机械基础 模块一杆件的静力分析

活动二 力矩
例1-2 已知力F的作用点A的坐标为（x，y），如图所示，试 求力F对坐标原点O的力矩。
活动二 力矩
2.力偶和力偶矩 力学上把大小相等、方向相反、不共线的两个平行力称为力偶， 用符号（F，F′）表示。力偶中两力作用线间的垂直距离d称为 力偶臂。力偶中两个力所在的平面称为力偶作用面。 力偶只能使物体转动或改变物体转动的状态。当力偶中的力F越 大或力偶臂d越大时，力偶使物体转动的效应越强；反之，转动 越弱。
活动一 力
2.静力学的基本公理 公理4（作用力与反作用力公理）作用力与反作用力总 是同时存在，两力的大小相等且方向相反，沿着同一直 线分别作用在两个相互作用的物体上。
活动二 力矩
1.力矩的概念和合力矩定理 在力学上以乘积Fr作为度量力F使物体绕O点转动强弱的物理量， 称为力F对O点之矩，简称力矩，单位为牛·米（N·m）或千 牛·米（ kN·m）。 由力矩的定义知：
同一平面内各力的作用线汇交于一点的力系称为平面 汇交力系；作用线相互平行的力系称为平面平行力系； 作用线任意分布（既不完全交于一点，又不互相平行） 的力系称为平面任意力系。
活动一 力
2.静力学的基本公理 公理1（二力平衡公理）作用于刚体上的两个力，使刚 体处于平衡状态的必要和充分条件是：两力大小相等， 方向相反且作用在同一直线上。 公理2（加减平衡力系原理）在作用着已知力系的刚体 上加上或减去任意平衡力系，并不改变原始力系对刚体 的作用效果。 推论（力的可传性原理）作用于刚体上的力，可沿其作 用线任意移动而不改变此力对刚体的作用效果。
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变， 所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心（力臂等于零） 。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有分力对该点之矩的代数和。
活动二 力矩
例1-1 如图所示，一轮盘上C点受到拉力F的作用，试求该力 对轮盘O点的矩。
目录
模块一 杆件的静力分析 一
力与力偶
二 物体的受力分析和受力简图 三
平衡方程及其应用
项目一 力与力偶
➢ 项目索引：力与力偶是物体间相互 作用的两种最简单、最基本的形式。 也就是说，不论两个物体之间的相互 作用多么复杂，归根到底是一个力的 作用，或是一个力偶的作用，再或者 是力和力偶的组合作用。所以力和力 偶是静力学的两个基本要素。
2.平面受力时的平衡方程
各力偶合成后得一力偶 力合成后，刚体受到一合力矢FR和一力偶矩M的作用。若使刚体处于 平衡，则必须满足作用于刚体上的合力矢FR=0，合力偶矩M=0，即 称为构件的受力平衡方程。
例1-7 平面刚架在C点受一水平力P，如图所示。设P=20 kN，不计刚架自重，求固定铰链支座A和活动铰链支座B 处的约束反力。
活动二 物体的受力分析和受力图
例1-4 如图所示的三铰拱桥，由左、右两半拱铰接而成。 设各半拱自重不计，在半拱AC上作用有载荷F，试分别画 出半拱AC和BC的受力图。
解（1）如图1 19（a）所示，画半拱BC的受力图。
①以半拱BC为研究对象并画出分离体。
②半拱BC上没有主动力，不用画出。 ③半拱BC只在B、C处受到铰链的约束反力FB和 FC的作用。根据光滑铰链的性质，这两个约束 反力必定分别通过铰链B、C的中心，又因为半 拱BC只在FB和FC两个力的作用下平衡，则根据 二力平衡公理，这两个力必定在同一直线上 ，且等值、反向。由此可确定FB和FC的作用线应沿B和C的连线。一 般情况下，可先按受拉方向画出。
活动一 力
1.力的概念
力是物体间的相互机械作用，这种作用的结果是使物 体的运动状态发生改变或使物体产生变形。力既然是 物体间的相互机械作用，所以，力不能脱离周围物体 而存在。
一般情况下，构件受力后产生的变形，相对构件的几 何尺寸而言是微小的，对研究构件整体平衡或运动影 响甚微，可忽略不计，这时可近似认为构件受力时不 产生变形，我们把在受力情况下保持形状和大小不变 的物体称为刚体。这样在研究构件平衡问题时，略去 与平衡无关或关系甚少的因素，可使问题的研究得到 简化。静力分析所研究的物体仅限于刚体。
平面受力时的解析表示法是以力在坐标轴上的投影为基础建立起来 的。 力的投影是代数量，其正负号规定如下：当a到b（a′到b′）的方 向与x 轴（y轴）的正方向一致时，力在x轴（y轴）上的投影Fx（Fy） 取正值；反之取负值。
相反，若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy，则力F 的大小和它与x轴所夹的锐角α分别为
知识归纳
1.力与力偶的基本概念。 2.对物体进行受力分析，并会画其受力简图。 3.平面受力体系的解析方法及体系平衡方程的运用。
活动一 力
1.力的概念 实践证明：物体的机械运动状态发生变化，都是由于
其他物体对该物体施加了力的作用。力对物体的作用 效果取决于力的三要素： （1）力的大小； （2）力的方向； （3）力的作用点。 在力学中会用到两种量：标量和矢量。力是一个既有 大小又有方向的矢量。
活动一 力
1.力的概念
当一刚体上同时作用着若干力时，我们把这些力统称 为力系；若一个力系对物体的作用使物体处于平衡状 态，则此力系称为平衡力系；各力的作用线均在同一 平面内的力系称为平面力系。如无特别说明，本书中 讨论的均是平面力系。
活动一 约束和约束反力
1.常见的约束类型 （1）光滑接触表面约束。 （2）柔性约束。 （3）光滑铰链约束。
活动二 物体的受力分析和受力图
画受力图的步骤如下： （1）明确研究对象，画出分离体； （2）在分离体上画出全部主动力； （3）在分离体上画出全部约束反力。
活动二 物体的受力分析和受力图
例1-3 如图所示，重量为G的球，用绳挂在光滑的铅直墙 上，画出此球的受力图。
活动三 物体受力偶作用的分析
同一平面内的任意一个力偶的合力偶就等于各力偶矩的代数 和，即
平面力偶系合成的结果是一个合力偶。要使物体保持平衡状 态，即无转动效应，则必须使合力偶矩等于零，此时说明物 体顺时针方向转动的力偶矩和物体逆时针转动的力偶矩相等， 即平衡条件为
活动三 物体受力偶作用的分析
例1-5 梁AB上作用一力偶，力偶矩M=12 N·m，梁长L=300 mm， 如图所示，试画出支座A，B的约束反力并求出大小。
①以半拱AC为研究对象并画出分离体。
②画主动力F。
③画约束反力：铰链A处的反力FAx，FAy，进一步分析，由于拱AC受 三个力作用且处于平衡状态，根据三力平衡汇交定理，三力必汇交 于一点O，如图1 19（d）所示。于是便可确定A点的受力方向。铰 链C处可根据作用力与反作用力的关系画出FC′=-FC。
解（1）取刚架为研究对象，作受力图，如图所示。根据铰链支座的 性质，FB应垂直于支承面，FA的方向本属未定，但因刚架只受三个 力，而P与FB交于D点，故FA必沿AD作用。图中FA及FB的指向都是任 意假定的。
（2）选取坐标轴x、y如图所示，FA与x轴夹角为α。
（3）列平面汇交力系平衡方程并求解
例1-8 简易起重机起重臂AB的A端安装于固定铰链支座， B端用水平绳索BC拉住，起重臂与水平成40°，起重臂在 Ｂ端装有滑轮，钢丝绳绕过滑轮把重量Ｗ=3 000 N的重 物吊起，钢丝绳绕过滑轮后与水平线成30°，如图所示。 设起重臂自重略去不计，求平衡时支座A和绳索BC的反力。
活动三 物体受力偶作用的分析
例1-6 如图所示，电动机通过联轴器与工作轴相连。联轴器 上4个螺栓A，B，C，D的孔心均匀地分布在直径D=150 mm的圆 周上。电动机轴传给联轴器的力偶矩M=2.5 kN·m。试求每一 螺栓所受的力为多少？
解 联轴器受有电动机传给的主动力偶矩M，工作 轴通过4个螺栓对联轴器产生阻碍转动的反力，若4 个螺栓的受力均匀，则有
活动一 约束和约束反力
位移不受限制的物体称为自由体。在空间的位移受到 一定的限制，为非自由体。
约束限制物体的运动，这种限制实际上还是通过力的 作用来实现的。因此，约束对物体的作用，就是力的 作用，这种力称为约束反力。我们把使物体产生运动 或运动趋势的力称为主动力。主动力往往是给定的或 是可测定的，例如重力、切削力等；约束反力是未知 的，往往需要和物体受到的其他已知力组成平衡力系， 通过平衡条件求得其大小和方向。
力偶矩是两个大小相等、方向相反且不在同一直线上的力所产生的力矩之和. 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
（3）力偶的等效性：同一平面内的 两个力偶，只要力偶矩相等，则两 个力偶彼此等效。
活动二 力矩
根据力偶的等效性，可以得出两个推论。 推论1 力偶可在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动 效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。 推论2 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改 变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动 效应。
活动二 物体的受力分析和受力图
注意：只受两个力的作用而平衡的构件，称为二力构件。当构件为 杆形时，简称二力构件。它所受的两个力必定沿两力作用点的连线， 且等值、反向。图1 19所示的拱BC即为二力杆。两端用铰链与其他 物体相连且忽略自重的直杆也是二力杆。二力杆在工程实际中经常 遇到。
（2）如图1 19（c）所示，画半拱AC的受力图。
解 根据力偶的性质，力偶矩M与C点位置无关。 取梁AB为研究对象，受力图如图所示。B点约束反力FB垂直于支承面，A点 约束反力FA方向不定，但由于梁上作用有一主动力偶，而力偶只能由力偶 来平衡，所以两个约束反力必构成力偶。已知FB的方向，FB应与FA平行， 方向相反。又因M为顺时针转向，FA，FB构成的力偶应为逆时针转向。列 平衡方程 解得
活动一 力
2.静力学的基本公理
公理3（力的平行四边形公理）作用在物体上同一点的 两个力，可以合成一个合力，合力的作用点仍在该点， 合力的大和方向由以这两个力为边构成的平行四边形 的对角线来表示.