2013年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试卷(深圳一模)

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深圳市2013年高三年级第一次调研考试题及答案(文科数学) 2

绝密★启用前试卷类型：A2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2013.2本试卷共 6 页，21小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．注意事项：1 ．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3 ．非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4 ．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5 ．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考结论：三棱锥的体积公式：shv 31=，其中,h s v ,,分别是三棱锥的体积、底面积和高；回归直线的方程是： a bx y +=∧， .,)())((:121x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==其中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知 i 为虚数单位，则=+2)1(i A ． 2i B ． 2i C ．2 D ．22．已知集合{=⋂=<∈=B A C B x R x A R )(},4.3.2.1{},27|则A ． }4,3,2,1{B ．}4,3,2{C ．}4,3{，D ． }4{ 3．下列函数中，最小正周期为2π的是A. 2tanx y =, B. x y 2sin = C. 4cos x y = D. x y 4cos =4．设f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x.>0时， =-+=)2(),1(log )(3f x x f 则 1.-A 3.-B 1.C 3.D 5．下列命题为真命题的是A ．若q p ∨为真命题，则 q p ∧为真命题．B ．“ x=5”是“ 0542=--x x ”的充分不必要条件．C ．命题“若 x<1，则0322=--x x ”的否命题为：“若 x<1，则0322≤--x x ”．D ．已知命题.01,:,01,:22>-+∈∀⌝<-+∈∃x x R x p x x R x p 使得则使得 6．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为7．某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形的面积之和的51，则第一个小矩形对应的频数是A ． 20B ．25C ．30D ．358．等差数列}{n a 中，已知,0,0745<+>a a a 则}{n a 的前n 项和n S 的最大值为 A. 7S B. 6S C. 5S D. 4S9．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线交于一点M(1,m)，点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 A ． 3 B ．4 C ．31D ．4110．已知x>0,y>0，且 4xy-x-2y=4，则 xy 的最小值为 A ．22 B ．22 C ． 2 D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是_________________ ．12．已知变量 x, y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-.082,102y x x y x 则x y 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系 xoy 中，定点 A(4,3) 且动点B(m,0)在x 轴的正半轴上移动，则||AB m 的最大值为 ______________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=.24,1t y t x ),(R t ∈参数若以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为,sin 4θρ=则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为________ ．15．如图， PA 是⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交⊙O 于D 、B 两点，交弦AC 于E 点，且AE=4, EC=3，BE=6 , PE=6，则 AP = ___________．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，.23),)(cos 2,1(),1,(sin 22-=⋅∈-ON OM R N M 且θθθ（1）求点 M, N 的坐标；（2）若角βα,的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点 M, N ，求)tan(βα+的值.17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方∧程a=y+bx18．（本小题满分14分）如图甲， ⊙O 的直径AB=2 ，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使.3,4ππ=∠=∠DAB CAB 沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点， E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C-BOD 的体积；（2）求证：CB ⊥DE ；（3）在BD 弧上是否存在一点 G ，使得FG //平面 ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）设}{n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列}{n a 的前 n 项和．已知73=S , 且23a 是4331++a a 和和的等差中项．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设,)1)(1(1++=+n n nn a a a b 数列}{n b 的前 n 项和为n T ，求证：.21<n T20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23,且点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆 C 的长轴为AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、B 的任意一点，x PH ⊥轴， H为垂足，点Q 满足,HP PQ =直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，BN BM 4=．求证：OQN ∠为锐角．21．（本小题满分14分）已知函数e a R b a b a x x a x f x ),1,,(ln )(2>∈--+=是自然对数的底数．（1）试判断函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性；（2）当a=e,b=4时，求整数k 的值，使得函数)(x f 在区间(k,k+1)上存在零点；（3）若存在,1|)()(|],1,1[,2121-≥--∈e x f x f x x 使得试求a 的取值范围.2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．63. 12．[26]，. 13．53． 14．5． 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（），21,2cos N θ-（）（θ∈R ），且32O M O N ⋅=-.（1）求点,M N 的坐标；（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N，求tan αβ+()的值.解：(1) 3,2O M O N ⋅=- 223sin 2cos ,2θθ∴-=-………………….2分223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=所以1(,1)6M ，5(1,)3N -………………….6分（2）由（1）可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=-……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分【说明】本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况 (3)分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=. …………………………………………5分（2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30ii i xx y y =--=∑∑=-51i 2i)x x(=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a yb x =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分【说明】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分14分）如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4C A B π∠=，3D AB π∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为A O 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C B O D -的体积；（2）求证：C B D E ⊥；（3）在 BD上是否存在一点G ，使得//F G 平面A C D ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．解:（1）C 为圆周上一点，且A B 为直径，90C ∴∠=︒,4C A B π∠= ,AC BC ∴=∵O 为A B 中点，C O A B ∴⊥，2,1AB CO =∴= .∵两个半圆所在平面A C B 与平面A D B 互相垂直且其交线为A B ， ∴C O ⊥平面A B D ，C O ∴⊥平面B O D . ∴C O 就是点C 到平面B O D 的距离，在R t A B D ∆中，11112224BO D ABD S S ∆∆==⨯⨯⨯=，11133412C BOD BO D V S C O -∆∴=⋅=⨯=. ………………………………………4分（2）在A O D ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=A O D ∴∆为正三角形，又E 为O A 的中点，D E A O ∴⊥，∵两个半圆所在平面A C B 与平面A D B 互相垂直且其交线为A B ，D E ∴⊥平面A B C .∴C B D E ⊥. ………………………………………9分（3）存在，G 为 BD的中点.证明如下：连接,,OG OF FG ，A BCOD·(第18题图甲)A BFO D·(第18题图乙)·E G∴O G B D ⊥，∵A B 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥∴//O G A D ，O G ⊄平面A C D ，A D ⊂平面A C D ， ∴O G //平面A C D .在A B C ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//O F A C ∴，O F ⊄平面A C D ，//O F ∴平面A C D ，,OG OF O =∴平面//O F G 平面A C D ，又F G ⊂平面O F G ，//F G ∴平面A C D .………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．19．（本题满分14分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111nn n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，则12a q =，∴213122a a a q q q===，．由37S =，可知2227q q++=，∴22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分 ∴11a =．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． …………………………………………………7分 (2)∵1(1)(1)nn n n a b a a +=++112(21)(21)n n n--=++1112121n n-=-++， …………11分∴n S 112231111111111121212121212121n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111121n=-++11221n=-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力． 20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x2，且点1,2（在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，点Q 满足P Q H P =，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN=．求证：OQN ∠为锐角．（第20题图）20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b ab+=>>，由题意可得2c e a==,又222c b a +=，∴224b a =. …………………………………………2分∵椭圆C经过(1,2，代入椭圆方程有2231414b b+=，解得21b =. …………………………………………5分 ∴24a =，故椭圆C 的方程为2214xy +=. …………………………………………6分（2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -， ∵PQ HP =， ∴()00,2Q x y ， ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． …………………………………………9分令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭． ∵()2,0B ，4BM BN =，∴002,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∴()00,2Q O x y =--，00002(1)2,2y x Q N x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭．∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++ ∵220014x y +=，∴220044y x =-∴02QO QN x ⋅=-…………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=->．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力． 21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数．（1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性；（2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点；（3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围．解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，…………2分故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分（2）2()4xf x e x x =+--，'()21xf x e x ∴=+-，(0)0f '∴=， ……………………………………4分当0x >时，1xe >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f ee=-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >，故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件. 综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分（3）2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，m a x m i n m a xm i n |()()|()()1f x f x f x f x e-=-≥-…………………………8分 ()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分 ∴当[1,1]x ∈-时，{}m in m ax ()(0)1,()m ax (1),(1)f x f b f x f f ==-=-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a aa--=+---++-=--，设1()2ln (0)g t t t t t=-->，因为22121()1(1)0g t tt t'=+-=-≥（当1t =时取等号），∴1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >， ∴当1a >时，12ln 0a a a-->，∴(1)(1)f f >-，∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，则11()10a h a a a-'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数， ∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

广东省深圳市2013年高三第一次调研考试理综试题(2013深圳一模)_Word版含答案

2013深圳市高三第一次调研考试理科综合1.当内质网不能满足细胞对蛋白质的加工和分泌时,内质网会处于应激状态。

人体下列哪类细胞最容易发生内质网应激A. 浆细胞B.汗腺细胞C. 甲状腺细胞D.性腺细胞2.某个氨基酸分子进入人体小肠绒毛上皮细胞的方式是A.协助扩散B. 主动运输C.协助扩散或主动运输D.协助扩散和主动运输3.2012年，科学家利用鸡尾酒诱导小鼠胚胎干细胞分化成卵母细胞，体外受精后，将胚胎移植到代孕小鼠体内，能产生正常后代。

有关叙述不正确的是A.精子和卵子一般要共同培养一段时间才能受精B.胚胎早期培养的培养液一般需要添加维生素C.胚胎干细胞分化成卵母细胞说明其具有全能性D.胚胎移植时胚胎的遗传特性不会因受体而改变4.某研究小组对大亚湾水域6个不同区域6种单细胞藻类的群落结构研究结果如下图，有关说法与事实不相符的是A.单细胞藻类是生产者B.⑥区域溶解氧可能最少C.a 为区域⑥的优势种D.影响藻类分层现象的因素是温度5.下列操作对胃蛋白酶溶液(1mL)中胃蛋白酶活性影响最小的是A.加入1mL 淀粉酶B.从35℃降至0℃C.加入2g 氢氧化钠D.加入1mL 新鲜胰液6.已知A 、a 是一对等位基因。

下图①～③分别表示某种动物存在地理隔离的3个不同的种群的A 基因频率的变化情况，3个种群的初始个体数依次为26，260和2600。

有关分析错误的是A ．种群越小基因的丧失对该基因频率的影响越大B ．②在125代时aa 个体约占总数的25%C ．150代后3个种群之间可能出现生殖隔离D ．自然选择使A 基因频率发生定向改变ks5u7．下列关于有机物的叙述中，正确的是A. 液化石油气、汽油和石蜡的主要成分都是碳氢化合物B. 油脂在人体内水解为氨基酸和甘油等小分子被吸收C. 乙醇和乙酸都能使酸性KMnO 4溶液褪色D. 聚酯纤维、光导纤维都属于有机高分子8．N A 代表阿伏加德罗常数。

下列叙述正确的是A ．标准状况下，22.4L 己烷中C-C 共价键数目为5N AB ．0.1mol·L -1AlCl 3溶液中含有氯离子数为0.3N AC ．1molFe 在1molCl 2中充分燃烧，转移电子数为3N AD ．20g 重水（）所含的电子数为10N A9．下列离子方程式中正确的是A. FeO 溶于稀硝酸中：FeO ＋ 2H += Fe 2+＋ H 2O B. 过量CO 2通入NaOH 溶液中：ＯH - ＋ CO 2 = HCO 3- C. 金属钠溶于水中：Na ＋ H 2O = Na +＋ OH - ＋ H 2↑D. 过量氨水加入AlCl 3溶液中：Al 3+ ＋ 3OH -= Al(OH)3↓10．Q 、W 、X 、Y 、Z 都是短周期元素。

深圳市高三数学第一次调研考试(理)试题(扫描版含答案)

2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．20=n ． 10．25-． 11． 10<<a ． 12． 1；1．13．21<≤b ． 14．15 ． 15．24-≤≥a a 或．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．【解】（Ⅰ）∵xx x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=…………………… 3分)(x f ∴的最小正周期为π． ………………… 5分（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤+≤，． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 10分当)32sin(π+=x y 递减时，()f x 递增． πππ≤+≤∴322x ，即312ππ≤≤x ．故()f x 的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ． ……………………12分 17．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为 60【解】（Ⅰ）证明：平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ．⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF 平面A D ，∴平面⊥D A F 平面C B ．………………………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面C B 所成的角． ………………………5分EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ． 2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ．在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ． ………………………7分21sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30． ………………………8分(Ⅲ)（解法一）过点A 作EF AM ⊥，交EF 的延长线于点M ，连DM ．根据（Ⅰ）的证明，⊥DA 平面ABEF ，则EF DM ⊥，DMA ∠∴为二面角B FE D --的平面角， 60=∠DMA ． …………………9分在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ………………… 10分又四边形AMFH 为矩形， 23==∴FH MA ． 23323tan =⋅=∠⋅=∴DMA MA AD ．因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分（解法二）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23,21(-, ),23,21(t --=∴，),23,23(t -= 设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅DF n ,01=⋅DE n ．即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,0232321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ …………………10分取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为60 60cos =∴ ，即134300212⋅+++=t ，解得23±=t （负值舍去）因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分 18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．注：“0=n ”，即为“0←n ”或为“0:=n ”．【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ． ………………… 4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ．解得32=p 或31=p ． …………………………………6分 21>p ， 32=∴p ． ………………………… 7分（Ⅲ）（解法一）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………………… 8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 8120)95)(951()4(=-==ξP ， 81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ． ∴随机变量ξ的分布列为： …………………………… 12分故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………………… 14分（解法二）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………… 8分令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==． ………………… 12分∴随机变量ξ的分布列为：故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………14分19．（本题满分14分）已知函数2)1ln()(x ax x f -+=（0>a ，]1,0(∈x ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(12n n+≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【解】（Ⅰ）x axax f 21)(-+=' ………………… 2分axa x ax ++--=1222，由0222=+--a x ax ，得aa x 21212+±-=．0>a ，021212<+--∴a a ，021212>++-aa ．又1112212122<++=++-a a aa．∴函数()f x 的单调递增区间为)2112,0(2a a -+,递减区间为)1,2112(2aa -+． ………… 6分（Ⅱ）【法一】不等式)21ln(12n n +≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．……………（※）令x n=1，当*∈N n 时，]1,0(∈x ．则不等式（※）即为2)21l n (x x -+≥λ． …………………9分令2)21ln()(x x x g -+=，(0,1]x ∈，在)(x f 的表达式中，当2=a 时，)(x f )(x g =，又 2=a 时，2121212=++-a a ，∴)(x g 在)21,0(单调递增，在)1,21(单调递减．)(x g 在21=x 时，取得最大，最大值为412ln )21(-=g ． …………………12分因此，对一切正整数n ，当2=n 时，21)21ln(n n -+取得最大值412ln -．∴实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分【法二】不等式)21ln(12n n+≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．………………（※）设21)21ln()(xx x g -+=)1(≥x ，)2(422212)(32322+++-=++-='x x x x x x x g x，令)(='x g ，得1-=x 或2=x ． ………………………… 10分当)2,1(∈x 时，0)(>'x g ，当),2(∞+∈x 时，0)(<'x g ． ∴当2=x 时，)(x g 取得最大值412ln -．因此，实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分20．（本题满分14分）在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上， //BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ) 求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解】（Ⅰ)如图，设点C 的坐标为),(y x )0,0(≠≠y x ，则(,0),(,),(,4)B x AC x y BD x ==-，AC BD ⊥ ，()40x x y ∴⋅-+⋅=，即214y x x =≠ (0)∴所求的轨迹T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3分O（解法一）(Ⅱ)对函数214y x = 求导得，12y x '=．设切点坐标为2001(,)4x x ，则过该切点的切线的斜率是012x ，该切线方程是200011()42y x x x x -=-．又设点P 的坐标为)52,(-t t ，切线过点P ，∴有)(2141520020x t x x t -=--，化简，得02082020=-+-t tx x ． …………………………6分设A 、B 两点的坐标分别为2111(,)4x x 、2221(,)4x x ，则1x 、2x 为方程020822=-+-t tx x 的两根，208,22121-==+t x x t x x ．122M x xx t +∴==因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行 …………9分 (Ⅲ)2212111()244M y x x =+5221)]208(24[81]2)[(812221221+-=--=-+=t t t t x x x x ．∴点M 的坐标为)5221,(2+-t t t ．又221112441212111()2442AB x x k x x t t x x -==+=⋅=- ．∴直线AB 的方程为：)(21)5221(2t x t t t y -=+--，即0210)4(=-+-y x t ．………（*）当5,4==y x 时，方程（*）恒成立，∴对任意实数t ，直线AB 恒过定点，定点坐标为)5,4(． …………………………14分（解法二）(Ⅱ)设点P 的坐标为)52,(-t t ，利用切点弦直线方程的结论可得出直线AB 的方程为tx t y 412)52(=-+，即5221+-=t tx y …………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.41,52221x y t tx y 得020822=-+-t tx x . 208,22121-==+∴t x x t x x ．122M x x x t +∴==. 因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行. ……………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线AB 的方程为5221+-=t tx y ，即0210)4(=-+-y x t ．后面解法同解法一. 21．（本题满分14分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．（ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时，求证：11221ni ib b =<-∑．【解】（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-，即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． (3)分11a = ， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当112b =时，212b =．假设12k b =，则k k b b =+1．由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………8分（ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112b b >>．假设12k b >，则 112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,n = ． …………………………10分又1112()22n n n b b b +-=- ， 11122111n n nb b b +∴=---，即11122111n n n b b b +=---． …………………………12分∴11ni ib =∑111111()ni i i b b =+=---∑11112211n b b +=---． 112n b +>， 11111221ni i b b b =∴<=--∑． …………………………14分审题：石永生命题：喻秋生姚亮黄元华。

G.深圳市2013年高三年级第一次调研考试理科综合及参考答案与评分标准

2013年深圳一模理综生物试题答案1.A2.C3.C4.D5.A6.B 24.AB 25.AD26. （16分）（1）35℃（1分）能（1分） 40℃时净光合速率大于0，即光合速率大于呼吸速率，植物合成的有机物多于分解的有机物（2分）（2）小（2分）失水（2分）糖蛋白（2分）（3）下降（2分）给植物浇水（2分）(4) （2分）27. （16分）（1）健那绿（2分）是（2分）（2）磷脂双分子层（2分）一定流动性（2分）（3）酒精和二氧化碳（2分）检测二氧化碳:澄清的石灰水;溴麝香草酚蓝水溶液。

检测酒精：重铬酸钾的浓硫酸溶液（2分）（4）不能（2分）受精时线粒体DNA因不能进入卵细胞而不发挥作用（或线粒体位于精子的尾部，一般不进入卵细胞）（2分）28. （16分） (1)12（1分）（2）碱基的排列顺序不同（1分）随机性（1分）通过控制蛋白质的结构而直接控制生物体的性状（1分）（3）96600（2分）引物通过互补配对与单链DNA结合（2分）（4）两种激素引起了心肌细胞内基因的选择性表达（2分）全身细胞（2分）下丘脑和垂体（2分）负反馈调节（2分）29. （16分）（1）探究薇甘菊入侵（程度）对红树林生态系统（或群落）碳储量的影响（2分）凋落物碳储量随薇甘菊入侵强度的增加而增加（2分）植被、土壤碳储量和生态系统碳储量随薇甘菊入侵强度的增加而减少（2分）（2）薇甘菊可以增加土壤微生物分解者总量，促进分解者的分解作用。

（2分）（3）竞争（1分）次生（1分）2013年深圳一模化学题答案一、选择题7、A 8、D 9、B 10、D 11、C 12、B (每题4分)；22、AC 23、BC （每题6分）二、填空题 30、(16分)说明；所有的化学方程式或结构简式写成一般结构简式或键线式同样得分；化学方程式没有注明反应条件或条件错误扣1分，化学式错误和不配平0分，下同。

（1）C 8H 8O 2 （2分）；CH 2=CH-COOH （3分）（2）或（3分）（3）（3分）取代反应（或酯化反应）（2分）（4）（3分）31、（16分）有效数字错误或无单位运算或无作答，总扣1分（1）研究温度．．对该化学平衡的影响．．（2分）（2）是（1分）；温度升高，反应加快．．．．，对比实验1，高温下比低温下更快达到平衡状态。

2013年深圳市高三年级第一次调研考试

深圳市2013届高三第一次调研考试英语I、语言知识及应用（共两小节，满分45分）第一节：完形填空（共15小题，每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1—15各题所给出的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

A good student is always equal to one who gets good grades. But is that all that a good student is? What is a 1 good student? Is he someone who is the teacher's pet? Someone who tops every test? Someone who has the smarts? A good student is all this and more, because, you see, it’s not just about books and repetitive 2 .Being a good student takes much more than that. There are certain 3 that make him a good student. That is 4 what we shall be looking into – the qualities of a good student. There will help you 5 what a good student is and what are the qualities that one needs in order to become one.A good student has great 6 skills. He has the ability to plan and organize not only his actions but his 7 as well, for being well organized allows a person to be prepared for all the situations that are to 8 . That could not have been 9 if he had taken up the studies at the last minute.Knowledge is a key 10 that defines（定义）a student. Possessing knowledge that is not only limited to books but also 11 things about current affairs and other things allows him to draw from all that he possesses and use it in his studies.There is nothing that comes without hard work and that is exactly what a good student has to possess. A 12 student is not someone who will turn away from work, or try to find 13 to get the work done 14 or for the sake of finishing it. Instead, he is someone who will do his work 15 and put in all his efforts without compromising on quality.1．A．specially B．nearly C．mainly D．really 2．A．performing B．learning C．counting D．guessing 3．A．choices B．activities C．qualities D．viewpoints 4．A．simply B．merely C．completely D．exactly 5．A．understand B．predict C．assume D．settle 6．A．physical B．organizational C．mental D．traditional 7．A．thoughts B．performances C．conducts D．directions 8．A．share B．manage C．follow D．find 9．A．valuable B．worthy C．vital D．possible 10．A．view B．role C．aspect D．effect 11．A．includes B．concludes C．affects D．matches 12．A．good-looking B．hard-working C．cool-headed D．warm-hearted13．A．places B．roads C．tools D．ways 14．A．fast B．carefully C．well D．badly 15．A．roughly B．eventually C．sincerely D．carelessly第二节语法填空（共10小题，每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中的语法的正确形式填空，并将答案填写在答题卡标号为16—25的相应位置上。

【数学】广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题参考答案

【关键字】数学广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题&参照答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A．B．C．D．2.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）A．-3 B．-2 C．2 D．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4.设，则大小关系正确的是（）A．B． C. D．5. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B． C. D．6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B． C. 2 D．7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B． C. D．8. 函数的图象大致是（）A．B．C. D．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为（）A．B． C. D．10. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．335 B．336 C. 337 D．33811. 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）A．B． C. D．12. 若在上存在最小值，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量，若，则．14. 已知是锐角，且．15.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是．16.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．21.已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB +为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-．（1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 15. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==；当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦，整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列，∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈；（2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，① ∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，②由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+.18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆，∴ED EB =，∴BD EG ⊥，∵AC EG G =，∴BD ⊥平面ACFE ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥，在平行四边形ACFE 中，易知0060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =， ∵12332BDE S ∆==， ∴三棱锥F BDE -的体积为13333=.解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -.19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-，当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩， ∴0.0015,0.0020a b ==；（3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==，当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==，当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==，当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==，故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=；（2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =，②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+，将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=，可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k--==+=+++，由QM AB ⊥可知00125y k x =--，化简得23520k k ++=，解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-，此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=.21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数；②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-，易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数，其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而此时()1110,0a a a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=，极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->，当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-，当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<，综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

深圳市届高三第一次调研测验数学理科

1
若锥体的底面积为 S，高为 h，则锥体的体积为 V = Sh．
3 若球的半径为 R，则球的表面积为 S=4 R2，体积为 V= 4 R2，
3Leabharlann 回归方程为 y bx a ，其中： i1 n
n

xi xyi y
xi x
i 1
一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项
是符合题目要求的．
1．化简 sin 2013o 的结果是
A．sin 33o
2．已知 i 是虚数单位，则复数 i13（1+i）=
A．l+i
C．-l+I
B．cos33o
B．l－i
D．-l－i
3．图 l 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、
体积分别是
A．32 、 128 3
C．12 、 16 3
将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
。
10．容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n（n>1）个小矩形，若其中一个小矩形
1
的面积等于其余 n－1 个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是____
5
．
11．已知 = {（x，y）|x+ y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y>0，x－y2≥0}，

深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)

绝密★启用前试卷类型：A2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2009.3本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的准线方程为c a x 2±=，其中222c a b =-；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于A ．1-B ．1C ．2-D ．22．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A ．π32 B ．π16 C ．π12 D ．π83．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图，其中b a ,为常数．则函数b a x g x+=)(的大致图象是A ．B ．C ．D ．4．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和椭圆1222=+y x 的右准线所围成三角形的边界及内部．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．65．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数cos () sin xf x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A ．32πB ．3π C ．8πD ．π656．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b ，则方程2bx a x=--有实根的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．32俯视图7．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．48．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 A ．108种 B ．60种 C ．48种D ．36种二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n ． 10．已知n 为正偶数，且nxx )21(2-的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是．（用数字作答）11．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是．12．已知AD 是ABC ∆的中线，),(R AC AB AD ∈+=μλμλ，那么λμ+= ；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是．（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为],0[sin ,cos πθθθ∈⎩⎨⎧==y x ，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θθρcos sin -=b．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是．14．（几何证明选讲选做题）如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，2=CD ，3=AD ，6=BD ，则=PB ．15．（不等式选讲选做题）若不等式z y x a 221++≥-，对满足1222=++z y x 的一切实数x 、y 、z 恒成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．17．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ，1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；（Ⅲ）当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为60？18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．注：“0=n ”，即为“0←n ”或为“0:=n ”．19．（本题满分14分）已知函数2)21ln()(x x a x f -+=（0>a ，]1,0(∈x ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(122nn n +≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本题满分14分）在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上， //BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ)求点C 的轨迹方程；（Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹的两切线PE 、PF ，E 、F 为切点，M 为EF 的中点．求证：PM ⊥x 轴；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，直线EF 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．（ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时，求证：11221ni ib b =<-∑．2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9．20=n ． 10．25-． 11． 10<<a ． 12． 1； 1．13．21<≤b ． 14．15 ． 15．24-≤≥a a 或．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．【解】（Ⅰ）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=…………………… 3分)(x f ∴的最小正周期为π． ………………… 5分（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤+≤，．)(x f ∴的值域为]3,2[-． (10)分当)32sin(π+=x y 递减时，()f x 递增．πππ≤+≤∴322x ，即312ππ≤≤x ．故()f x 的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ． ……………………12分 17．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为60？【解】（Ⅰ）证明：平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ． ⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF 平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ． …………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面C B 所成的角． ………………………5分EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ．在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ． …………7分21sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为 30． …………8分(Ⅲ)设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅n ,01=⋅n ．即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,0232321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ ………………10分取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为6060cos =∴ ，即134300212⋅+++=t ，解得23±=t （负值舍去）因此，当AD 的长为2时，二面角B FE D --的大小为6018．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．18.【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ． ……… 4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ．解得32=p 或31=p ． ………………………6分21>p ， 32=∴p ． ………… 7分（Ⅲ）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………… 8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，8120)95)(951()4(=-==ξP ，81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ．∴随机变量ξ的分布列为： ………… 12分故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………… 14分19．（本题满分14分）已知函数2)1ln()(x ax x f -+=（0>a ，]1,0(∈x ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(12n n +≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【解】（Ⅰ）x axa x f 21)(-+=' ………………… 2分 axa x ax ++--=1222，由0222=+--a x ax ，得a a x 21212+±-=． 0>a ，021212<+--∴a a ，021212>++-aa ．又1112212122<++=++-a a a a ．∴函数()f x 的单调递增区间为)2112,0(2aa -+,递减区间为)1,2112(2aa -+． ………… 6分（Ⅱ）【法一】不等式)21ln(12n n +≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．……………（※）令x n=1，当*∈N n 时，]1,0(∈x ．则不等式（※）即为2)21ln(x x -+≥λ．…………………9分令2)21ln()(x x x g -+=，(0,1]x ∈，在)(x f 的表达式中，当2=a 时，)(x f )(x g =，又 2=a 时，2121212=++-a a ， ∴)(x g 在)21,0(单调递增，在)1,21(单调递减． )(x g 在21=x 时，取得最大，最大值为412ln )21(-=g ． …………………12分因此，对一切正整数n ，当2=n 时，21)21ln(n n -+取得最大值412ln -． ∴实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分【法二】不等式)21ln(12n n +≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．………………（※）设21)21ln()(x x x g -+=)1(≥x ， )2(422212)(32322+++-=++-='x x x x x x x g x ，令0)(='x g ，得1-=x 或2=x ． ………………………… 10分当)2,1(∈x 时，0)(>'x g ，当),2(∞+∈x 时，0)(<'x g ．∴当2=x 时，)(x g 取得最大值412ln -．因此，实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分20．（本题满分14分）在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上， //BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ) 求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．D【解】（Ⅰ)如图，设点C 的坐标为),(y x )0,0(≠≠y x ，则(,0),(,),(,4)B x AC x y BD x ==- ， AC BD ⊥，()40x x y ∴⋅-+⋅=，即214y x x =≠ (0)． ∴所求的轨迹T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3分（解法一）(Ⅱ)对函数214y x =求导得，12y x '=．设切点坐标为2001(,)4x x ，则过该切点的切线的斜率是012x ，该切线方程是200011()42y x x x x -=-．又设点P 的坐标为)52,(-t t ，切线过点P ，∴有)(2141520020x t x x t -=--，化简，得02082020=-+-t tx x ． …………………………6分设A 、B 两点的坐标分别为2111(,)4x x 、2221(,)4x x ，则1x 、2x 为方程020822=-+-t tx x 的两根，208,22121-==+t x x t x x ．122M x x x t +∴== 因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行 …………9分(Ⅲ) 2212111()244M y x x =+5221)]208(24[81]2)[(812221221+-=--=-+=t t t t x x x x ．∴点M 的坐标为)5221,(2+-t t t ．又221112*********()2442AB x x k x x t t x x -==+=⋅=-． ∴直线AB 的方程为：)(21)5221(2t x t t t y -=+--，即0210)4(=-+-y x t ．………（*）当5,4==y x 时，方程（*）恒成立，O∴对任意实数t ，直线AB 恒过定点，定点坐标为)5,4(． …………………………14分（解法二）(Ⅱ)设点P 的坐标为)52,(-t t ，利用切点弦直线方程的结论可得出直线AB 的方程为tx t y 412)52(=-+，即5221+-=t tx y …………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.41,52221x y t tx y 得020822=-+-t tx x . 208,22121-==+∴t x x t x x ．122M x x x t +∴==. 因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行. ……………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线AB 的方程为5221+-=t tx y ，即0210)4(=-+-y x t ．后面解法同解法一.21．（本题满分14分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．（ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时，求证：11221n i ib b =<-∑．【解】（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-，即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． …………………………3分11a =， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--．…………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当112b =时，212b =．假设12k b =，则k k b b =+1．由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………8分（ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当1112b <<时，2112b b >>．假设12k b >，则 112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,2,3,)n =． …………………………10分又1112()22n n n b b b +-=-，11122111n n n b b b +∴=---，即11122111n n n b b b +=---． …………………………12分 ∴11ni i b =∑11112211()ni i i b b =+=---∑11112211n b b +=---．112n b +>，111211221ni i b b b =∴<=--∑．…………………………14分。

2013深圳一模数学理试题及答案

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． 80； 10． 10； 11．278； 12．1213；13．340≤≤a ； 14．)5,2(； 15．1．三、解答题 16．（本小题满分12分）已知函数)50)(3π6πsin(2)(≤≤+=x x x f ，点A 、B 分别是函数y f x =（）图像上的最高点和最低点．（1）求点A 、B 的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求)2tan(βα-的值．解：（1）50≤≤x ， ππ7π3636x π∴≤+≤， …………………………………1分∴1ππsin()1263x -≤+≤． ……………………………………………………………2分当πππ632x +=，即1=x 时，ππsin()163x +=，)(x f 取得最大值2；当ππ7π636x +=，即5=x 时，ππ1sin()632x +=-，)(x f 取得最小值1-．因此，点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -． ………………………………4分152(1)3O A O B ∴⋅=⨯+⨯-=． ……………………………………………………6分（2）点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上，tan 2α∴=，51tan -=β， …………………………………………8分图4212()55tan 21121()5β⨯-==---， ………………………………………………10分 ∴52(2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅-． ………………………………………………12分【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：（1）请在图4 （2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望)(X E 的值．解：（1）散点图如右图所示．…………1x =59795939189++++=93， y =59392898987++++=90，,4042 0)2()4((22222512=+++-+-=-∑=i ix x303422)1(0)1()2()3()4()(51=⨯+⨯+-⨯+-⨯-+-⨯-=--∑=i i iy y x x，300.7540b ==，69.75b x =，20.25a y bx =-=． ………………………5分故这些数据的回归方程是：ˆ0.7520.25y x =+． ………………………6分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2． ……………………………………7分22241(0)=6C P X C ==；1122242(1)=3C C P X C ==；22241(2)=6C P X C ==． …………10分ABCD⋅O⋅F图56故X 的分布列为：……………11分()E X ∴=610⨯+321⨯+612⨯=1． …………………………………………………12分【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 18．（本小题满分14分）如图5，O ⊙的直径4=AB ，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠ ，∠DAB 60= ，F 为 BC的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6）．（1）求证：//O F 平面ACD ；（2）求二面角C -A D -B 的余弦值；（3）在 BD上是否存在点G ，使得FG //平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．（法一）：证明：（1）如右图，连接CO ，45=∠CAB ，AB CO ⊥∴，又F 为 BC的中点，45=∠∴FOB ， AC OF //∴．⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，∴//O F 平面ACD ．……………………3分解：（2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ．∴CO ⊥平面ABD ．又⊂AD 平面ABD ，AD CO ⊥∴，⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，则∠CEO 是二面角C -A D -B 的平面角． ………………………………5分60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形，2=CO ，∴7=CE ．∴CEO ∠cos =73=721． …………………………………………………………8分（3）设在 BD上存在点G ，使得FG //平面ACD ， //O F 平面ACD ， ∴平面//OFG 平面ACD ， AD OG //∴，==60BOG BAD ∠∠ ．因此，在 BD上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为 BD 的中点．……10分连AG ，设AG 与平面ACD 所成角为α，点G 到平面ACD 的距离为h ．ACD S ∆=CE AD ⨯⨯21=7221⨯⨯=7，OAD GAD S S ∆∆==3221⨯⨯=3，∴由ACD -G V =AGD -C V ，得h ⨯⨯731=2331⨯⨯，得7212=h ． …………12分在AOG ∆中，2==OG AO ， 120=∠AOG ，由余弦定理得AG =32，…13分AGh =∴αsin =77． …………………………………………………14分（法二）：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC ，点F 为 BC 的中点，∴点F 的坐标为(，)2,2,0(=OF ．2O F AC ∴=，即//O F A C ． ⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，∴//O F 平面ACD ． …………………………………………………………3分解：（2）60DAB ∠=，∴点D的坐标()013,,D -，0)AD =．设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．由110,0,n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有()()()),,0,2,20,,,00,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0.y z y +=⎧⎪+=取1=x ，解得3-=y ，3=z ．1n ∴=()331,,-． ……………………………………………5分取平面AD B 的一个法向量2n=()100,,， ………………………………………6分1212cos 7n n |n ||n |θ⋅∴===⋅．………………………8分（3）设在 BD上存在点G ，使得FG //平面ACD ， //O F 平面ACD ，∴平面//OFG 平面ACD ，则有AD OG //．设(0)O G AD λλ=>，0)AD =，)0O G ,,λ∴= ．又2O G =，2∴=，解得1λ=±（舍去1-）．)10O G ,∴=，则G 为 BD的中点．因此，在 BD上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为 BD 的中点．……11分设直线AG 与平面ACD 所成角为α，0)(0,2,0)3,0)AG =--=，根据（2）的计算(11n =为平面ACD 的一个法向量，11sin cos(90)7||||AG n AG n αα⋅∴=-===⋅．因此，直线AG 与平面ACD7． ……………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：11=a ，2(0)a a a =≠，nn n a a p a 212++⋅=（其中p 为非零常数，*N n ∈）．（1）判断数列}{1nn a a +是不是等比数列？（2）求n a ；（3）当1=a 时，令2n n nna b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．解：（1）由nn n a a p a 212++⋅=，得nn n n a a p a a 112+++⋅=． ……………………………1分令1n n na c a +=，则1c a =，1n n c pc +=．0≠a ，10c ∴≠，p c c nn =+1（非零常数），∴数列}{1nn a a +是等比数列． ……………………………………………………3分（2）数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴111n n n c c pa p--=⋅=⋅，即11n n n a ap a -+=． ……………………………4分当2n ≥时，23121121()()()1n n nn n n n a a a a a apapap a a a -----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯23212n n n a p-+-=， ………………………………………………6分1a 满足上式， 2321*2,N n n n n a apn -+-∴=∈． …………………………7分（3）12212211()()n n n n n n nn na a a ap ap a pa a a --++++=⋅=⨯=， ∴当1=a 时，212n n n nna b nppa -+==． …………………………………………8分132112n n S p p n p-∴=⨯+⨯++⨯ ， ①2321211(1)n n n p S p n pn p-+=⨯++-⨯+⨯ ②∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：22132121212(1)(1)1nn n n n p p p S p p pnpnpp-++--=+++-=-- ，即221222(1),1(1)1n n n p pnpS p p p+-=-≠±--． …………………………11分而当1p =时，(1)122n n n S n +=+++=， …………………………12分当1p =-时，(1)(1)(2)()2n n n S n +=-+-++-=-．………………………13分综上所述，221222(1),1,2(1),1,2(1), 1.(1)1n n n n n p n n S p p p np p p p +⎧+=⎪⎪+⎪=-=-⎨⎪⎪--≠±⎪--⎩ ……………………………14分【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想． 20．（本小题满分14分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图7，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点,M N 是直线l 上的两点，且l M F ⊥1，l N F ⊥2．求四边形12F M N F 面积S 的最大值．解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为2222x y a b+= 1122PF F F PF 、、构成等差数列， ∴1122224a PF PFF F =+==， 2a =．又1c = ，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143xy+=． ……………………………………………………4分(2) 将直线l 的方程y k x m=+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得01248)34(222=-+++m kmx x k． …………………………5分由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………7分图7设11d F M ==，22d F M =（法一）当0k ≠时，设直线l 则12tan d d M N θ-=⨯，12d d M N k-∴=，221212121()221d d d d S d d kkk --=+==+m m m 143++-2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+mm ，32<S ．当0=k 时，四边形12F M N F 是矩形，S =． ……………………………13分所以四边形12F M N F 面积S 的最大值为 ………………………………14分（法二） 222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．M N ∴===四边形12F M N F 的面积121()2S M N d d =+)(11212d d k++=， …………11分22221222122)1(1216)2(11++=+++=kk d d d d kS12)211(41622≤-+-=k． ………………………………………………13分当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F M N F 的面积S 的最大值为 …………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知)0()(>-=a xa x x f ，bx x x g +=ln 2)(，且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切．（1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得对]3,[e （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立；（3）求证：)12ln(14412+>-∑=n i i ni )(*N n ∈．解：（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点，则有22ln 2000-=+x bx x ．（*）b xx g +='2)( ，220=+∴b x ．（**）由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=． ……………………………2分由)()(x g x f ≥整理，得x x xa ln 2-≤，1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．设x x x x h ln 2)(2-=，2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x xx x x x h ，xx h 22)(-='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．…………………5分因此，实数a 的取值范围是10≤<a ． ………………………………………6分（2）当1=a 时，xx x f 1)(-=，011)(2>+='xx f ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为38)3(=f ．要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值，e x k =时不等式右边取得最小值．21638)1(⨯≤⨯-∴k ，解得13≤k ．因此，k 的最大值为13． ………………………………………10分（3）证明（法一）：当1=a 时，根据（1）的推导有，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，即)1(21ln xx x -<． ………………………………………………………11分令1212-+=k k x ，得)12121212(211212ln+---+<-+k k k k k k ，化简得144)12ln()12ln(2-<--+kk k k ， ………………………………13分∑∑==-<--+=+ni ni iii i n 121144)]12ln()12[ln()12ln(． ………………………14分（法二）数学归纳法：当1=n 时，左边=34，右边=3ln ，根据（1）的推导有，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，即x xx ln 21>-．令3=x ，得3ln 2313>-，即3ln 34>．因此，1=n 时不等式成立． ………………………………11分（另解：25>e ，2716625)25(44>=>∴e ，27ln 4>∴，即3ln 34>．）假设当k n =时不等式成立，即)12ln(14412+>-∑=k i i ki ，则当1+=k n 时,1)1(4)1(4)12ln(1)1(4)1(41441442212112-++++>-+++-=-∑∑=+=k k k k k i i i i ki k i ，要证1+=k n 时命题成立，即证)32ln(1)1(4)1(4)12ln(2+>-++++k k k k ，即证1232ln1)1(4)1(42++>-++k k k k ．在不等式x xx ln 21>-中，令1232++=k k x ，得1)1(4)1(4)32121232(211232ln 2-++=++-++<++k k k k k k k k ． 1+=∴k n 时命题也成立． ………………………………………13分根据数学归纳法，可得不等式)12ln(14412+>-∑=n i i ni 对一切*N n ∈成立． …14分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生、姚亮、宋晓勤审题：魏显峰。

深圳市南山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题及答案

高三数学(文)第 1 页共 11 页深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学 (理科) 2013.01.16本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2013-1-262、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知全集 U={x ∈N*|x<6}，A={1，3}，B={3，5}，则∁U (A ∪B)等于A. {1，4}B. {1，5}C.{2，4} D.{2，5}2、复数41(1)i--的值是A. 4B.－4iC.4iD.－43是边长为1那么这个几何体的全面积为 A.4π B. 2π C.3πD.32π4、如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx+Φ) (ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中A ，B两点之间的距离为5，那么f(－1)= A.2 B.C. D.－25、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 31，则处应填写的数字为A.5B.4C.6D.7 6、点P(2，－1)为圆(x －1)2+y 2=25的弦AB A. x+y －1=0 B. 2x+y －3=0 C.2x －y －5=0 D. x －y －3=0主视图左视图高三数学(文)第 2 页共 11 页7、将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和m ，则函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数的概率是 A.12B.23C.34D.568、定义运算a b =⊕a b =⊗2x f(x)=(x 2)2⊕⊗-为A.奇函数B.偶函数C.常函数D.非奇非偶函数第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 9、251(x )x-展开式中x 4的系数是 (用数字作答).10、已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 . 11、已知双曲线2222x y 1ab-= (a>0，b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则双曲线的离心率e 的值为_____.则f[g(1)]的值为；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是____.13、若实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，则x －y 的最大值是_______.14、(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为_______.15、(几何证明选讲选做题)如右图，O 是半圆的圆心，直径AB =PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，AC=4，则PB=____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.16、(本小题满分12分)第15题图已知函数2xf(x)=sinx+acos2，a为常数，a∈R，且x=2π是方程f(x)=0的解.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π]，求函数f(x)的值域.17、(本小题满分12分)(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求ξ的分布列；(3)求的数学期望Eξ.18、(本小题满分14分)如图，已知四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC=450，DC=1，A B=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.(1) 求证：AB//平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值.19、(本小题满分14分)设函数1f(x)=x lnx⋅(x>0且x≠1).ACP高三数学(文)第 3 页共11 页高三数学(文)第 4 页共 11 页(1)若f′(x 0)=0，求x 0的值； (2)求函数f(x)的单调区间；(3)已知1αx 2x >对任意x ∈(0，1)成立，求实数x 的取值范围.20、(本小题满分14分) 已知椭圆C ：2222xy1a b+= (a>b>0)3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l2，求△AOB 面积的最大值.21、(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*). (1)求a 2，a 3的值；(2)试求λ，μ的值，使得数列{a n +λn 2+μn}为等比数列； (3)设数列{b n }满足：n n 1n 1b =a n 2-+-，S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：n≥2时，n 6n 5<S <(n +1)(2n +1)3.高三数学(理)参考答案及评分标准2013.01.16一、选择题：(10×5′=50′)高三数学(文)第 5 页共 11 页则A ∪B={1，3，5}，所以∁U (A ∪B)= {2，4}，故选择B. 2、解：复数4421(1)(1i)(2i)4i --=-+=-=，故选择A.3、解：一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体是底面直径为1，高为1的圆柱，其全面积为132(1222⨯)π+π⨯=π，故选择D.4、解：如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx+Φ) (ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中|AB|=5，|AC|=4，则|BC|=3，所以A(－1，2)，f(x)的最小正周期为6，则2ππ63ω==，所以πf(x)=2sin(x )3+φ，把点A(－1，2)代入上式，得πsin()13-+φ=，ππ32-+φ=(π<<π2φ)，5π6φ=，所以π5πf(x)=sin(x )36+，那么π5ππf(1)=2sin()2sin2362--+==，故选择C.5、解：阅读右侧程序框图，S=1，i=1→S=3，i=2→S=7，i=3→S=15，i=4→S=31，i=5.为使输出的数据为31，则①处应填写的数字为5，故选择C.6、解：由题意知，点P (2，－1)，圆心C(1，0)，则k PC =－1，所以k AB =1，故直线AB 的方程为y ―(―1)=1×(x －2)，即x －y －3=0，故选择C.7、解：函数32y =m x nx +13-，则y ′=2mx 2－n ，而函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数，等价于在[1，+∞)上y ′=2mx 2－n≥0恒成立，等价于2m≥n(1≤m ，n≤6，m ，n ∈N*). 将一枚骰子抛掷两次，所有事件的基本情况(m ，n)：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36种.其中2m≥n 有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)， (3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)，共有30种，第4题图高三数学(文)第 6设事件“函数32y =m x n x +13-在[1，+∞)上为增函数”为M ，则满足条件的概率是305P (M )366==，故选择D.8、解：由题意知，则f(x)=f(x)的定义域为24x 02⎧-≥⎪≠，2x 2x 04-≤≤⎧⎨≠⎩，，所以{x|－2≤x ≤2且x ≠0}，即定义域关于原点成中心对称. 而f(x)==|x 2|22x 2x==-----，所以f(x)f(x)(x)x-==-=----，所以f(x)为奇函数，故选择A.二、填空题：(4×5′=20′) 9、解：251(x )x-展开式中的通项公式：5rr 2r 5r 5r r 3r 5r +1551T (1)C (x )()(1)C x x----=-⋅⋅=-⋅，令3r －5=4，则r=3，所以251(x )x-展开式中x 4的系数是(－1)2C 53=10.10、解：已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 52=a 1·a 16，即(a 1+4d)2=a 1·(a 1+16d)，整理得a 1=2d ，而这个等比数列的公比是5111a a 4d 2d 4d q 3a a 2d++====.11、解：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，即b 1a2=，则双曲线的离心率为：e 2===.当x=1时，f[g(1)]=3，g[f(1)]=3，f[g(x)]>g[f(x)]不成立；当x=2时，f[g(2)]=3，g[f(2)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]成立；当x=3时，f[g(3)]=1，g[f(3)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]不成立. 故f[g(1)]的值为1；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是13、解：实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，其平面区域如图所示，设目标函数z=x －y ，当目标函数线经过点A(1，1)时，高三数学(文)第 7 页共 11 页则x －y 的最大值是1－1=0.14、解：把曲线C 的极坐标方程ρ=6sinθ，化为普通方程为：x 2+ y 2=6y ，即x 2+ (y －3)2=9，其圆心为(0，3)，半径r=3. 直线l 的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为：x －2y+1=0，圆心(0，3)到直线l 的距离为d -⨯+==，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为4=. 15、解：连结BC ，在Rt △ABC 中，AB = AC=4，由勾股定理得，BC =由射影定理BC 2=AC·CP ，得CP=2，再由切割线定理PB 2=PC·PA=2×6=12，即PB =. 三、解答题：(80′) 16、解：(1) 2f()sin+acos0224πππ==，则11+a 02=，解得a=－2. ……3分所以2x f(x)=sinx 2cossinx cosx 12-=--，则f(x)=(x )14π--， ……5分所以函数f(x)的最小正周期为2π. ……6分 (2)由x ∈[0，π]，得x []444ππ3π-∈-，，则sin (x )[1]42π-∈-， ……10分(x )[14π-∈-(x )1[21]4π--∈-，则函数f(x)的值域为[21]-. ……12分 (2)ξ可能取值为7，8，9，10， ……4分 P(ξ=7)= 0.04；P(ξ=8)= 2×0.2×0.3+0.32= 0.21； ……5分 P(ξ=9)= 2×0.2×0.3+ 2×0.3×0.3+0.32= 0.39； ……7分 P(ξ=10)= 2×0.2×0.2+ 2×0.3×0.2+ 2×0.3×0.2+0.22= 0.36； ……9分 10分(3)ξ的数学期望E ξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07. ……12分18、解：(1)证明：∵AB//CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB//平面PDC.第15题图APE高三数学(文)第 8 页共 11 页……3分(2)证明：在是直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt △BEC 中，∠ABC=450，∴CE=BE=1，CB =，……4分∴AD=CE=1，则AC ==，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴BC ⊥AC. ……6分又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ， ……7分而PA ∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ； ……8分 (3)方法1 PA ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ，而PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD. 又PA=AD=1，AC =PC =，PD = ……10分∴点D 到PC的距离PC D S h'1PC2==V ……11分在三棱锥P-ACD 中，A D C 11S C D A D 22=⋅⋅=V，PAC 1S AC PA 22=⋅⋅=V ，V P-ACD =V D-PAC ，∴点D 到PAC的距离AD C P AC D PACPAC1S PA V 3h 11S S 33-⋅===V V V ……13分∴h sin h'2α==. ……14分方法2如图，分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知，A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，……9分∴AP (001)=uur ，，，PC (111)=-uu r ，，，设m (a b c)=u r ，，为平面PAC 的一个法向量，则m AP 0m PC 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uu r，即c 0a b c 0=⎧⎨+-=⎩，设a=1，则b=－1，∴m (110)=-u r，，， ……10分同理设n (x y z)=r ，，为平面PCD 的一个法向量，求得∴n (101)=r，，，……11分高三数学(文)第 9 页共 11 页∴m n 1cos =2|m ||n |⋅α==⋅u r r u r u u r -， ……13分∴sin 2α= ……14分19、解：(1)函数1f(x)=x lnx ⋅(x>0且x≠1)，则22ln x 1f'(x)=x ln x+-⋅， ……2分若f′(x 0)=0，可求得01x =e. ……4分故单调递增区间是1(0)e，，单调递减区间是1(1)e，和(1，+∞). (3)在1αx 2x >两边取对数，得1ln 2alnx x>， ……10分由于0<x<1，所以a 1ln 2xlnx>(*)，……11分由(*)的结果可知，当x ∈(0，1)时，1f(x)f()=e e ≤-， ……13分为使(1)式对所有x ∈(0，1)成立，当且仅当ae ln 2>-，即a>－eln2. ……14分20、解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意22b 1())a 3a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， ……2分解得a =b=1， ……3分 ∴c = ……4分∴所求椭圆C 的方程为：22xy 13+=.……5分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，①当AB ⊥x 轴时，|AB |=； ……6分②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m ， ……7分 =2223m =(k +1)4， ……8分把y=kx+m 代入椭圆方程，整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2－3=0，高三数学(文)第 10 页共 11 页∴1226km x +x =3k +1-，21223(m 1)x x =3k +1-⋅， ……9分22222221222236k m12(m 1)|AB |(1+k )(x x )(1+k )[](3k +1)3k +1-=--22222222224212(k 1)(3k +1m )3(k 1)(9k 1)12k3(3k +1)(3k +1)9k +6k 1+-++===++2212319k 6k=+++(k ≠0) 1234236≤+=⨯+， ……11分当且仅当2219k k=，即k 3=±时等号成立. ……12分当k=0时，|AB |=，综上可知，|AB|max =2， ……13分∴当|AB|最大时，△AOB面积的最大值为max 1S |AB |222=⨯=.21、解：(1)数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*)，所以a 2=2a 1－12+3×1=4，a 3=2a 2－22+3×2=10. ……2分(2)若数列{a n +λn 2+μn}为等比数列，则存在q ≠0，使a n+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=q(a n +λn 2+μn ) 对∀n ∈N*成立. ……3分由已知a n+1=2a n －n 2+3n ，代入上式得，2a n －n 2+3n +λ(n+1)2+μ(n+1)= q(a n +λn 2+μn )，整理得 (q －2)a n +(λq －λ+1) n 2+(μq －2λ－μ－3)n －λ－μ=0，① ……5分因为①式对∀n ∈N*成立，所以q 20q 10q 2300-=⎧⎪λ-λ+=⎪⎨μ-λ-μ-=⎪⎪-λ-μ=⎩，解得q=2，λ=－1，μ=1，此时，a n +λn 2+μn = a n －n 2+ n ， ……7分当λ=－1，μ=1时，数列{a n +λn 2+μn}是公比为2的等比数列. ……8分(3)证明：由(2)得，a n －n 2+ n=(a 1－12+ 1)2n-1=2n-1，即a n =n 2－n+2n-1，所以n n 12n 11b =a n 2n-=+-， ……9分因为n 2221111b 111nn n n 422=<=---+， ……10分当n ≥2时，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n1111112151()()...()1355711133n n n 2222222<+-+-++-=+-<-++， ……11分现证n 6n S >(n 2)(n +1)(2n +1)≥.证法1：当n=2时，21215S =b b 144+=+=，高三数学(文)第 11 页共 11 页而6n 62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，当n=2时成立，……12分当n≥3时，由n 21111b =nn (n 1)nn 1>=-++，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n 11111111n (1)()()...()122334n n 1n 1n 1>-+-+-++-=-=+++，且2n+1>6得，612n 1>+，∴n n6n S >n 1(n +1)(2n +1)>+. ……14分证法2：当n≥2时，2222n 222211111n (n 1)(2n 1)S (123...n )(...)6123n++=++++++++>(1+1+1+…+1)2=n 2，∴n 6n S >(n +1)(2n +1). ……14分证法3：(数学归纳法)①当n=2时，21215S =b b 144+=+=，而6n62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，故当n=2时不等式成立， ……12分②假设n=k(n ≤k)时不等式成立，即k 6kS >(k +1)(2k +1)成立，则当n=k+1时，2k 1k k 1226k 16k 8k 1S =S b >(k +1)(2k +1)(k +1)(k +1)(2k +1)++++++=，因为226k 8k 16(k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-222(6k 8k 1)(k +2)(2k +3)6(k +1)(2k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-=32216k 40k 25k 0(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++=>，所以k +16(k +1)S >(k +2)(2k +3)成立，根据①②可知，n 6nS >(n +1)(2n +1)对于n≥2，n ∈N*都成立. ……14分。

广东省深圳市高三第一次调研考试数学理试题

2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，集合，则＝（） A. B 。

C 。

D 。

2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B 。

C 。

D 。

3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。

C. D 。

4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（） A. 16 B 。

25 C 。

36 D 。

49 7、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（）A. B 。

C 。

D 。

8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（）A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为 12、已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为13、设P 是函数图象上的动点，则点P 到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ 15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的⊙与AC 相切于点E 。

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学答案及评分标准

2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B D D A B BC C A D二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11． . 12．. 13．．14．．15． .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，，（），且.（1）求点的坐标；（2）若角的顶点都为坐标原点且始边都与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，求的值.解：(1)………………….2分解得，所以，………………….6分（2）由（1）可知，，……………………………….10分……………………………….12分【说明】本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生（1）要从名学生中选人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．解：（1）从名学生中任取名学生的所有情况为: 、、、、、、、、、共种情况.………3分其中至少有一人物理成绩高于分的情况有：、、、、、、共种情况，故上述抽取的人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率. …………………………………………5分（2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得：= = ，= = ，……………………………………………8分= =40，=0.75，，……………………………………………11分故关于的线性回归方程是：. ……………………………………………12分【说明】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分14分）如图甲，的直径，圆上两点在直径的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥的体积；（2）求证：；（3）在上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．解:（1）为圆周上一点，且为直径，∵为中点，，.∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，∴平面，平面.∴就是点到平面的距离，在中，，. ………………………………………4分（2）在中，为正三角形，又为的中点，，∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，平面 .∴. ………………………………………9分（3）存在，为的中点.证明如下：连接，∴，∵为⊙的直径，∴∴，平面，平面，∴平面.在中，分别为的中点，，平面，平面，∴平面平面，又平面，平面.………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．19．（本题满分14分）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．解：（1）由已知，得………………………………………3分解得．设数列的公比为，则，∴．由，可知，∴，解得．由题意，得．…………………………………………………5分∴．故数列的通项为．…………………………………………………7分(2)∵，…………11分∴.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．20．（本题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，．求证：为锐角．20．解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得,又，∴. …………………………………………2分∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得. …………………………………………5分∴，故椭圆C的方程为. …………………………………………6分（2）设，…………………………………………7分∵，∵，∴，∴直线的方程为．…………………………………………9分令，得．∵，，∴．又、、不在同一条直线，∴为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．21．（本小题满分14分）已知函数，是自然对数的底数．（1）试判断函数在区间上的单调性；（2）当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；（3）若存在，使得，试求的取值范围．解：（1）…………………………1分由于，故当时，，所以，…………2分故函数在上单调递增. …………………………………………3分（2），，，……………………………………4分当时，，，故是上的增函数；同理，是上的减函数. …………………………………5分，当，，故当时，函数的零点在内，满足条件；，当，，故当时，函数的零点在内，满足条件.综上所述或. ………………………………………7分（3），因为存在，使得，所以当时，…………………………8分，①当时，由，可知，，∴；②当时，由，可知，，∴；③当时， .∴在上递减，在上递增，…………………………………11分∴当时，，而，设，因为（当时取等号），∴在上单调递增，而，∴当时，，∴当时，，∴，∴，∴，即，设，则.∴函数在上为增函数，∴.即的取值范围是……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

广东省2013届高三第一次联考数学理试题

图1乙甲7518736247954368534321高三六校第一次联考理科数学试题命题学校：珠海一中第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合M 是函数lg y x =的定义域，N是函数y =M N 等于( ) A ．(0,1] B ．(0,)+∞ C ．φ D ．[1,)+∞ 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列命题正确的是（）A ．2000,230x R x x ∃∈++= B ．32,x N x x ∀∈> C ．1x >是21x >的充分不必要条件 D ．若a b >,则22a b >4．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为（） A ．12 B ．2- C ．2 D ．21- 5．经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为（）A ．30x y -+=B ．30x y --= C.10x y +-= D ．30x y ++=6. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（） A ．65 B ．64C ．63D ．627．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于（）A ．21+ B. 21- C. 223+ D. 223-8. 在约束条件53,420≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（）()A ．[6，15]()B ．[7，15] ()C [6，8] ()D ．[7，8]图4P第二部分非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9～13题） 9．(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，则a 的值为；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是； 11. 若axdx =1⎰，则实数a 的值是_________.12.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .13．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，则=PC ____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值；若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17．（本小题满分12分）设函数x x f a log )(=（1,0≠>a a a 为常数且），已知数列),(1x f ),(2x f ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =.（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式；（Ⅱ）当21=a 时，求证：3121<+++n x x x .18．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（本小题满分14分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.正视图侧视图俯视图20．（本小题满分14分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且FQ FP QF QP ∙=∙．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值．21.（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t∈R，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2013届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1或-110．2 11．2 12.22143x y -= 13.⎥⎦⎤ ⎝⎛41.0 14．34 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1) 解: ()2sin coscos2f x x x x =+ sin 2cos 2x x =+…… 2分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分 ∴()f x 的最小正周期为22ππ=,…… 6分 (2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. …… 10分 ∴sin 2tan 2cos 2θθθ==… 12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即 --------6分（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x ---12分18．(本小题满分14分)解：（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ=== --------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= ---------------------14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V ------------------------4分（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示. ------------------------6分证明:∵面ABCD 、面ABB1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立.---8分（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ，连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10分在R t △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，BC D C 1图1BC DD 1A 1B 1C 1 图232cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.---14分方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21. --------------------12分取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812||||,cos 111==>=<BB n BB 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. ----------------14分20、（本小题满分14分）（1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ = ，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=-- ． --------------------2分即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =． --------------------4分（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =．圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-．令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ②由①、②解得，2x a =±． --------------------6分不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴1l =2l =--------------------8分∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③ 当0a ≠时，由③得，1221l l l l +=．当且仅当a =±--------------------12分当0a =时，由③得，12212l l l l +=．--------------------13分故当a =±1221l ll l +的最大值为 --------------------14分 21、（本小题满分14分）解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ………………………………………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= …………………………………………3分2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…………………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- …………………………………6分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ……………………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………… …………………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得11 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增………………………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，…………………………………１０分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ……………………………………12分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………………………………14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。