2017年高考新课标3卷文科数学试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(适用地区：云南、贵州、广西、四川)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 由题意可得A∩B＝{2，4}，故选B．答案：B2．复平面内表示复数z＝i(–2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析] 由题意z＝－1－2i，故选B．答案：B3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误，故选A．答案：A4．已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] sin2α＝2sin αcos α＝(sin α－cos α)2－11＝－79，故选A ．答案：A5．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0x ≥0y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[–3，0]B ．[–3，2]C ．[0，2]D ．[0，3][解析] 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3．在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2，故选A ．答案：B6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15[解析] 由诱导公式可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，函数的最大值为65，故选A ．答案：A7．函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图像大致为( )[解析] 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，故排除A ，C ，当x →＋∞时，y →1＋x ，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．答案：D8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 若N ＝2，第一次进入循环，1≤2成立，S ＝100，M ＝－10010＝－10，i ＝2≤2成立；第二次进入循环，此时S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，i ＝3≤2不成立，∴输出S ＝90<91成立，∴输入的正整数N的最小值是2，故选D ．答案：D9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4[解析] 如果，画出圆柱的轴截面AC ＝1，AB ＝12，∴r ＝BC ＝32，那么圆柱的体积是V ＝πr 2h ＝π×⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4，故选B ．答案：B10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC[解析] 根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那么也垂直斜线在平面内的射线． 对于A ，若A 1E ⊥DC 1，那么D 1E ⊥DC 1，很显然不成立；对于B ，若A 1E ⊥BD ，那么BD ⊥AE ，显然不成立；对于C ，若A 1E ⊥BC 1，那么BC 1⊥B 1C ，成立，反过来BC 1⊥B 1C 时，也能推出BC 1⊥A 1E ，∴C 成立， 对于D ，若A 1E ⊥AC ，则AE ⊥AC ，显然不成立，故选C ． 答案：C11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx－ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C ．23D ．13[解析] 以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)⇒2a 2＝3c 2，即c 2a 2＝23，e ＝c a ＝63，故选A ．答案：A12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12 D ．1[解析] 方法一：由条件，f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得：f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a (e 2－x －1＋e－(2－x )＋1)＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1) ＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)∴f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )的对称轴，由题意，f (x )有唯一零点， ∴f (x )的零点只能为x ＝1， 即f (1)＝12－2·1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12．方法二：x 2－2x ＝－a (e x －1＋e －x ＋1)，设g (x )＝e x －1＋e －x ＋1，g ′(x )＝e x －1－e －x ＋1＝e x －1－1e x －1＝e 2(x －1)－1e x －1， 当g ′(x )＝0时，x ＝1，当x <1时，g ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，g ′(x )>0，函数单调递增，当x ＝1时，函数取得最小值g (1)＝2，设h (x )＝x 2－2x ，当x ＝1时，函数取得最小值－1；若－a >0，函数h (x )和ag (x )没有交点，当－a <0时，－ag (1)＝h (1)时，此时函数h (x )和ag (x )有一个交点，即－a ×2＝－1⇒a ＝12，故选C ．答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量a →＝(－2，3)，b →＝(3，m )，且a →⊥b →，则m ＝ ． [解析] 由题意可得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2． 答案：214．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝ ．[解析] 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y ＝±3a x ，结合题意可得a ＝5．答案：515．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝ ． [解析] 由题意b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°．答案：75°16．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤02x ，x >0则满足f (x )＋f (x －12)>1的x 的取值范围是 ．[解析] 方法一：∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤02x ，x >0，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1，即f ⎝⎛⎭⎫x －12>1－f (x )，由图象变换可画出y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －12与y ＝1－f (x )的图象如下：1)2-)由图可知，满足f ⎝⎛⎭⎫x －12>1－f (x )的解为(－14，＋∞)．方法二：由题意得，当x >12时，2x ＋2x －12>1恒成立，即x >12；当0<x ≤12时，2x ＋x －12＋1>1恒成立，即0<x ≤12；当x ≤0时x ＋1＋x －12＋1>1⇒x >－14，即－14<x ≤0；综上x 的取值范围是(－14，＋∞)．答案：(－14，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解析] (1)∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① ∴n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得，(2n －1)a n ＝2，a n ＝22n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， ∴a n ＝22n －1；(2)由(1)a n 2n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝a 13＋a 25＋…＋a n 2n ＋1＝(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1．18．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解析] (1)需求量不超过300瓶，即最高气温不高于25℃，从表中可知有54天， ∴所求概率为P ＝5490＝35．(2)Y 的可能值列表如下：低于20℃：y ＝200×6＋250×2－450×4＝－100； [20，25)：y ＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25℃：y ＝450×(6－4)＝900， ∴Y 大于0的概率为P ＝290＋1690＝15．19．(本小题满分12分)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD ．(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解析] (1)证明：取AC 中点O ，连OD ，OB ， ∵AD ＝CD ，O 为AC 中点，∴AC ⊥OD ， 又∵△ABC 是等边三角形，∴AC ⊥OB ，又∵OB ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面OBD ，BD 平面OBD ， ∴AC ⊥BD ；(2)设AD ＝CD ＝2，∴AC ＝22，AB ＝CD ＝22，又∵AB ＝BD ，∴BD ＝22，∴△ABD ≌△CBD ，∴AE ＝EC ， 又∵AE ⊥EC ，AC ＝22，∴AE ＝EC ＝2， 在△ABD 中，设DE ＝x ，根据余弦定理cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝AD 2＋DE 2－AE 22AD ·DE ＝22＋(22)2－(22)22×2×22＝22＋x 2－222×2×x ，解得x ＝2，∴点E 是BD 的中点，则V D －ACE ＝V B －ACE ，∴V D －ACEV B －ACE＝1．20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx –2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．[解析] (1)设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的根， ∴x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝－2，则AC →·BC →＝(－x 1，1)·(－x 2，1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0， ∴不会能否出现AC ⊥BC 的情况．(2)解法一：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－m2，由|EA |＝|EC |得⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－x 12＋y 02＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋(y 0－1)2，化简得y 0＝1＋x 1x 22＝－12，∴圆E 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝⎝⎛⎭⎫－m 22＋⎝⎛⎭⎫－12－12，令x ＝0得y 1＝1，y 2＝－2，∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1－(－2)＝3， ∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法二：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得|OD ||OC |＝|OA ||OB |＝|x 1||x 2|＝2， 又|OC |＝1，∴|OD |＝2，∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2．[解析] (1)f ′(x )＝2ax 2＋(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax ＋1)(x ＋1)x (x >0)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)单调递增，当a <0时，则f (x )在(0，－12a )单调递增，在(－12a ，＋∞)单调递减．(2)由(1)知，当a <0时，f (x )max ＝f (－12a)，f (－12a )－(－34a ＋2)＝ln(－12a )＋12a ＋1，令y ＝ln t ＋1－t (t ＝－12a >0)，则y ′＝1t－1＝0，解得t ＝1，∴y 在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， ∴y max ＝y (1)＝0，∴y ≤0，即f (x )max ≤－(34a ＋2)，∴f (x )≤－34a－2． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4―4坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋my ＝m k(m为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解析] (1)将参数方程转化为普通方程 l 1：y ＝k (x －2)……①；l 2：y ＝1k(x ＋2)……②由①②消去k 可得：x 2－y 2＝4，即P 的轨迹方程为x 2－y 2＝4； (2)将参数方程转化为一般方程l 3：x ＋y －2＝0……③联立l 3和曲线C 得⎩⎨⎧x ＋y －2＝0x 2－y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝322y ＝－22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，解得ρ＝5，即M 的极半径是5．23．(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲： 已知函数f (x )＝|x ＋1|–|x –2|． (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2–x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．[解析] (1) f (x )＝|x ＋1|–|x –2|可等价为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－12x －1，－1<x <23，x ≥2．由f (x )≥1可得：①当x ≤－1时显然不满足题意； ②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立．综上，f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价为f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m ．而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1－x 2＋3x －1，－1<x <2－x 2＋x ＋3，x ≥2．①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g (32)＝－⎝⎛⎭⎫322＋3·32－1＝54；③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g(2)＝－22＋2＋3＝1． 综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54．∴m 的取值范围为 (－∞，54]．。