2015届江苏高考考前一周数学指导性复习资料 教师版

∴ …2分
…4分
定义域为 ．6分
（2）因 ，即 ＞0，
故 为锐角，于是 ．10分
∴ = = ．
讲评建议：
第（1）问中，必须注意 中x的条件限制．
第（2）中，学生常会将“ ”展开，并结合 ，联列解方程组，进而求出 的值；但在三角恒等变换中，角的变换也应加以必要的关注，有时能简化运算，如2012年江苏高考题填空第11题。
这么看，第（Ⅱ）问与第（Ⅰ）也有渊源，因为“设 ，讨论函数 的图象与直线 （ ）公共点的个数”就是等价于研究“方程 （ ）解的个数”，我们对方程作变形处理得 ，即 ，若令 ， ，即有 ，这样问题就回归到直线 （ ）与函数 的图象的公共点的个数的问题上.
这么看，本题的第（Ⅱ）（Ⅲ）两问，都是在简单的第（Ⅰ）问的基础上向前发展起来的。
高邮一中立体几何
1.如图，正方形 所在平面与平面四边形 所在平面互相垂直，△ 是等腰直角三角形，
（I）求证： ；
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，求证： ∥
【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.
（2）a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；
（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．
故H（x）在[ ， ]上单调递减，故函数H（x）在[ ， ]上至多有一个零点；又H（ ）= （ ﹣ ）＞0，H（ ）=﹣ ＜0；且H（x）在[ ， ]上是连续不断的，
故函数H（x）在[ ， ]上有且只有一个零点．
3.已知函数 ．
（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明： ．
令 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 为 上的增函数，所以 ，即 ，故不存在正实数 使得 成立.
（Ⅲ）若存在不等实数 ，使得 ，则 和 中，必有一个在 ，另一个在 ，不妨设 ， .
①若 ，则 ，由（Ⅰ）知：函数 在 上单调递减，所以 ；
②若 ，由（Ⅱ）知：当 ，则有 ，而
所以 ，即
而 ，由（Ⅰ）知：函数 在 上单调递减，所以 ，即有 ，由（Ⅰ）知：函数 在 上单调递减，所以 ；
综合①，②得：若存在不等实数 ，使得 ，则总有 .
说明：由轴对称函数的性质启发命制该题，将函数的单调性，方程的根、导函数，不等式知识融为一体，考查学生的等价转化能力，分析问题，解决问题的能力。分步设问，逐层递进，叙述简洁，具有较高的区分度。
题目的来源与发展：（1）其实本题也来源于直线 与 的关系.因为 ，令 ，则得 ，则转化为直线 与 的关系；
（2）若函数 的图象关于 对称，则有 ；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（Ⅱ）（Ⅲ）问就是基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.
丁沟中学函数题三道
1.设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）
（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈[﹣ ，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）试探究当x∈[ ， ]时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数，并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得，
f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；
g′（x）=ex（cosx﹣sinx），g′（0）=1；
∴ ，或 ＜﹣1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范围是{a|a＞3}；
（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g′（x）=﹣（3x﹣1）（x+1）
又x∈[﹣2，2]，∴f′（x）在[﹣2， ）上小于0，f（x）是减函数；
f′（x）在（ ，2]上大于0，f（x）是增函数；∴f（x）max=max{f（﹣2），f（2）}，
而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a2＜0，∴f（x）max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a2+m，
又∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立，∴f（x）max≤1，即﹣8+4a+2a2+m≤1，
对于直线 与 也有类似的结论.
题目2：已知函数 （ 为自然对数的底数）
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在正实数 使得 ，若存在求出 ，否则说明理由；
（Ⅲ）若存在不等实数 ，使得 ，证明： .
解：（Ⅰ）函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间为 .
（Ⅱ）不存在正实数 使得 成立.
事实上，由（Ⅰ）知函数 在 上递增，而当 ，有 ，在 上递减，有 ，因此，若存在正实数 使得 ，必有 .
题目的来源与发展：此题的第（Ⅲ）问用了第（Ⅰ）问的更深一步的结论，也是一个常遇到的结论：对于 ，不等式 恒成立，当且仅当 时，等号成立，从图象上看就是直线 是对数函数 在 处的切线，且除了切点外，对数函数 的图象恒在直线 图象的下方，其关系如图：
因此我们就有这样的结论：直线 （ ）与函数 的图象的公共点的个数，当 时，有2个公共点；当 时，有1个公共点；当 时，有0个公共点.
（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．
解题分析
（1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x= 不在区间[﹣1，1]上；
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC 平面ABCD, BE 平面BCE,BC∩BE=B所以
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN PC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,∴PM∥平面BCE.
2015届江苏高考考前一周
数学指导性复习资料
高邮中学导数与函数两题
题目1：已知 （ ）， （ ）.
（Ⅰ）判断函数 的单调性，给出你的结论；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 的图象与直线 （ ）公共点的个数；
（Ⅲ）若数列 的各项均为正数， ，在 时， （ ），求证： .
变式：求证： （ ）.
解：（Ⅰ）求导 ，由 得 .
即m≤9﹣4a﹣2a2，在a∈[3，6]上恒成立∵9﹣4a﹣2a2在a∈[3，6]上是减函数，
最小值为﹣87∴m≤﹣87，∴m的取值范围是{m|m≤﹣87}．
2、已知函数f（x）=cos（x﹣ ），g（x）=ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
当 时， ，即（ ）成立；
假设 时， 成立，
那么，当 时，由（Ⅰ）知： ，即有不等式 （ ）于是 ，
即有 也成立，综上可知（ ）式成立.
变式的证明如下：
由 ，得 ，所以有
，
即 （ ）.
说明：此题是一道函数、数列与不等式的综合问题，共设置三问，难易梯度明显.第问（Ⅰ）考查基本函数的单调性，比较简单；第（Ⅱ）问在考查函数单调性的同时，还重点考查了函数的图象，渗透数形结合思想，由于解决时要将原问题“讨论函数 的图象与直线 （ ）公共点的个数”转化为“讨论曲线 与直线 （ ）公共点的个数”，这一转化有一定的思维难度，因此难度明显大于第（Ⅰ）问；第（Ⅲ）问考查数列与不等式，证明数列与不等式时，代数变形的难度较大，其变形的目的性不好把控，是真正的压轴点所在.
∵x∈[﹣ ，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0；
故h′（x）≥0，故h（x）在[﹣ ，0]上单调递增，
故当x=﹣ 时，hmin（x）=h（﹣ ）=﹣ ；故m≤﹣ ；
（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣x•f（x），x∈[ ， ]；则当x∈[ ， ]时，
H′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx＜0，
令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜ ；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞ ，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（ ，+∞）上为减函数，在（﹣1， ）上为增函数，
∴g（x）极小=g（﹣1）=﹣1，g（x）极大=g（ ）= ；∴m的取值范围是（﹣1， ）；
（3）∵f′（x）=0时，x=﹣a或x= ，且a∈[3，6]时， ∈[1，2]，﹣a∈（﹣∞，﹣3]；
解：（I） ，
∴ ……2分
对 ， ，故不存在实数m，使 对 恒成立，
由 对 恒成立得， ≥ 对 恒成立
而 ＜0，故m≥0
经检验，当m≥0时， 对 恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．
（II）当m = 1时，令
，在[0，1]上总有 ≥0，即 在[0，1]上递增
∴当 时， ，即 ①令 ，
2当 时，函数 的图象与直线 （ ）有1个公共点；
3当 时，函数 的图象与直线 （ ）有0个公共点.
（Ⅲ）由题意，正项数列 满足： ，
由（Ⅰ）知： ，即有不等式 （ ）
由已知条件知 ， ，
故 ，所以当 时， ， ， ， ， ，以上格式相乘得: ，又 ，故 ，即 ，对 也成立.所以有 （ ）（ ）.