2019届浙江省高三新高考优化提升卷(一)数学试题解析
浙江省名校新高考研究联盟2019届高三第一次联考数学(理)试题
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考数学（理科）试题卷命 题：慈溪中学 施炎平 胡 平审 题：元济高级中学 甘建飞 德清县高级中学 江战明 永嘉中学 汪志强 校 稿：金勤宏本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。
） 1．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 （ ） A ．6B ．6-C ．0D ．61 2．已知集合}0,2|{},2|{2>==--==x y y B x x y x A x ，R 是实数集，则（B C R ）∩A = A ．RB ．(]2,1C ．[]1,0D ．φ （ ）3．一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 （ ） A ．1,1m n ><且 B ．0mn < C ．0,0m n ><且 D ．0,0m n <<且4．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=-是 （ ） A ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称5．已知每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =且前n 项的和n S 满足n S S -=*(,n N ∈且2)n ≥，则81a = （ ）A ．638B ．639C ．640D ．6416．已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M 满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A ．95 B ．125C ．4D ．5 7．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ，点P 的斜坐标定义为：“若2010e y e x +=（其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x ”．若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足12MF MF =，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A ．0x =B ．0x =C 0y -=D 0y +=8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值构成的集合是 （ ）A．t ⎧⎪≤≤⎨⎪⎩ B．2t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．{2t t ≤≤D ．{2t t ≤≤ (第8题图)9．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为 “好数”（如：6，24，2019等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列123,,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 若2013n a =，则=n （ ） A ．50B ．51C ．52D ．5310．设函数32()32t h x tx t =-，若有且仅有一个正实数0x ，使得700()()t h x h x ≥对任意的正数t 都成立，则0x = （ ） A ．5B C ．3 D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考数学试题卷 精品解析(20180822)
浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考数学试题卷命题：德清高级中学 江战明、施利强审题：瑞安中学 张瑞 元济高级中学 檀杰 校对：王峥考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.4．考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：如果事件,A B 互斥, 那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件,A B 相互独立, 那么其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高()()1 0,1,)2,(,kn k n k n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式台体的体积公式2 4S R =π12()13V h S S =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,343V R =πh 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|1}, {|320}A x x B x x x =<=++≤，则AB =A ．∅B ．{|1}x x <C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|211}x x x <--<<或 答案C【解析】{}=21B x x -≤≤-，根据交集的定义 {|21}AB x x =-≤≤-．2. 设复数z 满足(2)12z i i ⋅+=-+（i 为虚数单位），则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 答案B【解析】方法1 待定系数 z a bi =+ ，即()(2)12a bi i i +⋅+=-+ ，2122a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解之得 01a b =⎧⎨=⎩，所以 z i =. 方法2 基本方法122i z i -+=+ ，12(12)(2)25i i i z i i -+-+-===+ . 方法3 巧算 12(12)(12)2(2)12i i i i i z i i i i i-+-+-+====++-+ . 方法4 代入检验，直接排除C ，D .3. 设函数ln ||,1(), 1xx x f x e x -≤-⎧=⎨>-⎩，则((2))f f -的值为A ．1e B ．2e C ．12D ．2 答案C【解析】考点：函数定位求值. 要点分析：1 分段函数其他表示形式，绝对值和函数奇偶性. 2.ln 2 如何定位，方法：（1） 图像法；（2） 比较法：作差与0比，作商与1比，单调比较法；（3）放缩法，如何缩放？ （4）规律判断.3.特殊公式log 1a a =， log Na aN =, log log nm b b a a nm=.4. 已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ B ．若,//n αβα⊥，则n β⊥ C ．若//,//m αβα，则//m β D ．若,,//m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥ 答案D【解析】方法1 直接判定；方法2 放到正方体中判定.5. 已知实数,x y 满足约束条件2220220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为A ．1B ．4C ．2D ．32答案B【解析】方法1 直接画图；方法2 代三个点.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则“a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案A【解析】区分充分必要条件的判定，同时要注意区分椭圆和双曲线焦点在哪个轴上的策略. 7. 函数2sin ()()1xf x x x ππ=-≤≤+的图像可能是A ．C ．D ．答案A【解析】破解此类问题的通用解法1.定义域；2. 奇偶性；3. 对称性；4.单调性；5.最值；6. 零点；7. 定点；8. 赋值；9.极限.8. 已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B两点，且满足112||2||, ||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是A ．12 BCD答案D【解析】方法1： 焦点三角形设1BF x =，则 12AFx =， 23AB BF x == 根据第一定义1242BF BF x a +==，122AF AF a +=即 2a x = ，22AF x =根据余弦定理构造有关c 的等量关系222222(2)(2)(2)(3)(2)(3)222223x x c x x x x x x x +-+-=⋅⋅⋅⋅ ，解之得3c x =，即32xc e a x ===. 方法2 ：看比例关系想特殊公式.当点F 为AB 内分点时，,(1)AF BF λλ=>1co s 1e λθλ-=+ , 当点F 为AB 外分点时，,(1)AF BF λλ=>，1cos 1e λθλ+=- 接下来要不就求出 cos θ的值后者直接构建c o s θ与 e 的等量关系22cos 2,2,cos c x a x e θθ=⋅=∴=，解之得e =. 方法3：利用第二定义。
第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)
3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
(新高考Ⅰ卷)高考数学一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化(含解析)
2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助．【2022新高考1卷21题】已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【答案】（1）1-（2）9方法一：直线双参+韦达法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m -+++=2121222422,2121km m x x x x k k +∴+=-=--， 由121211022AP BP y y k k x x --+=+=--可得1221(1)(2)(1)(2)0y x y x --+--= 即1221(1)(2)(1)(2)0kx m x kx m x +--++--=展开整理得12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--= 即2222242(12)()4(1)02121m km k m k m k k +⋅+--⋅---=-- 即2(1)210m k k k +++-=，(1)(21)0k m k ++-=故1k =-或12m k =-当12m k =-时的方程为12y kx k =+-，其恒过定点(2,1)A ，与题意不符故直线PQ 的斜率1k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ= 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP的方程为12)y x -=-，直线AP的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以2Q x +=，Q x =于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=.【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线PQ 的双参方程y kx m =+，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到(1)(21)0k m k ++-=这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．方法二：直线单参+设点求点【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的倾斜角为θ，不妨设其斜率0k >，则直线AQ 的斜率为k -直线AP 的方程为1(2)y k x -=-，代入2212x y -=整理得点,A P 的横坐标为方程的两根，故2122(21)2221k x k -+=-，22122(21)14422121k k k x k k -+-+∴==--，2112241(2)121k k y k x k -+-=-+=-于是点P 坐标为2222442241(,)2121k k k kP k k -+-+---，用k -代换k 可得2222442241(,)2121k k k kQ k k ++----- 故22222222241241212114424422121PQ k k k k k k k k k k k k k ----+----==-++-+---(2)由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ= 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在,P Q的坐标中令k =P Q x x ==于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线AP 的单参方程1(2)y k x -=-，可直接求出点P 的坐标，用k -代换k 立即可得点Q 的坐标，从而顺利求得PQ 的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊方法技巧．方法三：点差法+整体代换【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--， 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y +----+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=-+即12122()PQ x x k y y +=+ 同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++ 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y ++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑤①-⑤得12122()4()0x x y y +++=，所以12122()x x y y +=-+所以1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式进行整体变形，轻松求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．方法四：齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 双曲线可化为22[(2)2][(1)1]12x y -+--+=即22(2)2(1)4[(2)(1)]0x y x y ---+---=设直线PQ 的方程为(2)(1)1a x b y -+-=联立22(2)2(1)4[(2)(1)]0(2)(1)1x y x y a x b y ⎧---+---=⎨-+-=⎩可得22(2)24[(2)(1)][(2)(1)]0x y x y a x b y --+----+-=即22(41)(2)4()(2)(1)(42)(1)0a x b a x y b y +-+----+-=两边同除2(2)x -整理得211(42)()4()(41)022y y b a b a x x --++--+=-- 其中12y x --表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于4()024AP AQ a b k k b-+=-=+ 所以a b =，直线PQ 的斜率为1a k b =-=-. (2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=±因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ=因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP 的方程为12)y x -=-，直线AP 的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以1623Q x ++=，103Q x +=于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．本题直线,AP AQ 的斜率具有相同的结构，即12y x --的形式，于是可考虑构造关于1y -与2x -的二次齐次方程．直接将直线PQ 的方程设为(2)(1)1a x b y -+-=，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！ 方法五：坐标平移+齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 对坐标系进行平移，使坐标原点与点A 重合，在新坐标系下： 双曲线方程为22(2)(1)12x y ---=即2224()0x y x y -+-= 设直线PQ 的方程为1ax by +=联立2224()01x y x y ax by ⎧-+-=⎨+=⎩可得2224()()0x y x y ax by -+-+=即22(41)4()(42)0a x b a xy b y ++--+=两边同除2x 得2(42)()4()(41)0yy b a b a x x++--+= 其中y x表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于平移不改变直线的斜率，故4()024AP AQ a b k k b -+=-=+ 所以a b =，直线PQ 的斜率为1-.(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ= 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在新坐标系下，直线,AP BP的方程分别为,y y ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13P x =，于是|||1)P AP x ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13Q x =-，于是|||1)Q AQ x ==而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】坐标平移后，在新坐标系下的齐次化过程更加直观自然．运算也变得简单明了了．方法六：参数方程法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线AP ：112cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为AP 的倾斜角 则直线AQ ：222cos()1sin()x t y t πθπθ=+-⎧⎨=+-⎩，即222cos 1sin x t y t θθ=-⎧⎨=+⎩代入双曲线方程得 解得1222224cos 4sin 4cos 4sin ,cos 2sin cos 2sin t t θθθθθθθθ-++==-- 直线PQ 的斜率12121212sin 1cos y y t t k x x t t θθ--==⋅=--+ (2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=可得sin θθ==于是12t t ==而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以121||||sin 29PAQ S t t PAQ ∆=∠=. 【点评】直线参数方程的介入，使问题转化为对两参数12,t t 的讨论，思路自然，运算量适中．新教材《选择性必修第一册》68P 探究与发现栏目，对直线的参数方程进行了简单的介绍．所以新高考使用直线参数方程解题是被允许的．此方法同样需要考生付出大量训练才能掌握精髓和技巧！方法七：点差法+分式合分比定理【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--， 点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+⑤ 同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++ 由0AP BP k k +=可得121212*********(1)2(1)AP y y x x k x x y y --++==-==---++ 由分式合分比定理可得12121212121212121442(2)2()AP y y y y x x x x k x x x x y y y y -+--++====+--++- 变形得1212121242(2)y y x x x x y y -+-=-++ 结合⑤得121212121212121212124(4)()12(2)2()2(2)2()y y x x x x x x x x x x y y y y y y y y -+-++--+====--+++++-+ 即1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ=因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式，结合分式合分比定理进行整体变形，求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．但要求考生对分式合分比定理有较深刻的认识并能较熟练的应用．【总结】解决解析几何压轴题的方法策略主要有三种：1、根与系数的关系法（主流方法）．设出动直线的方程：①y kx m =+，②x my n =+，③00()y y k x x -=-， ④{00cos sin x x t y y t αα=+=+（t 为参数），与圆锥曲线方程联立消元得到关于(x y t ）或参数的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾0,0∆>∆=或的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．2、多变量多参数联动变换法．此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．同构问题齐次化处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．3、设点求点法．方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线y kx =与椭圆22221x y a b+=的交点易求出． 以上七种解决方案中，本人最青睐的是方法三点差整体变形法，轻巧灵动四两拔千斤！其次是方法二设点求点法，思路清晰自然运算简单明了！。
2019年高考数学(浙江专版)精选模拟卷4含答案(详细解析版)
押题卷 4
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．【2019 年 1 月浙江省普通高中学业水平仿真】全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 A={1，2，5}，集合 B={3，
【答案】C
【解析】
由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，
满足 X～B（10，p），
=6,
则 p=0.6
故选：C
8．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019 届高三第一次联考】已知三棱锥
的所有棱长为 是底
面
内部一个动点 包括边界 ，且 到三个侧面 ， ， 的距离 ， ， 成单调递增的等差数
4，5}，则（∁UA）∩B 等于 A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4}
D．{3}
【答案】B
2．【浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考】双曲线
A．
B．
【答案】C
【解析】
C．
D．
，则双曲线 的焦点坐标为（ ）
由方程 则 c2=a2+b2=25，即
表示双曲线，焦点坐标在 y 轴上，可知， ，
故双曲线的焦点坐标为：
，
故选：C．
3．【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】i 是虚数单位，复数 满足 （）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则 为
，则 故选 4．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三上期末】“斗拱”是 中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和 檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫 的方形木块叫斗.如图所示， 是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）
2019届高考理科数学一轮复习专题演练：专题2.3基本初等函数(含解析)
专题2.3基本初等函数【三年咼考】4 2 11. 【2019高考新课标3理数】已知a =2空,b=45, c=25'，则( )(A) b ::: a ：：：c ( B) a ::: b ::: c (C) b ：：：c ... a(D) c ... a::: b【答案】A4 2 2 1 2 2【解析】因为a= 23=4345= b，c = 253= 53• 43= a，所以b ：.a ::: c，故选A.5 b a2. 【2019 高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=—, a =b ,贝U a= , b=.2 --- ----------【答案】4 2【强忻】设log/三匕则r Al,因为F —==斗n r = 2 n 口■扩，因此扌三扩=> 卩=户=>2&=罗nb三2卫=4.3. [2019高考上海理数】已知点(3,9)在函数f(x)=1，a x的图像上，贝Uf (x)的反函数f」(x) = _________ .【答案】log2(x -1)【解析】将点(3,9)带入函数f x = 1 • a x的解析式得a = 2，所以f x =1 2x，用y表示x 得x = log2(y -1)，所以f x = log2(x -1).4. [2019高考天津理数】已知函数f (x) = x (4^3)x 3a,^ 0,( a>0,且a z 1)在R[log a(x+1) + 1,x^0上单调递减，且关于x的方程I f(x)戶2 -x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )2 23 1 2 3 1 2 3(A) (0, ] (B) [―,—] ( C) [―,]_{ —} (D)[―,)【」{—}3 34 3 3 4 3 3 4【答案】C的实数解，可皿闰-S 扫弓又a = -B 寸』抛物线p = F+(4o —3找+%与直线 41 j 3=2-工相切，也符合题童…I 实数立的去范围是［-f -］U{-},故选C3 3 45.【2019高考上海理数】已知 a ・R ，函数f(x) =log 2(〕 a).x(1)当a = 5时，解不等式f (x) • 0 ；(2)若关于x 的方程f (x) - log?" -4)x • 2a - 5］ =0的解集中恰好有一个元素，求a 的取 值范围;1(3)设a ■ 0，若对任意t ［^,1］，函数f (x)在区间［t,t 1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【解析】(1)由log 2 1 50，得1 5 1，解得x l x丿 x\(2) 1 a 二 a -4 x 2a -5， a —4 x 2a — 5 x -1 =0，当 a = 4 时，x = -1，经检x1验，满足题意.当a = 3时，x^ x 2 - -1,经检验，满足题意.当a = 3且a = 4时，x^a — 4x^ -1，x 广x 2. x 1是原方程的解当且仅当丄• a • 0 ,即a 2 ； x 2是原方程的解当且仅1当一，a ・0，即a 1 •于是满足题意的a ・1,2 1.综上，a 的取值范围为1,2 1U ：3,4?.x2【解析】宙/■&)在丘上递减可知由方程|/(x)|=2 3 4-工恰好有两个不相等，所以f x 在0, •：：上单调递减•函数 f x 在区间lt,t 1 1上的最大值与最小值分别为 f t ，f t -f t 1 二呃 J a-log2 丄a <1 即at2 a 1 t-1-0, It +1 丿对任意-1,1 成立.因为a 0，所以函数y=a「am在区间1,1上单调递增,1 3 1 3 12 2t 时，y有最小值—a ，由一a 0，得a .故a的取值范围为，■::.2 4 2 4 23 IL36. 【2019高考四川，理8】设a,b都是不等于1的正数，则“ 3a. 3b. 3 ”是“log a 3 ：：：log b 3 ”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若3">3*>3,则Q—从而有1昭/<嗨异,故为充耸条件一若106,3<lo gi3不一定有比如4 =丄上二务从而3J>3*>3不成立”故选B37. 【2019高考北京，理7】如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f x > log2 x 1的解集是（）A. 〈x|—1：：：x w 0? B .〈x|—1 w x w 1? C.〈x|—1：：：x < 1 D .〈x | —1 ：：： x < 2【答案】C【解析】如图所示，把函数y二log2x的图象向左平移一个单位得到y二log 2（x 1）的图象x - 1时两图象相交，不等式的解为-1 ：：：x < 1，用集合表示解集选C8. 【2019高考天津，理7】已知定义在R上的函数f x =2x^ -1 （m为实数）为偶函数，记 a = f (log °.53),b = f (log ? 5 ),c = f (2m )，则 a,b,c 的大小关系为()(A ) a ::: b ::: c (B ) a ::: c ::: b (C ) c ：：： a ：：： b (D ) c ：：： b ：：： a 【答案】C【解析】因为函数f x i ；=2x R _1为偶函数，所以m = o ，即f x i ； = 2x -1，所以b = f log ? 5 二 2log 25 一1 = 4,c 二 f 2m 二 f (0) = 2。
浙江省名校新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(暑假返校考)数学试题(解析版)
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{230}A x x xB x x =--≤=-<∣∣，则A B = （）A.[]2,1- B.31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(],1-∞-【答案】B 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}3|12,|2A x x B x x ⎧⎫=-≤≤=<⎨⎬⎩⎭，所以3|12A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B ．2.7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中21x 项的系数是（）A.672B.420- C.84D.560-【答案】D【解析】【分析】根据题意结合二项式定理可得()7731712C rr rr r T x --+=-⋅⋅⋅，令732r -=-运算求解即可.【详解】由题意可知：7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()777317721C 212C ,0,1,,7rrr rr rr r T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令732r -=-，解得3r =，所以21x项的系数是()343712C 560-⋅⋅=-.故选：D ．3.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若751213a a =，则139SS =（）A.913B.1213 C.75D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，由751213a a =，得113137199513()131312429()991332a a S a a a S a +===⨯=+.故选：D4.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则()21E X +=（）X123P13a16A.116B.113C.143D.223【答案】C 【解析】【分析】根据分布列的性质可得12a =，进而可得11()6E X =，再根据期望的性质分析求解.【详解】由分布列可得11136++=a ，解得12a =，则11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=，所以14(21)2()13E X E X +=+=.故选：C ．5.已知函数22)()log ,(f x x ax a =-∈R ，则“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1210a a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤，所以“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B6.函数π()cos(0)6f x x ωω=+>的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（）A.π2π(,]63 B.π4π(,]63C.π4π(,33D.π7π(,]33【答案】C 【解析】【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【详解】由(0,1)x ∈，得πππ666x ωω<+<+，由()f x 的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，得ππ3π262ω<+≤，所以π4π33ω<≤.故选：C7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为（）A.74B.2C.32D.53【答案】A 【解析】【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解.【详解】将圆台母线延长交于点S ，得圆锥1SO ，作圆锥1SO 的轴截面，等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面，截内切球O 得大圆，并且是梯形ABCD 的内切圆，令SA 切圆O 于T，如图，设底面圆直径2AB R =，依题意，11cos 3SAO ∠=，3SA R =，1SO =，设内切球半径为r ，则12OT OO OO r ===，1cos 3SOT ∠=，3SO r =，14SO r ==，于是=R ，且2O 为1SO 的中点，而内切球体积314π3V r =，圆台的体积222321111117π7πππ())43322243V R SO R SO r r =⋅-⋅=⋅=,所以圆台与其内切球的体积比为2174V V =.故选：A8.设函数2π()(1)1,()cos 22xf x a xg x ax =--=-，若函数()()()h x f x g x =-在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是（）A.2a ≤B.112a <≤C.122a <≤ D.12a <≤【答案】C【解析】【分析】利用函数零点的定义，转化为函数2()1F x ax a =+-，π()cos 2xG x =在(1,1)-上的图象有公共点求解.【详解】由()()()0h x f x g x =-=，得2π(1)1cos22xa x ax --=-，依题意，2π1cos2x ax a +-=在(1,1)-上有解，记2()1F x ax a =+-，π()cos 2x G x =，因此函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象有公共点，0()1G x <≤，如图，当0a ≤时，2()11F x ax a =+-≤-，显然函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象无公共点，当0a >时，函数(),()F x G x 图象都关于y 对称，得(0)(0)(1)(1)F G F G ≤⎧⎨>⎩，即11210a a -≤⎧⎨->⎩，解得122a <≤，所以实数a 的取值范围是122a <≤.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数,,a b c 满足2510a b c ==，则（）A.b c a +=B.a b c >>C.111a b c+= D.49a b c+≥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：设25101a b c t ==>=，可得2510log ,log ,log a t b t c t ===，结合对数函数性质分析判断；对于C ：利用换底公式分析判断；对于D ：可得111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A ：若1,2510a b c ===，则25log 10,log 10a b ==，则25log 10log 101a b c =≠+=+，故A 错误；对于选项B ：因为0a b c >,,，设25101a b c t ==>=，则2510ln ln ln log ,log ,log ln 2ln 5ln10t t t a t b t c t ======，又ln 0,0ln 2ln 5ln10t ><<<，可得ln ln ln ln 2ln 5ln10t t t>>，所以a b c >>，故B 正确；对于选项C ：因为111log 2,log 5,log 10t t t a b c===，所以111log 2log 5log 10t t t a b c+=+==，故C 正确；对于选项D ：因为111a b c +=，即111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1144(4)1459b a a b c a b c c c a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b=，即2a b =时，等号成立，所以49a b c +≥，故D 正确．故选：BCD.10.若直线()y kx k =∈R 与圆()()22:111C x y -+-=交于不同的两点,A B O ､为坐标原点，则（）A.当2k =时，AB =B.CA CB ⋅的取值范围为[]1,1-C.1OA OB ⋅=D.线段AB 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：求圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离，结合垂径定理运算求解；对于B ：根据数量积可得cos CA CB ACB ⋅=∠uu r uu r，进而可得结果；对于C ：分析可得221OA OB OC r ⋅=-=，即可得结果；对于D ：分析可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆(除去,E F )，即可得结果.【详解】由题意可知：圆()()22:111C x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径为1r =，且直线()y kx k =∈R 过定点0,0，设线段AB 中点为M ，对于选项A ：当2k =时，则直线为2y x =，即20x y -=，圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离为55d CM ===，所以||2||AB AM ==A 正确；对于选项B ：因为cos cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，因为点,A B 不重合，所以cos 1ACB ∠<，故B 错误；对于选项C ：因为()()·OA OB OM MA OM MA⋅=+-()222222OM MA OC d r d =-=---221OC r =-=，所以1OA OB ⋅=，故C 正确；对于选项D ：因为线段AB 中点M 满足OM CM ⊥，设OC 的中点为N ，圆C 与x 、y 分别切于点E 、F ，可知圆N 过点E 、F ，且90ECF ∠=︒，可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆（除去,E F ），所以轨迹长为1222ππ222⨯⨯=，故D 错误．故选：AC.11.若函数()cos 1cos ,Z f x nx n =-∈，则下列说法正确的是（）A.若2n =，则函数()f x 的最大值为2B.若3n =，则函数()f x 为奇函数C.存在Z n ∈，使得()sin 1sin f x nx =-D.若()()sin cos 2f x f x +=，则42,Z n k k =+∈【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：整理可得[]2()22,1,1f x x x =-∈-，结合二次函数求最值；对于B ：举反例说明即可；对于C ：取1n =，代入检验即可；对于D ：根据题意结合诱导公式可得()πcos cos 2ππ,2n nx nx k k ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭Z ，进而可得π2ππ,2n k k =+∈Z ，运算求解即可.【详解】因为[]cos 1,1x ∈-，可知()f x 的定义域为[]1,1-，对于选项A ：当2n =时，2(cos )1cos 222cos f x x x =-=-，可得[]2()222,1,1f x x x =-≤∈-，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()f x 的最大值为2，故A 正确；对于选项B ：当3n =时，则()cos 1cos3f x x =-，令π2x =，则π3πcos cos022==，可得()010f =≠，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误；对于选项C ：当1n =时，(cos )1cos f x x =-，则[]()1,1,1f x x x =-∈-，且对任意R x ∈，则[]sin 1,1x ∈-，所以(sin )1sin f x x =-，故C 正确．对于选项D ：因为πππ(sin )cos 1cos 1cos 222n f x f x n x nx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若π(sin )(cos )1cos 1cos 22n f x f x nx nx ⎛⎫+=--+-= ⎪⎝⎭，可得()πcos cos cos 2ππ,Z 2n nx nx nx k k ⎛⎫-=-=--∈ ⎪⎝⎭，则π2ππ,Z 2n k k =+∈，解得42,Z n k k =+∈，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于BC ：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知,a b 是两个单位向量，若()3a b b -⊥ ，则向量,a b 夹角的余弦值为______．【答案】13【解析】【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解.【详解】由(3)a b b -⊥ ，得231a b b ⋅== ，则1cos ,3|||a b a b a b ⋅〈〉== ．故答案为：1313.若复数z 满足2,2z z z z +=⋅=，则2z z -=__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出复数z 的代数形式，结合复数相等、共轭复数及模的意义计算得解.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，22z z a +==，解得1a =，由2z z ⋅=，得222a b +=，解得21b =，又23i z z a b -=-+，所以|2|z z -=.14.如图，设双曲线G22−22=1>0,>0的左焦点为F ，过F 作倾斜角为60o 的直线l 与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若4AF FB =，则双曲线C的渐近线方程为__________.【答案】5y x =±【解析】【分析】利用双曲线定义，结合余弦定理求出,a b 的关系即可得解【详解】令双曲线的右焦点为F '，半焦距为c ，设||BF t =，则||4AF t =，由双曲线定义得||2BF t a '=+，||42AF t a '=+，由直线AB 倾斜角为60o ，得60120BFF AFF ⎧∠=⎨∠='⎩' ，由余弦定理得222222|||2|cos 60|||2|cos120BF BF FF BF FF AF AF FF AF FF ⎧=+''''''-⎪⎨=+-⎪⎩，即222222(2)42(42)1648t a t c tc t a t c tc ⎧+=+-⎨+=++⎩，整理得2222(2)22(42)a c t c a a c t c a ⎧+=-⎨-=-⎩，于是65ca =，5b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为5y x =±.故答案为：5y x =±【点睛】关键点点睛：求出双曲线渐近线方程，关键是由给定条件，结合余弦定理求出b a值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥,A BCD AD -⊥底面,,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.（1）若PM ∥平面ABC ，求证：M 为DQ 的中点；（2）若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得//PM AQ ，即可得结果；（2）方法一：建系标点，利用空间向量求线面夹角；方法二：做辅助线，可证DN⊥平面ABC ，进而可得线面夹角；方法三：利用等体积法求D 到平面ABC 的距离，进而可得线面夹的正弦值.【小问1详解】连结AQ ，因为PM ∥平面,ABC PM ⊂平面ADQ ，平面ADQ 平面ABC AQ =，则//PM AQ ，又因为P 是AD 的中点，所以M 是DQ 中点.【小问2详解】方法一：因为AD ⊥底面,BCD BC CD ⊥，如图建立坐标系，则(2,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,0,2)A ，(0,1,0)Q ，可得(2,1,0)DQ =-uuu r，(2,0,2)CA = ，(0,2,0)CB = ，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则22020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =-，则0,1y z ==，可得(1,0,1)n =-，则cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅==⋅，因此直线DQ 与平面ABC所成角的正弦值为5；方法二：取AC 中点N，因为DA DC =，则DN AC ⊥，因为AD ⊥底面BCD ，⊂BC 底面BCD ，则AD BC ⊥，且BC CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，则⊥BC 平面ACD ，由DN ⊂平面ACD ，可得BC DN ⊥，且AC BC C = ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以DN ⊥平面ABC ，可知DQN ∠即为直线DQ 与平面ABC 所成角，且DN DQ ==10sin5DN DQN DQ ∠===.所以直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值为5；方法三：设D 到平面ABC 的距离为d ，可得1242333A BCD BCD V AD S -=⋅=⨯=△，则12ABC S BC AC =⋅=△即1433A BCD D ABC ABC V V d S --==⋅==△，解得d =则DQ =所有直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值5d DQ ==.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 2a cB c-=.（1）若π3A =，求B ；（2）若ABC V 是锐角三角形，且4c =，求b 的取值范围.【答案】（1）4π9B =（2）(【解析】【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得2B C =，结合π3A =即可得结果；（2）由锐角三角形可得ππ64C <<，利用正弦定理运算求解即可.【小问1详解】因为cos 2a cB c -=，由正弦定理可得sin sin cos 2sin A C B C-=，则2sin cos sin sin sin()sin sin cos sin cos sin C B A C B C C B C C B C =-=+-=+-，整理得sin sin cos sin cos sin()C B C C B B C =-=-，因为(),0,πB C ∈，则()π,πB C -∈-，则C B C =-，即2B C =，由π3A =，得23π3B C C +==，则2π9C =，4π9B =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，则π22π32B C B C C ⎧=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，解得ππ64C <<，则cos 2C <<由正弦定理得sin sin c bC B =，得sin 4sin 28cos sin sin c B C b C C C===，可得b <<b的取值范围为(.17.已知椭圆G22+22=1>>0的离心率为12e =，左、右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，M 为线段OA 的中点，P 为椭圆上动点，且MPB △.（1）求椭圆E 的方程；（2）延长PM 交椭圆于Q ，若6BP BQ ⋅=，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）1)y x =+【解析】【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1详解】由条件得12c e a ==，即2a c=，则b =，则12OM a c ==，()2max 13333()222BMP S b a c c =+==，解得2,1a b c ===，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：()()2,0,2,0A B -，则()1,0M -，且直线PQ与椭圆必相交，若直线PQ 的斜率不存在，可知1PQ x =-：，联立方程221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32y =±，不妨取331,,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333,,3,22BP BQ ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得9279644BP BQ ⋅=-=≠ ，不合题意；若直线PQ 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，则()112,BP x y =- ，()222,BQ x y =-，与椭圆联列方程得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +++-=，可得221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++，则212121212(2)(2)(2)(2)(1)(1)BP BQ x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++()()()()()()2222222212122214128212443434k k k kkx x k x x kkk k +--=++-+++=-++++2227634k k==+，可得26k =，解得k =所以直线PQ的方程为1)y x =+；综上所述：直线PQ 的方程为)1y x =+.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.18.已知函数()()ln 0f x x x x =>；（1）设函数()()()1g x f x f x =+-，求函数()g x 的极值；（2）若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；求ab 的最大值（3）实数,m n 满足0m n <<，求证：()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【答案】（1）极小值ln 2-，无极大值（2）e4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()g x 的导函数并判断出其单调性，即可得出极值；（2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得ab 的表达式利用二次函数性质可求出结论；（3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论.【小问1详解】()()(1)ln (1)ln(1),01g x f x f x x x x x x =+-=+--<<，令()()()1ln ln 11ln ln 1x x x x g x +---=-=-'，令()0g x '=，得12x =，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 有极小值1ln 22g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值．【小问2详解】()1ln 0f x x '=+=，得1ex =，易知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即可得在[)e,+∞上()f x 单调递增；易知()f x 在()e,e 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；结合()f x 及y ax b =+的图象可知，需满足(e)e e 2f a ba ==+⎧⎨≤⎩，可得e e b a =-，2a ≤．于是21e e (1)e 24ab a a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，易知当12a =时，取得最大值，故()maxe 4ab =．【小问3详解】先证明左边：作差()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n m m mm n m n m ---+-=--(ln ln )ln 1nn n m n m n n m m m-==--；因为0m n <<，令1n t m=>，则(ln ln )ln ln 111n n m t tt n m t t-==---；令()()ln 1,1ln 1ln h t t t t h t tt '=-+=+-=当1t >时，()0h t '>，函数()h t 在(1,)+∞上是增函数，所以()ln 1(1)0h t t t t h =-+>=，因此ln 1t t t >-，所以ln 11t tt >-，即()()ln 1f n f m m n m -->-，故()()ln 1f n f m m n m ->+-；对于右边()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n n m nn n m n m---+-=--(ln ln )1ln1m n m n n n m m m-==--令(ln ln )ln 1,11n m n m t t m n m t -=>=<--，令()ln 1t t φt =-+，则()1110φt t tt-=='-<恒成立；所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减，可得()()10t ϕϕ<=，即()ln 10t t t ϕ=-+<，所以ln 1t t <-，即ln 11tt <-，即()()ln 1f n f m n n m --<-，故()()ln 1f n f m n n m-<+-．综上得()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第n 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值1n x +满足1()n n x f x +=，已知初始状态值0(0,1)x ∈，其中2()()f x ax ax a =-∈R ，这样每一时刻的状态值012,,,,n x x x x 构成数列{}()n x n ∈N .（1）若数列{}n x 为等比数列，求实数a 的取值范围；（2）若01,12x a ==-，证明：①11112n nx x +<-≤；②212(2)ni i n x n =+≤+∑.【答案】（1）1a <-；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合0(0,1)x ∈求解即得.（2）①把1a =-代入，变形得11111n n nx x x +-=-，再探讨n x 的符号及数列{}n x 的单调性推理得证；②由已知结合累加法得21012nin i xx +==-∑，再由①结合累加法求得1124n x n +≥+即可推理得证.【小问1详解】由{}n x 是等比数列，得212n n n x x x ++=，且120,0n n n x x x a ++⋅⋅≠≠，依题意，21n n n x ax ax +=-，则22111(())n n n n n n x ax ax x ax ax +++-=-，于是1n n ax a ax a +-=-，即21n n n n x x ax ax +==-，整理得01n a x x a+==，因此101a a +<<，即110a-<<，解得1a <-，所以实数a 的取值范围是1a <-.【小问2详解】①由1a =-知，211)1111,11(n n n n n n n nx x x x x x x x ++=-+==+--，则11111n n n x x x +-=-，由210n n n x x x +-=-<，得数列{}n x 是递减数列，则011111,221n n n nx x x x x +≤=-=≤-；又110n n n x x x +=->，则1,n n x x +同号，有n x 与0x 同号，即0n x >，于是111111n n nx x x +-=>-，所以11112n nx x +<-≤．②由21nn n x x x +=-，得2101101(2)n nin n n n i i x x x x x x +++===-=-=-∑∑，由①知，1112n n x x +-≤，则10112(1)24n n n x x +≤++=+，又0n x >，因此1124n x n +≥+，所以210111122242(2)ni n i n x x n n +=+=-≤-=++∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。
专题02 选填题解法——数形结合法-高考数学选择填空必备解题技巧
高中数学选填题解法——数形结合法邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。
在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。
数形结合法在选择题如果运用好的话，往往会有出其不意的效果。
1、已知函数f(x)=()⎩⎨⎧≥++< 0x 2x ln 0x x 4x 2若方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A 、（0,4） B 、[)4,0 C 、[)4,ln2 D 、(]4,2ln【答案】C【解析】本题是2019莆田高三第二学期质检文科第10题，本题可采用数形结合法。
在坐标轴中分别画出|f(x)|与y=a 图像。
从图像中易知当方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，当y=a 这条直线为y=ln2时刚好有四个交点，当y=a 这条直线为y=4时最多只有三个交点，所以a 取值范围为[)4,ln2，即答案为C 。
2、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+++0,22x 0x 1,|2-2|2x x x > 若方程f(x)=kx+2k 有四个不同的解，则实数k 取值范围为（ ）A 、（-∞，-2-22）∪（31，1） B 、（22-2，1） C 、（31，1） D 、（31，22-2） 【答案】B【解析】本题是华大新高考联盟2019届1月教学质量监测文科数学第11题，在直角坐标系中画出y 1=f(x)图像（蓝色部分），再做出y 2=kx+2k=k （x+2）图像，恒过定点（-2,0）。
从图像上可发现当y 2=kx+2k=k （x+2）过（0,2）时即图中m 直线，y 1与y 2图像有三个交点，此时k=1；当y 2=kx+2k=k （x+2）与22x 2++x 相切时即图中n 直线，此时k=22-2或k=22--2，而当k=22--2时即图中q 直线，显然y 1与y 2只有一个交点，舍去。
当y 2直线在直线n 与直线m 直线质检移动时，y 1与y 2有四个交点，所以k 取值范围为（22-2，1），答案为B 。
专题06 等差数列、等比数列及数列的求和-高考数学试题探源与变式(解析版)
专题六 等差数列、等比数列及数列的求和【母题原题1】【2019浙江，10】设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ） A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为122x =±，令122a =±，则11022n a =±<，排除.选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【母题原题2】【2018浙江，10】已知成等比数列，且．若，则A.B.C.D.【答案】B 【解析】 令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但， 即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如【母题原题3】【2017浙江，6】已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d>0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >” ⇔ “46520S S S +->”，故互为充要条件． 【母题原题4】【2016浙江，文8理6】如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．{}2n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．{}2n d 是等差数列 【答案】A【解析】S n 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(||sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A.【母题原题5】【2019浙江，20】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.(2)结合(1)中的通项公式可得：2nC==<=<=，则()()()12210221212nC C C n n n+++<-+-++--=【母题原题6】【2018浙江，20】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a 4+a 5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n}的前n 项和为2n 2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.【命题意图】1.考查等差数列、等比数列的通项公式及求和公式；2.考查数列的求和方法；3.考查运算求解能力、转化与化归思想以及分析问题解决问题的能力.【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．【答题模板】解答数列大题，一般考虑如下三步：第一步：确定数列的基本量.即根据通项公式、求和公式，通过布列方程或方程组，求得进一步解题所需的基本量；第二步：确定数列特征，选择求和方法.根据已有数据，研究送来的的特征，选择“分组求和法”“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法；第三步：解答综合问题.根据题目要求，利用函数、导数、不等式等，进一步求解.【方法总结】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. [特别提醒]：在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．(3)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 8. [特别提醒]：用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．（3）给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（4）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n .一、选择题1．【上海市虹口区2019届高三二模】已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】S n•，①n 为奇数时，S n •，可知：S n 单调递减，且•，∴S n ≤S 1＝2； ②n 为偶数时，S n•，可知：S n 单调递增，且•，∴S 2≤S n．∴S n 的最大值与最小值分别为：2，． 考虑到函数y ＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A ．B ．∴B﹣A的最小值．故选：B．2．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由单调递增，可得，由，可得，所以.时，可得.①时，可得，即.②若，②式不成立，不合题意；若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,故选A.3．【浙江省2019年高考模拟训练卷（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.4．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，max213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应】已知数列{} 满足0<<<π，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由,取特殊值：，，得：=，=，排除C 、D ；==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，综上可得，故选A.6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.二、解答题7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】解：（1）设等比数列的公比为，由得，解得或.因为数列为正项数列，所以，所以，首项，故其通项公式为.（2）由（Ⅰ）得所以，所以.8.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知等比数列的公比，前项和为.若，且是与的等差中项.（I）求；（II）设数列满足，，数列的前项和为.求证：.【答案】（Ⅰ）（II）见证明【解析】（I）由，得①.再由是，的等差中项，得，即②.由①②，得，即，亦即，解得或，又，故.代入①，得，所以，即；（II）证明：对任意，，，即.又，若规定，则.于是，从而，即.8.9．【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】 （Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故. 令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.10．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟】已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{n a 满足123b a =，157b a += （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】 （Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：112n n b b -=∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 112n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- 332n n n T +=-即12231332n n nn a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302n n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 11．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知数列{}n a 中，14a =，n a >，1314n n n n a a a a +=-+，记22212111...n nT a a a =+++. （1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<； （3）证明：8454n n n T -<<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析 【解析】（1）∵3133(2)(2)1422n n n n n n n na a a a a a a a +---=-+-=-，∴31323221212n n n n n n na a a a a a a +---==---，令1n t a =，则2312()122n n a m t t t a +-==---，∵n a >t ∈，∴'2()260m t t t =--<，∴()m t在单调递减，∴16()()10339m t m ->=-=>，即n a 时，1202n n a a +->-恒成立， ∴12n a +-与2n a -同号，又1220a -=>.∴2n a >成立．（2）2124214111514816n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭221115412816⎛⎫<-+= ⎪⎝⎭，又212111515481616n n n a a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…，∴115116n n a a +≤<. （3）先证4n nT <，因为2n a >，所以2114n a <，所以222121111...44n n n T n a a a =+++<⋅=，再证845n n T >-，∵1314n n n na a a a +=-+，∴()121144n n n n a a a a +-=+， 又21232141115151481616n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴11615n n a a +>，∴116()31n n n a a a +<+，又10n n a a +-<，∴2211()4()431n n n n n a a a a a ++->-，所以221222121114...()314n n n n n T a a a a a +=+++>-+4488(416)31443145n n n >-+=->-， 故8454n n n T -<<． 12．【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．。
2022年9月《浙江省新高考研究卷》(全国I卷)数学试题(一)
2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I 卷）数学试题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}{214,A x x B y y =<<=<，则()RAB =（ ）A．{1x x << B．{}2x ≤<C．{}4x ≤<D ．{21x x -<<-或}12x <<2．若复数z 满足2i z z -=，2z z ⋅=，则z z -=（ ） A ．1BC ．2D．3．已知 1.010.99a =，0.991.01b =， 1.01log 0.99c =（ ） A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c b a <<D ．c<a<b4．设直线l 与平面α，β所成角分别为1θ，2θ，则“12θθ=”是“αβ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．某工厂要生产容积为V 的圆柱形密封罐.已知相同面积的底的成本为侧面成本的2倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．46．从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（ ） A ．435B ．17C ．635 D ．157．已知1F ，2F 是椭圆C ：22143x y +=的左，右焦点，过2F 且倾斜角为π3的直线交椭圆C 于点P ，Q （P 在第一象限），12PF F ∠与12QF F ∠的平分线分别交直线2x =于点M ，N ，则M ，N 纵坐标比MNy y =（ ） A ．13-B ．12-C．D ．－18．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于R x ∀∈，()()()210xf x x f x '++>，则（ ）A ．4e (1)(1)f f >-B ．2e (1)(1)f f >-C ．44e (2)(1)f f >D ．24e (2)(1)f f >二、多选题9．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭10．已知24234560123456(21)(1)x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则（ ） A ．64a =B ．14a =-C ．12345615a a a a a a +++++=D ．135246a a a a a a ++<++11．如图，已知ABC ，点M ，N 满足AM AB λ=，(,(0,1))AN AC μλμ=∈，BN 与CM 交于点P ，AP 交BC 于点D ，AP t AD =.则（ ）A ．11AP AB AC λμμλμλλμλμ--=+-- B ．2111111t t t λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．11BP BN λλμ-=- D ．(1)1CP t CA CB λμμλμ-=-+- 12．已知1，1a ，2a ，…，n a ，2为等差数列，记12n n S a a a =+++，12n n T a a a =，则（ ）A ．nS n为常数 BC ．n S 随着n 的增大而增大D ．n T 随着n 的增大而增大三、填空题13．已知函数()22,02,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则()()1f f -=______.14．写出一个半径为2，且与圆221x y +=内切的圆的标准方程______.15．已知变量X ，Y 满足回归模型22()0,()Y aX b eE e D e σ⎧=++⎨==⎩，令2Z X =，利用11X =，15Y =的样本数据得到经验回归直线方程196Y Z =-，则根据样本数据估计变量X 的方差为______.16．已知正四面体ABCD ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且满足BM CN =，直线MN 的轨迹为曲面Γ.P ，Q ，R 分别为AB ，AC ，AD 的中点，曲面Γ与平面PQR 的交线为圆锥曲线的一部分，该圆锥曲线的离心率为______.四、解答题17．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AD =，AB 1AA =P ，Q ，R 分别为AB ，1CC ，11A D 的中点.(1)证明：PQ BD ⊥； (2)求D 到平面PQR 的距离.18．已知数列{}n a 的通项公式为222221(1)(1)nn n n a n n ++=-+，n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)求n S ；(2)若对于*N n ∀∈，1n S λ⋅≤恒成立，求λ的取值范围.19．小军在校园内测对岸广电大厦楼顶无线塔AB 的高度，他在校园水平面上选取两点,C D ，测得CD l =，测得ACB θ∠=，1ACD α∠=，2BCD α∠=，1ADC β∠=，2BDC β∠=.(1)求AC ；(2)求无线塔AB 的高度.20．小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7. (1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率； (2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率. ①求小明第n 次中靶的概率.21．已知直线l ：12y x =-为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线，且双曲线C经过点().(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 是双曲线右支上两点，若直线l 上存在点P ，使得ABP 为正三角形，求直线AB 的斜率的取值范围. 22．已知函数()sin f x x x =.(1)若0x 是函数()f x 的极值点0x ，证明：()420201x f x x =+； (2)证明：对于*N n ∀∈，存在()f x 的极值点1x ，2x 满足221222114124n x x n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⋅<-<⎛⎫+- ⎪⎝⎭ππππ.参考答案：1．B【分析】将集合,A B 分别化简，然后根据集合的运算即可得到结果.【详解】将集合,A B 化简即可得到，()()2,11,2A =--，(B =-∞则)2,B ⎡=+∞⎣R，所以())2,2AB ⎡=⎣R故选:B. 2．C【分析】由复数模的计算公式直接求解. 【详解】由2i z z -=，①2i =2z z -=. 故选：C 3．D【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】解：因为101.0100.990.99<<=，即01a <<， 0.99011.01 1.01b >==， 1.01 1.01log 0.99log 10c =<=，所以c<a<b . 故选：D 4．B【分析】从充分和必要两个方面分别举反例和证明得出结论.【详解】充分条件:如图正方体中取直线l 与平面α，β所成角分别为1θ，2θ， 由12π=4θθ=,αβ，不平行,故“12θθ=”是“αβ∥”不充分条件必要条件: 设直线l 与平面α，β所成角分别为1θ，2θ,若αβ∥,在l 取一点作直线h ,,h h αβ⊥⊥,l 与h 所成角相等, l 与h 所成角与线面角1θ，2θ都互余,所以12θθ=,故“12θθ=”是“αβ∥”的必要条件; 故选: B . 5．D【分析】设圆柱底面半径为r ，高为l ，利用圆柱体积公式可得2πVl r =；设单位面积的成本为1，总成本为y ，结合圆柱底面积和侧面积公式可表示出24πV Vy r r r=++，利用三项基本不等式的取等条件可求得结果.【详解】设圆柱底面半径为r ，高为l ，则2πV r l =，2πVl r ∴=； 设单位面积的成本为1，总成本为y ，圆柱上下底的总面积为22πr ，侧面积为2πrl ，22224π2π4π4πV V V y r rl r r r r r ∴=+=+=++≥24πVr r =时取等号）， ∴当总成本最小时，24ππVr rl r==，4l r ∴=.故选：D. 6．C【分析】根据题意可知，从7个整数中随机取3个不同的整数共有37C 35=种组合，再列举出这三个数能作为锐角三角形三边长的所有情况，即可求出其概率.【详解】由题可知，从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，共有37C 35=种组合，若要这三个数能作为锐角三角形三边长，设三角形的三边长为,,a b c ，且a b c <<， 由余弦定理可知，只需满足222a b c +>即可；三角形的三边长为4，5，6时，222456+>，满足题意； 三角形的三边长为4，6，7时，222467+>，满足题意； 三角形的三边长为4，7，8时，222478+>，满足题意； 三角形的三边长为5，6，7时，222567+>，满足题意； 三角形的三边长为5，7，8时，222578+>，满足题意； 三角形的三边长为6，7，8时，222678+>，满足题意； 所以，共6种组合满足题意；即能作为锐角三角形三边长的概率为635P =. 故选：C. 7．A【分析】根据题意可写出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立解得,P Q 两点坐标，再根据点,M N 是直线2x =与角平分线的交点，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可解出符合题意的纵坐标取值，即可求得结果.【详解】由题可知，如图所示，1(1,0)F -，2(1,0)F过2F 且倾斜角为π3的直线方程为1)y x -联立直线和椭圆方程整理得215240x x -=，解得0x =或85x =又因为P在第一象限，所以8(5P，(0,Q ，所以直线1PF的方程为1)y x =+，又因为点M 在12PF F ∠的平分线上， 即点M 到直线1PF 与直线12F F （x 轴）的距离相等， 又点M 直线2x =上，设(2,)M M y所以M y =23270M M y +-=，解得M y =或M y =-； 同理，直线1QF的方程为1)y x =+，设(2,)N N y ，点N 到直线1QF 与直线12F F （x 轴）的距离相等，N y =290N N y --=，解得N y=N y =；所以13MN y y ==- 故选：A. 8．D【分析】构造函数()()22e xx f x F x -=，求导，判断函数单调性，即可求出结果.【详解】解：由题意()f x 是定义在R 上的可导函数设()()22e x x f x F x -= 在()()22e xx f x F x -=中，()()()()()()()()22222222e 2e 21e e x x xx xf x x f x x f x x xf x x f x F x ----'⎡⎤'++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'== ①对于R x ∀∈，()()()210xf x x f x '++>， ①当0x <时()0F x '<，当0x >时()0F x '>①()()22e x x f x F x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增 ①()()()()4242121e ef f F F --=>=，解得：24e (2)(1)f f > 故选：D.【点睛】本题考查学生对新函数的构造，运用函数单调性比较大小等，具有很强的综合性. 9．ABD【分析】先根据二倍角的余弦公式将函数()f x 化简，然后再利用余弦函数的的对称轴即可求出函数的解析式，最后再逐项判断即可求解.【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++，因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确； 对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，故选：ABD . 10．AC【分析】对AB ，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD ，利用赋值法分别求0a 与123456a a a a a a +++++和123456a a a a a a -+-+-判断即可.【详解】对A ，6a 为展开式中最高次项系数，只能由()()2421,1x x -+展开式的最高次项相乘，故为24214⨯=，即64a =，故A 正确；对B ，()()()()24422114411x x x x x -+=-++，故4114411C 0a =-⨯+⨯=，故B 错误；对C ，令1x =，则()()2401234562111a a a a a a a -+=++++++，即012345616a a a a a a a ++++++=，令0x =，则()24011a -⨯=，即01a =.故12345615a a a a a a +++++=，故C 正确；对D ，令1x =-，则()()24012345621110a a a a a a a ---+=-+-+-+=，结合C ，01a =，故1234561a a a a a a -+-+-=...①又12345615a a a a a a +++++=...①，①+①可得()135216a a a ++=，故1358a a a ++=，4267a a a ++=，故135246a a a a a a ++>++，故D 错误.故选：AC 11．BC【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项. 【详解】,,N P B 三点共线，设x NP NB =，,,M P C 三点共线，设y MP MC =， A 选项：()x AP AN NP N A B C AC x A A B N μμ+==-=++()1AC xAB x AC A xA C x B μμμ=+--+=，()()A A M AB y B P AM MP MC y AC yAC y AB A λλλλ+==+=+-=+-，①x yy x μμλλ-=⎧⎨-=⎩，解得1x λμλλμ-=-，()111x x AP A C C AB A AB λμμμλμλλμλμ---+=+--=， 所以A 选项错误； B 选项： 由11A AC AB P t AD λμμλμλλμλμ-==-+--，得1111AD AC t t AB λμμλμλλμλμ--+--=⋅⋅， ,,B C D 三点共线，则1111t λμμλμλλμλμ⎛⎫--+=⎪--⎝⎭，即()112tλμμλλμ--=-，得111112t λμλμ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，即111112t tλμλμ⎛⎫-++=- ⎪⎝+⎭， 有2211111112t t t t λμλμ⎛⎫-++=- ⎪⎝+⎭，得2111111t t t λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以B 选项正确； C 选项：111111B A P A AC AB C A P AB B λμμλμλλμμλλμλμλμλμ⎛⎫----=+-=+ ⎪----⎝⎭=- ()()111111AC AB AN AB BN λλλμλμλμλμ---=-=-=---，所以C 选项正确； D 选项：()111111C AC AB CA CB C A A P AP C λμμλμλμλμλλμλμλμλμ⎛⎫----=-+=+- ⎪-=---⎝⎭-()121111111CA CB CA CB t CA CB λμλμλμλλμλμλμλλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫+---+---+=++=-+ ⎪-----⎝⎭， 所以D 选项错误. 故选：BC 12．ACD【分析】根据等差数列的求和公式可得32n S n =，进而可判断AC ，构造函数()()1ln 1,1f x x x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，进而判断n T 的单调性，即可判断BD.【详解】由于1，1a ，2a ，…，n a ，2为等差数列，所以()()12121223123322n n n S a a a a a a n n =++++++++=++-=-=，对于A ，32n S n =，所以A 正确， 对于C ，32n S n =，n S 随着n 的增大而增大，故正确， 对于B, 1，1a ，2a ，…，n a ，2,公差为11d n =+,所以1223121,,,1111n a n n n n n n n n a n a +++++====++++，因此()()()()1223212342111111n n nn n n n n n n T a a a n n n n n +++++++==⨯⨯⨯⨯=+++++， )()))()3212111nn n ++B 错误， 对于D,()()()()()()()()1123213423,12n n n n n n n n n n T T n n ++++++++==++,所以()()()()()()()()()()()()()()()()()1111134231222312231232122222nnn n n n n n n n n n n n n n n T T n n n n n n n n ++++++++++++++=⨯==++++++++，令()()1ln 1,01f x x x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则()221110,x f x xxx-'=-=<在01x <<恒成立，所以()()10f x f >=，即1ln 1x x>-，(10x >>）,因此()()1112ln 1ln 111221n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>+-=- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111e 2n n n +-+⎛⎫> ⎪+⎝⎭,进而 ()()()()()()()()()()1111223122322322346e 12e 2323622n n n n n n n n n T n T n n n n n n +-++++++++=>=>=>++++++， 所以1n n T T +>，故n T 随着n 的增大而增大，D 正确， 故选：ACD13．14##0.25【分析】根据分段函数各分段定义域，先求出()1f -，即可最后求值.【详解】()()131212f --=--=，①23312224f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1414．22(1)4x y -+=（答案不唯一）【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆内切时需满足圆心距等于两半径之差的绝对值，即可写出符合题意的圆的标准方程.（答案不唯一）【详解】由题意可知，圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1； 半径为2的圆与221x y +=内切，则圆心距为211-=， 即半径为2的圆的圆心到原点距离为1， 则圆的标准方程可以为22(1)4x y -+=故答案为：()2214x y -+= 15．23【分析】根据方差与均值的关系解决即可. 【详解】因为196Y Z =-，所以654Z Y =+，因为2Z X =，11X =，15Y =， 所以根据方差与均值的关系得，()()()()()222()654121654121D X E X E X E Z X E Y Y =-=-=+-=+-6155412123=⨯+-=. 故答案为：23 16【分析】建立空间直角坐标系，表达出,OM ON ，进而表达出43NM⎛=- ⎝⎭，写出直线MN的方程，结合z =Γ与平面PQR 的交线方程为22162x y z ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，为双曲线，从而求出离心率. 【详解】以BD 中点O 为原点，以OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，取z 轴①平面BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1OD =，则()())0,1,0,0,1,0,D B C-，作AE ①平面BCD ，则E 为等边三角形的中心，故E 为CO 的接近O 的三等分点，故CE =由勾股定理得：AE =A ⎝⎭，设()31,3OM OA OB λλλ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为BM =CN ，①()()13,,0ON ODOC λλλ=+-=-，4NM OM ON ⎛=-=-⎝⎭，直线MN 1yλ-=-，因为P ，Q ，R 分别为AB ，AC ，AD的中点，且AE =， 所以平面PQR的方程为z =MN 的方程得：1112x y λλλ--==-，故1212x y λλλλ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩①②， 则22-①②得：2223x y ⎛ ⎝⎭-=， 即22162x y⎛ ⎝⎭-=， 故曲面Γ与平面PQR 的交线方程为22162x y z ⎧⎛⎪⎪⎝⎭⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，为双曲线，其中a c ===，故离心率为c a ==【点睛】本题解题关键为求出空间之间方程，由于过空间一点只能作一条直线平行于已知直线，所以当直线上一点()0000,,M x y z 和它的一方向向量(),,s m n p =时，直线的方程为000x x y y z z m n p---==. 17．(1)证明见解析；【分析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后证明0PQ DB ⋅=即可；（2）算出平面PQR 的法向量即可求解. 【详解】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，因为1AD =，AB =1AA =所以P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，12R ⎛ ⎝，()0,0,0D ，()B ，所以1,2PQ ⎛=- ⎝⎭，()1,DB =， 所以1100PQ DB ⋅=-++=，即PQ BD ⊥；（2）1,2PQ ⎛=- ⎝⎭，1,22PR ⎛=- ⎝， 设平面PQR 的法向量为(),,n x y z =，则0102n PQ x yn PR x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，可得x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(6,3,n =，因为1,DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以求D 到平面PQR 的距离为36211DP n n⋅==. 18．(1)()211(1)nn --+(2)4,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）依题意可得2211(1)(1)n n a n n ⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦，利用裂项相消法求和即可； （2）分n 为奇数、偶数两种情况讨论，求出n S 的取值范围，依题意参变分离可得1nS λ≥恒成立，则max1n S λ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为()22222221221(1)(1)(1)(1)nn n n n n n a n n n n ++++=-=-++ 2211(1)(1)n n n ⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦， 所以()222222*********11122341)3(n n S n n ⎡⎤⎛⎫+++++-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎣⎦()()2222222211311111112234(1)nn nn ---+-=-+-++++()211(1)nn --+=.（2）解：当n 为正奇数时，2111(1)n S n =--<-+，且n S 随n 的增加而增加，所以15144n S -=-≥-， 所以514n S ≤<--， 当n 为正偶数时，2111(1)n S n -=>-+，且n S 随n 的增加而减小，所以18199n S =-≤-， 所以819n S -<≤-，综上可得5849n S -≤≤-且1n S ≠-，且()min 54n S =-，所以1n S 的最大值为45-（当且仅当1n =时取得），因为1n S λ⋅≤恒成立，所以1n S λ≥恒成立，所以max145n S λ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 所以λ的取值范围为4,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.19．(1)()111sin sin l βαβ⋅+(2)l【分析】（1）在ACD 中，利用正弦定理可求得AC ；（2）在BCD △中，利用正弦定理可求得BC ；在ACB △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】（1）1ACD α∠=，1ADC β∠=，()11πCAD αβ∴∠=-+， 在ACD 中，由正弦定理得：()()111111sin sin sin sin sin sin πl l CD ADCAC CAD ββαβαβ⋅⋅⋅∠===∠+-+⎡⎤⎣⎦.（2）2BCD α∠=，2BDC β∠=，()22πCBD αβ∴∠=-+， 在BCD △中，由正弦定理得：()()222222sin sin sin sin sin sin πl l CD BDCBC CBD ββαβαβ⋅⋅⋅∠===∠+-+⎡⎤⎣⎦；在ACB △中，由余弦定理得：()()222222212221122sin sin 2cos sin sin l l AB AC BC AC BC ACB ββαβαβ⋅⋅=+-⋅∠=+-++()()21211222sin sin cos sin sin l ββθαβαβ⋅++，AB l ∴=20．(1)0.301(2)①第2次中靶的概率为0.84，第3次中靶的概率为0.868；①小明第n 次中靶的概率为71185n⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，将3次射击恰有2次中靶分成三种情况分别计算概率，然后将概率相加即可；（2）①将第2次中靶分成第一次中靶和第一次未中靶两种情况分别计算即可，同理可得第3次中靶的概率；①小明第n 次中靶的概率是由第n 1-次中靶和未中靶两种情况组成，可通过构造数列求得结果.【详解】（1）小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为0.70.9(10.9)0.063⨯⨯-=； 第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为0.7(10.9)0.70.049⨯-⨯=； 第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为(10.7)0.70.90.189-⨯⨯=; 所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为0.0630.0490.1890.301++= （2）小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为0.70.90.63⨯=； 第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为(10.7)0.70.21-⨯=； 所以，小明第2次中靶的概率为0.630.210.84+=. 因此，小明第2次未中靶的概率为10.840.16-= 同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为0.840.90.756⨯=； 第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为0.160.70.112⨯=； 则小明第3次中靶的概率为0.7560.1120.868+=①设小明第n 次中靶的概率为n P ，则第n 1-次中靶的概率为()12n P n -≥， 第n 次中靶的概率由以下两种情况组成：第一种：第n 1-次中靶，第n 次也中靶，其概率为10.9n P -⨯； 第二种：第n 1-次未中靶，第n 次中靶，其概率为1(1)0.7n P --⨯； 第n 次中靶的概率1110.9(1)0.70.20.7n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=+ 即1770.288n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即数列78n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以770.7840-=-为首项，10.25q ==为公比的等比数列；所以17718405n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1771711(2)840585n n n P n -⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当1n =时，11717410.78585P ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭符合该式；所以，小明第n 次中靶的概率为71185n n P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭21．(1)2214x y -=(2)118,822⎛⎫⎛----+ ⎪ ⎝⎭⎝【分析】(1)根据渐近线方程求出,a b 的关系，再根据过点()求出方程.(2)当斜率不存在时易得P 为原点，验证；当AB 的斜率存在时设方程为y kx m =+，点()2,P t t -，又ABP 为正三角形找到,t m 的关系，,PM =化简求解. 【详解】（1）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±直线l ：12y x =-为曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线，所以12b a =即2a b =，所以双曲线方程为222214x y b b-=，又因为双曲线C 经过点().即228114b b -=，所以21b =，所以双曲线方程为：2214x y -=（2）当AB 的斜率不存在时，则P 为原点，则12PA k =>，舍去. 由题意得AB 的斜率一定不为零，当AB 的斜率存在时，设方程为()0y kx m k =+≠，点()2,P t t -.把直线方程代入双曲线方程得：()222418440k x kmx m -+++=，2410k -≠并且()()222264164110k m k m ∆=--+>即22410m k -+>则1228,41kmx x k -+=- 故线段AB 的中点为224,4141kmm M k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，又ABP 为正三角形，22141,4241PMmt k k km k t k +-==--+-故()25241km t k k -=-，由正三角形可得,PM = 即()()222212331,44PM AB k x x ==+-则()()()()2222222222641641114312141441k m k m km t k k k k --+⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭- 即()()222222234124141k m k km t k k -+⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-代入()25241kmt k k -=-，若2k =，则0m =，不满足22410m k -+>，则2k ≠，得()222252341,2m m k k ⎛⎫-=-+ ⎪-⎝⎭则()()22222141132k k m k +-=--，又,A B 两点在右支上，故214k >，则()()22211032k k +->-，解得118,822k ⎛⎫⎛∈----+ ⎪ ⎝⎭⎝.【点睛】解析几何中与正三角形结合的问题都要转化为边长与高线的长度关系.根据关系找到韦达定理的关系式，然后设定的方程与曲线联立寻找韦达定理，代入整理要求的内容. 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由题意可得0x 是其导数的一个零点，由此得到一个方程，解之即得； （2）构造函数()tan g x x x =+，根据其单调性可得12ππ3ππ+π22x n x n <++<<，根据两角差的正切公式可得21ππ2x x <-<，结合π02x >>时，tan x x >，即可得()122112π12x x x x x x +->+，由()11122x h x x x+==-++的单调性即可求解. 【详解】（1）函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+① 令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=． 显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-．此方程一定有解．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+． 因此，2422220000002200tan [()]sin 1tan 1x x f x x x x x x ==++=．（2）设()tan g x x x =+，πππ,π22x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈，则()2110cos g x x'=+> ， 所以()g x 在πππ,π22x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈，上单调递增，由于()g x 为奇函数，所以不妨设120x x <<，其中()()120g x g x ==，且12,x x 为相邻的两个零点，即1ππππ22n x n -+<<+，2π3ππ+π22n x n +<<，N n *∈， ()()()()()1111112πtan ππtan π=ππg x x x x x g x g x +=+++=+++=> ，由于()g x 在π3ππ,π22x n n ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，N n *∈，上单调递增， 所以12ππ3ππ+π22x n x n <++<<，N n *∈ 因此210πx x <-<，212121122112(tan tan )(1tan tan )tan()(1)tan()0x x x x x x x x x x x x -=--=+⋅-=+->．所以12tan()0x x ->，因此21tan()0x x -<，故21ππ2x x <-<，由于当π02x >>时，令2221sin tan ,10cos cos x y x x y x x'=-=-=> ，所以tan y x x =- 在π02x >>单调递增，所以当π02x >>时，tan x x > ， 由于12ππ02x x >+-> ()()121212tan tan ππx x x x x x -=+->+- ，则()()2121122112212112(1)tan()(1)ππ(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x -=+->++-=+++-， 所以()122112π12x x x x x x +->+ ，记()11122x h x x x+==-++在()2,-+∞单调递增， 由于1ππ2n x -+<，2ππ2n x +<，N n *∈，所以22121π4x x n ⎛⎫>- ⎪⎝⎭ ，所以2221 22114124nx x n⎛⎫+-⎪⎝⎭⋅<-⎛⎫+-⎪⎝⎭πππ综上，221222114124nx xn⎛⎫+-⎪⎝⎭⋅<-<⎛⎫+-⎪⎝⎭ππππ．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归，逻辑推理能力和计算能力.对导数的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程，(2)利用导数求解单调性，或者已知单调性求解参数的范围，(3)利用导数求解函数的最值（极值），解决函数恒成立与有解问题，注意数形结合思想的运用.(4)证明不等式，构造函数，将多变量问题转化成单变量问题.。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届高三第一次联考通用技术答案
17．（1）B（1 分） （2）C（1 分） （3）C（1 分） （4）B（1 分） （5）（2 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第一次联考 技术答案 第 1 页 共 1 页
14．（1）B、A、D（1 分一个，共 3 分，不能交换顺序） （2）B（1 分） （3）B、D（1 分一个，共 2 分，顺序可以不同） 15．（1）参考草图如图所示，共 5 分，具体评分如下：
能实现和桌面连接（1 分）；能和面板连接，并实现角度调节（1 分）； 能实现高度调节（1 分）；材料选择正确（1 分）；草图有立体感（1 分） （2）夹持桌面部分的尺寸大于 30mm，与面板连接处 30mm—32mm，连接孔的直径 8mm—10mm，3 个尺 寸中对 2 个，给 2 分，对 1 个给 1 分 （3）B（1 分） （4）D（1 分） 16．补画完整的三视图如下，每条线型和位置正确 得 1 分，多一条线倒扣 1 分，扣完为止，共 3 分。
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第一次联考
通用技术答案
一、选择题（本大题共 13 小题，每小题 2 分，共 26 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
答案 D
D
B
B
C
D
C
B
D
D
A
B
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、非选择题(本大题共 4 小题，第 14 小题 6 分，第 15 小题 9 分，第 16 小题 3 分，第 17 小题 6 分，共 24 分)
浙江地区名校新高考研究联盟2019年度第一次联考数学试题卷
浙江地区名校新⾼考研究联盟2019年度第⼀次联考数学试题卷浙江省名校新⾼考研究联盟2019届第⼀次联考数学试题卷命题：德清⾼级中学江战明、施利强审题：瑞安中学张瑞元济⾼级中学檀杰校对：王峥⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 已知集合2{|1}, {|320}A x x B x x x =<=++≤，则A B =I A ．? B ．{|1}x x <C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|211}x x x <--<<或 2. 设复数z 满⾜(2)12z i i ?+=-+（i 为虚数单位），则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 3. 设函数ln ||,1(), 1xx x f x e x -≤-?=?>-?，则((2))f f -的值为A ．1e B ．2e C ．12D ．2 4. 已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是 A ．若,,//,//m n m n ααββ??，则//αβ B ．若,//n αβα⊥，则n β⊥ C ．若//,//m αβα，则//m β D ．若,,//m n m n αβ⊥?，则αβ⊥5. 已知实数,x y 满⾜约束条件2220220y x y x y ≤??--≤??+-≥?，则x y +的最⼤值为A ．1B ．4C ．2D ．326. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则“a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 函数2sin ()()1xf x x x ππ=-≤≤+的图像可能是A. B. C. D.8. 已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B两点，且满⾜112||2||, ||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离⼼率是 A ．12B 3C 3D 59. 已知正实数,,,a b c d 满⾜1, 1a b c d +=+=，则11abc d+的最⼩值是 A ．10 B ．9 C ．42 D ．3310. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长为1, M 是底⾯ABC ?内部⼀个动点（包括边界），且M 到三个侧⾯, , PAB PBC PAC 的距离123, , h h h 成单调递增的等差数列. 记PM 与,,AB BC AC 所成的⾓分别为,,αβγ，则下列正确的是A ．αβ=B ．βγ=C ．αβ<D ．βγ<⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量ξ的分布列如下表所⽰，则()E ξ= ，()D ξ= .12. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为，表⾯积为 . 13. 若621()ax x+的展开式中，3x 的系数为6，则a = ，常数项的值为 . 14. 在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，60A =o，且ABC ?3，则a = ，若33bc +=ABC ?的⾯积为 .15. 沿着⼀条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间⾄少还有2根电线杆被保留，则不同的移除⽅法有种.16. 已知向量,a b r r 满⾜||2||, ||2a b a b =-=r r r r，则a b ?r r 的取值范围为 .17. 设函数2()||||(,R)f x x a x b a b =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最⼤值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最⼩值为 .三、解答题：本⼤题共5⼩题，共74分。
(浙江版)2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题6.3 等比数列及其前n项和(测)
第03节 等比数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 14D. 12【答案】A2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．13-B ．13C ．19-D ．19【答案】D【解析】由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==+91041211q a q a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==3911q a ,应选D 。
3. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试】设a R ∈，“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意得， 1， a ， 16为等比数列21614a a ⇒=⨯⇒=±，因此4a =⇒ 1， a ， 16为等比数列，所以“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的必要不充分条件，故选B.4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．48 【答案】A【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故24q =，2q =，11a =，所以55123112S -==-.5. 【改编题】函数y =．．．成为公比的数是（ ）A ．21B ．1 D ．33 【答案】A6.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日 【答案】C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为，其前n 项和为A n ．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A ，B n =，由题意可得：，化为：2n +=7，解得2n =6，2n =1（舍去）． ∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．7. 【2017届浙江台州中学高三10月月考】等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222123na a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A.2(21)n -B.1(21)3n- C.1(41)3n- D.41n - 【答案】C.8.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C 【解析】由题意得353520{64a a a a +==，解得3516{ 4a a ==或354{ 16a a ==.又11n naa +< ，所以数列{}n a 为递减数列，故3516{4a a ==.设等比数列{}n a 的公比为q ，则25314a q a ==，因为数列为正项数列，故12q =，从而164a =，所以4416412120112S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-.选C. 9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ） A.3 B.4C.5D. 6【答案】C【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11mm a aq S q-=-11=-，故11a =-，又1116m m a a q-=⋅=-，代入可求得5m =．10.【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】已知121,,,9a a --成等差数列， 1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8± B. 8- C. 8 D. 98± 【答案】C11．【2018届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a 的值为（ ）A.B.【答案】B【解析】由2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，可得： 21621662a a a a +=-⨯=，，显然两根同为负值，可知各项均为负值；21699a a a a ===故选：B.12．【2017年福建省三明市5月质量检查】已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B.C.D.【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2017届浙江省丽水市高三下联考】已知数列{}n a 是公比为q 的单调递增的等比数列，且149a a +=，238a a =， 1a =__________； q =_________．【答案】 1 2【解析】311142322311199,8{ 8a a q a a a a a qa q a q +=+==∴== ，，且101a q >>，， 解得a 1=1，q=2.14.【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】已知{}n a 是等比数列，且0n a >， 243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________， 4a 的最大值为__________．【答案】 552【解析】243546225a a a a a a ++= ()2223355353522525,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=22354354255242a a a a a a +⎛⎫∴=≤=⇒≤ ⎪⎝⎭，即4a 的最大值为52．15.【2017届浙江省台州市高三上期末】已知公差不为的等差数列，若且成等比数列，则__________．_________．【答案】 1,.16．已知{}n a 满足， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________． 【答案】n ．【解析】因为++⋅+⋅+= 232144a a a S n 14-⋅n n a ， 所以++⋅+⋅+= 332214444a a a S n 114--⋅n n a n n a 4⋅+，两式相加可得()()++++++= 322211445a a a a a S n ()n n n a a +--114n n a 4⋅+，所以n a S nn n n =+++=-11145． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【2017届浙江省丽水市高三下测试】已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程()2*20n n x x b n N -+=∈的两实根，且11a =.（1）求234,,a a a 的值；（2）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）21a =， 33a =， 45a = （2）()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦【解析】试题分析：(1)由题中所给的递推关系可得21a =， 33a =， 45a =. (2)由题意可得数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是首项为13，公比为-1的等比数列.则()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦.（2）∵11111122223331111222333n n n n n n n n nnn n n a a a a a a +++⎛⎫--⨯-⨯--⨯ ⎪⎝⎭===--⨯-⨯-⨯，故数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列. 所以()1112133n nn a --⨯=⨯-，即()1213nn n a ⎡⎤=--⎣⎦.18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T【答案】（1）n a =131-n （n *N ∈）;（2）n T =3－131-+n n . 【解析】（1）由1a 2a 3a =271，及等比数列性质得32a =271，即2a =31，由1a +2a +3a =913得1a +3a =910由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=91031312a a a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=910312111q a a q a 所以31012=+q q ，即231030q q +=－解得q =3，或q =31由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =31，得1a =1， 故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈） ………………6分（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ①31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－nn 312- =12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以nT =3－131-+n n . 19．【2017全国卷2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】(1)12n n b -=.(2)6-或21.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩. 所以313236S a d⨯=+=-或3132321S a d ⨯=+=. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++= ，*n ∈N ． （Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．【答案】（Ⅰ)详见解析;【解析】（Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线因为11b =满足该式，所以n b n =21.【2017届安徽省亳州市二中高三下检测】已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()()*111nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-;（Ⅱ）当n 为偶数时， 221n n S n =-+.当n 为奇数时， 2221n n S n +=-+.（Ⅱ）由21n a n =-，可得()()()()()1141111121212121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭，当n 为偶数时，111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时， 1n +为偶数，于是1111111122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2n nS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-试题解析：（1）由已知，121242n n n a --=⋅=，则2log 21n a n =-．设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则()21212n n S n n +-=⋅=，()22224n S n n ==． 所以24n nS S =，故数列{}2log n a 是“和比数列”． （2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d -++-T ==-T +-+ 因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n d p n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩因为0d ≠，则4p =，4d = 所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第三次联考
浙江省名校新高考研宂联盟（Z 20联盟）2019届第三次联考英语试题卷第1页共8页C. He saw a doctor.C. Apply for a credit card. C. Snowy. C. Strangers. C. She will call the man back.绝密★考试结束前（2019年5月仿真联考）浙江省名校新高考研究联盟（Z 20联盟）2019届第三次联考英语试题卷命题：富阳中学王璐、等审稿：嘉善高级中学翦永华元济髙级中学曹丽燕校稿：韩勤华、沈叶飞第I 卷注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
3. 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到 答题卡上。
第一节：（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A 、B 、C三个选项中选出最佳选项， 并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What did the man do yesterday? A. He went to basketball practice. B. He went to the office.2. What does the man want to do?A. Open a checking account.B. Start a savings account.3. What will the weather be like this weekend?A. Wet.B. Dry.4. What’s the relationship between the speakers?A. Interviewee and interviewer.B. Passenger and taxi driver.5. What does the woman mean?A. She has to leave.B. She wants more tea.第二节：（共15小题；每小题1.5,满分22.5分）听下面5段对话或独白。
专题07 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题07 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3， 故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为 A ．1B 2C ．12D ．2【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ， 所以向量a 在b 方向上的投影的数量为2cos ,22⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】把点()3,2A 按向量()1,4=a 移到点B ，若2OB BC =-（O 为坐标原点），则C 点坐标为A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6， 所以()4,6B ，设(),C x y ，则()4,6OB =，()4,6BC x y =--，又2OB BC =-，所以()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以()2,3C . 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题.求解时，点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6，设(),C x y ，求得OB ，BC ，再利用2OB BC =-列方程组可得：()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解方程组即可.3．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【答案】D【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤…m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据()2⊥+m m n ，得()20⋅+=m m n ，再根据4=n m 进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．4．【湖南师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】连接AC ，根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =， 所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.解答本题时，根据题意得：1()2AF AC AE =+，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.5．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷数学试题】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b 25，则实数m = A ．2± B ．2 C ．5±D 5【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )12mm =+=⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b（此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.6．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ， 故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到m ，进而利用数量积的坐标运算得到结果. 7．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+， 由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0， 可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 8．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()+⊥λa b c ，则实数=λA ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23-+λλλa +b =，又()+⊥λa b c ，所以()0+⋅=λa b c ，即()()412+523=0-+λλ，解得= 2-λ. 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.求解时，由,a b 的坐标，表示出λa +b ，再由()+⊥λa b c ，得到()()412+523=0-+λλ，进而可求出结果. 9．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，27-=a b ，则=bA ．12B 7C ．1D ．2【答案】C【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ， 又,120=︒a b ，1=a ，27-a b ， 所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b . 故选C.【名师点睛】本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或22=a a 求解.求解时，先对27-=a b 两边同时平方，代入已知条件，即可解得b .10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知向量a ，b 满足2=a ，且()40+=>λλa b a ，则当λ变化时，⋅a b 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4-=λa b ，得2(1)4-=⋅λa a b ，因为||2,0=>λa ，所以11⋅=->-λa b ， 故选D.【名师点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题.求解时，由向量数量积得1⋅=-λa b 即可求解.11．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学试题】已知向量,a b 满足1=a ，(),2t t =-b ，-a b与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ． 又由222+-=-⋅a b a a b b ()22=12+[2]t t -+-()2=211t -+ 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得()2211t -=-+a b 根据二次函数的性质，即可求解．12．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是A ．95- B ．0 C ．45-D ．1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知cos B =， 设BP x =，则5CP x =， ∴2565()1()(5)(1)EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-=-， 05x 剟，∴当355x =时，EP BP ⋅取得最小值95-． 故选A ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．13．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________．【答案】4π 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ， 设4+a b 与a 的夹角为θ， 则2cos 5025525θ===⨯⨯， 因为[]0,π∈θ，故π4=θ， 故填4π. 【名师点睛】解答时，先计算出k ，再求出4+a b 与a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=⋅a a a ；（2）计算角，cos ,⋅=a b a b a b.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0⋅=a b . 14．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知向量()cos ,sin =θθa ，向量(1,=-b ，则3-a b 的最大值是______.【答案】6【解析】由题意，向量()cos ,sin =θθa ，则()33cos ,3sin =θθa ，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3-a b 最大，最大值为6.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的坐标表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的坐标表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．求解时，由向量()cos ,sin =θθa ，得到向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，即可求解，得到答案．15．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABC △中，D 为BC 的中点，且33BC AD ==，则AB AC ⋅=_______． 【答案】54- 【解析】()()22AD DB A AB A D DC C AD BD =++=-⋅⋅95144=-=-. 【名师点睛】本题主要考查向量的基向量表示及向量运算，选择已知信息较多的向量作为基底，是求解这类问题的重要策略.求解时，用AD 表示出所求向量，利用数量积相乘可得结果.。
2019届高考数学(理)一轮复习讲练测：专题6.2 等差数列及其前n项和(测)(解析版)
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++=.2．【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B.3． 数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B 【解析】4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） （A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：因为112124912()6()722a a S a a +==+≥=，当且仅当496a a ==时取等号，所以12S 的最小值为72，选D.5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31 【答案】D【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+=-+，)(23313n n a a nS +=，所以3132=-n n n S S S .6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得d k k ka d a 2)1(2)17(7711-+=-⨯+，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B.7．【2019新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n +【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用． 【答案】A8．【2019新课标II 学易大联考一】《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，是基础题. 【答案】D【解析】由题知该女每天所织尺数等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则7S =177()2a a +=47a =21，所以4a =3，因为258a a a ++=53a =15，所以5a =5，所以公差54d a a =-=2，所以10a =55a d +=15，故选D.9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为nS 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．12．【2019浙江理6】如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且1n n A A +=12n n A A ++，2n n A A +≠，n ∈*N ，112n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，n ∈*N （P Q≠表示点P 与点Q 不重合）.若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.S nB 1B 2B nB 3B n+1A n+1A 3A nS 1S 2A 2A 1••••••••••••••••••A. {}n S 是等差数列B.2{}n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.2{}n d 是等差数列【答案】A ．【解析】设点n A 到对面直线的距离为n h ，则112n n n n+S h B B =. 由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，则1212n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，那么11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅.由题目中条件知112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.所以()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2019江苏8】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ．【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则948320a =-+⨯=．14.【2019北京理12】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6S =__________.【答案】615．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．【答案】(1)()61n -；(2)8.16．【2019届江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：令1(1)n a a n d =+-，则1(1)2n n n S na d -=+， 又2n n a S An Bn C +=++ 所以2211(1)22d da n d na n n An Bn C +-++-=++ 即得2d A =，12dB a =+，1C a d =- 所以11122322d d B C a a d A d d +-=++-+=+因为0A >，所以0d >232d d +≥=232d d =即d =所以1B C A+-的最小值为故答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2019届广东省惠州市高三第一次调研考试】（本题10分）已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k = 【解析】18．【2019届宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b = （1）求n a 与n b ；（2）求nS S S 11121+++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)n nS n =+【解析】19．【2019全国甲理17】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和． 【答案】（1）0,1,2；（2）1893． 【解析】20．【江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+． 【解析】试题分析：（1） 由21()1+f x px qx=+，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，可利用展开式含未知量的系数为0，求得2a ；（2）由已知求出数列前两项，再由(3)nx n ≥的系数为0得到数列的递推式，代入12n n n n a b a a ++=后利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，放大后证得32n S <； （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a 的通项公式．21.【2019年山西高三四校联考】（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，11,552==a a ，数列}{n b 的前n 项和n n a n S +=2. （Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11n n b b 的前n 项和n T ．【答案】（I ）12+=n a n ，⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4n n n b n ；（II ）)32(2016+-=n n T n ．（2）n=1时，2011211==b b T ， n ≥2时，)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n b b n n ， 所以 )32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分） 22.【2019年江西师大附中高三二模】（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.【答案】（I ）；（II）32-+．【解析】 （Ⅱ）∵点在函数的图像上，∴，又∵，∴ -------------7分 如图，连接MN ，在中，由余弦定理得1a ()11,M a -1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭φπ<34φπ=MPN ∆。
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绝密★启用前2019届浙江省高三新高考优化提升卷（一）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若集合()5A =∞-，，[)3,B =+∞，则()()R R C A C B =U （） A ．R B ．∅C ．[)3,5D ．()[),35,-∞+∞U答案：D根据补集和并集的定义进行求解即可． 解：[)()()()()[)5,,3,35,R R R R C A C B C A C B =+∞=-∞⋃=-∞⋃+∞，，，故选：D ． 点评：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键． 2．双曲线22941y x -=的渐近线方程为（） A ．49y x =± B ．94y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±答案：C根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得a 、b 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案． 解：根据题意，双曲线22941y x -=的标准方程为2211194y x -=， 其焦点在y 轴上，且13a =，12b =， 则其渐近线方程为23y x =±；故选：C ． 点评：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为()A ．123B ．363C ．273?D ．6答案：B试题分析：由三视图，可知：该三棱柱的底面为高为的正三角形，边长为，底面面积为三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为．【考点】1．三视图；2．几何体的体积．4．己知复数z 满足()253zi i π=+，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由()253zi i π=+，得()()()()222296369i i i i i iπππππ-+-+==---， ()26+9z i ππ∴=-，则在复平面内对应的点的坐标位于第一象限． 故选A ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．函数为自然对数的底数的图象可能是A ．B ．C ．D ．答案：C为自然对数的底数是偶函数，由此排除B 和D ，，由此排除A ．由此能求出结果．解： ∵（e 为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e 为自然对数的底数）的图象关于y 轴对称，由此排除B 和D ， ∴，由此排除A ． 故选：C ． 点评：本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 答案：C 解：解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确； 在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误． 故选：C ．7．五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为ξ，则=E ξ（）A ．516B ．1116C ．58D ．12答案：B推导出()2234234444111111112222216P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()115011616P ξ==-=，由此能求出E ξ． 解：五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择． 若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分； 若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，()2234234444111111112222216P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()115011616P ξ==-=， 11511=1+0=161616E ξ∴⨯⨯．故选：B ． 点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若11910S S S >>，则（） A ．0d < B ．110a <C ．190S …D ．180S <答案：D因为11910S S S >>，可得11100,0a a ><，所以公差0d >，则90a <，利用等差数列的前n 项和，即可求出结果. 解：因为11910S S S >>，即1011109910,S a S S S a +>>+，所以11100,0a a ><，所以公差0d >，则90a <，所以()()1191891019101990,1902a a S a a S a +=+<==<.故选：D. 【点精】本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题.9．平面向量a r ，b r 满足，2()40a a b -⋅-=rr r ，3b =r ，则a r 最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B设向量a r ，b r的夹角为θ，由已知结合向量数量积的定义可得2||443cos a a a aθ-==-rr rr ，结合向量夹角的范围可求. 解：解：设向量a r ，b r的夹角为θ，240a a b -⋅-=rQ r r ，3b =r ，243cos a a b a θ∴-=⋅=r r r r，2||443cos a a a aθ-∴==-rr r r ，且0a ≠r r 0θπ≤≤Q ， 1cos 1θ∴-≤≤，433a a-≤-≤r r ，0a >Q r，解可得，14a ≤≤r ，即a r最大值是4． 故选B ． 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题．10．如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是,4PQ π是正方形BCEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（）A ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D由题意可知4ECD π∠=，设点D 在平面BCEF 内的投影为点G ，则易得点G 在线段CE 上，可得6DBG π∠=.由最小角定理得当直线PQ 与直线BG 重合时，直线BD 与直线PQ 所成的角取得最小值6π，当直线PQ 与直线BG 垂直时，BD PQ ⊥，此时直线BD 与直线PQ 所成的角取得最大值2π，由此即可求出结果. 解：因为正方形ABCD 与正方形BCEF 所成二面角的平面角的大小是4π，所以4ECD π∠=.设点D 在平面BCEF 内的投影为点G ，则易得点G 在线段CE 上，且22DG CD =，又因为2BD CD =，所以6DBG π∠=.由最小角定理得当直线PQ 与直线BG 重合时，直线BD 与直线PQ 所成的角取得最小值6π，当直线PQ 与直线BG 垂直时，BD PQ ⊥， 此时直线BD 与直线PQ 所成的角取得最大值2π，所以直线BD 与直线PQ 所成角的取值范围为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点精】本题考查二面角、异面直线的夹角，注意两条异面直线所成角的取值范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，本题属于中档题. 二、填空题11．设函数()()()()22211log 11x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩,设函数()()4f f = ．若()1f a =-,则a = ．答案：5,1或12试题分析：()()24(31)log 325f f f =-==；()22111log (1)1211a a f a a a <≥⎧⎧=-⇒⎨⎨-=--+=-⎩⎩或所以112a a ==或【考点】分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12．若，满足约束条件，则的最小值为 ．答案：试题分析：由不等式组作出可行域，如图，目标函数可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线的距离平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线的距离为，所以所求最小值为.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.13．已知*23,5nn N x x ⎛∈ ⎝的展开式中存在常数项，则n 的最小值为________. 答案：5在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于0,求出n 与r 的关系,可得n 的最小值. 解：二项式235nx x ⎛ ⎝的展开式的通项为2()25135,0,1,2,,5rrr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎛=== ⎝⎝⎭⋅L ，因为二项式235nx x ⎛- ⎝的展开式中存在常数项，所以250n r -=有解，即52r n =有解，则当2r =时，n 取得最小值5.故答案为:5. 点评：本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题．14．已知平面向量,a b r r ，满足||||2a b a b ==⋅=r r r r ，且()()0a c b c -⋅-=r r r r，记()||()f a b c R λλλ=++∈r r r的最小值为()M c ，则()M c 的取值范围是____________.答案：33331,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则由()()0a c b c -⋅-=r r r r 得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，所以点C 在以AB为直径的圆上.且可得向量,a b r r 的夹角为3π，则2AB =.取AB 的中点,M BC 的中点N ，则()|||2||2()|f a b c OA ON ON OA λλλλ=++=+=--r r r u u u r u u u r u u u r u u u r，函数()f λ的最小值为点N 到直线OA 的距离的2倍.根据圆的性质可得出答案. 解：设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则由()()0a c b c -⋅-=r r r r 得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，所以点C 在以AB为直径的圆上.因为||||2a b a b ==⋅=r r r r ，所以向量,a b r r的夹角为3π，则2AB =.取AB 的中点,M BC 的中点N ，则()|||2||2()|f a b c OA ON ON OA λλλλ=++=+=--r r r u u u r u u u r u u u r u u u r，函数()f λ的最小值为点N到直线OA 的距离的2倍.记点N 到直线OA 的距离为N OA d →，则有()2N OA M c d →=.在圆M 中，点N 为圆M 的弦BC 的中点，所以MN BC ⊥，则点N 在以MB 为直径的圆上.设MB 的中点为P ，则有111242PN MB AB ===， 则()()maxmin 331331,22N OA P OA N OA P OA d d PN d d PN →→→→=+=+=-=-， 所以3333()21,1N OA M c d →⎡⎤=∈-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：33331,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.点评：本题考查平面向量的运算.根据平面向量的线性运算将向量的模的运算转化为点到直线的距离问题是解题的关键,属于难度题. 三、双空题15．ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =60b A ==︒，则角B =______，ABC V 的面积是__________.答案：45根据正弦定理，即可求出B 的值；再根据三角形的面积公式，即可求出结果. 解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a b A B =，则sin sin 2b A B a ===，又因为b a <，所以B A <，所以45B =︒，则75C =°，则ABC V 的面积为113sin 75224ab C =︒=. 【点精】本题考查正弦定理、三角形的面积公式，注意根据三角形中“大边对大角”确定角B 的取值范围，本题属于基础题.16．偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________，则若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是__________． 答案：2310,4⎛⎤ ⎥⎝⎦根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 解：Q 偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x ∴=+，即函数()f x 是周期为2的周期函数， 则44222233333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若10x -≤≤，则01x ≤-≤，则()()f x x f x -=-=，即()f x x =-，10x -≤≤，由()()g x f x kx k =--得()()1f x k x =+，要使函数()()g x f x kx k =--有4个零点等价为函数()f x 与()()1h x k x =+有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：()h x 过定点()1,0A -，()31f =，则k 满足()031h <≤，即041k <≤，得104k <≤， 即实数k 的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦， 故答案为23，10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦点评： 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．17．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有__________个；构成等比数列的有__________个．答案：4517利用等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论即可得出．解：①百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差0d =时，共有9个：111， (999)公差1d =时，共有7个：123， (789)公差2d =时，共有5个：135， (579)公差3d =时，共有3个：147，258，369．公差4d =时，共有1个：159．同理可得：公差1d =-时，共有8个，987，……，321，210．公差2d =-时，共有6个．公差3d =-时，共有4个．公差4d =-时，共有2个．综上共有45个．②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比1q =时，共有9个：111，……，999． 公比2q =时，共有2个：124，248．公比12q =时，共有2个：421，842． 公比3q =时，共有1个：139．公比13q =时，共有1个：931． 公比32q =时，共有1个：469．公比32q =时，共有1个：964． 综上共有：17个．故答案为45，17．点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题18．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭u r r ，记()f x m n =⋅u r r ， （1）若3()2f α=，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若()f A =ABC V 的形状， 答案：（1）1（2）等边三角形（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换法则，将函数解析式化为“一角一函”的形式，根据函数值求解自变量的取值，进而得到所求的余弦值；（2）根据题中的边角关系结合正弦定理求解角B 的大小，根据（1）中的结论及函数值求解角A 的大小，进而确定ABC V 的形状，解：（1）由已知可得2()cos cos 444x x x f x =+11cos 22222x x =++ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由3()2f α=，可得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 即sin 126απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,262k k Z απππ∴+=+∈24,3k k Z παπ∴=+∈， 222cos cos 41333k πππαπ⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （2）(2)cos cos a c B b C -=Q ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=，1sin 0,cos ,23A B B π≠∴=∴=Q ，111()sin 22622A f A π⎛⎫=∴++= ⎪⎝⎭Q ， 可得263A ππ+=或23π，解得3A π=或π， 又20,33A A ππ<<∴=Q ， ABC ∴V 为等边三角形，点评：本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换、正弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE//平面BMD(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.答案：(1)见解析；（2）5 cosθ=.(1)连接ME，通过对边关系得到四边形BCEM为平行四边形，所以CE BMP，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角.解：（1）连接ME，因为点,M E分别是,PA PD的中点，所以1,2ME AD ME AD=P，所以,BC ME BC ME=P，所以四边形BCEM为平行四边形，所以CE BMP.又因为BM⊂平面BMD，CE⊂平面BMD,所以CE P平面BMD.（2）如图，以A为坐标原点建立空间坐标系O xyz-，则又1,1,12CQ⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u v，()1,0,1CE=-u u u v设平面CEQ的法向量为(),,n x y z=，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n=，设直线PA与平面CEQ所成角大小为θ，于是2sin 3θ==，进而求得cos θ=. 点评：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．20．已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足{}22,n n S n n b =+是正项等比数列，且121,b b =是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：112233111154n n a b a b a b a b ++++<++++L . 答案：（1）n a n =；12n n b -=（2）证明见解析；（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n 项和的关系求解数列{}n a 的通项公式，根据等比中项的概念求解数列{}n b 的公比，从而得到其通项公式；（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.解：（1）当2n …时，由22n S n n =+， 得212(1)1n S n n -=-+-，相减得22,n n a n a n =∴=.当1n =时，11a =符合上式，n a n ∴=.设{}n b 的公比为q ，由题意得2214b a a =⨯，即24q =， 又10,2,2n n q q b ->∴==.（2）证明：由题意得1111122n n n n a b n --=<++，1122331111n na b a b a b a b ∴++++++++L 231111*********n -<+++++++L 21114231412n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-131154224n -⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭. 点评： 本题考查数列的通项与前n 项和的关系，等比中项，等比数列求和以及放缩法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)P. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+不过P 点且与椭圆C 相交于,A B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率和为2，证明：直线l 过定点.答案：（1）2213x y +=；（2）证明见解析． （1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求解椭圆的基本量，进而得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程得到一元二次方程，利用韦达定理结合直线的斜率的关系得到,k m 的关系，化简直线方程，进而证得直线过定点．解：（1）解：由于椭圆C 经过点(0,1)P ，得1b =，又离心率为3c e a ==，则3c a =， 又∵222a b c =+，∴23a =，22c =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=； （2）证：设直线PA 与直线PB 的斜率分别为12,k k ，将:(1)l y kx m m =+≠代入2213x y +=中， 得()222136330k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，此时可得()2212310k m ∆=+->，122613km x x k -+=+，21223313m x x k-=+， ∴12121211y y k k x x --+=+ ()()21121211x kx m x kx m x x +-++-= ()1212(1)2m x x k x x -+=+ 222211km k k m m -=+==++， 则1m k =-，此时()2212310k m∆=+->有解，∴直线l 为1y kx k =+-，∴直线l 恒过定点(1,1)--．点评： 本题主要考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．22．已知函数()3292627f x x x x =-+-+． （1）若()f x 在()1212,x x x x x =≠处导数相等，证明：()()12f x f x +为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点，求实数a 的取值范围.答案：（1）6；（2）(],039⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎪⎣⎭U （1）求出原函数的导函数，结合在()1212,x x x x x =≠处导数相等及根与系数的关系可得126x x +=，从而求得()()12f x f x +为定值6；（2）由()()63f x x =-'-'，可知函数()f x 在()0,3的图象为下凸，在()3+∞，的图象为上凸，求得函数的极大值点3,339M ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，再由直线y kx a =+过点()0,a ，然后对a 分类讨论求使直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点的实数a 的取值范围．解：（1）证明：()3292627f x x x x =-+-+，()231826f x x x ∴+'=--， 由题意得，126x x +=，则()()3232121112229262792627f x f x x x x x x x +=-+-+-+-+ ()()()332212121292654x x x x x x =-+++-++()()()222212112212+926654x x x x x x x x =-+-++-⨯+()()22121212126392102x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-++--⎣⎦⎣⎦ ()()121263639362102x x x x =--+--121221618324181026x x x x =-++--=；（2）解：()()61863f x x x =-+=-'-'，∴函数()f x 在()0,3的图象为下凸，在()3+∞，的图象为上凸，记()()3,3P f ，求得P 处()f x 的切线为y x =，再记()0,Q a ，由()0f x '=，求得()f x 的极大值点为339M ⎛++ ⎝⎭，①当39a ≥+时，直线y kx a =+与曲线()y f x =显然只有唯一公共点；②当339a ≤<+时，直线QM 斜率为正，且与曲线()y f x =有三个公共点，舍去；③当03a <<时，直线QP 斜率为正，且与曲线()y f x =有三个公共点，舍去； ④当0a ≤时，若()0,PQ k k ∈，P 在直线上方，直线y kx a =+与曲线()y f x =的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；若PQ k k =，直线y kx a =+与曲线()y f x =）交于P 点，与上凸部分和下凸部分均不相交；若(),PQ k k ∈+∞，P 在直线下方，直线y=kx+a 与曲线()y f x =的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．综上，a 的取值范围为(],039⎡⎫-∞⋃++∞⎪⎢⎪⎣⎭． 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档题．。