专题复习2 函数与几何(含答案)-

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二次函数与几何综合(讲义和习题)含答案

二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补．具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________．y xCB AO提示：（1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢ 知识点睛1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________． 2. 研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．=6时，点G的坐标为_______________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD关于l的对称点为E，求点E的坐标．（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5. 如图，抛物线y =ax 2-5ax+4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点G 的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练（2）(3，0)或(-2，-5)3.（1）y=x2-2x-3；（2）m=4或m=-1．二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．(2+2x-3第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ，易得l AC ：y =-x -3设点P 的横坐标为t ，则P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴2139()222ACP C A S PQ x x t t =⋅-=--△（-3＜t ＜0） ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-，∴当32t =-时，S △ACP 最大，为278．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；当四边形是□ABEF时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．➢巩固练习1.如图，直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A，B两点，C是抛物线的顶点．（1）在直线AB上方的抛物线上有一动点P，当△ABP的面积最大时，点P的坐标为__________________．（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，则M，N两点的坐标为_______________．2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且112αβ+=-．抛物线的对称轴为直线l，与y轴的交点为点C，顶点为点D，点C关于l的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为_________．（2）连接CD，在直线CD下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G的坐标为______________．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为_______．3.已知抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△BCQ与△BCP的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是抛物线上一动点，点F是x轴上一动点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b与y轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴l上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】1.（1）23 (1)4，；（2）M1(-10，-19)，N1(-20，-14)；M2(12，-30)，N2(2，-25) 2.（1）y=-x2+4x+2；（2）G1(-1，-3)，G2(3，5)；（3）1(40)Q，2(40)Q，3(0)Q，40)Q3.（1）y=-x2+4x-3；（2）存在，Q1(1，0)，237 (22Q --，，337(22Q+-+，；（3）存在，F1(7，0)，F2(-1，0)．4. （1）211222y x x =--；（2）3x =（3）存在，1313()28P -，，2113()28P --，，3117()28P -，．。

第八讲二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)

第八讲二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。

广西中考数学专题复习题型(四)二次函数与几何综合(含

题型（四）二次函数与几何综合1.（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线21144y x x c =++与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，215）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D . (1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点.①求证：APM AON △∽△；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC 的表达式为：y=34x+3；（2）①证明见解析；②52024m m ++ 【解析】试题分析：（1）把点C(6,152)代入21144y x x c =++中可求出c 的值；令y=0，可得A 点坐标，从而可确定AC 的解析式；（2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=34，得∠OAB=tan∠OAD，再由M 就PQ 的中点，得OM=MP ，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明APM AON △∽△；②过M 点作ME⊥x 轴，垂足为E ，分别用含有m 的代数式表示出AE 和AM 的长，然后利用APM AON △∽△即可求解.（1）把点C(6,152)代入21144y x x c =++解得：c=-3∴211344y x x =+-当y=0时，2113=044x x +-解得：x 1=-4，x 2=3∴A（-4，0）设直线AC 的表达式为：y=kx+b(k≠0)把A （-4，0），C(6,152)代入得0=-4+b 15=6+2k k b ⎧⎪⎨⎪⎩解得343.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的表达式为：y=34x+3. (2)①在RtΔAOB 中，tan∠OAB=34OB OA =.在RtΔAOD中，tan∠OAD=34ODOA=，∴∠OAB=∠OAD.∵在RtΔPOQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO. ∵∠MPO=∠AON，∴∠APM=∠AON.∴ΔAPM∽ΔAON.②如图,过点M作ME⊥x轴于点E.又∵OM=MP，∴OE=EP.∵点M横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4.∵tan∠OAD=34，∴cos∠EAM=cos∠OAD=45.∴AM=54AE=5(4)4m+.∵ΔAPM∽ΔAON，∴AM APAN AO=.∴AN=52024AM AO mAP m+=+g.考点：二次函数综合题.2.（2017重庆A卷第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=33x2﹣233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=33x2﹣233x3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=33x+33．（2）3，（3）点Q 的坐标为（3，-43+2213），Q′（3，-43-2213）或（3，23）或（3，﹣235）．【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为y=33(x+1)(x-3),从而可得到点A 和点B 的坐标，然后再求得点E 的坐标，设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入，求得k 和b 的值，从而得到AE 的解析式；（3）由平移后的抛物线经过点D ，可得到点F 的坐标，利用中点坐标公式可求得点G 的坐标，然后分为QG=FG 、QG=QF 、FQ=FQ 三种情况求解即可. 试题解析：（1）∵y=33x 2﹣233x ﹣，∴y=33（x+1）（x ﹣3）． ∴A（﹣1，0），B （3，0）．当x=4时，y=33． ∴E（4，533）．设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入得：-05343k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：k=33，b=33．∴直线AE的解析式为y=33x+33．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣3，将点E的坐标代入得：4m﹣3=533，解得：m=233．∴直线CE的解析式为y=233x﹣3．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，3x2﹣23x﹣3），则点F（x，23x﹣3），则FP=（233x﹣3）﹣（33x2﹣233x﹣3）=3-3x2+433x．∴△EPC的面积=12×（3-3x2+433x）×4=﹣233x2+833x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣3）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（323．∵点H 与点K 关于CP 对称， ∴点H 的坐标为（32，﹣33）．∵点G 与点K 关于CD 对称，∴点G （0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O 、N 、M 、H 在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值=GH ． ∴GH=22333（）+()22=3．. ∴KM+MN+NK 的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D ，y′的顶点为点F ， ∴点F （3，﹣33）． ∵点G 为CE 的中点， ∴G（2，33）． 22532211+（）=33． ∴当FG=FQ 时，点Q （3，-43+2213），Q′（3，3-2213）．当GF=GQ 时，点F 与点Q″关于3∴点Q″（3，3．当QG=QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：a+43 3=2231+（-a）3，解得：a=﹣235．∴点Q1的坐标为（3，﹣23）．综上所述，点Q的坐标为（3，-43+221），Q′（3，-43-221）或（3，23）或（3，﹣23）．考点：二次函数综合题.3.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y 轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；.（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．【答案】（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=14AC．【解析】试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得AMAB，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=12AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得424064840a ba b⎧-+=⎨++=⎩，解得1432ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的表达式为y=﹣14x 2+32x+4；（2）设点N 的坐标为（n ，0）（﹣2＜n ＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n ． ∵B（﹣2，0），C （8，0）， ∴BC=10，在y=﹣14x 2+32x+4中，令x=0，可解得y=4， ∴点A （0，4），OA=4， ∴S △ABN =12BN•OA=12（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴810AM NC nAB BC -==∴810AMN ABN S AM nS AB -==V V ， ∴38n 11(8)(2)(n 3)51055AMN ABN S S n n -==-+=--+V V ∵﹣15＜0， ∴当n=3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大；（3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点， ∵MN∥AC，∴M 为AB 边中点， ∴OM=12AB ，====∴AB=12AC ， ∴OM=14AC ．考点：二次函数综合题．4.（2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，32）或（2，7）或（2，﹣1+25）或（2，﹣1﹣25）；（3）E 点坐标为（32，34）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B（3，0），C （0，3），把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得 9+3b 03c c ⎧+=⎨=⎩，解得b 43c ⎧=⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P （2，﹣1），设M （2，t ），且C （0，3），∴MC=2222+（3)613t t t -=-+，MP=|t+1|，PC=222+（-1-3）=25，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，（3）如图，过E 作EF⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3）， ∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ， ∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =12EF•OD+12EF•BD=12EF•OB=12×3（﹣x 2+3x ）=﹣32（x ﹣32）2+278， ∴当x=32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（32，34），即当E 点坐标为（32，34）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．5.（2017湖北武汉第24题）已知点(1,1),(4,6)A B -在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F 的坐标为(0,)(2)m m >，直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接,FH AE ，求证//FH AE ；（3）如图2，直线AB 分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，2个单位长度，同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，2QM PM =，直接写出t 的值．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=12x 2-12x ；（2）证明见解析；（315113±1389±.【解析】试题分析：（1）把A ，B 两点坐标代入2y ax bx =+，解方程组求出a ，b 的值，即可得到二次函数解析式；（2）过点A作AN⊥ｘ轴于点N，则N(-1，0)，再求出E点坐标，从而可求tan∠AEN=12,再求出直线AF的解析式与抛物线方程联立,求出点G的坐标,则可得到tan∠FHO=12，从而得证；（3）进行分类讨论即可得解.试题解析：（1）∵点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上∴a-b=1，16a+4b=6解得：a=12，b=-12∴抛物线的解析式为：y=12x2-12x（2）过点A作AN⊥x轴于点N，则N(-1，0)∴AN=1当y=0时，12x2-12x=0解得：x=0或1 ∴E（1，0）∴EN=2∴tan∠AEN=AN1= EN2设直线AF的解析式为y=kx+m∵A (-1,1)在直线AF上，∴-k+m=1即：k=m-1∴直线AF的解析式可化为：y=(m-1)x+m与y=12x2-12x联立，得（m-1）x+m=12x2-12x∴(x+1)（x-2m）=0 ∴x=-1或2m∴点G的横坐标为2m ∴OH=2m∵OF=m∴tan∠FHO=FO 1=HO 2∴∠AEN=∠FHO ∴FH∥AE （3）151136±；13892±.考点：二次函数综合题.6.（2017湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以,,B C D 为顶点的三角形与ABC △相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE x ∥轴玮抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积； (4)若点K 为抛物线的顶点，点()4,M m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点P ，Q ，使四边形PQKM 的周长最小，求出点P ，Q 的坐标.【答案】(1) y=x 2﹣4x ﹣5，(2) D 的坐标为（0，1）或（0，103）；(3) 当t=52时，四边形CHEF 的面积最大为252．(4) P （137，0），Q （0，﹣133）．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D 的坐标；（3）先求出直线BC 的解析式，进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点P ，Q 的位置，进而求出P ，Q 的坐标．试题解析：（1）∵点A （﹣1，0），B （5，0）在抛物线y=ax 2+bx ﹣5上，∴50 25550a ba b⎧--=⎨+-=⎩，∴a=1=-4b⎧⎨⎩，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，2要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有AB BCCD BC=或AB BCBC CD=，①当AB BCCD BC=时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当AB BCBC CD=时，5252=，∴CD=253，∴D（0，103），即：D的坐标为（0，1）或（0，103）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣52）2+254，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=12CE•HF=﹣2（t﹣52）2+252，当t=52时，四边形CHEF的面积最大为252．（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=73x﹣133，∴P（137，0），Q（0，﹣133）．考点：二次函数综合题．7.（2017新疆建设兵团第23题）如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．3①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；(2)①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形；理由见解析，(3) 点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．【解析】试题分析：（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．试题解析：（1）当y=0时，0=﹣12x2+32x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BA D，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC 是平行四边形，∵AC=221+2=5，BC=222+4=25，AB=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ACB 是直角三角形， ∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC 是矩形；（3）由题意可得：BD=5，AD=25，则12BD AD =，当△BMP∽△ADB 时，12PM BD BM AD ==，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P （1.5，1.25），当△BMP 1∽△ABD 时， P 1（1.5，﹣1.25），当△BMP 2∽△BDA 时，可得：P 2（1.5，5），当△BMP 3∽△BDA 时，可得：P 3（1.5，﹣5），综上所述：点P 的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．考点：二次函数综合题．8.(2017河南第23题)如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B .（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ， ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.【答案】（1）B （0，2），2410233y x x =-++；（2）①点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）；②m=-1或m=14-或m=12. 【解析】试题分析：(1) 把点(3,0)A 代入23y x c =-+求得c 值，即可得点B 的坐标；抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，即可求得b 值，从而求得抛物线的解析式；（2）由MN x ⊥轴，M （m ，0），可得N(2410,233m m m -++ )，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M 的坐标；②分N 为PM 的中点、P 为NM 的中点、M 为PN 的中点3种情况求m 的值. 试题解析：（1）直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ， ∴2303c -⨯+=，解得c=2 ∴B（0，2），∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ， ∴2433203b -⨯++=，∴b=103∴抛物线的解析式为2410233y x x =-++；（2）∵MN x ⊥轴，M （m ，0），∴N(2410,233m m m -++ )①有（1）知直线AB 的解析式为223y x =-+，OA=3，OB=2∵在△APM 中和△BPN 中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，若使△APM 中和△BPN 相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，分两种情况讨论如下：（I ）当∠NBP=90°时，过点N 作NC y ⊥轴于点C ，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ， BC=22410410223333m m m m -++-=-+ ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠BNC=∠ABO， ∴Rt△NCB∽ Rt△BOA∴NC CB OB OA = ,即24103323m mm -+= ，解得m=0（舍去）或m=118 ∴M（118，0）；（II ）当∠BNP=90°时， BN ⊥MN ，∴点N 的纵坐标为2，∴24102233m m -++= 解得m=0（舍去）或m=52∴M（52，0）；综上，点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）； ②m=-1或m=14-或m=12.考点：二次函数综合题.9.(2017四川泸州第25题)如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ∆∆,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.【答案】（1）223212++-=x x y ；（2）满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D ；（3）当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.【解析】试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：)4)(1(-+=x x a y ；因为抛物线图像过点)2,0(C ,,24=-∴a 解得21-=a所以抛物线的解析式为：)4)(1(21-+-=x x y即：223212++-=x x y (2)设BD 直线与y 轴的交点为),0(t M8,24;2tan tan ;,±==∴=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠t t CAO MBA CAO MBA CAO DBA 即：Θ当8=t 时，直线BD 解析式为：82+-=x y⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)2,3(D当8-=t 时，直线BD 解析式为：82-=x y⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=185,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立所以，点)18,5(--D综上：满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D （3）：过点P 作PH//y 轴交BC 直线于点H ，设)22321,(2++-y t t P BC 直线的解析式为221+-=x y 故：)221,(+-t t H ;2212t t y y PH H p +-=-=∴AP 直线的解析式为：;2120),1)(221(t y x x t y -==++-=得：取故：;21)212(2),212,0(t t CF t F =--=-;5,221)1)(22(t t x x y x t y E -=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=解之得：联立)55)(221(21))((2121t t t t x x y y S E B H P --+-=--=∴；ttt S -⋅⋅=52212 ttt t t t t S S ----+-=-∴5221)55)(221(21221 即：;625)35(235232221+--=+-=-t t t S S所以，当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.10.（2016·湖北随州·12分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的运动时间t=+=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4．11.（2016·湖北武汉·12分）抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；（2）如图2，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P运动时，OCOFOE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．xx yyPFEA B C O O CB A【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。

专题二次函数与几何变换

A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x-1）2+4 C．y=-（x-1）2+2 D．y=-（x+1）2+4
2、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2
关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y
轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛
物线的解析式为（）
A．y=-x2-x+2
B．y=-x2+x-2
(三)、抛物线的旋转
情况一：关于原点成中心对称（即绕原点旋转1800）
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线 y=2x2-4x+3关于原点成中心对称，则抛物线C的解析式为___________。
情况二：关于顶点成中心对称（即绕顶点旋转00）
若抛物线C：y=ax2+bx+c绕顶点旋转180后得到抛物线y=2x2-4x+3，则抛物线C的解析式为___________。
C．y=-x2+x+2 D．y=x2+x+2
3、将抛物线l：y=2x2-4x+3沿直线y=-1翻折得到抛物线l′，则抛物线l′的解析式为 __________
4、已知二次函数y=x2+4x+3的顶点为A，与y 轴交于点B，作它关于以P（1，0）为中心的中心对称的图象顶点为C，交y轴于点D，则四边形ABCD面积为
（二）、抛物线的轴对称
情况一：关于x轴对称：
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线y=2x24x+3关于x轴对称，则抛物线C的解析式为 ___________。
情况二：关于y轴对称：
例题：若抛物线C：y=ax2+bx+c与抛物线 y1=x2-4x+1关于y轴对称，则抛物线C的解析式为___________。

2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题

2023中考数学专题训练：二次函数的实际应用-几何问题1．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.2．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？花圃的面积是多少？3．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2.（1）用x的代数式表示BC的长；（2）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？4．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏48米，设AB长x 米．（1）若AD为y米，直接写出y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围；（2）AB长为多少米时，这个花园的面积最大，并求出这个最大值．5．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙(墙长为40m)，饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A、B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C.（1）若A（-1，0），B （3，0），C（0，-3）①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；（2）如图2，若直线y=bx+t(t>c)与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）.直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.7．某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为米（请用含x的代数式表示）；（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．8．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式．（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．9．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.（1）求y与x的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.10．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）当矩形ABCD空地的面积最大时，利用的墙长是多少m；并求此时的最大面积．11．某社区决定把一块长为50m、宽30m的矩形空地建为居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区均为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的四个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）求y与x的函数表达式并求出自变量x的取值范围，（2）求活动区最大面积．12．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.（1）求y关于x的函数表达式．（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．14．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求△P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当△P的半径为1时，若△P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D （m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos△APD的大小．15．如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？16．如图，抛物线y=ax2- 43x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（-1，0），且抛物线经过点D（2，-2）。

二次函数与几何图形综合(压轴题)-含答案

二次函数与几何图形综合题类型一线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点．①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标； (3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，则点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．−14≤b≤1B．−54≤b≤1C．−94≤b≤12D．−94≤b≤13．如图所示，∥ABC为等腰直角三角形，∥ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC 与DE在同一直线上，∥ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，等腰Rt∥ABC（∥ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让∥ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，∥BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，∥ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∥AB于点D，设运动时间为x（s），∥ADP的面积为y （cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=∥C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），∥BPQ的面积为S （平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时，则S=2 √3t ④当t=9秒时，则BP平分四边形ABCD的面积．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C，当一个点停止运动时，则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．12．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，则S最小B．当C是AB的中点时，则S最大C．当C为AB的三等分点时，则S最小D．当C是AB的三等分点时，则S最大二、填空题(共6题；共7分)13．如图，抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，则∥PAB的面积S的取值范围是．15．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y 轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为16．如图，在∥ABC中，∥B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，则四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，则四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．18．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为拋物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180∘时，则点D的坐标为.三、综合题(共6题；共73分)19．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C 直线l ：y =12x +n 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA ，PD ，求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）y 轴上是否存在点Q ，使∠ADQ =45°，若存在请求点Q 的坐标；若不存在说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过A （﹣4，0），C （2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，∥AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．21．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF =//OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B点坐标；（2）当tan∥EOC= 43时，则显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∥EOC＜3时，则对于每一个确定的tan∥EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，则求tan∥EOC．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，则另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2．（1）BP=cm；（2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求∥MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，则∥MPA是一个等腰三角形？24．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，则求点D的坐标．参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】1.5π14．【答案】3≤S≤1515．【答案】9416．【答案】317．【答案】3；1818．【答案】(−7，−163) 19．【答案】（1）解：将A （-2，0）、B （6，0）代入y=ax 2+bx+3得：{4a −2b +3＝036a +6b +3＝0解得{a ＝−14b ＝1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 （2）解：∵y =12x +n 过点于A(−2，0)，所以n =1 ∴点D 的坐标为(4，3)．如图1中，过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K ．设P(m ，−14m 2+m +3)，则K(m ，12m +1)． ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时，则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时，则PK 的值最大，最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274，P(1，154)．（3）解：存在如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T(−5，6)设DT 交y 轴于点Q ，则∥∠ADQ =45°∵D(4，3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0，133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1，−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0，−9)综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(0，133)或(0，−9)． 20．【答案】（1）解：将A （﹣4，0），C （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得：{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ，解得：{a =12b =1∴抛物线解析式为：y =12x 2+x −4 （2）解：如图，过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时，则y =−4∴B(0，−4) ，即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m∴M(m ，12m 2+m −4) ∴ON =−m ，MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时，则S 有最大值，最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m ， S 的最大值为4．21．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图∵tan∥EOC= 43 ，即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）当y=4时，则﹣（x ﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ √5 （舍去），x 2=3+ √5当y=﹣4时，则﹣（x ﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ √13 （舍去），x 2=3+ √13∴F 点坐标为（3+ √5 ）或（3+ √13 ，﹣4）（3）解：如图，∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1：2时，则OC′=2OC 设OC=t，则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= 3√105，t2=﹣3√105（舍去）∴F点坐标为（3+ 3√105，275）∴E（3，27 5）∴tan∥EOC= 2753= 95．22．【答案】（1）（6-t）（2）解：经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6－t)×2t=－t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．23．【答案】（1）解：6－t；43t（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ∥QA．设∥MPA的面积为SS＝12MA·PQ＝12（6—t）43t＝— 23t2＋4t （0≤t≤6）∴当t ＝3时，则S的最大值为6（3）解：①若MP＝PA ∵PQ∥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2②若MP＝MA 则MQ＝6—2t PQ＝43t PM＝MA＝6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（43t）2∴t ＝10843③若PA＝AM ∵PA＝t AM＝6—t ∴t＝6—t ∴t＝94综上所述， t ＝2或t ＝ 10843 或t ＝ 9424．【答案】（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1，0)、B(3，0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3（2）解：∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 令x =0，则y =3∴C(0，3)∵B(3，0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为：y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ，设P 点坐标为(x ，−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ，−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94．（3）解：∵∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比 OF ：DF=S∥COF ：S∥CDF ＝3：2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ，交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF：FD=OC：CE=3：2∵OC=3∴OE=5∴E（0，5）∴直线EG解析式为：y= -x+5联立方程，得：−x2+2x+3=−x+5解得：x1=1则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；。

中考数学复习攻略专题8 二次函数与几何的综合(含答案)

专题八二次函数与几何的综合题型1 二次函数中与线段相关及最值问题此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y 轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标．突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x ，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关的点横坐标也为x ，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间线段最短”解决．中考重难点突破【例】如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(－1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标； (2)求抛物线的表达式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中第(3)问用函数关系式表示出PD 的长，是解题的关键．【解答】解：(1)由B (－1，0)可得OA ＝OC ＝4OB ＝4. ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)由题意可得抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)＝a (x 2－3x －4).∵点C (0，－4)在抛物线上，∴－4a ＝－4.解得a ＝1.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x －4； (3)∵直线AC 过点C (0，－4)， ∴设其函数表达式为y ＝kx －4.将A (4，0)代入上式，得4k －4＝0.解得k ＝1. ∴直线AC 的表达式为y ＝x －4.过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H .∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°.设P (x ，x 2－3x －4)(0＜x ＜4)，则H (x ，x －4).∴PD ＝PH ·sin ∠PHD ＝22 (x －4－x 2＋3x ＋4)＝－22 x 2＋22 x ＝－22(x －2)2＋22 .∵－22 ＜0，∴当x ＝2时，PD 有最大值，最大值为22 ，此时P (2，－6).如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过O (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32 三点．(1)求二次函数的表达式；(2)若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的表达式；(3)在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于点Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．解：(1)将点O ，A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，94a ＋32b ＋c ＝32．解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝－233，c ＝0.∴二次函数的表达式为y ＝233 x 2－233x ；(2)设C (0，m )，直线CD 的表达式为y ＝kx ＋n .连接BC .∵CD 垂直平分OB ，∴OC ＝BC .∴m 2＝⎝⎛⎭⎫32 2 ＋⎝⎛⎭⎫m －32 2.∴m ＝3 .∴C (0，3 ).又∵直线CD 经过OB 的中点⎝⎛⎭⎫34，34 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，34k ＋n ＝34．解得⎩⎨⎧k ＝－3，n ＝3． ∴直线CD 的表达式为y ＝－3 x ＋3 ；(3)设P ⎝⎛⎭⎫x ，233x 2－233x ，则Q (x ，－3 x ＋3 ).∴PQ ＝－3 x ＋3 －⎝⎛⎭⎫233x 2－233x ＝－233 x 2－33 x ＋3 ＝－233 ⎝⎛⎭⎫x ＋14 2 ＋25324 . ∵－233 ＜0，∴当x ＝－14 时，PQ 的长最大，此时P ⎝⎛⎭⎫－14，5324 .中考专题过关1.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋4m 的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B (0，4)，已知点E (0，1).(1)求二次函数的表达式及点A 的坐标；(2)如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′. ①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′＝n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2取得最小值时点E ′的坐标．解：(1)由题意，得4m ＝4. 解得m ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4.当y ＝0时，－x 2＋4＝0.解得x 1＝2，x 2＝－2. ∵点A 在x 轴负半轴上， ∴A (－2，0)；(2)①由题可知，y E ′＝y E ＝1.∵点E ′在二次函数y ＝－x 2＋4的图象上， ∴－x 2＋4＝1.解得x ＝±3 . ∵点E ′在y 轴右侧，∴x ＝3 . ∴AA ′＝3 ； ②连接EE ′.由题意知AA ′＝n (0＜n ＜2)，则A ′O ＝2－n .在Rt △A ′BO 中，A ′B 2＝A ′O 2＋BO 2＝(2－n )2＋42＝n 2－4n ＋20. ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′＝AA ′. ∴∠BEE ′＝90°，EE ′＝n . 又∵BE ＝OB －OE ＝3，∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2＝E ′E 2＋BE 2＝n 2＋9. ∴A ′B 2＋BE ′2＝2n 2－4n ＋29＝2(n －1)2＋27.当n ＝1时，A ′B 2＋BE ′2取得最小值，此时E ′(1，1). 2．(2021·青海中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C 的坐标为(1，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，C .(1)求抛物线的表达式；(2)根据图象写出不等式ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2的解集；(3)点P 是抛物线上的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为点Q .当PQ ＝22时，求点P 的坐标．解：(1)当x ＝0时， y ＝0＋2＝2.当y ＝0时，x ＋2＝0. 解得x ＝－2.∴A (－2，0)，B (0，2).把A (－2，0)，C (1，0)，B (0，2)分别代入抛物线的表达式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－x ＋2；(2)由ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2，得 ax 2＋bx ＋c >x ＋2.由图象，得不等式ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2的解集为－2＜x ＜0；(3)过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于点Q.①如图1，当点P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°.∴∠PDQ＝∠ADE＝45°.在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝22.∴PD＝PQ2＋DQ2＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝－x2－x＋2－(x＋2)＝－x2－2x，即－x2－2x＝1.解得x1＝x2＝－1.∴此时点P的坐标为(－1，2)；图1图2②如图2，当点P在点A左侧时，同①可得PD＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝(x＋2)－(－x2－x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1.解得x＝±2－1.由图象知此时点P在第三象限．∴x＝－2－1.∴此时点P的坐标为(－2－1，－2)；③如图3，当点P在点B右侧时，图3同理可得PD＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝(x＋2)－(－x2－x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1.解得x＝±2－1.由图象知此时点P在第一象限．∴x＝2－1.∴此时点P的坐标为(2－1，2).综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(－2－1，－2)或(2－1，2).3．(2021·泰安中考)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值？如有，请求出有最大值时点P 的坐标；如没有，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的图象经过点A (－4，0)，B (1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋4＝0，a ＋b ＋4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴该二次函数的表达式为y ＝－x 2－3x ＋4； (2)设BP 与y 轴交于点E .由题意知，PD ∥y 轴，∴∠DPB ＝∠OEB . ∵∠DPB ＝2∠BCO ，∴∠OEB ＝2∠BCO . ∴∠ECB ＝∠EBC .∴BE ＝CE .设OE ＝a ，则CE ＝4－a ，∴BE ＝4－a . 在Rt △BOE 中，由勾股定理，得 BE 2＝OE 2＋OB 2.∴(4－a )2＝a 2＋12.解得a ＝158.∴E ⎝⎛⎭⎫0，158 . 设BE 所在直线表达式为y ＝kx ＋e (k ≠0).∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＝158，k ＋e ＝0. 解得⎩⎨⎧k ＝－158，e ＝158．∴直线BP 的表达式为y ＝－158 x ＋158；(3)PQQB有最大值，此时P (－2，6). 设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M . 设直线AC 的表达式为y ＝mx ＋n . ∵A (－4，0)，C (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4m ＋n ＝0，n ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴直线AC 的表达式为y ＝x ＋4. ∴点M 的坐标为(1，5).∴BM ＝5. ∵BM ∥PN ，∴△PNQ ∽△BMQ . ∴PQ QB ＝PN BM ＝PN 5. 设P (a 0，－a 20 －3a 0＋4)(－4＜a 0＜0)，则N (a 0，a 0＋4).∴PQ QB ＝－a 20 －3a 0＋4－（a 0＋4）5 ＝－a 20 －4a 05 ＝－（a 0＋2）2＋45. ∴当a 0＝－2时，PQQB有最大值．此时，点P 的坐标为(－2，6).题型2二次函数与图形的面积如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝12ah，即S三角形＝水平宽×铅垂高2，也就是三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．在直角坐标系中，水平宽为BC两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为AD两点纵坐标之差的绝对值．中考重难点突破【例】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大？并求出其最大值．【解析】(1)利用抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点的坐标，从而根据交点式可得抛物线的表达式；(2)由题意知P(m，am2＋bm＋c)，过点P作y轴的平行线与OE相交，再根据OE的函数表达式表示出四边形AOPE的面积，利用配方法可求其最大值．【解答】解：(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D.由抛物线的对称性可得D(3，0).设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3).将A(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，可得a＝1.∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；(2)由题意，得P(m，m2－4m＋3).∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°.∴△AOE是等腰直角三角形．∴AE＝OA＝3.∴E(3，3).易得OE的表达式为y＝x.过点P作PG∥y轴，交OE于点G，则G(m，m).∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝12×3×3＋12 PG·AE＝92＋12×(－m2＋5m－3)×3＝－32 m2＋152 m＝－32⎝⎛⎭⎫m－522＋758.∵－32＜0，∴当m＝52时，四边形AOPE面积最大，最大值是758.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)若PC∥AB，求点P的坐标；(3)连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx －2，得C (0，－2).∴OC ＝2. ∵OA ＝2OC ＝8OB ，∴OA ＝4，OB ＝12.∴A (－4，0)，B ⎝⎛⎭⎫12，0 .∴y ＝a (x ＋4)⎝⎛⎭⎫x －12 ＝a ⎝⎛⎭⎫x 2＋72x －2 . ∴－2a ＝－2，即a ＝1.∴此抛物线的表达式为y ＝x 2＋72x －2；(2)由(1)可得抛物线的对称轴为x ＝－74.当PC ∥AB 时，点P ，C 的纵坐标相同，根据抛物线的对称性得P ⎝⎛⎭⎫－72，－2 ； (3)过点P 作PH ∥y 轴交AC 于点H .设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 2＋72m －2 .由点A ，C 的坐标得，直线AC 的表达式为y ＝－12m －2，则H ⎝⎛⎭⎫m ，－12m －2 . ∴S △P AC ＝S △PHA ＋S △PHC ＝12 OA ·PH ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12m －2－m 2－72m ＋2 ＝－2(m ＋2)2＋8. ∵－2＜0，∴当m ＝－2时，S △P AC 有最大值，最大值为8.此时P (－2，－5).中考专题过关1．(2021·扬州中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点C .(1)b ＝________，c ＝________；(2)若点D 在该二次函数的图象上，且S △ABD ＝2S △ABC ，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图象上位于x 轴上方的一点，且S △APC ＝S △APB ，直接写出点P 的坐标.解：(1)－2，－3；(2)连接BC ，由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，y ＝x 2－2x －3，∴S △ABC ＝12×4×3＝6.∵S △ABD ＝2S △ABC ，设点D (m ，m 2－2m －3)， ∴12 ×AB ×|y D |＝2×6，即12×4×|m 2－2m －3|＝2×6. 解得m ＝1＋10 或1－10 ， ∴D (1＋10 ，6)或(1－10 ，6)； (3)设P (n ，n 2－2n －3).∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分， ∴n ＜－1或n ＞3.当点P 在点A 左侧，即n ＜－1时，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离， ∴S △APC ＜S △APB ，与题意不符；当点P 在点B 右侧，即n ＞3时，∵△APC 和△APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC ∥AP . 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋p ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋p ，－3＝p . 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，p ＝－3. 设直线AP 的表达式为y ＝x ＋q ，将点A (－1，0)代入上式，得－1＋q ＝0.解得q ＝1.∴直线AP 的表达式为y ＝x ＋1. 将P (n ，n 2－2n －3)代入上式，得n 2－2n －3＝n ＋1.解得n ＝4或n ＝－1(舍去). ∴点P 的坐标为(4，5).2．如图，直线y ＝－12 x ＋2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过点A ，C ，且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标及拋物线的表达式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点P (m ，0)顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．解：(1)A (0，2)，B (－2，0)，C (4，0)，y ＝－14 x 2＋12x ＋2；(2)如图1，过点M 作MN ∥y 轴，与AC 交于点N .设M ⎝⎛⎭⎫a ，－14a 2＋12a ＋2 ，则N ⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋2 . ∴S △ACM ＝12 MN ·OC ＝12 ⎣⎡⎝⎛⎭⎫－14a 2＋12a ＋2－⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12a ＋2 ×4＝－12a 2＋2a . ∵S △ABC ＝12 BC ·OA ＝12×(4＋2)×2＝6，∴S 四边形ABCM ＝S △ACM ＋S △ABC ＝－12 a 2＋2a ＋6＝－12(a －2)2＋8.∴当a ＝2时，四边形ABCM 的面积最大，最大值为8，此时M (2，2)；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点P (m ，0)顺时针旋转90°得到线段O ′A ′. ∴PO ′＝PO ＝m ，O ′A ′＝OA ＝2. ∴O ′(m ，m )，A ′(m ＋2，m ).当A ′(m ＋2，m )在抛物线上时，有－14 (m ＋2＋2)(m ＋2－4)＝m .解得m ＝－3±17 ；当点O ′(m ，m )在抛物线上时，有－14 m 2＋12m ＋2＝m .解得m ＝－4或2.∴当－4≤m ≤－3－17 或－3＋17 ≤m ≤2时，线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点．3．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC ＝152，求点P 的坐标；(3)如图2，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点D ，交⊙M 于点E .点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化？若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长.解：(1)∵二次函数y ＝12 x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，∴二次函数的表达式为y ＝12(x ＋2)(x －4)，即y ＝12x 2－x －4；(2)图1中，连接OP .设P ⎝⎛⎭⎫m ，12m 2－m －4 . 由题意，得C (0，－4).∵S △P AC ＝S △AOC ＋S △OPC －S △AOP ＝152，∴152 ＝12 ×2×4＋12 ×4×m －12×2×⎝⎛⎭⎫－12m 2＋m ＋4 .整理，得m 2＋2m －15＝0. 解得m ＝3或m ＝－5(舍去).∴P ⎝⎛⎭⎫3，－52 ； (3)点P 在运动过程中线段DE 的长是定值．图2中，连接AM ，PM ，EM ，设M (1，t )，P ⎝⎛⎭⎫m ，12m 2－m －4 ，E (m ，n ). 由题意知，A (－2，0)，AM ＝PM .∴32＋t 2＝(m －1)2＋⎣⎡⎦⎤12（m ＋2）（m －4）－t 2.解得t ＝1＋14(m ＋2)(m －4).∵EM ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t ＝n ＋12（m ＋2）（m －4）2.∴n ＝2t －12(m ＋2)(m －4)＝2⎣⎡⎦⎤1＋14（m ＋2）（m －4）－12 (m ＋2)(m －4)＝2. ∴DE ＝2.∴点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2.题型3 二次函数与特殊三角形的存在类问题特殊三角形存在类问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类．若判断等腰三角形，可以对顶点进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、三角形相似等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论，常借助勾股定理、三角形相似、锐角三角函数等求点的坐标．中考重难点突破【例】如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴相交于点C (0，－3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC . ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【解析】(1)已知三点，直接利用待定系数法或交点式可求二次函数的表达式；(2)①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是用较大的纵坐标减去较小的纵坐标，表示出PM 的长，利用相应函数的性质可求最大值；②根据等腰三角形的定义，分类讨论列方程求解即可．【解答】解：(1)将点A ，B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ′. 将点B ，C 的坐标代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ′＝0，b ′＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ′＝－3. ∴直线BC 的表达式为y ＝x －3.设M (n ，n －3)，P (n ，n 2－2n －3)，0<n <3，则 ①PM ＝(n －3)－(n 2－2n －3) ＝－n 2＋3n＝－⎝⎛⎭⎫n －32 2 ＋94.∵－1＜0，∴当n ＝32 时，PM 取得最大值，最大值为94；②当PM ＝PC 时，(－n 2＋3n )2＝n 2＋(n 2－2n －3＋3)2. 解得n ＝0(舍去)或n ＝2.当n ＝2时，y ＝－3，此时P (2，－3)；当PM ＝MC 时，(－n 2＋3n )2＝n 2＋(n －3＋3)2. 解得n ＝0(舍去)或n ＝3＋2 (舍去)或n ＝3－2 . 当n ＝3－2 时，y ＝2－42 ，此时P (3－2 ，2－42 ).综上所述，P (2，－3)或P (3－2 ，2－42 ).如图，直线y ＝－2x ＋10分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 为OB 的中点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点D 是直线AB 下方的抛物线上的一点，且△ABD 的面积为452，求点D 的坐标；(3)点P 为抛物线上一点，若△APB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．解：(1)直线y ＝－2x ＋10中，令x ＝0，则y ＝10；令y ＝0，则x ＝5. ∴A (5，0)，B (0，10).∵点C 是OB 的中点，∴C (0，5).将点A ，C 的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝25＋5b ＋c ，5＝c . 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝5. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－6x ＋5；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10，y ＝x 2－6x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴直线AB 与抛物线的另一个交点为(－1，12). 设D (m ，m 2－6m ＋5).∵点D 是直线AB 下方抛物线上的一点，∴－1＜m ＜5.过点D 作DE ⊥x 轴，交直线AB 于点E ，则E (m ，－2m ＋10). ∴DE ＝－2m ＋10－m 2＋6m －5＝－m 2＋4m ＋5.∴S △ABD ＝12 OA ·DE ＝12 ×5×(－m 2＋4m ＋5)＝452.解得m ＝2. ∴D (2，－3)；(3)设P (n ，n 2－6n ＋5).∵A (5，0)，B (0，10)，∴AP 2＝(n －5)2＋(n 2－6n ＋5)2，BP 2＝n 2＋(n 2－6n ＋5－10)2，AB 2＝125，AP 2－BP 2＝20n 2－130n ＋25. 若△APB 是以AB 为直角边的直角三角形，则当点A 为直角顶点时，BP 2＝AB 2＋AP 2，解得n ＝32或n ＝5(舍去)；当点B 为直角顶点时，AP 2＝AB 2＋BP 2，解得n ＝13＋2494 或n ＝13－2494.又∵抛物线的对称轴为直线x ＝3，则3－32 ＝32 ，13＋2494 －3＝249＋14 ，3－13－2494 ＝249－14.综上所述，点P 到抛物线对称轴的距离为32 或249＋14 或249－14.中考专题过关1．(2020·桂林中考)如图，已知抛物线y ＝a (x ＋6)(x －2)过点C (0，2)，交x 轴于点A 和点B (点A 在点B 的左侧)，抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC . (1)直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当△MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将△PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P ′处．求当点P ′恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．解：(1)a ＝－16，A (－6，0)，对称轴为直线x ＝－2；(2)如图1，由(1)知，抛物线的对称轴为x ＝－2. ∴E (－2，0).∵C (0，2)，∴OC ＝OE ＝2.∴CE ＝2 OC ＝22 ，∠CED ＝45°. 由△MCE 是等腰三角形，得①当ME ＝MC 时，∠ECM 1＝∠CED ＝45°， ∴∠CM 1E ＝90°.∴M 1(－2，2)； ②当CE ＝CM 时，M 1M 2＝CM 1＝2， ∴EM 2＝4.∴M 2(－2，4)；③当EM ＝CE 时，EM 3＝EM 4＝22 . ∴M 3(－2，－22 )，M 4(－2，22 ).∴满足条件的点M 的坐标为(－2，2)或(－2，4)或(－2，－22 )或(－2，22 )；(3)如图2，由(1)知，抛物线的表达式为y ＝－16 (x ＋6)(x －2)＝－16 (x ＋2)2＋83.∴D ⎝⎛⎭⎫－2，83 . 令y ＝0，即－16(x ＋6)(x －2)＝0，∴x ＝－6或x ＝2.∴A (－6，0).设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝83，－6k ＋b ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝4.∴直线AD 的表达式为y ＝23x ＋4.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，过点P ′作P ′Q ′⊥DE 于点Q ′，则∠EQP ＝∠EQ ′P ′＝90°. 由(2)知，∠CEB ＝∠CED ＝45°.由折叠性质知，EP ＝EP ′，∠CEP ＝∠CEP ′. ∴∠CEB －∠CEP ＝∠CED －∠CEP ′，即∠PEQ ＝∠P ′EQ ′.∴△PQE ≌△P ′Q ′E (AAS ). ∴PQ ＝P ′Q ′，EQ ＝EQ ′.设P (m ，n )，则OQ ＝m ，PQ ＝n .∴P ′Q ′＝n ，EQ ′＝EQ ＝m ＋2.∴P ′(n －2，2＋m ). ∵点P ′在直线AD 上，∴2＋m ＝23(n －2)＋4. ①∵点P 在抛物线上，∴n ＝－16(m ＋6)(m －2). ②联立①②，解得m ＝－13－2412 或m ＝－13＋2412.∴点P 的横坐标为－13－2412 或－13＋2412.2．(2021·广安中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中点A 坐标为(3，0)，点B 坐标为(－1，0)，连接AC ，BC .动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒 2 个单位向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s.(1)求b ，c 的值；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3；(2)由(1)可知，抛物线为y ＝－x 2＋2x ＋3，∴C (0，3)，A (3，0).∴△OAC 是等腰直角三角形．由点P 的运动可知，AP ＝2 t . 过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E .∴AE ＝PE ＝2t2＝t ，即E (3－t ，0).又∵Q (－1＋t ，0)，∴S 四边形BCPQ ＝S △ABC －S △APQ ＝12 ×4×3－12 ×[3－(－1＋t )]t ＝12 t 2－2t ＋6 ＝12(t －2)2＋4. ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC ＝32＋32 ＝32 ，AB ＝4，∴0≤t ≤3.又∵12 ＞0，∴当t ＝2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)存在．过点M 作x 轴的平行线，与EP 的延长线交于点F . ∵△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PM ＝PQ ，∠MPQ ＝90°. ∴∠MPF ＋∠QPE ＝90°. 又∵∠MPF ＋∠PMF ＝90°， ∴∠PMF ＝∠QPE . 又∠F ＝∠QEP ，∴△PFM ≌△QEP (AAS ).∴MF ＝PE ＝t ，PF ＝QE ＝4－2t . ∴EF ＝4－2t ＋t ＝4－t . 又∵OE ＝3－t ，∴点M 的坐标为(3－2t ，4－t ).∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点， ∴4－t ＝－(3－2t )2＋2(3－2t )＋3.解得t 1＝9－178 ，t 2＝9＋178(舍去).∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋174，23＋178 .3．(2020·北部湾中考)如图1，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：x ＝－2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0，3)，连接AC ，BC .设点A 的纵坐标为t ，△ABC 的面积为S .(1)当t ＝2时，请直接写出点B 的坐标； (2)S 关于t 的函数表达式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t 2＋bt －54，t <－1或t >5，a （t ＋1）（t －5），－1<t <5，其图象如图2所示，结合图1、图2的信息，求出a 与b 的值；(3)在l 2上是否存在点A ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，请求出此时点A 的坐标和△ABC 的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)B ⎝⎛⎭⎫－12，12 ； (2)当t <－1或t >5时，由图可知当t ＝7时，S ＝4.∴14 ×72＋7b －54＝4.解得b ＝－1；当－1<t <5时，由图可知当t ＝－1＋52＝2时，S 取得最大值，此时O ，A ，B 三点在一条直线上．∴S ＝S △OAC －S △OBC ＝12 ×3×2－12 ×3×12 ＝94 .∴a (2＋1)(2－5)＝94 .解得a ＝－14；(3)存在点A ，使得△ABC 是直角三角形．①若点A 为△ABC 的直角顶点，如图3，则AC ∥l 1. 此时AC 的表达式为y ＝x ＋3. 令x ＝－2，则A (－2，1).设B (x ，x ＋1).∵D (－2，－1)，∴AD ＝2. 在Rt △ABD 中，AB 2＋BD 2＝AD 2，即(x ＋2)2＋x 2＋(x ＋2)2＋(x ＋2)2＝22. 解得x 1＝－1，x 2＝－2(舍去). ∴B (－1，0)，即点B 在x 轴上．∴AB ＝12＋12 ＝2 ，AC ＝22＋（3－1）2 ＝22 .∴S ＝12 AB ·AC ＝12×2 ×22 ＝2；②若点C 为△ABC 的直角顶点，过点B 作l 2的垂线交l 2于点E ，如图4 ，则A (－2，t ). ∵∠ABD ＝90°，∠ADB ＝45°， ∴△ABD 是等腰直角三角形．∵D (－2，－1)，∴E ⎝⎛⎭⎫－2，t －12 ，B ⎝⎛⎭⎫t －32，t －12 . 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴22＋(t －3)2＋⎝⎛⎭⎫t －32 2 ＋⎝⎛⎭⎫t －12－3 2 ＝⎝⎛⎭⎫t －32＋2 2 ＋⎝⎛⎭⎫t －t －12 2 .化简，得t 2－12t ＋27＝0.解得t ＝3或t ＝9. ∴A (－2，3)或A (－2，9).当A (－2，3)时，B (0，1)，AC ＝2，BC ＝2，则S ＝12 AC ·BC ＝12×2×2＝2；当A (－2，9)时，B (3，4)，AC ＝（9－3）2＋22 ＝210 ，BC ＝（4－3）2＋32 ＝10 ，则S ＝12 AC ·BC ＝12×210 ×10 ＝10；③若点B 为△ABC 的直角顶点，此种情况不存在．综上所述，当A (－2，1)时，△ABC 的面积S ＝2；当A (－2，3)时，S ＝2；当A (－2，9)时，S ＝10.题型4 二次函数与特殊四边形的综合此类题型结合特殊四边形的判定方法，对对应边进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存在类问题用平移法求坐标较简单．如图，点A 到B 的平移方式与点D 到C 的平移方式相同，若A (1，2)，B (0，0)，D (x ，y )，则可设C (x －1，y －2).也可利用平行四边形的对角线互相平分来通过对角线的中点坐标求解，如▱ABCD 中，x A ＋x C ＝x B ＋x D ，y A ＋y C ＝y B ＋y D .其他特殊的平行四边形结合其判定方法还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破．中考重难点突破【例】如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A (4，3)，与y 轴相交于点B (0，－5)，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；(3)设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】(1)设抛物线的顶点式为y ＝a (x －4)2＋3，代入点B 的坐标，即可求解；(2)由A (4，3)，B (0，－5)，可求其中点M 的坐标，用待定系数法可直接求直线AB 的表达式； (3)分为当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：(1)由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x －4)2＋3，将点B 的坐标代入上式，解得a ＝－12.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋4x －5；(2)由A (4，3)，B (0，－5)，得M (2，－1). 设直线AB 的表达式为y ＝kx －5.将点A 的坐标代入上式，得3＝4k －5，解得k ＝2. ∴直线AB 的表达式为y ＝2x －5；(3)设P ⎝⎛⎭⎫m ，－12m 2＋4m －5 ，Q (4，n ). 若点Q 在点A 下方，则①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到点M ，同样点P ⎝⎛⎭⎫m ，－12m 2＋4m －5 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到点Q (4，n )，即m －2＝4，－12 m 2＋4m －5－4＝n ，解得m ＝6，n ＝－3.∴点P ，Q 的坐标分别为(6，1)，(4，－3)；②当AM 是平行四边形的对角线时，AQ 綊MP ，则m ＝2，－12m 2＋4m －5＝1，n ＝3－2＝1.∴点P ，Q 的坐标分别为(2，1)，(4，1)；若点Q 在点A 上方，则AQ 綊MP ，同②可得AQ ＝MP ＝2，点P ，Q 的坐标分别为(2，1)，(4，5). 综上所述，点P ，Q 的坐标分别为(6，1)，(4，－3)或(2，1)，(4，1)或(2，1)，(4，5).如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋3分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，经过A ，B 两点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的正半轴相交于点C (1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为线段AB 上一点，∠APO ＝∠ACB ，求AP 的长；(3)在(2)的条件下，设点M 是y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线y ＝kx ＋3中，令x ＝0，得y ＝3.∴B (0，3).由题意知抛物线经过B (0，3)，C (1，0)两点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－1＋b ＋c ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)对于抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，令y ＝0，解得x ＝－3或x ＝1.∴A (－3，0). ∵B (0，3)，C (1，0)，∴OA ＝OB ＝3，OC ＝1，AB ＝32 ，AC ＝4. ∵∠APO ＝∠ACB ，∠P AO ＝∠CAB ，∴△P AO ∽△CAB .∴AP AC ＝AO AB ，即AP 4 ＝332.∴AP ＝22 ；(3)存在．由(2)可知，A (－3，0)，P (－1，2)，AP ＝22 .①当AP 为平行四边形的边时，点N 的横坐标为2或－2，∴N (－2，3)或N (2，－5)； ②当AP 为平行四边形的对角线时，点N 的横坐标为－4，∴N (－4，－5). 综上所述，满足条件的点N 的坐标为(－2，3)或(2，－5)或(－4，－5).中考专题过关1.如图，已知抛物线L 1：y ＝－x 2＋4经过点A (－1，a )和点B ，与x 轴正半轴交于点C ，且点B 与点A 关于y 轴对称．(1)求点B ，C 的坐标；(2)平移抛物线L 1得到抛物线L 2，且L 2经过点C ，那么在抛物线L 2的对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形是以AB 为边的平行四边形？若存在，写出平移过程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4过点A (－1，a )， ∴a ＝－1＋4＝3，即A (－1，3).∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴B (1，3). 令y ＝0，得－x 2＋4＝0，解得x ＝±2. ∵点C 在x 轴的正半轴上，∴C (2，0)；(2)存在．设抛物线L 1的顶点为D ，则D (0，4). ∵四边形是以AB 为边的平行四边形，∴AB 綊CP .∴点P 在x 轴上． ∵AB ＝2，∴CP ＝2.∴点P 的坐标为(0，0)或(4，0).设抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c . ∵点C 在抛物线L 2上，∴－4＋2b ＋c ＝0.∴c ＝4－2b .∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋4－2b .若P (0，0)，则抛物线的对称轴为直线x ＝0，∴b ＝0.∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋4，与抛物线L 1重合．∴不存在坐标为(0，0)的点P ；若P (4，0)，则抛物线的对称轴为直线x ＝4.∴b ＝8.∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋8x －12＝－(x －4)2＋4. 令抛物线L 2的顶点为D ′，则D ′(4，4).此时将抛物线L 1向右平移4个单位得到抛物线L 2.2．(2020·百色二模)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为抛物线对称轴上一点，连接BD ，以PD ，PB 为边作平行四边形PDNB ，是否存在这样的点P ，使得▱PDNB 是矩形？若存在，请求出点P 的坐标；(3)在(2)的结论下，求出tan ∠BDN 的值．解：(1)将B (3，0)，C (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；答图(2)存在．如答图，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，过点D 作DH ⊥PF 于点H . ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.∵点D 与点C (0，3)关于对称轴对称，∴D (2，3). ∴DH ＝1，BF ＝2，HF ＝3.∵▱PDNB 是矩形，∴∠DPB ＝∠DHP ＝∠PFB ＝90°.∴∠DPH ＋∠BPF ＝90°. ∵∠PBF ＋∠BPF ＝90°，∴∠DPH ＝∠PBF .∴△DHP ∽△PFB .∴DH PF ＝HP FB ＝DPPB.设PF ＝m ，则HP ＝3－m .∵DH ＝1，FB ＝2，∴1m ＝3－m2.∴m ＝1或m ＝2.∴PF ＝1或PF ＝2.∴存在点P 使▱PDNB 是矩形，点P 的坐标为(1，1)或(1，2)； (3)∵四边形PDNB 是平行四边形，∴DN ∥PB . ∴∠BDN ＝∠PBD . ①当PF ＝1时，tan ∠BDN ＝tan ∠PBD ＝DP BP ＝DH PF ＝11＝1；②当PF ＝2时，tan ∠BDN ＝tan ∠PBD ＝DP BP ＝DH PF ＝12.综上所述，tan ∠BDN 的值为1或12.3．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 交x 轴于A (－3，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线y ＝34 x ＋94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E .若M (m ，0)是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG ＝59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图解：(1)∵抛物线y ＝－13 x 2＋bx ＋c 交x 轴于A (－3，0)，B (4，0)两点，∴抛物线的表达式为y ＝－13(x ＋3)(x －4)＝－13 x 2＋13x ＋4；(2)①设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋n .∵B (4，0)，C (0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，n ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝4. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4.令－x ＋4＝34 x ＋94，解得x ＝1.∴E (1，3).∵M (m ，0)，且MH ⊥x 轴，∴G ⎝⎛⎭⎫m ，34m ＋94 ，F ⎝⎛⎭⎫m ，－13m 2＋13m ＋4 . ∵S △EFG ＝59 S △OEG ，直线AD 与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，94 ，∴12 FG ·(x E －x F )＝59 ×12 ×94(x E －x G )，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13m 2＋13m ＋4－⎝⎛⎭⎫34m ＋94 (1－m )＝59 ×94 (1－m ).∴m ＝34或m ＝－2；②存在．点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7－132 .[由①知E (1，3).∵四边形EFHP 是正方形，∴FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°. ∵M (m ，0)，且MH ⊥x 轴，∴H (m ，－m ＋4)，F ⎝⎛⎭⎫m ，－13m 2＋13m ＋4 . 分两种情况：i)当－3≤m ＜1时，点F 在EP 的左侧，如图1.∴FH ＝(－m ＋4)－⎝⎛⎭⎫－13m 2＋13m ＋4 ＝13 m 2－43 m . ∵FH ＝EF ，∴13 m 2－43 m ＝1－m .解得m 1＝1＋132 (舍去)，m 2＝1－132.∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132，7＋132 .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 ；图1图2ii)当1＜m ≤4时，点F 在PE 的右侧，如图2.同理得－13 m 2＋43 m ＝m －1.解得m 1＝1＋132 ，m 2＝1－132 (舍去).同理得P ⎝⎛⎭⎪⎫1，7－132 .综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7－132 .]题型5 二次函数与相似三角形的综合此类题型结合相似三角形判定方法，如果一个角为直角，只需两直角边之比分别相等，此时要对对应边进行分类讨论．中考重难点突破【例】(2019·百色二模)如图，以D 为顶点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)请判断△BCD 的形状，并说明理由；(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)先求出点B ，C 的坐标，再用待定系数法即可得出结论；(2)先求出点D 的坐标，进而求出CD ，BC ，DB ，最后用勾股定理的逆定理判断即可得出结论； (3)先用两边对应成比例判断出△AOC ∽△DCB ，再构造出△ACQ ∽△AOC ，即可得出结论．【解答】解：(1)y ＝－x ＋3中，x ＝0时，y ＝3；y ＝0时，x ＝3，则B (3，0)，C (0，3).将其代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)△BCD 是直角三角形．理由：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得D (1，4).又∵B (3，0)，C (0，3)，∴CD ＝（4－3）2＋12 ＝2 ， BC ＝32＋32 ＝32 ， BD ＝42＋（1－3）2 ＝25 . ∵(2 )2＋(32 )2＝20，(25 )2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2.∴∠BCD ＝90°，即△BCD 是直角三角形；(3)存在．∵A (－1，0)，C (0，3)，∴OA ＝1，OC ＝3.∴OA OC ＝CD BC ＝13.又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°，∴△AOC ∽△DCB . ∴当点Q 的坐标为(0，0)时，△AQC ∽△DCB .如图，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴于点Q . ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC .又∵△AOC ∽△DCB ，∴△DCB ∽△ACQ . ∴CD BD ＝AC AQ ，即225 ＝10AQ.∴AQ ＝10.∴Q (9，0). 综上所述，当点Q 的坐标为(0，0)或(9，0)时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，点D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求点D 的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设OB ＝t ，则OA ＝2t .∴A (2t ，0)，B (－t ，0).∵抛物线的对称轴为直线x ＝12 ，∴12 ＝12(2t －t ).解得t ＝1.∴A (2，0)，B (－1，0).∴抛物线的表达式为y ＝a (x －2)(x ＋1)＝ax 2－ax －2a .∴－2a ＝2.解得a ＝－1. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2；(2)对于y ＝－x 2＋x ＋2，令x ＝0，则y ＝2.∴C (0，2). 由点A ，C 的坐标得，直线AC 的表达式为y ＝－x ＋2.设点D 的横坐标为m ，则D (m ，－m 2＋m ＋2)，F (m ，－m ＋2).∴DF ＝－m 2＋m ＋2－(－m ＋2)＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1.∵－1＜0，∴当m ＝1时，DF 有最大值，此时D (1，2)； (3)存在．∵D (m ，－m 2＋m ＋2)(0＜m ＜2)， ∴OE ＝m ，DE ＝－m 2＋m ＋2.若以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE ＝OB OC 或DE OE ＝OC OB ，即DE OE ＝12 或2. ∴－m 2＋m ＋2m ＝12 或2.解得m ＝1或m ＝－2(舍去)或m ＝1＋334 或m ＝1－334(舍去).∴m ＝1或m ＝1＋334.中考专题突破1.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx 经过点A (4，0)，抛物线顶点为点B ，点P 为抛物线上的一点，且点P 的横坐标为－1，直线l ：y ＝－x ＋m 分别与P A ，PB 交于M ，N 两点.(1)求直线AB 的表达式；(2)当△P AB 与△PMN 的面积之比为4∶1时，求点M 的坐标及m 的值．解：(1)∵y ＝－12x 2＋bx 经过点A (4，0)，∴－12 ×42＋4b ＝0.∴b ＝2.∴y ＝－12 x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2.∴B (2，2).设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋n . 把A ，B 两点的坐标代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，2k ＋n ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝4. ∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4；(2)∵y ＝－x ＋m 和y ＝－x ＋4的k 值相等， ∴直线l ∥AB .∴△P AB ∽△PMN . ∵S △P AB S △PMN＝4，∴PN PB ＝PM P A ＝12 .∴点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点． ∵点P 的横坐标为－1，∴y p ＝－12 x 2＋2x ＝－52，即P ⎝⎛⎭⎫－1，－52 . ∵－1＋42 ＝32 ，－52 ×12 ＝－54 ，∴M ⎝⎛⎭⎫32，－54 . ∵y ＝－x ＋m 经过点M ⎝⎛⎭⎫32，－54 ， ∴－54 ＝－32 ＋m .∴m ＝14 .2．(2021·黔东南中考)如图，抛物线y ＝ax 2－2x ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)，抛物线的顶点为D .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P ，Q ，B ，C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P ，Q 的坐标；(3)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A ，M ，G 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将点B (3，0)，C (0，－3)分别代入y ＝ax 2－2x ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －2×3＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)P(1，－3)，Q(4，0)或P(1，3)，Q(－2，0).[由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝－b2a＝1，设点P(1，m)，Q(x ，0).当以点P ，Q ，B ，C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形时，点C 先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到点B ，同样点P(Q)先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到点Q(P)，则1±3＝x 且m±3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，x ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，x ＝－2. ∴点P ，Q 的坐标分别为(1，－3)，(4，0)或(1，3)，(－2，0)](3)当y ＝0时，即x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴A(－1，0). 又y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，－4). ∵C(0，－3)，B(3，0)，D(1，－4)，∴BD 2＝22＋42＝20，CD 2＝12＋12＝2，BC 2＝32＋32＝18.∴BD 2＝CD 2＋BC 2. ∴△BDC 是直角三角形，且∠BCD ＝90°.设点M 的坐标为(m ，0)，则点G 的坐标为(m ，m 2－2m －3). 根据题意，得∠AMG ＝∠BCD ＝90°.∴要使以A ，M ，G 为顶点的三角形与△BCD 相似，需要满足条件：AM MG ＝BC CD ＝322＝3或AM MG ＝CDBC ＝。

2023年中考数学高频考点专题训练-- 二次函数与动态几何问题

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何问题一、综合题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求⊥PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB⊥x轴，cosB= 35．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO−OC−CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t （s），⊥BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．（1）点Q的运动速度为cm/s，点B的坐标为；（2）求曲线FG段的函数解析式；（3）当t为何值时，⊥BPQ的面积是四边形OABC的面积的1 10？3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当⊥AOC⊥⊥AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，√55FC+BF的值最小．并求出这个最小值．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点E从点A出发．以2cm/s的速度沿射线AD 方向运动，以AE为底边，在AD的右侧作等腰直角角形AEF，当点F落在射线BC上时，点E停止运动，设⊥AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，点F落在射线BC上；（2）当线段CD将⊥AEF的面积二等分时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当S=17时，求t的值．5．如图，直线l：y＝﹣12x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴交l于点D，PE⊥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；（3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．6．已知函数y= {x2+nx+n，(x≥n)−12x2+n2x+n2，(x<n)（n为常数）（1）当n=5，①点P(4，b)在此函数图象上，求b的值②求此函数的最大值（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为4(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围.（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围.7．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使⊥FAC的面积最大，求F点坐标；（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．8．已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒√5个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将⊥AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到⊥DEF．①是否存在某一时刻t，使得⊥DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设⊥DEF与⊥ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出⊥EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求⊥ABC的面积．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与⊥COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出⊥BDA的度数.12．抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，点P为线段BC下方抛物线上一动点，连接BP,CP.（1）求抛物线解析式；（2）在点P移动过程中，ΔBPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若ΔDCE与ΔBOC相似，请直接写出点E的坐标.13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣2ax+ 32与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ 于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．14．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得⊥BDM的周长为最小，并求⊥BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得⊥PAD的面积最大？若存在，请求出⊥PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线L:y=12x2−54x−3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B.（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L:y=12x2−54x−3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式.16．如图，抛物线y＝﹣13x2﹣13x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q.（1）求A，C两点的坐标.（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值.（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+3经过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0 ，得{a =−1b =−2，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）（2）解：设直线AD 的函数解析式为y ＝kx+m ， {−3k +m =0−k +m =4，得{k =2m =6， ∴直线AD 的函数解析式为y ＝2x+6，∵点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合）， ∴设点P 的坐标为（p ，2p+6）， ∴S ⊥PAE ＝−p⋅(2p+6)2＝﹣（p+32）2+94，∵﹣3＜p ＜﹣1，∴当p ＝﹣32时，S ⊥PAE 取得最大值，此时S ⊥PAE ＝94，即⊥PAE 面积S 的最大值是94；（3）解：抛物线上存在一点Q ，使得四边形OAPQ 为平行四边形， ∵四边形OAPQ 为平行四边形，点Q 在抛物线上， ∴OA ＝PQ ， ∵点A （﹣3，0）， ∴OA ＝3， ∴PQ ＝3，∵直线AD 为y ＝2x+6，点P 在线段AD 上，点Q 在抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3上， ∴设点P 的坐标为（p ，2p+6），点Q （q ，﹣q 2﹣2q+3）， ∴{q −p =32p +6=−q 2−2q +3，解得，{p =−5+√7q =−2+√7或{p =−5−√7q =−2−√7（舍去），当q ＝﹣2+√7时，﹣q 2﹣2q+3＝2√7﹣4，即点Q 的坐标为（﹣2+√7，2√7﹣4）．2．【答案】（1）4；（18，8）（2）解：如图过点Q 作QM⊥AB 于点M ，过点B 作BG⊥x 轴于点G∴四边形AOGB 是矩形 ∴AO=BG=8，AB=OG=18 CG=18-12=6 ∴BC=√82+62=10 ∴AO+CO+BC=30 BP=t ，BQ=30-4t∴QM=45（30-4t ）=24-165t∴S ⊥PBQ =12t (24−165t )=−85t 2+12t∴ 曲线FG 段的函数解析式 S=−85t 2+12t （5≤t≤7.5）；（3）解： ∵S 梯形ABCO =(12+18)×82=120∵ ⊥BPQ 的面积是四边形OABC 的面积的 110∴⊥BPQ 的面积等于120÷=12 当t ＞2时，点F （5，20）∴直线EF 的函数解析式为：S=4t ，当S=12时，4t=12 解之：t=3，当S=12时， −85t 2+12t =12解之：t 1=15+√1054，t 2=15−√1054∵5≤t≤7.5 ∴t =15+√1054综上所述，当t=3或t =15+√1054时， ⊥BPQ 的面积是四边形OABC 的面积的 110。

2020届中考数学二轮复习专题训练：二次函数与几何(含答案)

2020届中考数学二轮复习专题训练：二次函数与几何1. 如图，抛物线1C :y ＝ax 2＋bx+1的顶点坐标为D （1,0），（1）求抛物线1C 的解析式；（2）如图1，将抛物线1C 向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线2C ，直线y x c =+，经过点D 交y 轴于点A ，交抛物线2C 于点B ，抛物线2C 的顶点为P,求△DBP 的面积（3）如图2，连结AP,过点B 作BC ⊥AP 于C,设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．图1yxO P DBA图2QyxO P F E CDB A【解答】（1）∵抛物线顶点为(1,0)P ，经过点（0,1）∴可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得： 1a = ∴抛物线的解析式为221y x x =-+（2）根据题意的p （2，-1）∴抛物线的解析式为：2(2)1y x =--，∴A(0，-1),B(4,3)∴△DBP 的面积 =3（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,43)t t t -+，则2(2)QM CN t ==-，4MC QN t ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(2)12t t EC --=，得2(2)EC t =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即243(43)4t t t FC ---+=，得4FC t = 又∵4AC =∴4()[42(2)]8FC AC EC t t+=+-==，即()FC AC EC +为定值8.2. 如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（3分）（2）如图1，抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图2，点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5）∵点B （1，0）在抛物线C 1上∴()52102-+=a ，∴a ＝59 （2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称，∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ，∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3∴顶点M 的坐标为（4，5），抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5）作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G ，作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴EF ＝AB ＝2BH ＝6 ∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0）H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得 PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34①当∠PNF ＝90º时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0） ③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．3. 已知: 如图1, 二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象交x 轴负半轴于点A , 交x 轴正半轴于点B , 交y 轴负半轴于点C , 且OB ＝3OA . (1) 求二次函数的解析式;(2) 如图2, M 是抛物线的顶点, P 是抛物线在B 点右侧上一点, Q 是对称轴上一点, 并且AQ ⊥PQ , 是否存在这样的点P , 使得∠P AQ ＝∠AMQ ? 若存在, 请求出P 点坐标; 若不存在, 请说明理由.（3）如图3, 设(1)中抛物线的顶点为M ,R 为x 轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R 旋转1800得到抛物线C 1: y ＝-a (x －h)2+k 交x 轴于D,E 两点，.若tan ∠BME=1,求R 点的坐标。

数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数与几何变换(含答案)

数学中考一轮复习专项突破训练：二次函数与几何变换（附答案）1．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5 B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3 D．y＝（x﹣4）2+32．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣13．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣）2﹣B．y＝﹣（x+）2﹣C．y＝﹣（x﹣）2﹣D．y＝﹣（x+）2+4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣25．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣36．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位7．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜58．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣5B．y＝（x+2）2+5C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2+510．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③四边形部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域的面积为．12．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．13．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．15．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中OPQ部分的面积为．16．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．17．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．18．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为．19．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为．20．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是．21．将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．22．如果把抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是．23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为．24．将抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．25．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则四边形部分的面积为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．27．已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．28．已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．29．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．30．抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．31．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．32．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．33．已知在平面直角坐标系中，抛物线l1的解析式为y＝﹣x2，将抛物线l1平移后得到抛物线l2，若抛物线l2经过点（3，﹣1），且对称轴为x＝1．（1）求抛物线l2的解析式；（2）求抛物线l2的顶点坐标；（3）若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线l3的顶点坐标为B，直线OB于抛物线l3的另一个交点为C，当OB＝OC时，求C点坐标．34．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，请求出k的取值范围．参考答案1．解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．2．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．3．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．故选：A．4．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，故选：D．5．解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．故选：D．6．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．7．解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．8．解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x ﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C．9．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故选：A．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x＝﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，∴结论③正确；∵，c＝﹣1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．11．解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝2×2＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，∴抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．故答案为：12．12．解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故答案是：y＝（x﹣4）2．13．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y＝2（x﹣1+3）2+2﹣4＝2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故答案为：y＝2（x+2）2﹣2．14．解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0＝（﹣6+3）2+h，解得：h＝﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．故答案为：．16．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2．故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣2．17．解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．18．解：根据题意，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，3），∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．故答案为：y＝﹣（x+1）2+3．19．解：抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标（0，4），该顶点关于A（2，0）对称的点的坐标是（4，﹣4）．根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．故答案是：y＝（x﹣4）2﹣4．20．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5．21．解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2．故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．22．解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+1）2+3．23．解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABO+∠CBG＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBG＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH＝BG＝2，DH＝CG＝1，∴D（2，3），∵C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y＝x2+bx﹣1中得：b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣1，设D（x，y），由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y＝3，当y＝3时，x2﹣x﹣1＝3，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍），∴DD′＝4﹣2＝2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．24．解：抛物线y＝﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣2即y＝﹣x2+6x﹣11，故答案为y＝﹣x2+6x﹣11．25．解：由题意知，y1＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则顶点坐标是（﹣1，﹣4）．所以，阴影部分的面积为：2×4＝8．故答案是：8．26．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，∴．∴m＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y＝2x﹣2﹣b，故＝7﹣2﹣b，解得b＝，设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，＝5﹣2﹣b，b＝，由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，由题意：△＝0，∴100﹣8（14﹣b）＝0，∴b＝，观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．27．解：（1）y＝﹣2x2﹣4x+1，＝﹣2（x2+2x+1）+2+1，＝﹣2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y＝﹣2（x﹣2）2，∵2﹣（﹣1）＝2+1＝3，0﹣3＝﹣3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．28．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；（2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3；当x＝1时，y＝0；所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3，即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．故答案为﹣4≤y≤0；3．29．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得S△P AB＝S△PF A﹣S△PFB＝＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．30．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c＝3．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴，解得b＝﹣2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k＝﹣2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y＝x．由，得x2﹣2x+2k＝0，①当△＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．31．解：（1）设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）因为新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是（0，﹣3），所以新抛物线的解析式为y＝x2﹣3．32．解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．33．解：（1）根据题意，设抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，将点（3，﹣1）代入函数解析式，∴﹣1＝﹣4+k，解得：k＝3，∴抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∴抛物线l2的顶点坐标为（1，3）；（3）设l3的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3+m，∴B点坐标为（1，3+m），∵B，O，C三点共线且OB＝OC，∴C点坐标为（﹣1，﹣3﹣m），∵C在l3上，∴﹣（﹣1﹣1）2+3+m＝﹣3﹣m，∴m＝﹣1，∴C点坐标为（﹣1，﹣2）．34．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2）代入得，解得a＝1，b＝k﹣3，∴y＝x+k﹣3，∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（﹣k+4，1）时，k＝2+或k＝2﹣；当抛物线经过点B（1，k﹣2）时，k＝2；若直线AB抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，则x2﹣4x+3＝x+k﹣3，即x2﹣5x+6﹣k＝0中，△＝0，∴25﹣4（6﹣k）＝0，解得k＝﹣，∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴2﹣＜k≤2或k≥2+或k＝﹣．。

2020中考数学压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)

2020中考数学压轴专题：二次函数与几何综合1. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (m －2，0)和B (2m ＋1，0)(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ，对称轴为l ：x ＝1. (1)求抛物线解析式；(2)直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与抛物线相交于两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(x 1<x 2)．当|x 1－x 2|最小时，求抛物线与直线的交点M 和N 的坐标；(3)首尾顺次连接点O 、B 、P 、C 构成多边形的周长为L ，若线段OB 在x 轴上移动，求L 最小值时点O 、B 移动后的坐标及L 的最小值．第1题图解：(1)令y ＝0，得x 2－bx －c ＝0，由根与系数的关系可知m －2＋2m ＋1＝b ，(m －2)(2m ＋1)＝－c ，又∵抛物线的对称轴为x ＝b2＝1，即b ＝2，∴m －2＋2m ＋1＝2，解得m ＝1， ∴c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝kx ＋2可得：x 2＋(k －2)x －1＝0，∴x 1＋x 2＝2－k ，x 1x 2＝－1，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（2－k ）2＋4≥2，当k ＝2时，|x 1－x 2|取到最小值2，此时x 1＝－1，x 2＝1，∴直线解析式为y＝2x＋2，∴M(－1，0)，N(1，4)；第1题解图(3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，又由(1)易知P(1，4)，∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)，∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝2，∴直线P′C′的解析式为y＝－72x－3，直线P′C′与x轴的交点为(－67，0)，∵PC，O′B′为定值，∴当CO′＋PB′取最小值P′C′时L最小，此时O′(－67，0)，则B′(157，0)．又∵P′C′＝（4＋3）2＋22＝53，∴L最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝53＋2＋3.2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1, 0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.①当PE ＝2ED 时，求P 点坐标；②是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵点B (4，m )在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝4＋1＝5， ∴B (4，5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝525a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4c ＝5，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5;(2)①设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，D (x ，0)，则PE ＝|－x 2＋4x ＋5－(x ＋1)|＝|－x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1|， ∵PE ＝2ED ，∴|－x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|，当－x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P (2，9)；当－x 2＋3x ＋4＝－2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝6，当x ＝－1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P (6，－7);综上可知P 点坐标为(2，9)或(6，－7)；②存在点P 的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．【解法提示】设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，且B (4，5)，C (5，0)，∴BE ＝（x －4）2＋（x ＋1－5）2＝2|x －4|，CE ＝（x －5）2＋（x ＋1）2＝2x 2－8x ＋26， BC ＝（4－5）2＋（5－0）2＝26，当△BEC 为等腰三角形时，则有BE ＝CE 、BE ＝BC 或CE ＝BC 三种情况，当BE ＝CE 时，则 2|x －4|＝2x 2－8x ＋26，解得x ＝34，此时P 点坐标为(34，11916)；当BE ＝BC 时，则2|x －4|＝26，解得x ＝4＋13或x ＝4－13，此时P 点坐标为(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)；当CE ＝BC 时，则2x 2－8x ＋26＝26，解得x ＝0或x ＝4，当x ＝4时，E 点与B 点重合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为(0，5)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．3. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)请直接写出点A ，C ，D 的坐标；(2)如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)A (－3，0)，C (0，3)，D (－1，4)；(2)如解图①，作点C 关于x 轴的对称点M ，则M (0，－3)，连接DM ，DM 与x 轴的交点为E ，连接CE ，此时△CDE 的周长最小，第3题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3， ∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)．(3)存在．由(1)知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，第3题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)； ②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ， ∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －3y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－5，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)． 4. 在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧． (1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵C 1、C 2关于y 轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．∵AB的中点为(－1，0)，且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，∴AB只能为平行四边形的一边，∴PQ∥AB且PQ＝AB，由(2)可知AB＝1－(－3)＝4，∴PQ＝4，设P(t，t2－2t－3)，则Q(t＋4，t2－2t－3)或(t－4，t2－2t－3)，①当Q(t＋4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t＋4)2＋2(t＋4)－3，解得t＝－2，∴t2－2t－3＝4＋4－3＝5，∴P(－2，5)，Q(2，5)；②当Q(t－4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t－4)2＋2(t－4)－3，解得t＝2，∴t2－2t－3＝4－4－3＝－3，∴P(2，－3)，Q(－2，－3)；综上可知，存在满足条件的点P、Q，其坐标为P(－2，5)，Q(2，5)或P(2，－3)，Q(－2，－3)．5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3.若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3，0)(0，1)．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上．请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴A (4，0)，C (0，3)，∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 边上， ∴抛物线顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －2)2＋3，把A 点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a ＝－34，∴抛物线解析式为y ＝－34(x －2)2＋3，即y ＝－34x 2＋3x ；(2)△EDB 为等腰直角三角形，证明：由(1)可知B (4，3)，且D (3，0)，E (0，1)，∴DE 2＝32＋12＝10, BD 2＝(4－3)2＋32＝10，BE 2＝42＋(3－1)2＝20， ∴DE 2＋BD 2＝BE 2，且DE ＝BD ， ∴△EDB 为等腰直角三角形； (3)存在，理由如下：设直线BE 解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把B 、E 坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧3＝4k ＋b1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝1，∴直线BE 解析式为y ＝12x ＋1，当x ＝2时，y ＝2，∴F (2，2)，①当AF 为平行四边形的一边时，则M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2. ∴点M 的纵坐标为2或－2，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝2可得2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±233，∵点M 在抛物线对称轴右侧， ∴x ＞2， ∴x ＝6＋233，∴M 点坐标为(6＋233，2)；在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝－2可得－2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±2153，∵点M 在抛物线对称轴右侧， ∴ x >2， ∴ x ＝6＋2153，∴M 点坐标为(6＋2153，－2)；②当AF 为平行四边形的对角线时， ∵A (4，0)，F (2，2)，∴线段AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M (t ，－34t 2＋3t )，N (x ，0)，则－34t 2＋3t ＝2，解得t ＝6±233，∵点M 在抛物线对称轴右侧， ∴ x ＞2， ∴ t ＝6＋233，∴M 点坐标为(6＋233，2)，综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．6. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD . (1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3， ∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)如解图①，连接PC 、PE .第6题解图①∵抛物线对称轴为直线 x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，∴当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)，将B (3，0)和D (1，4)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n 4＝m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝6，则y ＝－2x ＋6，设点P 坐标为(x ，－2x ＋6)， ∵C (0，3)，E (1，0)， ∴由勾股定理可得： PC 2＝x 2＋[3－(－2x ＋6)]2， PE 2＝(x －1)2＋(－2x ＋6)2，又∵PC ＝PE ，∴x 2＋(3＋2x －6)2＝(x －1)2＋(－2x ＋6)2，解得x ＝2，则y ＝－2×2＋6＝2， ∴点P 坐标为(2，2)；第6题解图②(3)依题意可设点M 坐标为(a ，0)，则点G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ， |2－a |＝|－a 2＋2a ＋3|， ①2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)，解得a ＝1±212，②2－a ＝－a 2＋2a ＋3，解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．7. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(6，0)，点C 坐标为(0，6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)点F 是抛物线上的动点，当∠FBA ＝∠BDE 时，求点F 的坐标；(3)若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，在平面内是否存在一点Q ，使四边形MPNQ 是以线段MN 为对角线的正方形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点B (6，0)、C (0，6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得，⎩⎪⎨⎪⎧－18＋6b ＋c ＝0c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝6， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋2x ＋6.将解析式化为顶点式为y ＝－12(x －2)2＋8，∴顶点D 的坐标为(2，8)；(2)设F (x ，－12x 2＋2x ＋6)，如解图①，①当点F 在x 轴上方时，过F 作FG ⊥x 轴于点G ， ∵∠FBA ＝∠BDE ，∠FGB ＝∠DEB ＝90°，第7题解图①∴△BFG ∽△DBE ， ∴FG BE ＝BGDE， ∵BE ＝6－2＝4，DE ＝8， ∴FG BG ＝BE DE ＝48＝12， ∴BG ＝2FG ，即6－x ＝2(－12x 2＋2x ＋6)，化简得x 2－5x －6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝6(不合题意)， ∵当x ＝－1时，－12x 2＋2x ＋6＝72，∴F (－1，72)；②当点F 在x 轴下方时，如解图①，记为F ′，同理可得 6－x ＝2(12x 2－2x －6)化简得x 2－3x －18＝0解得x 1＝－3，x 2＝6(不合题意)， ∵当x ＝－3时，－12x 2＋2x ＋6＝－92，∴F ′(－3，－92)，综上所述，点F 的坐标为(－1，72)或(－3，－92)；第7题解图②(3)假设存在点Q 使四边形MPNQ 是以线段MN 为对角线的正方形，由正方形的性质可知，点P 就是抛物线对称轴与x 轴的交点，如解图②，直线l 1，l 2即是正方形边所在的直线，分别与抛物线交于点M 2、N 1、M 1、N 2，M 1N 1、M 2N 2分别与对称轴交于点E 1、E 2.设直线l 1的表达式为y ＝x ＋b ， ∵l 1过点P (2，0)， ∴l 1的表达式为y ＝x －2，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x 2＋2x ＋6y ＝x －2，解得⎩⎨⎧x 1＝1＋17y 1＝17－1，⎩⎨⎧x 2＝1－17y 2＝－17－1，∴N 1(1＋17，17－1)，M 2(1－17，－17－1)；又∵Q 1E 1＝E 1P ＝E 1N 1＝E 1M 1，Q 2E 2＝E 2P ＝M 2E 2＝E 2N 2，点Q 1、Q 2都在抛物线的对称轴上， ∴存在满足条件的点Q ，点Q 的坐标分别为(2，217－2)，(2，－217－2)．8. 如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B (3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，3)，已知对称轴x ＝1. (1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．第8题图解：(1)把C (0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3，把B (3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得9a ＋3b ＋3＝0，又∵抛物线的对称轴为x ＝1， ∴联立⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋3＝0－b 2a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3；【一题多解】设所求抛物线L 的解析式为y ＝m (x －1)2＋n ，把B (3，0)，C (0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D (1，4)，如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ，则△BEF ∽△BCO ， ∴EF OC ＝BFBO， ∴EF ＝2，∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4；第8题解图①【一题多解】由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过D作y轴平行线，分别交CB，OB于点E，F，∵△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，且EF⊥OB，∴△EFB为等腰直角三角形，∴EF＝BF＝2，∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4；(3)能．设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别是点M，N，第8题解图②∴∠NPM＝∠QPB＝90°，即∠NPQ＝∠MPB，又∵PB＝PQ且∠PMB＝∠PNQ＝90°，∴△PMB ≌△PNQ (AAS)， ∴PM ＝PN .①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3，即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方，直线l 右侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝x ＋3，即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±332，分别代入y ＝－x 2＋2x ＋3得P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，当点P 在x 轴下方，直线l 左侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝－3－x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝1(舍去)，综上所述，满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a (a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC . (1)求A 、B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数表达式(其中k ，b 用含a 的式子表示)；(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.解：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋32＝1.(2)∵直线l ：y ＝kx ＋b 经过点A (－1，0)， ∴0＝－k ＋b ，即b ＝k ，∴直线l ：y ＝kx ＋k .∵抛物线与直线l 交于点A ，D ， ∴ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－(2a ＋k )x －3a －k ＝0， ∵CD ＝4AC ， ∴点D 的横坐标为4，由根与系数的关系可得－3－ka ＝－1×4，∴k ＝a ，∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a .(3)如解图①，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 于点F ，设E (x ，ax 2－2ax －3a )，则F (x ，ax ＋a )， ∴EF ＝ax 2－2ax －3a －(ax ＋a )＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝12(ax 2－3ax －4a )(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a )x ＝12(ax 2－3ax －4a )＝12a (x －32)2－258a ，∵a ＜0，∴当x ＝32时，△ACE 的面积最大，最大值为－258a ，∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25；第9题解图①(4)能；理由如下：令ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即ax 2－3ax －4a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴D (4，5a )．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴设P (1，m )，①如解图②，若AD 是矩形ADPQ 的一条边，连接AP ，第9题解图②则易得Q (－4，21a )，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P (1，26a )， ∵四边形ADPQ 为矩形， ∴∠ADP ＝90°， ∴AD 2＋PD 2＝AP 2.∴52＋(5a )2＋(1－4)2＋(26a －5a )2＝(－1－1)2＋(26a )2，即a 2＝17，∵a ＜0， ∴a ＝－77， ∴P (1，－2677)．②如解图③，若AD 是矩形APDQ 的对角线，第9题解图③则易得Q 为(2，－3a )，m ＝5a －(－3a )＝8a ，则P (1，8a )， ∵四边形APDQ 为矩形， ∴∠APD ＝90°， ∴AP 2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a )2＋(1－4)2＋(8a －5a )2＝52＋(5a )2，即a 2＝14，∵a ＜0， ∴a ＝－12，∴P (1，－4)．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1，－2677)或(1，－4)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a (x ＋1)2－3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－83)，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．(1)求a 的值及点A ，B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l 的函数表达式；(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)把点C (0，－83)代入y ＝a (x ＋1)2－3，得－83＝a －3，解得a ＝13，∴y ＝13(x ＋1)2－3，当y ＝0时，有13(x ＋1)2－3＝0，∴x 1＝2，x 2＝－4， ∴A (－4，0)，B (2，0)；(2)如解图①，连接CH ，设过点H 的直线l HE 交BC 于点E ，过点H 的直线l HF 交AD 于点F ，第10题解图①由(1)可知D (－1，－3)，H (－1，0)S 四边形ABCD ＝S △AHD ＋S △HCD ＋S △BHC ＝12×3×3＋12×3×1＋12×3×83＝10，则S △BHE ＝S △AHF ＝310S 四边形ABCD＝3， ∵AH ＝BH ＝3， ∴E 、F 的纵坐标为－2，用待定系数法可求出直线BC 和直线AD 的解析式， l BC ：y ＝43x －83，l AD ：y ＝－x －4，∴E (12，－2)，F (－2，－2)，∴可求出直线HF 和直线HE 的解析式，即l HE ：y ＝－43x －43，l HF ：y ＝2x ＋2，∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x －43或y ＝2x ＋2；(3)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)且过点H (－1，0)的直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴－k ＋b ＝0， ∴b ＝k ， ∴y ＝kx ＋k . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k y ＝13x 2＋23x －83， ∴13x 2＋(23－k )x －83－k ＝0，得x 1＋x 2＝－2＋3k ，y 1＋y 2＝kx 1＋k ＋kx 2＋k ＝3k 2， ∵点M 是线段PQ 的中点， ∴M (32k －1，32k 2)．假设存在这样的N 点，如解图②，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y ＝kx ＋k －3第10题解图②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －3y ＝13x 2＋23x －83，解得x 1＝－1，x 2＝3k －1， ∴N (3k －1，3k 2－3) ∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN ＝DM ，∴(3k )2＋(3k 2)2＝(3k 2)2＋(32k 2＋3)2，整理得3k 4－k 2－4＝0，即(k 2＋1)(3k 2－4)＝0， ∵k 2＋1>0，∴3k 2－4＝0，解得k ＝±233，∵k <0， ∴k ＝－233，∴P (－33－1，6)，M (－3－1，2)，N (－23－1，1) ∴PM ＝DN ＝27， ∵PM ∥DN ，∴四边形DMPN 是平行四边形， ∵DM ＝DN ，∴四边形DMPN 是菱形，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为(－23－1，1)．。

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】二次函数与角度数量关系问题【题型三】二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】二次函数与特殊三角形问题【题型五】二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题1．如图，已知抛物线y=−43x2+bx+c经过A(0,4)，B(3,0)两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y= 12x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求∥PCE面积最大时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当∥OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把∥MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．3．已知抛物线y=−12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，−52），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求∥PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．4．如图，抛物线y= −14x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，52）．直线y=kx−32过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y= −14x2+bx+c与直线y=kx −32的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE∥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN∥AD于点N，设∥PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x 的函数关系式，并求出l的最大值．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是直线BC下方的抛物线上一点，且S∥PBC＝2S∥ABC时，求点P的坐标；（3）点P（﹣2，﹣3），点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1，0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∥AOB=2，点C是线段OA的中点.（1）求点C的坐标；（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∥APO=∥CBO，抛物线y=ax2+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D.请你探索：是否存在这样的点M，使得∥MAD∥∥AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C 在x轴的下方，且OA=OC=5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F 为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．10．综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴负半轴交于点A(−1，0)，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．（1）求抛物线和直线AF的解析式；（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使S△PAE=3S△PDE，求点P的坐标；（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，与y轴交于点A与x轴交于点E、B，且点A(0，5)，B(5，0)，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的点，且在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得以点A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请写出点Q，D的坐标，如果不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB距离最大，求点P坐标；（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与线段BC相交于点F，M为线段BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．13．已知抛物线y=−12x2+32x+2，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段BC上的一个动点．①若PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；②求√2AP+PB的最小值．14．已知二次函数y=﹣x2+2x+m.（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DE ⊥x轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值.15．如图，抛物线y=12x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求点A、B、C的坐标．（2）点P为AB上的动点（点A、O、B除外），过点P作直线PN∥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式．（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt∥COB 相似时点P的坐标．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM∥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN∥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：将A(0,4),B(3,0)代入抛物线的解析式得：{c=4−12+3b+c=0，解得：b=83,c=4．∴抛物线的解析式为：y=−43x2+83x+4．（2）解：①如图1所示：∵令y=0，−43x2+83x+4=0解得：x1=−1,x2=3，∴C(−1,0)．∴BC=4,AB=√32+42=5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE//BC．∴ADDC=AFFO=1．∴PQ=FO=2．∵PQ⊥BC,QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当PQQN=ABCB或POQN=CBAB时，△PQN与△ABC相似．∵当PQQN=ABCB时，2QN=54，解得：QN=8 5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×85=2．∴OQ=3−2=1．∴点P的坐标为(1,2)．当PQQN=CBAB时，2QN=45，解得：QN=2.5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×52=258．∴OB−BQ=−1 8，∴点P的坐标为(−18,2)．综上所述点P的坐标为：(1,2)或(−18,2)．②如图2所示：∵PQ=QN,PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°，∵由（2）可知OA=4,AB=5，∴sin∠ABO=4 5．∴QNQB=45，即2QB=45，解得：QB=52．∴OQ =OB −QB =3−52=12． ∴P(12,2) ．2．【答案】（1）解：根据题意得：{c =−42+2b +c =0 ，解得： {b =1c =−4，所以该抛物线的解析式为：y= 12x 2+x ﹣4；（2）解：令y=0，即 12 x 2+x ﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2=2，∴A （﹣4，0），S ∥ABC = 12 AB•OC=12设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x ． ∵PE∥BC ，∴∥BPE=∥BAC ，∥BEP=∥BCA ， ∴∥PBE∥∥BAC ，∴S △PBE S △ABC=（ PB AB ）2，即 S△PBE 12 =（ 2−x 6 ）2，化简得：S ∥PBE = 13（2﹣x ）2． S ∥PCE =S ∥PCB ﹣S ∥PBE = 12 PB•OC ﹣S ∥PBE = 12 ×（2﹣x ）×4﹣ 13 （2﹣x ）2=﹣ 13 x 2﹣ 23 x+ 83 =﹣ 13 （x+1）2+3∴当x=﹣1时，S ∥PCE 的最大值为3．（3）解：由（2）已知A （﹣4，0）， ∵点D 为0A 中点， ∴D （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A （﹣4，0）、C （0，﹣4）分别代入得： {−4m +n =0n =−4 ，解得 {m =−1n =−4 ，∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣4．∵PE∥AC ，所以可设直线PE 的解析式为y=﹣x+a ，将P （﹣1，0）代入y=﹣x ﹣a 得a=﹣1，所以直线PE 的解析式为y=﹣x ﹣1．设直线BC 的解析式为y=kx+a′，将B （2，0）、C （0，﹣4）代入y=kx+a′得 {2k +a′=0a′=−4 ，解得k=2，a′=﹣4．所以直线BC 的解析式为y=2x ﹣4．由2x ﹣4=﹣x ﹣1得x=1，将x=1代入y=2x ﹣4得y=﹣2， ∴E 点坐标为（1，﹣2）． ①当MD=OD 时，如图1：∵AD=MD=AD ，OA=OC ，∥DAM=∥OAC ， ∴∥ADM∥∥AOC ，∴∥ADM=∥AOC=90°，即DM∥x 轴，∴M 的横坐标为﹣2，将x=﹣2代入y=﹣x ﹣4，得y=﹣2．所以此时M 的坐标为（﹣2，﹣2）； ∵M 和E 点纵坐标相等， ∴ME∥x 轴， ∴∥PEM=45°．由翻折得∥ENM=2∥PEM=90°，即NE∥y 轴， ∴EN=ME=3， ∵E （1，﹣2）， ∴N （1，1）．②当DM=OM 时，过点M 作MG∥x 轴交于点，如图2：易知DG=OG=1，即G点与P点重合，M的横坐标为﹣1，将x=﹣1代入y=﹣x﹣4，得y=﹣3．∴M（﹣1，﹣3）．∵ME= √(−1−1)2+(−3+2)2= √5，EB= √(1−2)2+22= √5，∴ME=EB，∵PB=3，PM=3，即PB=PM，又∵PE=PE，∴∥BPE∥∥MPE，∴∥BEP=∥MEP，∴点N与点B重合，∴N（2，0）；③当OD=OM时，设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC=h•AC∵AC= √OA2+OC2= √42+42=4 √2，∴h= 4×44√2=2 √2，∵h＞OD，∴OD≠OM．此时等腰∥OMD不存在．综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．3．【答案】（1）解：将点C（0，−52）代入抛物线解析式得：m+12=−52，解得：m=−3，∴抛物线解析式为：y=−12x2−3x−52；（2）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令0=−12x2−3x−52，解得：x1=−5，x2=−1，∴A、B坐标分别为：A(−5，0)，B(−1，0)，设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，将A(−5，0)和C(0，−52)代入得：{−5k+b=0b=−52，解得：{k=−12b=−52，∴直线AC的解析式为：y=−12x−52，如图所示，过P点作PQ∥x轴，交AC于Q点，∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，∴设P(a，−12a2−3a−52)，则Q(a，−12a−52)，其中−5<a<0，∴PQ=y P−y Q=−12a2−3a−52−(−12a−52)=−12a2−52a，∵S△PAC=12PQ(x C−x A)，∴S△PAC=12(−12a2−52a)×[0−(−5)]=−54(a+52)2+12516，∵−54<0，∴抛物线开口向下，当a=−52时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516，此时，将a=−52代入抛物线解析式得：y=158，∴当P(−52，158)时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516；（3）解：如图所示，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G ．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为(−3，2)，∴沿x 轴向下翻折后，图象G 的顶点坐标为(−3，−2)，图象G 的解析式为：y =12x 2+3x +52；∵图象G 沿着直线AC 平移，∴作直线BS∥AC ，交PC 于S 点，则随着平移过程，点B 在直线BS 上运动，分如下情况讨论：①当图象G 沿直线AC 平移至B 点恰好经过S 点时，如图中M 1所示，此时，平移后的图象M 恰好与线段PC 有一个交点，即为S 点，由（2）知，P(−52，158)，以及直线AC 的解析式为y =−12x −52，∴设直线BS 的解析式为：y =−12x +b ，将B(−1，0)代入得：b =−12，∴直线BS 的解析式为：y =−12x −12；设直线PC 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，将P(−52，158)，C(0，−52)代入得：{−52k +b =158b =−52，解得：{k =−74b =−52，∴直线PC 的解析式为：y =−74x −52；联立{y =−12x −12y =−74x −52，解得：{x =−85y =310，即：S 点的坐标为S(−85，310)，∴此时点B(−1，0)平移至S(−85，310)，等同于向左平移35个单位，向上平移310个单位，即：当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向左平移35个单位，向上平移310个单位， ∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)， ∴平移后图象M 1的顶点的横坐标n =−3−35=−185； ②当图象G 沿直线AC 平移至恰好经过C 点时，如图中M 2所示，设图象G 与直线AC 的交点为R ，联立{y =12x 2+3x +52y =−12x −52，解得：{x =−5y =0或{x =−2y =−32， ∴点R 的坐标为：R(−2，−32)，由R(−2，−32)平移至C(0，−52)，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 2的顶点的横坐标n =−3+2=−1；∴当图象G 在M 1和M 2之间平移时，均能满足与线段PC 有且仅有一个交点，此时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1； ③当图象G 沿直线AC 平移至A 点恰好经过C 点时，如图中M 3所示，此时，由A(−5，0)平移至C(0，−52)，等同于向右平移5个单位，向下平移52个单位，即：原图像G 向右平移5个单位，向下平移52个单位，得到图象M 3，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 3的顶点的横坐标n =−3+5=2；综上所述，当新的图象M 与线段PC 只有一个交点时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1或n =2． 4．【答案】（1）解：∵y= −14x 2+bx+c 经过点A （2，0）和B （0， 52 ），∴由此得 {−1+2b +c =0c =52，解得 {b =−34c =52． ∴抛物线的解析式是y= −14x 2﹣ 34 x+ 52 ，∵直线y=kx ﹣ 32 经过点A （2，0）∴2k ﹣ 32 =0，解得：k= 34，∴直线的解析式是y= 34 x ﹣ 32（2）解：设P 的坐标是（x ， −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ），则M 的坐标是（x ， 34 x ﹣ 32 ）∴PM=（ −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ）﹣（ 34 x ﹣ 32 ）=﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4，解方程 {y =−14x 2−34x +52y =34x −32得： {x =−8y =−712， {x =2y =0 ， ∵点D 在第三象限，则点D 的坐标是（﹣8，﹣7 12 ），由y= 34 x ﹣ 32得点C 的坐标是（0，﹣32）， ∴CE=﹣ 32 ﹣（﹣7 12）=6，由于PM∥y 轴，要使四边形PMEC 是平行四边形，必有PM=CE ，即﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4=6解这个方程得：x 1=﹣2，x 2=﹣4，符合﹣8＜x ＜2，当x=﹣2时，y=﹣ 14 ×（﹣2）2﹣ 34 ×（﹣2）+ 52=3，当x=﹣4时，y=﹣ 14 ×（﹣4）2﹣ 34 ×（﹣4）+ 52= 32 ，因此，直线AD 上方的抛物线上存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形，点P 的坐标是（﹣2，3）和（﹣4， 32）（3）解：在Rt∥CDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= √82+62 ∴∥CDE 的周长是24， ∵PM∥y 轴， ∵∥PMN=∥DCE ， ∵∥PNM=∥DEC ， ∴∥PMN∥∥CDE ，∴△PMN 的周长△CDE 的周长 = PM DC ，即 l 24 = −14x 2−32x+410，化简整理得：l 与x 的函数关系式是：l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485，l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485 =﹣ 35（x+3）2+15，∵﹣ 35＜0，∴l 有最大值，当x=﹣3时，l 的最大值是15．5．【答案】（1）解：∵y ＝ax 2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴{a −b +2=016a +4b +2=0 ，解得 {a =−12b =32 ， ∴抛物线的解析式为：y =−12 x 2+32x+2．（2）解：∵A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴AB ＝5，由抛物线的解析式可得，C （0，2），∴OC ＝2，l BC ：y =−12x+2．∴S ∥PBC ＝2S ∥ABC ＝2 ×12•AB•OC ＝5×2＝10．在x 轴上取点M （﹣6，0），则MB ＝10，∴S ∥MBC =12 •MB•OC =12×2×10= 10．过点M 作BC 的平行线MN ，交抛物线于点P 1，P 2，∴l MN ：y =−12 x ﹣3．联立 {y =−12x 2+32x +2y =−12x −3，解得 {x =2+√14y =−4−√142 ，或 {x =2−√14y =−4+√142，∴P 1（2 +√14 ，﹣4 −√142 ），P 2（2 −√14 ，﹣4 +√142）．（3）解：由抛物线解析式可得，抛物线对称轴为直线x =32．∵点F 是抛物线对称轴上一点， ∴设点F 的坐标为（ 32，t ）．若以点B 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，需要分以下两种情况： ①当BP 为边时，如图，由平行四边形的性质可知，E1（32+6，t+3），E2（32−6，t﹣3），∵点E在抛物线y =−12x2+32x+2上，∴t+3 =−12×（32+6）2+32×（32+6）+2，解得t =−1438，t﹣3 =−12×（32−6）2+32×（32−6）+2，解得t =−1378，∴F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）．②当BP为对角线时，BP的中点为（1，−3 2），∵F（32，t），∴E（−12，﹣t﹣3），∴﹣t﹣3 =−12×（−12）2+32×（−12）+2，解得t =−338，∴F（32，−338）．综上，点F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）或（32，−338）．6．【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 2 3，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S∥APO+S∥CPO-S∥ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD = 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(∥M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∥FN1O+∥M1N1E=90°，∥M1N1E+∥EM1N1=90°，∴∥EM1N1=∥FN1O，∥M1N1E=∥N1OF=90°，ON1=M1N1，∴∥M1N1E∥∥N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(∥M2N2O)：同理可得：点N 2( −1−√734 ， −3+√734)； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4，同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：( −7−√734 ， −3−√734 )、( −1+√734 ， −3−√734)；综上，点N 的坐标为：( −7+√734 ， −3+√734 )或( −1−√734 ， −3+√734 )或( −7−√734， −3−√734 )或( −1+√734 ， −3−√734). 7．【答案】（1）解：令 4x −12=2x 2−8x +6 ，解得 x 1=x 2=3 ，当 x =3 时， 4x −12=2x 2−8x +6=0 ，∴y =ax 2+bx +c 必过 (3，0) ，又∵y =ax 2+bx +c 必过 (−1，0) ，∴{a −b +c =09a +3b +c =0,⇒,{b =−2a c =−3a， ∴y =ax 2−2ax −3a ，即 4x −12≤ax 2−2ax −3a ，即可看成二次函数 y =ax 2−2ax −3a 与一次函数 y =4x −12 仅有一个交点，且整体位于 y =4x −12 的上方∴a >0 ，∴ 4x −12=ax 2−2ax −3a 有两个相等的实数根∴ Δ=0∴(2a +4)2−4a(12−3a)=0 ，∴(a −1)2=0 ，∴a =1 ，∴b =−2 ， c =−3 ，∴y =x 2−2x −3 ．（2）解：由（1）可知： A(3，0) ， C(0，−3) ，设 M(m ，m 2−2m −3)，N(n ，0) ，①当 AC 为对角线时， {x A +x C =x M +x N y A +y C =y n +y N∴{3+0=m +n 0+(−3)=m 2−2m −3+0，解得 m 1=0 （舍）， m 2=2 ， ∴n =1 ，即 N 1(1，0) ．②当AM为对角线时，{x A+x M=x C+x Ny A +yM=yC+yN∴{3+m=0+n0+m2−2m−3=−3+0，解得m1=0（舍）m2=2，∴n=5，即N2(5，0)．③当AN为对角线时，{x A+x N=x C+x My A +yN=yC+yM∴{3+n=0+m0+0=−3+m2−2m−3，解得m1=1+√7，m2=1−√7，∴n=√7−2或n=−2−√7，∴N3(√7−2，0)，N4(−2−√7，0)．综上所述：N点坐标为(1，0)或(5，0)或(√7−2，0)或(−2−√7，0)．8．【答案】（1）解：过点A作AD∥OB于点D，过点C作CE∥OB于点E，∵AO=AB，∴AD是∥AOB的中线，∴OD= 12OB=2，∵tan∥AOB=2，∴ADOD=2，∴AD=4，∵CE∥AD，点C是AO的中点，∴CE是∥AOD的中位线，∴CE= 12AD=2，OE=12OD=1，∴C的坐标为（1，2）；（2）解：由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐标为（2，4），∴tan∥CBE= CEBE=23，∵∥APO=∥CBO，∴tan∥APO=tan∥CBO= 23， ∴AD PD = 23， ∴PD=6，设P 的坐标为（x ，0），∵D （2，0），∴PD=|x ﹣2|，∴|x ﹣2|=6，∴x=8或x=﹣4，∴P （8，0）或（﹣4，0）；当P 的坐标为（8，0）时，把A （2，4）和（8，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +b 0=64a +8b，解得： {a =−13b =83， ∴抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83x ，当P 的坐标为（﹣4，0）时，把A （2，4）和P （﹣4，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +2b 0=16a −4b ，解得： {a =13b =43， ∴抛物线的解析式为：y= 13 x 2+ 43x ，综上所述，抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83 x 或y= 13 x 2+ 43x ；（3）解：∵M 为圆心，N 为切点，∴MN∥OA ，∵D 点是A 点关于MN 的对称点，∴∥MAD 是等腰三角形，MA=MD当∥MAD∥∥AOB 时，∵∥AOB 是等腰三角形，∴∥MAD=∥AOB ，当抛物线的解析式为y=﹣ 13 x 2+ 83x 时，如图2，①若点N在A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，∴AM∥x轴，∴M的纵坐标为4，∴把y=4代入y=﹣13x2+ 83x，解得：x=2（舍去）或x=6，∴M的坐标为（6，4），②当点N在点A的下方时，此时∥MDA=∥AOB，∴DM∥x轴，过点A作AE∥DM于点E，交于x轴于点F，设D点横坐标为a，∴DE=2-a，∵tan∥MDA=tan∥AOB=2，∴AE=2DE=4-2a，∴点M的纵坐标为2a，∴由勾股定理可知：AD= √5（2-a），OA=2 √5，∴OADM=OBAD，解2√5DM=4√5(2−a)，∴DM= 5(2−a)2，设M的横坐标为x，∴x-a= 5(2−a)2∴x= 10−3a2，∴M（10−3a2，2a）把M（10−3a2，2a）代入y=﹣13x2+ 83x，得：2a=- 13×(10−3a2)2+ 83×(10−3a2)解得：a=2或a=- 10 3，∴当a=2时，M（2，4）舍去当a=- 103时，M（10，-203）当抛物线的解析式为y= 13x2+ 43x时，如图4，若点N在点A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，延长MA交x轴于点F，∵∥MAN=∥OAF，∴∥AOB=∥OAF，∴FA=FO，过点F作FG∥OA于点G，∵A（2，4），∴由勾股定理可求得：AO=2 √5，∴OG= 12AO= √5 ， ∵tan∥AOB= CF OG∴GF=2 √5 ，∴由勾股定理可求得：OF=5，∴F 的坐标为（5，0），设直线MA 的解析式为：y=mx+n ，把A （2，4）和F （5，0）代入y=mx+n ，∴{4=2m +n 0=5m +n，解得： {m =−43n =203， ∴直线MA 的解析式为：y=﹣ 43 + 203，联立 {y =13x 2+43x y =−43x +203， ∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，把x=﹣10代入y=﹣ 43 + 203， ∴y=20，∴M （﹣10，20），若点N 在点A 的下方时，此时∥MAN=∥AOB ，∴AM∥x 轴，∴M 的纵坐标为4，把y=4代入y= 13 x 2+ 43x ， ∴x=﹣6或x=2（舍去），∴M （﹣6，4），综上所述，存在这样的点M （6，4）或（10，- 203）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得∥MAD∥∥AOB9．【答案】（1）解：由题意，可得A （﹣5，0），C （0，﹣5）．∵抛物线y=x 2+bx+c 过点A ，点C ，∴{25−5b +c =0c =−5，∴抛物线对应的函数解析式为y=x 2+4x ﹣5；（2）解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是直线x=﹣2．∵抛物线y=x 2+4x ﹣5与x 轴交于点A ，B ，∴点A ，B 关于直线x=﹣2对称．连结AC ，交对称轴于点P ，此时PB+PC 的值最小．设直线AC 的解析式为y=mx+n ，则 {−5m +n =0n =−5，解得 {m =−1n =−5 ， ∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣5，当x=﹣2时，y=﹣3，∴点P 的坐标为（﹣2，﹣3）（3）解：在（2）条件下，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）．设F （x ，x 2+4x ﹣5），∵四边形PEFM 为正方形，∴E （﹣2，x 2+4x ﹣5），M （x ，﹣3），PM=PE ，∴|x+2|=|x 2+4x ﹣5+3|，∴x 2+4x ﹣2=x+2，或x 2+4x ﹣2=﹣x ﹣2，整理得x 2+3x ﹣4=0，或x 2+5x=0，解得x 1=﹣4，x 2=1，x 3=0，x 4=﹣5，∴M （﹣4，﹣3）或M （1，﹣3）或M （0，﹣3）或M （﹣5，﹣3）10．【答案】（1）解：将A(−1，0)和C(0，3)代入y =ax 2+2x +c(a ≠0)，得{a −2+c =0c =3，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，将A(−1，0)代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，解得b＝1，∴直线AF的解析式为y＝x＋1（2）解：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1，4)，对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故E(1，2)，∴DE＝4－2＝2．过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG∥AF于点G，过点P作PK∥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：设P(m，−m2+2m+3)，则H(m，m+1)，∴PH=(−m2+2m+3)−(m+1)=−m2+m+2，对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，由交点得出∥FAB＝45°，∴∥PHG＝45°，即∥PHG为等腰直角三角形，故有PG=√22PH=√22(−m2+m+2)，延长DE交x轴于点Q，则Q(1，0)，∴AQ＝2，即AE=√2AQ=2√2，∴S△PAE=12AE⋅PG=12×2√2×√22(−m2+m+2)=−m2+m+2，∵P(m，−m2+m+3)，K(1，−m2+m+3)，∴PK=|1−m|，∴S△PDE=12DE⋅PK=12×2×|1−m|=|1−m|，由S△PAE=3S△PDE，得−m2+m+2=3|1−m|，解得m1=2−√3，m2=2+√3（不合题意，舍去），m3=−1+√6，m4=−1−√6（不合题意，舍去），将m1=2−√3代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=2√3，则得点P的坐标为P(2−√3，2√3)；将m3=−1+√6代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=4√6−6，则得点P的坐标为P(−1+√6，4√6−6)；综上所述，点P的坐标为P(2−√3，2√3)或P(−1+√6，4√6−6)（3）解：存在，N1(0，1)，N2(2，3)，N3(1+√172，3+√172)，N4(1−√172，3−√172)11．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴抛物线解析式为y=ax2−4ax+c，∵点A(0，5)，B(5，0)，∴{c=525a−5b+c=0，∴{a=−1c=5，∴二次函数的解析式为y=−x2+4x+5；（2）解：∵AC//x轴，点A(0，5)，当y=5时，−x2+4x+5=5，∴x1=0，x2=4，∴C(4，5)，∴AC=4，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A(0，5)，B(5，0)，由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=−x+5；设P(m，−m2+4m+5)，∴D(m，−m+5)，∴PD=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，∵AC=4，∴S四边形APCD =12AC⋅PD=2(−m2+5m)=−2(m−52)2+252∴当m=52时，四边形APCD的面积最大，∴即点P(52，354)时，四边形APCD的面积最大为252；（3）解：(3)设P(n，−n2+4n+5)则D(n，−n+5)①当AC为平行四边形的边，如图，∴AC∥DQ，AC=DQ，∴点Q的纵坐标为−n+5，又∵点Q在抛物线上，∴−x2+4x+5=−n+5，解得x=2±√4+n，∴点Q的坐标为(2+√4+n，−n+5)或(2−√4+n，−n+5)，当Q点坐标为(2+√4+n，−n+5)时，∵AC =4，∴DQ =2+√4+n −n =4， ∴4+n =(n +2)2，解得n =0或n =−3，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4， ∴此时不符合题意；当Q 点坐标为(2−√4+n ，−n +5)时， ∵AC =4，∴DQ =n −2+√4+n =4，∴4+n =(6−n)2，即n 2−13n +32=0解得n =13+√412或n =13−√412，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4，∴n =13−√412∴D 点坐标为(13−√412，√41−32)，Q 点坐标为(2−√42−2√412，√41−32)②AC 为平行四边形的对角线时，如图，连接DQ 交AC 于点M ， ∴AM =CM ，DM =QM ， ∵A(0，5)，C(4，5)， ∴M 的坐标为(2，5)，设点Q 的坐标为(t ，−t 2+4t +5)，∴{t+n2=2−t 2+4t+5−n+52=5，解得{t =1n =3或{t =4n =0，同理可得0<n <4， ∴{t =1n =3， ∴点D 的坐标为（3，2），点Q 的坐标为（1，8）；综上所述，存在Q 使得以A 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，此时D 、Q 的坐标分别为(13−√412，√41−32)，(2−√42−2√412，√41−32)或（3，2），（1，8）． 12．【答案】（1）解：由题意得 {a −b −4a =0−4a =4 ，解得 {a =−1b =3．∴抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+3x+4．（2）解：由B （4，0）、C （0，4）可知，直线BC ：y ＝﹣x+4；如图1，过点P 作PQ//y 轴，交直线BC 于Q ，设P （x ，﹣x 2+3x+4），则Q （x ，﹣x+4）；∴PQ ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；S ∥PCB ＝ 12 PQ•OB ＝ 12 ×（﹣x 2+4x ）×4＝﹣2（x ﹣2）2+8；∴当P （2，6）时，∥PCB 的面积最大；（3）解：存在．抛物线y ＝﹣x 2+3x+4的顶点坐标E (32,254) ，直线BC ：y ＝﹣x+4；当 x =32 时，F (32,52) ，∴.EF =154．如图2，过点M 作MN∥EF ，交直线BC 于M ，设N （x ，﹣x 2+3x+4），则M （x ，﹣x+4）；由题意点N 在第一象限，∴MN ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；当EF 与NM 平行且相等时，四边形EFMN 是平行四边形，由﹣x 2+4x =154时，解得 x 1=52,x 2=32 （不合题意，舍去）．当 x =52 时， y =−(52)2+3×52+4=214，∴N （ 52， 214 ）．∴点N 坐标为（ 52， 214 ）．13．【答案】（1）令 y =0 ，则 −12x 2+32x +2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ．∴A 点坐标为 (−1,0) ，B 点坐标为 (4,0) ．令 x =0 ，则 y =2 ． ∴C 点坐标为 (0,2) ．（2）①设： l BC :y =mx +n ，将 B(4,0) ， C(0,2) 分别代入得， {0=4m +n 2=n ，解得 {m =−12n =2，故 l BC :y =−12x +2 ．可设 P(t,−12t +2) ， 0≤t ≤4 ，则 Q(t,−12t 2+32t +2) ，且Q 在P 上方．所以 PQ =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+2t ．又 BP =√(4−t)2+(−12t +2)2=√52(4−t) ．故 BP +PQ =√52(4−t)+(−12t 2+2t)=−12t 2+(2−√52)t +2√5 ．当 t =2−√52 时取得最大值，此时 P(2−√52,1+√54) ．②如图，延长AC至点D，使得CD=CB，连接BD，作DE⊥y轴于点E，过点P作PH⊥BD于点H．由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(−1−4)2=25，所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．则△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=45°．√2AP+PB=√2(AP+PBsin45°)=√2(AP+PH)，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时(AP+PH)取得最小值．∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，∴∠DCE=∠CBO．∴△CDE≌△BCO．∴DE=CO=2，CE=BO=4．可得点D的坐标为(2,6)．∴BD=√(2−4)2+(6−0)2=2√10，=12BD⋅AH，代入可得12×5×6=12×2√10⋅AH，S△ABD=12AB⋅yD，故有√2AP+PB=√2(AP+PH)≥√2AH=3√5．解得AH=3√102所以√2AP+PB的最小值为3√5．14．【答案】（1）解：当抛物线与x轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，∴m>-1；（2）解：∵点A(-1，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，∴-1-2+m=0，∴m=3，∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x+3=0，解得x=-1，或x=3， ∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b 中，得: {3k +b =0b =3 ，解得 {k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y=-x+3;（3）解：点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x+3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x+3），∴DF=-x 2+2x+3-(-x+3)=-x 2+3x= −(x −32)2+94，∴当 x =32 时，DF 最大，为 94 ，此时D 的坐标为（ 32,154 ）.15．【答案】（1）解：∵点A 、B 、C 在二次函数图象上 ∴把x=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得y=2把y=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得x 1=﹣1，x 2=4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）；（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0），把B （4，0），C （0，2）代入，得 {4k +b =0b =2 ， {k =−12b =2 ∴直线BC 的解析式为 y =12x +2∵OP=t∴P （t ，0），M （t ，﹣ 12 t+2），N （t ，﹣ 12 t 2+ 32 t+2），如图，∴S 1=N 1P 1﹣M 1P 1=﹣ 12 t 2+ 32 t+2﹣（﹣ 12 t+2）=﹣ 12t 2+2t （0＜t ＜4），S2=M2P2﹣N2P2=﹣12t+2﹣（﹣12t2+ 32t+2）= 12t2﹣2t（﹣1＜t＜0），（3）解：如图，①若∥OPN∥∥OCB，当OP与OC是对应边时，则OPOC=NPBO，即t2=−12t2+32t+24化简得：t2+t﹣4=0，解得：t1=−1+√172，t2=−1−√172（不合题意，舍去）②若∥OPN∥∥OBC，当OP与OB是对应边时，则OPOB=PNCO，即t4=−12t2+32t+24化简得：t2﹣2t﹣4=0解得：t3=1+ √5，t4=1﹣√5（不合题意，舍去）∴符合题意的点P的坐标为（−1+√172，0）和（1+ √5，0）．16．【答案】（1）解：由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax ﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣1 3，则抛物线的表达式为y=−13x2+13x+4，（2）设点P（m，﹣13m2+ 13m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∥ABC＝∥OCB＝45°＝∥PQN，PN＝PQsin∥PQN＝√22（﹣13m2+ 13m+4+m﹣4）＝﹣√26（m﹣2）2+ 2√23，∵﹣√26＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为2√23.（3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4 √2 ，∥OBC ＝∥OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 得 {0=4k +b b =4 解得 {k =−1b =4∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+4…①，设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得 {0=−3m +n n =4解得 {m =43n =4∴直线AC 的表达式为：y ＝ 43x+4，设直线AC 的中点为K （﹣ 32 ，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣ 34 ，设过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为y ＝﹣ 34 x+q把K （﹣ 32 ，2）代入得2=﹣ 34 ×（﹣ 32 ）+q解得q= 78∴y ＝﹣ 34 x+ 78 …②，①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4（舍去4），故点Q （1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4 √2﹣5，则QM＝MB＝8−5√22，故点Q（5√22，8−5√22）.③当CQ＝AQ时，联立①②，{y=−x+4y=−34x+78，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（5√22，8−5√22）.。

中考总复习-二次函数与几何综合练习(含答案)

中考总复习-二次函数与几何综合1．在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P ．①如图1，当点P 运动到某位置时，以AP ，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O ，P 的直线y =kx 交AC 于点E ，若PE ：OE =3：8，求k 的值．2．如图在平面直角坐标系中顶点为点M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移1个单位得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在抛物线上，且横坐标为3．()1写出以M 为顶点的抛物线解析式．()2连接AB ，AM ，BM ，求tan ABM ∠；()3点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当ABM α=∠时，求点P 坐标．3．如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点()1求m 的值及C 点坐标；()2在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由()3P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．5．已知抛物线y =mx 2+2mx +m -1和直线y =mx +m -1，且m ≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T （t ，0），且-1≤t ≤1，过点T 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，与直线交于点Q ，当0＜m ≤3时，求线段PQ 长的最大值．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D . （1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.7．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．10．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()2,0-，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．()1求抛物线解析式；()2若点P 在第一象限内，当OD 4PE =时，求四边形POBE 的面积；()3在()2的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．13．如图，一次函数1y=x+22分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．15．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a=≠经过点3)A-，对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B.过点A作直线//AC x轴，交y轴于点C.（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P在y轴上，当PA PB+的值最小时，求点P的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得13AOC AOQS S∆∆=，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16．如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴交于点E （0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F （0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG +FG 最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB ，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分别与线段AB 、抛物线相交于点M 、N （点M 、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN 最大时，求△PON 的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.18．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.19．如图，顶点为A1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．20．如图，已知抛物线y=﹣14x2﹣12x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB 上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x 与二次函数2y x bx =+的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；（3）直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．24．抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．25．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)A D --，，P 点为抛物线2y x bx c =++﹣上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵直线y =x +4经过A ，C 两点，∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)4024b c c ⎧-⨯--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：14b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2142y x x =--+．（2）①如图1∵2142y x x =--+， ∴抛物线的对称轴是直线x =﹣1．∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，PQ =AO =4．∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称，∴P 点的横坐标是﹣3，∴当x =﹣3时，215(3)(3)422y =----+=×， ∴P 点的坐标是53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②过P 点作PF ∥OC 交AC 于点F ，∵PF ∥OC ，∴△PEF ∽△OEC ，∴PE PF OE OC=．又∵3,48PE OE OC ==， ∴3PF 2=，设点F （x ，x +4）， ∴2134(4)22x x x ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，化简得：x 2+4x +3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=﹣3．当x =﹣1时，92y =；当x =﹣3时，52y =，即P 点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．又∵点P 在直线y =kx 上，∴9k 2=-或56k =-．2．解：()1抛物线2y x 3=-向右平移一个单位后得到的函数解析式为2y (x 1)3=--，顶点()M 1,3-，令x 0=，则2y (01)32=--=-，点()A 0,2-，x 3=时，2y (31)3431=--=-=，点()B 3,1；()2过点B 作BE AO ⊥于E ，过点M 作MF AO ⊥于M ，EB EA 3==，EAB EBA 45∠∠∴==，同理可求FAM FMA 45∠∠==，ABE ∴∽AMF ，AMAF 1AB AE 3∴==，又BAM 18045290∠=-⨯=，AM1tan ABM AB 3∠∴==；()3过点P 作PH x ⊥轴于H ，22y (x 1)3x 2x 2=--=--，∴设点()2P x,x 2x 2--，①点P 在x 轴的上方时，2x 2x 21x 3--=，整理得，23x 7x 60--=，解得12x (3=-舍去），2x 3=， ∴点P 的坐标为()3,1；②点P 在x 轴下方时，()2x 2x 21x 3---=，整理得，23x 5x 60--=，解得1x =舍去），2x =，x =时，21x 2x 23--=-=，∴点P 的坐标为.综上所述，点P 的坐标为()3,1或. 3．解：（1）y ＝﹣x +3，令y ＝0，则x ＝3，令x ＝0，则y ＝3，故点B 、C 的坐标为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入y ＝x 2+bx +c 并解得：b ＝﹣4，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x +3，令y ＝0，则x ＝1或3，故点A （1，0），点P （2，﹣1）；（2）过点E 作EH ∥y 轴交BC 于点H ，设点E （x ，x 2﹣4x +3），则点H （x ，﹣x +3）S △CBE ＝12HE ×OB ＝12×3×（﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3）＝32（﹣x 2+3x ）， ∵﹣32＜0，当x ＝32时，S △CBE 有最大值，点E （32，﹣34）；（3）点C （0，3）、点P （2，﹣1），设点M （2，m ），CP 2＝4+16＝20，CM 2＝4+（m ﹣3）2＝m 2﹣6m +13，PM 2＝m 2+2m +1， ①当CM ＝CP 时，20＝m 2﹣6m +13，解得：m ＝7或﹣1（舍去m ＝﹣1）； ②当CP ＝PM 时，同理可得：m ＝﹣1±2√5； ③当CM ＝PM 时，同理可得：m ＝32；故点M 坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2√5 ＝）或（2，﹣1﹣2√5）或（2，32）． 4．解：（1）将B （4，0）代入23y x x m =-++，解得，m =4，∴二次函数解析式为234y x x =-++，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）；（2）存在，理由：∵B （4，0），C （0，4），∴直线BC 解析式为y =﹣x +4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC 面积最大，∴24{34y x by x x =-++=-++，∴24(2)16t --+， ∴△=16﹣4b =0，∴b =4，∴26x y =⎧⎨=⎩，∴M （2，6）；（3）①如图，∵点P 在抛物线上，∴设P （m ，234m m -++），当四边形PBQC 是菱形时，点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵B （4，0），C （0，4），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ， ∴m =234m m -++，∴m =1±，∴P （1+，1+）或P （11；②如图，设点P （t ，234t t -++），过点P 作y 轴的平行线l ，过点C 作l 的垂线， ∵点D 在直线BC 上，∴D （t ，﹣t +4），∵PD =234t t -++﹣（﹣t +4）=24t t -+，BE +CF =4，∴S四边形PBQC =2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（12PD×CF+12PD×BE）=4PD=224164(2)16t t t-+--+∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16．5．解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．①如图1，当-1≤t ≤0时，PQ =2Q P y y mt mt -=--=211()24m t m -++． ∵m ＞0，当12t =-时，PQ 有最大值，且最大值为14m ． ∵0＜m ≤3，∴14m ≤34，即PQ 的最大值为34． ②如图2，当0＜t ≤1时，PQ =2P Q y y mt mt -=+=211()24m t m +-． ∵m ＞0，∴当t =1时，PQ 有最大值，且最大值为2m ． ∵0＜m ≤3，∴0＜2m ≤6，即PQ 的最大值为6．综上所述，PQ 的最大值为6．6．解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34AF MQ FB QN ==.32MQ =，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=，∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122DG y x =-+， 2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32x x ∴==.52x >，3x ∴=，()3,1G ∴-. ②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.1211922G G y x ∴=-+，21195522x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=.52x >，x ∴=G ∴. 综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G.（3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ，P 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆∽，AM PNPM BN∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>.0k >，1k ∴==-+7．解：(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，则函数表达式为：22y ax bx =++，将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02bx a=-≥，而21b a =+，即：2102a a +-≥，解得：12a ≥-，故：a 的取值范围为：102a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线l AB ，作PQ y 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，11122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q y y -=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1，故：1P Q y y -=，设点()2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +，即：2221x x x --+--=±，解得：1x =-或1-故点()1,2P -或 ()1-+或(1--.8．解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1，所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1； (2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)， ∵点A (0，1)，点B (9，10)，∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，设P (m ，13m 2−2m ＋1)，∴E (m ，m ＋1)， ∴PE ＝m ＋1−(13m 2−2m ＋1)＝−13m 2＋3m . ∵AC ⊥PE ，AC ＝6， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ⋅EF ＋12AC ⋅PF ＝12AC ⋅(EF ＋PF )＝12AC ⋅EP ＝12×6(−13m 2＋3m )＝−m 2＋9m. ∵0<m <6，∴当m ＝92时，四边形AECP 的面积最大值是814，此时P (9524 ，)； (3)∵y ＝13x 2−2x ＋1＝13(x −3)2−2， P (3，−2)，PF ＝y F −y p ＝3，CF ＝x F −x C ＝3， ∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45∘，同理可得∠EAF ＝45∘，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，设Q (t ，1)且AB ＝，AC ＝6，CP ＝ ∵以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ :AC ＝CP :AB ，(6−t):6＝，解得t ＝4，所以Q (4，1)； ②当△CQP ∽△ABC 时，CQ :AB ＝CP :AC ，(6−t):6，解得t ＝−3，所以Q (−3，1).综上所述：当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，Q 点的坐标为(4，1)或(−3，1).9．解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q -或(；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠，则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点Q 或；综上，点Q -或(或或． 10．解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y =a （x +1）（x -4），将点C （0，2）代入，得：-4a =2，解得：a =-12，则抛物线解析式为y =-12（x +1）（x -4）=-12x 2+32x +2；（2）由题意知点D 坐标为（0，-2），设直线BD 解析式为y =kx +b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y =12x -2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m +2）、M （m ，12m -2），则QM =-12m 2+32m +2-（12m -2）=-12m 2+m +4，∵F （0，12）、D （0，-2），∴DF =52， ∵QM ∥DF ， ∴当-12m 2+m +4=52时，四边形DMQF 是平行四边形，解得：m =-1（舍）或m =3，即m =3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）如图所示：∵QM ∥DF ， ∴∠ODB =∠QMB ，分以下两种情况：①当∠DOB =∠MBQ =90°时，△DOB ∽△MBQ ，则21=42DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ =90°， ∴∠MBP +∠PBQ =90°， ∵∠MPB =∠BPQ =90°， ∴∠MBP +∠BMP =90°， ∴∠BMP =∠PBQ ， ∴△MBQ ∽△BPQ ，∴BM BP BQ PQ=，即214132222m m m -=-++，解得：m 1=3、m 2=4，当m =4时，点P 、Q 、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去， ∴m =3，点Q 的坐标为（3，2）；②当∠BQM =90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM ′，此时m =-1，点Q 的坐标为（-1，0）；综上，点Q 的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 11．解：()1抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，()A 20-，在抛物线上， 2b 12a(2)220a b ⎧-=⎪∴⎨⎪---=⎩，解得：1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线解析式为211y x x 242=--； ()2令211y x x 2042=--=，解得：1x 2=-，2x 4=，当x 0=时，=-y2，()B 40∴，，()C 02-，，设BC 的解析式为y kx b =+，则402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，1y x 22∴=-，设()D m 0，，DP //y 轴，1E m m 22⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，211P m m m 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，OD 4PE =，2111m 4m m 2m 2422⎛⎫∴=---+ ⎪⎝⎭，m 5∴=或m 0(=舍去）， ()D 50，∴，7P 54⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1E 52⎛⎫⎪⎝⎭，，∴S 四边形POBE OPD EBD171133SS5124228=-=⨯⨯-⨯⨯=； ()3存在，设1M n n 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ①以BD 为对角线，如图1，四边形BNDM 是菱形，MN ∴垂直平分BD ，1n 42∴=+， 91M 24⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，M ，N 关于x 轴对称，91N 24⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，；②以BD 为边，如图2，四边形BNDM 是菱形，MN //BD ∴，MN BD MD 1===，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH DH DM ∴+=，即2221(n 2)(n 5)12-+-=，1n 4(∴=不合题意），2n 5.6=，4N 4.65⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，同理221(n 2)(4n)12-+-=，1n 4∴=+不合题意，舍去），2n 4=，N 5⎛∴ ⎝， ③以BD 为边，如图3，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH BH BM ∴+=，即2221(n 2)(n 4)12-+-=，1n 4∴=+2n 4=-不合题意，舍去），N 5⎛∴ ⎝，综上所述，当91N 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，或44.65⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5⎛⎝或5⎛+ ⎝，以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形．12．解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y =﹣x 2+bx +c ，得10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y =﹣x 2+2x +3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=，∴P点到直线BC278=，此时点P的坐标为（32，154）．13．解：（1）∵1y=x+22-分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=72．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+72x+2．（2）如图1，设MN 交x 轴于点E ，则E （t ，0），BE =4﹣t ． ∵OA 21tan ABO OB 42∠===， ∴ME =BE •tan ∠ABO =（4﹣t ）×12=2﹣12t ．又∵N 点在抛物线上，且x N =t ，∴y N =﹣t 2+72t +2． ∴()222N 1MN y ME t t 22t t 4t=t 2+42=-=-++--=-+--（）． ∴当t =2时，MN 有最大值4．（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）．如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形．（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=12x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=32x﹣2．由两方程联立解得D为（4，4）．综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．14．解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝132-+＝1，将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为(n，n+3)，点D的坐标为(0，3)∴DE∵DE＝DC＝4，4，解得n1＝﹣，n2＝．∴点E的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)将点E上移1个单位长度得点G．∴点G的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．15．解：（Ⅰ）∵2(0) y ax x a=≠经过点3)A-，∴23a-=⨯-，解得12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=，∵22bxa=-==∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴94y x=-.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =，3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==.设Q 点坐标为21(,)2m m ，如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴221111m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --=，化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-，∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.16．解：(1)设抛物线的表达式为：y ＝a (x ﹣1)2+4，把(0，3)代入得：3＝a (0﹣1)2+4， a ＝﹣1，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣(x ﹣1)2+4＝﹣x 2+2x +3；(2)存在，如图1，作E 关于对称轴的对称点E '，连接E 'F 交对称轴于G ，此时EG +FG 的值最小． ∵E (0，3)，∴E '(2，3)，设EF 的解析式为y =k ′x +b ′，把F (0，﹣3)，E '(2，3)分别代入，得332b k b ''-=+'=⎧⎨⎩，解得33k b =⎧⎨=-''⎩，所以E 'F 的解析式为：y ＝3x ﹣3，当x ＝1时，y ＝3×1﹣3＝0，∴G (1，0)； (3)如图2．设AB 的解析式为y =k ″x +b ″，把A (1，4)，B (3，0)分别代入，得403k b k b ''''''''=+⎧⎨=+⎩，解得26k b ''''=-⎧⎨=⎩，所以AB 的解析式为：y ＝﹣2x +6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N (m ，﹣m 2+2m +3)，则Q (m ，﹣2m +6)，(1＜m ＜3)， ∴NQ ＝(﹣m 2+2m +3)﹣(﹣2m +6)＝﹣m 2+4m ﹣3， ∵AD ∥NH ，∴∠DAB ＝∠NQM ，∵∠ADB ＝∠QMN ＝90°，∴△QMN ∽△ADB ，∴QN AB MN BD =，∴2m 4m 3MN -+-=∴MN =(m ﹣2)2 5-＜0， ∴当m ＝2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN ＝∠ABD ，∠NGP ＝∠ADB ＝90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴PG BD 21NG AD 42===，∴PG 12=NG 12=m ， ∴OP ＝OG ﹣PG ＝﹣m 2+2m +312-m ＝﹣m 232+m +3， ∴S △PON 12=OP •GN 12=(﹣m 232+m +3)•m ，当m ＝2时，S △PON 12=⨯2(﹣4+3+3)＝2．17．解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+；（2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --，过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A PE ，AE =，分三种情况讨论：当P A =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当P A =AE =解得：n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =，解得：n =﹣2，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 18．解：（l ）因为抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-，又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)-∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩解，得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，抛物线表达式为224233y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-21241132********m m m ⎛⎫=⨯⋅--+⨯⨯-⨯⋅ ⎪⎝⎭ 23m m =-由题意得234m m -= ∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333m m --=∴点P 的坐标为104,3⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、(0,2)B -，∴302k n n +=⎧⎨=-⎩解，得232k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以AB 的表达式为223y x =- 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为224,233t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,23t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+.又MDy 轴∴ABO MDB ∠=∠ 又∵ABO ABM ∠=∠ ∴MDB ABM ∠=∠。