高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值一同步练习无答案新人教A版必修(1)
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值课后训练新人教A版必修
单调性与最大〔小〕值课后训练根底稳固1．定义在R上函数y＝f(x)对任意两个不等实数x，y总有＜0成立，那么必有( ) A．函数f(x)在R上是增函数B．函数f(x)在R上是减函数C．函数f(x)在R上是常数函数D．函数f(x)在R上单调性不确定2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为增函数是( )A．y＝－2x B．C．y＝|x| D．y＝－x23．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上减函数，那么( )A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)4．函数y＝f(x)在R上是增函数，假设a＋b≤0，那么有( )A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)5．函数f(x)＝2x－x2(x∈[0，3])最大值M与最小值m和等于( )A．－1 B．0C．1 D．－26．函数f(x)＝在区间[1,5]上最大值为__________，最小值为__________．7．y＝f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，且f(t－1)＜f(1－2t)，求实数t取值范围．8．f(x)＝－x2＋2x＋3．(1)画出函数f(x)图象；(2)根据图象写出函数f(x)单调区间；(3)利用定义证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(4)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m取值范围．能力提升9．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，那么a取值范围为( )A． B．C． D．10．有以下四种说法：①函数y＝2x2＋x＋1在区间(0，＋∞)上不是增函数；②函数在(－∞，－1)(－1，＋∞)上是减函数；③函数f(x)＝在R上为增函数，那么实数b取值范围是1≤b≤2；④假设函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是a≥4．其中正确说法序号是__________．11．f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上最小值为f(5)，那么a取值范围为__________．12．二次函数f(x)＝x2－2x＋3．(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)最值；(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)最小值g(t)．13．讨论f(x)＝，x∈(－1,1)单调性(其中a≠0)．14．(学科综合题)在经济学中，函数f(x)边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台收入函数R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其本钱函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与本钱之差．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等最大值？(3)你认为此题中边际利润函数MP(x)取最大值实际意义是什么？15．(压轴题)函数f(x)定义域为R，且对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且，当x＞12-时，f(x)＞0．(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质一个函数，并加以验证．错题记录参考答案1．B 点拨：由＜0知f (x )－f (y )与x －y 异号，所以函数f (x )在R 上是减函数．2．D 点拨：对于A ，函数y ＝－2x 在R 上为减函数；对于B ，函数在区间(－∞，0)上为减函数；对于C ，函数y ＝|x |在区间(－∞，0)上为减函数；对于D ，函数y ＝－x 2在区间(－∞，0)上为增函数．3．D 点拨：∵a 2＋1＞a ，函数f (x )在R 上单调递减，∴f (a 2＋1)＜f (a )．4．C 点拨：∵a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ．又∵函数f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )．∴f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．5．D 点拨：由于函数f (x )＝2x －x 2(x ∈[]0,3)在区间[]0,1上是增函数，在区间(1,3]上是减函数，故当x ＝1时，函数取最大值M ＝1，当x ＝3时，函数取最小值m ＝－3．因此M ＋m ＝－2．6．313点拨：因为函数f (x )＝在区间上单调递减，所以其在区间[1,5]上单调递减．故当x ＝1时，函数f (x )取最大值3，当x ＝5时，函数f (x )取最小值13． 7．解：由题意，得解得0＜t ＜23．故实数t 取值范围是． 8．解：(1)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3图象如下图．(2)由函数f (x )图象得，在直线x ＝1左侧图象是上升，在直线x ＝1右侧图象是下降，故函数f (x )单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是[1，＋∞)．(3)设对任意x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，那么有f (x 1)－f (x 2)＝(－x 1２＋2x 1＋3)－(－x ２２＋2x 2＋3)＝(x ２２－x 1２)＋2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(2－x 1－x 2)．∵x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2．∴2－x 1－x 2＞0．∴f (x 1)－f (x 2)＜0．∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(4)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3图象对称轴是直线x ＝1，在对称轴左侧是增函数，那么当区间(－∞，m ]位于对称轴左侧时满足题意，那么有m ≤1，即实数m 取值范围是(－∞，1]．9．C 点拨：f (x )＝1(2)1212222ax a x a a a x x x +++--==++++． ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴1－2a ＜0，即a ＞12． 10．③④ 点拨：对于①，y ＝2x 2＋x ＋1＝在区间上是增函数，因此其在区间(0，＋∞)上是增函数，故①不正确；对于②，函数在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递减，但在其并集(－∞，－1)(－1，＋∞)上不是单调递减，故②不正确；对于③，因为函数f (x )＝2(21)10(2)0b x b x x b x x -+->⎧⎨-+-≤⎩，，，在R 上为增函数，那么有解得1≤b≤2；对于④，函数y ＝|x －a |＝又函数y ＝|x －a |在区间(],4-∞上是减函数，那么a ≥4．11．a ≤－4 点拨：对称轴方程为x ＝1－a ．∵函数f (x )在区间[1,5]上最小值为f (5)，∴1－a ≥5，得a ≤－4．12．解：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上．(1)当x ∈[－2,0]时，f (x )在区间[－2,0]上是单调递减，故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11；当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3．(2)当x ∈[－2,3]时，f (x )在区间[－2,3]上是先减后增，故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2；又|－2－1|＞|3－1|，∴f (x )最大值为f (－2)＝11．(3)①当t ＞1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递增，所以当x ＝t 时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋3．②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上先减后增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2．③当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2．综上，g (t )＝13．解：设－1＜x 1＜x 2＜1，那么f (x 1)－f (x 2)＝12211222221212()(1)11(1)(1)ax ax a x x x x x x x x -+-=----， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0．∴x 1２－1＜0，x ２２－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1．∴x 1x 2＋1＞0．∴＞0．于是，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数．14．解：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000(x ∈[1,100]，x ∈N )，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝2 480－40x (x ∈[1,100]，x ∈N )．(2)∵P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000＝＋74 125，∴当x ＝62或63时，P (x )max ＝74 120(元)．又MP (x )是减函数，∴当x ＝1时，MP (x )max ＝2 440(元)．故P (x )与MP (x )不具有相等最大值．(3)边际利润函数MP (x )当x ＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台总利润差最大，即第二台报警系统利润最大．MP (x )是减函数，说明随着产量增加，每台利润与前一台利润相比拟，利润在减小．15．(1)证明：设x 1＜x 2，那么x 2－x 1－12＞12-， 由题意得＞0．∵f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1＝f (x 2－x 1)＋－1＝＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )是单调递增函数．(2)解：f (x )＝2x ＋1．验证过程如下：其定义域显然为R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋1，f(x1)＋f(x2)－1＝2x1＋1＋2x2＋1－1＝2(x1＋x2)＋1，∴f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1．当时，＋1＝－1＋1＝0．当时，f(x)＝2x＋1＞2×＋1＝0，即f(x)＞0成立．。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1函数的单调性(1)练习(含解析)新人教A版必修1
课时11 函数的单调性(1)函数单调性的概念1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 答案 D解析 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.2．已知函数f (x )的定义域为A ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，则( )A ．f (x )在这个区间上为增函数B ．f (x )在这个区间上为减函数C ．f (x )在这个区间上的增减性不确定D ．f (x )在这个区间上为常函数 答案 A解析 ①当x 1＞x 2时，x 1－x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在区间I 上是增函数．②当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在区间I 上是增函数．综合①②可知，f (x )在区间I 上是增函数．故选A.函数单调性的判断A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数 答案 A解析 由图象知，f (x )在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2，x <0的单调性为( )A ．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数 C ．不能判断单调性D ．在(－∞，＋∞)上是增函数 答案 D解析 画出函数图象．如图，由图知f (x )在R 上为增函数．函数单调性的证明5.(1)证明：函数f (x )＝x 2－x在区间(0，＋∞)上是增函数；(2)证明：函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＋1x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．(2)设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， 而f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1) ＝(x 2－x 1)x 2＋x 122＋34x 21＋1.因为x 2＋x 122＋34x 21＋1＞0，x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． 因此函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数.解 令u (x )＝2－x 2，则u (x )在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且u (0)＝2.f (x )＝8＋2x －x 2＝－(x －1)2＋9在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x 2＋2＝1，则x ＝±1.∴当x ∈(－∞，－1]时，u (x )为增函数，值域为(－∞，1]，且f (x )在(－∞，1]上也为增函数．∴g (x )在(－∞，－1]上为增函数．同理，g (x )在[－1,0]上为减函数，在[0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数． 所以函数g (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞).忽视单调区间的端点值而致误7.函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．易错分析 分离常数后解析式为y ＝1－ax ＋a，根据单调性得出－a <－2即a >2，由于忽视了端点值而得出a >2的错误结论．答案 a ≥2 正解 y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.一、选择题1．下列说法中，正确的有( ) ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，故③错误；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故④错误．故选B.2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 C解析 ①y ＝|x |＝－x (x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上是增函数．故选C.3．当y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈(－∞，1))是单调函数时，b 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－2) 答案 B解析 由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c 在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,1)C ．(0,1)D ．(0,1] 答案 D解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值范围为(0,1]．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞答案 C解析 要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件： ①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，a －＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13.二、填空题6．已知函数f (x )＝|x ＋a |在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 a ≤－1解析 当x ∈R 时，f (x )＝|x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，∴f (x )的递减区间为(－∞，－a ]． 由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a ]， ∴－a ≥1，即a ≤－1.7．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调________函数．答案 减解析 y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a， 对称轴x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调减函数．8．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 作出函数f (x )＝|2x ＋a |的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，即－a2＝3，a ＝－6.三、解答题9．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．解 F (x )＝1f x在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2，则F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 1f x 2.∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 1)·f (x 2)>0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 2)<F (x 1)． ∴函数F (x )＝1f x在(0，＋∞)上为减函数．10．求函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调区间． 解 由题意知函数f (x )的定义域是(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)． 设x 1，x 2是区间(－b ，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b ＝1＋a －b x 1＋b －1＋a －b x 2＋b ＝a －b x 1＋b －a －bx 2＋b＝a －bx 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a ＞b ＞0，x 2＞x 1＞－b ，∴a －b ＞0，x 2－x 1＞0，x 2＋b ＞0，x 1＋b ＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(－b ，＋∞)上为减函数，即函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间为(－b ，＋∞)．同理可得，函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间还有(－∞，－b )． 综上可得，函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调递减区间为(－∞，－b )和(－b ，＋∞)．。
高中数学第一章集合与函数概念3、1单调性与最大小值3作业新人教版必修1
单调性与最大（小）值A 组 基础巩固．下列结论中，正确的是( )．函数y ＝kx (k 为常数，且k ＜0)在R 上是增函数．函数y ＝x 2在R 上是增函数．函数y ＝1x在定义域内是减函数．y ＝1x在(－∞，0)上是减函数析：A 不正确，当k ＞0时，函数y ＝kx 在R 上是增函数．B 不正确，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数．C 不正确，如－1＜1，但f (－1)＜f (1)．D 正确．案：D．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x．f (x )＝|x | D ．f (x )＝2x ＋1析：由题意可知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，结合四个选项可知B 正确．案：B．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是( )．(－∞，1] B ．[1，＋∞)．(－∞，2] D．[2，＋∞)析：∵y＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，函数的单调递减区间是[1，＋∞)．案：B.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) ．(－1,0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1)．(0,1) D．(0,1]析：f(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在[1,2]上是减函数；g(x)＝ax＋1，当a＞0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是0＜a≤1.案：D．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( ) ．(－∞，－3)．(0，＋∞)．(3，＋∞)．(－∞，－3)∪(3，＋∞)析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3. 案：C.函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )．f (1)≥25 B．f (1)＝25．f (1)≤25 D．f (1)＞25析：因为函数f (x )的对称轴为x ＝m8，以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫m8，＋∞上是增函数． 以m8≤－2，∴m ≤－16.f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.案：A．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )．减函数且f (0)＜0 B ．增函数且f (0)＜0．减函数且f (0)＞0 D ．增函数且f (0)＞0析：∵y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a ＜0，故选A.案：A．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，则x 的取值范围为__________．析：∵f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x ，∴x ＜32，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32.案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 ．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__________．析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0，出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 0.证明：函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上为减函数．明：设0＜x 1＜x 2＜1，则(x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2，0＜x 1＜x 2＜1，x 1x 2－1＜0，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)．f (x )＝x ＋1x在(0,1)上为减函数．组 能力提升1．下列关于函数单调性的说法，不正确的是( )．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数析：∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x2＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性，故选C.案：C2.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__________.析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，－a2＝3，a ＝－6.案：－63．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围．析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如右图所示．于图象可知函数在(－∞，a ]和(a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减)，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．4.作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．析：当x －2≥0，即x ≥2时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；x －2＜0，即x ＜2时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋94.以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x ＜2.是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，[2，＋∞)是函数的单调增区间；⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2是函数的单调减区间．5.附加题·选做知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.1)求f (2)的值；2)解不等式f (m －2)≤3.析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，f (2)＝3.2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．f (x )是(0，＋∞)上的减函数．⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2＞0解得m ≥4.不等式的解集为{m |m ≥4}．。
2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.1 单调性与最大(小)值学案(含解析)新人教版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)学习目标①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?二、自主探索,尝试解决记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?问题3:如何理解图象是上升的?问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?三、信息交流,揭示规律1.增函数的定义问题5:增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?问题6:增函数的定义中,“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?2.减函数的定义减函数的几何意义:问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?四、运用规律,解决问题【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体【例2】物理学中的玻意耳定律p=kV积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.五、变式演练,深化提高1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;,0)成中心对称图形.(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(a22.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是.六、反思小结,观点提炼1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断、证明方法有哪些?2.你对自己本节课的表现有何评价?3.你在与同学的交流中有何感受?4.你对本节课还有哪些困惑和建议?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第2,3,4题.参考答案问题1:函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.问题2:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.问题3:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.问题4:增函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.问题5:可以.增函数的定义:由于当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<”,也就是说前面是“<”,后面也是“<”,步调一致;“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.2.减函数定义(板书)一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.四、运用规律,解决问题【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【例2】证明:设V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2,则p1=kV1,p2=kV2.p1-p2=kV1-kV2=k(V2-V1)V1V2.∵k>0,V1<V2,V1>0,V2>0.∴k(V2-V1)V1V2>0,∴p1>p2.根据减函数的定义知p=kV在(0,+∞)上是减函数.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2;第二步,比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为“去比赛”.【例3】解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示.(2)设x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).∵x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2.∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].五、变式演练,深化提高1.解:(1)设x1,x2∈R,且x1<x2.则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].又∵函数f(x)是R上的增函数,x1<x2,∴a-x2<a-x1.∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.,0)的对(2)设点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x0,F(x0))关于点(a2称点为M'(a-x0,-F(x0)).又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))=f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]=-F(x0),∴点M'(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)的图象上,又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,,0)成中心对称图形.∴函数y=F(x)的图象关于点(a22.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示:函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴x=m 的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m 的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.3.解析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),∴{2a 2+a +1>0,3a 2-4a +1>0.解得a<13或a>1.∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<13或1<a<5,即a 的取值范围是(0,13)∪(1,5). 答案:(0,13)∪(1,5)。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值(第2课时)函数的最大(小)值练习含解析人教A版必修1
第2课时函数的最大(小)值课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=x+1在x∈[-1,1]上的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:∵f(x)=x+1在x∈[-1,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=2.答案:D2.已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由图象可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C3.函数y=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是()A.(-∞,5]B.[5,+∞)C.[-20,5]D.[4,5]解析:∵f(x)的图象开口向下,对称轴为x=-2,∴f(x)max=f(-2)=5,f(x)min=f(3)=-20.答案:C4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量x的单位:辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 ()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元解析:设在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆,所获得利润为y万元,则由已知得y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30,其图象对称轴为x由x∈N得,当x=9或10时,y max=120万元.答案:B5.函数f(x)=4x-1,x∈的值域是解析:f(x)=4x-1在上是增函数,则≤f(x)≤f(1).又故 ≤f(x)≤ .答案:[1,3]6.函数f(x)=x2+2x-3在区间[-2,2]上的最大值为.解析:f(x)的图象开口向上,且对称轴为x=-1,故f(-2),f(2)中的一个值为最大值.又f(-2)=4-4-3=-3,f(2)=4+4-3=5,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为5.答案:57.已知函数f(x)-则的最大值、最小值分别为解析:函数f(x)-的图象如图所示.由图可知函数的最大值为1,最小值为0.答案:108.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为x cm,两个正方形的面积和为S cm2,则另一个正方形的边长为-则S=x2+(3-x)2=-当x时,S取最小值即这两个正方形面积之和的最小值为cm2.9.已知函数f(x)--(1)求证:函数f(x)在区间[2,3]上是增函数;(2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.(1)证明设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)----=----=-2- )-- )- ) - )=-2-- ) - )∵ ≤x1<x2≤ ∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)-在区间[2,3]上是增函数.-(2)解由(1),得f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3)=-1,最小值是f(2)=-2.10.已知函数f(x)=x2-2x+2.(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;(2)若g(x)=f(x)-mx在区间[-1,2]上是单调递增函数,求m的取值范围.解:(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x由函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,可得≤-1,解得m≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].能力提升1.已知函数f(x)=2x-3,当x≥ 时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是()A.RB.(-∞,-1]C.[-1,+∞)D.⌀解析:f(x)=2x-3是增函数,当x≥ 时,f(x)≥f(1)=2×1-3=-1,则m≤-1.答案:B2.函数f(x)的最大值是A.0B.1C.2D.3解析:当 ≤x≤ 时,f(x)的最大值是f(1)=2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥ 时,f(x)=3,则f(x)的最大值是3.答案:D3.已知二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)内既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)解析:因为二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,所以函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.易知二次函数f(x)=4x2-kx-8的图象的对称轴方程为x因此≤5或≥ 所以k≤ 或k≥ 6 .答案:C4.若函数f(x)=x2+bx+1的最小值是0,则实数b= .解析:f(x)是二次函数,二次项系数1>0,则f(x)的最小值为-解得b=±2.答案:±25.★记min{a,b}若≥ ) 则f(x)的最大值为.解析:在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象.所以函数f(x)的图象为图中的实线根据min{x+2,10-x}(x≥ )的含义可知,f(x)-部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).观察图象知,两图象的交点即为f(x)的图象的最高点,即f(x)的最大值为6.答案:66.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,最大月产量是400台.已知总收益满足函数R(x)=400x其中是仪器的月产量单位台(1)将利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:台)的函数;(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少?(总收益=总成本+利润)解:(1)设月产量为x台时,利润为y元,则总成本为(20000+100x)元,所以y=R(x)-(20000+100x)=400x000-100x= ≤x≤ .(2)由(1)得y= 5000,当x=300时,y有最大值25000,即当月产量为300台时,公司所获得利润最大,最大利润为25000元.7.★已知函数f(x)=x2-ax+1,(1)求f(x)在区间[0,1]上的最大值;(2)当a=1时,求f(x)在区间[t,t+1](t∈R)上的最小值.解:(1)因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上,其对称轴为x所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,当即a≤ 时,f(x)的最大值为f(1)=2-a;当即a>1时,f(x)的最大值为f(0)=1.(2)当a=1时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为x①当t≥时,f(x)在区间[t,t+1]上是增函数,可知f(x)min=f(t)=t2-t+1;②当t+ ≤即t≤时,f(x)在区间[t,t+1]上是减函数,可知f(x)min=f(t+1)=t2+t+1;③当t即时,函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以f(x)min=综上可知,f(x)在区间[t,t+1]上的最小值为---。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值素材 新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念. 单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
注:在单调性中有如下性质↑（增函数）↓（减函数）↑（增函数）+↑（增函数）= ↑（增函数）↑（增函数）-↓（减函数）=↑（增函数）↓（减函数）+↓（减函数）=↓（减函数）↓（减函数）-↑(增函数）=↓（减函数）用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求f(x1)-f(x2)，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x1)-f(x2)的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；④根据定义作出结论。
2复合法：利用基本函数的单调性的复合。
3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
函数最值函数最值分为函数最小值与函数最大值。
函数最小值设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在M∈R满足：①对于任意实数x∈d，都有f(x)≥M；②存在x0∈d。
使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。
函数最大值设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在M∈R满足：①对于任意实数x∈d，都有f(x)≤M，②存在x0∈d。
使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大(小)值练习新人教A版
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第一章 1.3 1。
3.1 第2课时函数的最大（小）值1.函数f（x)在[－2,2］上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A．f（－2），0 B．0，2C．f(－2),2 D．f（2），2解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f（－2)；当x＝1时，有最大值2。
答案：C2．函数y＝错误!在［2，3］上的最小值为（）A．2 B。
1 2C。
错误!D．－错误!解析：作出图象可知y＝错误!在[2，3]上是减函数，y min＝错误!＝错误!.答案：B3．函数y＝ax＋1(a＜0）在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为（)A．1，2a＋1 B．2a＋1，1C．1＋a，1 D．1,1＋a解析：因为a＜0，所以一次函数在区间［0,2］上是减函数,当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.答案：A4．函数y＝2x2＋1，x∈N＊的最小值为________．解析:∵x∈N*，∴y＝2x2＋1≥3。
新人教版高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课时作业新人教A版必修1
1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．函数的单调性一般地，设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________．(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________．(3)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是________或________，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有________________，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________．3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．4．函数y ＝1x的单调递减区间为__________________．一、选择题1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则有( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．以上都可能3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个根B ．至多有一个根C ．无实根D ．必有唯一的实根4．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( ) A.－x1－x2>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x1－x2－>06．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( )A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．[－3，－1]二、填空题7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.三、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性知识梳理1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间2.[0，＋∞)3.增4.(－∞，0)和(0，＋∞)作业设计1．B2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．]3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．]4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．]6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.8．－3解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m28， 由题意m 4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋2x ＋3 －x2－2x ＋＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －＋4 －＋＋.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数，∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．11．解 函数f (x )＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝－＋x22－1＋x21－1. ∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x22－1＋x21－1>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)．因为f (1)≠0，所以f (0)＝1.(2)函数f (x )在R 上单调递减．任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)，由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1. 当x >0时，0<f (x )<1，所以f (－x )＝1>1>0，又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0.所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减．13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性学案 新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点))3．会求一些具体函数的单调区间．(重点[基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P27～P28，完成下列问题．增函数与减函数的定义判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )在[－1,2]上是增函数．( ) (2)若f (x )为R 上的减函数，则f (0)>f (1)．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( )【解析】 (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性． (2)√.由减函数的定义可知f (0)>f (1)． (3)×.反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ，2]x －1，x，【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 函数的单调性与单调区间 阅读教材P 29第一段，完成下列问题． 函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f (x )的单调减区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1)[小组合作型]求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f (x )＝－1x；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x 5－x ，x；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．【自主解答】 (1)函数f (x )＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[再练一题]1． 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3(a ∈R )的单调减区间为________.2． 【导学号：97030046】【解析】 因为函数f (x )是开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以f (x )的单调减区间为(a ，＋∞)．【答案】 (a ，＋∞)(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋2x(2)用单调性定义证明函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数．【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得． 【自主解答】 (1)A .f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上为减函数．B .f (x )＝(x －1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C .f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．D .f (x )＝x 2＋2x 是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】 D(2)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 21－1－x 22x 22－1＝x 22－x 21x 21－x 22－＝x2－x 1x 2＋x 1x 1－x 1＋x 2－x 2＋.∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∵x 1，x 2∈(0,1)，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以，函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤[再练一题]2．已知函数f (x )＝1a －1x，用单调性定义证明f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.【导学号：97030047】【证明】 设任意x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．[探究共研型]探究1 若函数b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？【提示】 若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .探究2 若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？【提示】 因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤2.(1)f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )(2)如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠3【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．(2)分析函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b 的取值范围．【自主解答】 (1)因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.(2)函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线， 若函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b ≤3，故选C. 【答案】 (1)C (2)C1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解． (3)要注意：“函数f (x )的增区间是(a ，b )”与“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a ，b )是函数f (x )的增区间的一个子集．[再练一题]3．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围为________．【解析】 ∵f (x )是R 上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)， ∴2x －3>5x ＋6， 即x <－3.【答案】 (－∞，－3)1．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)【解析】 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．【答案】 B2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1【解析】 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 【答案】 C3．若x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，函数f (x )＝－1x ，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能【解析】 ∵函数f (x )＝－1x在(－∞，0)上是增函数，又∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)．【答案】 B4．已知函数f (x )＝ax ＋2是减函数，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 易知函数f (x )＝ax ＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a <0. 【答案】 (－∞，0)5．证明：函数f (x )＝x ＋1x在(－1,0)上是减函数． 【导学号：97030049】【证明】 设－1＜x 1＜x 2＜0，则有f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2，由于－1＜x 1＜x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，又x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以函数在(－1,0)上为减函数．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课时作业 新人教版必修1
第2课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最大值、最小值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为________，最小值为________．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为______，最小值为______．一、选择题1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3 2．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，最大值2D ．无最大值，也无最小值3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2) 5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值6．函数f (x )＝11－x －x的最大值是( )A.45B.54C.34D.4二、填空题7．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)( )A．有最大值3，最小值－1B．有最大值3，无最小值C．有最大值7－27，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．知识梳理1．(1)f (x )≤M (2)f (x 0)＝M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)＝M 2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b ) 作业设计1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)， 解得a ≤－3.]2．A [∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.]3．D [由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知， 当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [依题意，由f (1＋x)＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．] 5．C [y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 x －2x ＋－1≤x x <－.因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4<y ≤4，综上可知C 正确．]6．D [f (x )＝1x －122＋34≤43.]7．(0,2]解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值， 所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2， 故函数y 的值域为(0,2]． 8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9， 得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)． 9．2解析 函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数，故y max ＝－2－1＝2.10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．C [画图得到F (x )的图象： 射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27， 由图可得F (x )无最小值，从而选C.]13．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0.作图(如右所示)．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1，当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第一课时函数的单调性练习新人教A版
第一课时函数的单调性【选题明细表】1.(2018·伊春高一期中)在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.2.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.3.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.4.(2017·湖北省荆州中学高一质检)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )(A)增函数 (B)减函数(C)先增后减 (D)先减后增解析:因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.因为y=-在(0,+∞)上是减函数,所以-b>0,b<0.则y=ax2+bx的对称轴x=-<0且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数.故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.7.(2018·郑州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.解析: g(x)=即g(x)=作出函数g(x)的图象,如图所示.由图象可知,g(x)的单调递减区间为[0,1).答案:[0,1)8.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]9.(2018·江西省九江一中高一上期末)已知函数f(x)=x+.(1)用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上是增函数;(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).(1)证明:设x1,x2是[2,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=,因为2≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.(2)解:因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>2,所以由(1)知x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1](C)(0,1) (D)(0,1]解析:因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以对称轴x=a应满足a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,所以0<a≤1.故选D.11.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是.解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案:[0,4]12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.13.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是.解析:由<0对任意x1≠x2都成立,得f(x)是减函数,则得a≤0. 答案:(-∞,0]。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.31.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性练习 新人教版必修1
1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (－1)<f (3) B ．f (－1)≤f (3) C ．f (－1)>f (3)D ．f (－1)≥f (3)解析：因为函数f (x )在R 上是减函数，且－1<3，所以f (－1)>f (3)． 答案：C2．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上为增函数C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，则x 1<x 2 解析：由函数单调性定义知，选项D 正确． 答案：D3．若函数f (x )＝(3a ＋2)x －5在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞解析：依题意得3a ＋2>0，所以a >－23.答案：D4．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A ．y ＝1B ．y ＝－1x＋2C ．y ＝－x 2－2x －1D ．y ＝1＋x 2解析：函数y ＝1不具备单调性；函数y ＝－x 2－2x －1在(－∞，1)上单调递增；函数y＝1＋x 2在(－∞，0)单调递减；只有函数y ＝－1x＋2在(－∞，0)上为增函数．答案：B5．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增D ．先递增再递减解析：该函数图象的对称轴为x ＝3，根据图象(图略)可知函数在(2，4)上是先递减再递增的.答案：C 二、填空题6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (－1)＝________．解析：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 42＋3－m 28，由题意m 4＝2，所以m ＝8.所以f (－1)＝2×(－1)2－8×(－1)＋3＝13. 答案：137．已知函数f (x )在定义域[－2，3]上单调递增，则满足f (2x －1)>f (x )的x 取值范围是__________．解析：依题意有－2≤x <2x －1≤3，解得1<x ≤2. 答案：(1，2]8．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是_______，单调递减区间是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3，其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]．答案：[3，＋∞) (－∞，3] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.(1)若f (2)＝f (1)，求a 的值；(2)若f (x )是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (2)＝f (1)，所以22＝4－a2－1，所以a ＝－2.(2)因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8.10．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2， 得x 1－x 2<0.于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．B 级 能力提升1．函数f (x )＝ax 2＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0]C ．[－3，0)D ．[－2，0]解析：a ＝0时，函数f (x )为R 上的减函数，所以在[－2，＋∞)上也是减函数；a ≠0时，二次函数的对称轴为x ＝－a －3a ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a －3a ≤－2，解得－3≤a <0.综上知－3≤a ≤0. 答案：B 2．函数f (x )＝ax ＋1x ＋a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋a ＝a －a 2－1x －（－a ），若f (x )在(－2，＋∞)为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，－a ≤－2，解得a ≥2. 答案：[2，＋∞)3．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解：(1)因为f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， 所以f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． 因为f (x )是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2>0，解得m ≥4.所以不等式的解集为{m |m ≥4}．。
高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性练习新人教A版必修1
第一课时 函数的单调性(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2【答案】B [对于A ，y ＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝(2x －1)2在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增【答案】B [由于函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上均为减函数，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．]3．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)【答案】C [分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.]4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )【答案】C [因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.]5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，167【答案】D [由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，8(x －2)>0，x >8(x －2)⇒2＜x ＜167，故选D.] 二、填空题6．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(－∞，2] [∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12，即a ≤2.]7．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 【答案】a ≥－1 [函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， 又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.]8．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．①y ＝a ＋f (x )(a 为常数)；②y ＝a －f (x )(a 为常数)；③y ＝1f (x )；④y ＝[f (x )]2. 【答案】②③ [f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0时，－f (x )，1f (x )均为递增函数，故选②③.] 三、解答题9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间.【答案】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]，(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．10．证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．【答案】任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．1．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)【答案】A [对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【答案】D [依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，(a －3)＋5≥2a ，解得0<a ≤2.]3．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 [函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≥0，2x 2＋3x ，x <0，图象如图所示，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.]5．已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围. 【答案】 (1)由题意设f (x )＝ax ＋b (a >0)． 从而f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝16x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，ab ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－53(不合题意，舍去)．所以f (x )的解析式为f (x )＝4x ＋1.(2)g (x )＝f (x )(x ＋m )＝(4x ＋1)(x ＋m )＝4x 2＋(4m ＋1)x ＋m ，g (x )图象的对称轴为直线x ＝－4m ＋18.若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，则－4m ＋18≤1，解得m ≥－94，所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞.。
精选高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课时作业新人教A版必修1
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．函数的单调性一般地，设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________．(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________． (3)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是________或________，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有________________，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________． 3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．4．函数y ＝1x的单调递减区间为__________________．一、选择题1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f (0)＝1； ②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( ) A ．②③B ．①④ C ．②④D ．①③2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则有( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) D ．以上都可能 3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( ) A ．至少有一个根 B ．至多有一个根 C ．无实根 D ．必有唯一的实根4．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( ) A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x1－x2f x 1－f x2>06．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( )A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．[－3，－1]二、填空题7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.三、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性知识梳理1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞) 作业设计 1．B2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．] 3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0， ∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0， ②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．]4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．]6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．] 7．m >0解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0. 8．－3解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 x －x 2－2x ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋4 x －x ＋2＋x.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 10．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数，∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．11．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1.∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)函数f (x )在R 上单调递减． 任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)， 由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1. 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.当x >0时，0<f (x )<1，所以f (－x )＝1f x>1>0，又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， 即f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )在R 上单调递减． 13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。