合肥八中2021-2021高一上数学段考一答案
安徽省合肥市2021届高三数学第一次教学质量检测试题理（含解析）
设 ，由几何关系可知：点 为四面体 外接球的球心，
△ABD是边长为2的等边三角形，那么 ,
二面角 的大小为 ,那么 ，
据此，在 中， ，
四面体 外接球的半径为 .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，肯定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
结合二次函数的性质可得函数 的值域为 ，即： ，
结合交集的概念可得： .
此题选择B选项.
4. 假设双曲线 的一条渐近线方程为 ，该双曲线的离心率是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的核心位于 轴，那么双曲线的渐近线为 ，结合题意可得： ，
双曲线的离心率： ，
此题选择C选项.
5. 执行如图程序框图，假设输入的 等于10，那么输出的结果是〔 〕
又∵ ，∴平面 平面 .
〔2〕由， 平面 ， 是正方形.
∴ 两两垂直，如图，成立空间直角坐标系 .
设 ，那么 ，从而 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 .
令 ，那么 ，从而 .
∵ ，设 与平面 所成的角为，那么
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为极点， 别离为左、右核心的椭圆 ，恰好通过点 .
试题解析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 轴上.
设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，那么 ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程为 .
2021年高一上学期第一次段考数学试题 Word版含答案
年高一上学期第一次段考数学试题 Word 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。
） 1．设集合，，则A. B. C. D.2．函数 的图像大致为3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列各组函数中和相同的是A. B. 2(),()(0)x f x g x x x x==≠ C 、⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈==)0,(,),0(,)(|,|)(x x x x x g x x f D.5．已知函数2(5)()(4)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则的值为A. B. C. D.6．根式（式中）的分数指数幂形式为A ．B ．C ．D ．7．已知a>0，且a≠1，则下述结论正确的是A ．B ．C ．D ．8. 方程2x-1+x=5的解所在区间是A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)9. 函数的定义域是( )A. B. C. D.10. 如果一个函数在其定义区间内对任意实数都满足()()()22x y f x f yf++≤,则称这个函数是下凸函数,下列函数(1) (2) (3)(4) 中是下凸函数的有A. (1),(2)B. (2),(3)C.(3),(4)D. (1),(4)二、填空题：(本题共4小题，每题5分共20分，答案填在答案卷指定的位置上) 11．已知幂函数的图像过点，则函数=____________.12. 函数的定义域是.13．若f(x)=(m-2)+mx+4 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为_______。
14．若，则的取值.中山一中xx 上学期第一次段考高 一 数 学 试 卷 答 题 卷满分150分，时间120分钟二、填空题（每小题5分，共20分）11. ________________ 12. _______________ 13. _______________ 14. __________________三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期段一考试数学试卷 PDF版
即 A = 3, +) ，
则 U A = (− ， 3），
故选：B．
11.【解答】解：根据题意， 1 + 2 5 3x − 4 − 5 0 5x2 − 27x + 26 0
x −1 x − 2 4 ( x −1)( x − 2) 4
(x −1)(x − 2)
解得 x 1 或 x 1 ， 2
第4页（共9页）
所以不等式的解集为 (− ， 1) (1 ， +) ． 2
故答案为： (− ， 1) (1 ， +) ． 2
16.【解答】解：观察发现 2 m + 1和 n + 3 的平方的和为定值，故平方。
令 y= 2 m + 1 + n + 3 ，
y2 = 4m + 4 + n + 3 + 4 (m + 1)(n + 3)=16 + 4 (m +1)(n + 3) ，
命题 p 的否定是：“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
故答案为：真，“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
15.【解答】解：关于 x 的不等式 ax + b x + c 0 的解集为 (1, 4) ，令 x = y ，
则关于 y 的不等式 ay2 + by + c 0 的解集为 (1, 2) ，
x
x
第5页（共9页）
当造价写为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x x
= 12000 + 900x + 160000 12000 + 2 900x 160000 = 36000（元 ) ，当且仅当 900x = 160000 ，
八中高一数学上学期期末考试试题含解析 试题
八中2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题〔含解析〕一､选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个备选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,那么()U AC B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==应选:C【点睛】此题考察了补集和并集的简单运算,属于根底题. 2.以下函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误; 对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 应选:D【点睛】此题考察了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于根底题. 3.tan 2,tan 5αβ==,那么tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯应选:C【点睛】此题考察了正切函数和角公式的简单应用,属于根底题.2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,那么( )A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比拟大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 应选:B【点睛】此题考察了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比拟,属于根底题.ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,假设(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,那么λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 那么116λμ= 应选:A【点睛】此题考察了平面向量的线性加法运算,属于根底题.()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是〔 〕A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 应选：A【点睛】此题考察函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进展排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或者1x <由复合函数“同增异减〞的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 应选:C【点睛】此题考察了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于根底题.6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,那么ϕ=( )A. 6π- B. 3π- C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-应选:B【点睛】此题考察了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于根底题.()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最大值为2,那么(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==那么(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=应选:B【点睛】此题考察了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于根底题.0a >且1a ≠,假设函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,那么a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >[4,)+∞,即可求得a 的取值范围.【详解】实数0a >且1a ≠,假设函数6,2(),2x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞24a ≥,解得2a ≥〔舍去2a ≤-〕综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 应选:D【点睛】此题考察了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题.3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )A.9B. 9-C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-那么sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 应选:B【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题.12()21x f x ex x -=+-+,那么使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( )A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等式,解不等即可求得m 的取值范围.【详解】函数|1|2()21x f x e x x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+- 所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+<因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭应选:A【点睛】此题考察了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进展变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分,把答案填写上在答题卡相应位置,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,那么实数λ=___________.【答案】4- 【解析】【分析】根据平面向量一共线根本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值.【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行由平面向量一共线根本定理可设()22a b a b λμ-=+ 那么根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=-故答案为:4- 【点睛】此题考察了平面向量一共线根本定理的简单应用,由平面向量一共线求参数,属于根底题.14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________. 【答案】2【解析】【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解.【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得 23348log 4log 9-⨯ ()233333log 92log 4log 4=-⨯ 422=-=故答案为:2【点睛】此题考察了指数幂及对数换底公式的应用,属于根底题.()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,那么函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6【解析】【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如以下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像一共有6个交点所以1()()13g x f x x =--一共有6个零点 故答案为:6【点睛】此题考察了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,那么ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位 可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦假设()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】此题考察了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题一一共6小题,一共70分､请在答题卡相应答题,解容许写出文字说明､证明过程或者演算步骤.α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)12-(2)43- 【解析】【分析】〔1〕根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.〔2〕由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据〔1〕中的结论,代入即可求解. 【详解】〔1〕由于,,sin 2παπα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- 〔2〕由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+ 224sin cos 2sin cos αααα=+ 24tan 2tan 1αα=+ 由〔1〕可知1tan 2α=- 所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于根底题.()1(1)x f x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数.【答案】(1)2a =(2)见解析【解析】【分析】〔1〕根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. 〔2〕先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】〔1〕由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增,于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -=即213a -=又1a >,解得2a =〔2〕证明:()()()22x x F x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,那么()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x <所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】此题考察了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于根底题.()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)假设8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值. 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)33sin 10α+=【解析】【分析】〔1〕由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式; 〔2〕将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】〔1〕由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+, 又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔2〕因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭,即sin α=. 【点睛】此题考察了局部图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于根底题.2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】〔1〕π 〔2〕最大值为0；最小值为124-- 【解析】【分析】〔1〕由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解.〔2〕根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】〔1〕根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =1sin 224x x =1sin 2234x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π〔2〕因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 那么52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 2232x π⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】此题考察了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于根底题. 44()log 2x x m f x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)假设()4()log 2x f x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】〔1〕根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值; 〔2〕根据不等式恒成立,别离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】〔1〕44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x x m f x +=为偶函数 所以()()f x f x =- 代入可得4444log log 22x x x x m m --++= 即4422x x x x m m --++=,化简可得()2222x x x x m --=-- ∴1m =〔2〕由题得()4441log log 22x x x a a +≥⋅-恒成立, 即4122x x x a a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)x t t =+<≤ 那么2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-, 由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h ==∴1712a ≤ 又()210x a ->在(]1,2x ∈上恒成立所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】此题考察了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,别离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题.()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,假设0x I ∈,且()1x ϕ=,那么称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点〞,()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点〞,务实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】【分析】〔1〕由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 〔2〕根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过别离讨论即可求得a 的取值范围.【详解】〔1〕2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 02t x t ⎛=<≤ ⎝⎭ 那么2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为178⎤⎥⎣⎦ 〔2〕由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,那么()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点, 令sin [1,1]t x =∈-,那么2()2y h t t at a ==-++.(i )假设()h t 在()1,1-上有两个非零 ,那么2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )假设()h t 的两个零点为0,1,那么012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去; (iii )假设()h t 的两个零点为0,-1,那么012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去. 综上:01a <<【点睛】此题考察了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
安徽省合肥八中高一数学上学期期中试题 (含解析)
高一数学试题第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}12S x x =+≥，{}2,1,0,1,2T =--则S T ⋂=( ){}.2A {}.1,2B {}.0,1,2C {}.1,0,1,2D -【解题程序化】：条件：题目给出了,S T 两个集合，需要从这两个集合看出分别所代表的含义，并能够加以区分。
问题：求解S T ⋂的值；必须先将,S T 两个集合的具体表达内容求解出来。
途径：1、求出S 集合的具体表达内容，为一次函数不等式的解； 2、求S T ⋂，即求公共部分的内容。
【解题步骤】：{}{}121S x x x x =+≥=≥Q {}1,2S T ∴⋂=，故选B 。
【个人体验】：本题考查了集合运算，不等式的求解。
2、用阴影部分表示集合U U C A C B ⋃，正确的是（ ）A B C D 【解题程序化】：条件：选项所给图形 问题：求U U C A C B ⋃ 途径： 韦恩图求解【解题步骤】 A 中阴影部分表示()U C A B ⋃；B 中阴影部分表示()()U UC A B C B A ⋂⋃⋂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； C 中阴影部分表示A B ⋂；D 中阴影部分表示U U C A C B ⋃，故选D【个人体验】：本题考查集合的韦恩图表示。
3、函数()12log 1y x =-的定义域是（ ）().1,A +∞ [).1,B +∞ ().0,C +∞ [).0,D +∞4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）1.A y x = 3.,B y x x R =∈ .,C y x x R =∈ 22,0.,0x x D y x x ⎧-≥=⎨<⎩5.设函数()y f x =的定义域是{23x x -≤≤且2}x ≠，值域是{12y y -≤≤且0}y ≠，则下列哪个图形可以是函数()y f x =的图象为（ ）A BC D6.将进货单价为8元的商品按10元一个零售，每天能卖出100个，若这种商品的销售价每涨1元，销量就减少10个，为了获取最大利润，这种商品的零售价格应定为每个（）A.11元B.12元C.13元D.14元7.以下说法正确的是（ ）A.函数()()f x x R ∈满足(1)(1)f f -=，则()f x 是偶函数； B ．函数()()f x x R ∈满足(2)(1)f f <，则()f x 在R 上单减； C.奇函数()()f x x R ∈在(,0)-∞上单增，则()f x 在R 上单增；D ．函数()()f x x R ∈在(,0]-∞上单增，在[0,)+∞上也是单增，则()f x 在R 上单增8. 设{,},{1,0,1},M a b N ==-从M 到N 的映射f 满足()()0f a f b +=，则这样的映射f 的个数为（ ）9．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A ．(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C ．(,)b c 和(,)c +∞内 D.(,)a -∞和(,)c +∞内10．已知函数2()log (3)(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠满足对任意实数122ax x <≤时，总有12()()0f x f x ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3) B.(1,3) C.(1, D.(2,第II 卷 （非选择题 共70分）二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分。
安徽省合肥八中2021届高三数学上学期期中试题文（含解析）
安徽合肥八中2021-2021学年高三上学期期中试卷数学〔文科〕试题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕1. 命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，，那么以下命题中为真命题的是( )A. p∧qB. ¬p∧qC. p∧¬qD. ¬p∧¬q【答案】B【解析】当时，，所以命题为假命题；令，∵，且为持续函数，∴，使得，即，成立，所以为真命题，所以为真命题，应选B.2. 函数的概念域是( )A. (－3,0)B. (－3,0]C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)D. (－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【解析】∵，∴要使函数成心义，需使，解得，即函数的概念域为，应选A.点睛：此题主要考察了具体函数的概念域问题，属于根底题；常见的形式有：一、分式函数分母不能为0；二、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数局部大于0；4、0的0次方无心义；五、对于正切函数，需知足等等，当同时出现时，取其交集.3. 函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. [3，＋∞) D. (0,3]【答案】A【解析】由于函数g(x)在概念域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，那么有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤，又a>0，故a的取值范围是(0，]．4. 函数y＝a x与函数(a>0且a≠1)的图象关系是( )A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于直线x－y＝0对称D. 关于x＋y＝0对称【答案】D【解析】取作出与的图象如图：由图象知与的图象关于直线对称，应选D.5. 函数f(x)的概念域为D，假设对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，那么称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且知足以下三个条件：①f(0)＝0；②；③f(1－x)＝1－f(x)．那么( )A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】由③，令，可得，由②，令，可得，令，可得，由③结合，可知，令，可得，因为且函数在上为非减函数，所以，所以，应选B................6. 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有，那么等于( )A. 2或0B. －2或2C. 0D. －2或0【答案】B【解析】因为函数对任意都有，所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或，应选B.7. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设，a＝2，，那么b的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】在锐角中，，，∴，，∴，①；由余弦定理得，∴，∴②；由①②得，应选A.8. 函数，且f(a)＝－2，那么f(7－a)＝( )A. －log37B.C. D.【答案】D【解析】当时，无解；当时，由，解得，所以，应选D. 点睛：此题考察函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用；分段函数的本质即在不同的概念区间内，对应的解析式不同，当函数值为时，需注意对自变量的值进展讨论.9. 函数y＝xf′(x)的图象如下图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．那么下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由函数y=xf′〔x〕的图象可知：当x＜-1时，xf′〔x〕＜0，f′〔x〕＞0，此时f〔x〕增当-1＜x＜0时，xf′〔x〕＞0，f′〔x〕＜0，此时f〔x〕减当0＜x＜1时，xf′〔x〕＜0，f′〔x〕＜0，此时f〔x〕减当x＞1时，xf′〔x〕＞0，f′〔x〕＞0，此时f〔x〕增考点：函数导数与函数图像10. 某电信公司推出两种电话收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与费s(元)的函数关系如下图，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A. 10元B. 20元C. 30元D. 元【答案】A【解析】依题意可设s A(t)＝20＋kt，s B(t)＝mt，又s A(100)＝s B(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是s A(150)－s B(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式费相差10元，选A.11. y＝f(x)为R上的持续可导函数，且xf′(x)＋f(x)>0，那么函数g(x)＝xf(x)＋1(x>0)的零点个数为( )A. 0B. 1C. 0或1D. 无数个【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，那么在为增函数，且，即函数的零点个数为0；应选A．考点：1.函数的零点；2.导数在研究函数单调性的应用．12. 为了取得函数的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】，故为了取得函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度，选D二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13. 函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n知足m<n，且f(m)＝f(n)，假设f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，那么n＋m＝_________.【答案】【解析】按照函数的图象知，，所以，按照函数图象易知，当时取得最大值，所以，又，解得，再结合求得，所以，故答案为.点睛：此题主要考察对数函数的图象和性质，图象的变换，属于根底题；的图象是由依照“上不动，下翻上〞的变换方式取得，先结合函数的图象和性质，由最大值为2得，再由，取得的值，进而可求出结果.14. 函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________________．【答案】单调递增【解析】在上有，所以在单调递增，故答案为单调递增.15. 概念在R上的函数f(x)知足：(1)函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；(2)∀x∈R，；(3)当时，f(x)＝log2(－3x＋1)．那么________.【答案】【解析】由(1)知为奇函数，又由(2)可得是以3为周期的周期函数，所以，故答案为.16. 以下有关命题〔1〕假设¬p是q的充分条件，那么p是¬q的必要条件〔2〕假设p且q为假命题，那么p，q均为假命题〔3〕命题“∀x∈R，x2－x>0〞的否定是“∃x∈R，x2－x≤0〞〔4〕“x>2〞是“〞的充分没必要要条件其中表达正确的命题有 ____________【答案】〔1〕〔3〕〔4〕【解析】易知〔1〕正确；且为假，p，q至少有一个为假，故〔2〕错误；“〞的否定是“〞，“〞的否定是“〞，故〔3〕正确；“〞必然能推出“〞，但当时，知足，但不知足，所以“〞是“〞的充分没必要要条件，故〔4〕正确，故答案为〔1〕，〔3〕，〔4〕.三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕17. 集合A＝{y|y＝2x－1,0<x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]<0}．别离按照以下条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕别离求出集合和，即，列出不等式组解出；〔2〕按照数形结合列出不等式，解出实数的范围.试题解析：因为集合是函数的值域，所以，．(1)，即，故当时，的取值范围是．(2)当时，结合数轴知，或，即或.故当时，的取值范围是．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边别离是a，b，c，(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．(1)求的值；(2)假设，求角C的大小．【答案】〔1〕3；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用正弦定理将边化角，利用两角和的正弦公式整理化简条件式子，得出和的关系；〔2〕利用〔1〕中的结论，将用表示，利用余弦定理求出的值，进而求出角.试题解析：(1)由正弦定理得，∴，即，即，∴.(2)由(1)知，∵，∴，∵，∴.19. 二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数的零点个数．【答案】〔1〕；〔2〕1个【解析】试题分析：〔1〕按照是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；〔2〕求导数，肯定函数的单调性，可适当时，，，结合单调性由此可得结论.试题解析：(1)∵是二次函数，且关于的不等式的解集为，∴，且.∴，.故函数的解析式为.(2)∵，∴，令，得，.当转变时，，的取值转变情况如下：1 3＋0 －0 ＋递增极大值递减极小值递增当时，，又因为在上单调递增，因此在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．点睛：此题主要考察二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考察数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，按照零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数.20. 函数 (a∈R)，当时，讨论f(x)的单调性．【答案】观点析【解析】试题分析：〔1〕求函数的导数，可得导函数的零点为1，，按照一元二次不等式的解法可肯定函数的单调性．试题解析：因为，所以，，令，可得两根别离为1，，因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．21. 函数，x>1.(1)假设f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)假设a＝2，求函数f(x)的极小值．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕求出函数的导数，通过在上恒成立，取得的不等式，利用二次函数的求出最小值，取得的范围；〔2〕利用，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．试题解析：(1)，由题意可得在上恒成立，∴.∵，∴，∴当时函数的最小值为，∴.故实数的取值范围为.(2)当时，，，令得，解得或(舍)，即.当时，，当时，，∴的极小值为.22. 如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又通过一段时间后，船抵达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【答案】〔1〕；〔2〕【解析】略。
安徽省合肥八中届高三数学上学期第一次段考试卷文(含解析)【含答案】
2015-2016学年安徽省合肥八中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填涂到答题卡上．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={1，2，3，4，5}，则（C U A）∩B=（）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{5} D．{1，4，5}3．若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．阅读右面的程序框图，则输出的S等于（）A．40 B．20 C．32 D．385．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜26．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）8．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B． C．D．9．已知c＞0，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数g（x）=lg（2cx2+2x+1）的值域为R，如果“p且q”为假命题，“p或q为真命题，则c的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，+∞）10．给定条件p：|x+1|＞2，条件q：＞1，则¬q是¬p的（）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c12．已知log（x+y+4）＜log（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，10] B．（﹣∞，10） C．[10，+∞）D．（10，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分13．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为．14．在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则a3+a4+…+a8= ．15．三角形△ABC的外接圆半径为1，圆心O，已知3+4+5=，则•= ．16．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．17．已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共5小题，共65分18．已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．19．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．21．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥八中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填涂到答题卡上．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】根据1=﹣i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．【解答】解： ==﹣i+2所对应的点为（2，﹣1），该点位于第四象限故选D．【点评】本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．2．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={1，2，3，4，5}，则（C U A）∩B=（）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{5} D．{1，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】找出全集R中不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，∴C U A={x|x≤1或x≥4}，∵B={1，2，3，4，5}，则（C U A）∩B={1，4，5}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想．【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合已知条件，先求出d，再代入通项公式即可求解．【解答】解：∵S3=9且a1=1，∴S3=3a1+3d=3+3d=9，解得d=2．∴a2=a1+d=3．故选A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，注意方程思想的应用．4．阅读右面的程序框图，则输出的S等于（）A．40 B．20 C．32 D．38【考点】程序框图．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到不满足条件输出s结束循环，得到所求．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S i第一次循环 20 3第二次循环 32 2第三次循环 38 1此时退出循环故选D．【点评】本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果．属于基础题5．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：≥2=8若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．6．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．【点评】本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．8．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B． C．D．【考点】解三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0∴AB=3作AD⊥BC垂足为DRt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为故选B【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题9．已知c＞0，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数g（x）=lg（2cx2+2x+1）的值域为R，如果“p且q”为假命题，“p或q为真命题，则c的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，+∞）【考点】复合命题的真假；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．【专题】计算题；压轴题．【分析】如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则“p”、“q”中一个为真命题、一个为假命题．然后再分类讨论即可求解．【解答】解：∵如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，∴p、q中一个为真命题、一个为假命题①若p为真命题，q为假命题则0＜c＜1且 c＞，即＜c＜1②若p为假命题，q为真命题则c＞1且c≤，这样的c不存在综上，＜c＜1故选A．【点评】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．10．给定条件p：|x+1|＞2，条件q：＞1，则¬q是¬p的（）A．充要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：由|x+1|＞2得x＞1或x＜﹣3，¬p：﹣3≤x≤1，由＞1，得﹣1==＞0，解得2＜x＜3，即￢q：x≥3或x≤2，则￢q是￢p的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出等价条件是解决本题的关键．11．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．【解答】解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，∴a=f（﹣）=f（），又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∴f（2）＜f（）＜f（3），即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：A．【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查．属于基础题．12．已知log（x+y+4）＜log（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，10] B．（﹣∞，10） C．[10，+∞）D．（10，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的范围，再根据最值给出λ的最大值．【解答】解：由题意得，即．画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有极大值z=3+7=10．z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，10）．若x﹣y＜λ恒成立，则λ≥10，∴λ的取值范围是[10，+∞）．故选C．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分13．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为1，1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得切线的斜率和切点，进而得到a，b的值．【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，即曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线斜率为a，由于在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a=1，b=1，故答案为：1，1．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，注意切点在切线上，也在曲线上，属于基础题．14．在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则a3+a4+…+a8= 3 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等及等差中项的性质即可解决．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a5=3，a6=﹣2，∵m+n=p+q（m、n、p、q∈N*），a m+a n=a p+a q，∴a3+a4+…+a8=（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=3（a5+a6）=3．故答案为：3．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生理解应用等差数列性质的能力，属于基础题．15．三角形△ABC的外接圆半径为1，圆心O，已知3+4+5=，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】把已知的向量等式变形，两边平方后得到，把代入•后展开得答案．【解答】解：∵3+4+5=，∴5=﹣（3+4），∴，即25=25+24，∴，则•==﹣（3+4）•（）=．故答案为：﹣．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此题的关键是把已知的向量等式变形，是中档题．16．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于 2 ．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．【解答】解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．【考点】数列与函数的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共5小题，共65分18．已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；（2）分别把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ=sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．【点评】此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．19．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】一元二次不等式的解法；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a 的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．【点评】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x3﹣3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，∴（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．当a＞0时，由，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．21．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（I）根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以S n=，综上，数列{}的前n项和S n=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出导数，求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；（2）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，即可求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增，由此可求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，因为f'（1）=0，f（1）=﹣2，所以切线方程为y=﹣2；（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+（x＞0），令f'（x）=0，即f′（x）=，所以x=或x=．当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合题意；当≥e，即0≤a≤时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．综上可得a≥1；（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．而g′（x）=2ax﹣a+=，当a=0时，g′（x）=，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a≥0，对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=，只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上可得0≤a≤8．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键．21。
安徽省合肥八中高一数学上学期期中试题 (含解析)
高一数学试题第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}12S x x =+≥，{}2,1,0,1,2T =--则S T ⋂=( ){}.2A {}.1,2B {}.0,1,2C {}.1,0,1,2D -x x S T ∴⋂=2、用阴影部分表示集合U U C A C B ⋃，正确的是（ ）A B C D3、函数()12log 1y x =-的定义域是（ ）().1,A +∞ [).1,B +∞ ().0,C +∞ [).0,D +∞4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）1.A y x = 3.,B y x x R =∈ .,C y x x R =∈ 22,0.,0x x D y x x ⎧-≥=⎨<⎩5.设函数()y f x =的定义域是{23x x -≤≤且2}x ≠，值域是{12y y -≤≤且0}y ≠，则下列哪个图形可以是函数()y f x =的图象为（ ）A BC D6.将进货单价为8元的商品按10元一个零售，每天能卖出100个，若这种商品的销售价每涨1元，销量就减少10个，为了获取最大利润，这种商品的零售价格应定为每个（）A.11元B.12元C.13元D.14元7.以下说法正确的是（ ）A.函数()()f x x R ∈满足(1)(1)f f -=，则()f x 是偶函数； B ．函数()()f x x R ∈满足(2)(1)f f <，则()f x 在R 上单减； C.奇函数()()f x x R ∈在(,0)-∞上单增，则()f x 在R 上单增；D ．函数()()f x x R ∈在(,0]-∞上单增，在[0,)+∞上也是单增，则()f x 在R 上单增8. 设{,},{1,0,1},M a b N ==-从M 到N 的映射f 满足()()0f a f b +=，则这样的映射f 的个数为（ ）9．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A ．(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C ．(,)b c 和(,)c +∞内 D.(,)a -∞和(,)c +∞内10．已知函数2()log (3)(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠满足对任意实数122ax x <≤时，总有12()()0f x f x ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3) B.(1,3) C.(1 D.第II 卷 （非选择题 共70分）二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分。
2020-2021学年安徽省合肥八中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年安徽省合肥八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设命题p：∀x＜﹣1，x2+x＞0，则p的否定为（）A．∃x＜﹣1，x2+x≤0B．∃x≥﹣1，x2+x≤0C．∀x＜﹣1，x2+x≤0D．∀x≥﹣1，x2+x≤02．（4分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，B＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 3．（4分）“a，b为正数”是“（）2＞ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知函数f（2x﹣1）＝4x﹣1（x∈R），若f（a）＝15，则a的值为（）A．5B．6C．7D．85．（4分）已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象上，则n﹣m＝（）A．B．C．8D．96．（4分）体育节到来，多数学生都会参加至少一个运动项目，设集合U＝{高一（1）班全体学生}，集合A＝{参加4×100接力赛的高一（1）班学生}，集合B＝{参加百米赛跑的高一（1）班学生}，则∁U（A∪B）表示的是（）A．既参加4×100接力赛又参加百米赛跑的高一（1）班学生B．既不参加4×100接力赛又不参加百米赛跑的高（1）班学生C．参加4×100接力赛或百米赛跑的高一（1）班学生D．不参加4×100接力赛或不参加百米赛跑的高一（1）班学生7．（4分）已知a，b，c∈R，则下列四个命题中正确的个数是（）①若a＞b，则ac2＞bc2；②若|a﹣1|＞|b﹣1|，则（a﹣1）2＞（b﹣1）2；③若a＞b＞c＞0，则＞；④若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A．1B．2C．3D．48．（4分）已知＝1，且a＞0，b＞0，则3a+b的最小值是（）A．B．C．D．9．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，则当n∈N*时，（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）C．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）10．（4分）设a，b，c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|＝1且|T|＝0B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2D．|S|＝2且|T|＝3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上）11．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（﹣3））的值为．12．（5分）函数f（x）＝x﹣x﹣1的值域为．13．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程2x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）＝ax+2（a＞0），g（x）＝，若∃x1∈[﹣1，2]，x2∈[2，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）求值或化简（Ⅰ）计算：0.064+（﹣）0﹣（2）+0.1﹣2；（Ⅱ）化简（用分数指数幂表示）：（a＞0，b＞0）．16．（12分）已知命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣3x﹣4≤0．（Ⅰ）若a＝1，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣1）＝2x+1，且f（x）的图象经过点（2，﹣4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣3，2]，不等式f（x）≤mx恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）＝+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p（x）＝（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（Ⅰ）求月利润y（万元）关千月产量x（台）的函数关系式；（Ⅱ）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．19．（14分）定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0．（Ⅰ）求证：f（）＝f（m）﹣f（n）；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性，并说明理由；（Ⅲ）若f（2）＝1，解不等式f（x+3）﹣f（3x）＞3．2020-2021学年安徽省合肥八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设命题p：∀x＜﹣1，x2+x＞0，则p的否定为（）A．∃x＜﹣1，x2+x≤0B．∃x≥﹣1，x2+x≤0C．∀x＜﹣1，x2+x≤0D．∀x≥﹣1，x2+x≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x＜﹣1，x2+x≤0，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（4分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，B＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B中的元素，求出A，B的交集即可．【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，则A∩B＝{0，1}，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）“a，b为正数”是“（）2＞ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵（）2＞ab，∴（a+b）2＞4ab，∴（a﹣b）2＞0，故若a＝b＞0时，推不出（）2＞ab，不是充分条件，反之，a＝1，b＝0时，（）2＞ab，推不出a，b为正数，不是必要条件，故“a，b为正数”是“（）2＞ab”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4．（4分）已知函数f（2x﹣1）＝4x﹣1（x∈R），若f（a）＝15，则a的值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】分析可得f（2x﹣1）＝4x﹣1＝2（2x﹣1）+1，求出函数的解析式，由此可得f （a）＝15，即2a+1＝15，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（2x﹣1）＝4x﹣1＝2（2x﹣1）+1，则f（x）＝2x+1，若f（a）＝15，即2a+1＝15，解可得a＝7，故选：C．【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的计算，属于基础题．5．（4分）已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象上，则n﹣m＝（）A．B．C．8D．9【分析】先利用幂函数的定义求出m的值，再根据点（2，8）在幂函数f（x）＝x n上，求出n的值，即可求出答案．【解答】解：由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴点（2，8）在幂函数f（x）＝x n上，∴2n＝8，∴n＝3，∴n﹣m＝3﹣2＝，故选：A．【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了运算能力，属于基础题．6．（4分）体育节到来，多数学生都会参加至少一个运动项目，设集合U＝{高一（1）班全体学生}，集合A＝{参加4×100接力赛的高一（1）班学生}，集合B＝{参加百米赛跑的高一（1）班学生}，则∁U（A∪B）表示的是（）A．既参加4×100接力赛又参加百米赛跑的高一（1）班学生B．既不参加4×100接力赛又不参加百米赛跑的高（1）班学生C．参加4×100接力赛或百米赛跑的高一（1）班学生D．不参加4×100接力赛或不参加百米赛跑的高一（1）班学生【分析】根据集合的并集和补集的运算判断即可．【解答】解：∵集合A＝{参加4×100接力赛的高一（1）班学生}，集合B＝{参加百米赛跑的高一（1）班学生}，∴∁U（A∪B）表示的是既不参加4×100接力赛又不参加百米赛跑的高（1）班学生，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，考查转化思想，是一道基础题．7．（4分）已知a，b，c∈R，则下列四个命题中正确的个数是（）①若a＞b，则ac2＞bc2；②若|a﹣1|＞|b﹣1|，则（a﹣1）2＞（b﹣1）2；③若a＞b＞c＞0，则＞；④若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2．A．1B．2C．3D．4【分析】取c＝0可判断①，由不等式的基本性质可判断②，利用作差法可判断③，取特殊值可判断④，从而得结论．【解答】解：①若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故①错误；②若|a﹣1|＞|b﹣1|，则（a﹣1）2＞（b﹣1）2，显然成立，故②正确；③﹣＝，由a＞b＞c＞0，可得a﹣b＞0，b+c＞0，所以﹣＝＞0，即＞，故③正确；④取a＝1，b＝8，满足a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，但a＜2，故④错误，故命题正确的个数是2．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．8．（4分）已知＝1，且a＞0，b＞0，则3a+b的最小值是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的性质和基本关系式的应用求出结果．【解答】解：已知＝1，且a＞0，b＞0，则，故＝1++，当且仅当a＝，b＝，等号成立．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，则当n∈N*时，（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）C．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．【解答】解：由题意得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∵0＜n﹣1＜n＜n+1，∴f（n﹣1）＜f（n）＝f（﹣n）＜f（n+1），故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查转化思想，是一道基础题．10．（4分）设a，b，c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|＝1且|T|＝0B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2D．|S|＝2且|T|＝3【分析】根据已知可得S的元素即为f（x）＝（x+a）（x2+bx+c）＝0根的个数，T的元素即为g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）＝0根的个数，结合类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系分类讨论后，可得答案．【解答】解：∵f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1），T＝{x|g（x）＝0，x∈R}．当a＝0，b2﹣4c＜0，|S|＝1，|T|＝0；故A可能当a≠0，b2﹣4c＜0，|S|＝1，|T|＝1；故B可能当a＝0，b2﹣4c＝0，|S|＝2，|T|＝1；当a≠0，b2﹣4c＝0，|S|＝2，|T|＝2；故C可能当a＝0，b2﹣4c＞0，|S|＝3，|T|＝2；当a≠0，b2﹣4c＞0，|S|＝3，|T|＝3；综上，只有D不可能发生，故选：D．【点评】本题考查的知识点是分类讨论思想，方程的根及根的个数判断，熟练掌握类一次方程根的个数与一次项系数的关系和二次方程根的个数与△的关系是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上）11．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（﹣3））的值为．【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；【解答】解：∵函数f（x）＝，1＞﹣3，∴f（﹣3）＝10，∴f（10）＝（10）﹣2＝，故答案为：．【点评】本题分段函数应用，函数值的求法，此题是一道基础题；12．（5分）函数f（x）＝x﹣x﹣1的值域为R．【分析】判断函数的单调性，然后求解函数的值域即可．【解答】解：函数f（x）＝x﹣x﹣1的定义域为x∈R且x≠0，x＞0时，f′（x）＝1+＞0，函数是增函数，x＝1时，f（1）＝0，x→+∞时，f（x）→+∞，x→0+，f（x）→﹣∞，所以函数的值域为R．x＜0时，f′（x）＝1+＞0，函数是增函数，x＝﹣1时，f（﹣1）＝0x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→0﹣，f（x）→+∞，所以函数的值域为R．所以函数的值域为：R．【点评】本题画出函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的值域的求法，是基本知识的考查．13．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程2x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为1≤t＜19．【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝2x2﹣2x+3，将一元二次方程2x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，看作函数f（x）＝2x2﹣4x+3﹣t在﹣1＜x＜4有零点，再由二次函数的图象与性质可得不等式组，即可求解．【解答】解：∵y＝2x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣4，∴y＝2x2﹣4x+3，∴关于x的一元二次方程2x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，可看作函数f（x）＝2x2﹣4x+3﹣t在﹣1＜x＜4有零点，由二次函数的性质可得，即，解得1≤t＜19．故答案为：1≤t＜19．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数的零点问题是解题的关键，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）＝ax+2（a＞0），g（x）＝，若∃x1∈[﹣1，2]，x2∈[2，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】根据题意解得g（x）的值域为[1，2]，f（x）值域为[﹣（a+2），2a+2]，根据题意可得g（x）的值域是f（x）值域的子集，即，即可解得a的取值范围．【解答】解：因为∃x1∈[1，2]，∀x2∈[2，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，所以g（x）的值域是f（x）值域的子集，当x∈[2，3]时，g（x）＝的值域为[1，2]，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax+2（a＞0）的值域为[﹣a+2，2a+2]，要满足g（x）的值域是f（x）值域的子集，所以⇒a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立和存在性问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）求值或化简（Ⅰ）计算：0.064+（﹣）0﹣（2）+0.1﹣2；（Ⅱ）化简（用分数指数幂表示）：（a＞0，b＞0）．【分析】（Ⅰ）根据指数幂的运算性质即可求出；（Ⅱ）根据根指数幂和分数指数的关系，以及指数幂的运算性质即可求出．【解答】解：（Ⅰ）原式＝（0.4）+1﹣+100＝+1﹣+100＝102，（Ⅱ）原式＝＝＝a•b＝．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．16．（12分）已知命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣3x﹣4≤0．（Ⅰ）若a＝1，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）分别解出两个命题的x的取值范围，再求两个范围的公共部分；（Ⅱ）分别解出两个命题的x的取值范围，再由q是p的必要不充分条件，得出参数a 满足的不等式，解出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝1，则命题p：实数x满足x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，即命题p：1＜x＜2，命题q：实数x满足x2﹣3x﹣4≤0．解不等式得﹣1≤x≤4，即命题q：得﹣1≤x≤4，∵p，q都为真命题，∴1＜x＜2，即实数x的取值范围1＜x＜2；（Ⅱ）由已知，x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜2a，∵q是p的必要不充分条件，∴，解得0＜a≤2，即实数a的取值范围0＜a≤2．【点评】本题考查复合命题真假，充分条件必要条件，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，逻辑推理能力，属于中档题．17．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣1）＝2x+1，且f（x）的图象经过点（2，﹣4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣3，2]，不等式f（x）≤mx恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），可得f（x）﹣f（x﹣1）＝2ax﹣a+b，结合题意可得，解得a＝1，b＝2再由f（x）过点（2，﹣4）解得c，进而可得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）根据题意问题可转化为x2+（2﹣m）x﹣12≤0，x∈[﹣3，2]恒成立，记g（x）＝x2+（2﹣m）x﹣12，x∈[﹣3，2]，即，解得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），f（x﹣1）＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝ax2+（﹣2a+b）x+a﹣b+c，所以f（x）﹣f（x﹣1）＝2ax﹣a+b，又因为f（x）﹣f（x﹣1）＝2x+1，所以，解得a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+ax+c，由f（x）过点（2，﹣4）所以﹣4＝22+2×2+c，解得c＝﹣12，所以f（x）＝x2+2x﹣12．（Ⅱ）x2+2x﹣12≤mx，x∈[﹣3，2]，所以x2+（2﹣m）x﹣12≤0，x∈[﹣3，2]．记g（x）＝x2+（2﹣m）x﹣12，x∈[﹣3，2]．所以，即，解得﹣2≤m≤3，所以m∈[﹣2，3]．【点评】本题考查二次函数，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．18．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）＝+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p（x）＝（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（Ⅰ）求月利润y（万元）关千月产量x（台）的函数关系式；（Ⅱ）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．【分析】（Ⅰ）直接由已知分类写出分段函数解析式；（Ⅱ）当0＜x＜70时，利用配方法求最值，当x≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．【解答】解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．19．（14分）定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0．（Ⅰ）求证：f（）＝f（m）﹣f（n）；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性，并说明理由；（Ⅲ）若f（2）＝1，解不等式f（x+3）﹣f（3x）＞3．【分析】（Ⅰ）利用m＝代入即可求解；（Ⅱ）利用证明函数单调性的方法即定义法即可求解；（Ⅲ）利用已知等式求出3对应的x的值，再利用已知等式化简，然后根据单调性即可求解．【解答】证明（Ⅰ）：由m＝，可得f（m）＝f（）＝f（）+f（n），∴f（）＝f（m）﹣f（n）；所以原结论成立；（Ⅱ）由可得f（m）＝f（）＝f（）+f（n），令m＞n，可得，那么f（）＞0，∴f（）＝f（m）﹣f（n）＞0即f（m）＞f（n）∴f（x）在定义域内单调递增．解（Ⅲ）：由f（2）＝1，可得f（4）＝f（2）+f（2）＝2令m＝2，n＝1，则f（8）＝f（4）+f（2）＝3，不等式f（x+3）﹣f（3x）＞f（8），即f（x+3）＞f（24x），由（Ⅱ）可知f（x）在定义域内单调递增．∴，解得．∴不等式f（x+3）﹣f（3x）＞3的解集为{x|}．【点评】本题考查了抽象函数的单调性以及区间上解不等式问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．。
2021年高一上学期第一次段考数学试卷含解析
2021年高一上学期第一次段考数学试卷含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4}2．若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}3．下列函数为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=x2C．y=x2+x D．y=x34．函数f（x）=+的定义域是（）A．[2，+∞）B．[2，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）5．下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）=（）2D．f（x）=x，g（x）=6．已知集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤07．若集合A={x|（k+2）x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是（）A．±2或﹣1 B．﹣2或﹣1 C．2或﹣1 D．﹣28．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣19．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，那么实数a的取值范围为（）A．a≤2 B．a≤0 C．a≥2 D．a≥010．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）11．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是增函数，且f（3）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．14．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．15．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=．16．给出以下四个命题：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；③已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个；④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2， ++…++=xx．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U=R．，A={x|﹣4≤x＜2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0或x≥}，求A∩B，（∁U B）∪P，（A∩B）∩（∁U P）18．已知集合A={1，a，b}，B={a，a2，ab}，若A=B，求a+b的值．19．函数f（x）=x+．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．20．已知函数f（x）=．（1）求f（2），f（），f（3）、f（）的值；（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f（）有什么关系？并证明你的发现；（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4）．（1）求x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．22．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．xx学年山东省济南市平阴一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，4}C．{2，3}D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，能求出集合A∩B．【解答】解：∵A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，∴集合A∩B={2，3}．故选C．2．若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C． D．{x|0＜x＜2}【考点】并集及其运算．【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选D3．下列函数为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=x2 C．y=x2+x D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】对选项一一判断，A，C为非奇非偶函数，D为奇函数，B为偶函数．【解答】解：对于A，为非奇非偶函数；对于B，有f（﹣x）=f（x），为偶函数；对于C，f（﹣x）=x2﹣x≠±f（x），为非奇非偶函数；对于D，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数．故选：B．4．函数f（x）=+的定义域是（）A．[2，+∞）B．[2，3） C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，分别求出x的取值集合后取交集即可得到原函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥2且x≠3．所以原函数的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．故选D．5．下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）=（）2D．f（x）=x，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】判断各组中所给的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，从而作出判断．【解答】解：对于A，f（x）=|x+1|，定义域是R，g（x）==|x+1|，定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）==x﹣1，定义域是{x|x≠﹣1}，g（x）=x﹣1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==|x|，定义域是R，g（x）==x的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）=x的定义域是R，g（x）==|x|的定义域是R，对应关系不同，不是同一函数．故选：A．6．已知集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤0【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出a的范围．【解答】解：集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，A∩B≠∅，∴a≤0，故选：D．7．若集合A={x|（k+2）x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是（）A．±2或﹣1 B．﹣2或﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2【考点】集合的表示法．【分析】讨论k=﹣2与k≠﹣2，从而求实数k的值．【解答】解：①当k+2=0，即k=﹣2时，x=，A={}符合题意；②当k+2=0，即k≠﹣2时，关于x的方程（k+2）x2+2kx+1=0只有一个根，则△=4k2﹣4（k+2）=0，解得k=2或k=﹣1．综上所述，k的值是±2或﹣1．故选：A．8．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简P，再根据Q⊆P分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合．【解答】解：∵P={x|x2=1}={1，﹣1}，Q={x|ax=1}，Q⊆P，∴当Q是空集时，有a=0显然成立；当Q={1}时，有a=1，符合题意；当Q={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的值为1，﹣1，0．故选D．9．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，那么实数a的取值范围为（）A．a≤2 B．a≤0 C．a≥2 D．a≥0【考点】二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，则1﹣a≥1，解得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，则1﹣a≥1，解得：a≤0，故选：B10．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性的性质可得0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x ﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，故选D．11．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可．【解答】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C、12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是增函数，且f（3）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（3）=0，f（x）＞0可化为|x|＜3，从而求解．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上单调递减，∵f（3）=0，∴f（x）＞0可化为f（x）＞f（3），∴|x|＜3，∴﹣3＜x＜3，故选C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．14．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），利用已知的解析式即可求值．【解答】解：因为f（x）是定义域在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），又当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．15．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=﹣2x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由已知中一次函数f（x）是减函数，可设f（x）=kx+b（k＜0）．由函数f（x）满足f[f（x）]=4x﹣1，代入根据整式相等的充要条件，构造方程组，解出k，b值后，可得函数的解析式．【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）=kx+b（k＜0）．则f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，∵f[f（x）]=4x﹣1，∴解得k=﹣2，b=1∴f（x）=﹣2x+1．故答案为：﹣2x+116．给出以下四个命题：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；③已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个；④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2， ++…++=xx．其中正确的命题有③④（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据抽象函数定义域的求法，可判断①；根据反比例函数的图象和性质，可判断②；根据映射的定义，可判断③；根据已知得到=f（1）=2，进而可判断④【解答】解：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，由2x∈[0，2]得：x∈[0，1]，即函数f（2x）的定义域为[0，1]；故错误；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），故错误；③∵集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，∴满足f（b）=0的映射共有：，，共3个，故正确；④若f（x+y）=f（x）f（y），则f（x+1）=f（x）f（1），则=f（1）=2，又∵f（1）=2，∴++…++=2×1008=xx；故正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U=R．，A={x|﹣4≤x＜2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0或x≥}，求A∩B，（∁U B）∪P，（A∩B）∩（∁U P）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】进行交集、并集，及补集的运算即可．【解答】解：A∩B={x|﹣1＜x＜2}，∁U B={x|x≤﹣1，或x＞3}；∴，，A∩B={x|﹣1＜x＜2}；∴（A∩B）∩（∁U P）={x|0＜x＜2}．18．已知集合A={1，a，b}，B={a，a2，ab}，若A=B，求a+b的值．【考点】集合的相等．【分析】根据集合元素的互异性得到关于a的方程组或，通过解方程组求得a、b的值，则易求a+b的值．【解答】解：由题意得①组或②，由①得a=±1，当a=1时，A={1，1，b}，不符合，舍去；当a=﹣1时，b=0，A={1，﹣1，0}，B={﹣1，1，0}，符合题意．由②得a=1，舍去，所以a+b=﹣1．19．函数f（x）=x+．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义作出判断；（2）直接用定义证明函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；（2）任取x1，x2∈[，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）（），因为≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0且x1x2＞2，因此，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[，+∞）内是增函数．20．已知函数f（x）=．（1）求f（2），f（），f（3）、f（）的值；（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f（）有什么关系？并证明你的发现；（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．【考点】函数的值．【分析】（1）由f（x）=，能求出f（2），f（），f（3）、f（）的值．（2）发现：f（x）+f（）=1．利用函数性质能进行证明．（3）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（2）==，f（）==，f（3）==，f（）==．（2）由以上结果发现：f（x）+f（）=1．证明：∵f（x）=．∴f（x）+f（）=+==1．（3）∵f（x）+f（）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）=．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4）．（1）求x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用函数是奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4，可求x＞0时，函数f（x）的解析式．（2）根据二次函数的性质作图即可．注意定义域的范围．【解答】解：（1）由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），当x≤0时，f（x）=x（x+4）．当x＞0时，则﹣x＜0，有f（﹣x）=﹣x（﹣x+4）=﹣f（x）．∴f（x）=x（﹣x+4）∴x＞0时，函数f（x）的解析式为f（x）=x（﹣x+4）（2）根据二次函数的性质作图，如下：通过图象可得：（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）是单调减区间．（﹣2，2）是单调增区间．22．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．xx年1月20日21326 534E 华38739 9753 靓24005 5DC5 巅QJ 22750 58DE 壞31957 7CD5 糕$28554 6F8A 澊R37315 91C3 釃30787 7843 硃26237 667D 晽25791 64BF 撿。
安徽省合肥市第八中学2021年高一数学暑假作业（一）原卷
合肥八中2021高一数学暑假作业（一）函数一、知识梳理 1. 函数的单调性： (1)增函数与减函数（2）函数的单调性（3）函数的单调区间如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
（4）函数单调性的求法：定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。
常用结论： 1）复合函数单调性的确定法则--同增异减。
2）函数)(x f y =与函数)(-x f y =的单调性相反。
3）若函数)(x f 恒正或恒负时，函数)(x f y =与函数)(1x f y =的单调性相反。
4）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。
2. 函数的最大值与最小值（1）对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数xy 1=。
如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
（2）若函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，则)(x f 的最值必在区间端点处取得，即最大值是)()(b f a f 或，最小值是)()(a f b f 或3. 函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．(3)若)(),()(),()(x f x f x f x f x f 则且=--=-既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即,,0)(D x x f ∈=D 是关于原点对称的实数集。
(4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么它们在公共定义域上，满足：奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数． 二、例题分析例1．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+．（1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围．（3）解不等式()2f x x ≥+．例2．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+对所有的正数x ､y 都成立，(2)1f =-，且当1x >，()0f x <.（1）求(1)f 的值并判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性(不需要证明)；（2）若关于x 的不等式()2()11f kx f x kx --+≥在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.例3．已知函数()()22,2xf xg x x x b ==-++．（1）若()()10mf x f x ++≥对任意的[]0,3x ∈恒成立，求m 的取值范围； （2）若[]10,3x ∀∈，总[]20,3x ∃∈，使得()()12g x f x =，求b 的取值范围． 三、能力提升 1．函数1()f x x a=+在[1,3]上单调，则实数a 的取值范围（ ） A ．(3,1)--B ．(1,3)C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞2．设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ） A ．()y f x =-B ．()2y xf x=C ．()y f x =--D ．()()y f x f x =+-3．若120x x <<，则下列函数①()f x x =；①2()f x x =；①3()f x x =；①()f x =①1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <-的解集为（ ）A ．()0,eB ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．函数co 1()s xxy e e x =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称．以下关于()f x 的结论： ①()f x 是周期函数；①()f x 满足()()4f x f x =-；①()f x 在（0，2）上单调递减；①()cos2xf x π=是满足条件的一个函数．其中所有正确的结论是（ ） A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①8．设二次函数()2f x x ax b =++，若存在实数a ，对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得不等式()f x x <成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．19,34⎛⎫- ⎪⎝⎭9．已知函数()22()1a f x a a x+=-+为幂函数，且为奇函数，则实数a 的值__________．10．已知二次函数()2f x x bx c =++的图像经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，则函数()f x 的解析式为___________.11．已知函数{}2()max 4,2,3f x x x x =-+-++，则()f x 的最小值为________12．已知()24,1log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．13．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．14．已知二次函数()()220f x ax x a =->（1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．。
安徽省合肥八中高一数学上学期第一次段考试题(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，则集合M∩N等于（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）3．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知集合P={x|﹣4≤x≤4}，Q={y|﹣2≤y≤2}，则下列对应不能表示为从P到Q的函数的是（）A．y=x B．y2=（x+4）C．y=x2﹣2 D．y=﹣x25．已知函数f（x）=2x+1（1≤x≤3），则（）A．f（x﹣1）=2x+2（0≤x≤2）B．f（x﹣1）=﹣2x+1（2≤x≤4）C．f（x﹣1）=2x﹣2（0≤x≤2）D．f（x﹣1）=2x﹣1（2≤x≤4）6．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，那么f（x）在（﹣5，﹣2）上是（）A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数7．函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是单调递增函数，若f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）8．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞9二、本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在题中的横线上.11．奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）= ．12．函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是．13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．14．已知函数f（x）=，若f[f（x）]=1，则实数x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C=A，求实数a的取值范围．16．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，x∈[3，5]．（Ⅰ）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）求该函数的最大值和最小值．17．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，设函数g（x）=（x＞0），求函数g（x）的值域并画出该函数的图象．18．（10分）（2015秋•合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．19．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．2015-2016学年安徽省合肥八中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，则集合M∩N等于（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R，所以∁R M=（1，+∞）．故选B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．3．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，f（0）的符号进行判断即可．【解答】解：A．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＞0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．B．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＞0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＜0，与图象不对应．C．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．D．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象对应．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，要从抛物线的开口方向，对称轴，以及f（0），几个方面进行研究．4．已知集合P={x|﹣4≤x≤4}，Q={y|﹣2≤y≤2}，则下列对应不能表示为从P到Q的函数的是（）A．y=x B．y2=（x+4）C．y=x2﹣2 D．y=﹣x2【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：集合P={x|﹣4≤x≤4}，若y=x，则﹣2≤y≤2，满足函数的定义．若y2=（x+4），则x≠﹣4时，不满足对象的唯一性，不是函数．若y=x2﹣2，则﹣2≤y≤2，满足函数的定义．若y=﹣x2，则﹣2≤y≤0，满足函数的定义．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义的判断，根据变量x的唯一性是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=2x+1（1≤x≤3），则（）A．f（x﹣1）=2x+2（0≤x≤2）B．f（x﹣1）=﹣2x+1（2≤x≤4）C．f（x﹣1）=2x﹣2（0≤x≤2）D．f（x﹣1）=2x﹣1（2≤x≤4）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】把“x﹣1”代换已知函数中的“x”，直接求解即可得函数的解析式．【解答】解：因为f（x）=2x+1（1≤x≤3），所以f（x﹣1）=2（x﹣1）+1=2x﹣1，且1≤x﹣1≤3所以2≤x≤4故选D【点评】本题主要考查了利用整体代换求解函数的解析式，求解中要注意函数的定义域的求解，属于基础试题6．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，那么f（x）在（﹣5，﹣2）上是（）A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，可得a=0，分析函数的图象和性质，可得答案【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，∴f（﹣x）=（a﹣1）x2﹣2ax+3=f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3，∴a=0，∴f（x）=﹣x2+3，则函数的图象是开口朝下，且以y轴为对称轴的抛物线，∴f（x）在（﹣5，﹣2）上是增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7．函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是单调递增函数，若f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（3）=0，得f（﹣3）=﹣f（3）=0，即f（﹣3）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．8．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】先利用偶函数图象的对称性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自变量都转化到区间（﹣∞，0）上即可求出答案．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数故在（﹣∞，0）上是增函数因为x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；所以有f（x1）＞f（﹣x2）．又因为f（﹣x1）=f（x1），所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．故选 A．【点评】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】对f（x）配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，从而便可看出f（0）=3，f（1）=2，f（2）=3，从而根据f（x）在[0，m]上有最大值3，最小值2，便可得到1≤m≤2，这便得出了实数m的取值范围．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；x=0时，f（x）=3，x=1时，f（x）=2，x=2时，f（x）=3；∵当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2；∴1≤m≤2；即实数m的取值范围为[1，2]．故选：D．【点评】配方法求二次函数在闭区间上的最大值、最小值，要熟悉二次函数的图象，并且可结合二次函数f（x）的图象．10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞9【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．二、本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在题中的横线上.11．奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）= ﹣15 ．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】先利用条件找到f（3）=﹣1，f（6）=8，再利用f（x）是奇函数求出f（﹣6），f （﹣3）代入即可．【解答】解：f（x）在区间[3，6]上也为递增函数，即f（6）=8，f（3）=﹣1∴2f（﹣6）+f（﹣3）=﹣2f（6）﹣f（3）=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．12．函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是[0，]，（﹣∞，﹣）．【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用零点分段函数将函数解析式化为分段函数的形式，进而结合二次函数的图象和性质，画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1=的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是[0，]，（﹣∞，﹣），故答案为：[0，]，（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的单调区间，难度中档．13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π•．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．14．已知函数f（x）=，若f[f（x）]=1，则实数x的取值范围是[0，1]∪[2，3] ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接判断x的范围，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，f[f（x）]=1，当x∈[0，1]时，f[f（x）]=1恒成立．当x＜0时，f（x）=3﹣x＞3，可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；当x＞1时，f（x）=3﹣x，若1＜3﹣x≤2．即x∈[1，2），可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；若0≤3﹣x≤1即x∈[2，3]时，f[f（x）]=1，恒成立．若3﹣x＜0，即x＞3时，可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；综上x∈[0，1]∪[2，3]．故答案为：[0，1]∪[2，3]．【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C=A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）根据集合的基本运算即可得到结论．（2）根据集合关系进行转化，即可得到结论．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∁R A={x|x＞7或x＜3}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7＜x＜10}．（2）若A∩C=A，则A⊆C，∵C={x|x＜a}，∴a＞7【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，要求熟练掌握集合的基本运算．16．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，x∈[3，5]．（Ⅰ）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）求该函数的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；（Ⅱ）运用f（x）在[3，5]上单调递增，计算即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．证明：设任意x1，x2，满足3≤x1＜x2≤5．∵f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵3≤x1＜x2≤5，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）=在[3，5]上为增函数．（Ⅱ）f（x）min=f（3）==；f（x）max=f（5）==．【点评】本题考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题．17．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，设函数g（x）=（x＞0），求函数g（x）的值域并画出该函数的图象．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质，求出函数g（x）的解析式，需要分段讨论，最后画出函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=，∴函数g（x）==，∴函数的值域为{1，2，}函数的图象为：【点评】本题考查了函数的解析式以及函数图象的画法，关键是分段讨论，属于基础题．18．（10分）（2015秋•合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）分别令x=y=1，x=y=﹣1，求出f（1）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，即可求出f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数（Ⅲ）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x的不等式组，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=0，（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数；（Ⅲ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴＜1，∴f（）＜0，∴f（x1）=f（x2•）=f（x2）+f（）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）是减函数，∵f（2）+f（x2﹣）=f（2x2﹣1）≤0=f（1）=f（﹣1），∴或，解得﹣＜x＜．或﹣1≤x＜﹣，或＜x≤1，∴不等式的解集为[﹣1，﹣）∪（﹣，）∪（，1]【点评】本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题．19．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）方程有两个不等实数根，从而判别式△＞0，这样便可得出a＜﹣1，或a＞5，即得出了实数a的取值范围；（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，从而判别式△＞0，由（Ⅰ）知a＜﹣1，或a＞5，并且小根满足大于1，即，解出该不等式，再根据a还需满足a＜﹣1，或a＞5即可得出实数a的取值范围；（Ⅲ）先求f（x）的对称轴，x=1﹣a，讨论1﹣a和区间[﹣1，1]的关系：分1﹣a≤﹣1，﹣1＜1﹣a≤0，0＜1﹣a＜1，和1﹣a≥1四种情况，在每种情况里，根据二次函数的单调性或取得顶点情况及端点值的比较，便可得出f（x）在[﹣1，1]上的最大值，和最小值，最后便可写出M（a），N（a）．【解答】解：（Ⅰ）该方程有两个不等实数根；∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0；解得a＜﹣1，或a＞5；（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，根据（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5；且这两个根都大于1；∴；即；∴；∴；解得；∴；∴实数a的取值范围为（，﹣1）；（Ⅲ）f（x）的对称轴为x=1﹣a；∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增；∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2时，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1时，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；④1﹣a≥1，即a≤0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；∴综上得，，．【点评】考查一元二次方程有两个不等实数根时判别式△的取值情况，一元二次方程的求根公式，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性或取得顶点情况，及对端点值的比较，从而得出函数最值的方法．。
2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中三校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中三校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（）A．{1}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，1，2，3}D．[﹣1，3]2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x3＞3x，则它的否定形式为（）A．∃x∈R，x3≤3x B．∀x∈R，x3＞3x C．∀x∉R，x3≤3x D．∀x∈R，x3≤3x3．（5分）设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若2lgx+lg4﹣2＝0，则x的值是（）A．B．5C．D．±55．（5分）等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A．B．C．D．6．（5分），满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．[2，3）D．（1，+∞）7．（5分）已知f（x）＝e﹣x+ke x（k为常数），那么函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）﹣cosωx（0＜ω＜3）的图象过点，若要得到一个奇函数的图象，则需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）关于x的不等式﹣x2+6ax﹣3a2≥0（a＞0）的解集为[x1，x2]，则的最小值是（）A．4B．C．2D．10．（5分）已知α∈（0，），sinα+cosα＝tan（cosα﹣sinα），则α＝（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝3x；②f（x）＝x2；③f（x）＝sin x+cos x；④f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知半径为r的扇形OAB的面积为1，周长为4，则r＝．14．（5分）已知函数f（x）＝lg[（a2﹣1）x2+（2a+1）x+1]（a＜0）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．（5分）若函数f（x），g（x）满足，且f（x）+g（x）＝x+6，则f（1）+g（﹣1）＝．16．（5分）已知函数的最小正周期为π．若不等式[f（x）﹣1]2﹣a[f（x）﹣1]+1≤0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，非空集合A＝＜0}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣2）＜0}．（1）当a＝时，求（∁U B）∩A；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知0＜x＜π，sin x+cos x＝．（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x+2﹣x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．20．（12分）已知函数，t∈R．（Ⅰ）当t＝2时，写出f（x）的单调递减区间（不必证明），并求f（x）的值域；（Ⅱ）设函数，若对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得f（x1）＝g（x2），求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间[1，2]上的值域；（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间[1，2]内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝4cosωx sin（ωx+φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围及x1+x2的值．2020-2021学年安徽省合肥一中、六中、八中三校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（）A．{1}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，1，2，3}D．[﹣1，3]【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2，3}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}．故选：B．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x3＞3x，则它的否定形式为（）A．∃x∈R，x3≤3x B．∀x∈R，x3＞3x C．∀x∉R，x3≤3x D．∀x∈R，x3≤3x【解答】解：命题为特称命题，则其否定为全称命题，即∀x∈R，x3≤3x，故选：D．3．（5分）设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a＞b＞﹣1，所以a+1＞b+1＞0，所以＜，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分条件；当＜时，①当a+1＞0，b+1＞0时，则0＜b+1＜a+1，所以﹣1＜b＜a；②当a+1＜0，b+1＞0时，则a+1＜b+1，则a＜b，所以“a＞b＞﹣1”是“＜”的不必要条件；故“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若2lgx+lg4﹣2＝0，则x的值是（）A．B．5C．D．±5【解答】解：2lgx+lg4﹣2＝0，∴＝1﹣＝1﹣lg2＝lg5，∴x＝5，故选：B．5．（5分）等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由图形知，∠A＝36°，且∠A＝18°，sin18°＝×＝×＝；∴cos36°＝1﹣2sin218＝1﹣2×（）2＝；∴cos144°＝cos（180°﹣36°）＝﹣cos36°＝﹣．故选：C．6．（5分），满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．[2，3）D．（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，∴函数f（x）为增函数，则满足，即，解得2≤a＜3，故选：C．7．（5分）已知f（x）＝e﹣x+ke x（k为常数），那么函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当k＝1时，f（x）＝e﹣x+e x为偶函数，当k＜0且k≠﹣1时，f（x）＝e﹣x+ke x为减函数，非奇非偶函数，故A符合，当k＝﹣1时，f（x）＝e﹣x﹣e x为奇函数，且函数为减函数，故C符合，B不符合，当x≥0时，f（x）＝e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故D符合，故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）﹣cosωx（0＜ω＜3）的图象过点，若要得到一个奇函数的图象，则需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ωx﹣）﹣cosωx＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣）的图象过点，∴ω×﹣＝kπ，k∈Z，∴ω＝，f（x）＝2sin（x﹣）．若要得到一个奇函数的图象，则需将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：C．9．（5分）关于x的不等式﹣x2+6ax﹣3a2≥0（a＞0）的解集为[x1，x2]，则的最小值是（）A．4B．C．2D．【解答】解：∵﹣x2+6ax﹣3a2≥0（a＞0）的解集为[x1，x2]，∴x2﹣6ax+3a2≤0（a＞0）的解集为[x1，x2]，∴x1，x2是方程x2﹣6ax+3a2＝0的根，故x1+x2＝6a，x1x2＝3a2，∴＝6a+＝6a+≥2＝2，当且仅当a＝时“＝”成立，故选：B．10．（5分）已知α∈（0，），sinα+cosα＝tan（cosα﹣sinα），则α＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为sinα+cosα＝tan（cosα﹣sinα），所以2sin（α+）＝tan•2cos（α+），所以tan（α+）＝tan；又α∈（0，），所以α+∈（，），所以α+＝，解得α＝．故选：D．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝3x；②f（x）＝x2；③f（x）＝sin x+cos x；④f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①对于f（x）＝3x，由|f（x）|≤M|x|，当x≠0时，只要M≥3，当x＝0时，任意M＞0恒成立，故存在M符合题意，①正确；②当x＝0时，f（0）＝0，任意M＞0恒成立，故存在M符合题意，当x≠0时，|x|≤M，不存在M符合题意，故②不正确；③当x＝0时，f（0）＝1，1≤M•0，不存在这样的M，故③不正确；④f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|，只需M≥2即可，故④正确．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，则f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），又∵f（2﹣x）+f（x）＝0，∴f（2﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）是以2为周期的周期函数．依题意，函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在区间[﹣2，m]上有2020个零点，转化为y＝f（x）与y＝sinπx两个函数的图象在区间[﹣2，m]上有2020个交点，y＝f（x）与y＝sinπx两个函数的大致图象如下：结合图象可知，在区间[﹣2，0]上两个函数的图象有5个交点，在原点的右边的每个周期的区间可看成有4个交点，故m≥×2＝且m＜+＝1008，故m的取值范围是[，1008）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知半径为r的扇形OAB的面积为1，周长为4，则r＝1．【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为r，所以该扇形的面积为S＝αr2＝1，…①周长为2r+αr＝4；…②由①②解得r＝1，α＝2．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）＝lg[（a2﹣1）x2+（2a+1）x+1]（a＜0）的值域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，﹣]．【解答】解：当a2﹣1＝0时，得a＝1（舍去），a＝﹣1；当a2﹣1≠0时，，解得﹣1＜a≤﹣，综上得﹣1≤a≤﹣，故答案是：[﹣1，﹣]．15．（5分）若函数f（x），g（x）满足，且f（x）+g（x）＝x+6，则f（1）+g（﹣1）＝9．【解答】解：根据题意，函数f（x），g（x）满足f（x）﹣2f（）＝2x﹣，令x＝1可得：f（1）﹣2f（1）＝2﹣4＝﹣2，解可得f（1）＝2，令x＝﹣1可得：f（﹣1）﹣2f（﹣1）＝﹣2﹣（﹣4）＝2，解可得f（﹣1）＝﹣2，在f（x）+g（x）＝x+6中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）+g（﹣1）＝5，解可得g（﹣1）＝7，则f（1）+g（﹣1）＝2+7＝9，故答案为：9．16．（5分）已知函数的最小正周期为π．若不等式[f（x）﹣1]2﹣a[f（x）﹣1]+1≤0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．【解答】解：∵函数的最小正周期为π，∴T＝＝π，解得ω＝2，∴，由得：2x﹣∈[﹣，]，∴∈[0，1]，∴∈[﹣，1﹣]，f（x）﹣1∈[﹣1﹣，﹣]．令t＝f（x）﹣1，则t∈[﹣1﹣，﹣]，于是，不等式[f（x）﹣1]2﹣a[f（x）﹣1]+1≤0恒成立，等价转化为：∀t∈[﹣1﹣，﹣]，t2﹣at+1≤0恒成立⇔at≥t2+1恒成立⇔﹣a≥﹣t﹣恒成立，令μ＝﹣t，则μ∈[，+1]，由对勾函数的性质可知y＝μ+在区间[，+1]上单调递增，∴当μ＝+1时，y max＝+1+＝+1+＝，∴﹣a≥，a≤﹣，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]，故答案为：（﹣∞，﹣]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，非空集合A＝＜0}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣2）＜0}．（1）当a＝时，求（∁U B）∩A；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝时，A＝＜0}＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|（x﹣）（x﹣﹣2）＜0}＝{x|}．全集U＝R，∴∁U B＝{x|x≤，或x≥}．∴（∁U B）∩A＝{x|≤x＜3}；（2）∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，q是p的必要条件，∴A⊆B．∵a2+2﹣a＝（a﹣）2+≥，∴a2+2＞a，∵A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣2）＜0}，∴．，解得a≤﹣1或1≤a≤2，故实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]，[1，2]．18．（12分）已知0＜x＜π，sin x+cos x＝．（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin x+cos x＝，∴（sin x+cos x）2＝1+2sin x cos x＝，∴sin x cos x＝﹣，∵0＜x＜π，∴sin x＞0，cos x＜0，∴（sin x﹣cos x）2＝1﹣2sin x cos x＝，∴sin x﹣cos x＝．（Ⅱ）由sin x+cos x＝，sin x﹣cos x＝，解得sin x＝，cos x＝﹣，∴tan x＝＝﹣2，∵sin2x＝﹣，sin2x＝，∴＝＝．19．（12分）已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x+2﹣x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，所以f（0）＝0，又当x＞0时，f（x）＝2x+2﹣x，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝2x+2﹣x＝﹣f（x），故f（x）＝﹣2x+＝﹣2﹣x，所以．（Ⅱ）若mf（x）≤2﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（2x+2﹣x﹣1）≤2x﹣1，当x＞0时，2x+2﹣x﹣1＞0，所以不等式等价于在（0，+∞）上恒成立，令t＝2x﹣1，（t＞0），则，因为，当且仅当t＝1时取等号，不等式恒成立即为m在（0，+∞）上恒成立，所以，故m的取值范围是．20．（12分）已知函数，t∈R．（Ⅰ）当t＝2时，写出f（x）的单调递减区间（不必证明），并求f（x）的值域；（Ⅱ）设函数，若对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得f（x1）＝g（x2），求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当t＝2时，，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，当x＜0时，，当且仅当，即x＝﹣时取等号，当x＞0时，当且仅当，即x＝时取等号，故函数f（x）的值域为；（Ⅱ）函数，当x∈[0，π]时，，所以g（x）∈[﹣2，4]，设函数f（x）在x∈[1，2]上的值域为A，因为对任意x1∈[1，2]，总有x2∈[0，π]，使得f（x1）＝g（x2），所以A⊆[﹣2，4]，又f（1）＝1+t，f（2）＝，故，解得﹣3≤t≤4，当﹣3≤t≤0时，在[1，2]上单调递增，则有A＝[1+t，]⊆[﹣2，4]，可得，解得﹣3≤t≤4，所以﹣3≤t≤0；当0＜t≤4时，，当且仅当x＝时取等号，①当，即0＜t≤1时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以A＝[2+，1+t]⊆[﹣2，4]，可得，解得﹣8≤t≤3，所以0＜t≤1；②当，即1＜t≤2时，f（2）＞f（1），所以A＝[2，]⊆[﹣2，4]，，解得0≤t≤4，所以1＜t≤2；③当，即2＜t≤4时，f（1）＞f（2），所以A＝[2，1+t]⊆[﹣2，4]，可得，解得0≤t≤3，所以2＜t≤3；综上可得，t的取值范围为[﹣3，3]．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间[1，2]上的值域；（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间[1，2]内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣）2﹣，因为x∈[1，2]，∴f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣）2﹣∈[﹣，0]．（Ⅱ）由y＝＝ax2﹣2x+3﹣log2x＝0，即ax2﹣2x+3＝log2x令g（x）＝ax2﹣2x+3，h（x）＝log2x，x∈[1，2]，原命题等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．（1）当a＝0时，g（x）＝﹣2x+3在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，而g（1）＝1＞0＝h（1），g（2）＝﹣1＜1＝h（2），∴函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．（2）当a＜0时，g（x）图象开口向下，对称轴为x＝＜0，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，当且仅当，即，即﹣1≤a≤．∴﹣1≤a＜0．（3）当0＜a≤时，g（x）图象开口向上，对称轴为x＝≥2，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，，即，即﹣1≤a≤，∴0＜a≤．综上，存在实数a∈[﹣1，]，使函数y＝f（x）﹣log2于在区间[1，2]内有且只有一个点．22．（12分）已知函数f（x）＝4cosωx sin（ωx+φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围及x1+x2的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4cosωx sin（ωx+φ）﹣1＝4cosωx（sinωx cosφ+cosωx sinφ）﹣1＝4sinωx cosωx cosφ+4cos2ωx sinφ﹣1＝2sin2ωx cosφ+2（1+cos2ωx）sinφ﹣1＝2sin2ωx cosφ+2cos2ωx sinφ+2sinφ﹣1＝2sin（2ωx+φ）+2sinφ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f（x）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。