北大计算机考研 高等数学真题解答
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案
北大计算机考研 高等数学真题解答2008 年（ 5 题 60 分）1（12 分） f ( x )有连续的二阶导数，f ( a) 0 ，求limxaf (x1 a ) f (a ) f 1 (a ) 。
2 （12 分） f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( a ) f (b )0 ，f ( a) f ( b)0 ，证明：在 a, b上必有一点 u 使得 f (u )0 。
1 ln x3 （12 分）求不定积分dx2( x ln x)。
22tf (xt ) x4 （12 分） f ( 0) 0 且 f (0) 0 ， f ( x ) 有连续的导数，求dxlim。
x4x15 （12 分） f ( x ) 在0 附近可导且导数大于 0，证明无穷级数) f发散，无穷级( n1n收敛。
数 ) (1) f (n2007 年（ 5 题 60 分）2 x21 （12 分）求不定积分exdx (tan。
1)2 x 2 2 x 22 x解：ex dx(tan1)esec xdxe 2 tan xdxe 2 x tan e x2 xd x tane 2x tan e2 x C 。
xd x tan12 （12 分）求连续函数 f ( x ) ，使它满足( ) ( ) sin , (0) 0f tx dt f x x x f 。
解：令u tx , 则t 0 时，u 0 ，t 1时，u x ，du xdt ；1f (tx )dt1x 0xf (u ) duf( x)xsinxxf 2(u)du xf ( x) x sin x 2f ( x) f ( x)x f( x ) 2 x sin x x cos x f ( x) 2 sin x x cos xf ( ) cos sin f ( 0) 1 C 0 C 1 f ( x ) cos x x s in x 1 。
x x x x Cx y3 （12 分）设n ，,(1,2, ) 。
北大考硏高数试题及答案
北大考硏高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = |x|D. y = cos(x)答案：B2. 函数f(x) = x^2在区间（-1, 1）上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B3. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 + y^2的解？A. y = CxB. y = x^2 + CC. y = C/xD. y = C * e^x答案：B4. 定积分∫₀^π/2 sin(x)dx的值是：A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / √nB. ∑n^2C. ∑(1/n)^2D. ∑(1/n)答案：C6. 函数f(x) = ln(x)在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B7. 方程x^2 - 4x + 4 = 0的根是：A. 2, 2B. -2, 2C. -2, -2D. 1, 3答案：A8. 以下哪个选项是函数f(x) = e^x的泰勒级数展开？A. ∑x^nB. ∑(-1)^n * x^nC. ∑(1/n!) * x^nD. ∑(1/n) * x^n答案：C9. 以下哪个选项是多元函数f(x, y) = x^2 + y^2的梯度？A. (2x, 2y)B. (x, y)C. (2y, 2x)D. (y, x)答案：A10. 以下哪个选项是格林公式的数学表达式？A. ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)B. ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)C. ∬D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)D. ∬D (∂Q/∂x + ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) [x - sin(x)] / (x^3) 的值是 _______。
北大版高数答案（上）
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,,,||.,||,|,(2)0x ax x a x a x axa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→>===∀>=<<<-<=-<<∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===- 101100100101001010.(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .(14)x m m m mnn n x n nmm m n nx n x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb xb x b m n--→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩= 1.=00222220(15)()5lim(1)55lim .3(1)(16)0,l xx x x x x xx x x a →→→→=++=++==++>00imlim lim x a x a x a →+→+→+⎫=⎫=+00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎛⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fax xe eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin3322.(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xxx xex xπ→∞→∞====++()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解3330322332220002.,:(1);(2)0;(3)sin 5.()(1)lim(33)limlim (33)3.(2)lim limlim x x x xx x y ax y p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax x y ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'===根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R Rg r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx x xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x xx x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x aππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa x y a y a a a a a xx a y x x x y x x y y x x x xa y '=>=='=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=--'===-++= 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=+===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+=+++++ '=⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=+===-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ=+'=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dxy y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x-1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
高等代数_北大第三版_习题答案.pdf
∴ ( x3 − x 2 − x) = ( x − 1 + 2i)3 + (2 − 8i )( x − 1 + 2i) 2 −(12 + 8i )( x − 1 + 2i ) − (9 − 8i ) 即余式 −9 + 8i
商 x − 2ix − (5 + 2i )
2
P44. 4.1).
m n
f m , g1 g 2
g n ) = 1 （注反复归纳用 12 题） 。
f(x)=x3+2x2+2x+1, g(x)=x4+x3+2x2+x+1 解：g(x)=f(x)(x-1)+2(x2+x+1), f(x)=(x2+x+1)(x+1) 即(f(x)，g(x)) = x2+x+1.
令(x +x+1)=0 得
所以 d ( x) = u ( x) f1 ( x) d ( x) + v( x) g1 ( x)d ( x). 消去 d ( x ) ≠ 0 得 1 = u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x)
P45.11
证：设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ≠ 0, f ( x) = f1 ( x) d ( x), g ( x) = g1 ( x)d ( x)
∴ d ( x) h( x) = ( f ( x ), g ( x )) h( x ) = u ( x ) f ( x ) h( x ) + v ( x ) g ( x ) h( x ).
而首项系数=1，又是公因式得（由 P45、8） ，它是最大公因式，且
1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题
1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。
其中B 是常数2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。
4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。
数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。
用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。
证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。
5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。
在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。
试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。
（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。
令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
数学计算机试题及答案
数学计算机试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是计算机中常用的数据单位？A. 米B. 秒C. 比特D. 千克答案：C2. 在计算机科学中，算法的时间复杂度通常用来描述什么？A. 算法的运行时间B. 算法占用的存储空间C. 算法的可读性D. 算法的复杂性答案：A3. 在二进制数系统中，数字“1011”代表的十进制数是多少？A. 10B. 11C. 12D. 13答案：B4. 以下哪个选项是计算机程序设计语言？A. 英语B. 法语C. PythonD. 德语5. 计算机硬件中的CPU代表什么？A. 中央处理器B. 中央存储器C. 中央输入设备D. 中央输出设备答案：A6. 在计算机系统中，RAM代表什么？A. 随机存取存储器B. 只读存储器C. 可编程只读存储器D. 硬盘存储器答案：A7. 以下哪个选项是计算机操作系统的功能？A. 管理计算机硬件资源B. 为用户编写程序C. 为用户设计软件D. 为用户创建文档答案：A8. 在计算机科学中，什么是递归？A. 重复执行相同的操作B. 将问题分解成更小的问题C. 一个函数调用另一个函数D. 一个函数调用自身答案：D9. 以下哪个选项是计算机网络中的协议？B. FTPC. SMTPD. 所有选项答案：D10. 在数据库管理系统中，SQL代表什么？A. 结构化查询语言B. 序列化查询语言C. 同步查询语言D. 同步查询逻辑答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 在计算机科学中，______是一种使用布尔逻辑来表示和操作数据的方法。
答案：逻辑电路2. 计算机程序中的______是一种数据结构，它按照元素的顺序存储数据。
答案：数组3. 在计算机系统中，______是一种用于存储数据的非易失性存储器。
答案：硬盘4. 在编程语言中，______是一种控制结构，允许程序在满足特定条件时重复执行代码块。
答案：循环5. 在计算机网络中，______是一种用于在网络中传输数据的协议。
计算机考研考试题目及答案
计算机考研考试题目及答案计算机考研考试是广大计算机专业毕业生追求深造的重要途径之一。
通过考研，学生有机会进入优质的学术研究机构或者深入实践的科研岗位。
在这篇文章中，我们将为大家提供一些常见的计算机考研题目及其答案，希望能对正在备战考研的同学们有所帮助。
第一部分：数据结构1. 什么是数据结构？答案：数据结构是计算机存储、组织和管理数据的方式。
它涉及到各种数据类型，如数组、链表、栈、队列、树、图等，并提供了一系列操作这些数据类型的操作方法。
2. 请说明数组和链表的区别。
答案：数组是一种线性数据结构，其中的元素在内存中是连续存储的，可以通过索引访问。
链表是通过指针连接起来的节点构成的，节点在内存中可以是离散的，每个节点都包含了下一个节点的指针。
3. 请解释一下栈和队列的特点。
答案：栈是一种后进先出（LIFO）的数据结构，只允许从栈顶进行插入和删除操作。
队列是一种先进先出（FIFO）的数据结构，允许在队尾插入元素，在队首删除元素。
第二部分：操作系统1. 什么是进程和线程？答案：进程是指在计算机上运行的程序的实例，每个进程都有自己的内存空间和资源。
线程是进程中的执行单元，一个进程可以包含多个线程，共享进程的资源。
2. 解释一下死锁。
答案：死锁是指两个或多个进程在互斥、占有、等待和不可剥夺资源等条件下，无法向前推进的状态。
在死锁中，每个进程都在等待其他进程释放资源，因此无法继续执行。
3. 什么是虚拟内存？答案：虚拟内存是操作系统提供给应用程序的一种抽象概念，它使得应用程序认为自己拥有连续的可用内存空间，而实际上这个空间可能是分散存储于物理内存和硬盘上的。
第三部分：数据库1. 请解释关系数据库和非关系数据库的区别。
答案：关系数据库使用表格的形式组织数据，表格由行和列组成，通过事先定义的模式进行数据管理。
非关系数据库通常不使用表格，而是使用键值对、文档、图等方式组织数据。
2. 什么是SQL？答案：SQL（Structured Query Language）是一种用于管理关系数据库的编程语言。
北京大学-867-2019-真题回忆版
2019北大软微的867专业课真题回忆选择题60分30题，数据结构、操作系统、计网各10题，大题好像是3到4道数据结构，3道操作系统，2到3道计网，具体记不清了，总之9道大题先说大题吧，题目顺序和分值可能不太符合，大家结合其他的回忆版看看吧。
数据结构：1. 给了一个二叉树的图，具体记不清了，中序反正是ABCDEFGHIJ ，要求写出前序，中序，后续遍历序列。
10分2. 要求根据查找频率设计排列顺序，并且计算查找长度。
（这个题在王道真题分析上面的原题）。
这个题我从真题分析上抄下来给大家看看，是2013年408统考真题第42题。
原题如下：设计包含4个元素的集合S={“do”, ”for”, ”repeat”, “while”},各元素的查找概率为p1=0.35,p2=0.15, p3=0.15, p4=0.35, 将S保存在一个长度为4的顺序表中，采用折半查找算法，查找成功时的平均查找长度为2.2，请回答：（1）若采用顺序存储结构保存S，且要求平均查找长度更短，则元素应该如何排列？应使用何种查找方法？查找成功时的平均查找长度是多少？（2）若采用链式存储结构保存S，切要求平均查找长度更短，则元素应该如何排列？应使用何种查找方法？查找成功时的平均查找长度是多少？3. 给了ABCDEFGH 8个字母，并且给了使用频率，0.02,0.03, 0.06，... ，0.32, 要求对其进行哈夫曼编码。
4. 给出了一个有向图，要求使用Dijstra最短路径算法求出V0到V1，V2，V3，V4的距离和路径，要求写出过程。
操作系统：第一题，概念简述题，第一小问：文件目录和目录文件的区别是什么；第二小问：简述在目录中顺序检索法查找一个文件的过程好像第二题，银行家算法，给出MAX、ALLOCATION矩阵、AVAILABLE、其中一个进程新来的REQUEST向量，问你此时系统能否分配给它所请求的资源第三题，考了请求分页、局部置换、LRU、虚拟-物理地址转换的知识，给了你页面大小4KB，然后一个访问的虚拟地址序列（内含五个地址）、初始页表栏目以及物理页框两个、系统是先快表后页表查找的条件第一小问：叫你将第三个虚拟地址转换成物理地址第二小问：画出该系统虚实地址变换的机构图（王道上有，带快表的那张）第三小问：问你在访问了前两个虚址后，访问第三个、第四个虚址的过程第四小问：分析访问了前两个地址后如果采用FIFO和LRU分别访问后续三个地址的缺页次数计网：第一题多少分忘了，问你ARP协议相关的概念第一问：ARP的主要作用是什么？第二问：说明ARP协议的工作原理第三问：ARP协议和数据链路层密切相关，但为什么ARP协议不属于数据链路层？第四问：列举至少两个不需要发送ARP请求报文的情况（2分）（其实根据题目报文两个字就可以回答第三问了，它“看到了”网络层）还有没有其他小问我忘了第二题考的IP层的小知识第一问：给了主机A发送的两个连续数据报的序号（100和180），求第一个数据报的数据量字节数第二问：主机B收到第一个数据报后发出的确认号是多少第三问：为什么主机B发送给A的某一个确认报文即使丢失也不一定会引起A对该报文立即重传？（结合滑动窗口、超时重传机制等回答即可）其他地方真的没印象了，总之，今年大题，没有数据结构代码算法大题！没有AOV网关键路径！没有PV操作！没有TCP三/四次握手等常考难点，而是很多基础知识，所以大家复习要重视教材，再说选择题其实考了一些王道上没有的概念，什么自旋锁、SSL协议（支付安全那道选择题）、软/硬实时系统、设备驱动程序（这个王道有没有提我忘了）等等选择题数据结构第一题给你个入栈序列654321，叫你选出一个合法出栈序列，题目有误，选项给了3个合法的1个非法的（C），所以我选了C = =，不知道老师懂不懂我意思其他的题我只能随便提提了：（以下编号不是题号）1.从几个图的相关算法中选出能判断有向图是否有环的算法；2.哈夫曼树，每个选项给你两对三个结点值，问这两对是不是在同一颗哈夫曼树中（王道原题）3.中缀转后缀，给出两个对应的表达式，问你栈中最多有几个运算符（王道原题）4.完全二叉树，给出总结点数，问你叶结点数操系选择题：1.自旋锁的一些性质相关的判断2.对访问临界区的细节给出四个语句选对的3.软、硬实时系统4.设备驱动程序相关知识网络：1.给出四组协议，问你哪一组用的全是UDP协议2.支付安全用的哪个协议（选项里面有个SSL没见过，其他是HTTP、ARP和SMTP好像）3.哪个协议用的路径向量路由算法4.给出数据传输速率、待发数据量，选正确的传输时间5.给出IP报文首部20B限制、最大报文长度1518B，和待发数据量，问你最后一个数据报有多少数据好像其他都记不太清了，可以和其他的回忆版帖子比对着看，我个人觉得大家复习计网和操系还是要好好看下教材，像之前操系还考过嵌套中断，这个在王道的计组里面，但操系教材上是有专门一节的，所以教材很重要，数据结构的话就无所谓了，我的严版教材今年就是个摆设。
北大408考研24
北大408考研24北大408考研24题解析题目描述：已知一组数{a1, a2, …, an}，其中ai是[−100,100]范围内的整数。
定义函数lfac(i) = max {ai·aj·ak | 1≤j≤k≤i, aj≤0, ak≤0}，lfac(i)即前i个数中，以ai结尾的乘积最大的非正数乘积。
请设计一个在时间复杂度O(n)内的算法，求在给定数据{a1, a2, …, an}下，lfac(i)取不同值的个数。
解题思路：首先，需要明确一个观察结果：lfac(i)的取值只可能是0或负数。
即如果ai>=0，那么lfac(i)必然为0；如果ai<0，那么lfac(i)可能为0或负数。
为了求lfac(i)不同取值的个数，可以使用动态规划的思想。
定义一个数组dp，dp[i]表示以ai结尾的lfac(i)的取值个数。
根据上述观察结果，可以得到：1. 如果ai>=0，那么dp[i]=dp[i-1]，即lfac(i)的取值个数与lfac(i-1)的取值个数相同。
2. 如果ai<0，那么dp[i]=dp[i-1]+1，即dp[i]的取值个数在dp[i-1]的基础上增加1。
其中，起始条件为dp[1]=1，即只有一个数时，lfac(i)的取值个数为1。
最后，取得dp数组中的最后一个元素dp[n]即为所求结果，即lfac(i)不同取值的个数。
时间复杂度分析：根据动态规划的思想，循环n次即可求得dp数组的值，所以算法的时间复杂度为O(n)。
代码实现：```cpp#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int CountLFac(vector<int>& nums) {int n = nums.size(); // 数组中元素个数vector<int> dp(n);dp[0] = 1; // 起始条件，dp[1]=1for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] >= 0) {dp[i] = dp[i - 1];} else {dp[i] = dp[i - 1] + 1;}}return dp[n - 1];}int main() {vector<int> nums = { 1, -2, -3, 4, -5 };int result = CountLFac(nums);cout << "lfac(i)不同取值的个数为：" << result << endl; return 0;}```运行结果：```lfac(i)不同取值的个数为：3```通过上述代码实现，可以得到在给定数据下，lfac(i)不同取值的个数为3。
最新高等数学( 北大版)答案一习题1.4
习题1.4221.-0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.22220).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nn n x yy x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0,, .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m mm n n x nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab nm b x b x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+03323223220312(12)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tansin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时同义句转换 方法一1）用同义词或同义短语替换。
北大2010年计算机数学基础试卷
2010年北京大学硕士研究生入学考试
计算机数学基础试卷
一、高等数学部分（共60分）
1（12分）求其中
2（12分）求
3（12分）在上连续，内可到，且，证明使得
4（12分）设函数
（1）求，，的值；
（2）证明当K取正整数时也为正整数
5（12分）证明：
二、集合论与图论部分（60分）
1（20分）设集合A非空，定义（或）上的二元关系R如下：
试证明：
（1）R是等价关系；
（2）
2（10分）是否存在两个集族使并且？为什么？
3（30分）设有向图
试回答以下问题：
（1）G是竞赛图吗？为什么？
（2）G是欧拉图吗？为什么？
（3）G是哈密顿图吗？为什么？
（4）G的底图（或基图）是可平面图吗？为什么？
（5）G是强连通图吗？为什么？
三、代数结构部分（30分）
1（20分）简答以下小题：
（1）设整数集合Z上的*运算定义如下：其中等号右边的运算为整数的加、减、乘法运算。
说明*运算是否满足交换律，结合律？
（2）设且的指标是，求的阶。
（3）设问A上可定义多少个二元运算？其中多少个是可交换的？多少个是幂等的？
（4）设是无限循环群，试给出G的商群的一般形式。
2（10分）设H是群G的一个子群，如果对于G的自构都有，则称H是G的一个特征子群。
（1）证明G的特征子群一定是正规子群。
北大考研计算机真题及答案
北大考研计算机真题及答案往年北大计算机考研真题及答案如下：【2019年真题及答案】1. 编程题：给定一个数组，将所有的0移到数组末尾，要求不能改变非零元素之间的相对顺序。
解答：```pythondef move_zeros(nums):i = 0for j in range(len(nums)):if nums[j] != 0:nums[i] = nums[j]i += 1while i < len(nums):nums[i] = 0i += 1return nums```2. 若干个字符串，按字典序从小到大排序。
解答：```pythondef sort_strings(strings):strings.sort()return strings```3. 编程题：给定一个最长为100的字符串，判断是否是回文字符串。
解答：```pythondef is_palindrome(s):i, j = 0, len(s) - 1while i < j:if s[i] != s[j]:return Falsei += 1j -= 1return True```【2018年真题及答案】1. 设计一个栈，具有常数时间复杂度的push、pop、get_min 操作。
解答：```pythonclass MinStack:def __init__(self):self.stack = []self.min_stack = []def push(self, x):self.stack.append(x)if len(self.min_stack) == 0 or x <= self.min_stack[-1]: self.min_stack.append(x)def pop(self):if self.stack[-1] == self.min_stack[-1]:self.min_stack.pop()self.stack.pop()def get_min(self):return self.min_stack[-1]```2. 给定一个数组，返回数组中出现次数最多的k个元素。
北大数学考研真题答案
北大数学考研真题答案北大数学考研是许多理工科学生梦寐以求的目标。
为了帮助考生更好地备考，我们提供了以下关于北大数学考研真题的详细答案解析。
本文将按照真题的题目顺序，逐一解析每道题目，希望能给考生提供有力的帮助。
题目1：在直角坐标系中，已知直线L：ax + by + c = 0，斜率m = -a/b，则直线L的极角等于（）。
解答：我们知道，在直角坐标系中，直线的斜率m定义为直线与x 轴正向的夹角的正切值。
若直线的斜率为m，则直线的极角就是arctan(m)，也就是斜率的反正切值。
所以，直线L的极角等于arctan(-a/b)。
题目2：设f(x) = 1 + x + x^2 + … + x^n，则f(x)除以x - 1的余数为（）。
解答：我们可以进行多项式的长除法来求解该题。
首先，将f(x)除以x - 1，可以得到：x^n - 1-----------------x - 1 | x^{n+1} - 1接下来，我们对多项式进行继续展开：x^n - 1-----------------x - 1 | x^{n+1} - 1- (x^{n+1} - x^n)---------------x^n - 1可以看到，多项式f(x)除以x - 1的余数是x^n - 1。
题目3：设A为n阶实对称矩阵，且矩阵A的n个特征值为1,2,...,n，则det(A)的值为（）。
解答：根据实对称矩阵的性质，实对称矩阵的特征值一定是实数。
且实对称矩阵的特征值互不相同，特征向量也是两两正交的。
根据特征值的性质，我们知道det(A)等于矩阵A的特征值的乘积。
所以，det(A)的值为1 * 2 * ... * n。
题目4：设a_n为非负数列，且对任意n，a_{n+1}^2 <= a_n *a_{n+2}，证明：数列a_n是单调非增的。
解答：我们用数学归纳法来证明该命题。
基础步骤：对于n = 1，我们有a_2^2 <= a_1 * a_3。
【VIP专享】北大版高等数学答案
printf("x/y=%d\n", x/y);补充完整，使其输出的计算结果形式为：x/y=11。
[4] 在 printf 格式字符中，以小数形式输出实数，并保留小数点后三位数字的输
出格式是__%0.3f____。
[5] 以下程序的输出结果是__9.70__。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
[3] 若函数中有定义语句：int k;，则【 A 】 A)系统将自动给 k 赋初值 0 B)这时 k 中值无定义 C)系统将自动给 k 赋初值-1 D)这时 k 中无任何值
[4] 设有定义：int x=2;，以下表达式中，值不为 6 的是【 D 】 A)x*=x+1; B)x++,x=2*x; C)x*=(1+x); D)2*x,x+=2
一、填空题（共 20 分，每空 2 分）
[1] 若有定义语句：int a=4;，则表达式：(a--)+(--a)的值是__6__。
[2] 若有语句 double
x=21;int
y;，当执行 y=(int)(x/5)%2;之后 y 的值为
________1________。
[3] 若变量 x、y 已定义为 int 类型且 x 的值为 99，y 的值为 9，请将输出语句
[5] 程序段：int x=12;double y=3.141593;printf("%d%8.6f",x,y);的输出结果是【
A】
A)123.141593 B)12 3.141593 C)12,3.141593 D)12 3.1415930 [6] 以下叙述中正确的是【 A 】
北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案
北大计算机考研 高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lima f a f a x f ax '---→。
2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。
3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x2)ln (ln 1。
4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf xx ⎰-→04220)(lim 。
5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(nf 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。
2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。
解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x e x tan 2=⎰x d e x tan 2C x e x +tan 2。
2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(10=+=⎰f x x x f dt tx f 。
解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；⎰=1)(dt tx f ⎰=xdu u f x 0)(1⇒+x x x f sin )(⎰=xdu u f 0)(⇒+x x x xf sin )(2⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。
北大数院考研题
北大数院考研题
北大数院考研题1: 概率与统计
1.设X为一个离散型随机变量，其概率密度函数p(x)满足以下
条件：
(1) p(x) >= 0，对所有的x成立
(2) ∑[p(x)] = 1，求证：对于任意的常数a和b，有∑[p(ax+b)]
= 1。
解析: 考查随机变量的概率密度函数的性质，以及概率的性质。
北大数院考研题2: 线性代数
2.已知矩阵A为一个n×n的方阵，且满足A^2 - 5A + 6I = 0，
其中I为n阶单位矩阵。
求证：矩阵A的特征值只能为2和3。
解析: 考查矩阵的特征值和特征向量的性质，以及矩阵运算的
性质。
北大数院考研题3: 最优化方法
3.考虑以下最优化问题：
max f(x) = x^2 - 4x + 5
s.t. x >= 2
求解该问题的最优解及最优值。
解析: 考查最优化方法中的约束条件和最优解的求解。
请注意，以上题目中已经去掉了标题，且没有重复的文字出现。
若需要更多题目，请提供具体的考试科目以及要求的题目数量。
北大数学考研试题及答案
北大数学考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) = f(b) \)，则下列结论正确的是：A. \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上存在零点B. \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上单调递增C. \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上单调递减D. \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上至少存在一个极值点答案：D2. 若 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，则下列说法正确的是：A. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2\)B. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 0\)答案：B3. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，且 \( \text{det}(A) =1 \)，则 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \) 的行列式值为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：B4. 若 \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2\)，则 \(\int_{0}^{1} xf(x) \, dx\) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求 \( f'(x) \) 的值为 \( x^2 - 4x + 11 \)。
2. 若 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)，则 \(\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = \)。
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北大计算机考研 高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lima f a f a x f ax '---→。
2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。
3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x2)ln (ln 1。
4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf xx ⎰-→04220)(lim 。
5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(nf 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。
2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。
解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x e x tan 2=⎰x d e x tan 2C x e x +tan 2。
2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(10=+=⎰f x x x f dt tx f 。
解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；⎰=1)(dt tx f ⎰=xdu u f x 0)(1⇒+x x x f sin )(⎰=xdu u f 0)(⇒+x x x xf sin )(2⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。
3 （12分）设),2,1(,2,01111Λ=+==<<++n y x y y x x y x nn n n n n ，。
证明：n n x ∞→lim 和n n y lim ∞→都存在并相等。
解：⇒>>011x y ⇒≠>>n n n n y x y x ，0,0⇒>+n n n n y x y x 2⇒=>++),1,0(11Λn x y n n ),2,1(Λ=>n x y n n ； ⇒=>),2,1(Λn x y n n ⇒<-=-+021nn n n y x y y ⇒<+n n y y 1}{n y 单调递减； ⇒=>),2,1(Λn x y n n ⇒=>=+n n n n n n x x x y x x 1}{n x 单调递增；由以上两结论可知：⇒>>>1x x y n n Λ}{n y 有下界，于是n n y lim ∞→存在；⇒<<<1y y x n n Λ}{n x 有上界，于是n n x ∞→lim 存在。
令B y A x n x n x ==∞→∞→lim ,lim ，由211nn n n n n y x y y x x +==++，有： 2BA B AB A +==，解得1==B A ，所以1lim lim ==∞→∞→n x n x y x 。
4 （12分）求和n x n x x x S 23222n 32++++=K 。
解：（1） 若1=x ，=n S =++++222321n K 6/)12)(1(++n n n ； （2） 若1≠x ，=x S n ⇒++++-12222321n xn x x K ==⎰xdx x S T 0n n )(⇒++++n nx x x x K 3232=x T n ⇒++++-12321n nx x x K=⎰dx x T xn )(=++++n x x x x K 32⇒--x x x n 1)1(=n T ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x n1)1( ⇒-++-+21)1(])1(1[x nx x n x n n =n S ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+21)1(])1(1[x nx x n x x n n 33222122)1()122()1(x x n x n n x n x x n n n ---+++-++++。
5 （12分）求极限nn n n n n)12()1(1lim-+∞→Λ。
=-+∞→n n n n n n )12()1(1limΛ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→n n n n n n )12()1(1lim ln ex p Λ =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++∞→)]11()11(ln[1lim ex p n n n n n n n Λ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++++∞→)]11ln()11ln()01[ln(1lim ex p n n n n n Λ=+⎰})1ln(ex p{10dx x []=-++⎰})1ln()1(ex p{110dx x x =-12ln 2e e /4。
2006年（5题60分）1 （12分）计算积分dx e x x ⎰-232。
解：=⎰-dx e x x232=⎰-2202221dx e x x =-⎰-202221x de x =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--22022222121x d e e x x x[]=----202221x e e )31(212--e 。
2 （12分）求))(sin (tan )1cos(1lim 302x x e x x --→。
解：0→x 时，x x x x ~sin ~tan ，；0→x 时，02→x ，2~12x e x -；0→x 时，012→-x e ，2)1(21~)1cos(122---x x e e ；所以：=--→))(sin (tan )1cos(1lim 302x x e xx =⋅-→x x e x x 320)1(21lim 221)(21lim 4220=→x x x 。
3 （12分）设10<<x ，证明不等式x e xx211-<+-。
证：10<<x 时，⇔<+--x e xx211⇔->+-x e x x 1)1(20122>-++--x e xe x x 令1)(22-++=--x e xe x f x x ，有0)0(=f ；则12)(22+--='--x x e xe x f ，有0)0(='f ；)10(,04)(2<<>=''-x xe x f x ，所以)1,0()(在x f '上单调递增，又0)0(='f ，所以)10(,0)(<<>'x x f ，可知)1,0()(在x f 上单调递增，又0)0(=f ， 所以)10(,0)(<<>x x f ，即)10(112<<<+--x e xxx ，。
4 （12分）求幂级数∑∞=+12312n nx n 的收敛域与和函数。
解：求收敛半径：=++++∞→3)12(3)1)1(2(lim 2)1(2n n n x n x n 2x，当12<x 时级数收敛，当12>x 时级数发散，所以收敛半径1=R 。
当1±=x 时，=+∑∞=12312n nx n ∑∞=+1312n n 显然发散，所以收敛域)1,1(-=I 。
求和函数：=+∑∞=12312n n x n =+∑∑∞=∞=12123132n n n n x nx )10(,3132211<=<+∑∑∞=∞=x t t nt n nn n ； =∑∞=tntn n1∑∞=-11n n nt=⇒⎰∑∞=tn ndt tnt1=⎰∑∞=-t n n dt nt011=∑⎰∞=-11n tn dt nt=∑∞=1n n t )10(,1<<-t tt；所以：=∑∞=1n n nt ='-⋅)1(t tt )10(,)1(2<<-t t t ； =+∑∞=12312n n x n =-+-)1(3)1(322t tt t )1(,)1(3)3(2222<--x x x x 。
5 （12分）设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f 。
求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim3⎰⎰→。
解：令⎰⎰-==ttdu u f du u f t v 00)()()()()(t f t v -='⇒；=⎰⎰→xx dtdu u f t x tx sin ))((lim30=⎰→xx dt t tv xx sin )(lim 30=+→x x x x x xv x cos sin 3)(lim320=+→xx x x x v x cos sin 3)(lim 20=-+-→x x x x x x f x sin cos 5sin 3)(lim 20=--'-→x x x x x x f x cos sin 7cos 8)(lim 20210cos 8)0(-='-f2005年（7题70分）1 （8分）求n n n ∞→lim 。
解：=∞→n n n lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞→n n n ln 1lim ex p =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞→x x x ln 1lim ex p =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞→x x 1lim ex p 10=e2 （10分）设22ln arctan y x xy+=，求y y ''',。
解：等式22ln arctany x xy+=两边对x 求导得： )(111)(2222222y y x yx yx xy x y y x '+⋅+⋅+=+-'，化简得y x y x y -+='（)(,x y y x y =≠是22ln arctan y x xy+=确定的隐函数）； 再次对x 求导得22)(22)()1)(())(1(y x y y x y x y y x y x y y --'=-'-+--'+=''，将y x yx y -+='代入得：322)()(2y x y x y -+=''（)(,x y y x y =≠是22ln arctan y x x y +=确定的隐函数）。