中考数学 四点共圆模型

共圆模型
模型
1 共端点，等线段模型
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆． 如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB ＝12
∠AOB ，∠BAC ＝12
∠BOC .
模型分析
∵OA ＝OB ＝OC .
∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．
∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上． ∵∠ACB 是»AB 的圆周角，∠AOB 是»AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝12
∠AOB .
同理可证∠BAC ＝12
∠BOC .
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆． （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例
如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ． 求证：∠1＋∠2＝90°.
图①
O A
C B
图②
B
O
C A
图③
O
A
B
C
证明
证法一：如图①，
∵AB ＝AC ＝AD ． ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2.
在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，
∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上． 延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ． ∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .
∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜
1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B
2
1B
C
D
A
图①
2
1C
D
A
B
图②
12
B
A
C
E
D
与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．
证明
∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .
∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．
∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.
2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．
解答
以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．
1
2
P
B
A
C
E D
A D
21
P
E C
B
A C
B
D
B
C
E
D
A
AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAB ≌△DAE . ∴ED ＝BC ＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°. 在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ， ∴BD
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt △ABC 和Rt △ABD 共斜边，取AB 中点O ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC =OD =OA =OB ， ∴A 、B 、
C 、
D 四点共圆．
（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
模型实例
例１如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
（１）图中有多少组四点共圆？
（２）求证：∠ADF＝∠ADE．
解答
（１）６组
①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；
②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；
③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；
⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；
⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．
（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.
同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.
∴∠ADF＝∠ADE．
例２如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外
角平分线于点F，求证：FE=DE.
解答
如图，连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°．
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆．
∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．
∴△DEF是等腰直角三角形．
∴FE=DE．
1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG BC
P
证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，∴B、C、D、E四点共圆．
∴∠DBC=∠DEG，
同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，
∴D、E、F、G四点共圆．
于是∠DEG=∠DFG，
因此，∠DBC=∠DFG．
于是FG∥BC
A B
2. 如图，BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.
A
C
3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.
B C
R
P
Q
A D
4.如图，已知△ABC 中，AH 是高，A T 是角平分线，且TD ⊥AB,TE ⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.
证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°， ∴D ，E ，H 在以AT 为直径的圆上， ∴∠AHD=∠ATD ，∠AHE=∠ATE ， 又∵
AT 是角平分线，TD ⊥AB ，TE ⊥AC ，
A
E
H
D
T B
C
∴∠ATD=∠ATE，
∴∠AHD=∠AHE．
补充：
】。