对一道等比数列题的错解辨析

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等比数列·例题解析

等比数列·例题解析等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn＝pn(p∈R,n∈N_),那么数列{an}．[ ]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0,p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由Sn＝pn(n∈N_),有a1=S1＝p,并且当n≥2时,an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D．说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N_),还要注【例2】已知等比数列1,_1,_2,…,_2n,2,求_1·_2·_3·…·_2n．解∵1,_1,_2,…,_2n,2成等比数列,公比q∴2＝1·q2n+1_1_2_3..._2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2)式;(2)已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．∴a4＝2【例4】已知a＞0,b＞0且a≠b,在a,b之间插入n个正数_1,_2,…,_n,使得a,_1,_2,…,_n,b成等比数列,求证明设这n＋2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1【例5】设a.b.c.d成等比数列,求证:(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a.b.c.d成等比数列∴b2＝ac,c2＝bd,ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a.b.c.d成等比数列,设其公比为q,则:b＝aq,c＝aq2,d=aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b.c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b.c的路子．证法二则是把a.b.c.d统一化成等比数列的基本元素a.q去解决的．证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式:(1){an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2(2){an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0思路:转化为等比数列．∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比数列,即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3,a3－a2=3·21,a4－a3=3·22,…,an－an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列,(2)中发现{an+1－an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现．证∵a1.a2.a3.a4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0,即又∵a1.a2.a3为实数因而a1.a2.a3成等比数列∴a4即为等比数列a1.a2.a3的公比．【例8】若a.b.c成等差数列,且a＋1.b.c与a.b.c＋2都成等比数列,求b的值．解设a.b.c分别为b－d.b.b＋d,由已知b－d＋1.b.b＋d与b－d.b.b＋d＋2都成等比数列,有整理,得∴b＋d=2b－2d 即b=3d代入①,得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之,得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10:(1)求a1与d的值;(2)b16是不是{an}中的项?思路:运用通项公式列方程(2)∵b16=b1·d15=－32b1∴b16=－32b1=－32a1,如果b16是{an}中的第k项,则－32a1=a1＋(k－1)d∴(k－1)d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34项．解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1＋(n－1)d解这个方程组,得∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2∴当a1=－1,d=2时,an=a1＋(n－1)d=2n－3当a1=3,d=2时,an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数．解法一按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2由已知:a,aq＋4,aq2成等差数列即:2(aq＋4)=a＋aq2①a,aq＋4,aq2＋32成等比数列即:(aq＋4)2=a(aq2＋32)解法二按等差数列设三个数,设原数列为b－d,b－4,b＋d 由已知:三个数成等比数列即:(b－4)2=(b－d)(b＋d)b－d,b,b＋d＋32成等比数列即b2=(b－d)(b＋d＋32)解法三任意设三个未知数,设原数列为a1,a2,a3由已知:a1,a2,a3成等比数列a1,a2＋4,a3成等差数列得:2(a2＋4)=a1＋a3②a1,a2＋4,a3＋32成等比数列得:(a2＋4)2=a1(a3＋32)③说明将三个成等差数列的数设为a－d,a,a＋d;将三个成简化计算过程的作用．【例12】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a－d,a,a＋d,则第四个数由已知条方法二设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b－bq．方法三设第一个数与第二个数分别为_,y,则第三.第四个数依次为12－y,16－_．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法二设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b－bq所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法三设四个数依次为_,y,12－y,16－_．这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1．【例13】已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b－d,b,b＋d,由已知,b－d＋b＋b＋d=126∴b=42这三个数可写成42－d,42,42＋d．再设另三个数为a,aq,aq2．由题设,得解这个方程组,得a1=17或a2=68当a=17时,q=2,d=－26从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67．【例14】已知在数列{an}中,a1.a2.a3成等差数列,a2.a3.a4成等比数列,a3.a4.a5的倒数成等差数列,证明:a1.a3.a5成等比数列．证明由已知,有2a2=a1＋a3①即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)所以a1.a3.a5成等比数列．【例15】已知(b－c)logm_＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)设a,b,c依次成等差数列,且公差不为零,求证:_,y,z成等比数列．(2)设正数_,y,z依次成等比数列,且公比不为1,求证:a,b,c成等差数列．证明(1)∵a,b,c成等差数列,且公差d≠0∴b－c=a－b=－d,c－a=2d代入已知条件,得:－d(logm_－2logmy＋logmz)=0 ∴logm_＋logmz=2logmy∴y2=_z∵_,y,z均为正数∴_,y,z成等比数列(2)∵_,y,z成等比数列且公比q≠1∴y=_q,z=_q2代入已知条件得:(b－c)logm_＋(c－a)logm_q＋(a－b)logm_q2=0 变形.整理得:(c＋a－2b)logmq=0∵q≠1∴logmq≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a,b,c成等差数列。

等比数列学习中的常见错误归类解析

等比数列学习中的常见错误归类解析等比数列是数学中的重要概念，无论在校园课堂还是在现实世界中，它都有其实际应用。

然而，由于等比数列概念很抽象，很多学生在学习过程中犯常见的错误，下面对这些常见错误进行归类总结，并给出解决办法。

一、缺乏有效的学习策略关于等比数列的学习，很多学生并没有采取有效的学习策略，而是采取简单的、不全面的学习方式，从而导致学习效果不理想。

解决的办法是，学生应该按照步骤来进行等比数列的学习，从基本概念开始，深入讨论相关知识，再分析一些典型问题，最后结合自身水平，不断练习，并了解更多实际应用。

二、困惑等比数列的概念等比数列的概念非常抽象，很多学生在学习的过程中会感到困惑，不知道如何理解和掌握它。

其实，解决这个问题的办法很简单，可以通过实际例子来引导学习，让学生通过实际例子理解等比数列的概念，而不必去刻意地理解一些抽象概念。

三、不清楚等比数列的规律等比数列的规律是其实质，很多学生在学习等比数列时往往会忽略掌握其规律。

针对这个问题，学生应该从等比数列的定义入手，从具体的基本概念出发，结合大量的例子加深理解，并且总结其规律性。

四、实际应用理解不深很多学生学习等比数列的实际应用理解并不深入，难以快速掌握和应用到实际问题中。

为了改进这一点，学生可以多参考一些教科书上提供的解题技巧，并结合实际例子深入研究和理解，从而更好地应用等比数列到实际问题当中。

总结等比数列是数学中的重要概念，也是数学能力测试和教学中的重要部分。

很多学生在学习等比数列时犯常见的错误，本文就将这些常见错误归类总结了出来，并给出了解决的办法。

只要在学习的过程中注意避免这些错误，就能有效地提高学习效果，学以致用，将等比数列的知识应用到实际问题中。

对一道高考数列问题的解法探讨

数，ａ（１一｛列则ｎ１ｎ）一，＋－丢３一
‘
．
．（一１口一３）・２． ”
分析２将３・拆分成两部分，配给＆与，：２分构造新数列｛＋・（＋１２｝由待定系数法确ａ）・，
（ｎ３３一）・２一（一１２－．３）・
分析４：加法．迭解法４：．口 — ２３・２，。ａ一２１３・ ‘ １ａ一。．ａ一＋．
２＿．以一（２１＋２口一一２２＋２（一 — ．．以一ａ一）（ｌａ）。２
Ｓ，已知口 — １Ｓ＋ —４．１，１ａ＋２（设ｂ一ｎ一２证明数列｛｝等比数列；Ｉ）口，ｂ是（Ｉ求数列｛的通项公式．１）ｎ）
解：（Ｉ）ａ — １及Ｓ＋：４２有Ｓ — ４１２，由１ｌａ＋，２ａ＋
＆＋１２３・２一２（ｋ一１：ａ＋３）・２＋３・２一
（由（可得ｂ一口－２ Ⅱ）工）１ａ一３・，ｎ＋一２即２ａ一３・，个递推公式明显是一个构造新数列的２这模型：＝ｐｒｑ（ｑ为常数）主要的处理方法ｎａ＋・，，有以下几种：分析１将３・一化为常数．：２解法１将ｎ一２３・２两边同除以２，：口一得
２一， ’ ．
又 ‘ ｂ一卅１２．ｂ一２１． ’ — ａ，。ｂ．．

高考数学复习专题12数列等比数列及其前n项和易错点

等比数列及其前n 项和易错点主标题：等比数列及其前n 项和易错点副标题：从考点分析等比数列及其前n 项和在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：等比数列，等比数列前n 项和，等比数列的性质，易错点难度：3重要程度：5内容：【易错点】1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为a q ，a ，aq .(√)2．通项公式与前n 项和的关系 (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a .(×) (5)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3－2a n .(√) 3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．(×)(7)在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝25.(√)(8)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于－2或0.(×)剖析：1．等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b 2＝ac ，则不能推出a ，b ，c 成等比数列，因为a ，b ，c 为0时，不成立．2．一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n ＋1a n ＝q ＜0时，ln a n ＋1－ln a n ＝ln q 无意义.。

对一道高中数学联赛数列问题的思考

研究发现，数学竞赛中数列问题体现的数学思
想方法常常渗透在高考数学的数列问题中，近年来
很多数学高考题都用到了数学竞赛的解题方法，因
此研究数学联赛数列不等式问题非常重要．构造新
数列，利用放缩法解决数列不等式问题是非常重要
而且有效的解题方法．
下面是 2018 年第 34 届全国高中数学联赛第 10
题的题目以及命题组所提供的参考答案．
n + n −1 n +1+ n
可用构造新数列，借助放缩法进行论证，思路如下：
本题将已知表达式进行恒等变换，易知
{S
2 n
}
为等差数列，因此能求出数列前 n 项和 Sn 的表达
式，接着进行分类，讨论数列通项公式 an 的表达式，
利用放缩法完成此题的证明．
证明（1）由 an (2Sn − an ) = 1 ，
不等式知识交叉考察是一个难点，解决此类问题常
常用到高中生较熟悉的构造新数列，结合放缩法进
2019 年第 5 期
福建中学数学
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行分析论证．而命题组给出的标准答案解题技巧比
= ( n − n −1)( n +1 − n)
较复杂，学生难以想到．针对此类已知 an 与 Sn 关 =
1
⋅
1
系式，求 an 的表达式以及论证与 an 相关的不等式，
=
A ，因此{an
+ λ}
①当 Sn = n 时，
为公比为 A 的等比数列，于是可求出数列{an + λ}
又因为 an = Sn − Sn−1 = n − n −1 ， n −1 ≥ 0 ，
的通项公式，进而借助相应的方法（如放缩法）对
则 an ≤ n ，即 an < 2 n ．

细节决定成败_例析等差_等比数列中一些容易忽视的问题

高中版2014年3月展示如下，供读者赏析.试题1［1，2］（2009年安徽高考数学理14）给定两个长度为1的平面向量O A A A 和O A AB ，它们的夹角为120°.如图5所示，点C 在以O 为圆心的圆弧A AB 上变动.若O A A C=xO A A A+yO A AB ，其中x 、y ∈R ，则x+y 的最大值是________.解析：由图5可知线段x+y=k 与直线x+y=1平行.k 增加到2时，点C 在A ∈B 上，恰好点C 也在AB 的平行线段A ′B ′上，此时，（x+y ）max =2.试题2（2009年安徽高考数学文14）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若A A A P=λA A AE+μA A A F ，其中λ、μ∈R ，则λ+μ=_________.解析：由图6可知：当λ+μ=1时，A A A P 的终点在直线EF 上.过点C 作EF 的平行线，交AE 的延长线与H 点，BD 与AE 交于点G ，那么有EH=GE ，GE GA =DE AB =12.可知：AH AE =43，即λ+μ=43.试题3（2013年江苏高考数学10）设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC ，若D A A E =λ1A A A B+λ2A A AC（λ1、λ2为实数），则λ1+λ2的值为______.解析：过点A 作A A A F=D A AE ，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF=FH ，即DF 为BC 的中位线（见图7），因此λ1+λ2=12.四、结语文中笔者从分析一道高考试题的解法入手，进而转化为基于单纯的向量视角进行分析，即：利用平面向量的基本定理，将一类涉及基底的线性表示系数之和的问题，化归为利用基底向量建立“向量坐标系”进行向量值线性规划的问题.这种做法既可以避免烦琐的代数计算，又能够充分体现向量的“形”的几何优势，将“形”的魅力展现到极致.因此，在解题过程中，不同的审视角度决定不同的思维策略，这需要平时通过不断地思考、反思并积累解题经验，才能培养良好的思维品质［3］.同时，这种思维角度变换更能从本质上理解知识、把握方法，形成能力，才能触类旁通，游刃有余，对我们教学的起承与创新将大有裨益.参考文献：1.丁益民，袁琴琴.2009年安徽卷中一道高考题的思考过程［J ］.中学数学（上），2009（10）.2.缪荷芳.一节高三“一题多解”课的听课感悟［J ］.中学数学教学参考（上），2012（1-2）.3.滕传民.平面向量题目的求解策略［J ］.中学数学（上），2012（9）.WG教材教法案例点评B ′CB A ′O x+y=2x+y=1A 图5数列问题是高考中的一个热点，也是一个难点.学生在解题时经常会忽视一些问题而造成不必要的扣分，下面笔者通过教学中常见的错误一一加以说明.一、对等差、等比数列定义认识不深刻我们在证明某一个数列是等差数列还是等比数列的时候，如果选用定义法证明，可以用如下的等式说明：（1）a n -a n-1=d （n ≥2，n ∈N *）（d 为常数）；（2）a n a n-1=q （n ≥2，n ∈N *）（q 为常数）.注意：用定义证明时，务必要保证a 1、a 2也要满足这个式子.然而在很多时候，老师在讲解概念的时候，容易忽略掉这个细节，所以学生在解决有关S n 、a n 等递推关系的解答题时，常常会犯一些简单的错误.例1数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1细节决定成败———例析等差、等比数列中一些容易忽视的问题筅福建省福州延安中学林方芳F C H EGB A D 图6A D F BE C H图718高中版2014年3月教材教法案例点评（n ≥2），则a n =________.错解：因为S n-1=a 1+a 2+…+a n-1，所以原式为a n =S n-1（n ≥2）.①所以a n-1=S n-2.②由①-②，可得a na n-1=2，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n =2n-1.分析：当等式a n =a n-1+a n-2+a n-3+…+a 1（n ≥2）中的n=2时，有a 2=a 1=1，这与错解当中的a n =2n-1矛盾.（当a n =2n-1中的n=2时，a 2=2）那我们在解答过程中到底疏忽了什么呢？在我们将式①中的n 变为n-1时，忘了考虑②中n 的范围了！若②要成立，则n ≥3，所以①-②可得a na n-1=2（n ≥3），不满足等比数列的定义.通过计算可得a 2=1，所以a 2a 1=1≠2，即{a n }不是等比数列，是从第二项开始为等比数列的特殊数列，所以该数列的通项公式应该是一个分段的形式，即a n =1（n=1），2n-2（n ≥2）2.二、误用数列是等比数列的充要条件例2在数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n+1-103a n +a n-1=0（n ≥2，且n ∈N *），若数列{a n+1+λa n }是等比数列，求实数λ.错解：设a n+1+λa n =μ（a n +λa n-1）（n ≥2）.所以a n+1+（λ-μ）a n -μλa n-1=0.所以λ-μ=-103，-μλ=1111111111，所以λ=-3或λ=-13.上述解法看似无懈可击，但实际上当λ=-3时，a 2-3a 1=0，不能构成等比数列，当λ=-13时，a 2-13a 1=83≠0，此时{a n }为等比数列，故λ=-13.本题错解原因在于误认为a n =qa n-1（n ≥2）为数列{a n }是等比数列的充要条件，实际上数列{a n }为等比数列的充要条件为：a n =qa n-1（n ≥2）且a 1≠0.三、运用等比中项性质，忽视等比数列的隔项同号性例3数列{a n }为等比数列，a 1=2，a 5=8，则a 3=______.错解：因为数列{a n }为等比数列，所以a 1，a 3，a 5也成等比数列.所以a 23=a 1a 5=16，所以a 3=±4.上述解法同样看似无懈可击，但实际上当a 3=-4时，a 3=-4=a 1q 2=2q 2，所以q 2=-2，显然不可能.因此只有a 3=4符合题意，所以a 3=4.本题错解原因在于运用等比数列等比中项公式时，忽视等比数列的隔项同号性，因此该类题最好直接用等比数列通项公式求解.四、运用等比数列求和公式求和，忽视公式的分段形式例4已知a n =n ，记b n =a n p a n （p ＞0），求数列{b n }的前n 项和T n .错解：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n ，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1.（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n -np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.即T n =p （1-p n ）（1-p）2-np n+11-p .上述解法中，当p=1时，p+p 2+p 3+…+p n-1+p n 不能用等比数列求和公式求，同时1-p=0也不能用作分母.因此本题要分p=1和p ≠1两种情况讨论.正确解法：由b n =a n p a n ，得b n =np n .所以T n =p+2p 2+3p 3+…+（n-1）p n-1+np n .当p=1时，T n =1+2+…+n=n （n+1）2.当p ≠1时，pT n =p 2+2p 3+3p 4+…+（n-1）p n +np n+1，（1-p）T n =p+p 2+p 3+…+p n-1+p n-np n+1=p （1-p n ）1-p-np n+1.故T n =n （n+1）2（p=1），p （1-p n）（1-p）2-np n+11-p （p ≠1）1111111111111.本题错解原因在于运用等比数列求和公式时忽视公式的分段形式，没有对等比数列的公比是否等于1进行分类讨论.五、忽略等比数列可能是非零常数列的情形例5下列有关数列的说法正确的有____________.19高中版2014年3月教材教法案例点评拜读文1，使笔者获益匪浅.文中讨论了下面的问题，摘抄如下.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）经过（1，1）与6%姨2，3%姨2姨姨两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆上一点M 满足|MA|=|MB|，求证：1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2为定值.文1给出两种证明方法：第一种是普通方程法；第二种是参数方程法，其做法如下.由题意可设A 3%姨cos θ，6%姨2sin 姨姨θ.由于OM ⊥OA ，故可设M 3%姨cos θ+π2⊥姨%，6%姨2sin θ+π2⊥姨⊥姨%，即M -3%姨sin θ，6%姨2cos ⊥姨θ.|OA |2=（3%姨cos θ）2+6%姨2sin ⊥姨θ2=32cos 2θ+32=|OB|2，|OM|2=（-3%姨sin θ）2+6%姨2cos ⊥姨θ2=32sin 2θ+32.整理可得1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2=16sin 22θ+8.当且仅当sin2θ=0，即当θ=k π2（k=0、1、2、3）时，结论成立.正如文1所说，用参数方程解此题时只能得出第一种解法中的特殊情况.进一步介绍了椭圆参数的意义，说明了上述做法仅在θ=k π2（k=0、1、2、3）时才满足OM ⊥山穷水复疑无路，柳暗花明又一村———对《用椭圆参数方程时的一个“误区”》一文的质疑筅江苏省滨海中学陈海祥（1）若2b=a+c ，则a 、b 、c 成等差数列；（2）若b 2=ac ，则a 、b 、c 成等比数列；（3）数列{a n }为等差数列，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等差数列；（4）数列{b n }为等比数列，记T n 为数列{b n }的前n 项和，则T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 成等比数列；（5）设数列{a n }为等差数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“a m +a n =a l +a s ”的充要条件；（6）设数列{b n }为等比数列，则“m 、n 、l 、s ∈N *且m+n=l+s ”是“b m ·b n =b l ·b s ”的充要条件.错解：（2）中b 2=ac 时，a 、b 、c 可能都为0，此时a 、b 、c 不能构成等比数列；（4）中等比数列{b n }的公比为-1时，当n 为偶数时T n =0，此时T n ，T 2n -T n ，T 3n -T 2n 不能构成等比数列.其他都是正确的，故答案为（1）（3）（5）（6）.实际上本题中（5）和（6）也是错误的，因为（5）和（6）中的数列{a n }和数列{b n }都有可能是常数列，这样任意两项和都相等，和下标没有关系.正确答案应为（1）（3）.本题错解原因在忽略等差数列可能为常数列，等比数列可能是非零常数列的情形.“细节决定成败”，所以，在教授新课的时候，我们一定要将这个细节的地方讲透讲通，这样学生在以后学习或者高三复习的时候才不会在这样的细节方面出错.现在由于高一、高二的课程比较紧，所以老师往往是在赶进度，从而忽略了一些本质的东西，在学习概念的时候只是“蜻蜓点水”，然后以大量的练习来巩固概念，学生往往也是吃了“夹生饭”，不能完全消化.这样的教学模式是与我们的新课改背道而驰的.从近几年的江苏高考试题可以看出，学生陷入题海战术后，在高考中是不能够脱颖而出的，只有平时多“悟”，多“思”，这样才能在高考中取得理想的成绩.当然在这样的大环境下，也给我们老师提出了更高的要求，只有更深入地去研究教材，才能更好地教会学生在细节方面多留心，学生才能越学越轻松，越学越想学.WG20。

等比数列高考重点题型及易错点提醒doc

一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =，则456a a a ⋅⋅=（） A ．32B ．16C ．16-D ．32-3．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110244．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞06．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 8．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（）A ．2±B ．2C ．3±D ．39．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -11．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99212．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（）A ．7-B ．3-C ．3D ．713．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（） A ．32B ．16C ．8D ．414．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞15．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >16．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（） A ．152B ．142C ．132D ．12217．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202018．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．319．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（） A ．31 B ．32C ．63D ．6420．12的等比中项是（）A ．－1B ．1CD．±二、多选题21．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（）A．12B．12- C．12+ D．12-+ 22．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1423．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列25．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 26．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 28．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 29．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列31．数列{}n a 为等比数列（）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）32．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<33．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C 2．A【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选：A. 3．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 4．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，两式相除得1+q 3=9，解得q =2，进而可得a 1=1，所以a n =a 1q n -1=2n -1，所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ，故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 6．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a qa -===，所以12q =，则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 7．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 8．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==，因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D. 11．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 12．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-，当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 13．C【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列．因为32a =，所以235328a a q ===．故选：C 14．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围．【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 15．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ，则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 16．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 17．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.18．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 19．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 20．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((22-==±，的等比中项是2± 故选:D二、多选题21．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+，整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+，因为0q >，所以解得12q +=， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=，因为0q >，所以解得q =，综上q =或q =，22．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ，所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=，解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列；综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 23．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确；故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .24．AD 【分析】根据等比数列的定义判断．【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确．故选：AD ．【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 25．AD 【分析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ，因为{}n a 是等比数列，故22n na q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足；对于B ，取21221,2nn n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，2121n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n nn n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，21213n n a a +-=，2222n naa +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n na a +为常数.故选：AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 26．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 27．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确.选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=,则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 28．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 29．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=，则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=，故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 30．BCD【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr r n N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错；对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q rN x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x q x r x --=<=，故B 正确；对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合；对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N >=时，110n nr S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 31．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列；当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 32．ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 33．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=， ∴12a =，2q 或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC .【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 34．AD【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0，∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1．∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ．∵S n ()21212n-==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确．S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确．∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。

21 等差数列与等比数列-高中数学经典错题深度剖析及针对训练含解析

【标题01】忽略了等比数列定义中的关键词和式子中的隐含条件【习题01】下列各组数成等比数列的是_______。

①1,2,4,8--；②2,2,22,4--； ③234,,,x x x x ； ④1234,,,aa a a ----;A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【经典错解】观察计算得①②③④都是等比数列，故选择D . 【详细正解】数列①②显然是等比数列，对于数列③,它不是等比数列，看起来,数列后面一项除以前面一项是一个常数x ,但是题目中并没有告诉我们0x ≠，当0x =时，显然不是等比数列,因为0不能作分母。

所以③不是等比数列。

对于选项④，有的同学可能认为和③一样，不是等比数列，因为题目中没有说明0a ≠，题目虽然没有直接说明0a ≠，但是它隐含地告诉我们0a ≠了，因为1n na a -=，所以0a ≠。

故选择C .【习题01针对训练】若x 、33+x 、55+x 是等比数列中相邻的三项，则________=x 。

A ．1-或94- B ．1或94C ．1-D ．94-【标题02】没有弄清等比数列的首项导致代等比数列的通项出现错误【习题02】某工厂去年产值为a ,计划今后5年内每一年比上一年增长%10，这5年的最后一年产值为____. A ．a•41.1 B ．a•51.1 C ．a •61.1D ．a •+)1.11(5【经典错解】由题得51451.1 1.1aa a -=⋅=，故选择A 。

【详细正解】由题得第一年的产值为1 1.1a a=，所以5145511.1 1.1 1.1 1.1a a a a -=⋅=⋅=⋅，故选择B 。

【习题02针对训练】在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和是多少？【标题03】没有弄清等比数列的各项的符号规律【习题03】在等比数列{}na 中，51a=,981a =,则7_______a =.A ．9或9-B ．9C ．27或27-D ．27-【经典错解】由等比中项的性质得27597819aa a a =⋅=∴=±，所以选择A 。

等比数列高考重点题型及易错点提醒

一、等比数列选择题1．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（） A ．14B ．1C ．12D ．132．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（） A ．12B ．18C ．24D ．323．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =，则456a a a ⋅⋅=（） A ．32B ．16C ．16-D ．32-5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里 6．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2057．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（）A ．15B ．10C ．5D ．38．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58A ．34B ．35C ．36D ．3711．题目文件丢失！12．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（）. A ．7B ．8C ．9D ．1013．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（） A ．25B ．254C ．5D ．2514．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（） A ．16B ．32C ．64D ．12815．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．316．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（）A ．19B ．9C ．13D ．317．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（）A ．32B ．31C ．16D ．1518．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 19．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（） A ．3B ．4C ．5D ．620．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（）A ．{}n a 是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+22．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列23．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a 3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11624．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列25．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥26．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 27．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍28．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-30．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 31．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--33．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <34．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S35．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98na n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（） A ．3B ．2C ．7D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =，所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=，解得13q =，或14q =-（舍去）.2．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+，所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24，所以7696a a +的最小值为24，故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解.设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 4．A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选：A. 5．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 6．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

等比数列与等比数列求和错解剖析.

等比数列与等比数列求和错解剖析等比数列是重要的数列，学习中由于对等比数列的概念、公式及性质没有准确的了解和掌握，经常出现一些不该出现的错误。

本文剖析如下：例1．假定,22,33a a a ++成等比数列，那么实数a 的值是〔〕A 、-1B 、-4C 、-1或-4D 、1或4解：由于,22,33a a a ++成等比数列，所以)33()22(2+=+a a a ，整理得0452=++a a ，解得14a a =-=-或,由于事先1a =-，22,33a a ++均为0，所以1-≠a ，应选B.易错点剖析：由等比数列的定义可知其每一项都能够作为分母，故每一项都不能为0，普通地，a ，b ，c 成等比数列与)0(2≠=b ac b 是等价的，无视0≠b 就会发生错误。

所以此题容易错误选择C 。

理想上，事先1a =-，22,33a a ++均为0，不能够成等比数列。

例2.设}{n a 是由实数构成的等比数列，假定16,1102==a a ，那么6a 的值为_________. 解：由于1616110226=⨯==a a a ，所以4-6=a 或46=a ，由于012>=a ，0226>=q a a ，所以46=a 。

易错点剖析：在解题时一定要留意开掘题中的隐含条件，并停止必要的检验。

解题时疏忽了6a 为正这一隐含条件。

即等比数列的奇数项的符号相反，偶数项的符号相反，此题中第2、6、10项区分是偶数项，所以符号的相反的，都是正数。

例3假定等比数列}{n a 中，253=a ，前3项和2153=S ，求通项n a . 解：当q ＝1时，求得251=a ，此时25=n a ；事先1≠q ，据题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅2151)1(253121qq a q a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=10211a q ，此时1)21(10--⋅=n n a ，综上知25=n a 或1)21(10--⋅=n n a . 易错点剖析：在运用等比数列前n 项和公式求解时，千万不要遗忘1≠q 这一隐含条件。

数学等比数列试题答案及解析

数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2B．3C．2或-3D．2或3【答案】C【解析】由已知得，，即，，即，解得或，选C．【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式基础知识，意在考查基本运算能力.3.函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为2，最大值为4，故，即，而，因此选A.【考点】本题考查函数与等比数列等知识，意在考查学生综合运用知识解题的能力.4.等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）A．B．- C．D．-【答案】C【解析】由S3 = a2+10a1得，a2+a3= a2+10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5= 9，所以= 9，解得，故选C.【考点】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.5. ·大纲理）已知数列满足，，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴.∴数列是以为公比的等比数列.∵，∴. ∴.故选C.【考点】等比数列求和6.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.7.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn 与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn ＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.【答案】（Ⅰ）（2）证明见解析【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．8.已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）设，常数且，证明：【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。

SXC036高考数学必修_等比数列中的常见错误

等比数列中的常见错误等比数列相对于等差数列来说要复杂的多,在解等比数列的有关问题时，需特别注意等比数列的公比q 不能等于 0，在等比数列的求和公式中q ≠1．还要注意题目的隐含条件，谨防误入陷阱，本文剖析几例，以期提高同学们的解题的正确率．1．忽视隐含条件致误在解决数列问题时，我们经常用一些巧妙的对称设法，目的是为了减少运算量．如三数成等差数列可设为a d a a d -+，，，三数成等比数列可设为aa aq q，，，四数成等差数列可设为33a d a d a d a d --++，，，，四数成等比数列可设为33a a aq aq q q，，，．但是，就在我们为这种巧妙的设法叫绝时，别忘了其中可能隐藏着错误，请看下题．例1.已知四个实数成等比数列，其积为36，中间两数之和为5，求这四个数．错解: 设比四个实数为33a a aq aq q q，，，，由题知33365a a aq aq q q a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩···，，解之得2a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩当a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，这四个数为492332，，，；当3a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3a q ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，这四个数为943223，，，．综上得这四个数为492332，，，或943223，，，．错解剖析:乍看此题，设法巧妙，事实上，当设四个数为33a a aq aq q q，，，时，已经隐含了这个等比数列的公比为20q >，即这个数列的各项应该为符号相同的．但此题中并没有这种限制，所以运用这种设法，虽然巧妙，但已经把这四个数正负相间（即公比为负）的另一种情形给弄丢了，正确解法如下：正解: 设这四个数为23a aq aq aq ，，，．由题知232365a aq aq aq aq aq ⎧=⎪⎨+=⎪⎩···，，解之得232aq aq =⎧⎨=⎩，，或223aq aq =⎧⎨=⎩，，或261aq aq =⎧⎨=-⎩，，或216.aq aq =-⎧⎨=⎩，故这四个数为492332，，，或943223，，，或116366--，，，或136616--，，，．2．注意公比1q =的情形例 2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n s 是它的前n 项和，若{}n s 是等差数列，则____=q ．错解：由题意得：qq a s n n --=1)1(1 {}n s 是等差数列∴ q q a s s n n n --=--1)1(11qq a n ----1)1(11=11-n q a 为常数 ∴10或=q ．错解剖析:这里不但忽视了等比数列中q 0≠，又忽视了这种解法的前提是q 1≠．而当q =1时，111,a s s na s n n n =-=-为常数．故答案应为q =1．正确答案: q =1．3．忽视公比q 一定为常数例3.数列{}n a 的首项为12，0n a >，且2211(2)(1)0()n n n n n a n a a a n *+++-++=∈N ，求{}n a 的通项公式．错解: 由已知，得[]11()(2)(1)0n n n n a a n a n a ++++-+=．因为100n n n a a a +>+>，，所以1(2)(1)n n n a n a ++=+，即112n n a n a n ++=+．所以{}n a 是首项为12，公比为12n n ++的等比数列．所以{}n a 的通项公式为11122n n n a n -+⎛⎫=⨯ ⎪+⎝⎭．错解剖析:此解中由“112n n a n a n ++=+”就认为{}n a 是等比数列．其实，等比数列定义中的1n n a q a +=不仅仅是一种形式，而且要求q 必须为常数，这里的12n n ++显然不是常数，故解答错误．正解: 由已知得112n n a n a n ++=+，即时112n n n a a n ++=+．所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= (1221111321)n n n n n n n --=⨯=+-+···…·．四、忽视等比数列中各项都不为零致错例4.若数列{a n }的前n 项的和为S n =a n -1 (a ≠0），则数列{a n }是（）．A ．等差数列 B.可能是等差数列，也可能是等比数列C:等比数列 D.可能是等比数列，但不可能是等差数列错解: 由S n =a n -1,可得a n =(a-1)a n-1，故选C ．错解剖析: 由等比数列的定义知，等比数列的每一项都不为零．当a=I 时，a n = 0，数列{a n }是等差数列，但不是等比数列．正确答案选B.。

高中数学等比数列小题公式反用技巧

高中数学等比数列小题公式反用技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等比数列是高中数学中很重要的一个概念，通过学习等比数列，可以帮助我们更好地理解数学中的逻辑思维，提高数学解题的能力。

在学习等比数列时，我们经常会遇到一些小题，需要根据等比数列的公式进行计算。

这里我们就来探讨一下关于高中数学等比数列小题公式反用技巧。

让我们回顾一下等比数列的定义和公式。

等比数列是指一个数列中任意两个相邻的项之比都相等的数列。

如果一个数列的首项为a，公比为r，那么这个等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

现在我们来看几个关于等比数列的小题，通过反用公式来求解。

1.已知一个等比数列的首项为2，公比为3/2，求第5项。

根据等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)，我们可以得到第5项的计算公式an=2*(3/2)^(5-1)=2*(3/2)^4=2*81/16=81/8。

所以这个等比数列的第5项为81/8。

又因为公比为2，所以a1*2^2=12，即4a1=12，得到a1=3。

所以该等比数列的通项公式为an=3*2^(n-1)。

通过以上两个小题的解答，我们可以发现，反用等比数列的公式来求解小题是一种有效的解题技巧。

通过熟练掌握等比数列的公式，我们可以更加灵活地运用数学知识，提高解题的效率和准确性。

除了以上两个小题，还有许多其他类型的等比数列小题，比如求和问题、找规律等，都可以通过反用公式来快速解决。

在做这类题目时，我们要注意灵活运用等比数列的公式，把问题转化成数学公式，然后通过代入计算得到结果。

在学习数学的过程中，反用等比数列的公式是一个重要的技巧，能够帮助我们更好地理解数学问题，提高解题能力。

希望大家在学习等比数列时，能够灵活运用这一技巧，取得更好的成绩。

【可能可以添加一些案例分析或者练习题，进一步加深理解】。

第二篇示例：高中数学中，等比数列是一个非常重要的概念，它是指数列中每一项与前一项的比相等的数列。

等比数列高考重点题型及易错点提醒

一、等比数列选择题1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（）A．n -B．n -C． D． 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（） A1 B1C．3-D．3+5．12与12的等比中项是（）A ．－1B ．1C．2D．2±6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （） A ．180B ．160C ．210D ．2507．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（）A ．15B ．10C ．5D ．38．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（）A ．8B ．8±C ．8-D ．110．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（） A ．32B ．16C ．8D ．411．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（）A ．32B ．63C ．123D ．12612．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A ．13a a <，24a a ，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >13．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（） A ．19B ．17C ．13D ．715．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（） A ．31B ．32C ．63D ．6416．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（）A ．19B ．9C ．13D ．317．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或218．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（） A ．2B ．4C ．74D ．15819．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A ．8B ．7C ．6D ．420．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-二、多选题21．题目文件丢失！22．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40024．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---25．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 26．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-127．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．1a ，3a ，5a 成等比数列B ．2a ，3a ，6a 成等比数列C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（） A ．01q < C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T30．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{}2lg n a 是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 31．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 32．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（） A ．01q <，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去）又112a =， 2314a q a ∴==，解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．D 【分析】根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 5．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】23111()()(2222-==±，12∴与12的等比中项是2± 故选:D 6．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 7．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 8．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 9．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 10．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列．因为32a =，所以235328a a q ===．故选：C 11．D【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--，故选：D. 12．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ，则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 13．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12nna =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥），又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 14．B 【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2174a a a =可求得7a 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得24354a a a a ==，解得41a =， 17a =，21741a a a ==，因此，717a =. 故选：B. 15．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 16．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==，故选：D 17．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意；当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 18．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅，故选：C 19．A 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可．【详解】已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =，满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8．故选：A ．【点睛】思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，（2）通分化简312311124S a a a ++==. 20．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---，故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.二、多选题 21．无22．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 23．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=；综上所述，AC 正确故选：AC 24．BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题, 25．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数）所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确.选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=-所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确.选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 26．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.27．AD 【分析】根据等比数列的定义判断．【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a aq a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确．故选：AD ．【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 28．ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 30．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=，对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确；对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 31．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 32．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=，则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=，故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 33．ABC 【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 34．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn nk n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 35．ACD 【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+，虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----，首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<，当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。

高中等比数列(含解析)

(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
典
例
等比数列的前项和为，则 ______为，则也成等比数列，
而所以成等比数列，故，
所以 .
反
思
本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果.本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为 .
5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，

等比数列中常见错误原因分析

龙源期刊网
等比数列中常见错误原因分析
作者：陈婧
来源：《中学生数理化·教与学》2016年第10期
由于等比数列自身的特殊性，决定了等比数列比等差数列有更多的限制条件：等比数列{an}，对项的研究必须注意任意的n∈N*，都有an≠0；对公比的研究必须注意公比q≠0；在利用等比数列前n项和公式求等比数列{an}的前n项和Sn时，必须注意对公比q分类讨论q=1
或是q≠1，才能正确使用前项和公式求和.在运用等比数列的一些性质或结论时，还要注意这些结论使用是否正确.下面举例说明.
总之，在等比数列中，除了注意隐含条件处，还要注意引入未知数时，不要改变题目中的数列的特征，而由一个数列中的某些项，或者是前和构成新的数列时，注意新数列具备的两个数列的特征，注意条件的等价运用.在学习新知识时，一定要正确理解，通过练习和思考总
结，融知识于能力之中，才能用好用活知识.。

[宝典]等比数列中公比的三个易错点

在等比数列中，公比有三个极易出错的点：０，１，－１。

这“三个点”与公比可谓是“形影相随”，稍有不慎，就会产生错误。

1.忽视公比0q ≠致错例１．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，1(0)n n S a a =-≠，那么数列{}n a ,,, （,,,）Ａ．一定是等差数列Ｃ．或者是等差数列或者是等比数列Ｂ．一定是等比数列Ｄ．既不是等差数列也不是等比数列2.忽视公比1q =致错例２.数列{}n a 中，已知(0)n n a x x =≠，求它前n 项和为n S 。

例３．已知数列{}n a 是公比q 为的等比数列，n S 是它前n 项和，且{}n S 是等差数列，求公比q 。

错解：由题意有1(1)1n n a q S q -=-又因{}n S 是等差数列， ∴111111(1)(1)()(2)111n n n n n n a q a q a S S q q n q q q ------=-=-≥---又1(2)n n n S S a n --=≥,,,∴11()1n n a q q q ---＝11n a q -解得01q q ==或。

说明：在使用等比数列前n 项和n S 的公式时，要特别注意对公比1q =或1q ≠的判断和讨论。

千万要注意1q ≠是利用公式11(1)11n n n a a q a q S q q --==--前提条件。

3..忽视公比1q =-致错例４．等比数列的前n 项和n S 的性质：已知数列{}n a 是公比q 为的等比数列，n S 是它前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 仍是等比数列。

（证明略）说明：等比数列中，在涉及到分母为n S ，数列中项为n S 等类似情形时，我们通常要考虑1q =-的情况，这是一个非常隐蔽的易错点。

等比数列高考重点题型及易错点提醒百度文库

B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
30．已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C． D．为定值
31．将个数排成行列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为 .下列结论正确的有（）
A． B． C． D．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题
1．C
【分析】
由等比数列性质求得，把表示为的函数，由函数单调性得取值范围．
【详解】
因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，
，易知函数在上单调递增，所以，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得，选为参数．
25．已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（）
A．25B．26C．27D．28
26．已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
A．2B．1或2C．-2或2D．-2或1或2
18．若数列是等比数列，且，则（）
A．1B．2C．4D．8
19．已知等比数列的前项和为，若，，则（）
A．8B．7C．6D．4
20．设为等比数列的前项和，若，则等比数列的公比的取值范围是（）

剖析等差、等比数列解题中常见的错误

等差、等比数列解题中的常见错误青岛市城阳区第二高级中学张晓丽 266107数列是高中代数的重点内容之一，也与其他数学知识有着广泛的联系，所以解决数列问题不仅需要综合的运用各种知识，同时还要充分的注意到解题的灵活性，因此，数列成为每年高考的考查重点，在高考试题中占有较大的比重。

等差、等比数列作为两个最基本的数列，同学们就更加需要正确的理解和掌握了。

但由于部分同学对数列知识理解的不完整性，在解题中经常会出现各种各样的错误。

本文将对在等差、等比数列解题中常见的几种错误着重谈一谈。

一、由于公比设法的不合理而引起的错误例1已知四个数成等比数列，其积为81，中间两项之和为10，求其公比．错误解法：设这四个数为33,,,a a aq aq qq，则公比为2q ，由题意可得：481(1)10(2)a a aq q ⎧= ⎪⎨+= ⎪⎩由()1解得3a =±，由()2解得2100aq q a -+= ()3 把3a =±分别代入()3得：231030q q -+=或231030q q ++= 解得:13q =±或3q =±，219q ∴=或29q =．错误剖析：上述设法中公比为2q ，说明公比大于0 (公比为0无研究意义)，这明显是缩小了公比的取值范围，而公比可正可负，所以我们应设更具广泛代表意义的q 。

正确解法：设这四个数为23a aq aq aq ，，，由题意可得：4681(1)10a q aq q ⎧=⎨+=⎩ 即232229(1)(1)100(2)a q a q q ⎧=± ⎨+= ⎩ 由()1得：229a q q=±，将229a q q =代入()2得：29(1)100q q+=，即298290q q -+=，解得：19q =或9q =；将229a q q=-代入()2得：2911890q q ++=，解得：9q =-故所求公比为19q =或9q =或599q -±=-．二、由于忽视公式1n n n a S S -=-成立的条件而引起的错误例2、设数列{}n a 满足112(2)n n a a S n += =++，，求数列的通项公式．错误解法：由已知得：12n n S a n +=--，则[]111(2)(1)21n n n n n n n a S S a n a n a a -++=-=------=-- 整理得：112(1)n n a a ++=+则{}1n a +为等比数列且公比为2，故1132n n a -+= ，∴1321n n a -=- ．错误剖析：解错的原因是没有注意到公式1n n n a S S -=-成立的条件为2n ≥，“错误解法”没有掌握这种关系，以2n ≥的情形代替n N +∈。

高中数学等比数列小题公式反用技巧

高中数学等比数列小题公式反用技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等比数列是高中数学中的重要内容，学习等比数列不仅能够帮助我们掌握数学知识，还可以提高我们的逻辑思维能力。

在解题过程中，我们经常会遇到需要使用公式的情况，但有时候我们也可以反其道而行之，根据题目特点来灵活运用公式，达到更好的解题效果。

下面就让我们来探讨一些关于高中数学等比数列小题公式反用技巧吧。

让我们简单回顾一下等比数列的基本性质。

等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比，通常用q 表示。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，q表示公比，n表示项数。

在解等比数列的题目时，有时候我们可以通过特定的条件来反过来使用等比数列的公式。

如果给定一个等比数列的第1项和第3项，让我们求公比q，我们可以使用等比数列的通项公式进行求解。

假设第1项为a，第3项为b，我们有b=a*q^2，代入通项公式an=a*q^(n-1)，得到第3项的表达式b=a*q^2=a*q=an，从而能够得到公比q的值。

在解题时我们还可以使用等比数列的性质，比如等比数列的前n项和在n趋于无穷大时的极限值等，来快速解决问题。

通过对等比数列的性质和公式的灵活应用，我们可以更加深入地理解数学知识，并提高解题的效率和准确性。

高中数学等比数列小题公式反用技巧是一种解题思维的技巧，通过灵活运用等比数列的公式和性质，我们可以更好地解决各类等比数列的问题。

在学习和解题过程中，我们应该不断探索和积累这些技巧，提高我们的数学思维能力和解题能力。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和应用等比数列的知识，取得更好的学习成果。

【文章结束】。

第二篇示例：在高中数学的学习中，等比数列是一个非常基础又非常重要的概念。

它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着很多实际意义。

等比数列由等比数列的定义、性质、等比数列通项公式以及等比数列的和等几部分组成。