华南师范大学 算法设计试卷

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计算机学院2007－2008学年（下）学期期末考试试卷
《 算法设计与分析 》试卷（A ）
专业 年级　０６ 班级 姓名 学号
题号 一
二 三 四 五 六 七 总分 得分
一、　简答题（每小题５分，共２０分）　
１、如何理解算法的时间复杂度？如何区别表示算法渐近复杂度三个记号Ο、Ω、Θ？　
２、什么是最优算法？请基于事实“以比较为基础的排序算法的时间下界是Ω(n log n )”列举一个基于比较的最优排序算法。

　
３、图有宽度优先搜索和深度优先搜索算法。

如果图用邻接矩阵来表示，那么这两种算法的时间复杂度是什么？如果图用邻接表来表示呢？
4、快速排序算法是根据分治策略来设计的，其基本思想是什么？快速排序算法的最坏及平均情况的时间复杂度分别是多少？
二、计算题（共１５分）　1、（7分）求解递推关系：
T(n )=6T(n −1) −9T(n −2), n =2；T(0)=T(1)=1。

2、（8分）证明：log1+log2+…+log n =Θ(n log n )。

三、算法分析题（１０分）　
考虑在序列A [1..n ]中找最大最小元素的问题。

一个分治算法描述如下：如果n ≤2就直接求解。

否则，将序列等分成两个子序列A [1..n /2]和A [n /2+1..n ]，分别找出这两子序列的最大最小元素x 1,y 1和x 2,y 2；然后据此求出A [1..n ]的最大元素x =max {x 1,x 2}及最小元素y =min {y 1,y 2}。

请给出该算法计算时间T (n )满足的递归方程，并解方程来确定算法的时间复杂度。

假定n =2k （k 为正整数）。

四、　归纳技术应用题（共１０分）　１、（4分）简述基数排序算法的基本思路和算法时间复杂度；　２、（6分）考虑使用基数排序算法对下列８个数据进行排序，请给出中间排序的结果。

　
２７５６　７３５２　３７２５　３７６２　５２７３　２３７５　５７３２　
５６２７　
　五、　动态规划法应用题（共１５分）　
考虑用动态规划法求解矩阵连乘M 1M 2M 3M 4M 5的最优运算（即元素乘法次数最少）的次序，其中M 1：5×6，M 2：6×4，M 3：4×8，M 4：8×3，M 5：3×5。

１、（5分）设　C [i ,j ]表示矩阵连乘M i M i +1…M j 按照最优次序运算所需要的元素乘法次数。

请给出C [i ,j ]递推计算的公式。

2、（10分）根据递推公式填写下表，包括C [i ,j ]的值及对应的最优运算次序的加括号方式。

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C[1，1]＝0 M 1 C[1，2]＝
C[1，3]＝
C[1，4]＝
C[1，5]＝
C[2，2]＝ C[2，3]＝
C[2，4]＝ C[2，5]＝ C[3，3]＝ C[3，4]＝ C[3，5]＝ C[4，4]＝ C[4，5]＝
C[5，5]＝
　六、　贪心法应用题（共１０分）　１、（4分）Prim 算法是求最小生成树的贪心算法，请简述Prim 算法的基本思想。

２、（6分）用Prim 算法求下图的最小生成树。

主要计算过程。

七、　算法设计题（共２０分）　１、（4分）简述设计回溯算法的基本步骤。

２、（10分）在回溯法应用的综合性实验中，根据你做选做的题目，简要叙述你是如何用回溯法解决这个问题的（即给出求解该问题的回溯算法的几个要素）。

3、（6分）本课程中学习了分治法、贪心法、动态规划法、回溯法等设计算法的基本策略，在解决问题时应如何选用这些策略设计算法？结合实验谈谈体会。

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计算机学院2007－2008学年（下）学期期末考试试卷
《 算法设计与分析 》试卷（B ）
专业 年级　０６ 班级 姓名 学号
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分
一、简答题（每小题５分，共２０分）　
1、算法A 的计算时间Ｔ1(n )满足递归关系式：T 1 (n )=3T 1 (n -1)+1，, n >1；;T 1 (1)=1。

算法B 的计算时间Ｔ2(n )= 2n 3+1000n log 10n +100n 。

请使用记号Θ分别表示T 1 (n )和T 2 (n )。

2、设G=〈 V ,E 〉是无向图，n =|V|，m =|E|，且m =O (n 1.99)。

如果要求图G 的最小成生树，你愿意选择哪一个算法： Prim 算法还是Kruskal 算法？为什么？ ３、在有向图的深度优先搜索中，边被分为哪几类？
4．设A [1..n ]是元素取值于区间[1..2n ]的整型数组，考虑对A 进行排序。

你认为归并排序算法 MERGERSORT 和基数排序算法RADIXSORT 哪一个可能更快？简述原因。

二、　计算题（共１５分）　１、（7分）求解递推关系：
T(n )=3T(n −1)+4T(n −2),n =2；T(0)=1,T(1)=2。

2、（8分）证明：对于任意正整数k 有1k +2 k +…+n k =Θ(n k +1)。

三、算法分析题（共１０分）
考虑求下列数列的通项a n ：a 0=0，a 1
=1，a n =a n -1+a n -2（n >1）。

下面是使用C 语言表示的递归算法： int A (int n )
{ if (n = =0) return 0; if (n = =1) return 1;
else return A (n −1)+A (n −2); } １、（5分）分析算法的时间复杂度。

2、（5分）你能够改进算法使得用Θ(n )时间即可求出FA (n )吗？简述你的改进办法。

四、（共１０分）考虑在8个元素的集合A(1:8)=(10, 35, 5, 40, 20, 25, 30, 15)中找最大和最小元素。

1、（６分）说明用分治法求解此问题的基本思路，并画出求解过程； 2、（４分）分析求解过程中所作的元素比较次数，并将这一结果与直接求解法所需作的元素比较次数进行对比。

五、（共１５分）请使用动态规划法求解下列0-1背包问题实例：n =4个物品，大小分别为W={2,3,4,6}，价值分别为P={3,6,5,9}，背包容量为M=10。

1、（５分）请给出递推计算公式。

2、（１０分）根据递推计算公式用表格展示出计算过程，并给出最优结果。

六、（共１０分）考虑用哈夫曼算法来找字符a,b,c,d,e,f的最优编码。

这些字符出现在文件中的频数之比为 20:10:6:4:44:16。

要求：
1、（４分）简述使用哈夫曼算法构造最优编码的基本步骤；
2、（６分）构造对应的哈夫曼树，并据此给出a,b,c,d,e,f的一种最优编码。

七、算法设计题（共２０分）　
１、（４分）请给出设计回溯算法的主要步骤。

　
2、（１０分）考虑使用回溯法解4皇后问题，解空间取为由1,2,3,4的4!种排列所组成。

要求：用文字描述定义剪枝操作；画出用回溯算法找出一个解所产生的部分搜索树，并写出这个解。

3、（６分）本课程中我们学习了分治法、贪心法、动态规划法、回溯法等几种设计算法的基本策略，在解决实际问题时应如何来选用这些策略来进行算法设计？谈谈你的体会。

可以结合所做过的实验情况来谈。

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