选修2-1第二章椭圆的简单几何性质限时训练(二)教师版

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高中数学选修2-1课时作业30：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.2.2 椭圆的几何性质A 级基础巩固一、选择题1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac2．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27D ．4 23．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( ) A ．(±152，1) B ．(152，±1) C ．(152，1) D ．(±152，±1) 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝15．如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( ) A ．e －1 B ．1－e C ．e 2－1D ．1－e 26．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)二、填空题7．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.8．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为__________.三、解答题9．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．10．已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．B 级素养提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( ) A ．34B ．37C ．38D ．3182．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1) 3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．84．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33C ．23D ．13二、填空题5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ．当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是_________.三、解答题7．已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程.8．椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，离心率e ＝12，焦点F 1、F 2在x 轴上，过左焦点F 1与A 作直线交椭圆E 于B ． (1)求椭圆E 的方程； (2)求△ABF 2的面积.C 级能力拔高已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得△PF 1F 2为正三角形. (1)求椭圆E 的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC →·BD →＝0，若AC 的斜率为3，求四边形ABCD 的面积．——★ 参考答案 ★——A 级基础巩固一、选择题 1．[答案]B[解析]S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b ． ∴△ABF 面积的最大值为bc ． 2．[答案]C[解析]设椭圆方程mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)⎩⎨⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0消x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0 Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0 整理得3m ＋n ＝16mn 即3n ＋1m ＝16 ① 又c ＝2，焦点在x 轴上 ∴1m －1n＝4 ② 由①②解得m ＝17，n ＝13，∴长轴长为27． 3．[答案]D[解析]设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1， ∴x 0＝±152.故选D ． 4．[答案]A[解析]根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．5．[答案]C 6．[答案]A[解析]方法1：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3．又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－3．解得|y |＝2m 3－m．又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1．对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9．则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A ．方法2：当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0<m ≤1．当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9．故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A ．二、填空题7．[答案]x ＋2y －4＝0[解析]设弦两端点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0． 8．[答案]m ≥1且m ≠5[解析]将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0．由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立．即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1．又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5．简解：由椭圆方程易知m ≠5，又直线过定点(0,1) ∴1m ≤1，即m ≥1，∴m ≥1且m ≠5．三、解答题9．解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1．(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 10．解：(1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0．解得x 1＝0，x 2＝－4k1＋2k 2(x 1、x 2分别为M 、N 的横坐标)，由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×|4k 1＋2k 2|＝432，解得，k ＝±1．所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0．B 级素养提升一、选择题 1．[答案]C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38． 2．[答案]C[解析]依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C ． 3．[答案]C[解析]由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2 ＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2． ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值． (OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C ．4．[答案]A[解析]由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a ．又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－ba2＝1－132＝63．二、填空题 5．[答案]3[解析]如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3．∴S ＝12×3×2＝3．6．[答案]63[解析]由题意可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b 2)，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝(c ＋32a ，－b 2)·(c －32a ，－b 2)＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63．三、解答题7．解：设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0．∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0．当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0． 8．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据题意得⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，1－b 2a 2＝12，解之得a 2＝16，b 2＝12．所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1．(2)由(1)知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，AF 2⊥x 轴．所以直线AB 的斜率为34，其方程为y ＝34(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y －2，3x 2＋4y 2＝48，得7y 2－12y －27＝0．高中数学选修2-1课时作业11 已知y 1＝3，由y 1＋y 2＝127得y 2＝－97， ∴S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝2×307＝607． C 级能力拔高解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝6a ＝2c 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3故椭圆E 的方程为：x 24＋y 23＝1． (2)AC →·BD →＝0⇒AC ⊥BD ，又k AC ＝3，则k BD ＝－33． ⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝3(x ＋1)⇒x 24＋(x ＋1)2＝1⇒5x 2＋8x ＝0⇒x ＝0或x ＝－85， ∴|AC |＝1＋(3)2|0－(－85)|＝165， ⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝－33(x ＋1)⇒x 24＋(x ＋1)29＝1⇒9x 2＋4(x ＋1)2＝36， ⇒13x 2＋8x －32＝0⇒x ＝－8±82－4×13×(－32)2×13⇒x ＝－4±12313， ∴|BD |＝1＋(－33)2|－4＋12313－－4－12313|＝4813， ∴S ABCD ＝12|AC |×|BD |＝12×165×4813＝38465，故四边形ABCD 的面积为38465．。

高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时作业北师大版选修21

1.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点焦距对称性对称轴是________，对称中心是________ 离心率一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A .x 236＋y 216＝1B .x 216＋y236＝1 C .x 26＋y 24＝1 D .y 26＋x24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52 B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎥⎤0，12C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D .⎢⎡⎪⎫22，1题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_____________________________________________．9．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 25＋y24＝1的交点个数为________．三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a2c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.11．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A .45B .35C .25D .1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．1．2 椭圆的简单性质焦点的焦点在x轴上焦点在y轴上位置图形标准方程 x 2a 2＋y2b2＝1 y 2a 2＋x2b2＝1 范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a) 轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点 (±c,0)(0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e<1 1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e＝c a ，∴e 2＋e －1＝0，∴e＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<2. ∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有两个交点．]6．C [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，其中b 为椭圆短半轴长，∴b>c，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e＝c a <22.又∵0<e<1，∴0<e<22.] 7.x 245＋y236＝1 解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b 2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝ca ＝255. 9．2解析由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点M(m ，n)在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n)在椭圆内，因此过点(m ，n)的直线与椭圆必有2个交点．10．解依题意知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .∵HB∥OP，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b2ac .∴ab＝c 2.∴e＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝5－12. 11．解 ∵AF 2→·F 1F 2→＝0，∴AF 2⊥F 1F 2，因为椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则b 2＝12a 2，设A(x ，y)(x>0，y>0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A(c，y)，代入椭圆方程得 c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y＝b 2a ， ∵△AOF 2的面积为22，∴S△AOF 2＝12x×y＝22，即12c·b 2a ＝22，∵c a ＝22，∴b 2＝8， ∴a 2＝2b 2＝16，故椭圆的方程为x 216＋y28＝1.12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a＝2，c ＝3，∴b＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴2x －124＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。

(教师用书)高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时训练北师大版选修21

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时训练北师大版选修2-1一、选择题1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B ．35 C.25D ．15【解析】由题意知，2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b . ∴a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，又∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴5e 2＋2e －3＝0 解得e ＝35或－1(舍去)．【答案】 B2．若椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D ．64【解析】由△BF 1F 2是正三角形得，b c＝tan 60°＝ 3. ∴b ＝3c . ∴e ＝c a＝cb 2＋c2＝c3c 2＋c2＝12. 【答案】 A3．若点A (m,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则m 的取值范围是( )A ．－2<m < 2B ．m <－2或m > 2C ．－2<m <2D ．－1<m <1【解析】由点A 在椭圆x 24＋y 22＝1的内部．m 24＋122<1，整理得m 2<2. 解得－2<m < 2. 【答案】 A4．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆方程是( ) A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 24＋y 216＝1 D ．x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 【解析】若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2. 又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14.∴a 2＝4b 2＝16.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1.【答案】 D5．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2.∴点P 即为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c ＝8－4＝2. 又b ＝2，∴点P 为短轴的端点，有2个．【答案】 B 二、填空题6．若椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m 的值等于________．【解析】当m >0时，由mm ＋9＝14，得m ＝3；当m <0时，由－m 9＝14，得m ＝－94. 【答案】 3或－947．椭圆(1－m )x 2－my 2＝1的长轴长为________．【解析】椭圆标准方程为x 211－m ＋y 2－1m＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞0，－m ＞0.∴m ＜0.此时1－m ＞－m ＞0，∴11－m ＜－1m .∴a 2＝－1m ，b 2＝11－m ，2a ＝2－1m ＝－2－mm.【答案】－2－mm8．(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°. ∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】 3－1三、解答题9．求经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程．【解】椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，－5)与(0，5)．则设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．又椭圆过点(2，－3)，∴4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.10．如图3－1－4，A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC →⊥BC →，|BC →|＝2|AC →|，求椭圆的方程．图3－1－4【解】由题意知A (2,0)，椭圆方程为x 24＋y 2b2＝1.设点C 的坐标为(m ，n )，则点B 的坐标为(－m ，－n )．∵AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0，即(m －2，n )·(2m,2n )＝0， ∴m 2－2m ＋n 2＝∵|BC →|＝2|AC →|，∴|CO →|＝|AC →|，即m 2＋n 2＝m －2＋n 2，∴m ＝1.将m ＝1代入得n ＝1，∴C (1,1)．将x ＝1，y ＝1代入椭圆方程，得14＋1b 2＝1，∴b 2＝43.故椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.11.如图3－1－5，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，求椭圆离心率e 的取值范围．图3－1－5【解】设P (x 0，y 0)，∵F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∴PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)． ∵PF 1⊥PF 2， ∴PF 1→·PF 2→＝0，∴(－c －x 0)(c －x 0)＋(－y 0)(－y 0)＝0，即x 20＋y 20－c 2＝0.又∵x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴y 20＝b 2(1－x 20a 2)，∴x 20＋b 2(1－x 20a2)－c 2＝0，整理得x 20＝a 2c 2－b 2c 2＝a 2c 2－a 2c 2.∵点P 在椭圆上，∴0≤x 20≤a 2. ∴0≤a 2c 2－a 2c2≤a 2. 用椭圆的范围建立a ，b ，c 的不等关系．∴⎩⎪⎨⎪⎧2c 2－a 2≥0，a 2≥c 2.∴12≤e 2≤1. 又∵0<e <1，∴22≤e <1. 即椭圆离心率的取值范围是[22，1)。

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年

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椭圆的简单的几何性质（2）一、选择题1．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列,则椭圆x2m＋错误!＝1的离心率为（）A。

错误!B．错误!C．错误!D．错误!［答案] C［解析］由已知得错误!解得错误!∴e＝错误!＝错误!，故选C。

2．AB为过椭圆错误!＋错误!＝1中心的弦，F（c，0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是（)A．b2B．bcC．ab D．ac[答案] B3．若点P（a,1)在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，则a的取值范围为（)A．（－错误!，错误!）B．(错误!，＋∞）∪（－∞，错误!)C．(错误!，＋∞）D．(－∞，－错误!)［答案] B［解析] 因为点P在椭圆错误!＋错误!＝1的外部，所以错误!＋错误!>1，解得a>错误!或a<错误!，故选B.4．点P为椭圆错误!＋错误!＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（)A．(±错误!，1) B．（错误!，±1)C．（错误!,1）D．（±错误!，±1)［答案］D[解析］设P（x0,y0）,∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1,∴S△PF1F2＝错误!|F1F2｜·｜y0|＝|y0｜＝1，∴y0＝±1，∵错误!＋错误!＝1，∴x0＝±错误!。

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含

椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n，代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ．二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3．答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6．答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)．所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1，所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。

人教新课标版数学高二选修2-1限时练椭圆的简单几何性质(二)

2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝ 5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝ 32．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或84．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．[12，1) B ．(0，12] C ．[22，1) D ．(0，22] 7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则n m的值为( ) A.22 B.12C. 2 D ．2 二、填空题8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED ＝6DF ，则k 的值为________．三、解答题11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．参考答案1．B [由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN |max ＝a ＝3，m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.]2．C [把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.] 3．D [显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m ＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.]4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．]5．D [由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.]6．B [圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.] 7．A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，① 因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.②所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.] 8．2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．2解析因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．10.23或38解析依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED ＝6DF 知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 11．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为(6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1，解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以2F M ·2F N ＝0.即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0，所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33. 故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． 13．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以2ABF S＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

人教课标版高中数学选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.理解直线与椭圆的位置关系；2.会进行位置关系的判断，计算弦长.（二）学习重点理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用（三）学习难点应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.二.教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- 若0∆=，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆相切；若0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆相交；若0∆<，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆相离 .2.预习自测（1）直线1y kx k =-+与椭圆22123x y +=的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】直线(1)1y k x =-+恒过定点(1,1).由11123+<可知：点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】A（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与点(,0)P b ，过点P 可作出该椭圆的一条切线.（）②直线()y k x a =-与椭圆22221x y a b+=的位置关系是相交.（）【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】点(,0)P b 在椭圆22221x y a b+=内部，故过P 不能作出椭圆的切线；直线()y k x a =-恒过点(,0)a ，而(,0)a 为椭圆22221x y a b+=的有顶点，过直线()y k x a =-一定与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】①×；②√.（3）直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =（） A.21 B.32 C.43 D.54 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】联立方程22141y mx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(14)830m x mx +++=. 由条件知：226412(14)0m m ∆=-+=，解得：234m =. 【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】C（4）椭圆13422=+y x 长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（）A.34-B.43-C.43D.34 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】设00(,)P x y ，则，则2200334x y =-，故00003224PM PN y y k k x x ⋅=⋅=-+- 【思路点拨】按照题意直接代入求解即可.【答案】A（二）课堂设计1. 知识回顾（1）椭圆的简单几何性质；（2）直线与圆的位置关系.2. 新知讲解探究一：探究直线与椭圆的位置关系●活动① 复习回顾，类比学习我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识.（1）直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）.（2）判定方法有两种：代数法、几何法.那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？又该如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？【设计意图】由已有的知识类比迁移到新知识.●活动② 思考交流，结论形成通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义.学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论.直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交.通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？例 1.判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系.【知识点】直线与椭圆的位置关系.课堂活动：学生完成练习，根据学生的解题情况引入代数方法.在巡视过程中，大部分学生采用的是代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论.【解题过程】将直线与椭圆方程联立，根据判别式∆判断，123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切.【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- （1）0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；（2）0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；（3）0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.【设计意图】以旧带新，学生易于理解.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆相切？【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】解方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得225210x mx m ++-=， 222420(1)2016m m m ∆=--=-，由0∆=得220160m -=，解得m =【思路点拨】用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.探究二：计算椭圆的弦长●活动① 互动交流，形成结论例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长.【提出问题】本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？【知识点】直线与椭圆相交【解题过程】由条件知2(1,0)F ，故直线AB 方程为：22y x =-.设1122(,),(,)A x y B x y . 联立方程组2222154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：2350x x -=. 法一：由2350x x -=得：1250,3x x ==，从而54(0,2),(,)33A B -. ||AB ∴== 法二：由2350x x -=得：12125,03x x x x +==. 2||=AB x ∴==-. 【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.【知识点】直线与椭圆相交弦长公式.【解题过程】由题意2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩得225210x mx m ++-=，由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴弦长l === 当0m =时，l，此时直线方程为y x =. 【思维点拨】当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用弦长公式求得弦长.●活动② 强化提升，灵活应用例3. 已知椭圆2212x y += （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过(2,1)A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；【知识点】直线与椭圆相交，曲线的方程.【解题过程】解：（1）设斜率为2的直线方程为2y x b =+.由22212y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x bx b ++-=，由22(8)36(22)0b b ∆=-->，得33b -<<.设该弦的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12429x x b +=-，444393b -<-<. 设弦的中点坐标为(,)M x y ，则1249,294x x b x b x +==-=-，代入2y x b =+，得4440()33x y x +=-<<为所求轨迹方程. （2）设l 与椭圆的交点为1122(,),(,)x y x y ，弦的中点为(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=.又12122,2x x x y y y +=+=121212122()4()=0,()20()x x x y y y y y x y x x ∴-+--+⋅=-① 由题意知1212()1()2y y y x x x --=--，代入①得1202y x y x -+⋅=-. 化简得222220x y x y +--=.∴所求轨迹方程为222220x y x y +--=（夹在椭圆内的部分）.【思路点拨】例3（2）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.【答案】222220x y x y +--=.同类训练已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩，由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(1). 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=.【思维点拨】解决直线和圆锥曲线的相关问题时，韦达定理得应用十分广泛，此题干中涉及中点问题，自然联想到12x x +韦达定理结构.【答案】10x -+=，或10x +=.3.课堂总结知识梳理（1）直线与椭圆的位置关系0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.（2）弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .重难点归纳（1）用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法；（2）涉及弦中点的问题，常用点差法处理.（三）课后作业基础型自主突破1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为（）A.(－233，233)B.(233，＋∞)∪(－∞，－233)C.(43，＋∞)D.(－∞，－43)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.【思路点拨】根据点与椭圆的位置关系建立不等式求解.【答案】B 2.点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（）A.(±152，1)B.(152，±1)C.(152，1)D.(±152，±1)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴12PF F S ∆=12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D.【思路点拨】焦点三角形面积计算以12||F F 为底边.【答案】D3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.13【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33.【思路点拨】利用椭圆定义和几何关系解题.【答案】B4.如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.32B.12C.22D.3－1【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.【思路点拨】利用圆的几何性质和椭圆离心率的定义. 【答案】D5.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_____________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【思路点拨】中点弦问题灵活利用点差法. 【答案】x ＋2y －4＝0.6.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2. ∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3.∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0). 【思路点拨】把握椭圆的定义解题. 【答案】x 24＋y 23＝1；(±1,0). 能力型师生共研7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)（） A.必在圆x 2＋y 2＝2上 B.必在圆x 2＋y 2＝2外 C.必在圆x 2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能【知识点】椭圆的几何性质. 【解题过程】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2， a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C.【思路点拨】简化,,a b c 关系将方程具体化. 【答案】C8.如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得()1b b a c -=-，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e>0，∴e ＝5－12.【思路点拨】利用椭圆几何性质解题. 【答案】e ＝5－12.探究型多维突破9.已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B ，C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式.综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 【思路点拨】弦中点问题灵活利用点差法解题. 【答案】x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.10.已知椭圆方程22123x y +=，试确定m 的范围，使椭圆上存在两个不同点关于直线4y x m =+对称.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设点1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上点，且关于直线4y x m =+对称,另设AB 中点坐标为00(,)M x y则22112222123123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得1212121211023y y y y x x x x -++⋅=-+ 01212121203322AB y y y y y k x x x x x -+⇒⋅=-⇒⋅=--+ ① 1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，14AB k ∴=-，代入①式得006y x = ②易知点00(,)M x y 必在直线4y x m =+上，004y x m ∴=+ ③ 联立②③解得(,3)2mM m AB 为椭圆的弦，∴中点M 必在椭圆内， 22()(3)2123m m ∴+<，m <<【思路点拨】注意利用弦的中点在椭圆内部建立不等关系解题.【答案】m <<自助餐1.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为（）A.12B.33C.22D.32【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由已知得⎩⎨⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C.【思路点拨】利用离心率的定义. 【答案】C2.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（）A.b 2B.bcC.abD.ac 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【思路点拨】椭圆几何性质把握图形中的几何关系. 【答案】B3.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝（）A.34B.37C.38D.318 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.【思路点拨】注意转化为椭圆的定义. 【答案】C4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（）A.2B.3C.6D.8 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值.(OP →·FP →)max＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C. 【思路点拨】数量积问题坐标化处理. 【答案】C5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. （1）求椭圆C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得22(3)12525x x -+=，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65).【思路点拨】直线与椭圆相交注意利用韦达定理解题. 【答案】见上6.设12F F 、是椭圆:E 2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列. （1）求||AB ；（2）若直线l 的斜率为1，求b 得值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由椭圆定义知：22||||||4AF AB BF ++=，又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =. （2）l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222(1)2120b x cx b +++-=，则2121222212,11c b x x x x b b--+==++ 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-，即214||3x x -.则224212122222284(1)4(12)8()49(1)(1)(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++，解得b =【思路点拨】将弦长||AB 从两个不同角度考虑，建立等式解题. 【答案】见上。

北师大版高中数学选修2-1椭圆的简单性质同步练习.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作椭圆的简单性质同步练习【选择题】1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．若方程221x y a b-=表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是（A ）b a -> （B ）b a -< （C ）b a >- （D ）b a <-3．曲线221259x y +=与221259x y k k+=-- (k <9)有相同的（A ）短轴（B ）焦点（C ）顶点（D ）离心率4．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a , 0), B (0, b )的直线的距离等于7b ，则椭圆的离心率为（A ）21 （B ）54 （C ）776- （D ）776+5．设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）326．直线y =x +1与椭圆4x 2+y 2=λ(λ≠0)只有一个公共点，则λ等于（A ）54 （B ）45 （C ）35 （D ）537．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是M F 1的中点，则|ON |等于（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）23 8．已知点M (x , y )在(x －2)2+2y 2=1上，则yx的最大值为（A ）316 （B ）216 （C ）6 （D ）6169．以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值是（A ）22（B ）2 （C ）2 （D ）22 10．椭圆2214x y +=与圆(x －1)2+y 2=r 2( r>0)有公共点，则r 的最大值与最小值分别为（A ）3,316 （B ）3, 216 （C ）2, 316 （D ）2, 216 【填空题】 11．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 12．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2: 2211612x y +=，形状更接近于圆的一个是 .13．若椭圆22189x y k +=+的离心率为e =21，则k 的值等于 .14．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 . 15．若椭圆的一个焦点分长轴为3 : 2的两段，则其离心率为 . 16．经过两点M (2, －2), N (－1,142)的椭圆的标准方程为 .17．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，则椭圆的离心率为 .18．点P 在221169x y +=上且到直线143x y+=的距离为56，则点P 的个数为 . 19．已知P (x , y )为x 2+3y 2=12上的动点，则xy 的最大值是 .【解答题】20．已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为60o ，求△PF 1F 2的面积.21．椭圆C ’的中心在原点，焦点在x 轴上，直线l : y =x +9与椭圆C : 221123x y +=，求与C 有共同焦点，且与l 有公共点的长轴最短的C ’的方程，并求此时公共点M 的坐标。

2019-2020学年苏教版选修2-1 椭圆的简单几何性质学案

椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：椭圆方程中x ，y 的取值范围是什么？提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]．问题4：当a 的值不变，b 逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b 越小，椭圆越扁．(1)椭圆的简单几何性质：(2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，由图形易知当x ＝0时，|OP |取得最小值b ，此时P 位于椭圆短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |取得最大值a ，这时P 位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a 2＝b 2＋c 2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a －c (又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a ＋c (常称为远地距离)．第一课时椭圆的简单几何性质[例1] [思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a ，b ，c 的值，再研究相应几何性质． [精解详析] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.[一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆x2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a ，短轴长为2， ∴2a ＝2×2＝4，∴a ＝2，∴c ＝ 22－12＝3，∴e ＝c a ＝32.答案：A2．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).[例(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[精解详析] (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1解析：由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e＝55，即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.[例3] 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨] 通过已知条件MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°，得到Rt △MF 1F 2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a ，b ，c 之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3，∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. [一点通] 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： (1)直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．5．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：∵A P ＝2PB ，∴|A P |＝2|PB |. 又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案：2－11．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 答案：C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.8.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF ＝2 2F B ，1AF ·AB ＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b2)．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

高中数学选修2-1课时作业椭圆的几何性质2附解析

1.过椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A. 22B. 33C.12D.132.设AB 是椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 分为100等份,过每个分点作AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 99,F 1为椭圆的左焦点,则|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 99|+|F 1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a 3.椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,D 是它短轴的一个端点,若3DF 1 =DA +2DF 2 ,则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.154.中心在原点,焦点坐标为(0,±5 2)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为( )A.2x 225+2y 275=1 B.2x 275+2y 225=1C.x 225+y 275=1D.x 275+y 225=15.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .6.已知椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积是 .7.已知直线y=-12x+2和椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,若|AB|=2 ,直线OM 的斜率为12,求椭圆的方程.1.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( )A. 22 B. 33C.12D.13P -c ,±b 2a,∠F 1PF 2=60°,得3b 2a=2a ,从而可得e=ca =2.设AB 是椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 分为100等份,过每个分点作AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 99,F 1为椭圆的左焦点,则|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 99|+|F 1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a 解：由椭圆的定义及其对称性可知F 1P 1|+|F 1P 99|=|F 1P 2|+|F 1P 98|=…=|F 1P 49|+|F 1P 51|=|F 1A|+|F 1B|=2a ,|F 1P 50|=a故结果应为50×2a+|F 1P 50|=1013.椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,D 是它短轴的一个端点,若3DF 1 =DA +2DF 2 ,则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15,A (-a ,0),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),不妨设D (0,b ).∵3DF 1 =DA +2DF 2 ,∴3(-c ,-b )=(-a ,-b )+2(c ,-b ),∴a=5c.∴e=c a =15.故选4.中心在原点,焦点坐标为(0,±5 )的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为( )A.2x 225+2y 275=1B.2x 275+2y 225=1C.x 225+y 275=1D.x 275+y 225=1,可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1,且a 2=50+b 2,即方程为y 250+b 2+x 2b 2=1. 将直线3x-y-2=0代入,整理成关于x 的二次方程,由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=755.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .,不妨设椭圆方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),B (0,b )为上顶点,F (c ,0)为右焦点,设D (x ,y ).由BF =2FD ,得(c ,-b )=2(x-c ,y ),即 c =2(x -c ),-b =2y ,解得 x =3c2,y =-b 2,则D 3c 2,-b 2 .由点D 在椭圆上,知 3c 22a +-b 22b =1.解得a 2=3c 2,即e 2=13,故6.已知椭圆x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上的一点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积是 .,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m 2+n 2+2mn=36.① 在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos60°=(2c )2, 即m 2+n 2-mn=16. ②由①-②,得3mn=20. 故S △PF 1F 2=12·mn ·sin60°=12×203×32=5 33.7.已知直线y=-12x+2和椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,若|AB|=2 5,直线OM 的斜率为12,求椭圆的方程.y =-12x +2,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y ,整理得(a 2+4b 2)x 2-8a 2x+16a 2-4a 2b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1+x 2=8a 2a +4b ,x 1x 2=16a 2-4a 2b 2a +4b .又设M (x M ,y M ),则x M =x 1+x 22=4a 2a 2+4b 2,y M =-12x M +2=8b 2a 2+4b 2.因为k OM =y Mx M=12,所以2b 2a =12,即a 2=4b 2.从而x 1+x 2=8a 2a +4b =4,x 1x 2=16a 2-4a 2b 2a +4b =8-2b 2.又因为|AB|=2 5,所以 1+14× (x 1+x 2)2-4x 1x 2=2 5,即 52×16-4(8-2b 2)=2 5,解得b 2=4.所以a 2=4b 2=16,故所求的椭圆方程为x 216+y 24=1.。

高中数学选修2-1第二章第6课时同步练习§2.2.2(2)椭圆及其简单性质

§2.2.2椭圆的简单几何性质（2）1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．2. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．3. 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．4. 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．5. 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．6. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．7. 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；8. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．求证：21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．9. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．参考答案及其解析1. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．2. 解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．3. 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．4. 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．5. 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．6. 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．7. 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．8. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．求证：21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．证明：在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．9. 分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

人教版高中数学选修2-1练习：2-2-2椭圆的简单几何性质2

3讲堂成效落实1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个极点是(0,13)，另一个极点是(－10,0)，则焦点坐标为 ()A ．( ±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，± 69)分析：由题意知 a＝13，b＝10，焦点在 y 轴上．因此 c＝a2－b2＝132－102＝ 69.故焦点坐标为 (0，± 69)．答案： D2. 过椭圆x2y22＋ 2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点a bP，F2为右焦点，若∠ F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 ()A.5B.3 23C.1D.1232分析：∵ PF1⊥F1F2，F1F2＝2c，∠ F1PF2＝60°，∴ |PF1|＝3 3c，42343c3 |PF2|＝33c，∴|PF1|＋ |PF2|＝2a，∴3 c＋3c＝2a，得 e＝a＝3.答案： B3．已知点 (m，n)在椭圆 8x2＋3y2＝24 上，则 2m＋4 的取值范围是()A ．[4－2 3，4＋2 3]B．[4－3，4＋3]C．[4－2 2，4＋2 2]D．[4－2，4＋2]分析：把(m，n)代入方程得 8m2＋3n2＝24，∴24－8m2＝3n2≥0解得－3≤m≤ 3∴4－2 3≤2m＋4≤2 3＋4.答案： A4．[2014 ·湖南岳阳模拟 ]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中2心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为2 . 过 F1的直线 l 交 C 于A，B 两点，且△ ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 ________．2分析：由△ ABF2的周长＝ 4a＝16，得 a＝4，又知离心率为 2 ，即ca＝22，得 c＝2 2，因此 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴ C 的x2y2方程为16＋8＝1.x2y2答案：16＋8＝1。

高中数学选修2-1课时作业3：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )．A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[解析] 由条件可得F 1(－3，0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标(3，y 0)，又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32，∴M 的坐标(0，±34)，故选A. [答案] A2．如下图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )．A.15B.25C.55D.255 [解析] 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255. [答案] D3．已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝( )．A ．2 3B ．4 3C ．4D ．8[解析] 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ，∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.[答案] D4．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1. 由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．[答案] (1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0. 设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2 ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35. [答案]35 6．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( )．A.12 B ．－12 C.13 D ．－13[解析] 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a 2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13. [答案] D8．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )． A. 2 B ．2 C. 3 D ．3[解析] 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×(43)2＋(13n )2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.[答案] A9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[解析] 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.[答案] 810．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．[解析] 直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，二者联立，得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上， ∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. [答案] 27－511．已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．解设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 中点M (x ，y )，则x 128＋y 124＝1，① x 228＋y 224＝1.② ②－①，得(x 228－x 128)＋(y 224－y 124)＝0. ∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.③当x 1≠x 2时，x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，又∵③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0. ∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 当x 1＝x 2时，由点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.12．如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236 ＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 即得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m ，0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15，由于－6≤x ≤6.∴当x ＝92时，d 取最小值15.。

高中数学选修2-1同步练习-2.2.2椭圆的简单几何性质word版含答案

2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 213＝1 D.x 213＋y 24＝1 解析：由椭圆中a ＞b ，a ＞c ＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b ＝2，b 2＝4，且椭圆焦点在x 轴上，a2＝b 2＋c 2＝13.故所求椭圆的标准方程为x 213＋y 24＝1.故选D. 答案： D2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2B ．5,4C ．9,1D ．5,1 解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.答案： C3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 23＝1 解析：由题意知4a ＝16，即a ＝4，又∵e ＝32，∴c ＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1. 答案： B4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C.34D.64解析：依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：依题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，即a ＝6. ∵椭圆的离心率为32， ∴a 2－b 2a ＝32， ∴36－b 26＝32， ∴b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1. 答案： x 236＋y 29＝1 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c ，由题意可得2a ＋2c ＝4b ，a ＋c ＝2b ，又b ＝a 2－c 2，所以a ＋c ＝2a 2－c 2，整理得5e 2＋2e －3＝0，e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案： 35三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．解析： e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，即a ＝3b .过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y b ＝1.把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0，又由点到直线的距离公式得|－3b |1＋－3 2＝32，解得b ＝1，∴a ＝3，∴所求方程为x 23＋y 2＝1.8.如图所示，F1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析：方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53. 方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k PA ²k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.设P (x ，y )．所以k PA ＝y x ＋5，k PB ＝y x －5. 所以k PA ²k PB ＝y x ＋5²y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝16³25－x 225. 把y 2＝16³25－x 225代入k PA ²k PB ＝y 2x 2－25，得 k PA ²k PB ＝16³25－x 225x 2－25＝－1625. 所以k PA ²k PB 为定值，这个定值是－1625.。

2018版高中数学选修2-1学案：第二章圆锥曲线与方程 2

2．2.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题．知识点一点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程知识点三弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或AB ＝(1k y 1－1ky 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋1k2(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．题型一直线与椭圆的位置关系例1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思与感悟本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练1 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3， ∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13)．题型二直线与椭圆的相交弦问题例2 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2 在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M (2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程．解方法一如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴，则点M (2,1)显然不可能为这条弦的中点．故可设弦所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得x 2＋4[k (x －2)＋1]2＝16，即得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k 2＋4k ＋3)>0，又x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，满足Δ>0. ∴直线方程为x ＋2y －4＝0.方法二设弦的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∵点M (2,1)是PQ 的中点，故x 1≠x 2，两边同除(x 1－x 2)得，(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0，即4＋8k ＝0，∴k ＝－12.∴弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练3 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|.∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos 45°＝2|AP →|2cos 45°＝9， ∴|AP →|＝3.(1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2，即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．答案{}m |m >1且m ≠3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ>0，∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________．答案33解析将方程化为标准形式x 2m 2＋y 2m 3＝1，因为m >0，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2－m 3＝m6，所以e ＝ca＝m 6m 2＝13＝33. 3．椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________．答案 53解析易知△ABF 2的内切圆的半径r ＝12，根据椭圆的性质结合△ABF 2的特点，可得△ABF 2的面积S ＝12lr ＝12×2c ×|y 1－y 2|，其中l 为△ABF 2的周长，且l ＝4a ，代入数据解得|y 1－y 2|＝53.4．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 0<e <22解析设M (x ，y )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2，点M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F 1F 2为圆的直径．由题意知，椭圆上的点P 总在圆外，所以OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，∴b >c ，∴a 2>2c 2， ∴(c a )2<12，∴0<e <22.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．。

湘教版高中数学选修2-1同步精练：2.1.2椭圆的简单几何性质含解析

1椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）．A．5,3，0。

8 B．10，6，0。

8C．5,3,0.6 D．10，6,0.62若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ）．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!3已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( ）．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!4已知椭圆C：错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的离心率，则椭圆C可能是（)．A．错误!＋错误!＝m2(m≠0)B．x216＋错误!＝1C．x28＋错误!＝1D．以上都不可能5若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为( ）．A ．2B ．3C ．6D ．86曲线错误!＋错误!＝xy 关于__________对称．7已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1的长轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的长轴长相等，椭圆C 的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则a 2＝________，b 2＝________.8已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点,满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是__________．9如图所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆错误!＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．参考答案1. 答案：B2。

解析：由2a ，2b ，2c 成等差数列,所以2b ＝a ＋c 。

又b 2＝a 2－c 2，所以（a ＋c )2＝4（a 2－c 2)．所以a ＝错误!c .所以e ＝错误!＝错误!.答案：B3. 解析：如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝2b a ，设P (0，t ),∵AP ＝2PB ，∴（－a ，t )＝2（－c ，2b a －t )． ∴a ＝2c ,∴12c a 。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.1.2 椭圆的简单几何性质含解析

2．1.2　椭圆的简单几何性质第一课时　椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2范围－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c对称性对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝(0＜e ＜1)ca2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？x 225y 29提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，x 225y 29得a ＝5，b ＝3，则c ＝＝4.25－9因此，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.离心率e ＝＝＝0.8.c a 45焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)，顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．2．如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝得e 2＝＝，c a c 2a 2a 2－b 2a 2∴e ＝.1－(b a)2∴e ＝.1－b 2a23．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c .由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[自主解答]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝＝6x 281y 2981－9，2所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝＝.c a 223两个焦点的坐标分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，22A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．1．已知椭圆C 1：＋＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭x 2100y 264圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，x 2100y 264离心率e ＝；35(2)椭圆C 2：＋＝1，y 2100x 264性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝.35由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e ＝；63(2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．[自主解答]　(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝，63所以c ＝.从而b 2＝a 2－c 2＝3，6所以椭圆的标准方程为＋＝1；x 29y 23当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝，63所以＝.所以a 2＝27.a 2－b 2a 63所以椭圆的标准方程为＋＝1.y 227x 29综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 29y 23y 227x 29(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由已知，得c ＝3，b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 218y 29(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.3解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2∵椭圆过点A (2,0), ∴＝1，a ＝2.4a 2∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1.∴方程为＋y 2＝1.x 24若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，y 2a 2x 2b 2∵椭圆过点A (2,0)，∴＋＝1.02a 24b 2∴b ＝2,2a ＝2·2b .∴a ＝4.∴方程为＋＝1.y 216x 24综上所述，椭圆方程为＋y 2＝1或＋＝1.x 24y 216x 24(2)由已知Error!∴Error!从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 212y 29x 29y 212求椭圆的离心率设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥x 2a 2y 2b2F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.B. C. D.36131233[自主解答]　法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝m ，故3离心率e ＝＝＝＝＝.c a 2c 2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±，所b 2a 以|PF 2|＝.又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝|PF 2|，故2c ＝·，变形可得(a 2－c 2)＝b 2a 33b 2a 32ac ，等式两边同除以a 2，得(1－e 2)＝2e ，解得e ＝或e ＝－(舍去)．3333[答案]　D若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2.∴e 2＝>，c 2a 212∴e >.故C 的离心率的取值范围为.22(22，1)椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地：(1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝求解；ca (2)若已知a ，b ，则由e ＝求解；1－(b a)2(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．已知椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的端点B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解：如图，|F 1F 2|＝2c ，∵|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，且△BF 1F 2为等腰直角三角形．∴|BF 1|＝|BF 2|＝a ＝c .2∴离心率e ＝＝.ca 22解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆的x 2a 2y 2b2离心率的取值范围．[巧思]　由∠APO ＝90°可知：点P (x ，y )在以OA 为直径的圆上，且P 点又在椭圆上．然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P 点的横坐标．利用0<x <a 建立关于a ，b ，c 的不等关系．[妙解]　设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知：P 点在以OA 为直径的圆上．圆的方程是：2＋y 2＝2⇒y 2＝ax －x 2.①(x －a 2)(a 2)又P 点在椭圆上，故＋＝1.②x 2a 2y 2b 2 把①代入②得：＋＝1⇒(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，x 2a 2ax －x 2b 2故(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，x ≠a ，x ≠0⇒x ＝.又0<x <a ，ab 2a 2－b 2∴0<<a ⇒2b 2<a 2⇒a 2<2c 2⇒e >.ab 2a 2－b 222又∵0<e <1，故所求的椭圆离心率的取值范围是.(22，1)1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±)69解析：由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝＝.a 2－b 269答案：D2．椭圆＋＝1的离心率为( )x 216y 28A. B.1312C. D.3322解析：由＋＝1可得a 2＝16，b 2＝8，x 216y 28∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝＝.∴e ＝.c 2a 21222答案：D3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m 等于( )A.B ．212C ．4D.14解析：由条件可知＝2，解得m ＝.1m14答案：D4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆＋＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离x 2a 2y 2b 2心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1.∴a ＝＝.∴e ＝＝.b 2＋c 25c a 255答案：2555．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的32两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：e ＝，2a ＝12，a ＝6，b ＝3，32∴椭圆方程为＋＝1.x 236y 29答案：＋＝1x 236y 296．已知椭圆＋＝1(m ＞0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、x 22m ＋1y 2m 32焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程为＋＝1，x 22m ＋1y 2m ∴a 2＝2m ＋1，b 2＝m .∴c ＝＝.a 2－b 2m ＋1由e ＝，得＝，解得m ＝，32m ＋12m ＋13212∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 22y 212∴a ＝，b ＝，c ＝.22262∴椭圆的长轴长为2，短轴长为，22两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－62，0)(62，0)顶点坐标分别为A 1(－，0)，A 2(，0)，B 1，B 2.22(0，－22)(0，22)一、选择题1．已知椭圆C 1：＋＝1，C 2：＋＝1，则( )x 212y 24x 216y 28A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为4；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长322为4，焦距为4.故选D.22答案：D2．椭圆＋＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x 225y 29A ．8,2 B ．5,4C ．5,1D ．9,1解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.答案：D3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C2263的方程为( )A.＋y 2＝1B ．x 2＋＝1x 23y 23C.＋＝1D.＋＝1x 23y 22x 22y 23解析：∵＝，且c ＝，ca 632∴a ＝，b ＝＝1.3a 2－c 2∴椭圆方程为＋y 2＝1.x 23答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以x 2a 2y 2b 2线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B.6333C.D.2313解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝＝.2abb 2＋a21－b 2a 263答案：A 二、填空题5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．x 24y 23解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y 2＝，即y ＝±，所以最短弦的长为2×＝3.x 24y 23124y 23943232答案：4,36．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若∠ABF ＝90°，则椭圆的离心离为________．解析：由已知|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a 2＋b 2)＋a 2＝(a ＋c )2.∴a 2＋b 2＝2ac ＋c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0.∴e ＝.5－12答案：5－127．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形，因此其面积为S ＝·2a ·2b ＝2ab ＝40，12∴ab ＝20.又c ＝3，且a 2－b 2＝c 2.∴a 2－＝9，a 4－9a 2－400＝0.400a2∴a 2＝25或a 2＝－16(舍去)．∴a ＝5，b ＝4，所求方程为＋＝1.x 225y 216答案：＋＝1x 225y 2168．若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则x 24y 23·的最大值为________．OP ―→ FP ―→解析：由椭圆＋＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则·x 24y 23OP ―→ ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3＝x 2＋x ＋3＝(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，·FP ―→ (1－x 24)1414OP ―→ FP ―→ 取得最大值6.答案：6三、解答题9．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率e ＝，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点x 2a 2y 2b 263的距离为，求椭圆的标准方程．32解：e ＝＝＝，∴＝.c a a 2－b 2a 63a 2－b 2a 223∴a 2＝3b 2，即a ＝b .3过A (0，－b )，B (a,0)的直线为－＝1，x a yb 把a ＝b 代入，即x －y －b ＝0.333又由点到直线的距离公式得＝，解得b ＝1，∴a ＝.|－3b |1＋(－3)2323∴所求方程为＋y 2＝1.x 2310.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，则x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)．直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程＋＝1，得y ＝±，∴P .x 2a 2y 2b 2b 2a (－c ，b 2a )∵PF 2∥AB ，且k PF ＝＝，2b 2a－c －c －b 22ac 又k AB ＝－，∴由k PF ＝k AB ，得－＝－.b a 2b 22ac ba ∴b ＝2c .∴a ＝＝c.b 2＋c 25∴e ＝＝，即椭圆离心率为.ca 5555第二课时　直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系：x 2a 2y 2b2点P 在椭圆上⇔＋＝1；x 20a 2y 20b 2点P 在椭圆内部⇔＋<1；x 20a 2y 20b 2点P 在椭圆外部⇔＋>1.x 20a 2y 20b22．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立Error!消去y 得一x 2a 2y 2b 2个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0[小问题·大思维]1．若点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a 的取值范围是什么？x 24y 22提示：∵点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，x 24y 22∴＋<1，解得－<a <，a 241222即a 的取值范围为(－，)．222．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆＋y 2＝1各有什么样的位置3x 22关系？提示：(1)由Error!得3x 2＋4x ＝0.∵Δ＝16＞0，∴直线与椭圆相交．(2)由Error!得3x 2＋4x ＋4＝0.3∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0，3∴直线与椭圆相切．(3)由Error!得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线与椭圆相离．直线与椭圆位置关系对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆＋y 2＝1的位置关系．x 24[自主解答]　由Error!消去y ，得＋(x ＋m )2＝1，x 24整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－<m <时，Δ>0，直线与椭圆相交；55当m ＝－或m ＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；55当m <－或m >时，Δ<0，直线与椭圆相离．55判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由Error!消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6，即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0.Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.当Δ＝72k 2－48>0，即k <－或k >时，6363直线和曲线有两个公共点．当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝或k ＝－时，6363直线和曲线有一个公共点．当Δ＝72k 2－48<0时，即－<k <时，6363直线和曲线没有公共点．弦长问题已知斜率为1的直线l 过椭圆＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求x 24弦AB 的长．[自主解答]　∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝＝.∴右焦点F (，0)．a 2－b 233∴直线l 方程为y ＝x －.3由Error!消去y 并整理得5x 2－8x ＋8＝0.3设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，83585∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－3－x 2＋3)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝＝.2[(835)2－4×85]85即弦AB 的长为.85当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴|AB |＝，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝＝ ·(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)21＋k 2(x 1－x 2)2＝·.1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为.求椭圆方程．1625解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上，∴设椭圆方程为＋＝1.x 24b 2y 2b2联立Error!得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴Error!∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝· 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝.4255b 2－41625∴5b 2－4＝16.∴b 2＝4，即b ＝2.∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 216y 24中点弦问题已知椭圆＋y 2＝1，求过点P 且被P 平分的弦所在直线的方程．x 22(12，12)[自主解答]　法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －＝k12，(x －12)即y ＝kx ＋－k .1212由Error!得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0，设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－＝1，4k (1－k )2＋4k 2解得k ＝－.12∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.由Error!得y －y ＝－(x －x )，21212212∴＝－·＝－，y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 212即k ＝－，12∴直线方程为y －＝－，1212(x －12)即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则Error!由①－②，得(x －x )＋(y －y )＝0，变形得＝－·＝－·，即k AB ＝－1a 22121b 2212y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 2x 0y 0.b 2x 0a 2y 03．设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为.x 2a 2y 2b 235(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．45解：(1)将(0,4)代入C 的方程得＝1，16b 2∴b ＝4.又e ＝＝得＝，c a 35a 2－b 2a 2925即1－＝，∴a ＝5.16a 2925∴C 的方程为＋＝1.x 225y 216(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y ＝(x －3)，4545设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝(x －3)代入C 的方程，得45＋＝1，x 225(x －3)225即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标＝＝，x x 1＋x 2232＝＝(x 1＋x 2－6)＝－，y y 1＋y 222565即中点坐标为.(32，－65)解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆＋＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求mx 24y 23的取值范围．[妙解]　法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－.14设P Q 所在直线方程为y ＝－＋b .x4由Error!消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0.解得b 2<.①134x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.8b 1316b 2－4813设P Q 中点为M (x ，y )，则有x ＝＝，y ＝－·＋b ＝.x 1＋x 224b 13144b 1312b 13∵点M 在直线y ＝4x ＋m 上，(4b 13，12b13)∴＝4·＋m .∴b ＝－m .②12b 134b 13134把②代入①，得：2<，(－134m )134解得－<m <.2131321313故m 的取值范围为.(－21313，21313)法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上的两点，M (x ，y )是P Q 的中点．则有Error!两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴＝－＝－k P Q .3x 4y y 1－y 2x 1－x 2∵k P Q ＝－，14∴y ＝3x .由Error!解得Error!∴M (－m ，－3m )．∵点M 应在椭圆C 的内部，∴＋<1.(－m )24(－3m )23解得－<m <.2131321313故m 的取值范围为.(－21313，21313)[点评]　P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )x 24A ．相交 B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入＋y 2＝1x 24得＋(3－x )2＝1，x 24即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离．答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k 的值是( )x 23y 22A.B ．－6363C ．±D ．±6333解析：把y ＝kx ＋2代入＋＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δx 23y 22＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±.63答案：C3．直线y ＝kx ＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )x 25y 2m A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.答案：D4．直线y ＝a 与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．x 23y 24解析：由＋＝1得－2≤y ≤2，x 23y 24∴－2<a <2.答案：(－2,2)5．椭圆＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.x 23解析：由Error!得交点坐标(0,1)，，(－32，－12)则|AB |＝＝.(32)2＋(1＋12)2322答案：3226．过点P (2,1)的直线l 与椭圆＋y 2＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．x 22解：设直线l 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中x 22点M (x ，y )，则Error!由①－②得＝－·＝－·.y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 212xy 又∵直线l 的斜率为k PM ＝，y －1x －2∴＝－.y －1x －2x 2y整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.(在椭圆x 22＋y 2＝1内的部分)一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )x 29y 24A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.x 29y 24x 29y 24答案：B 2．已知椭圆x 2＋＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取y 22值范围是( )A.(0，322)B.∪(0，322)(822，＋∞)C.(0，13)D.(322，822)解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋＞a 2，解得0＜a ＜；(2)B 点在椭圆内，16＋12322＜a 2，解得a ＞.92822答案：B3．经过椭圆＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐x 22标原点，则·＝( )OA ―→ OB ―→A ．－3B ．－13C ．－或－3D ．±1313解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴·＝x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→把y ＝x －1代入＋y 2＝1得，3x 2－4x ＝0.x 22∴A (0，－1)，B .(43，13)∴·＝－.OA ―→ OB ―→ 13答案：B4．已知椭圆C ：＋x 2＝1，过点P 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB y 29(12，12)被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵点A ，B 在椭圆上，∴＋x ＝1，①y 21921＋x ＝1.②y 292①－②，得＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9∵P 是线段AB 的中点，(12，12)∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得＝－9，即直线AB 的斜率为－9.y 1－y 2x 1－x 2故直线AB 的方程为y －＝－9，12(x －12)整理得9x ＋y －5＝0.答案：B二、填空题5．已知点A ，B 是椭圆＋＝1(m >0，n >0)上两点，且＝λ，则λ＝________.x 2m 2y 2n 2AO ―→ BO ―→ 解析：由＝λ知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.AO ―→ BO ―→答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点，则实数m 的取值范围为________．解析：由Error!得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－≤m ≤.5252答案：[－52，52]7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝x ＋1截得的弦长为________．12解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝＝.54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]54(4＋24)35答案：358．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ，又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝c .3∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋)c ＝2a .3∴e ＝＝＝－1.c a 21＋33答案：－13三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：＋＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：x 24y 22(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组Error!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－3<m <3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组22不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同2的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－3或m >3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数22解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，x 22消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，解得－<b <.33所以b 的取值范围为(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.43相应地y 1＝1，y 2＝－.13所以|AB |＝＝.(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2423。

选修2-1第二章椭圆的简单几何性质限时训练(二)教师版

高中数学选修2-1课时作业30：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时作业 北师大版选修21

(教师用书)高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时训练 北师大版选修21

高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年

高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含

人教新课标版数学高二选修2-1限时练 椭圆的简单几何性质(二)