06-2方差分析

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方差分析公式

方差分析公式（2012-06-26 11:03:09）转载▼标签：分类：统计方法杂谈方差分析方差分析（analysis of varianee ,简写为ANOV或ANOVA ）可用于两个或两个以上样本均数的比较。

应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。

方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。

常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。

一、完全随机设计的多个样本均数的比较又称单因素方差分析。

把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。

目的是推断k个样本所分别代表的谊，叱，……k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。

其计算公式见表19-6.表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式C= （2X）2/N=岔i, k为处理组数表19-7 F值、P值与统计结论方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等,即皿=(J2=(J3=(J4H1 :四个总体均数不等或不全相等a=0.05先作表19-8下半部分的基础计算C= (2X) 2/N= (588.4) 2/32=10819.205SS 总=X2-C=11100.84-10819.205=281.635V总=N-仁31盧19. 2C5= 141. ] 70V组间=k-仁4-仁3SS组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465V 组内=N-k=32-4=28MS 组间=SS 组间/v 组间=141.107/3=47.057MS 组内=SS 组内/v 组内=140.465/28=5.017F=MS 组间/MS 组内=47.057/5.017=9.380以v1 (即组间自由度)=3 , v2 (即组内自由度)=28查附表19-2 , F界值表，得F0.05 (3, 28) =2.95 , F0.01 (3, 28) =4.57.本例算得的F=9.380 > F0.01 (3, 28), P v 0.01 ,按a=0.05检验水准拒绝H0,接受H1 ,可认为湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。

应用统计学方差分析

3. 数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确性。

方差分析的基本原理是什么

方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。

其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。

具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。

2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。

3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。

4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。

5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。

6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。

方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。

它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。

试验的方差分析

结果解释和结论
统计推断
根据方差分析的结果，对自变量对因变量的影响进行统计推断，如比较不同组间的均值差异、判断组间差异是否显著等。
结果解释
结合实际情境对分析结果进行解释，阐明自变量对因变量的作用机制。
结论总结
根据分析结果得出结论，提出相应的建议或展望，为实际应用提供指导。
05 方差分析的局限性
背景
在科学实验、社会科学调查、工业生产等领域，经常需要对多组数据进行比较，以了解不同条件或处理对结果的影响。方差分析为此类问题提供了一种有效的解决方案。
方差分析的定义和重要性
定义
方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种统计技术，用于比较两个或更多独立样本的均值是否显著不同。它通过分析数据的方差来检验各组数据的分散程度，判断数据是否受到单一或多个因素的影响。
适合社会科学研究
SPSS在社会科学领域应用广泛，提供了许多针对社会科学研究的统计方法。
R语言
开放性
R语言是一个开源软件，用户可以自由获取和使用源代码，同时也可以自己编写函数进行数据分析。
灵活性高
R语言提供了丰富的数据结构和函数库，可以灵活地进行各种数据分析操作。
社区支持强大
R语言拥有庞大的用户社区，遇到问题可以快速得到解答和帮助。
样本收集
按照实验设计方案采集样本，确保样本的代表性和随机性。
数据预处理和模型拟合
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值检测与处理等。
数据转换
根据分析需求对数据进行适当的转换，如标准化、对数转换等。
模型拟合
选择合适的方差分析模型，利用样本数据拟合模型，为后续分析提供依据。

【数理统计基础】06-相关分析和方差分析

【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析1. 相关分析1.1 相关系数在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。

由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线性关系来逼近实际关系。

上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。

如果想单纯地度量随机变量的线性关系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。

两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。

在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。

相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。

\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2} 为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。

回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。

为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。

⽐较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴变量，整理后得到式（3）。

由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。

\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}1.2 复相关系数相关系数度量了两个随机变量之间的线性关系，当系统中的变量很多时，关系也会变得复杂，这时需要引⼊更多的关系分析。

统计学之方差分析

执行方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数据的相关性和因果关系等因素，以避免误导的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数据，确保数据来源可靠、准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然后选择需要进行方差分析的变量。

方差分析SPSS

F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等，分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数是否相等。

方差分析三重复测量资料的方差分析

缺点
实验成本高
需要进行多次测量，增加了实验成本和时间。
数据处理复杂
三重复测量资料的方差分析需要处理大量的数据，并且需要进行复杂的统计分析，对数据分析的要求较高。
样本量要求高
为了获得更可靠的结果，需要较大的样本量，增加了实验难度。
06
三重复测量资料的方差分析的未来发展
研究方向
1 2
拓展应用领域
通过比较组间方差和组内方差的差异，判断各组之
间的差异是否显著。
01
02
03
04
05
1. 建立假设
确定要检验的原假设（H0）和备择假设（H1）。
3. 计算方差
根据数据计算组间方差和组内方差。
5. 解读结果
根据统计结果解释实验结果，确定处理因素对实验结果的影响是否显著。
03
三重复测量资料的方差分析
感谢您的观看
THANKS
5. 结果解释
根据模型的拟合结果，解释三重复测量资料的变化情况，并给出相应的结论和建议。
04
三重复测量资料的方差分析实例
实例一：药物效果研究
总结词
药物效果研究是三重复测量资料方差分析的重要应用领域之一，主要用于评估药物治疗前后的效果差异。
详细描述
在药物效果研究中，通常会对同一组受试者在药物治疗前、治疗中、以及治疗后的不同时间点进行测量，以评估药物对受试者的影响。通过三重复测量资料的方差分析，可以比较不同时间点上受试者的生理指标、症状改善程度等方面的差异，从而为药物的疗效提供科学依据。
02
方差分析概述
方差分析的定义
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的平均值差异是否显著。

方差分析与非参数检验

方差分析与非参数检验方差分析和非参数检验是两种常见的统计分析方法，用于比较不同组之间的差异或关联。

本文将详细介绍方差分析和非参数检验的原理、应用场景以及各自的优缺点。

方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。

它基于总体均值与组内个体的个体值之间的差异，将总方差拆分为组内方差和组间方差，通过比较组间与组内方差的大小来判断组间均值是否显著不同。

方差分析一般分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。

单因素方差分析适用于只有一个自变量（即因素）的情况，用于比较不同水平的因素是否对因变量（即观测值）有显著影响。

多因素方差分析适用于有多个自变量（即因素）的情况，用于比较各个因素及其交互作用对因变量的影响。

方差分析的优点主要有以下几点：1.可以同时比较多个组之间的差异，提供了一种全面且有效的统计方法。

2.可以通过比较组间与组内方差来判断差异是否显著，更加客观。

3.可以用于不同水平的因素对因变量的影响程度排名，帮助进一步探究因素的影响机制。

然而，方差分析也存在一些限制：1.方差分析对数据满足正态分布和方差齐性的要求比较严格，如果数据不满足这些要求，结果可能不准确。

2.方差分析只能对均值差异进行比较，不能揭示具体的分布差异。

3.方差分析本身不能进行推断和预测，只能判断差异是否显著。

非参数检验（Nonparametric Test）是一种不依赖于总体分布的统计方法，适用于数据不满足正态分布或方差齐性的情况。

与方差分析不同，非参数检验基于样本的秩次或次序，通过比较统计量来判断组间差异是否显著。

非参数检验包括了多种方法，如Wilcoxon秩和检验、Mann-WhitneyU检验、Kruskal-Wallis H检验等。

它们在样本较小或数据不满足正态分布的情况下具有较高的灵活性和鲁棒性。

非参数检验的优点有以下几点：1.不依赖于总体分布的参数，对数据的要求较低，尤其适用于数据不满足正态分布的情况。

方差分析及协方差分析

方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。

本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。

一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。

它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。

2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。

总体变异可以分解为组间变异和组内变异。

组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。

方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。

3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。

常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。

4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。

二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。

它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。

协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。

2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。

通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。

3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。

常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。

4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。

总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。

6-2双因素方差分析

– 对地区因素提出的假设为
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源平方和自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素列因素交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素地区1
地区因素地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363

方差分析与协方差分析

方差分析与协方差分析方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。

它们在比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察结果的影响。

本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和应用。

一、方差分析的概念和原理方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。

它基于对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变异和组间变异。

方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。

方差分析通常基于以下假设：1. 观察结果服从正态分布；2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；3. 观察结果是相互独立的。

方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。

F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。

二、方差分析的应用方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。

例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。

2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。

例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。

3. 教育评估：方差分析可用于教育研究中，比较不同学校或不同教学方法对学生学习成绩的影响。

三、协方差分析的概念和原理协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。

它用于比较多个组别或处理之间的差异，同时控制一个或多个协变量的影响。

第六章方差分析

4）输出结果及分析
2015-5-10 18
表6-2 灯泡使用寿命的单因素方差分析结果
ANO VA HOURS Between Groups Within Groups Total Sum of Squares 39776.456 178088.93 217865.38 df 3 22 25 Mean Square 13258.819 8094.951 F 1.638 Sig. .209
2015-5-10 4
二、相关概念 1、影响因素的分类：在所有的影响因素中根据是否可以人为控制可以分为两类，一类是人为可以控制的因素，称为控制因素或控制变量，如种子品种的选定，施肥量的多少；另一类是认为很难控制的因素，称为随机因素或随机变量，如气候和地域等影响因素。在很多情况下随机因素指的是实验过程中的抽样误差。 2、控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，称为控制变量的不同水平。如甲品种、乙品种；10公斤化肥、20公斤化肥、30公斤化肥等。 3、观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量，如农作物的产量等。方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量，并分析对观测变量有显著影响的各个控制变量的不同水平以及各水平的交互搭配是如何影响观测变量的一种分析方法。
图6—2 Contrasts对话框
2015-5-10 12
（2）Post Hoc选项 Post Hoc选项用来实现多重比较检验。
提供了18种多重比较检验的方法。其中 Equal Variances Assumed框中的方法适用于各水平方差齐性的情况。在方差分析中，由于其前提所限，应用中多采用Equal Variances Assumed框中的方法。多重比较检验中，SPSS 默认的显著性水平为0.05，可以根据实际情况修改Significance level后面的数值以进行调整。

统计学中的方差分析方法

统计学中的方差分析方法方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于比较两个或更多个样本均值是否存在差异。

它通过分析不同组之间的方差来评估组内和组间的变异情况，进而得出结论。

一、方差分析的基本思想方差分析基于以下两个基本假设：1. 原假设（H0）：各总体均值相等，即样本所来自的总体没有差异；2. 备择假设（H1）：各总体均值不相等，即至少存在一个样本来自于与其他样本不同的总体。

二、一元方差分析（One-way ANOVA）一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，它将样本根据自变量分为两个或多个组，然后比较这些组之间的均值差异。

下面以一个简单的案例来说明一元方差分析。

假设我们要研究三种不同肥料对植物生长的影响，我们将随机选取三个试验区，分别施用A、B和C三种不同的肥料，每个试验区都观察到了相应植物的生长情况（例如植物的高度）。

我们的目标是通过方差分析来判断这些不同肥料是否对植物的生长有显著的影响。

在执行一元方差分析之前，我们首先需要验证方差齐性的假设。

如果各组样本的方差相等，我们就可以继续使用方差分析进行比较。

常用的方差齐性检验方法有Bartlett检验和Levene检验。

在通过方差齐性检验后，我们可以进行一元方差分析。

分析结果将提供两个重要的统计量：F值和P值。

F值表示组间均方与组内均方的比值，P值则表示了接受原假设的概率。

如果P值较小，则说明组间的差异是显著的，我们可以拒绝原假设，接受备择假设，即不同肥料对植物生长有显著影响。

三、多元方差分析（Two-way ANOVA）多元方差分析适用于有两个以上自变量的情况，分析对象的均值差异可以归因于两个或多个自变量的相互作用。

这种分析方法常用于研究两个或多个因素对实验结果的影响情况。

以品牌和价格对手机销量的影响为例，我们假设品牌和价格是两个自变量，手机销量是因变量。

我们可以将样本分成不同的组合，比如将不同品牌的手机按不同的价格段进行分类。

方差分析（ANOVA）（转）

⽅差分析（ANOVA）（转）⽅差分析（analysis of variance，ANOVA），即变量分析，是对多个样本平均数差异显著性检验的⽅法。

在⼀个多处理试验中，可以得到⼀系列不同的观测值。

造成观测值不同的原因是多⽅⾯的，有的是不同的处理引起的，即处理效应；有的是试验过程中偶然性因素的⼲扰和测量误差造成的，即误差效应。

⽅差分析的基本思想就是将测量数据的总变异按变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。

要正确认识观测值的变异是由处理效应还是误差效应引起的，我们可以计算出处理效应的均⽅和误差效应的均⽅，在⼀定意义下进⾏⽐较，从⽽检验处理间的差异显著性。

假设⼀个试验有k个处理，每个处理有n个观测数据，则总共有nk的观测值。

⽤表⽰第i个处理的第j个观测值，其中i=1，2，3，...，k；j=1，2，3，...，n。

表⽰第i个处理观测值的总体平均数，表⽰试验误差，则有：，即第i个处理的第j个观测值是由该处理的总体平均数加上不可避免的试验误差组成的。

⽽对于总体平均数（所有nk个观测数据的平均数），则有。

若将各⾃处理⽔平上的总体平均数视为在总体平均数的基础上施加了不同的处理效应造成了，则有。

综上，，即任⼀个观测数据都是由总体平均数加上处理效应以及试验误差组成的。

同理，对于由样本估计的线性模型为：，为样本平均数，为第i个处理的效应，为试验误差。

根据的不同假定，上述模型可分为：固定模型（fixed model）：各个处理的效应值是固定的，即除去随机误差外每个处理所产⽣的效应是固定的，是个常量且之和为0。

此时的试验处理⽔平常是根据⽬的事先主观选定的，如⼏种不同温度下⼩麦籽粒的发芽情况。

随机模型（random model）：各个处理的效应值不是固定的，⽽是由随机因素所引起的效应。

是从期望均值为0，⽅差为的正态总体中得到的随机变量。

如调查不同⽣境下某物种的⽣长状况时，不同⽣境的⽓候、⼟壤条件及⽔分条件等属于⽆法认为控制的因素，就要⽤随机模型来处理。

方差分析的概念与应用

方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。

通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。

方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。

一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。

在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。

方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。

在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。

2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。

3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。

二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。

2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。

3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。

4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。

三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。

2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。

3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。

4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。

数理统计方差分析

F SSA(k1) ~F(k1,nk). SSE(nk)
证明：对每个X总i(体 i 1,2,,k)的样本均X值i与样本方差
ni
(Xij Xi)2
Si2 j1 ni 1 相互独立；又全体相样互本独立，于是
n1
n2
nk
(X1, (X1j X1)2),(X2, (X2j X2)2),,(Xk, (Xkj Xk)2)
记：
Xi
1 n
ni j 1
Xij
将Q进行分解：
1 k ni
X n i1
Xij
j1
k ni
SST(Xij X)2 i1 j1
k n i
S S T
(X ijX i) (X i X )2
i 1j 1
kn i
kn i
kn i
(X ij X i)2 (X i X )2 2 (X ij X i)X ( i X )
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
m3 m1 m2 m4
第二节单因素方差分析
一、数据结构二、单因素方差分析的步骤三、单因素方差分析中的其它问题
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
一、数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21 : : xn1
j1
j1
j1
相互独立，从(而 X1, X2,,, Xk )与SSE相互独立，由此推出
SSA与SSE独立。ni
由于(ni 1)Si2 j1
2
(Xij
2
Xi
)2
~ 2(ni
1),i
1,2,,k且相互独立。于
ni

06 正交试验3

为什么做实验
实验设计类型
（一）单一因素实验设计
概率论与数理统计中的均值检验、方差检验等都属于单一因素的实验设计
多样本的方差检验也是基本的实验设计
（二）多因素实验设计
全因子实验
部分因子实验
田口方法(正交试验设计)
问题1：
F分布
正交表的性质
A B D
C
7
表头设计结果
L
（215）正交表16
图6-1 全面试验试验点分布
正交试验设计。

本例可选用正交表L9(34)，只需要作9次试验，如果将A，B，C三个因素分别安排在正交表的1，2，3列，则试验方案为A1B1C1，，A1B3C3，A2B1C2，C3，A2B3C1，A3B1C3，，A3B3C2（这些试验方案2
的确定方法将在后面介绍），试验点的分布如图6-3所示。

三、正交试验设计的基本方法
160
1
1
1
1
1
2
2
215
2
84
例2：多指标的分析方法----综合平衡法
分析：
粒度B对抗压强度和落下强度来讲，极差都是最大的，说明它是影
响最大的因素，而且以取8为最好；对裂纹度来讲，粒度的极差
不是最大，不是影响最大的因素，而且也以取8为最好；
碱度C对三个指标的极差都不是最大的，是次要的因素。

对抗压
强度和裂纹度来讲，碱度取1.1最好；对落下强度，取1.3最好，
总分= 4x纯度+ 1 x 回收率
分析结果见下表。

作业要求作业要求。