像关于直线x 对称,其中⑴,入为常数且0,2.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)解关于x的不等式：f (x-1) >f (2x+1)0(2)假设y=f (x)的图像过点一,0 ,求函数f (x)在x 0-上的值域. 6 220、(12分)函数f (x)为二次函数,假设不等式f (x) <0的解集为(-2, 1)且 f (0) =2(1)求f x的解析式；(2)假设不等式f cos 夜sin - msin对R恒成立,求实数m的取值范围.21、(12分)函数f x log2 TH奇函数.1 X(1)求实数a的值；(2)设函数g x f x 10g2mx ,是否存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点?假设存在,求出m的取值范围；假设不存在,说明理由.22、(12分)函数f x的定义域D 0,,假设f x满足对任意的一个三边长为a,b,c D 的三角形,都有f a ,fb ,f c也可以成为一个三角形的三边长,那么称 f x为保三角形函数〞.(1)判断g x sin x,x 0,是否为保三角形函数〞,并说明理由；(2)证实：函数h x lnx,x 2, 是保三角形函数〞；(3)假设f x sinx,x 0,是保三角形函数〞,求实数的最大值.重庆南开中学高2021级高一(上)期末数学试卷答案解：由A 中不等式变形得：2x &4=2,得到x&Z 即A= (—8, 2],可得.解：设扇形的半径为r,弧长为1, /. 1 2r 10,解得1=5, r=-,「•扇形的面积S 』1r 二店1 2r2应选：C. 4.1 (1)解：函数f(x) 2x-x 5,是单调增函数,并且f (2) =4+--5<0, 4 23 1f (3) =8 — 5 0, 函数f(x) 2x -x 5,那么f (x)的零点所在的区间为(2, 3). 4 4应选：C. 5.【分析】令t= - x 2+x+6>0,求得函数的定义域,根据f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在定义域内的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.解：令t=-x 2+x+6>0,求彳3-2<x<3,可得函数的定义域为{x|-2<x< 3}, f (x) =g (t) =1gt,此题即求函数t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(-,3),2应选：D.1.由B 中不等式变形得: 那么 AH B= (1, 2],2.【分析】“ —3 Sin6解：“ 一〞？ sin6因此“一〞是Sin63.【分析】设扇形的半径为10g2x>0=log2l,得至ij x>1, 应选：B.反之不成立,例如21 〞一、一. … 1 ,反之不成立,例如 2工〞的充分不必要条件.2r,弧长为1,可得1和r 的方J .即可判断出结论.6 *6应选：A.,解方程组代入扇形的面积公式解：将函数y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2倍,得到y=sin-x,2 然后向右平移一个单位得到的图象C2,即y=sin1 (x-1)=sin (― x-—),3 2 2卜应选：B.17.【分析】依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0, b>1, - <c< 1,从而可得【解答】解：: x€ (e—1, 1), a=lnx 「•aC (-1, 0),即 a<0; 又y=(l)x 为减函数, 2 .•.b=(1)1nx >(1)1n1 =(1)0=1 ,即 b> 1; 2 2 2 又c=e1nx=xe (e- 1, 1), b>c>a. 应选 B.8. 【分析】根据同角的三角形关系求出两角差的余弦公式计算即可. sin ( a+-j-) =4 , 再根据 cos a =C0 s a 与--), 利用解：’:长(0 , Tt), 一, 5 、• • a - C (—,—), cos(— )44 4 5,. cos a =cos 、 / 、 •, 、. 3T- — 1) =cos ( a T- ) cos —+sin ( a T —)sin 一二一7.2 10 ,应选：C. 9. 解：f (x+4) =f (x), ・♦・函数f (x)是周期为4的周期函数, 贝U f (2021) =f (504刈=f (0), f (2021) =f (504M+1) =f (1) =1 , f (2021) =f (504M+2) =f (2), . f (x)是奇函数, , f (0) =0,当 x=-2 时,f (-2+4) =f (-2),即 f (2) =-f (2),那么 f (2) =0,即 f (2021) +f (2021) +f (2021) =f (0) +f (1) +f (2) =0+1+0=1 , 应选：B. 10.解：tan20+4sin20 4+ 始干i 口20a +工'钠 ccs20 cos20_ (sin20f - 1 色如° ) +sin400cos20°二生迎迎qg 手mo*+乳口40" cos20 =2—呼Q° 二 cos20 11.解：.••点B 的坐标为(-1,2), • . |OB|=|OC|= . 5 , |BC|=卮・•.△OBC 是等边三角形,那么/AOB=+ -.312.【分析】作出函数f 〔X 〕,得到X 1 , X 2关于X=- 1对称,X 3X 4=1；化简条件,利用数形结合进行求解即可.解：作函数f 〔X 〕的图象如右,;方程 f 〔X 〕=2有四个不同的解 X 1, X 2, X 3, X 4,且 X 1<X 2<X 3<X 4, . X 1, X 2 关于 X=- 1 对称,即 X 1 +X 2= - 2 , 0< X 3 < 1 < X 4 ,贝^ |log 2X 3| = |log 2x 4|, 即-log 2X 3=log 2X 4, 贝^ log 2x 3+log 2X 4=0 即 log 2X 3X 4=0 那么 X 3X 4=1 ；cos20 应选：D.老8s (y1 J5贝^ sin 5cos 万+ 6 cos 2万一 2.5 5.3 1 .一 =-sin 22 =sin a\1当 110g 2x|=1 得 x=2 或一, 21那么 1 <X404 —43< 1 ；21 八 11 一 ,故 X 3( X | X 2) —— = — 2x 3+ 一 , —叔3< 1 ；X 3 X 4 X 3 2 1 . 1那么函数y= - 2X 3+ 一,在一板3V 1上为减函数, X 3X 3__1 _ __ __ .那么故X 3=1取得最大值,为y=1,2当X 3=1时,函数值为-1 . 即函数取值范围是〔-1, 1]. 应选：B 13.解：幕函数尸J,F T 在〔0, +00〕单调递减, /. m 2- 3m+3=1, 即 m 2 - 3m+2=0, 解得m=1或m=2;当m=1时,m 2- m - 1 = - 2<0,满足题意；当m=2时,m 2- m- 1=1 >0,不满足题意,舍去;故答案为：1. 14.解：10g 62 210g 6 , 3 101g2 =1og 66+2=3. 故答案为：3. 15.【解答】解：;院〔0, 2冗〕,1又• cos ——, 23sin 一一 sin- 2=2五, 8s 2sin - . 1 cos 22 ,2 2.2 -T ,18.1 . 1 解：(1) f ( — x) = a-x a ~x f (x)aa• ・tan2tan-1 tan2 -2故答案为:4.216.1解：由题思,令 10g 2 (1 — x) +1=0, x=—,2令 x 2-2x+1=2,可得 x=1±",二.存在实数k 使函数f (x)的值域为[0, 2], ・•・实数a 的取值范围是[L, 1 +4].2故答案为：[1,1+"].217.3【分析】(1)由题思可得tan ( a+B =2, tan B =—,代入2tan = =tan[ a +£ - B ]=-tan( ------------ )-tan — , 计算可得;1 tan( ) tan(2)由诱导公式和弦化切可得原式 1 tan,代值计算可得.解：(1) tan( )2,tan(2tan 3 2,• .tan ( a +)B=2, tan • .tan = =tan [c +)0 —tan( ) tan1 tan( )tan21 2( 2)4；sin (—+ CL) - sin ( JT4 CL )(2)化简可得cos U +2sind_ cos sin cos 2sin1 tan 3 ------------ =一 1 2tan 10那么函数为偶函数, 当X ?0时,设0a 1<X 2, 一. 1.1 即 f (X 1)— f (X 3) = a 1 Fa 2 FaaxX 1_ X1 _ X 2 =a -x 2 工-4= (a X1 a x 2) a-^- = ((a x 1 a X2)驾一, X XX 1 X 2X 1 X ?a a 2a aa a・ a>1, 0喉 1<X 2 ・••1 W 1 a 〞,那么 a 51 a X 20, a 51 a" 1 0,那么f (X1)- f (X2)<0,那么f (X1)<f (X2),即此时函数单调递增, 同理当X00时,函数单调递减；(2) ;函数f (X )是偶函数,且在［0, +00)上为增函数,那么关于 X 的不等式：f (X-1) >f (2X +1)等价为 f (|X -1|) >f (|2X +1|), 即 X― 1|>|2X +1|,平方得 x 2 - 2x+1 >4x 2+4x+1,即 3X 2+6X <0,即 X 2+2x<0,得—2<x< 0, 即不等式的解集为(-2, 0). 19.解：(1)化简可得 f (x)= 点？2sin xcosox- (cos 2cox-sin 2⑴x) + 入=^3sin2 x —cos2 cx+入=2sin(2cox -------- ) + 入6由函数图象关于直线x 一对称可得2c£)?-— -=kTtd — , kCZ,33623解得⑴二3"k+1,结合区(0, 2)可得W =12• .f (x) =2sin (2x — —) + 入,一, ,一, …1 2「•函数f (x)的取小正周期T=——=九；3 Vy=f (x)的图象过点(:二.,【分析】(1)化简可得f (x) =2sin (2wx-—)+入,由对称性可得6以可得最小正周期;(2)由图象过点(一,0)可得 - 1,由x60-结合三角函数的值域可得. 22• .2sin (2x- -) - 1 € [- 2, 1], 6(x)在x Q,-上的值域为[-2, 1]2(1)设出二次函数的表达式,得到关于 a, b, c 的方程,解出即可求出函数的表达(2)求出 f (cosO,问题转化为 sin2 8 4(1+m) sin 0 +1W R 包成立, 令g ( ® =sin2 8+(1+m) sin 8+1通过讨论对称轴的位置,从而求出 g ( 0)的最小值,得到关于m 的不等式,解出即可.解：(1) :函数f (x)为二次函数, • ,设 f (x) =ax 2+bx+c,• ••不等式f (x) <Q 的解集为(-2, 1)且f (Q) =-2,c 2a 1 4a 2b 2 Q, 解得：b 1 , a b 2 Qc 22f (x) =x +x - 2;(2)由(1)得：f (cos 0 =cos2 0 +cos-0 2, ,由不等式f(cos )wT2sin(—) msin 对8C R 包成立,4得：cos2 0 +cos-02<72 sin (.+^)+msin8对 0€ R 包成立, sin2 8 4(1+m) sin 8+1 泗 R 包成立, 令 g (⑥ =sin2 0 +(1+m) sin 0 +1(sinm-1)2 1 -(m-, 24；2sin (2?- - -) + 入=Q 解得入= 1,• .f (x) =2sin (2x — —) 6x Q,- , 2x- 21.•.sin (2x - -) € [- 1, • .2sin (2x- -) € [- 1, 6T,1], 2],故函数f 2Q. 【分_ ml-.. .・二①-1 < ------ <11P — 30m< 时：2gmin (8) =1 - -—— >Q 4 解得：-3& m<l 符合题意；一 m 1 一一② ------- < ―1 即 m< — 3 时：22g min (9) =(1 U 〞 "U>0, 24解得：m> - 3,无解； ③m-^ >1即m > 1时：22gmin (9) =( 1 U)4 5+1 — (^^>0, 2 4 解得：m< 1,无解；综上,满足条件的m 的范围是[-3, 1].21.【分析】(1)由奇函数性质得f (x) +f (-x) =log 2sx 10g 2sx=0,由此能求出1 x 1 x1(2)当 a= — 1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = - 1og 2 (mx) =0,得 x=—, m不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点；1 x当 a=1 时,g (x) =f (x) - 1og 2 (mx) = 10g 2 ----------------------------------- =0,得 x=1,不存在非布头数 (1 x) mx函数g (x)恰好有两个零点.• . 1 - a 2x 2=1 - x 2,解得a= ±1.(2)不存在非零实数m 使得函数g (x)恰好有两个零点,理由如下: 当 a= 一 1 时,g (x) =f (x) — 10g 2 (mx) = — 10g 2 (mx), .•一 14 ax 1 ax ---- =1 , 1 x 1 x【解答】解：(1) ;函数f(x) 10g 2 s x 是奇函数,1 x f (x) +f ( — x) = 1og2 1 ax 10g 2(1 x1 ax 1 x10g21 ax1 ax)=0,a.m 使得由-log2 (mx) =0,解得mx=1, x=—,不存在非专头数m使得函数g (x)恰好有两个专点;1 x . 1 x当a=1 时,g (x) =f (x) — 10g2 (mx) =log2 -------- -- log2 (mx) =log2 -------------- ,1 x (1 x) mx, 1 x由10g2 ------------ =0,得x=1,不存在非布头数m使得函数g (x)恰好有两个布点.(1 x) mx综上,不存在非零实数m使得函数g (x)恰好有两个零点.22.【分析】欲判断函数 f (x)是不是保三角形函数〞,只须任给三角形,设它的三边长a、b、c 满足a+b>c,判断f (a)、f (b)、f (c)是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边即可.因此假设a<cfl b&q在各个选项中根据定义和函数对应法那么进行求解判断即可.解：(1)假设a= — , b= —, c=—,贝U f (a) =f (b) =sin —= 1 , f (c) =sin — =1,3 2 21 1那么 f (a) +f (b) = - -=1,不辆足 f (a) +f (b) >f (c) 2 2故f (x) =sinx,不是保三角形函数(2)对任意一个三角形三边长a, b, c€ [2 , +00),且a+b>c, b+c>a, c+a>b, 贝U h (a) =lna, h (b)=lnb, h (c) =lnc.由于a>2, b>2, a+b>c,所以(a - 1) (b— 1) >],所以ab m+b>c,所以lnab>lnc, 即lna+lnb>lnc.同理可证实lnb+lnolna, lnc+lna>lnb.所以lna, lnb, lnc是一个三角形的三边长.故函数h (x) =lnx (xq2, +00)).5(3)人的最大值是二.6①当入〉5-时,取a= — =b, c=-,显然这3个数属于区间(0,力,且可以作为某个三角 6 6 2形的三边长,但这3个数的正弦值工、工、1显然不能作为任何一个三角形的三边,故此时,2 2h (x) =sinx, x€ (0, N不是保三角形函数.当小〉—时,由于 a+b>c, .•.0<£<U<—,2 2 2 22综上可得,0<sin± <sin--b < 12 2再由 |a- b|< c< 5—,以及 y=cosx 在( 6a —— >cos- >cos — >0, 2 2 12sina+sinb=2sina-b cos--b >2sin — cos — =sinc, 2 222同理可得 sina+sinosinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长.故当入、时,h (x) =sinx, x€ (0, M)是保三角形函数,故人的最大值为5-,x 3x45 ②当入上—时,对于任意的三角形的三边长 65 右 a+b+c> 2 a 贝U a> 2 7r b — c> 2L ——6 即a>—,同理可得b>—, c> —, • .sina 、sinb 、since ( - , 1]. 2 由此可得 sina+sinb> 1 + l =1}sinc 即 2 2 5 、a 、b 、c€ (0,——),6• ・a 、b 、cC (—,3 sina+sinb>sinc, 同理可得 sina+sinc>sinb, sinb+sinc>sina, 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长. 假设 a+b+c< 2 % c , 一 <九,2当"寸, 由于 a+b>c, ..0<£<2 0< sinc < sin ——b < 1 2 20< sin c <sin-~~b < 1.22可得 cos a -b =cos20,冗〕上是减函数,。

重庆高一高中数学期末考试带答案解析

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知是第三象限角，且，则所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知，，则（）A．B．C．D．3.若方程的一根小于-2，另一根大于-2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.函数的值域是（）A．B．C．D．二、填空题关于的不等式的解集是________．重庆高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知是第三象限角，且，则所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】是第三象限角，则,.当时，有，所以位于第四象限.故选D.2.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，;;;.故选C.3.若方程的一根小于-2，另一根大于-2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由一元二次方程根的分布结论可得，满足题意时有：，求解不等式组有：，据此可得：实数的取值范围是.本题选择A选项.4.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数有意义，则：，求解不等式可得函数的定义域为：.构造函数，，则函数的图象表示一段线段，函数的图象表示以点为圆心，为半径的圆的位于轴上方的部分，函数的几何意义为当自变量相同时函数值之差，绘制函数图象如图所示，由几何意义可知，需考查与直线平行，且与圆相切的直线方程，设直线方程为，此时圆心到直线的距离为：，解得：，很明显取，此时考查直线与直线之间的距离：，结合几何关系可得函数的最小值为：，很明显当时函数取得最大值，最大值为：，综上可得，函数的值域为.本题选择A选项.点睛：本题的目的在考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．二、填空题关于的不等式的解集是________．【答案】【解析】不等式，可变形为：，所以.即，解得或.故答案为：.。

2019-2020学年人教A版重庆市南开中学高一第一学期期末数学试卷含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（﹣1，2）D．∅2．函数y＝2sin x cos x+3的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）4．已知扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角是（）A．1 B．2 C．D．π5．锐角α满足，则＝（）A．B．C．D．6．若，a＝log2x，b＝2a，，则数a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c7．＝（）A．1 B．C．D．8．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A．B．C．D．9．声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍10．要得到函数的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．函数f（x）的定义域为R，且，f（0）≠0．若对任意实数x，y都有，则f（2020）＝（）A．B．﹣1 C．0 D．112．函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R且ab≠0）满足，且．则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．二、填空题13．如果tanα+tanβ＝2，tan（α+β）＝4，那么tanαtanβ等于．14．幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．15．若f（x）＝sin x﹣cos x在[﹣a，a]上的最大值为1，则实数a＝．16．己知函数f（x）＝，若方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+1﹣2a＝0有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象18．已知角α终边上有一点P（1，y），且．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．已知函数（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）当x∈（1，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数a的值．20．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，，求cos2α的值．21．设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1），则称x0为函数f（x）的“旺点”．（1）求函数f（x）＝2x+3x在R上的“旺点”；（2）若函数在（0，+∞）上存在“旺点”，求正实数a的取值范围．22．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式f[sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）]+f（2m+3）＞0对任意α∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（θcosθ）＜f（sinθ），其中，求证：sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ＞8θ．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（﹣1，2）D．∅【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故选：C．2．函数y＝2sin x cos x+3的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】先对解析式进行化简，再代入周期公式即可．解：因为y＝2sin x cos x+3＝sin2x+3；∴T＝＝π．故选：B．3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．解：∵f（x）＝lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B．4．已知扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角是（）A．1 B．2 C．D．π【分析】根据扇形的面积公式和弧长关系建立方程进行求解即可．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝4，①S＝lr＝1，即lr＝2，②得r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为＝2，故选：B．5．锐角α满足，则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用通过三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：由于α为锐角，所以，整理得：，由于＞0，所以．故，所以．故选：D．6．若，a＝log2x，b＝2a，，则数a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．解：∵，∴﹣1＝＜a＝log2x＜log21＝0，0＜b＝2a＜＝2﹣a，∴a，b，c的大小关系c＞b＞a．故选：A．7．＝（）A．1 B．C．D．【分析】由于53°＝30°+23°，然后结合两角和的正弦公式展开即可求解．解：＝，＝＝，故选：B．8．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得a＞0且a≠1，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，结合幂函数和对数函数的性质分析可得答案．解：根据题意，f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x，必有a＞0且a≠1，分2种情况讨论：当a＞1时，f（x）＝x a（x≥0）过点（0，0）和（1，1），在第一象限为增函数，且图象变化越来越快，而g（x）＝log a x为对数函数，过点（0，1）且为增函数，没有选项符合；当0＜a＜1时，f（x）＝x a（x≥0）过点（0，0）和（1，1），在第一象限为增函数，且图象变化越来越慢，而g（x）＝log a x为对数函数，过点（0，1）且为减函数，只有A选项符合；故选：A．9．声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍【分析】由函数f（x）的解析式，分别求出喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度，即可求出结果．解：∵喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，∴10×lg＝140，解得x1＝102，又∵一般说话时，声音的等级约为60dB，∴10×lg＝60，解得x2＝10﹣6，∴喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，故选：B．10．要得到函数的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】先根据诱导公式进行化简y＝cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．解：y＝cos2x＝sin（2x+），函数y＝sin（2x+）的图象经过向右平移而得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）的图象，故选：B．11．函数f（x）的定义域为R，且，f（0）≠0．若对任意实数x，y都有，则f（2020）＝（）A．B．﹣1 C．0 D．1【分析】由已知等式可得f（0）＝1，再由，推得函数是周期为2的周期函数，从而求得f（2020）的值．解：由题意，令x＝y＝0，可得2f（0）＝2f2（0），即f（0）（1﹣f（0））＝0，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1，∵，∴f（1+x）+f（x）＝2f（）f（）＝0，即f（1+x）＝﹣f（x），则f（2+x）＝f[1+（1+x）]＝﹣f（1+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f （x）．∴f（x）是周期为2的周期函数，则f（2020）＝f（0）＝1．故选：D．12．函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R且ab≠0）满足，且．则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据得出f（x）关于（﹣，0）对称，结合题意求出θ的值，再求f（x）的单调递增区间．解：函数f（x）＝a sin2x+b cos2x＝sin（2x+θ），tanθ＝；，f（x）关于（﹣，0）对称，即2×（﹣）+θ＝kπ，k∈Z，解得θ＝kπ+，k∈Z；又，即sin（π+kπ+）＞sin（2π+kπ+），k∈Z；所以k为奇数，不妨令k＝﹣1，则θ＝﹣；所以f（x）＝sin（2x﹣），即﹣+2kπ＜2x﹣＜+2kπ，k∈Z；解得+kπ＜x＜+kπ，k∈Z；f（x）的单调递增区间为（kπ+，kπ+），k∈Z．故选：A．二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．如果tanα+tanβ＝2，tan（α+β）＝4，那么tanαtanβ等于．【分析】由条件可得＝＝4，解方程求得 tanαtanβ的值．解：∵tanα+tanβ＝2，tan（α+β）＝4，∴＝＝4，解得 tanαtanβ＝，故答案为．14．幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 1 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解．解：∵幂函数在（0，+∞）单调递减，∴，解得m＝1．∴实数m的值为1．故答案为：1．15．若f（x）＝sin x﹣cos x在[﹣a，a]上的最大值为1，则实数a＝．【分析】首先通过把三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果．解：f（x）＝sin x﹣cos x＝．由于函数在[﹣a，a]上的最大值为1，所以（k∈Z），整理得（k∈Z），当k＝0时，a＝x＝．故答案为：16．己知函数f（x）＝，若方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+1﹣2a＝0有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为．【分析】由题意画出函数f（x）的图象，要使方程有4个不同的实数根，判别式大于零，求出方程关于f（x）的根，然后由f（x）的范围由两种情况时，则关于x的方程有4个不同的实数根，分别解出a的范围，最后求出a的范围．解：函数f（x）的图象如图所示：要使由方程有4个不同的实数解，即与f（x）由4分交点，f（x）＜0，或f（x）∈（0，1），或f（x）＞1或f（x）∈（0，1），可得f2（x）﹣（a+1）f（x）+1﹣2a＝0由两个不等的实数根，∴△＝（a+1）2﹣4（1﹣2a）＞0，即a2+10a﹣3＞0，f（x）＝，或f（x）＝，所以①，或②，由①得：，显然不成立，由②得：，所以可得a．故答案为：（，）．三、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．已知函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象【分析】（1）根据三角函数的周期公式进行求解即可．（2）利用五点法进行列表作图即可．解：（1）函数的最小正周期T＝，（2）列对应值表如下：2x﹣0 π2πxf（x）0 2 0 ﹣2 0通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f（x）在一个周期内的图象如下图所示：18．已知角α终边上有一点P（1，y），且．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）结合三角函数的定义即可求解，（2）利用诱导公式先对已知进行化简，然后结合同角基本关系可求．解：（1）根据三角函数的定义可知，sinα＝＝，所以y＞0，解可得，y＝2，tanα＝2，（2）＝＝＝3．19．已知函数（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）当x∈（1，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数a的值．【分析】（1）由题意可得f（x）+f（﹣x）＝0，代入结合对数的运算性质即可求解m，（2）由a﹣2＞1可得a＞3，结合复合函数的单调性法则可得函数y＝f（x）在（1，a ﹣2）上单调递减，结合单调性可求．解：（1）由题意可得f（x）+f（﹣x）＝0，即log a+log a＝0，所以＝1，整理可得，（m2﹣1）x2＝0恒成立，故m＝±1，当m＝﹣1时，显然不符合题意，舍去，故m＝1，（2）由a﹣2＞1可得a＞3，所以y＝log a t单调递减，令t＝＝1+在（1，+∞）上单调递减，所以函数y＝f（x）在（1，a﹣2）上单调递减，所以f（a﹣2）＝log a＝1，解可得a＝2+．20．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，，求cos2α的值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣，由函数图象和周期公式可得ω＝1，易得最大值；（2）先根据，，求得cos（2α﹣）＝，再由cos2α＝cos[（2α﹣）+]即可求得结论．解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）＝sinωx cosωx﹣cos2ωx＝sin2ωx﹣＝sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）图象两条对称轴之间的最小距离为，∴周期T＝＝2×，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最大值为1﹣＝；（2）因为＝sin（2α﹣）﹣⇒sin（2α﹣）＝，∵，∴2∈（﹣，）；∴cos（2α﹣）＝．∴cos2α＝cos[（2α﹣）+]＝cos（2α﹣）cos﹣sin（2α﹣）sin＝×﹣×＝．21．设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1），则称x0为函数f（x）的“旺点”．（1）求函数f（x）＝2x+3x在R上的“旺点”；（2）若函数在（0，+∞）上存在“旺点”，求正实数a的取值范围．【分析】（1）由已知旺点的定义可知得到一个方程，解方程可得函数f（x）的旺点；（2）由旺点的定义整理出方程，再令函数，即在（0，+∞）函数有零点，分二次项系数为正负零3种情况讨论，由二次函数的对称轴和单调性求出a的取值范围．解：（1）由题意知：2（x0+1）+3＝2x0+3+2×1+31＝2x0+3+5，所以2＝3，解得x0＝log3＝log33﹣log32，＝1﹣log32，所以函数f（x）＝2x+3x在R上的“旺点”是x0＝1﹣log32；（2）由题意可得：方程log2＝log2+log2＝log2，在（0，+∞）上有解，化简得（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2＝0，设h（x）＝（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2，x∈（0，+∞），①当a﹣2＝0，即a＝2时，h（x）＝4x+2在（0，+∞）显然无零点，舍去，②当a﹣2＞0时a＞2，h（x）的对称轴为x＝＜0，h（0）＝2a﹣2＞0，所以h（x）＞0对一切x∈（0，+∞）恒成立，故在无零点，舍去，③当时a﹣2＜0，即0＜a＜2，h（x）的对称轴为x＝＞0，故只需△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a﹣4≤0，解得3﹣≤a＜2，综上所述，正实数的取值范围为：[3﹣，2）．22．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式f[sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）]+f（2m+3）＞0对任意α∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（θcosθ）＜f（sinθ），其中，求证：sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ＞8θ．【分析】（1）由奇偶性和单调性的性质，可判断奇偶性和单调性；（2）由（1）可得sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）＞﹣2m﹣3，由三角换元和辅助角公式、正弦函数的性质，以及恒成立思想可得所求范围；（3）由题意可得θcosθ＜sinθ，即tanθ＞θ，cos2θ＞0，0＜tanθ＜1，由作差法和三角函数的二倍角公式，化简整理，结合不等式的性质即可得证．解：（1）函数在R上为奇函数，为增函数；（2）不等式f[sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）]+f（2m+3）＞0，α∈[0，]，即为f[sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）]＞﹣f（2m+3）＝f（﹣2m﹣3），由f（x）在R上递增，可得sin2α﹣（m+3）（sinα+cosα）＞﹣2m﹣3，设t＝sinα+cosα＝sin（α+）∈[1，]，sin2α＝t2﹣1，可得t2﹣（m+3）t+2m+2＞0，即（t﹣m﹣1）（t﹣2）＞0，由t﹣2＜0，可得t﹣m﹣1＜0，即m+1＞t的最大值，可得m+1＞，即有m＞﹣1；（3）证明：f（θcosθ）＜f（sinθ），其中，可得θcosθ＜sinθ，即tanθ＞θ，cos2θ＞0，0＜tanθ＜1，sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ﹣8θ＝2sin2θcos2θ+2sin2θ﹣8θ（1﹣2sin2θ）＝2sin2θcos2θ+2sin2θ﹣8θcos2θ＝2cos2θ（sin2θ+tan2θ﹣4θ）＝2cos2θ（+﹣4θ）＝2cos2θ（﹣4θ），由cos2θ＞0，＞4tanθ＞4θ，可得2cos2θ（﹣4θ）＞0，则sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ﹣8θ＞0，即sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ＞8θ．。

重庆南开中学2023届高一上数学期末统考模拟试题含解析

5、B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：，即；，即；，即；所以，故正确答案为选项B
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法
6、A
【解析】由函数的奇偶性求出，进而求得答案
【详解】因为是奇函数，所以，
即，则，
故 .
【点睛】本题考查函数的奇偶性，即得.
依题意或 .
所以或，
所以或 .
【小问2详解】
由于，所以，
，
由于，所以，，，
所以，
所以，
所以，，
所以
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】由三视图还原直观图得到几何体为高为4，底面半径为2圆柱体的一半，即可求出体积.
【详解】由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为h= 4，底面半径r= 2圆柱体的一半，
∴ ，
故选：A
2、B
【解析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设，且，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
3、A
【解析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
(2)由题可知，，借助斜率公式，进而可分别求出直线与直线的方程，再联立方程，即可求得点的坐标；
(3)由中垂线性质知，边的中垂线的斜率等于，再由(2)可求得边的中点坐标，进而可求解.
【详解】(1)由题意，直线的方程为：

重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (5)

重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。

2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|12A x x =-<，(){}|ln 2B x y x ==-，则A B =（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()1,2-D ．∅【答案】C【解析】首先根据绝对值不等式的解法以及对数的定义域求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】因为1221231x x x -<⇒-<--<⇒<<则A {}13x x =-<<，(){}{}|ln 22B x y x x x ==-=<，所以A B =()1,2-，故选：C 【点睛】本题考查了根据绝对值不等式的解法、对数的定义域以及集合的交运算，属于基础题. 2．函数2sin cos 3y x x =+的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用二倍角公式将函数化为sin 23y x =+，再由公式2T πω=即可求解.【详解】函数2sin cos 3sin 23y x x x =+=+，所以222T πππω===，故选：B 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式以及周期公式，需熟记公式，属于基础题. 3．函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（） A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,)+∞【答案】B【解析】试题分析：()()()()()10,20,30230f f f f f <<>∴<，所以函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是(2,3) 【考点】函数零点存在性定理4．扇形的周长是4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α，则24r l +=，①112S lr ==扇形，②解①②得：1r =，2l =∴扇形的圆心角的弧度数2lrα== 故选C5．锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．23B ．23-C ．D 【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系求出cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，由623πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，利用诱导公式即可求解. 【详解】由锐角α满足2sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以sin si 2os 3c n 36πππααπα⎛⎫⎛⎫---= ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎪ ⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.6．若1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2log a x =，2a b =，12ac ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数a ，b，c 的大小关系为（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】A【解析】首先利用对数函数的单调性求出a 的取值范围，再利用指数函数的单调性求出b ，c 的范围，进而可判断出大小.【详解】2log y x =在定义域内为增函数，且1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10a ∴-<<，2x y =为增函数，112b ∴<<，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，12c ∴<< ，所以c b a >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 7．sin 53sin 23cos30cos 23︒︒-︒︒=（）A ．1B ．12C D 【答案】B【解析】利用两角和的正弦公式将()sin53sin 3023=+展开化简即可求解. 【详解】()sin 3sin 23cos30sin503sin 23cos30cos 23co 23s 23-+︒︒︒-︒︒︒︒=sin sin 2330c c os 23os30cos30sin 30cos 23sin 2312+︒︒=︒-︒==，故选：B【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，与，答案A 没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C 中，中，不符合，答案D 中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB .那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（） A ．410倍B ．610倍C ．810倍D ．1010倍【答案】C【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，就算出1x 和2x 的值，可计算出12x x 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为12,x x ，由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=，所以28162101010x x -==，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用，同时也涉及到对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.10．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数cos2y x =的图象（） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位【答案】A【解析】sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)62633y x x x x πππππ=+=--=-=-，设x x ϕ→+ ，cos 2()cos(22)y x x ϕϕ=+=+ ，令2,36ππϕϕ=-=-，把函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数sin(2)6y x π=+的图象.选C.11．函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（）A ．B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】将x 用1x +替换，y 用x 替换，可得()()111222x x x x f x f x f f +++-⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得()()10f x f x ++=，进而可得()()2f x f x +=，可求出函数的周期2T =，再令0x =，可求出()0f ，由()()20200f f =即可求解.【详解】将x 用1x +替换，y 用x 替换，由对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，可得()()111211222222x x x x x f x f x f f ff +++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()10f x f x ++=，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以函数的周期2T =，令0x =，则()()()()00200f f f f +=⨯，因为()00f ≠，所以()01f =，所以()()()20201010001f f T f =+==，故选：D 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，此题属于中档题.12．函数()sin 2cos2f x a x b x =+（,a b ∈R 且0ab ≠）满足()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则()f x 的单调递增区间为（）A ．2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．,63k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．,36k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭， k Z ∈D ．5,36k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】A【解析】由()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点，代入解析式可得a ，再由()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭可得0b <，再利用辅助角公式结合正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】函数()sin 2cos2f x a x b x =+且()06f f x x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭可得,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个中心对称点， sin cos 01266f a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得a =，()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭， sin cos sin 2cos2a b a b ππππ∴+>+，0b ∴<()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，所以()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z ，解得()263k x k k πππ+≤≤π+∈Z所以函数的单调递增区间为2,63k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的对称中心点、单调区间以及辅助角公式，需熟记三角函数的性质，属于中档题.二、填空题 13．如果，那么等于_______.【答案】【解析】由可得，从而可得结果.【详解】因为，，所以，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 14．幂函数()222533m m y m m x +-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________. 【答案】1【解析】利用幂函数的定义以及幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1 【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，需熟记定义与性质，属于基础题. 15．若()sin cos f x x x =-在[],a a -上的最大值为1，则实数a =_________. 【答案】2π【解析】利用辅助角公式化()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数的最值以及单调性可得()1f a =，代入即可求解.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为函数在[],a a -上的最大值为1，所以()14f a a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得44a ππ-=，所以π2a =故答案为：2π 【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式、三角函数的性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.16．已知函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若方程()()20f x af x -=有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】()1,2【解析】由已知中函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩，若关于x 的方程()()2f x af x =恰有四个不同的实数解，根据函数()f x 的图像得到恰有三个不同的实数根，进而得到实数a 的取值范围. 【详解】函数()()()12log 1,1121,13x x f x f x x ⎧+-<<⎪=⎨⎪-+<<⎩的图像如下：关于x 的方程()()20fx af x -=，转化为()0f x =，或()f x a =，若方程()()20fx af x -=有四个不同的实数解，则()f x a =恰有三个不同的实数解，由图可知：12a <<，故答案为：()1,2 【点睛】本题考查了对数函数的综合问题，考查方程的根、函数的值域，考查了数形结合的思想以及学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）写出函数()f x 的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数()f x 在一个周期内的图象【答案】（1）T π=；（2）见解析【解析】（1）根据正弦型三角函数最小正周期公式2T ωπ=即可求解.（2）按“五点作图法”列表、描点、连线即可求解. 【详解】由函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ω= .∴ 222T πππω===. （2）列表：作出函数的图像：【点睛】本题考查了正弦函数的最小正周期公式以及“五点作图法”，需掌握作图步骤，属于基础题.18．已知角α终边上有一点()1,P y ，且sin α= （1）求tan α的值；（2）求()()sin sin 2sin cos 2ππαααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值.【答案】（1）tan 2α= （2）3【解析】（1）利用三角函数的定义求出2y =即可求解. （2）利用诱导公式即可求解. 【详解】（1）角α终边上有一点()1,P y，且sin 5α=，5=，解得2y =，所以tan 21yα==. （2）()()sin sin sin cos tan 123sin cos 2sin cos tan 1ππααααααπαααα⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===----【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 19．已知函数()1log 1a m f x x x +=-（0a >且1a ≠）是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）当()1,2x a ∈-时，函数()f x 的值域为()1,+∞，求实数a 的值. 【答案】（1）1m = （2）2a =+【解析】（1）利用函数为奇函数可得()()0f x f x +-=，结合函数表达式以及对数的运算性质即可求解.（2）根据区间的定义可得21a ->，再利用对数型复合函数的单调性可得()21f a -=，进而可求出a 的值.【详解】（1）由()()0f x f x +-=，得11log log 011a a mx mx x x +-++=---， ∴11111mx mx x x +-⋅=-+，可得22211m x x -=-，即()2210m x -=， ∴1m =±，经检验，1m =符合题意，故1m =. （2）由21a ->，得3a >，∴log a y t =单调递增，令12111x t x x +==+--在()1,+∞上单调递减， ∴函数()y f x =在()1,2a -上单调递减，∴()21f a -=，解得2a =+【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用、对数的运算以及对数型复合函数的单调性应用，属于中档题.20．已知函数())()cos cos 0f x x x x ωωωω=->(0)>ω的两条对称轴之间的最小距离为2π. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若()310f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值.【答案】（1）12 （2 【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的公式将函数化为1sin 262x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再由题意求出函数的周期，进而求出函数表达式即可求解. （2）由（1）求出3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合两角和与差的公式即可求解. 【详解】（1）())cos cos f x xx x ωωω=-2cos cos x x x ωωω=-1112cos 2sin 22262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∵122222T ππω==⋅， ∴1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴当2262x k πππ-=+，即3x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最大值12. （2）由题意，()13sin 26210f παα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,662πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴3cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=⨯=【点睛】本题考查二倍角公式、两角和与差的逆应用以及正弦函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.21．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“旺点”.（1）求函数()23xf x x =+在R 上的“旺点”；（2）若函数()22log 1g ax x=+在()0,∞+上存在“旺点”，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）031log 2x =- （2）)32⎡⎣ 【解析】（1）利用题中定义，列方程求解即可. （2）根据题意将问题转化为方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简可得()222220a x ax a -++-=，讨论二次项系数使方程在()0,x ∈+∞上有解即可. 【详解】（1）由题意，有()00100213235x x x x +++=++，化简得0332x =，∴031log 2x =-为所求“旺点”. （2）方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简得()222220a x ax a -++-=，记()()22222h x a x ax a =-++-，()0,x ∈+∞，①当20a -=，即2a =时，()42h x x =+在()0,∞+上无根，故舍去； ②当20a ->，即2a >时，()h x 的对称轴为02ax a=<-，()0220h a =->，∴()0h x >对一切()0,x ∈+∞恒成立，故舍去； ③当20a -<，即02a <<时，()h x 的对称轴为02ax a=>-，故只需()()2442220a a a ∆=---≥，即2640a a --≤，解得32a ≤<；综上所述，正实数a 的取值范围为)32⎡-⎣. 【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题. 22．已知函数()()12x xf x e e -=-. （1）判断()f x 的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦对任意0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若()()cos sin ff θθθ<，其中0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>.【答案】（1）奇函数，增函数（2）1m >（3）证明见解析【解析】（1）利用函数的奇偶性定义以及指数函数的单调性即可判断.（2）利用函数的单调性将不等式转化为()()sin 23sin cos 230m m ααα-++++>，令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，不等式进一步转化为 ()213230t m t m --+++>，解不等式由t 的范围即可求解.（3）利用函数的单调性可得cos sin θθθ<，再根据分析法结合二倍角公式以及万能公式即可证明. 【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数和增函数.（2）()()()sin 23sin cos 230f m f m ααα-++++>⎡⎤⎣⎦()()()sin 23sin cos 23f m f m ααα⇔-++>-+⎡⎤⎣⎦()23f m =--()()sin 23sin cos 23m m ααα⇔-++>-- ()()sin 23sin cos 230m m ααα⇔-++++>.令sin cos 4t πααα⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t ααα==-. 原式()213230t m t m ⇔--+++>()()()23220120t m t m t m t ⇔-+++>⇔--->，∵20t -<，∴原式101t m m t ⇔--<⇔>-，∴1m >.（3）由()()sin sin f f θθθ<，得cos sin θθθ<，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos20θ>， ∴2sin 42sin 216sin 8θθθθθ++>()22sin 2cos 22sin 2812sin 8cos 2θθθθθθθ⇔+>-=()sin 2tan 24*θθθ⇔+>而222tan 2tan sin 2tan 21tan 1tan θθθθθθ+=++-44tan 4tan 41tan θθθθ=>>-，∴()*成立，故原式得证. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义、指数函数的单调性、二倍角公式以及万能公式、分析法证明不等式，考查了转化、化归的解题思想，综合性比较强，知识跨度大，难度较高，属于难题.。

重庆名校高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（） {}|24A x x =≤<{}3B x x =>A B = A ． B ． {}|2x x ≥{}|3x x >C ． D ．{}23x x ≤<{}|34x x <<【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合，，所以. {}|24A x x =≤<{}3B x x =>{}|34A B x x ⋂=<<故选：D2．命题p ：的否定是（） Q,R x x ∀∈∈A ． B ． R x Q x ∀∉∈，00Q,R x x ∃∉∈C ． D ． Q,R x x ∀∈∉00Q,R x x ∃∈∉【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知，命题的否定为， 00Q,R x x ∃∈∉故选:D.3．已知一扇形的半径为2，面积为4，则该扇形的圆心角的弧度数为（） A ． B ．C ．2D ．1π2π【答案】C【分析】根据扇形的面积公式和圆心角的弧度数公式求解.【详解】由扇形的面积公式可得可得，12S lr =4l =所以圆心角的弧度数为， 2lrα==故选:C.4．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位:A·h ），放电时间t （单位:h ）与放电电流I （单位:A ）之间关系的经验公式，其中0n C I t =⋅为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I =15A 时，放电时间t =28h ，则023lo 2g n =-当放电电流I=10A 时，放电时间为（）A ．14hB ．28.5hC ．29hD ．56h【答案】D【分析】根据给定的条件，列出方程，结合指数、对数运算计算作答. 【详解】，因为电池容量不变，则有，0332222log log n ==-00811205n n t ⨯=即有，03200log 23328(28(2856215102n n n t ⨯==⨯==⨯所以当放电电流I=10A 时，放电时间为56h. 故选：D5．已知函数且若，则实数a 的值等于（） 7,0()(0,,0xx x f x a a x -≤⎧=>⎨>⎩1)a ≠()()22f f =-A ．2B ．3CD ．4【答案】B【分析】利用分段函数求函数值即可求解.【详解】因为，所以，()()22,29f a f =-=29a =因为，所以， 0a >3a =故选:B.6．设（） sin cos θθ-=sin cos θθ⋅=A ． B ． C ．D ．1316-1332-13321316【答案】C【分析】由可直接构造方程求解.()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-⋅【详解】， ()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 16θθθθθθθθ-=+-⋅=-⋅=. 13sin cos 32θθ∴⋅=故选：C.7．已知，且，则的最小值为（） ,a b R +∈23a b ab +=2a b +A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】A【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不23a b ab +=213a b +=2a b +()12123a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等式可求最小值.【详解】因为，故，23a b ab +=213a b+=故， ()()1211221225543333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立， 1a b ==故的最小值为3. 2a b +故选：A.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.8．已知为偶函数，若对任意，，总有()1y f x =+,1,)[a b ∈+∞()a b ≠()()()()af b bf a af a bf b +<+成立，则不等式的解集为（） ()()24f x f <A ． B ． ()1,2-()2,2-C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.【详解】由可得， ()()()()af b bf a af a bf b +<+()()()()af b bf b af a bf a -+<-即，也即， ()()()()a b f b a b f a -<-()()()0a b f b f a ⎡⎤--<⎣⎦当时，，当时，， 1a b >≥()()f a f b >1b a >≥()()f b f a >所以函数在单调递增，()f x [)1,+∞又因为为偶函数，所以的图象关于对称， ()1y f x =+()f x 1x =所以在单调递减，且， ()f x (],1-∞(4)(2)f f =-所以由得解得, ()()24f x f <224x -<<12x -<<故选:A.二、多选题9．下列选项中与的值不恒相等的有（） cos θA ．B ．()cos θ-()cos πθ+C ．D ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin π2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用诱导公式逐项化简，可得出合适的选项.【详解】，，，.()cos cos θθ-=()cos πcos θθ+=-πsin cos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3sin πcos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：BCD.10．已知函数，下列说法中正确的是（） ()32log 11f x x =-+A ． B ．无最大值()132f =()f x C ．为偶函数 D ．若，则()f x ()()223f m f m ≤+[]1,3m ∈-【答案】BD【分析】换元法求出函数的解析式，即可求函数值求解A ，根据函数表达式求值域可求解B ，根据奇函数的定义求解C ，根据函数的单调性解不等式求解D. 【详解】设，则，所以， 3log x t =3t x =()2131t f t =-+所以，所以，A 错误； ()2131x f x =-+()213312814f =-=因为，所以，所以， 30x >311x +>20231x <<+所以，无最大值，B 正确； ()()211,131xf x =-∈-+定义域为，()2311,3131x x x f x -=-=++R 且，所以函数为奇函数，C 错误；()3113()3113x xx xf x f x -----===-++因为单调递增，()2131x f x =-+所以由可得()()223f m f m ≤+223m m ≤+即解得，D 正确， 2230m m -≤-[]1,3m ∈-故选:BD.11．若，，则（） 0.12a = 1.152b =A ．B ． 20a b -<()1a a b +<C ．D ．232a <a b +<【答案】ACD【分析】根据指数幂运算律及指数函数的单调性,基本不等式等分别判断即可.【详解】对于,,,故正确;A 1.1 1.10.1522222b a =⨯=<=20a b -<A对于B ，因为，故B 不正确； 2(1)a a a a +=+>1323331020202222(2)222a ==⨯=⨯= 1.152b ==对于,,,,故正确;C ()1220.10.25222a ===()()5551552253243322,,2322aa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232a <C对于D ，故D 正确；=a b >=+故选：ACD 12．已知函数，则（） ()()()()212111ee e e 3x x x xf x k ----=+-++A ．存在，使得有1个零点 B ．存在，使得有2个零点 R k ∈()f x R k ∈()f x C ．存在，使得有3个零点 D ．存在，使得有4个零点R k ∈()f x R k ∈()f x 【答案】AB【分析】根据给定条件，利用平移、换元的方法求出一元二次方程在指定区间上的根，再结合函数的性质推理判断作答.e e x x t -=+【详解】函数向左平移1个单位得，而定义域为R ， ()f x 223)()e e (e e x x x xg x k --=+-++()f x 因此函数在R 上零点个数问题等价于函数在R 上零点个数问题，()f x ()g x 显然，即函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，22()e e (e e 3())x x x x g x k g x ---=+-++=()g x令，函数中，函数在上递增，，在e e 2x x t -=+≥=1e exx t =+e x u =(,0)-∞01u <<(0,)+∞上递增，，1u >而在上单调递减，在上单调递增，因此在上递减，在1t u u =+(0,1)(1,)+∞1e exx t =+(,0)-∞(0,)+∞上递增，，因此函数的零点转化为方程在上根的2222e e (e e 22)x x x x t --+=+-=-()g x 210t kt -+=[2,)t ∈+∞问题，当时，方程化为，显然在上单调递增，，[2,)t ∈+∞210t kt -+=1k t t =+1k t t =+[2,)t ∈+∞52k ≥方程在上有根当且仅当， 210t kt -+=[2,)t ∈+∞52k ≥当时，，此时，即函数有唯一零点0，函数有唯一零点1，A 正确； 52k =2t =0x =()g x ()f x 当时，存在唯一，使得成立，此时，即， 52k >02t >20010t kt -+=0e e x x t -+=20e e 10x xt -+=解得，因此或e x=e x=0>x =， x =所以当时，函数有两个零点，函数有两个零点，B 正确； 52k >()g x ()f x 显然不存在实数，使得函数有3个零点和4个零点，选项C ，D 不正确. k ()f x 故选：AB【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作()0f x =出函数的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个()f x 函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13．__________. 3log 702lg 53lg 4-++=【答案】8【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算计算作答.【详解】. 3log 702lg 53lg 42(lg 5lg 2)17268-++=+-+=+=故答案为：8 14．若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 1cos 2a x -=π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦a 【答案】23a ≤<【分析】先求出时的值域，采用数形结合法可求的范围，进而得解.,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦cos x a 【详解】作出，与的大致图像，如图所示：cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=由图像可知，当，即时,，的图像与的图像有两个11122a -≤<23a ≤<cos y x =,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦12a y -=交点，即方程在时有两个不同的实数根. 1cos 2a x -=,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦故答案为:23a ≤<15．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其[]y x =中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，例如，，当时，函数[]2.32=[]0.51-=-()1.5,2x ∈-[]y x x =的值域为__________. 【答案】[0,2)(2,3) 【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答.【详解】依题意，当时，，则，当时，，则1.51x -<<-[]2x =-2(2,3)y x =-∈10x -≤<[]1x =-，(0,1]y x =-∈当时，，则，当时，，则， 01x ≤<[]0x =0y =12x ≤<[]1x =[1,2)y x =∈所以当时，函数的值域为. ()1.5,2x ∈-[]y x x =[0,2)(2,3) 故答案为：[0,2)(2,3) 16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.()122log log ()f x x ax =1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭a 【答案】[)16,+∞【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.【详解】， ()()()222222222log log ()log log log log log log f a x x ax x x a x x =-=⋅-+=--令，为增函数，[)2log 2,t x =∈-+∞所以，所以在单调递减，()()22log g t t a t =--()()22log g t t a t =--[)2,t ∈-+∞所以，即，解得， 20log 22at =-≤-2log 4a ≥16a ≥故答案为:.[)16,+∞四、解答题17．已知集合，.{}2|230A x x x =--<()(){}|10B x x m x m =--+≥(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. x A ∈x B ∈【答案】(1) R (2)或 4m ≥1m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式，再根据并集运算求解；（2）根据充分不必要关系确定真包含于即可求解.A B 【详解】（1）由解得，所以， 2230x x --<13x -<<{}|13A x x =-<<由解得或， ()()10x m x m --+≥1x m -≤x m ≥所以或， {|1B x x m =≤-}x m ≥当时，所以或， 1m ={|0B x x =≤}1x ≥所以.A B =R （2）因为是的充分不必要条件，所以真包含于， x A ∈x B ∈A B 由（1）知，或， {}|13A x x =-<<{|1B x x m =≤-}x m ≥所以或，即或.13m -≥1m ≤-4m ≥1m ≤-18．函数的最小正周期为.()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数在上的单调递增区间； ()f x []0π，(2)当时，求的值域.ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2) [1,2]-【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得ω()f x []0,π解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故.()f x πT =2π2T ω==π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，则，πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z 即的单调递增区间为.()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 而，所以函数在上的单调增区间是．[]0,πx ∈()f x []0,ππ2π0,,,π63⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）当时，，则，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦1sin ,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以，即的值域为.()[1,2]f x ∈-()f x [1,2]-19．已知指数函数的图象过点 ()(0,1)xf x a a a =>≠1(4,)16(1)设函数，求的定义域和值域；()=g x ()g x (2)已知二次函数的图象经过点，，求函数的单调递增区间. ()h x (0,0)()()121+=-+h x h x x (())f h x 【答案】(1)定义域为,值域为. [)0,∞+[)0,1(2). [)1,+∞【分析】(1)根据定义域的定义解指数不等式求解定义域，再根据指数型复合函数的单调性和最值求值域；(2)根据指数型复合函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，解得或（舍），()4116f x a ==12a =12a =-所以，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 由解得，所以定义域为，1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭0x ≥[)0,∞+因为，所以，所以，0x ≥1012x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭10112x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭所以. ()g x =[)0,1（2）设，因为函数的图象经过点， 2()h x ax bx c =++()h x (0,0)所以，所以， (0)0h c ==2()h x ax bx =+又因为，()()121+=-+h x h x x 所以，22(1)(1)21a x b x ax bx x +++=+-+即，()()22221ax a b x a b ax b x ++++=+-+所以，所以，所以，221a b b a b +=-⎧⎨+=⎩12a b =-⎧⎨=⎩2()2h x x x =-+所以，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在单调递增，单调递减，2()2h x x x =-+(],1-∞[)1,+∞因为指数函数单调递减，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在单调递减，单调递增，221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭(],1-∞[)1,+∞所以的单调递增区间为.221(())2x xf h x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,+∞20．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理万吨垃圾需增加万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾11()g x 处理量（万吨）满足如下关系：（注：总收益总成本利x ()2233100,0105025,10x x x g x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩=+润）.(1)写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量的函数关系； ()f x x (2)当该设备每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1) ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩(2)当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元 823【分析】（1）根据利润总收益总成本可直接得到函数关系式；=-（2）分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值，由此可确定结果.010x ≤≤10x >()f x 【详解】（1）当时，；010x ≤≤()()222331005232105f x x x x x x =-+--+=-+-当时，； 10x >()()505025520f x x x x x=+-+=-+. ()2232105,0105020,10x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪∴=⎨-+>⎪⎩（2）当时，， 010x ≤≤()()222321052823f x x x x =-+-=--+则当时，； 8x =()max 23f x =当时，单调递减，； 10x >()5020f x x x=-+()()1010515f x f ∴<=+=综上所述：当该设备每月垃圾处理量为万吨时，所获利润最大，最大利润为万元. 82321．已知函数. ()31log ax f x x+=(1)若关于x 的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围；()()3log 21f x ax a =-++a (2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过，求实数的0a >11,32t ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭()f x [],1t t +1a 取值范围.【答案】(1)或10a -<≤1a =(2) 38a ≥【分析】（1）根据题意可得，即，再分，，1210ax a a x-++=+>()()110x ax --=0a =1a =1a ≠且三种情况讨论，从而可得答案.0a ≠（2）易得在上单调递减，则有，即，()f x [],1t t +()()11f t f t -+≤3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即，令，则，求出的最大值，进而求出答案. ()1221t a t t -≥+12r t =-1(0,3r ⎤∈⎥⎦()1221t t t -+【详解】（1）由题意有：. ()331log 21log ax a a x ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭所以，① 1210ax a a x-++=+>可得，即， ()2110ax a x -++=()()110x ax --=当时，方程的解为，代入①式，成立，0a =1x =当时，方程的解为，代入①式，成立，1a =1x =当且时，方程的解为， 1a ≠0a ≠11,x x a==若为方程①的解，则，即；1x =10a +>1a >-若为方程①的解，则，即， 1x a=0a a +>0a >要使方程①有且只有一个解，则.10a -<≤综上所述，的取值范围为或.a 10a -<≤1a =（2）令，在上递减， 1u a x=+[],1t t +由函数为增函数，3log y u =所以在上单调递减，()f x [],1t t +因为函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，()f x [],1t t +则有，()()11f t f t -+≤即， 3311log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以，即， 11031a a t t ⎛⎫<+≤+ ⎪+⎝⎭()1221t a t t -≥+令，则， 12r t =-11,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1(0,3r ⎤∈⎥⎦， ()22234341221r t t t r r r r-∴==++-+-在在单调递减， 3y r r =+ 1(0,3r ⎤∈⎥⎦328,3r r ∴+≥ 23384y r r∴=≤+-综上，. 38a ≥22．已知函数，，.若曲线与恰有一个交点且交点横()g x axb =+()21h x x =+()()()g x f x h x =()g x ()h x 坐标为1.(1)求的值及；,a b ()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；()f x (0,1)(3)已知，且，若，试证:.()12,0,x x ∀∈+∞m n <()()f m f n =2m n +>【答案】(1),. 2,0a b ==()221x f x x =+(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据点在图象上，以及交点的个数利用判别式求解；(2)根据单调性的定义求解；(3)将问题转化为求证即证，即证明，再转化为求证，也即2n m >-()()2f n f m <-()()2f m f m <-，构造，讨论单调性和最值求解. 22201(2)1m m m m --<+-+222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+【详解】（1）因为，所以交点的坐标为，()1112h =+=(1,2)所以，()12g a b =+=又因为曲线与恰有一个交点，()g x ()h x 所以联立，可得，()g x ax b =+()21h x x =+210x ax b -+-=则，又因为，所以，24(1)0a b ∆=--=2a b +=2440a a -+=解得，所以，则. 2,0a b ==()2g x x =()221x f x x =+（2）判断在上单调递增，证明如下： ()221x f x x =+(0,1)假设，1201x x <<<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则1201x x <<<120x x -<121x x <1210x x ->所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=<++12()()f x f x <所以在上单调递增.()f x (0,1)（3）假设，121x x <<， ()2212121221212122222221212112222()(1)()()11(1)(1)(1)(1)2x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x +-----=-==++++++因为，所以，，则121x x <<120x x -<121x x >1210x x -<所以，即， 12121222122()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---=>++12()()f x f x >所以在上单调递减，()f x (1,)+∞因为，若，所以，则，m n <()()f m f n =()(0,1),1,m n ∈∈+∞()21,m -∈+∞要证，即证，即证明，2m n +>2n m >-()()2f n f m <-因为，所以即证()()f m f n =()()2f m f m <-代入解析式得，即， 2222(2)1(2)1m m m m -<+-+22201(2)1m m m m --<+-+令， 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+由（2）可知函数在上单调递增， ()221x f x x =+(0,1)所以在上单调递增， 21x y x =+(0,1)根据复合函数的单调性可知在上单调递减， 22(2)1x y x -=-+(0,1)所以在上单调递增，所以 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+(0,1)，即， ()(1)0x ϕϕ<=2221(2)1x x x x -<+-+从而，所以得证. 22201(2)1m m m m --<+-+2m n +>【点睛】关键点点睛：第（3）问中出现了双变量，构造对称关系并结合函数的单调性，将双变量问题转化为单变量是常用的方法，将问题转化求证为，()()2f m f m <-构造对称函数证明. 222()1(2)1x x x x x ϕ-=-+-+。

重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (12)

重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．44．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[，]，则称f （x ）为“倍缩函数”，若函数f （x ）=log 2（2x +t ）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（）A ．（0，）B ．（﹣∞，）C ．（0，]D ．（﹣∞，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是．14．（5分）若tanα=﹣，则sin 2α+2sinαcosα的值为．15．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=﹣，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2017）+f （2019）= ．16．（5分）已知函数（），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x |x 2﹣6x +5＜0}，C={x |3a ﹣2＜x ＜4a ﹣3}，若C ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知cosα=，cos （α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．4．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得，即为，则1＜x≤10，且x≠2，故选：D．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：由f（1﹣x）=f（1+x），得函数关于x=1对称，则c=f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∵当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，且﹣1＜﹣＜0，∴f（﹣1）＞f（﹣）＞f（0），即c＜a＜b，故选：A8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，所以△ABC是等腰三角形．故选：A．9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx•﹣cosxcosx=0，化为：tanx=±1．则sin2x====±1．故选：C．10．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f （x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（0，]D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）若tanα=﹣，则sin2α+2sinαcosα的值为．【解答】解：∵tanα=﹣，∴sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x ≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）=0．【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=﹣=f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=log22=1，f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（2+1）=﹣=﹣1，则f（﹣2017）+f（2019）=﹣1+1=0，故答案为：0．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=2×（+++…+）=2××30=445π．故答案为：445π．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a ﹣3}，若C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C⊆A，∴当C=∅时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；当C≠∅时，a＞1，∴．解得1＜a≤2．综上所述：a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，∴tan=，则tan2α==﹣；（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，得sin（α﹣β）==，可得，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=∴．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（1）∵已知（x∈R，a ∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点），∴f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最大值为a+3=4，∴a=1．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线．如图令==，∴，即面积之比为1：4．（2）由，，由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），x=100时，y=9，代入解得k=，所以y=lgx++5．当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；（2）对于函数模型f（x）==15﹣a为正整数，函数在[50，500]递增；f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344；要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x 对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（本小题12分）（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．…（1分）∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．…（3分）（2）由（1）知，易知f（x）在R上为减函数，…（4分）又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分）∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分）（3）由（1）知，又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，…（10分）即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，…（11分）∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．…（12分）。