离散数学习题

第一篇 绪论内容：（三句话） 典型题例：1、离散数学是计算机科学所涉及的 和 的总称。

2、离散数学是数学中的一个分支，它以 作为其主要研究对象，非常重视 问题的研究。

3、要解决一个问题，首先要证明此问题解的 ，还需要找出得到此问题的步骤来，而且其步骤必须是 ，有规则的，这就是所谓“能行性”问题的研究。

第二篇 集合论内容： 典型题例：1、设集合{}{}2,4,3,a B =，那么下列命题中正确的是 。

A 、B a ∈ B 、{}{}B a ⊆4,3,,2C 、{}B a ⊆D 、{}B ⊆φ2、设A ，B 是集合，如果{}}}2,1{,1{,1==B A ，则 。

A 、B A B A ⊆∈且 B 、B A B A ⊄∈但C 、B A B A ⊆∉且D 、B A B A ⊄∉且3、设集合{}{}4,3,,2a A =，那么下列命题中错误的是＿＿＿。

A 、{}A a ∈B 、{}{}A a ⊆3,4,C 、{}A a ⊆D 、A ⊆φ 4、设集合{}Zx x xA ∈<=,3，{}Z k k x x B ∈==,2，{}5,4,3,2,1=C ,则=-+)(B C A 。

A 、{}5,3,1B 、{}6,4,2C 、{}8,7,6,0D 、{}8,7,6,4,2,05、设{}4,3,2,1=A ，{}9,6,4,2=B ，那么集合A ，B 的对称差A+B= 。

A 、{}3,1B 、{}6,4,2C 、{}9,6,3,1D 、{}9,6,4,3,2,1 6、集合{}e d c b a X ,,,,=，X 上的一个划分{}}}{,{},,{e d c b a =π，那么π所对应的等价关系R 应有有 个序偶。

A 、8 B 、9 C 、10 D 、137、设集合{}3,2,1=B 上的二元关系{})3,3(),1,1(=R ，则R 不具有＿＿＿。

A 、传递性B 、自反性C 、对称性D 、反对称性 8、设集合{}4,3,2,1=X ，X 上的关系{})4,3(),4,2(),3.2(),1,1(=R ，则R 具有 。

A 、自反性B 、非自反性C 、对称性D 、传递性 9、设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{})3,3(),4,2(),4,1(),2,1(=R ，{})2,3(),4,2(),3,2(),4,1(=δ，则关系＿＿＿{})4,2(),4,1(=。

A 、S R -B 、S RC 、S RD 、S R 10、设集合{}c b a X ,,=，1δ，2δ和3δ都是X 上的二元关系，其中{}),(),,(),,(1c c a b b a =δ，{}),(),,(),,(2b c b b c a =δ，{}),(),,(),,(3a c a b c a =δ，则=3δ＿＿＿。

A 、12δδB 、21δδC 、11δδD 、22δδ 11、{}},{,,,,βα==B d c b a A ，那么可以定义 种不同的从A 到B 的映射。

A 、8B 、16C 、32D 、6412、设R 是实数集，函数2)2()(,:+=→x x f R R f ，则f 是＿＿＿。

A 、单射B 、满射C 、双射D 、既不是单射，也不是满射 13、设R 是实数集，映射82)(,:+=→r r f R R f ，则f 是＿＿＿＿＿＿。

A 、单射B 、满射C 、双射D 、都不是14、设{} ,6,4,2=x ，集合的这种表示方法称为＿＿＿＿＿＿；Y={x │x 是正偶数}，集合的这种表示方法称为＿＿＿＿＿。

15、设全集 {}e d c b a E ,,,,=，{}c b a A ,,=，{}e d a B ,,=，则：=⋂B A ~~＿＿＿＿＿＿＿，A+B= ＿＿＿＿＿＿＿。

16、A ，B ，C 为 任意三集合，则⇔=C B A C B A )()( 。

17、=}{φφ ，=-φφ}}{,{a 。

18、设{}a A ,φ=，则=)(A ρ 。

19、设集合{}18,12,9,6,4,3,2=A ，R 是A 上的整除关系，则A 的极大元是＿＿＿，极小元是＿＿＿。

20、设集合{}10,9,8,6,5,4,3,2=X ，R 是X 上的整除关系，则X 的极大元是＿＿＿，极小元是＿＿＿。

21、对于一个关系R ，它可能具有 、 、 、 、 等五种性质。

22、对于一个等价关系{})4,4(),2,4(),3,3(),1,3(),4,2(),2,2(),3,1(),1,1(=R ，则它对应的等价类为 。

23、设集合{}e d c b a A ,,,,=，A 上的等价关系{}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(e e b e d d a d c c e b b b d a a a R =，则它所对应的等价类为 。

24、设集合{}7,6,5,4,3,2,1=A ，A 上的一个划分{}}6,4,2{},7,5,3,1{=π，那么π所对应的等价关系R 应有＿＿＿个序偶。

25、凡与自然数集等势的集合都是可列集，那么整数集Z 是 ，实数集R 是 。

26、一集合为无限集，则它必含有与其＿＿＿的真子集，在无限集中，最小的无限集是＿＿＿，其次是＿＿＿。

27、集合A={a,b,c}的幂集ρ（A ）上的“⊆”关系是一个偏序关系，设B={{a,b},{b,c},{b},{c},Φ，则B 的极大元素为 ，极小元为 ，上确界为 ，下确界为 。

28、设A ，B 为有限集，且n B m A ==,，那么A 与B 间存在双射，当且仅当 。

29、设集合{}5,4,3,2,1=A ，{}b a B ,=，则从A 到B 的所有映射有＿＿＿个，其中满射有＿＿＿个。

30、设集合{}c b a A ,,=，{}3,2,1=B ，则从A 到B 的所有映射有＿＿＿个，其中双射有＿＿＿个。

31、证明题设A ，B ，C 为任意集合，试证明：)()()(C A B A C B A ⨯⨯=⨯ 。

32、简答题试解释偏序关系和等价关系的概念，并给出一个集合上的关系，使它既是偏序关系又是等价关系。

33、设{} ,2,1=N ，并设~是N ×N 上的关系，其定义为：若ad=bc ，则有（a,b ）~(c,d)，试证明：~是一个等价关系。

34、计算题 1、 设集合{}a A ,φ=，{}3,2,1=B ，φ=C ，求：C B A B A A A ⨯⨯⨯⨯,,)(ρ。

2、 设集合{}b a A ,=，{}3,2,1=B ，{}4,3=C ，求：()()()C A B A A A ⨯⋂⨯⨯,ρ。

3、 设集合{}b a A ,=，{}1,0=B ，φ=C ，求：CB A A B B A ⨯⨯⨯⨯,)(,22。

4、设集合{}4,3,2,1=A ，A 上二元关系{}2),(+==a b b a R ，{}2/1),(a b a b b a S =+==或，求（1）复合关系R S S R ,，（2）求R 与S R 的逆关系的关系矩阵。

5、 集合{}d c b a A ,,,=，{}),(),,(),,(),,(),,(d d d b c b a b a a R =，求()R r ，()R s 和()R t 。

6、设集合{}e d c b a A ,,,,=，A 的二元关系{}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(e e e d d d e c c c e b b b e a d a c a b a a a R = （1）画出偏序集（A ，R ）的哈斯图； （2）写出A 的最大元、最小元；（3）判定偏序集（A ，R ）是不是格？元素b 的补元素是什么？7、设{}f e d c b a S ,,,,,=，S 上的偏序关系R={(a,a), (b,a), (b,b),(c,a),(c,c),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(e,a), (e,c),(e,e),(f,f)}。

（1）试画出偏序集（S ，R ）的哈斯图；（2）写出（S ，R ）的最大(小)元，极大（小）元。

第三篇 代数系统内容：典型题例：1、下面的代数系统（G ，*）中，＿＿＿不是群。

A 、G=Q ，*是加法B 、G=Q ，*是乘法C 、{}Q b a b a G ∈+=,2，*是加法D 、{}Z i i G ∈=3，*是加法 2、设G 是含6个元素的循环群，a 是生成元，则下列为G 的子群的是＿＿＿。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a e D 、{}2,,a a e3、下面的代数系统（G ，*）中，*是普通加法运算，则 不是群。

A 、G 为有理数集合B 、G 为整数集合C 、G 为实数集合D 、G 为自然数集合 4、设),,( +R 是环，),,( +S 是它的子代数，),,( +S 是),,( +R 的子环的充要条件是 。

A 、S b a S b a ∈∈∀ 都有对,, B 、S b a S b a ∈∈∀-1,, 都有对 C 、S a S a ∈∈∀-1,都有对 D 、存在单位元 5、下面的代数系统（G ，*）中，＿＿＿不是群。

A 、G 为n 阶方阵的集合，*为矩阵乘法 B 、G 为有理数集合，*为加法C 、G 为整数集，*为加法D 、G 为偶数集，*为加法6、一个群() ,G ，而H 是G 的子集，那么() ,H 是() ,G 的子群的充要条件是＿＿＿＿＿＿。

A 、,H a ∈∀ 则 H a ∈-1B 、 ,,H b a ∈∀ 则 H b a ∈C 、,,H b a ∈∀则H b a ∈-1D 、存在单位元，存在逆元 7、在群()88,+Z 中，其单位元为 ，[2]的逆元素为 ，而[2]的周期为 。

8、在群()55,+Z 中，其单位元为 ，所有可能的子群为 。

9、设集合{}4,3,2,1=A 上的两个变换δ与τ分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42314321δ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21434321τ，则δτ= 。

10、集合{}6,5,4,3,2,1=A 上的两个变换δ与τ分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=256413654321δ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=564132654321τ，则δ τ=＿＿＿＿ 。

11、在群()66,+Z 中，其单位元为＿＿＿，[2]的逆元素为＿＿＿，而[2]的周期为＿＿＿。

12、集合{}e d c b a A ,,,,=上的两个变换δ与τ分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a edcbe d c b a δ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e adbc ed c b a τ，则δ τ=＿＿＿＿＿＿。

13、设{}8,6,4,2=A ，二元运算*定义为a*b=min(a,b),那么在（A ，*）中，单位元是＿＿＿，零元是＿＿＿。