2019-2020学年黑龙江省大庆一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(9月份)

2019-2020学年黑龙江省大庆一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M＝{x|1≤x<3}，N＝{1, 2}，则M∩N＝（）A.{1}B.{1, 2}C.0D.[1, 2]【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵集合M＝{x|1≤x<3}，N＝{1, 2}，∴M∩N＝{1, 2}．2. i为虚数单位，复数z满足z(1+i)＝i，则|z|＝（）A.1 2B.√22C.1D.√2【答案】B【考点】复数的模【解析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】i为虚数单位，复数z满足z(1+i)＝i，|z|=|i||i+1|=√2=√22，3. 下列函数中，既是奇函数又在(0, +∞)单调递增的是（）A.y＝e x+e−xB.y＝ln(|x|+1)C.y=sinx|x|D.y=x−1x【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可．【解答】对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在(0, +∞)上不是单调递增函数．4. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为（）A.32+4πB.24+4πC.12+4π3D.24+4π3【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为长方体与球的组合体．【解答】该几何体为长方体与球的组合体．其中长方体的边长为2，2，3，球的半径为1；故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12＝32+4π；5. 给出下列两个命题：命题p：“a=0，b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题q：函数y=ln1−x1+x是奇函数，则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.p∧¬qC.p∨qD.p∨¬q【答案】C【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”奇函数【解析】由偶函数的定义f(−x)＝f(x)，可判断命题p1的真假；由奇函数的定义f(−x)＝f(x)，及对数函数的性质可判断命题p2的真假；最后由复合命题的真假关系，即可得出判断．【解答】解：①“a=0，b≠0”⇒“函数y=x2+ax+b=x2+b为偶函数”；“函数y=x2+ax+b为偶函数”⇒“x2+ax+b=(−x)2−ax+b”⇒“a=0”，b∈R，所以“a=0，b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的充分不必要条件．所以命题p是假命题．②函数f(x)=ln1−x1+x的定义域是(−1, 1)，且f(−x)=ln1+x1−x =−ln1−x1+x=−f(x)，所以该函数是奇函数．所以命题q是真命题，¬q是假命题．综合①②知p∨q是真命题．故选C.6. 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是()A.y2=xz且x=57B.y2=xz且x=207C.2y=x+z且x=57D.2y=x+z且x=207【答案】B【考点】等比中项根据实际问题选择函数类型【解析】由题意可知z，y，z依次成公比为12的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．【解答】解：由题意可知x，y，z依次成公比为12的等比数列，则x+y+z=x+12x+14x=5，解得x=207，由等比数列的性质可得y2=xz．故选B.7. 若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A.(13, +∞) B.(−∞, 13] C.[13, +∞) D.(−∞, 13)【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′＝3x2+2x+m≥0恒成立，即Δ＝4−12m≤0，∴m≥13．故选C.8. 如图所示，点A(1, 0)，B是曲线y＝3x2+1上一点，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（）A.1 2B.13C.14D.25【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形OABC的面积，并将他们代入几何概型计算公式进行解答．【解答】将x＝1代入y＝3x2+1得y＝4，故B点坐标为(1, 4)S矩形OABC＝4而阴影部分面积为：∫(13x2+1)dx＝2故投点落在图中阴影内的概率P=24=129. 函数y＝x3+ln(√x2+1−x)的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】确定函数是奇函数，利用f(1)＝0，f(2)＝8+ln(√5−2)>0，即可得出结论． 【解答】由题意，f(−x)＝(−x)3+ln(√x 2+1+x)＝−f(x)，函数是奇函数， f(1)＝0，f(2)＝8+ln(√5−2)>0， 故选：B ．10. 若f(x)＝sin(2x +φ)+b ，对任意实数x 都有f(x +π3)＝f(−x)，f(2π3)＝−1，则实数b 的值为（ ） A.−2或0 B.0或1 C.±1 D.±2【答案】 A【考点】正弦函数的图象 【解析】由f(x +π3)＝f(−x)可得，函数f(x)的图象关于直线x =π6对称，再分直线x =π6经过函数图象的最高点、最低点两种情况，分别求得φ值，可得函数的解析式，再由f(2π3)＝−1，求得实数b 的值． 【解答】由f(x +π3)＝f(−x)，可得函数f(x)的图象关于直线x =π6对称，∴ 2×π6+φ＝kπ+π2，k ∈z ．当直线x =π6经过函数图象的最高点时，可得φ=π6；当直线x =π6经过函数图象的最低点时，可得φ=−5π6，∴ f(x)＝sin(2x +π6)+b ，或f(x)＝sin(2x −5π6)+b ．若 f(x)＝sin(2x +π6)+b ，则由f(2π3)＝−1＝sin 3π2+b ＝−1+b ，∴ b ＝0．若 f(x)＝sin(2x −5π6)+b ，则由f(2π3)＝−1＝sin π2+b ＝−1+b ，∴ b ＝−2．综上可得，b ＝0，或 b ＝−2，11. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16, 32) B.(18, 34) C.(17, 35)D.(6, 7)【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出 【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)， 则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32， 2a +2b +2c ∈(18, 34)12. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l:x +y +a ＝0上存在一点Q ，使得∠MQN ＝90∘，则实数a 的取值范围为（ ） A.[−13, 3] B.[−3, 1] C.[−3.13] D.[−13.13] 【答案】 A【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】求得圆的方程，由切线的对称性和圆的知识将问题转化为圆心D(3, 2)到直线l 的距离小于或等于4√2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解． 【解答】过点F(1, 0)且斜率为1的直线方程为：y ＝x −1．联立{y =x −1y 2=4x ⇒x 2−6x +1＝0 ∴ AB 的中点坐标为(3, 2) AB ＝x 1+x 2+p ＝8所以以线段AB 为直径的圆圆D ：(x −3)2+(y −2)2＝16，圆心D 为：(3, 2)，半径为r ＝4，∵ 在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90∘， ∴ 在直线l 上存在一点M ，使得M 到C(3, 2)的距离等于√2r ＝4√2， ∴ 只需C(3, 2)到直线l 的距离小于或等于4√2，∴√2≤4√2⇒−13≤a ≤3，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在(x +2x )4的展开式中，含x −2的项的系数是________．【答案】 32【考点】二项式定理及相关概念 【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于−2，求出r 的值，即可求得含x −2的项的系数． 【解答】二项式展开式的通项公式为：T r+1=C 4r x 4−r (2x )r =C 4r ⋅2r x 4−2r ，令4−2r ＝−2，解得r ＝3，所以，含x −2的项的系数为C 43⋅23=32，已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1 ，则x +y 的最大值为________．【答案】 7【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z ＝x +y 的最大值． 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由z ＝x +y 得y ＝−x +z ，平移直线y ＝−x +z ，由图象可知当直线y ＝−x +z 经过点A 时，直线y ＝−x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x =−12x +y −6=0 解得A(−1, 8)． 代入目标函数z ＝x +y 得z ＝−1+8＝7． 即目标函数z ＝x +y 的最大值为7．若两个正实数x 、y 满足2x +1y =1，并且x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 −4<m <2 【考点】基本不等式及其应用 【解析】运用x +2y ＝(x +2y)(2x +1y )＝4+4y x+xy ≥4+4＝8，得出8>m 2+2m ，求解即可．【解答】∵ 两个正实数x 、y 满足2x +1y =1， ∴ x +2y ＝(x +2y)(2x +1y )＝4+4y x+xy ≥4+4＝8，∵ x +2y >m 2+2m 恒成立， ∴ 8>m 2+2m ，求解得出m 的范围：−4<m <2，已知函数f(x)＝(x +a)2+(e x +ae )2，若存在x 0，使得f(x 0)≤4e 2+1，则实数a 的值为________e 2−1e 2+1．【答案】 e 2−1e 2+1 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】函数f(x)可以看作是动点M(x, e x )与动点N(−a, −ae )之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y ＝e x 得，y′＝e x =1e ，曲线上点M(−1, 1e )到直线y =1e x 的距离最小，要使f(x 0)≤4e 2+1，则f(x 0)=4e 2+1，然后求解a 即可．【解答】函数f(x)＝(x +a)2+(e x +ae )2，函数f(x)可以看作是动点M(x, e x )与动点N(−a, −ae )之间距离的平方， 动点M 在函数y ＝e x 的图象上，N 在直线y =1e x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y ＝e x 得，y′＝e x =1e ，解得x ＝−1，所以曲线上点M(−1, 1e )到直线y =1e x 的距离最小，最小距离d =2， 则f(x)≥4e +1，根据题意，要使f(x 0)≤4e 2+1，则f(x 0)=4e 2+1，此时N 恰好为垂足，由K MN =−a e −1e −a+1=−e ，解得a =e 2−1e 2+1．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sinB +√3cosB =√3,a =1． (I)求角B 的大小；(II)若b 是a 和c 的等比中项，求△ABC 的面积． 【答案】（I ）由sinB +√3cosB =√3， 得sin(B +π3)=√32，由B∈(0, π)得B+π3∈(π3,4π3)，故B+π3=2π3，得B=π3．(II)由b是a和c的等比中项得b2＝ac又由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac⋅cosB＝a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，∴b=√ac=1故△ABC为正三角形故S△ABC=√34．【考点】解三角形【解析】（I）题设利用两角和公式整理等式求得sin(B+π3)的值，进而求得B．(II)根据等比中项性质可求得b2＝ac，代入余弦定理中求得a与c的值，进而可推断出三角形为正三角形，进而求得三角形的面积．【解答】（I）由sinB+√3cosB=√3，得sin(B+π3)=√32，由B∈(0, π)得B+π3∈(π3,4π3)，故B+π3=2π3，得B=π3．(II)由b是a和c的等比中项得b2＝ac又由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac⋅cosB＝a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，∴b=√ac=1故△ABC为正三角形故S△ABC=√34．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91, 100]、[81, 90]、[71, 80]、[61, 70]、[51, 60]、[41, 50]、[31, 40]、[21, 30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60, 169)．(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47, 86)的人数；(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61, 80]的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)＝0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)＝0.954，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)＝0.997） 【答案】【解析】(Ⅰ)因为物理原始成绩ξ∼N(60, 132)则P(47<ξ<86)＝P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)=0.6822+0.9542=0.818⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以物理原始成绩在(47, 86)的人数为2000×0.818＝1636（人）… （2）随机抽取1人，其成绩在区间[61, 80]的概率为25所以随机抽取三人，则X 可取0，1，2，3，且XB(3,25)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯P(X =0)=(35)3=27125P(X =1)=C 31⋅25⋅(35)2=54125P(X =2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125P(X =3)=(25)3=8125 所以X 的分布列为…………………………数学期望E(X)=3×25=65⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【考点】正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）根据若随机变量ξ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)＝0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)＝0.954，以及正态分布的对称性可得．（2）X 服从二项分布，因为成绩在区间[61, 80]的成功概率为25，故X 服从XB(3,25)，X 可取0，1，2，3．代入即可 【解答】【解析】(Ⅰ)因为物理原始成绩ξ∼N(60, 132)则P(47<ξ<86)＝P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)=0.6822+0.9542=0.818⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以物理原始成绩在(47, 86)的人数为2000×0.818＝1636（人）… （2）随机抽取1人，其成绩在区间[61, 80]的概率为25所以随机抽取三人，则X 可取0，1，2，3，且XB(3,25)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯P(X =0)=(35)3=27125P(X =1)=C 31⋅25⋅(35)2=54125P(X =2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125P(X =3)=(25)3=8125所以X 的分布列为…………………………数学期望E(X)=3×25=65⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AC ，BB 1的中点． （1）证明：BD // 平面AEC 1；（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角A −EC 1−B 的余弦值．【答案】证明：取AC 1的中点为F ，连接DF ，EF ．∵ D ，F 分别为AC ，AC 1的中点，∴ DF // CC 1，且DF =12CC 1⋯⋯⋯2′ ∵ E 为BB 1的中点∴ BE ∥CC 1BE =12CC 1．∴ DF // BE 且DF ＝BE ，∴ BEFD 为平行四边形，∴ BD // EF ．…………………4′ ∵ EF ⊂平面AEC 1，BD 平面AEC 1，∴ BD // 平面AEC 1．…………………6′ 设BC 的中点为O ，连接AO ，∵ △ABC 为等边三角形，∴ AO ⊥BC ，∵ 侧面都是正方形，∴ BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∵ AB ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC ＝B ，∴ BB 1⊥平面ABC ，∵ AO ⊂平面ABC ，∴ AO ⊥BB 1，∵ BC ∩BB 1＝B ，∴ AO ⊥平面BB 1C 1C ．………………8′取B 1C 1中点为O 1，连接OO 1，则OO 1⊥BC ．以O 为原点，以OB 、OO 1、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，如图． 设AB ＝2，则A(0,0,√3),E(1,1,0),C 1(−1,2,0)， ∴ EC 1→=(−2,1,0),AC 1→=(−1,2,−√3)．设平面AEC 1的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅EC 1→=−2x +y =0m →⋅AC 1=−x +2y −√3z =0 令x ＝1，得m →=(1,2,√3)，取平面BEC 1的法向量为n →=(0,0,1)．…………………10′ 则cos⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√64， 故所求二面角的余弦值为√64．…………………12′【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)证明：取AC 1的中点为F ，连接DF ，EF ．证明BEFD 为平行四边形，得到BD // EF ．然后证明BD // 平面AEC 1．(Ⅱ)设BC 的中点为O ，连接AO ，以O 为原点，以OB 、OO 1、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面AEC 1的法向量，平面BEC 1的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可． 【解答】证明：取AC 1的中点为F ，连接DF ，EF ．∵ D ，F 分别为AC ，AC 1的中点，∴ DF // CC 1，且DF =12CC 1⋯⋯⋯2′ ∵ E 为BB 1的中点∴ BE ∥CC 1BE =12CC 1．∴ DF // BE 且DF ＝BE ，∴ BEFD 为平行四边形，∴ BD // EF ．…………………4′ ∵ EF ⊂平面AEC 1，BD 平面AEC 1，∴ BD // 平面AEC 1．…………………6′ 设BC 的中点为O ，连接AO ，∵ △ABC 为等边三角形，∴ AO ⊥BC ，∵ 侧面都是正方形，∴ BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∵ AB ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC ＝B ，∴ BB 1⊥平面ABC ，∵ AO ⊂平面ABC ，∴ AO ⊥BB 1，∵ BC ∩BB 1＝B ，∴ AO ⊥平面BB 1C 1C ．………………8′取B 1C 1中点为O 1，连接OO 1，则OO 1⊥BC ．以O 为原点，以OB 、OO 1、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，如图． 设AB ＝2，则A(0,0,√3),E(1,1,0),C 1(−1,2,0)， ∴ EC 1→=(−2,1,0),AC 1→=(−1,2,−√3)．设平面AEC 1的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅EC 1→=−2x +y =0m →⋅AC 1=−x +2y −√3z =0令x ＝1，得m →=(1,2,√3)，取平面BEC 1的法向量为n →=(0,0,1)．…………………10′ 则cos⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√64， 故所求二面角的余弦值为√64．…………………12′已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P(√6, −1)，且△PF 1F 2的面积为2 (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程(Ⅱ)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为√2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD|＝λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l 的方程 【答案】（I ）由△PF 1F 2A 的面积S =12⋅2c ⋅1＝2，则c ＝2，由a 2−b 2＝4， 将椭圆C 过点P(√6, −1)，则6a 2+1b 2=1，解得：a ＝2√2，b ＝2， ∴ 椭圆的标准方程：x 28+y 24=1；（2）设直线l 的方程为y ＝x +m ，则原点到直线l 的距离d =√2，由弦长公式|AB|＝2√2−m 22=√8−2m 2，则{y =x +mx 2+2y 2=8 ，整理得：3x 2+4mx +2m 2−8＝0， △＝16m 2−12(2m 2−8)>0，解得：−2√3<m <2√3， 由直线和圆相交的条件可得d <r ，即√2<√2，则−2<m <2，综上可得m 的取值范围为(−2, 2)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，由弦长公式CD|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=43√12−m 2， 由|CD|＝λ|AB|，则λ=|CD||AB|=43√12−m 2√8−2m 2=2√23√1+84−m 2，由−2<m <2，则0<4−m 2≤4，∴ 当m ＝0时，λ取得最小值为2√63，此时直线l 的方程为y ＝x ．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（I ）根据三角形的面积公式，求得c ，由a 2−b 2＝4，将P 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线l 的方程，利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|，代入椭圆方程，由△>0和d <r ，求得m 的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得|CD|，根据m 的取值范围，即可求得m 的值，直线l 的方程． 【解答】（I ）由△PF 1F 2A 的面积S =12⋅2c ⋅1＝2，则c ＝2，由a 2−b 2＝4， 将椭圆C 过点P(√6, −1)，则6a 2+1b 2=1，解得：a ＝2√2，b ＝2， ∴ 椭圆的标准方程：x 28+y 24=1；（2）设直线l 的方程为y ＝x +m ，则原点到直线l 的距离d =√2，由弦长公式|AB|＝2√2−m 22=√8−2m 2，则{y =x +mx 2+2y 2=8 ，整理得：3x 2+4mx +2m 2−8＝0， △＝16m 2−12(2m 2−8)>0，解得：−2√3<m <2√3， 由直线和圆相交的条件可得d <r ，即√2<√2，则−2<m <2，综上可得m 的取值范围为(−2, 2)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，由弦长公式CD|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=43√12−m 2 由|CD|＝λ|AB|，则λ=|CD||AB|=43√12−m 2√8−2m 2=2√23√1+84−m ，由−2<m <2，则0<4−m 2≤4，∴ 当m ＝0时，λ取得最小值为2√63，此时直线l 的方程为y ＝x ．已知函数f(x)＝ln(x +1)+ax 2−x ，a ∈R ． (Ⅰ)当a =14时，求函数y ＝f(x)的极值；(Ⅱ)若对任意实数b ∈(1, 2)，当x ∈(−1, b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，求a 的取值范围． 【答案】（1）当a =14时，f(x)=ln(x +1)+14x 2−x ， 则f′(x)=1x+1+12x −1，化简得f′(x)=x(x−1)2(x+1)(x >−1)，列表如下：∴ 函数f(x)在(−1, 0)，(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，且f(0)＝0， f(1)＝ln2−34，∴ 函数y ＝f(x)在x ＝1处取到极小值为ln2−34，在x ＝0处取到极大值为0； （2）由题意f′(x)=x[2ax−(1−2a)]x+1，（1）当a ≤0时，函数f(x)在(−1, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减，此时，不存在实数b ∈(1, 2)，使得当x ∈(−1, b)时，函数f(x)的最大值为f(b)； （2）当a >0时，令f′(x)＝0有x ＝0或x =12a −1，①当12a −1<0，即a >12时，函数f(x)在(−1,12a −1)和(0, +∞)上单调递增， 在(12a −1,0)上单调递减，要存在实数b ∈(1, 2)，使得当x ∈(−1, b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则f(12a −1)<f(1)，代入化简得ln2a +14a +ln2−1>0， 令g(a)=ln2a +14a +ln2−1(a >12)，∵ g ′(x)=1a (1−14a )>0恒成立，故恒有g(a)>g(12)=ln2−12>0， ∴ a >12时，ln2a +14a +ln2−1>0恒成立；②当12a −1>0，即0<a <12时，函数f(x)在(−1, 0)和(12a −1,+∞)上单调递增， 在(0, 12a −1)上单调递减，此时由题，只需{12a−1≤1f(1)≥0，解得a ≥1−ln2， 又1−ln2<12，∴ 此时实数a 的取值范围是1−ln2≤a <12；③当a =12时，函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增，显然符合题意． 综上，实数a 的取值范围是[1−ln2, +∞)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)将a =14时代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x 的取值范围与f′(x)的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x)的极值； (Ⅱ)由题意首先求得：f′(x)=x[2ax−(1−2a)]x+1，故应按a <0，a ＝0，a >0分类讨论：当a ≤0时，易知函数f(x)在(−1, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减，从而当b ∈(0, 1)时f(b)<f(0)，则不存在实数b ∈(1, 2)，符合题意；当a >0时，令f′(x)＝0有x ＝0或x =12a −1，又要按根x =12a −1大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x)x ∈(−1, b]的最大值，使其最大值恰为f(b)，分别求得a 的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a 的取值范围为空则不存在，否则存在．【解答】（1）当a =14时，f(x)=ln(x +1)+14x 2−x ， 则f′(x)=1x+1+12x −1，化简得f′(x)=x(x−1)2(x+1)(x >−1)，列表如下：∴ 函数f(x)在(−1, 0)，(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，且f(0)＝0， f(1)＝ln2−34，∴ 函数y ＝f(x)在x ＝1处取到极小值为ln2−34，在x ＝0处取到极大值为0； （2）由题意f′(x)=x[2ax−(1−2a)]x+1，（1）当a ≤0时，函数f(x)在(−1, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减，此时，不存在实数b ∈(1, 2)，使得当x ∈(−1, b)时，函数f(x)的最大值为f(b)； （2）当a >0时，令f′(x)＝0有x ＝0或x =12a −1，①当12a −1<0，即a >12时，函数f(x)在(−1,12a −1)和(0, +∞)上单调递增， 在(12a −1,0)上单调递减，要存在实数b ∈(1, 2)，使得当x ∈(−1, b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则f(12a −1)<f(1)，代入化简得ln2a +14a +ln2−1>0， 令g(a)=ln2a +14a +ln2−1(a >12)，∵ g ′(x)=1a (1−14a )>0恒成立，故恒有g(a)>g(12)=ln2−12>0， ∴ a >12时，ln2a +14a +ln2−1>0恒成立；②当12a −1>0，即0<a <12时，函数f(x)在(−1, 0)和(12a −1,+∞)上单调递增， 在(0, 12a −1)上单调递减，此时由题，只需{12a−1≤1f(1)≥0，解得a ≥1−ln2， 又1−ln2<12，∴ 此时实数a 的取值范围是1−ln2≤a <12；③当a =12时，函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增，显然符合题意．综上，实数a 的取值范围是[1−ln2, +∞)．选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若点P 的极坐标为(2, π)，|PM|+|PN|=5√2，求a 的值． 【答案】解：(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ， 即(x −a)2+(y −1)2=a 2+1， 直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为y =x +2． (2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t代入x 2+y 2=2y +2ax ，并化简、整理，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0．因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以Δ=(3√2+√2a)2−4(4a +4)>0， 解得a ≠1．由根与系数的关系，得t 1+t 2=3√2+√2a ，t 1t 2=4a +4． 因为点P 的直角坐标为(−2, 0)在直线l 上．所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=3√2+√2a =5√2， 解得a =2，此时满足a >0，且a ≠1， 故a =2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】（1）由ρ＝2sinθ+2acosθ，(α>0)，得ρ2＝2ρsinθ+2aρcosθ，(a >0)，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线的参数方程能求出直线l 的普通方程． （2）将直线l 的参数方程{x =−2+√22t y =√22t代入x 2+y 2＝2y +2ax ，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4＝0，利用根与系数的关系，能求出结果．【解答】解：(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ， 即(x −a)2+(y −1)2=a 2+1， 直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为y =x +2． (2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t代入x 2+y 2=2y +2ax ，并化简、整理，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0．因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以Δ=(3√2+√2a)2−4(4a +4)>0， 解得a ≠1．由根与系数的关系，得t 1+t 2=3√2+√2a ，t 1t 2=4a +4． 因为点P 的直角坐标为(−2, 0)在直线l 上．所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=3√2+√2a =5√2， 解得a =2，此时满足a >0，且a ≠1， 故a =2．已知函数f(x)=|x −2|．(1)求不等式f(x)<x +|x +1|的解集；(2)若函数f(x)=log 2[f(x +3)+f(x)−2a]的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)由已知不等式f(x)<x +|x +1|，得|x −2|<x +|x +1|， 当x >2时，绝对值不等式可化为x −2<x +x +1， 解得：x >−3，所以x >2；当−1≤x ≤2时，绝对值不等式可化为2−x <x +x +1， 解得：x >13，所以13<x ≤2；当x <−1时，由2−x <x −x −1，得：x >3， 此时无解．综上，不等式的解集为(13, +∞)．(2)要使函数f(x)=log 2[f(x +3)+f(x)−2a]的定义域为R ， 只要g(x)=f(x +3)+f(x)−2a 的最小值大于等于1即可． 又g(x)=|x +1|+|x −2|−2a ≥3−2a ， 当且仅当x ∈[−1, 2]时取等号． 所以只需3−2a ≥1，即a ≤1， 所以实数a 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质得到g(x)＝|x +1|+|x −2|−2a ≥3−2a >0，解出即可． 【解答】解：(1)由已知不等式f(x)<x +|x +1|，得|x −2|<x +|x +1|， 当x >2时，绝对值不等式可化为x −2<x +x +1， 解得：x >−3，所以x >2；当−1≤x ≤2时，绝对值不等式可化为2−x <x +x +1，解得：x>13，所以13<x≤2；当x<−1时，由2−x<x−x−1，得：x>3，此时无解．综上，不等式的解集为(13, +∞)．(2)要使函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，只要g(x)=f(x+3)+f(x)−2a的最小值大于等于1即可．又g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a，当且仅当x∈[−1, 2]时取等号．所以只需3−2a≥1，即a≤1，所以实数a的取值范围是(−∞, 1]．。