高一数学导数及其运用练习题7
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
导数应用练习题含答案(供参考)
课外作业 一．选择题，1. ．函数x x x x f +--=23)(的单调减区间是 ( )A ．（)1,-∞- B.),31(∞ C ．（)1,-∞-和),31(∞ D.)31,1(-解: 'f （x ）=-32x -2x+1<0，所以x>31或x<-1，故选C 2．函数xxx f sin )(=，则 ( ) A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数 D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 解: 'f （x ）=2sin cos xx x x -，当x ∈),0(π时'f （x ）<0，故选A 3. .函数()(1)x f x x e 的单调递增区间是 （ ）A .[0，＋∞）B . [2，＋∞）C .（－∞，2]D .（－∞，1]解：令'f （x ）=x e -（x-1）xe >0,得2-x>0,x<2，故选C4..()f x '是f （x ）的导函数，()f x '的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C DA ．B ．C ．D ． 解：)('x f 越大表示曲线f （x ）递增（减）速度越快，故选D5.下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.y=sinx+1, B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(解：y=sinx+1是周期函数，不满足条件； xxe y =，则'y =x e +x xe ,当x>0时'y >0成立。
故选B6.对于R 上可导的任意函数，若满足()()01/≥-x fx ，则必有（ ）A . ()()()1220f f f <+ B. ()()()1220f f f >+ C . ()()()1220f f f ≥+ D. ()()()1220f f f ≤+解：x ≥1时'f （x ）≥0；x ≤1时'f （x ）≤0。
高考数学必考点专项第7练 导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算一、单选题1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆B. 96t t+∆+∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆2. 设()f x 是可导函数，且000()(2)lim2x f x f x x x∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )A. 12B. 1-C. 0D. 2-3. 设，，，…，，则( )A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为( )A.21e - B.4eC.21e + D.41e + 5. 下列求导运算正确的是( )A. 2313(ln )x x x x+'=+B. 2()2x x x e xe '=C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-D. 211(ln )22ln 2log x x +'=+6. 设函数的导函数为，则图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )A. [,)4π+∞B. 5[,)412ππC. [,)42ππD. [,)43ππ8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3211()233g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )A. 0B. 1C. 2D. 49. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<二、多选题10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确的有( )()g xA. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________.13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2f π=__________.14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________15. 已知函数，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数k 的取值范围为__________.16. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 四、解答题()()f x f x ='()f x ()f x18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若()1f x ，求a 的取值范围.答案和解析1.【答案】A解：平均速度为22(3)3(33)633t v t t ++-+==++-，故选.A2.【答案】B解：由题得：0000020()(2)(2)()lim2lim 22x x f x f x x f x x f x x x∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B3.【答案】D解：根据题意，，，，，，则有，，…，所以，则.故选.D4.【答案】A解：()2ln xf x e x x x '=--， 故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--， 即(1)2y e x =-+，令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：21x e =--， 故围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--， 故选：.A5.【答案】C解：2313(ln )x x x x+'=-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；211(ln )2ln 2log x x +'=，D 错误． 故选：.C6.【答案】D解：因为4()cos f x x x =--，所以3()sin 4f x x x '=-，所以3()sin 4g x x x =-， 所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称， 而函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D7.【答案】C解：()ln xf x x b=+，11()f x x b∴'=+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444b a f a a b a b a b a b ∴'=+=++=+++=， 当且仅当2a b ==取等号成立，∴曲线()ln xf x x b=+在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42ππ 故选.C8.【答案】D解：3211()233g x x x x =-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-， 令()0g x ''=，得1x =， 又3211(1)1121133g =⨯-+⨯-=， 所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=， 所以(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，故选：.D9.【答案】D解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知000x x e b e x a-=-，整理得：00000x x xe b x e ae --+=有两解，令()x x x g x e b xe ae =--+，()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a即，解得b a e >，又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D10.【答案】AC解：A 中，若函数()f x 是奇函数， 则，则()f x '是偶函数，故A 正确；B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；C 中，若函数()f x 是周期函数， 则，则()f x '也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但是周期函数，故D 错误；故选.AC11.【答案】2210x y π+-+=解：已知2sin cos y x x =+，2cos sin y x x ∴'=-，，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=12.【答案】4解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000).x x > ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4.= 故答案为：4.13.【答案】0解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3f x f x x x x π'=''+'()(cos cos 22sin sin 2)3f x x x x π='-，所以227()()(coscos2sin sin )()33333343f f f πππππππ'='-=-'， 所以()03f π'=，所以()0f x =，所以()02f π=，故答案为0.14.【答案】4π 解：()sin ()cos f x x f x x =∴'=，令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，，解得4x π=，所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为.4π 故答案为：.4π 15.【答案】解：函数，方程()f x kx =恰有两个实数解，∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ， 切线斜率为01k x =， 所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e=， 结合图象可知，实数k 的取值范围为，故答案为16.【答案】解：由题意，，则， 所以点和点，12,x x AM BN k e k e =-=， 所以12121,0x x e ex x -⋅=-+=， 所以， 所以，(0,1)同理，所以故答案为：17.【答案】e2解：对于x y e =，设切点为(,)nn e ， 因为x y e '=，故切线斜率n k e =，故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)， 所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=， 因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e，代入ln y x m =+得11ln m e =+， 所以 2.m =故答案为：e ；2.18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；2(2)()369f x x x '=-++，可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+， 即为15270.x y ++=19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+， 所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-，即ln ln 1a x x +-，设()ln 1h x x x =+-，11()1x h x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a ，1a ，即a 的取值范围为[1,).+∞。
必修一数学导数练习题
必修一数学导数练习题一、基础题1. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
2. 求函数g(x) = 2x^2 + 4x 1的导数。
3. 求函数h(x) = (1/2)x^4 3x^2 + 2的导数。
4. 求函数k(x) = 3x^5 5x^3 + 2x的导数。
5. 求函数m(x) = (2/3)x^3 (4/5)x^2 + (1/2)x的导数。
二、应用题1. 一物体做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s = 3t^2 2t + 1，求物体在t=2秒时的瞬时速度。
2. 某企业生产一种产品，其成本函数为C(x) = 1000 + 5x^2，其中x为生产数量。
求生产100件产品时的边际成本。
3. 一辆汽车以v(t) = 4t^2 3t + 2（单位：米/秒）的速度行驶，求汽车在t=3秒时的加速度。
4. 某商品的需求函数为Q(p) = 100 p，其中p为商品价格。
求当价格为30元时的需求弹性。
5. 已知某函数f(x)的导数为f'(x) = 6x^2 4x + 1，求f(x)的一个原函数。
三、综合题1. 设函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x，求f(x)在x=1处的切线方程。
2. 已知函数g(x) = e^x x^2，求g(x)的单调区间。
3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的极值。
4. 设函数k(x) = (1/2)x^4 (2/3)x^3 + x^2，求k(x)的拐点。
5. 已知函数m(x) = arcsin(x 1)，求m(x)的凹凸区间。
四、拓展题1. 已知函数f(x) = x^4 4x^3 + 6x^2，求f(x)的二阶导数。
2. 设函数g(x) = (x^2 + 1)^3，求g(x)的三阶导数。
3. 已知函数h(x) = sin(x) + cos(x)，求h(x)的四阶导数。
4. 设函数k(x) = e^(2x) 2e^x，求k(x)的五阶导数。
高一数学导数及其运用练习题
导数单元检测二29．已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 30．已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥． 31．已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． 32．设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+． 由于e e e 2x -x x x -+=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．33．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．34．已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．35．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A193B103C163D1332 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A3B-3C 5D -53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A222()x a -B223()x a +C223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A19B 29C 13D 235 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A3B52C 2 D326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A6π B 34π C 4π D 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A34y x =-B32y x =-+C43y x =-+ D 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A36t ∆+B36t -∆+C36t ∆- D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是ABCD 013 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或B(1,4)(1,0)--或C(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A[0,]2πB3[0,)[,)24πππ C 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________16 函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x-=+ (2) 52sin x x y x +=(3) y = (4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
高考数学复习-导数及其应用练习试题卷及参考答案
高考数学复习-导数及其应用练习试题卷及参考答案一、选择题(10×5′=50′)1.曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程为 ( )A.y =6x -12B.y =12x -16C.y =8x +10D.y =12x -32 2.过原点与曲线y =1x -相切的切线方程为 ( ) A.y =21x B.y =2x C.y =x D.y =31x3.物体自由落体运动方程为s =s (t )=21gt 2,g =9.8m/s 2,若v =0lim →n ts t s ∆-∆+)1()1(=g=9.8m/s.那么下列说法正确的是 ( )A.9.8m/s 是在1s 这段时间内的速率B.9.8m/s 是从1s 到（1+Δt ）s 这段时间内的速率C.9.8m/s 是物体在t =1 s 这一时刻的速率D.9.8m/s 是物体从1 s 到（1+Δt ）s 这段时间内的平均速率4.已知过曲线y =31x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--328,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛320,3 5.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为：s (t )=4t 2-3(s 单位：m,t 单位：s),则t =5时的瞬时速率为 ( )A.37B.38C.39D.40 6.一个圆半径以0.1 cm/s 速率增加，那么当半径r =10 cm 时，此圆面积的增加速率（单位：cm 2/s ）为 ( )A.3πB.4πC.2πD.π7.一圆面以10π cm 2/s 的速率增加，那么当圆半径r =20 cm 时，其半径r 的增加速率u 为 ( ) A.21 cm/s B.31 cm/s C.41 cm/s D.51cm/s8.曲线y =x n(n ∈N )在点P (2,22n)处切线斜率为20，那么n 为 ( )A.7B.6C.5D.49.直线a ∥b ，a 处一面高墙，点P 处站一人，P 到直线a 的距离P A ＝10 m,P 到直线b 的距离PB ＝2 m,在夜晚一光源S 从B 点向左运动，速率为5 m/s(沿直线b 运动)，那么，P 点处的人投在墙a 上影子Q 的运动速率为 ( )A.10 m/sB.15 m/sC.20 m/sD.25 m/s 10.质点P 在半径为r 的圆周上逆时针方向做匀角速率运动， 角速率为1 rad/s.如图所示，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为 ( )A.r sin tB.-r sin tC.r cos tD.-r cos t第10题图二、填空题（4×4′=16′）11.曲线y =x (x +1)(2-x )有两条平行于直线y =x 的切线，则两切 线之间的距离是 .12.函数S =e t 2-sin(ωt +φ),那么S ′t 为 .13.设曲线y =x 上有点P (x 1,y 1)，与曲线切于点P 的切线为m .若直线n 过P 且与m 垂直，则称n 为曲线在P 处的法线，设n 交x 轴于Q ,又作PR ⊥x 轴于R ,则RQ 的长是 .14.设坐标平面上的抛物线y =x 2的图象为C ,过第一象限的点(a ,a 2)作C 的切线l ,则l 与y 轴的交点Q 的坐标为 ,l 与y 轴夹角为30°时，a = . 三、解答题（4×10′+14′=54′）15.A (1,c )为曲线y =x 3-ax 2+b 上一点，曲线在A 点处的切线方程为y =x +d ,曲线斜率为1的切线有几条？它们之间的距离是多少？16.已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和C 2:y =-x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，则得l 为C 11和C 2的公切线，公切线上两切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程； (2)若C 1与C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.17.已知函数f (x )=ln(x +1)-x . (1)求函数f (x )的单调递减区间; (2)若x >-1,证明：1-11+x ≤ln(x +1)≤x .18.如图所示的是曲柄连杆装置， （1）求滑块运动方程； （2）求滑块运动速率.19.质点运动方程s =f (t )实为位移s 对时间t 的函数，质点的运动速度即是对应的位移函数的导数s ′=f ′(t ).(1)求质点运动s 1=vt +s 0和s 2=21at 2+vt +s 0的运动速度并判定运动的性质.(v 、a 、s 0均为大于零的常数)(2)已知某质点的运动方程为s =sin2πt ,问此运动何时速度为0？第18题图参考答案一、选择题1.B 设所求切线斜率为k ,那么，k =0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx ∆-∆+332)2(=12,所以，所求切线方程为y -8=12(x -2),整理得:y =12x -16.2.A 设切点P （x 0,10-x ），那么切线斜率k =y ′|0x x ==1210-x .又因为切线过点O （0，0），及点P ，则k =0100---x x ,所以1210-x =01x x -.解得x 0=2.所以斜率k =21.从而切线方程为:y =21x . 3.C4.A 设P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3,300x x ,由导数几何意义可知：y ′|0x x ==k l =4,又因为y ′|0x x ==x 20, 所以x 0=±2,所以点P 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛±±38,2.5.D 设物体在时刻5时的瞬时速度为:v (5)= 0lim →∆t 40]354[]3)5(4[22=∆-⨯--∆+tt .6.C 当圆半径变化t s 时，圆面积为S =πr 2,那么圆面积变化速率为v =S t ′=2πr ·r t ′;又因为r t ′=0.1 cm/s.从而r =10 cm 时，v =2π×10×0.1 cm 2/s=2π cm 2/s.7.C 设t s 时刻圆面积为S ，则S =πr 2,时刻t 圆面积增加速率为S t ′,对应半径增加速率 u =r t ′,S t ′=2πr ·r t ′,此时S t ′=10π cm 2/s,r =20 cm.由10π=2π×20×r t ′,从而r t ′=41cm/s. 8.C 由导数的几何意义可知，曲线在P 点处切线斜率k =y ′, ∴20=y ′|2=x =n ·(2)1-n ①然后采用试值法，可知当n =5时满足方程①.9.D 设光源S 运动路程为l ,则SB ＝l =5t ,此时影子Q 运动路 程为x =AQ ,又由于△APQ ∽△BPS (如图).从而,51102===PA PB AQ SB .∴515=x t ,∴x =25t ,从而影子Q 运动速率为v =x ′=25.第9题图解10.B 点M 的运动方程为x =r cos t ,那么点M 的运动速率v =x ′=-r sin t . 二、填空题11.22716 分析 从y ′=1入手，写出两切线的方程.解 y =-x 3+x 2+2x ,∴y ′=-3x 2+2x +2.所求直线与直线y=x 平行.∴k =1. 命y ′=1,即3x 2-2x -1=0,(3x +1)(x -1)=0,x =-31或1,x =-31时, y =-(-271)+91-32=-2714,x =1时,y =-1+1+2×1=2.故切点为A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2714,31,B (1,2)切线方程为:l 1:y +2714=x +31,即x-y -275=0,l 2:y -1=x -2, 即x-y +1=0,两切线间的距离为:d =22751⎪⎭⎫⎝⎛--=22716.12.S t ′=-2e t 2-sin(ωt +φ)+ωe t 2-cos(ωt +φ).S t ′=(e t 2-)′sin(ωt +φ)+e t 2-(sin(ωt +φ))′=-2e t 2-sin(ωt +φ)+e t 2-ωcos(ωt +φ). 13.21 由y ′=x21得P (x 1,y 1)的切线斜率k 1=121x , P 点的法线斜率k 2=-1121x k -=, ∴法线方程为y -y 1=-21x (x -x 1),令y =0得x =112x y ,即Q 的横坐标为,|RQ |=|x -x 1|=112x y =112x x =21. 点评 有关曲线切线的问题，一般都可用导数的几何意义完成，曲线在某一定点处的切线是惟一的，因此斜率也是惟一的（若存在的话），采用斜率相等这一重要关系，往往都可解决这类问题.14.(0,-a 2),23∵y ′=2x ,y ′|a x ==2a , ∴l :y -a 2=2a (x -a ),令x =0得y =-a 2,∴Q (0,-a 2),由k =2a =tan(90°-30°)=3,∴a =23.三、解答题15.分析 根据题目条件可列出多个不等式，但要用它们解出全部4个未知系数是困难的，问题在于，要回答本题的两个问题，是否必须求出所有的未知系数，想到这里，便会豁然开朗.解 f ′(x )=3x 2-2ax ,f ′(1)=3-2a∵切线斜率为1,∴3-2a =1,a =1 3x 2-2ax =3x 2-2x 令3x 2-2x =1,x =1或-31 故已知曲线斜率为1的切线有两条. 因为A 在曲线上，∴c =1-1+b =b ,过点A 的切线为y-c =x -1,即y =x +c -1,∴d=c -1. 当x =-31时，y =(-31)3-(-31)2+c , 故相应切点为(-31,c -274).切线方程为y -(c -274)=x +31,即y =x +c +275. 两直线间距离为227162)1()275(=--+c c . 16.解 (1)函数y =x 2+2x 的导数y ′=2x +2,曲线C 1在点P (x 1,x 21+2x 1)处的切线方程是 y -(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x -x 1)即y =(2x 1+2)x -x 21 ①函数y =-x 2+a 的导数y ′=-2x .曲线C 2在点Q (x 2,-x 22+a )处的切线方程是y -(-x 22+a )=-2x 2(x -x 2)即y =-2x 2x +x 22+a ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，所以：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2，得2x 21+2x 1+1+a =0若Δ=4-8(1+a )=0,即a =-21，得x 1=-21，x 2=-21, ∴P (-21,-43)、Q (-21,-43)，P 与Q 重合，所以：当a =-21时，C 1与C 2只有一条公切线， 公切线方程是：y =x -41. (2)由(1)知：当 Δ=4-8(1+a )>0即a <-21时，P 与Q 不重合，此时C 1与C 2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P (x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，其中P ∈C 1，Q ∈C 2，则x 1+x 2=-1y 1+y 2=(x 21+2x 1)+(-x 22+a )=x 21+2x 1-(x 1+1)2+a =a -1线段PQ 的中点E ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21,21a .同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是⎪⎭⎫⎝⎛+--21,21a .∴当C 1与C 2有两条公切线时，相应的两公切线段相互平分.点评 本题把导数与二次曲线位置关系融为一体，重在考查用导数的几何意义分析问题解决问题的能力.17.解 (1)函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f ′(x )=11+x -1=-1+x x.由f ′(x )<0及x >-1得x >0.∴当x ∈(0,+∞)时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为(0,+∞).(2)由(1)知，当x ∈(-1,0)时，f ′(x )>0;当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<0. 因此，当x >-1时，f (x )≤f (0)，即ln(x +1)-x ≤0. ∴ln(x +1)≤x .令g (x )=ln(x +1)+11+x -1, 则g ′(x )=11+x -22)1()1(1+=+x xx . 当x ∈(-1,0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0,+∞)时，g ′(x )>0. ∴当x >-1时，g (x )≥g (0),即ln(x +1)+11+x -1≥0, ∴ln(x +1)≥1-11+x . 综上可知，当x >-1时，有1-11+x ≤ln(x +1)≤x . 18.解 (1)由图可知s=OC+CB .由三角函数定义可知：OC =r cos ωt ,CA =r sin ωt , 所以，CB =t r l CA l ω-=-22222sin ,从而， s =r cos ωt +t r l ω-222sin ,此为滑块运动方程. (2)s 关于时间t 的导数s ′就是滑块运动速率v 即 v =st ′=(r cos ωt +t r l ω-222sin )′=-r ωsin ωt +tr l t r l ω-'ω-222222sin 2)sin (,v =-r ωsin ωt -tr l t r ω-ωω2222sin 22sin19.解 （1）s 1′=v ,s 2′=at+vs 1为匀速直线运动，速度为v ;s 2为匀加速直线运动，加速度为a .（2）s ′=2πcos2πt .令s ′=0, 即cos2πt =0,得2πt =k π+2 ,t =2k +41.。
高一数学导数的实际应用试题
高一数学导数的实际应用试题1.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2），求的最大值；【答案】（1）；（2）若：，若：，若：则.【解析】（1）由题意可知，而的解集为，从而可以得到方程的两根为，由韦达定理可将，用含的代数式表示出来：，再结合在处取得极小值，即可得，从而得到；（2）由（1）可知，二次函数对称轴为，结合二次函数的图像与性质，需对的取值分以下三种情况分类讨论：若：，若：，若：则.试题解析：（1）∵，∴，∵的解集为，∴方程的两根为，且，∴，又∵在处取得极小值，即在处，取得极小值，∴，∴；（2）由（1）可知，，其对称轴为，∴若：，若：，若：则.【考点】1.导数的运用；2.二次函数的值域.2.下列函数中，满足“对任意x，x，当x<x时，都有f（x）>f（x）”的是A．f（x）＝（x－1）B．f（x）＝C．f（x）＝e D．f（x）＝ln x【答案】B【解析】依题意可得，在区间内单调递减当时单调递增，当时单调递减，不符合；当时单调递减，当时单调递减，符合；在定义域R上单调递增，不符合；在定义域内单调递增，不符合。
故选B3.（本题满分12分）函数，其中为常数．（1）证明：对任意，的图象恒过定点；（2）当时，判断函数是否存在极值？若存在,求出极值；若不存在,说明理由；（3）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．【答案】解：（1）令，得，且，所以的图象过定点；（2）当时，，令，经观察得有根，下证明无其它根．，当时，，即在上是单调递增函数．所以有唯一根；且当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；所以是的唯一极小值点．极小值是．（3），令由题设，对任意，有，，又当时，，是减函数；当时，，是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，又由得，得，即的最大值为．【解析】略4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为．【答案】 cm．【解析】设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．解析：设圆锥的高为h cm，∴V=π（400﹣h2）×h，圆锥∴V′（h）=π（400﹣3h2）．令V′（h）=0，得h2=，∴h=（cm）当0＜h＜时，V′＞0；当＜h＜20时，V′＜0，∴当h=时，V取最大值．故答案为： cm．点评：本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题．5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为．【答案】【解析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=，最后利用导函数即得底面边长．解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h==，则表面积为=，则，令可得，即a=．故答案为．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．6.若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）= ．【答案】﹣2【解析】求导可得f′（x）=4ax3+2bx，易得函数f′（x）为奇函数，由奇函数的性质可得．解：∵f（x）=ax4+bx2+c，∴f′（x）=4ax3+2bx，令函数g（x）=f′（x）=4ax3+2bx，可得g（﹣x）=﹣4ax3﹣2bx=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，∴f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣2，故答案为：﹣2点评：本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．7.（本小题满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0．02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）【答案】（1）；（2）5850元．【解析】（1）依题意当时，单价P=60，当100＜x≤500时，多订的件数为，故单价就降低，∴单价；（2）依题意，每件的纯利润为，故定量为时，利润，因此，代入，得．试题解析：解：（1）当0＜x≤100时，P="60"当100＜x≤500时，P=60-0．02（x-100）=62-当订购量为件时,单价为（2）设订购量为件时,服装厂获得的利润为,则有因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元【考点】函数的实际应用问题8.（14分）已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）函数的对称轴为，研究函数的值域可分三种情况讨论对称轴的位置：对称轴在的左侧，内部，右侧；（2）将在恒成立，转化为恒成立，即在上的最大值恒成立，由恒成立知，化简得,令，则原题可转化为：存在，使得。
(完整版)导数应用题
(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念，它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。
下面是几个关于导数应用的题目。
题目一：速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为：s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。
求：
1. 物体在 t=2 时的速度；
2. 物体在 t=2 时的加速度。
题目二：边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定，其中 x 表示销售量（单位：千件）。
产
品的销售价格为 500 元/件。
求：
1. 销售量为 10 千件时的总成本；
2. 销售量为 10 千件时的边际利润（边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润）。
题目三：物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。
子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示，
其中h(t) 表示子弹的高度（单位：米），t 表示时间（单位：秒）。
求：
1. 子弹飞行的最高点的高度；
2. 子弹从发射到达最高点的时间。
题目四：排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布，平均等候时间为 10 分钟。
一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开，请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么？
以上是关于导数应用的几个题目，希望能帮助到你。
如果有任何疑问，请随时提问。
高一数学导数的综合运用试题答案及解析
高一数学导数的综合运用试题答案及解析1.已知函数，恒过定点．（1）求实数；（2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，直接写出的解析式；（3）对于定义在上的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】(1)由,可求出实数的值；(2)根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得表达式，从而可得的解析式；(3)令，不等式恒成立可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值.试题解析：（1）由已知．（2）（3）在恒成立设且即：，在时恒成立.解得：或解得：综上：实数的取值范围是【考点】函数恒成立问题；函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法；反函数.2.若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.已知是上的正函数，求的等域区间；试探求是否存在，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因为是上的正函数，根据正函数的定义建立方程组，解之可求出的等域区间；（2）根据函数函数是上的正函数建立方程组，消去，求出的取值范围，转化成关于的方程在上有实数解进行求解．试题解析：(1)(2)假设存在，使得函数是上的正函数，且此时函数在上单调递减存在使得：（*）两式相减得，代入上式：即关于的方程在上有解方法①参变分离：即令，所以实数的取值范围为方法②实根分布：令，即函数的图像在内与轴有交点，，解得方法③：（*）式等价于方程在上有两个不相等的实根【考点】函数的值域3.已知函数（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明；（Ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（Ⅰ）函数在上的单调递增（Ⅱ）实数的取值范围【解析】（Ⅰ）利用函数的单调性的定义判断：先由，然后利用判断出单调性，本题的关键在于：先把转化成因式乘积的形式，继而判断每一个因式的符号，最后得到，即(Ⅱ）先由,得到，然后利用在上的单调递增，得到，只需，利用子集的性质得到的取值范围试题解析：（Ⅰ）函数在上的单调递增 1分证明如下：设，则2分，，，即， 2分函数在上的单调递增 1分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，， 1分，在上的单调递增，时， 1分依题意，只需 2分，解得，即实数的取值范围 2分【考点】1、函数的单调性的定义；2、一次函数求值域；3、利用子集的性质4.设函数（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围【答案】（Ⅰ）在区间内存在唯一的零点（Ⅱ）的取值范围为【解析】（Ⅰ）函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点；方法：先利用零点的判定方法判断存在性，再利用区间内函数是单调的说明唯一性（Ⅱ）先对任意，都有，说明最大值与最小值之差，然后在进行分类讨论试题解析：（Ⅰ）设，当时, 1分，在区间内存在零点 2分又设，，即在区间内单调递增 2分在区间内存在唯一的零点 1分（Ⅱ）当时， 1分对任意，都有等价于在上的最大值与最小值之差,1分据此分类讨论如下：（1）、当，即时，，与题设矛盾； 1分（2）、当，即时，恒成立； 1分（3）当，即时，恒成立 1分综上可得，，的取值范围为 1分【考点】1、零点的判定方法;2、分类讨论的思想方法5.函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)【答案】B【解析】从函数解析式可得，，所以不考虑A选项；由B选项f(1)=ln2-2<0,f(2)= >0,所以f(1)f(2)<0,由函数零点定理得零点在（1,2）之间.选项C中f(2)>0,f(e)>0;D选项中f(3)>0,f(4)>0都不符合零点定理，所以排除C,D选项.故选B.【考点】函数的零点问题，首先考虑定义域，另外关键是找出两个临界值的积小于0.6.已知函数，且.（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数，有成立，求的最小值.【答案】（1）是奇函数；（2）在区间上单调递增；（3）.【解析】（1）由条件可求得函数解析式中的值，从而求出函数的解析式，求出函数的定义域并判断其是否关于原点对称（这一步很容易被忽略），再通过计算，与进行比较解析式之间的正负，从而判断的奇偶性；（2）由（1）可知函数的解析式，根据函数单调性的定义法进行判断求解，（常用的定义法步骤：取值；作差；整理；判断；结论）；（3）综合（1）（2），根据函数的奇偶性、单调性，以及自变量的范围，分别求出函数在最大、最小值，从而得出式子最大值，求出实数的最小值.试题解析：（1）即函数定义域为关于原点对称是奇函数 4分（2）任取则在区间上单调递增 8分（3）依题意只需又12分【考点】1.函数的概念、奇偶性、单调性、最值；2.不等式.7.已知函数（1）若1是函数的一个零点，求函数的解析表达式；（2）试讨论函数的零点的个数.【答案】（1）；（2）当时，原函数有1个零点；当或，时，原函数有2个零点时，当且，时，原函数有3个零点时．【解析】（1）因为1是函数的零点，即是方程的解，所以将代入方程，即可求得的值，从而求出函数的解析式；（2）若求函数的零点个数，即求方程解的个数，经因式分解可转化为方程与二次方程解的个数，又由二次方程的判别式与解的关系，即可求出的取值范围与二次方程解的个数关系，从而得解．试题解析：（1）∵ 1是函数的一个零点，∴将代入得 2－6+m=0，解得 m=4，∴原函数是. 5分或 7分对于方程有：时，无解 8分时， 9分时， 10分当 11分当 12分综上所述，时，原函数有1个零点；或，时，原函数有2个零点时，且，时，原函数有3个零点时 14分【考点】1．函数的零点及个数；2．函数的解析式；3．高次方程的解．8.函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是(......)A．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增【答案】A 【解析】所以函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是增函数。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
高一数学函数与导数练习题及答案
高一数学函数与导数练习题及答案一、单选题1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 是奇函数B. f(x) 是偶函数C. f(x) 是周期函数D. f(x) 是单调递增函数答案：D2. 已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x) = 3x^2 + 2x - 1，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 的图像在点 (-1, 0) 处有极小值B. f(x) 的图像在点 (1, 0) 处有极大值C. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有拐点D. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有水平切线答案：C二、填空题1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，则 f'(x) = ______。
答案：3x^2 - 4x + 32. 已知函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 - 6x + 12，其中 a 是常数，若 f(x) 在x = 1 处取得极值，则 a 的值为 ______。
答案：-3三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的导函数。
解答：f'(x) = 3x^2 - 32. 求函数 f(x) = (3x - 1) / (2x + 3) 的导函数。
解答：通过分子分母求导法则计算得到 f'(x) = (3(2x + 3) - (3x - 1) * 2) / (2x + 3)^2四、解答题1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求 f(x) 的极大值和极小值点。
解答：首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 和 x = 2。
再求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6，代入 x = 0 和 x = 2，得到 f''(0) = -6 和 f''(2) = 6。
高中数学导数应用练习题及参考答案2023
高中数学导数应用练习题及参考答案2023本文为高中数学导数应用的练习题及参考答案，旨在帮助学生深入理解和掌握导数的应用。
一、函数的单调性1.求以下函数的单调区间：（1）$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$（2）$g(x)=\frac{1}{x-2}+\ln(x-1)$答案：（1）$f'(x)=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1>0$所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。
（2）$g'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-1}=\frac{x-3}{(x-2)^2(x-1)}$当$x<1$或$1<x<2$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增。
当$x>2$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减。
所以$g(x)$的单调区间为$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$。
二、函数的极值2.求以下函数的极值及其所在点：（1）$y=x^3-3x^2-9x+5$（2）$y=2\sin x+\cos 2x$答案：（1）$y'=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$。
又$y''=6x-6$，当$x=-1$时，$y''<0$，$y(x)$取极大值；当$x=3$时，$y''>0$，$y(x)$取极小值。
所以$y(x)$的极大值为$y_{max}=17$，其所在点为$x=-1$；极小值为$y_{min}=-19$，其所在点为$x=3$。
（2）$y'=2\cos x-2\sin 2x$，$y''=-2\sin x-4\cos 2x$令$y'=0$，解得$x=\frac{1}{4}\arctan\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{3}}+k\pi$，$k\in Z$。
高中数学必修一导数经典习题
高中数学必修一导数经典习题
在高中数学必修一的研究过程中，导数是一个重要的概念。
通过研究导数，我们可以求出函数的变化率和极限值，从而更好地理解函数的性质。
以下是一些导数的经典题，帮助学生巩固对导数的理解和应用。
1. 求函数的导数
1. 试求函数 $f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$ 的导数。
2. 求函数 $g(x)=\sin(x)+\cos(x)$ 的导数。
3. 计算函数 $h(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=2$ 处的导数。
2. 导数的应用
1. 已知一辆汽车的速度函数为 $v(t)=3t^2-2t+5$，求该车在
$t=2$ 时的速度。
2. 一物体的位移函数为 $s(t)=t^3-4t^2+5t-2$，求该物体的速度和加速度函数。
3. 设一边长为 $x$ 的正方形的面积为 $A(x)=x^2$，求当边长增加 0.01 时，面积的变化率。
3. 高阶导数
1. 求函数 $f(x)=\sin(x)$ 的二阶导数。
2. 求函数 $g(x)=3x^4-4x^3+2x^2-1$ 的三阶导数。
3. 已知函数 $h(x)=e^x$ 的导数为 $h'(x)=e^x$，求 $h''(x)$。
以上是一些高中数学必修一中关于导数的经典习题，它们可以帮助学生更好地掌握导数的概念和应用。
希望这些习题对你的学习有所帮助！。
导数及其应用练习题
导数及其应用练习题一、选择题1．若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则xy∆∆=（ ） A 4 B 4Δx C 4+2Δx D 2Δx 2.若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为（ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 13. 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A193B103C163D1334. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-5.下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-6.设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+ ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--7. 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 （ ） A 6π B 34π C 4π D 3π8.1y x =-在（12，-2）处的切线方程是（ ）A 、y=4xB 、y=4x-4C 、 y=4x+4D 、y=2x-49.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ）A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)10. 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 2311. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππD 3(,]24ππ12设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图 所示。
高一数学导数及其运用练习题
导数的概念及其应用一一考纲要求导数的概念及其运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值。
思路点拨1 求函数()f x 极值的步骤：一1一求导数()'f x ；（2）求方程()'f x =0的根；（3）检查()'f x =0的根的左右区间对应的()'f x 的符号：若左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；若左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值。
（注：实质为‘解方程’，解关于x 的方程()'f x =0）2 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最值的步骤： 1 求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将()f x 各极值与()f a ，()f b 比较，确定()f x 的最大和最小值。
3．求函数()f x 的单调区间：不等式()'0f x >的解集为()y f x =的增区间；不等式()'0f x <的解集为()y f x =的减区间。
（注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’）三．命题方向以我们所学习的初等函数为背景，考察复合函数以及超越函数的最值问题，同时也考察对于参数的分类讨论，方向明确。
估计09年的导数试题方向不变，但是在函数解析式方面要加以突破了，比如可能要考察与三角函数有关的函数的最值问题。
典型例题例一（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =-(2) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21 D ．1答案为:BB运用导数几何意义进行分析求解。
例二．（1）．若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m的取值范围是（2）．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。
高一导数练习题大全
高一导数练习题大全
1. 基础导数计算
1. 计算函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的导数。
2. 计算函数 g(x) = 5x^3 - 4x^2 + 2x + 1 的导数。
3. 计算函数h(x) = √(x^2 + 4) 的导数。
4. 计算函数 k(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。
2. 导数求极值
1. 对函数 y = 4x^3 - 6x^2 + 2x + 5 求导，并求出其在 x = 2 处的极值。
2. 对函数 y = x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 2x + 1 求导，并找出其所有的极值点。
3. 对函数 y = e^x + x^3 求导，并分析其极值性。
3. 二阶导数
1. 计算函数 f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 1 的一阶和二阶导数。
2. 计算函数 g(x) = 2e^x + 3sin(x) 的一阶和二阶导数。
3. 计算函数 h(x) = x^3cos(x) 的一阶和二阶导数。
4. 应用题
1. 某物体在 t 秒内的位移函数为 s(t) = 3t^2 - 2t + 1，求物体在 t = 2 秒时的速度和加速度。
2. 某化合物的浓度 C(t) = 2e^(-0.1t) 表示该化合物的衰减情况，求在 t = 5 时的衰减率。
3. 某卫星的高度 h(t) = 5000 - 200t + 5t^2 表示卫星相对地面的高度，求卫星的最大高度及最大高度时对应的时间。
以上是高一导数的练题，希望能帮助您巩固知识和提高解题能力。
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导数解答题练习11．已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．12．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
13．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．14．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．15．设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.16．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围. 17. 已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围． 18.已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．19．设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。
考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
答案解析11. 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．12. 解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．所以12()()()f x a x x x x '=--当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即202204420b a b b a b b ->⎧⎪-+-<⎨⎪-+->⎩．化简得203204520b a b a b ->⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩．此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2032045b a b a b -=-+=-+=，，． 所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，．z在这三点的值依次为16687，，． 所以z 的取值范围为1687⎛⎫⎪⎝⎭，．13. 解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立， ∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增．ba 2 12 4O 4677A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(42)C ，(22)B ，（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点． ②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，1x =，2x =， 0b <时，11x =<-，20x =>， 即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点112x -=， 当102b <<时，11x =>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点2x =综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点x =；102b <<时，()f x 有一个极大值点x =和一个极小值点1x x-=； 12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增， 又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立． 故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．14. 证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．()f x '222b ax bax x x+=+=． 当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增； 如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减． 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭'= 令()0f x '=，将1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：⎫⎪⎪⎭从上表可看出， 函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：⎫⎪⎪⎭从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 15. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，240a a ∴∆=-<，04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．（Ⅱ）22(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤． 由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a << ，02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<，即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 16. 解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．2()33f x ax ax '∴=-，13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，(21)(1)0x x x ∴--≥，102x ∴≤≤或1x ≥． 又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102m ∴<≤．17. 解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立． 又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ．a ∴的取值范围是(16]-∞，． 解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数． 当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一． 18．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ， 0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． 19. （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是335631201C n n⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）证法一：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121nn ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭1121ln 12nn ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12nf x n n ⎛⎫⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 证法二：因()()22112211nf x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而()'11221ln 1nf x n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较。