长沙市2015年数学模拟试卷六

合集下载

2015长沙中考数学试题及答案

BOAC O A C B 第8题图2015年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1．4的平方根是 A ．2 B ．2 C ．±2 D ．2± 2．函数11y x =+的自变量x 的取值范围是 A ．x ＞－1 B ．x ＜－1 C ．x ≠-1 D ．x ≠1 3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是 A ．三棱锥 B ．长方体 C ．球体 D ．三棱柱 4．下列事件是必然事件的是 A ．通常加热到100℃，水沸腾； B ．抛一枚硬币，正面朝上； C ．明天会下雨；D ．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯.5．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是A ．3、4、5B ．6、8、10C ．3、2、5D ．5、12、136．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是 A ．2 B ．4 C ．6D ．87．下列计算正确的是 A ．2242a a a += B ．2(2)4a a = C ．333⨯=D ．1232÷=8．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是 A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C ．AC BC = D ．∠BAC =30°二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．－3的相反数是．10．截止到2010年5月31日，上海世博园共接待8 000 000人，用科学记数法表示是人．11．如图，O 为直线AB 上一点，∠COB =26°30′，则∠1= 度．12．实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则| a |、| b |的大小关系是．a ob C B A O O A B C 1yx -O 第13题图第12题图第11题图．··．13．已知反比例函数1my x-=的图象如图，则m 的取值范围是． 14．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于度． 15．等腰梯形的上底是4cm ，下底是10 cm ，一个底角是60︒，则等腰梯形的腰长是 cm ．16．2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款．有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 .三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分） 17．计算：1023tan 30(2010)π-︒+--18．先化简，再求值：2291()333x x x x x ---+其中13x =.19．为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．第19题图20．有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上1、2、3、4．某同学把这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张．求抽出的两张纸片上的数字之积小于6的概率．（用树状图或列表法求解）21．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．22．在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．EBD A C F A F DE B C第22题图第21题图 yx23．长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？24．已知：AB 是O 的弦，D 是AB 的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝EC ，求sin C ．B ECD A O OADB EC第24题图25．已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．BAPxCQ Oy 第26题图2015年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）请将你认为正确的选项的代号填在答题卡上．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案C C C A C B C D二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）9．3 10．8×10611．153．5 12．|a |>|b | 13．m <1 14．120 15．6 16．50 三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）17．原式＝133123+⨯- …………………………………………………3分＝12……………………………………………………………6分 18．原式＝(3)(3)13(3)x x x x x +--+ ……………………………………………2分＝1x ……………………………………………………………4分当13x =时，原式＝3 …………………………………………………6分19．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分 20．解：（1）或用列表法 …………3分（2）P （小于6）＝816＝12………………………………………………………6分 21．解：（1）如图C 1（－3，2）…………………3分（2）如图C 2（－3，－2） …………………6分22．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分开1 2 3 41 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12∴△ABE ≌△ADE ……………………3分（2）∵△ABE ≌△ADE ∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）23．解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分解得：x 1=10％ x 2＝1910（不合题意，舍去） …………………………4分答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元） ……………………6分方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元） ……7分 ∵396900＜401400∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分24．证明：连BD ∵BD AD =∴∠A ＝∠ABD ∴AD ＝BD …………………2分 ∵∠A +∠C ＝90°，∠DBA +∠DBC ＝90°∴∠C ＝∠DBC ∴BD ＝DC∴AD ＝DC ………………………………………………………4分（2）连接OD ∵DE 为⊙O 切线 ∴OD ⊥DE …………………………5分 ∵BD AD =，OD 过圆心 ∴OD ⊥AB又∵AB ⊥BC ∴四边形FBED 为矩形∴DE ⊥BC ……………………6分 ∵BD 为Rt △ABC 斜边上的中线∴BD ＝DC ∴BE ＝EC ＝DE∴∠C ＝45° …………………………………………………7分 ∴sin ∠C =22………………………………………………………………8分五、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y =kx∵一次函数过（1，－b ） ∴y =－bx ……………………………3分（2）∵y =ax 2+bx －2过（1，0）即a +b =2 …………………………4分由2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩得 ……………………………………5分22(2)20ax a x +--=① ∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解∴两函数有两个不同的交点． ………………………………………6分（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解∴122(2)24a a x x a a--+==122x x a -= ∴2121212()4x x x x x x -=+-＝22248164(1)3a a a a-+=-+ 或由求根公式得出 ………………………………………………………8分∵a >b >0，a +b =2 ∴2>a >1令函数24(1)3y a=-+ ∵在1<a <2时y 随a 增大而减小．∴244(1)312a<-+< ……………………………………………9分∴242(1)323a<-+< ∴12223x x <-< ………………10分26．解：(1) ∵CQ ＝t ，OP =2t ，CO =8 ∴OQ =8－t∴S △OPQ ＝212(8)24222t t t t -=-+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △PAB －S △CBQ＝11882828(822)22t t ⨯-⨯-⨯⨯-＝322 ………… 5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于322 …………6分（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分 ∴828822t tt-=-解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P （42，0）∵B （82，8）且抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点， ∴抛物线是212284y x x =-+，直线BP 是：28y x =- …………………8分设M （m , 28m -）、N (m ，212284m m -+)∵M 在BP 上运动 ∴4282m ≤≤ ∵2112284y x x =-+与228y x =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P∴当4282m ≤≤时，12y y > ………………………………9分 ∴12MN y y =-＝21(62)24m --+ ∴当62m =时，MN 有最大值是2 ∴设MN 与BQ 交于H 点则(62,4)M 、(62,7)H ∴S △BHM ＝13222⨯⨯＝32 ∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝32:(32232)-＝3:29∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分。

2015年湖南省长沙市高考数学模拟试卷(理科)

2015年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分) 1.设复数z 满足，则 =（）A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i 【答案】 C【解析】解：设z =a +bi （a 、b ∈R ），由题意知，，∴1+2i =ai -b ，则a =2，b =-1， ∴z =2-i ， =2+i ，故选C ．先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z ，根据共轭复数的定义求出即可．本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2.设，是两个非零向量，则“ • ＜0”是“ ，夹角为钝角”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】解：若，夹角为钝角，则＜＜，则cos θ＜0，则 • ＜0成立，当θ=π时， • =-| |•| |＜0成立，但“ ，夹角为钝角”不成立，故“• ＜0”是“ ，夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．3.某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（）A.10万元B.15万元C.20万元D.25万元【答案】 C【解析】解：由频率分布直方图可知9时至10时的频率组距为0.10，11时至12时的频率组距为0.40∵0.4÷0.1=4，∴11时至12时的销售额为5×4=20故选：C由频率分布直方图可得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍，由此可得答案．本题考查用样本估计总体，属基础题．4.执行如图所示的程序框图，若输出s的值为22，那么输入的n值等于（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】解：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1，i=2；（2）s=1+1=2，i=3；（3）s=2+2=4，i=4；（4）s=4+3=7，i=5；（5）s=7+4=11，i=6；（6）s=11+5=16，i=7．（7）s=16+6=22，i=8，所以若输出的值为22，那么输入的k2x2-（2k2+4）x+k2=0值等于8．故选：C．根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值．本题主要考查了程序框图的准确阅读与理解，属于基本知识的考查．5.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，-1），B（π，-1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx）|=1-（-）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．6.设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C.y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数【答案】C【解析】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]=2sin（2x+φ+），∴ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ+=kπ+（k∈Z），即φ=kπ（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选：C．通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：设P（m，n），=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2-m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2-c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2-2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．设P（m，n），由得到n2=2c2-m2①．把P（m，n）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．8.已知函数f（x）=，＜，＜，设方程f（x）=2-x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）A.x1+x2=2B.1＜x1x2＜9C.0＜（6-x3）（6-x4）＜1D.9＜x3x4＜25【答案】D【解析】解：方程f（x）=2-x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）-2-x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）-2-x的图象如下，由图象可得，9＜x3x4＜25；故选D．方程f（x）=2-x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）-2-x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）-2-x的图象分析即可．本题考查了方程的根与函数的图象的关系，属于中档题．三、选择题(本大题共1小题，共5.0分)14.x、y满足约束条件，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，综上a=-1或a=2，故选：D作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)9.过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB= ______ ．【答案】4【解析】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．10.在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ=2cosθ，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是______ ．【答案】60°【解析】解：曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数化为：3x-4y+7=0．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而∠，∴当PQ取最小值d==2时，∠APB取最大值60°．故答案为：60°．曲线C1的方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x，圆心Q（1，0）．以曲线C2的参数方程为（t为参数），消去参数可得普通方程．设切点为A，B，要使∠APB最大，则∠APQ取最大值，而∠，当PQ取最小值时即点Q到直线的距离为垂直距离时，∠APB取最大值．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、圆的切线性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为______ ．【答案】[1，3]【解析】解：∵∈（-∞，-2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a-2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a-2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a-2|≤1，是解答本题的关键．12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于______【答案】3【解析】解：由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2，底边上的高为1．故棱柱的底面面积S=×2×1=1，棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=S h=3，故答案为：3由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高，三棱柱的高为2，求出底面三角形的面积，然后直接由棱柱的体积公式求体积．本题考查了由三视图求原几何体的体积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．13.二项式（-）5的展开式中常数项为______ （用数字作答）【答案】-10【解析】解：二项式（-）5的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为-=-10，故答案为：-10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)15.已知数列{a n}中，a1=3，a n+1+a n=3b n（b＞0），n∈N*（1）当b=1时，S7=12；（2）存在λ∈R，数列{a n-λb n}成等比数列；（3）当b∈（1，+∞）时，数列{a2n}时递增数列；（4）当b∈（0，1）时，数列{a n}时递增数列；以上命题为真命题的是______ ．【答案】（1）（2）（3）【解析】解：（1）当b=1时，a n+1+a n=3，则a n+2+a n+1=3，即a n+1+a n=a n+2+a n+1，则a n=a n+2，则a1=a3=a5=a7=3，a2=a4=a6=0，则S7=12；故（1）正确．（2）设a n+1-λb n+1+（a n-λb n）=0，则a n+1+a n=λb n+1+λb n=（λb+λ）b n，∵a n+1+a n=3b n（b＞0），∴λb+λ=3，即λ=存在λ=，数列{a n-λb n}成等比数列，此时公比q=-1；故（2）正确；（3）∵a n+1+a n=3b n（b＞0），∴a n+2+a n+1=3b n+1（b＞0），两式相减得a n+2-a n=3b n+1-3b n，则a2n+2-a2n=3b2n+1-3b2n=3（b2n+1-b2n），当b∈（1，+∞）时，b2n+1-b2n＞0，即b2n+2-b2n＞0，即a2n+2＞a2n，则数列{a2n}时递增数列；故（3）正确．（4）当b∈（0，1）时，不妨设b=，则由a n+1+a n=3b n（b＞0），得a2+a1=3×（），则a2=-a1+3×（）=，则a2＜a1，故数列{a n}时递增数列错误；故（4）错误．故正确的命题是（1）（2）（3），故答案为：（1）（2）（3）．（1）当b=1时，得到a n=a n+2，即可得到S7=12；（2）利益构造法构造数列{a n-λb n}成等比数列，即可得到结论．；（3）当b∈（1，+∞）时，利益作差法即可数列{a2n}时递增数列；（4）当b∈（0，1）时，取特殊值，即可判断数列{a n}时递增数列是错误的；本题主要考查递推数列的判断，根据数列的递推关系进行合理的推导是解决本题的关键．考查学生的推导能力．16.若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______ ．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是______ ．【答案】（0，2）；【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）（2）解：由题知lnx0=．猜想：，证明如下：，令t=＞1，原式等价于lnt2＜，2lnt-t+＜0，令h（t）=2lnt-t+（t＞1），则h′（t）=-1-=-＜0，∴h（t）=2lnt-t+＜h（1）=0，得证（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t，利用导数证明，求解出最值，得出2lnt-t+＜h（1）=0，即可得到结论．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．五、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．【答案】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且～，，，，，，∴ξ的分布列为：∵～，，∴．【解析】（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，～，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D-AC-M的余弦值．【答案】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∴ME∥SB．…（2分）又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（4分）（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…（6分）由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则，，，，，，，，，，，，，，，，，．∵，，，，，，∴，∴，即有SC⊥AM…（6分）又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（8分）（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角．…（10分）设SA=AB=a，在R t△MFQ中，，，∴∠．∴二面角D-AC-M的余弦值为．…（12分）（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，，，．设平面ACM的法向量为，，，，，，，，，则即，∴令x=-1，则，，．…（10分）＜，＞，由作图可知二面角D-AC-M为锐二面角∴二面角D-AC-M的余弦值为．…（12分）（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM 为二面角D-AC-M的平面角，由此能求出二面角D-AC-M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D-AC-M的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用，考查向量法的合理运用，考查空间思维能力的培养，是中档题．19.某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f （t）=24-4sinωt-4，，，且早上8时的温度为24°C，，．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？【答案】（本小题满分12分）解：（1）依题意…（2分）因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24，⇒⇒…（3分）∵，，故取k=1，，所求函数解析式为，，．…（5分）由，，，可知⇒，即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．…（7分）（2）依题意：令，可得…（9分）∵，，∴或，即t=10或t=18，…（11分）故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…（12分）（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式．（2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果．本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力．20.已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，a n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，a n 一起恰好是1至S n全体正整数组成的集合．（ⅰ）求a1，a2的值；（ⅱ）求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（1）设无穷等差数列{a n}的公差为d，则：S n=na1+d=n[]，所以：又，则：=，所以：则a n=1或a n=2n-1，（2）（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，故1+a2=4，所以a2=3，（ii）由题意可知，集合{a1，a2，…a n}按上述规则，共产生S n个正整数．而集合{a1，a2，…a n，a n+1}按上述规则产生的S n+1个正整数中，除1，2，…S n这S n个正整数外，还有a n+1，a n+1+i，|a n+1-i|（i=1，2，…S n），共2S n+1个数．所以，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），所以S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，当n≥2时，a n=S n-S n-1==3n-1而a1=1也满足a n=3n-1．所以，数列{a n}的通项公式是a n=3n-1．（1）设公差为d，则有S n=na1+d=n[]，由已知可得=，即可解得数列{a n}的通项公式；（2）（i）记A n={1，2，…S n}，显然a1=S1=1，对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，…S2}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，即可解得a2的值．（ii）由题意可知，S n+1=S n+（2S n+1）=3S n+1，又S n+1+=3（S n+），可得S n=（S1+）•3n-1-=•3n-，即可求得a n=S n-S n-1=3n-1．本题主要考查了等差数列通项公式的求法，考查了数列与函数的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为＞，＞，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1-4k2）x2-8mkx-4（m2+1）=0，有＞＞＞＜，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），∴k AD k BD=-1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴3m2-16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（-2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（-，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（-，0）．【解析】（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1-4k2）x2-8mkx-4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），∴k AD k BD=-1，即，代入即可求解．本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线方程为x+y-2=0．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x∈[，1]，使得对任意的t∈[，2]上恒有f（x）≥t3-t2-2at+2成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意正整数n，有4（++…+）+（ln1+ln2+…+lnn）≥2n．【答案】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-+，∴f′（1）=-+n=-1，把x=1代入x+y-2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=-，∴f（x）=-lnx，f′（x）=--，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[，1]上单调递减，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，∴只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈[，2]上恒成立，令g（t）=，则g′（t）=2t-1-==，令g′（t）=0可得t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴当t＜1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，当1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）单调递增．∴g（t）的最小值为g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=4-2+=，显然g（）＜g（2），∴g（t）在[，2]上的最大值为g（2）=，∴只需2a≥，即a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1]上单调递减，∴对于任意的正整数n，都有f（）≥f（1）=1，即-ln≥1，整理可得+lnn≥2，则有：+ln1≥2，+ln2≥2，+ln3≥2，…，+lnn≥2．把以上各式两边相加可得：4（++…+）+（ln1+ln2+…+lnn）≥2n．【解析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥对任意的t∈[，2]上恒成立，令g（t）=，利用导数求出g（t）的最大值，列出不等式，即可求得结论；（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1]上单调递减，故有f（）≥f（1）=1，即-ln≥1，整理可得+lnn≥2，利用累加法即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生对恒成立问题的等价转化思想及构造函数法证明不等式的能力，考查学生的运算求解能力，属于难题．。

湖南省长沙、浏阳、宁乡三(市)县一中2015届高三5月三模考试数学(理)

2015届高三5月份仿真模拟考试试卷数学（理科）时量：120分钟分值：150分命题：浏阳一中审校：宁乡一中考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。

2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合},,4|{2R x x x A ∈≤=},4|{Z x x x B ∈≤=,则=⋂B A （）A.)2,0(B.]2,0[C.}2,1,0{ D. }2,0{2．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z （） A ．5- B.5 C ．i +-4 D ．i --4 3．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（） A.2 B.92 C.32D.3 4．下列函数中最小正周期是π的函数是( )A.sin cos y x x =+B.sin cos y x x =-C.sin cos y x x =-D.sin cos y x x =+ 5．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.设不等式组0x y x y y ⎧+≤⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩M ，函数y =的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为( ) A.2πB.4πC.8πD.16π7．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2 <a 4”是“数列{a n }是递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、D ,双曲线的右顶点为E ,150=∠CED ，其双曲线的离心率为( )A．32CD9.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则函数()y f x =的图像大致是( )10.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分．） 11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4535x a t y a t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数).在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ．12. 如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD = .13. 若正实数,,a b c 满足232a b c ++=，则当22223a b c ++取最小值时，249a b c ++的值为________.（二）必做题（14-16题）14.10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有种．15．已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ∙=∙=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++的最小值是16..若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ _．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分0.02布列和数学期望．18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B 。

2015年湖南省长沙市小升初数学模拟试卷与解析

2015年湖南省长沙市小升初数学模拟试卷一、计算．1．口算．88﹣55=199+65=0.8×0.9=3.2÷0.4=6×60=80÷=﹣=+﹣=2．脱式计算，能简算的要简算．496﹣23×162.9×3.6+2.9×6.4[1﹣（+）]×24．3．解方程．（1）30x=4.2（2）6x÷7=12（3）3x﹣1.2x=36．二、填空．4．（3分）2005年地震灾害造成我国二百零八万四千人受灾．横线上的数写作，四舍五入到万位大约是万．5．（3分）在括号里填上合适的单位．小明身高1.58，体重40，他每晚睡10，他卧室的面积大约是9．6．（3分）观察如图，以学校为观测点，少年宫在学校的方，位于学校西南方的是．7．（3分）原价a元的衬衣打九折后售价为元．8．（3分）﹣2℃比2℃低℃．9．（3分）找规律填数：9、13、17、21、、29．10．（3分）六年级同学植树，成活91棵，9棵没活，成活率是．11．（3分）在一幅比例尺1：150000的地图上，量得A和B市的图上距离是6厘米，实际距离是千米．12．（3分）体育课上同学们立定跳远的成绩统计图如下，请把表填完整．13．（3分）6个棱长为1厘米的小正方体堆放在桌上（如图），露在外面的面积是平方厘米．三、选择．14．（3分）下图中，哪个图形的阴影部分占整个图的？（）A．B．C．D．15．（3分）下列四个数中，最大的是（）A．101% B．0.9 C．D．116．（3分）下面一共有多少个小圆点？正确的算式是（）A．3×4×3 B．4×4×3 C．3+3×4 D．3×（4+4）17．（3分）估计一下，下面最接近自己年龄的是（）A．600分B．600时C．600周D．600月18．（3分）下图中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（）A．B．C．D．19．（3分）有一份《华盛顿日报》，此报纸共206页，看图估计：体育版约占多少页？（）A．10 B．30 C．50 D．10020．（3分）下图表示王老师周末去公园游玩的行程情况，请问：王老师在整个旅程中共走了多少千米？（）A．9千米B．20千米C．40千米D．43千米21．（3分）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（）根小棒．A．60 B．61 C．65 D．75四、判断．22．（3分）圆的周长和它的直径成正比例．．（判断对错）23．（3分）质数加1后就是偶数．．24．（3分）三角形中最大的一个角是70°，按角分类这是一个锐角三角形．．（判断对错）25．（3分）盒子里有100个白球和1个红球，任意摸出1个球，摸到红球的可能性为．．五、连一连、画一画．26．从不同的角度观察左边的立体图形，各是什么样子？连一连．27．画一画．（1）以虚线为对称轴，画出小树的另一半．（2）再将整个图形向右平移6格．（3）最后将平移的图形绕小树的下端点顺时针旋转90°．六、解决问题．28．算一算：哪种大米便宜些？29．希望小学全体师生步行到植物园参观，步行路线如下图．他们上午8时半从学校出发，平均每小时走3千米，什么时候能到达植物园？30．据科学资料显示，儿童负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，将不利于身体发育，小川的体重是30千克，书包重5千克．请你算一算：小川的书包超重了吗？31．如图，这个杯子能否装下500毫升的牛奶？32．某地2006年月平均气温变化情况如图：看图回答：（1）月份的月平均气温最高，月份的平均气温最低．（2）月份到月份气温上升最快，月平均气温上升了℃．（3）用简单的语言描述这一年来月平均气温变化的总趋势．2015年湖南省长沙市小升初数学模拟试卷参考答案与试题解析一、计算．1．口算．88﹣55=199+65=0.8×0.9=3.2÷0.4=6×60=80÷=﹣=+﹣=【解答】解：88﹣55=33199+65=2640.8×0.9=0.723.2÷0.4=86×60=36080÷=6400﹣=+﹣=2．脱式计算，能简算的要简算．496﹣23×162.9×3.6+2.9×6.4[1﹣（+）]×24．【解答】解：（1）496﹣23×16，=496﹣368，=128；（2）2.9×3.6+2.9×6.4，=（3.6+6.4）×2.9，=10×2.9，=29；（3）[1﹣（+）]×24，=[1﹣]×24，=×24，=10．3．解方程．（1）30x=4.2（2）6x÷7=12（3）3x﹣1.2x=36．【解答】解：（1）30x=4.2，30X÷30=4.2÷30，X=0.14；（2）6x÷7=12，6X÷7×7=12×7，6X=84，6X÷6=84÷6，X=14；（3）3x﹣1.2x=36，1.8X=36，1.8X÷1.8=36÷1.8，X=20．二、填空．4．（3分）2005年地震灾害造成我国二百零八万四千人受灾．横线上的数写作2084000，四舍五入到万位大约是208万．【解答】解：二百零八万四千：在百万位上是2，万位上是8，千位上是4，剩下的位数上都是0，故写作：2084000．千位上是4，舍去，故四舍五入到万位大约是：208万．故答案为：2084000；208．5．（3分）在括号里填上合适的单位．小明身高1.58米，体重40千克，他每晚睡10小时，他卧室的面积大约是9平方米．【解答】解：小明身高1.58米，体重40千克，他每晚睡10 小时，他卧室的面积大约是9平方米．故答案为：米，千克，小时，平方米．6．（3分）观察如图，以学校为观测点，少年宫在学校的正东方，位于学校西南方的是医院．【解答】解：以学校为观测点，少年宫在学校的正东方，位于学校西南方的就是医院．故答案为：正东，医院．7．（3分）原价a元的衬衣打九折后售价为0.9a元．【解答】解：a×90%=0.9a（元），答：打九折后售价为0.9a元．8．（3分）﹣2℃比2℃低4℃．【解答】解：2﹣（﹣2）=4（℃．）答：﹣2℃比2℃低4℃．9．（3分）找规律填数：9、13、17、21、25、29．【解答】解：13﹣9=4，17﹣13=4，21﹣17=4，后一个数比前一个数多4，要填的数的后一个数是29，那么要填的数就是29﹣4=25．故答案为：25．10．（3分）六年级同学植树，成活91棵，9棵没活，成活率是91%．【解答】解：×100%，=0.91×100%，=91%；答：成活率是91%．故答案为：91%．11．（3分）在一幅比例尺1：150000的地图上，量得A和B市的图上距离是6厘米，实际距离是9千米．【解答】解：6÷=900000（厘米）=9（千米），答：实际距离是9千米．故答案为：9．12．（3分）体育课上同学们立定跳远的成绩统计图如下，请把表填完整．【解答】解：1﹣56%﹣36%=8%；18÷36%=18÷0.36=50（人）；50﹣18﹣4=28（人）；答案如下：．13．（3分）6个棱长为1厘米的小正方体堆放在桌上（如图），露在外面的面积是19平方厘米．【解答】解：根据对组合图形的观察：从前面看：；从后面看：；从右面看：；从左面看：；从上面看：；所以露在外的正方形有19个，1×1×19=19（平方厘米）故答案为：19．三、选择．14．（3分）下图中，哪个图形的阴影部分占整个图的？（）A．B．C．D．【解答】解：A图将图形平均分成三份，其中两份为阴影部分，占整个图形的．B图图形分为三份但不是平均分成的，且阴影部分只有一份．C图图形平均分成6份，且阴影部分有三份．D图图形平均分成6份，且阴影部分只有一份．故选：A．15．（3分）下列四个数中，最大的是（）A．101% B．0.9 C．D．1【解答】解：101%=1.01，≈0.9995；在1.01，0.9，0.995，1四个数中最大的是1.01；即101%是最大的；故选：A．16．（3分）下面一共有多少个小圆点？正确的算式是（）A．3×4×3 B．4×4×3 C．3+3×4 D．3×（4+4）【解答】解：如图所示：由图形可知小圆点的个数为4×4×3．故选：B．17．（3分）估计一下，下面最接近自己年龄的是（）A．600分B．600时C．600周D．600月【解答】解：600分=10时，600时=25日，600周≈11 年，600月≈50年；故选：C．18．（3分）下图中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（）A．B．C．D．【解答】解：因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是长方形；故选：C．19．（3分）有一份《华盛顿日报》，此报纸共206页，看图估计：体育版约占多少页？（）A．10 B．30 C．50 D．100【解答】解：由题干可知：体育版与生活版的和所对应的圆心角的度数是90°，90°÷360°×100%=25%，根据图可观察得出：体育版大约占了体育版和生活版和的60%，60%×25%=15%，206×15%≈30（页），答：体育版约占30页．故选：B．20．（3分）下图表示王老师周末去公园游玩的行程情况，请问：王老师在整个旅程中共走了多少千米？（）A．9千米B．20千米C．40千米D．43千米【解答】解：（15+5）×2=20×2=40（千米）；所以王老师共走了40千米．故选：C．21．（3分）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（）根小棒．A．60 B．61 C．65 D．75【解答】解：第15间房除了第一间用5根小棒，其它都是4根小棒，则：（15﹣1）×4+5=61（根）故选：B．四、判断．22．（3分）圆的周长和它的直径成正比例．√．（判断对错）【解答】解：圆的周长的公式为C=πd，=π，因为π是一个固定的数，也就是一个常数，根据判断是否成正比例的方法，可以判定圆的周长和它的直径成正比例关系；故答案为：√．23．（3分）质数加1后就是偶数．错误．【解答】解：2是最小的质数，2+1=3，3是奇数而不是偶数．除了2以外的质数加1后是偶数．故此题错误．24．（3分）三角形中最大的一个角是70°，按角分类这是一个锐角三角形．正确．（判断对错）【解答】解：三角形中最大的一个角是70°，那么另外两个角都是小于70°的角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以原题说法正确，故答案为：正确．25．（3分）盒子里有100个白球和1个红球，任意摸出1个球，摸到红球的可能性为．×．【解答】解：球的总数为：100+1=101（个）1：101=，，摸到红球的可能性为；故答案为：错误．五、连一连、画一画．26．从不同的角度观察左边的立体图形，各是什么样子？连一连．【解答】解：如图，27．画一画．（1）以虚线为对称轴，画出小树的另一半．（2）再将整个图形向右平移6格．（3）最后将平移的图形绕小树的下端点顺时针旋转90°．【解答】解：．（1）以虚线为对称轴，画出小树的另一半（下图）：（2）再将整个图形向右平移6格（下图）：（3）最后将平移的图形绕小树的下端点顺时针旋转90°（下图）：六、解决问题．28．算一算：哪种大米便宜些？【解答】解：80÷40=2（元），75÷25=3（元），2＜3；答：左边40千克一袋的大米便宜．29．希望小学全体师生步行到植物园参观，步行路线如下图．他们上午8时半从学校出发，平均每小时走3千米，什么时候能到达植物园？【解答】解：2.4+3.6）÷3，=6÷3，=2（小时）；到达时间为8时30分+2时=10时30分；答：10时30分能到达植物园．30．据科学资料显示，儿童负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，将不利于身体发育，小川的体重是30千克，书包重5千克．请你算一算：小川的书包超重了吗？【解答】解：30×=4.5（千克）；4.5＜5；答：小明的书包超重．31．如图，这个杯子能否装下500毫升的牛奶？【解答】解：圆柱形杯子的容积：3.14×（8÷2）2×10，=3.14×16×10，=3.14×160，=502.4（立方厘米），502.4立方厘米=502.4毫升，因为，502.4毫升＞500毫升，所以这个杯子能装下500毫升的牛奶；答：这这个杯子能装下500毫升的牛奶．32．某地2006年月平均气温变化情况如图：看图回答：（1）八月份的月平均气温最高，一月份的平均气温最低．（2）三月份到四月份气温上升最快，月平均气温上升了7℃．（3）用简单的语言描述这一年来月平均气温变化的总趋势．【解答】解：（1）八月份的月平均气温最高，一月份的月平均气温最低；（2）三月份到四月份气温上升最快，月平均气温上升了7摄氏度；（3）从图中看出，一至八月份气温呈上升趋势，从八月份开始气温逐渐下降．故答案为：八，一，三，四，7．。

湖南省长沙市2015年初中毕业学业水平考试数学试题(附答案)

长沙市2015年初中毕业学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．－5答案：C 【解析】本题考查无理数的概念，难度较小．根据无限不循环小数是无理数，得是无理数，故选C．2．下列运算中，正确的是（）A．x3÷x＝x4B．(x2)3＝x6C．3x－2x＝1 D．(a－b)2＝a2－b2答案：B 【解析】本题考查整式的运算，难度较小．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，x3÷x＝x3－1＝x2，A错；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，(x2)3＝x2³3＝x6，B正确；3x－2x＝(3－2)x＝x，C错；根据完全平方公式知(a－b)2＝a2－2ab＋b2，D错，故选B．3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑．据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85³105B．1.85³104C．1.8³105D．18.5³104答案：A 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a³10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．185000＝1.85³105，故选A．4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，难度较小．轴对称图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形绕对称中心旋转180度后与原图重合．选项A，C，D 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选B．5．下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边答案：D 【解析】本题考查几何图形的基本性质，难度较小．六边形的内角和是(6－2)³180°＝720°，A错；任意多边形的外角和都等于360°，与边数无关，B错；矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，C错；三角形任意两边的和大于第三边，D对，故选D．6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．先分别解出不等式组里的每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即解不等式①得x＞－2，解不等式②得x≤3，故不等式组的解集是－2＜x≤3，其在数轴上的表示应为A，故选A．【易错分析】看数轴时要特别注意实心点和空心圈．7．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差答案：C 【解析】本题考查数据的分析应用，难度较小．根据众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，对商家而言，理所当然关注鞋子尺码的众数，故选C．8．下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查答案：D 【解析】本题考查统计和概率的知识，难度较小．“打开电视机，正在播∠动物世界∴”这个事件可能发生，也可能不发生，它是随机事件，故A错误；“某种彩票的中奖”虽然概率很小，但它也是随机事件，买1000张，不一定中奖，故B错误；抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为二分之一，故C错误；“想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平”，调查数据大、范围广，宜采用抽样调查，故D正确．综上，故选D．9．一次函数y＝－2x＋1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C 【解析】本题考查一次函数图象的性质，难度较小．一次函数y＝－2x＋1，因为k＝－2＜0，b＝1＞0，所以直线呈下降趋势，且经过y轴正半轴上一点，即图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选C．10．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查钝角三角形高线的作图，难度较小．根据高线作法知BC边上的高应是过点A作BC的垂线，此时垂线与BC的延长线相交，交点是垂足，故选A．11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米答案：C 【解析】本题考查解直角三角形的应用，难度较小．在Rt△ABO中，∵，∴OA＝OB²tanα＝30tanα（米），故选C．12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元答案：B 【解析】本题考查一元一次方程的应用，难度中等．设该电器的标价是x元，则实际销售价是0.8x元，成本是(0.8x－500)元，因为利润率为20%，所以(0.8x－500)²20%＝500，解得x＝3750（元），所以标价是3750元，成本是0.8x－500＝2500（元），如果按同一标价打九折销售那么获得的纯利润为0.9³3750－2500＝875（元），故选B．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是_________．答案：【解析】本题考查概率公式，难度较小．摸出白球的概率．14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为_________（结果保留π）．答案：【解析】本题考查扇形的面积计算，难度较小．因为（其中n是圆心角，r是半径），所以．15．把进行化简，得到的最简结果是_________（结果保留根号）．答案：【解析】本题考查二次根式的化简，难度较小．．16．分式方程的解为_________．答案：x＝－5 【解析】本题考查解分式方程，难度较小．将方程的两边同时乘以最简公分母x(x－2)，化为整式方程得5(x－2)＝7x，解得x＝－5，经检验x＝－5是原分式方程的解，故原分式方程的解为x＝－5．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是_________．答案：18 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，难度较小．∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴，即，解得BC＝18．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为_________．答案：4 【解析】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的应用，难度中等．∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，由勾股定理得，又∵OD⊥BC，∴DO∥AC，∴△OBD∽△ABC，．∵AC＝8，∴OD＝4．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分6分）计算：．答案：本题考查实数的计算，难度较小．涉及的知识点有负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式．解：原式．（6分）20．（本小题满分6分）先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2．答案：本题考查整式的化简求值，难度较小．解：原式＝(x2－y2)－(x2＋xy)＋2xy＝x2－y2－x2－xy＋2xy＝xy－y2．（3分）∵x＝(3－π)0＝1，（4分）∴当x＝1，y＝2时，原式＝1³2－22＝2－4＝－2．（6分）21．（本小题满分8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝_________，b＝_________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在_________分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？答案：本题考查频数分布表与频数分布直方图的理解与应用、中位数、样本估计总体，难度较小．读出图中的隐含信息是解题的关键．解：（1）a＝60，b＝0.15．（2分）（2）如图．（4分）（3）中位数会落在80≤x＜90分数段．（6分）（4）（人），所以全校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优等”的大约有1200人．（8分）22．（本小题满分8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．答案：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数，难度较小．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOF≌△COF(AAS)．（4分）（2）如图．∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，∴AD＝AB，AC⊥BD于点O，，∴，∠CAD＝60°．又∵α＝30°，∴∠AEO＝90°，∴．又∵△AOE≌△COF，∴，∴．（8分）23．（本小题满分9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？答案：本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），难度较小．解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，则由题意可得10(1＋x)2＝12.1，（3分）解此方程得x1＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（5分）（2）12.1³(1＋0.1)＝13.31（万件），．因为，所以该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，23－21＝2（人）．答：该公司6月份至少需要增加投递业务员2人．（9分）24．（本小题满分9分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，)，点D 在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．答案：本题考查与圆有关的计算与证明，难度中等．涉及的知识点有勾股定理、垂径定理、三角函数、切线的判定与性质、求点的坐标．解：（1）解法一：因为∠AOB为直角，所以AB是⊙M的直径．因为，所以⊙M的半径为．（2分）解法二：过点M分别作OB，OA的垂线，垂足分别为点E，F，连接OM，利用勾股定理与垂径定理可得⊙M的半径为．（2分）（2）证法一：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．证法二：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．（5分）（3）因为AB为⊙M的直径，所以过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线．易求得，∠ECA＝∠EAC＝60°，所以△ECA为边长等于的正三角形．设点E坐标为(x，y)，，，所以点E坐标为．（9分）25．（本小题满分10分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？答案：本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质、求点的坐标、方程与函数的关系等，考查考生的阅读理解能力、分类讨论能力、逻辑推理能力，难度较大．解：（1）由题意可知“中国结”的横坐标x，纵坐标y均为整数，由于，显然x＝0时，y＝2．只要x取除零以外的整数时，y就不是有理数，此时y更不可能是整数，故一次函数的图象上只有一个“中国结”，其坐标为(0，2)．（3分）（2）由于的图象是关于原点对称的双曲线，由题意可知，该双曲线的每一支上各只有一个“中国结”．由于k＝xy，且k，x，y均是整数，结合整数的性质有①当k＞0时，k＝1＝1³1＝(－1)³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，1)，(－1，－1)；②当k＜0时，k＝－1＝1³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，－1)，(－1，1)．（6分）（3）解法一：由题意可知，当k≠1且k≠2时，关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，分解因式可以得到[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，从而所以消去k得到x2(x1＋2)＝－1．由于x1，x2是整数，所以必有或者所以或者（舍去），所以，此时．由其图象可以得到其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”．（10分）解法二：由题意可知关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，判别式Δ＝(2k2－4k＋1)2－4(k－1)(k－2)(k2－k)＝1，所以由求根公式可得或，余下同解法一．解法三：由上述方法得方程的两个根为由于x1，x2为整数，所以必有与均为非零整数，所以令（m，n均为非零整数），消去k得到，．由于m，n均为非零整数，所以必有1－m＝±1，从而m＝2，n＝－2，，余下同以上解法．解法四：由一元二次方程的根与系数关系可得余下同以上解法．26．（本小题满分10分）若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1＝c＝2，时，求x2与b的值；（2）当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．答案：本题考查二次函数的图象与性质、等边三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质、不等式组的解法，难度较大．解：（1）由题意可得c，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以，所以．又因为ac2＋bc＋c＝0(a＞0，c＞0)，所以．（3分）（2）△ABM不可能为等边三角形．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝2c，∴．又∵点A(2c，0)在对应的二次函数图象上，∴a(2c)2＋2bc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴若△ABM为等边三角形，则必有，将代入此式并化简可得，，∴或．显然与矛盾，从而△ABM不可能为等边三角形．（6分）（3）∵△BPO∽△PAO，∴，即，∴ac＝1．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝mc，∴．又∵点A(mc，0)在对应的二次函数图象上，∴a(mc)2＋bmc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴0＜m＜1．∵S1＝S2，∴，∴b2＝8，∴．∵m＞0，∴，∴，解得．∵0＜m＜1．∴．（10分）综评：本套试卷难度中等，命题指导思想明确，侧重双基，注重生活实际应用，试题基本覆盖了初中数学教学重点．一百分的基础分比较易得，压轴题第25，26题传承了2014年的命题趋势，最后一问都有一定的难度，集中展示数学丰富多彩的内涵和变化之美感，全面考查考生阅读理解，处理综合信息的能力，充分体现了中考的选拔功能．。

2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷(二)

号证考准名姓1在数据2，1，0，2中，最小的数是（）A．2B．1C．0D．22式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A．＞2B．≥2C．≤2D．＞23下列计算正确的是（）A．(2)+(3)=1B．35=2C．D．4某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：人数25131073成绩（分）5060708090100则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．70，70C．80，80D．75，805下列运算正确的是（）A．B．C．D．6如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．150°B．140°C．130°D．120°7如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若点C的坐标为（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）8下图是用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A B C D2015年长沙市初中毕业学业水平考试网上模拟试卷数学()二注意事项：本卷实行开卷考试.题次一二三四总分合计复分人得分得分评卷人复分人一、选择题（共12题，36分）题号123456789101112答案9若分式的值为0，则x的值为（）A．1B．0C．2D．1或210甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号的概率是（）A．1B．C．D．11观察下列各图，图中的小正方形是按一定的规律排列的．根据此规律，第10个图中小正方形的个数为（）A．80B．81C．82D．8312如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且DE=DF．若△DEF 的面积为y，BF的长为x，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A B C D二、填空题（共6题，18分）13、因式分解：=．14、2014年3月21日上午，我国新型导弹驱逐舰昆明舰举行入列仪式，正式加入人民海军战斗序列．昆明舰采用柴燃交替动力，配备2台QC208燃气轮机，单台功率37500马力．数据37500用科学记数法表示为．15、一副三角板如图所示放置，则∠AOB=．16、张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，但实际上这样的概率是．17、若x、y为实数，且，则的值为．18、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB的中点，EF交AC于点H，则的值为．三、解答题（共8题，66分）19、计算：．20、化简求值：，其中a=2015．21、某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的200名学生，调查的结果如下图所示．请根据该扇形统计图解答以下问题：(1)求图中的x的值；(2)求最喜欢乒乓球运动的学生人数；(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率22、如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．(1)、求证：△ABD∽△ACE；(2)、若△EBC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．23、某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇需要资金17400元；若购进10台空调和30台电风扇需要资金22500元．(1)、求挂式空调和电风扇的采购价格各是多少元．(2)、该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元．根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该业主希望当这两种电器销售完时，所获利润不少于3500?艄航沂娇盏?m台，请求出m 的取值．24、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．(1)、求证：△APE∽△ADQ；(2)、设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）25、一服装经销商购进了女童装和男童装两种服装各100套，女童装的进价是每套68元，男童装的进价是每套78元．将这200套衣服分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售．预计每套衣服的售价情况如下表：女童装男童装甲店118元148元乙店138元108元有两种配货方案（整箱配货）：方案一：甲、乙两店各配货100套，其中女童装两店各50套，男童装两店各50套；方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中女童装甲店_________套，乙店__________套；男童装甲店_________套，乙店__________套．(1)、如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元．(2)、请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？(3)因为乙店比甲店多一名雇员，需多开680元工资．在保证乙店盈利比甲店多680元的条件下，请你设计出使经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利．26、在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．(1)、当点P移动到点D时，求出此时t的值；(2)、当t为何值时，△PQB为直角三角形；(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）．请问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．。

2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷

2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷数学（二）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．-1，0，2，-3这四个数中最大的是 A ．-1 B ．0 C ．2 D ．-3 2．“比a 的2倍大1的数”用代数式表示是 A ．2(a ＋1) B ．2(a -1) C ．2a ＋1 D ．2a -1 3．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是 A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 4．因式分解x 2y -4y 的正确结果是 A ．y (x +2)(x -2) B ．y (x +4)(x -4)C ．y (x 2-4) D ．y (x -2)2 5．将点A (2，1)向左．．平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是 A ．(0，1)B ．(2，-1)C ．(4，1)D ．(2，3)6x 的取值范围为A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ≥12-D ．x ≤12-7．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列结论一定正确的是 A ．∠HGF = ∠GHE B ．∠GHE = ∠HEF C ．∠HEF = ∠EFG D ．∠HGF = ∠HEF8．已知3是关于x 的方程2x -a =1的解，则a 的值是 A ．-5 B ．5 C ．7 D ．2 9．五边形的外角和等于 A ．180° B ．360° C ．540° D ．720°10．若点A 的坐标为(6，3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ＇，则点A ＇的坐标为第7题图第12题图第11题图A ．(3，-6)B ．(-3，6)C ．(-3，-6)D ．(3，6)11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A (-2,4)，B (4，2)，直线y =kx -2与直线AB 有交点，则k 的值不可能是A ．-5B ．-13C ．3D ．512．如图，表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10．若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为 A．22-B ．16π＋ C ．18 D ．19二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．一天有86 400秒，用科学记数法表示为秒． 14．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB =100°，则∠ACB = 度．15．点1(2)A y ，、2(3)B y ，是二次函数221y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为1y 2y .16．在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB =OB =4，则AD = . 17．如果x 1与x 2的平均数是4，那么x 1＋1与x 2＋5的平均数是．18．如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分） 19．计算：1012cos30(3)2π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．20．先化简，再求值：(x ＋1)2-(x ＋2)(x -2)＜xx 是整数．21．又到了暑假，学校组织老师分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，学校按老师数量购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：（1）若去D 地的车票占全部车票的10%，请求出D 地车票的数量，并补全统计图；（2）若学校采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么张老师抽到去A 地的概率是多少？（3）若有一张车票，王老师和李老师都想要，第18题图第14题图决定采取抛掷一枚各面分别标有1、2、3、4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若王老师掷得着地一面的数字比李老师掷得着地一面的数字小，车票给王老师，否则给李老师．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的角平分线．（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．我校初三2班在学校商店购买一些学习用品用作奖励，第一次用32元买了4支水性笔和6本笔记本；第二次用56元买了同样的水性笔12支和笔记本8本.（1）求每支水性笔和每本笔记本的价格；（2）期中考试后，班主任拿出100元奖励基金交给班长，购买上述价格的水性笔和笔记本共30件作为奖品，奖给期中考试表现突出的同学，要求笔记本数不少于水性笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.24．如图，CD切⊙O于点C，作⊙O的直径AB．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径OA=3 cm，EC=4 cm，求GF的长．25．已知二次函数2(1)1(0)=-++>．y ax a x a（1）当a=1时，求二次函数2(1)1(0)=-++>的顶点坐标和对称轴；y ax a x a（2）二次函数2(1)1(0)=-++>与x轴的交点恒过一个定点，求出这个定点．y ax a x a（3）当二次函数2(1)100=-++>>时，x在什么范围内，y随x的增大而减小？y ax a x a()26．如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C（0，-2）．以AB为直径作⊙M，过AC作直线，P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交y轴于Q点．（1）求抛物线所对应的函数的解析式及直线AC的解析式；（2）当P点在抛物线上运动时，直线PQ与抛物线只有一个交点，求交点的坐标；（3）D是⊙M上一点，连接AD和CD，当△ACD的面积最大时，求D点的坐标，此时△ACD的面积是多少？数学（二）参考答案及评分标准13．8.64×104 14．50 15．＜16．17．7 18．2 三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）19．解：112cos3032π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（-）=2-+1=2-++1=320．解：原式=x 2＋2x +1- (x 2-4)=2x +5＜x x 是整数， ∴x =3，∴原式=2×3＋5=1121．解：（1）设D 地车票有x 张，则x ＝(x +20+40+30)×10% 解得x ＝10.即D 地车票有10张. 统计图见右图.（2）张老师抽到去A 地的概率为2020403010+++＝15.李老师掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴王老师掷得数字比李老师掷得数字小的概率为616＝38.则王老师掷得数字不小于李老师掷得数字的概率为318-＝58.所以这个规则对双方不公平.22．（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，∴∠FAC ＝∠B ＋∠BCA ＝2∠B ， ∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAD ＝∠B ， ∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DCE ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝∠DCE ， ∴∠D ＝∠ACD ，∴AC ＝AD .（2）证明：∵∠B ＝60°，∴∠ACB ＝60°，∠FAC ＝∠ACE ＝120°，∴∠DCE ＝∠B ＝60°，∴DC ∥AB ,∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又由（1）知AC ＝AD ，∴AB ＝AD ， ∴四边形ABCD 是菱形．23．解：（1）设每支水性笔x 元，每本笔记本y 元．463212856x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩．答：每支水性笔2元，每本笔记本4元. （2）设买水性笔a 支，则买笔记本(30－a )本．24(30)10030a a a a +-≤⎧⎨≤-⎩，解得：10≤a ≤15．所以，一共有6种方案，即购买水性笔、笔记本的数量分别为：10,20；11,19；12,18；13,17；14,16；15,15.24．（1）证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°． ∴∠OCA+∠ACD =90°．∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ．∵∠DAC =∠ACD ，∴∠OAC +∠CA D=90°． ∴∠OAD =90°．∴AD 是⊙O 的切线．（2）解：连接BG 、OC .∵OC =3 cm ，EC =4 cm ， ∴在Rt △CEO 中，OE．∴AE =OE +OA =5+3=8．∵AF ⊥ED ，∴∠AFE =∠OCE =90°，∠E =∠E ．∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ． ∴AF OC = AE OE ．即：583=AF ．∴AF =4.8．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB =90°．∴∠AGB =∠AFE ． ∵∠BAG =∠EAF ，∴Rt △ABG ∽Rt △AEF ． ∴AG AF = AB AE ，即：64.88AG =.∴AG =3.6．∴GF =AF -AG =4.8-3.6=1.2(cm)．25．解：（1）当a =1时，y =x 2-2x +1=(x -1)2， ∴顶点：(1，0)，对称轴：x =1．（2）2(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--=，∴1211x x a==，，∴恒过(1，0)点.（3）∵2(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--＞， ∴1010x ax ⎧⎨⎩-＞-＞或1010x ax ⎧⎨⎩-＜-＜.①当1a≤1时，即a ≥1时，不等式1010x ax ⎧⎨⎩-＞-＞的解集为：x ＜1a或x ＞1；如图1，此时，当x ＜1a时，函数y 随x 的增大而减小.②当1a≥1时，即0＜a ＜1时，不等式1010x ax ⎧⎨⎩-＜-＜的解集为：x ＜1或x ＞1a ；如图2，此时，当x ＜1时，图1图2函数y 随x 的增大而减小.26．解：（1）设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x -2)，∵经过C(0, -2)，代入得，-2=a (0+1)(0-2)，∴a =1．∴抛物线的函数关系式为y ＝(x ＋1)(x -2)或y =x 2-x -2 . 设直线AC 的解析式为y =kx +b. 把A (-1，0)、C (0，-2)两点代入，解得：k =-2，b =-2.∴直线AC 解析式为: y =-2x -2 （2）∵AC ∥PQ ,∴直线PQ 解析式的k =-2. 设：PQ 的解析式为：y =-2x +m∴222y x my x x =-+⎧⎨=--⎩. 消去y ，得： x 2+x -m -2=0 ∵ PQ 与抛物线相切， ∴∆=12-4×(-m -2)=0.∴ 94m =-.此时，1112x x ==-，54y =-，∴切点15(,)24P --.（3）设PQ 切⊙M 于优弧D 点，D 点为所求，此时，△ACD 面积最大.过D 作DH ⊥x 轴于点H ，连接MD ，∴MD ⊥PQ ，MD =12AB =32.∵AC ∥PQ ，∴DE ⊥AC ，∴∠AED =∠AOC =90︒，又∵∠EAM =∠CAO ，∴∠AME =∠ACO ，又∵∠AME =∠DMH ，∴∠DMH =∠ACO ，∠DHM =∠AOC =90︒.∴△MDH ∽△CAO∴DH MH MDOA OC AC==即，312DH MH==∴ DH ，MH .∴ OH =12+.∴切点D 的坐标(12延长DM 交AC 于点E ，∴DE ⊥AC.∵ △DMH ≌△AEM ，∴ ME =MH ．∴DE =3.∴S △ACD 1133(2222AC DE =⨯⨯=+=.。

2015年长沙中考数学模拟试卷------全8套

售价(元/件)
20
45
（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，
且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最
大的购货方案.
24．如图，已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D， E 为 BC 边的中点，连接 DE．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接 OE，当∠CAB 为何值时，四边形 AOED 是平行四边形？（3）请在（2）的条件下探索 OBED 的形状.
25．已知：如图①，在 Rt△ACB 中，C 90 ， AC 4 cm ， BC 3 cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s；连接 PQ ．若设运动的时间为 t(s) （ 0 t 2 ），解答下列问题：
考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共 26 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分。
16．如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为
___________．
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
17．如图，等腰△ABC 的周长为 27 cm，底边 BC＝7 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点
D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为
C．2a＋1

湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷

湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×1092．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．03．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=44．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n25．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣210．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．211．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 3 2（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×109考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将122亿用科学记数法表示为1.22×1010．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．0考点：代数式求值．专题：计算题．分析：原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵2a﹣b=3，∴原式=9﹣2（2a﹣b）=9﹣6=3，故选A点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4考点：解分式方程．分析：首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．解答：解：，去分母得：3x﹣3=2x，移项得：3x﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3，故选：C．点评：此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方．4．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、2a和2不能合并，故本选项错误；B、结果是b6，故本选项错误；C、结果是c5，故本选项正确；D、结果是m2﹣2mn+n2，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力，难度不是很大．5．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④考点：简单组合体的三视图．分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，可得答案．解答：解：从左面看下面是一个长方形，上面是一个长方形，故③符合题意，从上面看左边一个长方形，中间一个长方形，右边一个长方形，故②符合题意．故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm考点：弧长的计算；平行四边形的性质；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据平行四边形的性质得到OD=OB=BD=2，然后根据弧长公式计算即可．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB=BD=2，∴点D所转过的路径长==π（cm）．故选D．点评：本题考查了弧长的计算：弧长=（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了平行线四边形的性质以及旋转的性质．8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．解答：解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．点评：难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣2考点：一元二次方程的解．专题：待定系数法．分析：把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．解答：解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，∴22+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．11．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查考点：随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．解答：解：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；C．神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．故选：D．点评：本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD考点：射影定理．分析：先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．解答：解：∵∠BAD=∠C，而∠ABD=∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC=BD：AB，∴AB2=BC•BD．故选C．点评：本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：﹣的相反数是，故答案为：．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为0.5．考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把x=1代入方程求出m的值即可．解答：解：把x=1代入方程得：1﹣2m=0，解得：m=0.5，故答案为：0.5点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为：3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（﹣）0=1，（）﹣1=2，按照实数的运算法则依次计算．解答：解：原式=1﹣4××+2×=1﹣+2=1+．点评：本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1；a﹣p=．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先化简分式，再把a=2代入化简后的式子计算即可．解答：解：，当a=2时，原式=2×2=4．点评：本题考查了分式的化简求值．注意除以一个数等于乘以这个数的倒数．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 4 3 2 1（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．考点：方差；统计表；扇形统计图．分析：（1）根据统计表（图）中提供的信息，可列式得命中环数是7环的次数是10×10%，10环的次数是10﹣3﹣2﹣1，再分别求出命中环数是8环和10环的圆心角度数画图即可，（2）先求出甲运动员10次射击的平均成绩和方差，再与乙比较即可．解答：解：（1）命中环数是7环的次数是10×10%=1（次），10环的次数是10﹣3﹣2﹣1=4（次），命中环数是8环的圆心角度数是；360°×=72°，10环的圆心角度数是；360°×=144°，画图如下：故答案为：4，1；（2）∵甲运动员10次射击的平均成绩为（10×4+9×3+8×2+7×1）÷10=9环，∴甲运动员10次射击的方差=[（10﹣9）2×4+（9﹣9）2×3+（8﹣9）2×2+（7﹣9）2]=1，∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去．点评：本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．解答：解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16（km）．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12（千米/小时）．（2）能．理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．∴AS=8cos30°=8×=12（km）．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20（km）．∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得：ST=8（km）．所以AT=12+8=20（km）．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．点评：此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）先设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据搭配一个A 种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元，园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元，列出方程组，求出x，y的值即可；（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出符合题意的搭配方案．解答：解：（1）设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据题意得：，解此方程组得：，答：A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据题意得：，解此不等式组得：31≤a≤33，∵a是整数，∴符合题意的搭配方案有3种，如下：A种园艺造型（个）B种园艺造型（个）方案1 31 19方案2 32 18方案3 33 17点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组和不等式组，注意a只能取整数．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线D E 平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证．（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形（AB=BC）．再通过△ABC为等腰三角形（AB=BC）论证以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形．解答：解：（1）连接OD、OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC（三角形中位线性质），∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），∵OA=OD∴∠A=∠ODA∴∠DOE=∠BOE（等量代换）∵OD=OB，OE=OE∴△ODE≌△OBE（边角边）∴∠ODE=∠OBE∵DE是⊙O的切线∴∠ODE=∠OBE=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），∵AB=BC，∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，∵OD=OB，∴四边形OBED为正方形．点评：此题是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC 得出结论．第二问关键是通过以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形推出△ABC为等腰三角形（AB=BC）．然后加以论证．25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式=，求出t的值；（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系=求得PD，从而S可求出，S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴=，即=，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴=，即=，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又∵PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，∴P（4，3）．又∵AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．。

2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷(1)

2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷（1）一、选择题（共12题，36分）1、-3的绝对值是（）A．B． 3 C．D．32、三角形两条边分别为3和7，则第三边可以为（）A．2 B．3 C．9 D．103、下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4、有一组数据：2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（）A．平均数为4 B．中位数为3 C．众数为2 D．极差是55、如图，已知直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B，且∠1=110°，则∠2=（）A．70°B．110°C．30°D．150°6、两个相似多边形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为（）A．1∶3 B．1∶9 C．1∶D．2∶37、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB为（）A．70°B．20°C．140°D．35°8、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）A．B．C．D．第9题如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（）A．B．C．D．10、如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，轴于B，且的面积为2，则k的值为（）A．4 B．-4 C．2 D．-211、已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=2；④若d=1，则m=3；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．512、若正比例函数y=mx(m≠0)，y随x的增大而减小，它和二次函数的图象大致是（）A B C D二、填空题（共6题，18分）13、计算：= ．14、在0，1，2这三个数中任选两个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，则P 点落在直线图象上的概率是．15、分式方程的解为．16、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD∶BD＝2∶3，则S△ADE︰S四边形DBCE= ．17、一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为___________．18、已知当x1=a、x2=b、x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1、y、y3，若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有2y＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．1三、解答题（共8题，66分）19、计算：．20、解不等式组21、我校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取我校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特；B．世界之窗；C．韶山；D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：(1)、我校共调查了名学生；(2)、将两幅统计图中不完整的部分补充完整；(3)、若我校共有学生2500人，请估计我校最喜欢去韶山的人数．22、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．(1)、求∠B的大小；(2)、已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．23、甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：购苹果质量不超过30千克30千克以上但不超过50千克50千克以上每千克价格3元 2.5元2元甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付了189元，而乙班则一次购买苹果70千克．(1)、乙班比甲班少付多少元？(2)、甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？24、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．(1)、求证：△BDG∽△DEG；(2)、若EG·BG=4，求BE的长．25、如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)、请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；(2)、若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)、如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．26、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+m与坐标轴y轴交于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线为y=x2+nx-8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．(1)、求抛物线的解析式；(2)、当DE=12时，求四边形CAEB的面积；(3)、是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

2015年北师大版数学中考模拟试卷(6)

17．如图，正方形 ABCD内接于⊙ O，点 P 在弧 AD 上，
则∠ BPC（
）。
（ A） 35°
（ B） 40°
（ C） 45°
（ D） 50°
18．若两圆有且只有两条公切线 , 则这两圆的位置关系
是（
）。
2
）。
（ A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（D）第四象限
11．下列方程中，无实数根的方程是（
）。
（ A） x 2 1 0
（ B） x 2 x 0
（ C） x 2 x 1 0
（ D） x 2 x 0
12．如图，若 DE是△ ABC的中位线，△ ABC的周长为
1，则△ ADE的周长为（
）。
2015 年中考数学模拟卷（ 6）
说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷满分为
100 分，第Ⅱ卷满分为
50 分，共 150 分，全卷共九大题。
第Ⅰ卷
一、选择答案（本题共有 18 小题，每小题满分 2 分，共 36 分是符合题意的。所有选择题必须在答
案卡上用规定的铅笔作答，选错、不选、多选或涂改不清的，均不给分。
1． 5 的平方根是（
）。
（ A） 25
（B） 25
（ C） 5
（ D） 5
2．设甲数是 x ，若甲数是乙数的 2 倍，则乙数是（
）。
（ A） 1 x 2
（B） 2 x
（ C） 1 x 3
（ D） 3x
3．下列函数中 , 自变量 x 的取值范围为 x≥ 3 的是（
）。
（ A） y
x 3 （ B） y
6．已知 a＞ b，则下列不等式中，正确的是（
）。
（ A）― 3a＞― 3b （ C） 3－ a＞ 3－ b

湖南省长沙市2015年高考模拟数学理试题(含解析)

绝密★启用前2015年长沙市高考模拟试卷理科数学满分：150分时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足i i21=+z，则 z = A ．i 2+-B ．i 2--C ．i 2+D ．i 2-2．设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅”是“,a b 夹角为钝角”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知 9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为 A ．10万元 B ．15万元 C ．20万元D ．25万元4．执行如右图所示的程序框图,若输出s 的值为22，那么输入的n 值等于 A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(),()0,1,1,,10,1(),A B C D ππ--，正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 A ．π21+B ．π221+C ．π1D ．π216. 设函数f （x ）=sin （2ϕ+x ）+3cos （2ϕ+x ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<2||πϕ，且其图象关于直线x =0对称，则 A ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为增函数B ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为增函数C ．y =f （x ）的最小正周期为π，且在（0，2π）上为减函数D ．y =f （x ）的最小正周期为2π，且在（0，4π）上为减函数7. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆P 在椭圆上且满足221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是ABCD 8. 已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2x b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为 A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题及参考答案

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题及参考答案DA、14B、23C、33D、8、如图，D为等腰三角形ABC底边AB列等式恒成立的是（）A、0=⋅B、0=⋅C、0=⋅=⋅9、将函数xy sin=的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（）A、⎪⎭⎫⎝⎛+=3sinπxy B、⎪⎭⎫⎝⎛-=3sinπxy C、⎪⎭⎫⎝⎛+=32sinπxy D、⎪⎭⎫⎝⎛-=32sinπxy10、如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为（）A、32B、54C、56D、34二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11、比较大小：5log23log2（填“>”或“<”）12、已知圆()422=+-yax的圆心坐标为()0,3，则实数=a13、某程序框图如图所示，若输入的b a,，4，5，则输出的y值为14、已知角α的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，，则=αcos15、如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、 C 之间的距离是100米，︒=∠105BAC ，︒=∠45ACB ，则A 、B 两点之间的距离为米。

三、解答题（共5小题，满分40分） 16、（6分）已知函数()[]()6,2,-∈=x x f y 的图象如图，根据图象写出：（1）函数()x f y =（2）使()1=x f 的x 值。

Ax17、（8分）一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图），（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率。

18、（8分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D D 1底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，450011025669且AB=1，21=D D（1）求直线B D 1与平面ABCD 所成角的大小；（2）求证：AC 平面D D BB 1119、（8分）已知向量()()R x x b x a ∈==,1,cos ,1,sin，（1）当4π=x 时，求向量+的坐标；（2）若函数()mx f ++为奇函数，求实数m 的值。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷(理科)(Word版含解析)

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∪D．上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一∴复数e的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．解答：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：A、用线面垂直的性质定理判断；B、用线面垂直的性质定理判断；C、用面面垂直的判定定理证明D、通过空间几何体模型观察．解答：解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α=m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z考点：余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．解答：解：函数=cos2x，因为y=cosx的单调减区间为：k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性，注意正确应用基本函数的单调性是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．解答：解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥，由线面垂直的判定，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形，故可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO=O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与PAD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选C点评：本题为三视图的还原问题，只要作出原几何体，理清其中的线面关系即得的答案，属于基础题．7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．10．（5分）已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），若函数y=f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪D．所以：a的取值范围为：故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，基本不等式的应用，及相关的运算问题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3=0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C被l截得弦长为2．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为普通方程，两方程联立，求得弦长|AB|的端点坐标，即得|AB|的大小．解答：解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2=4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3=0…②；由①、②解得x1=2+，x2=2﹣，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|（2+）﹣（2﹣）|=2．故答案为：2．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再来解答，是基础题．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=，再利用勾股定理，即可求出BC的长．解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD=2，AE=1，∴，∴r=，∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2=AC2，∴CB2+42=（2+CB）2，∴CB=3．故答案为：3．点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据A+B+C=π和基本不等式求出的最小值，进而可得到的最小值．解答：解：A+B+C=π，且，因此，当且仅当，即A=2（B+C）时等号成立．故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的用法，应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”．14．（4分）|x2﹣1|dx=2．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义，将原式化成（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx，再利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，进行计算即可．解答：解：原式=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）==2．故答案为：2．点评：本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用区间去绝对值符号也是注意点，属于基础题．15．（4分）已知双曲线=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为y=±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴=e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|=2|AB|，∵|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB，∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴=，即c2=a2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由=联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．16．（5分）若，z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y 进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈上的零点．考点：正弦函数的单调性；函数的零点；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=0求得sin（x﹣）=，可得x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈上的零点．解答：解：（1）函数f（x）=•=sin cos﹣=sinx﹣=sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为，k∈z．（2）由f（x）=sin（x﹣）﹣=0，求得sin（x﹣）=，∴x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，即x=2kπ+或x=2kπ+π，∴函数f（x）在x∈上的零点为和π．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A 在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得出结论．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以min=g（x0）=x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。

2015年长沙市模拟试卷理科试卷解析

2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷理科综合注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共八大题，考试时量120分钟，满分200分。

姓名：班级：计分：一、选择题(本大题包括27个小题，每小题3分，共81分。

每小题只有1个选项符合题意。

)1．日常生活的下列变化中与其他两种变化不同的是的是A．粮食酿酒B．米饭变馊C．铁锅生锈D．冰融化成水2．水是宝贵的自然资源，下列有关水的认识中错误．．的是A．水是维持人类生命和健康的营养素之一B．电解水的实验证明水是由氢元素和氧元素两种元素组成的C．水中氢元素和氧元素的质量比为1:8D．电解水是正极产生的是氢气3．下列实验操作不正确．．．的是A B C D4．下列关于空气的说法正确的是A．空气是一种纯净物B．空气中的氮气可作为生产氮肥的原料C．空气中的稀有气体没有任何使用价值D．空气中的氧气支持燃烧，所以氧气是一种常见的燃料5．化学与生活密切相关，生活中的下列做法不合理．．．的是A．用白醋除热水瓶中的水垢B．洗洁精可乳化餐具上的油污C．用氢氧化钠溶液中和酸性土壤D．用燃烧法区分羊毛制品和纯棉制品6．下列有关碳和碳的氧化物的说法不正确．．．的是A．金刚石、石墨和C60均为碳元素的单质B．CO2可用于灭火C．CO易溶于水生成酸D．干冰可用于人工降雨7．二氧化氯（ClO2）是一种黄绿色到橙黄色的气体，是国际上公认为安全、无毒的绿色消毒剂。

其中氯元素的化合价是A.+1B.+2C.-4D.+48．下列各组物质能发生化学反应，但反应现象不明显的一组是A．氢氧化钾溶液与稀盐酸B．氯化铁溶液与氢氧化钠溶液C．硫在空气中点燃D．光亮的细铁丝在氧气中点燃9．下列有关金属和金属材料的说法正确的是A．生铁是纯净物B．金属材料包括纯金属和合金C．铝是活泼金属，所以铝制品在空气中易腐蚀D．金属材料严重锈蚀后不值得回收10．下列各组括号内除杂质的试剂或方法错误．．的一组是A．O2中混有少量的水蒸气（浓硫酸）B．CaO中混有CaCO3（高温煅烧）C．铜粉中混有少量铁粉（稀硫酸，过滤）D．KCl溶液中混有少量MgCl2（适量NaOH溶液，过滤）11．探究露置在空气中氢氧化钠溶液是否变质，下列试剂不能成功的是A. 氢氧化钡溶液B. 盐酸C. 酚酞试液D.氯化钡溶液12．结合你的生活经验和所学的化学知识，判断下列叙述不正确．．．的是A．白菜上喷洒甲醛溶液以使白菜保鲜B．蔬菜、水果能提供和补充多种维生素C．铵态氮肥和草木灰（含K2CO3）不能混合使用D．加油站严禁吸烟13．下列说法中不正确．．．的是A．原子的质量主要集中在原子核上B．原子不显电性，是因为原子中不存在带电的粒子C．不同元素最本质的区别是质子数不同D．原子得到或失去电子就变成离子14．根据下列各组提供的试剂，判断不能．．发生反应的一组是A．Na2SO4溶液和Ba(NO3)2溶液B．NaOH溶液和稀硫酸C．KNO3溶液和CaCl2溶液D．Na2CO3溶液和稀盐酸15．比较推理是化学学习中常用的思维方法，下列有关物质的比较推理中正确的是A．因为碱溶液呈碱性，所以呈碱性的溶液一定是碱溶液。

2015学年湖南省长沙中考数学年试题

数学试卷第1页（共6页）数学试卷第2页（共6页）绝密★启用前江苏省南京市2015年初中毕业生学业考试数学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共12分)一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算|53|-+的结果是 ( ) A .2- B .2 C .8- D .8 2.计算32()xy -的结果是( )A .26x yB .26x y -C .29x yD .29x y - 3.如图,在ABC △中,DE BC ∥,12AD DB =,则下列结论中正确的是( )A.AE AC =B .2DE DB = C .1=3ADC ABC △的周长△的周长 D .1=3ADC ABC △的面积△的面积 4.某市2013年底机动车的数量是6210⨯辆,2014年新增5310⨯辆.用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )A .52.310⨯辆B .53.210⨯辆C .62.310⨯辆D .63.210⨯辆 5.( )A .0.4与0.5之间B .0.5与0.6之间C .0.6与0.7之间D .0.7与0.8之间6.如图,在矩形ABCD 中,4AB =,5AD =,AD ,AB ,BC 分别与O 相切于E ,F ,G 三点,过点D 作O 的切线交BC于点M ,切点为N ,则DM 的长为 ( ) A .133 B .92CD.第Ⅱ卷(非选择题共108分)二、填空题(本大题共10小题,每小2分,共20分.把答案填写在题中的横线上) 7.4的平方根是；4的算术平方根是 .8.,则x 的取值范围是 .9.的结果是 . 10.分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 .11.不等式组211,213x x +⎧⎨+⎩＞-＜的解集是 .12.已知方程230x mx ++=的一个根是1,则它的另一个根是 ,m 的值是 .13.在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,3)-,作点A 关于x 轴的对称点,得到点A ',再作点A '关于y 轴的对称点,得到点A '',则点A ''的坐标是( , ).14.某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示.现该工程队进行了人员调整：减少木工2名,增加电工、瓦工各1名.与调整前相比,该工程队员工月工资的方差 (填“变小”“不变”或“变大”).15.如图,在O 的内接五边形ABCDE 中,35CAD ∠=,则B E ∠+∠= o .16.如图,过原点O 的直线与反比例函数1y ,2y 的图像在第一象限内分别交于点,A B ,且A 为OB 的中点.若函数11y x=,则2y 与x 的函数表达式是 .毕业学校_____________ 姓名________________考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共6页）数学试卷第4页（共6页）三、解答题(本大题共11小题,88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分) 解不等式2(1)132x x +-+≥,并把它的解集在数轴上表示出来.18.(本小题满分7分)解方程233x x=-.19.(本小题满分7分)计算：22221()aa b a ab a b-÷--+.20.(本小题满分8分)如图,ABC △中,CD 是边AB 上的高,且AD CDCD BD=. (1)求证：ACD CBD △∽△； (2)求ACB ∠的大小.21.(本小题满分8分)为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况,教育部门从这三类学生群体中各抽取了10％的学生进行检测.整理样本数据,并结合2010年抽样结果,得到下列统计图.2014年某地区抽样学生人数分布扇形统计图2010年、2014年某地区抽样学生50米跑成绩合格率条形统计图(1)本次检测抽取了大、中、小学生共名,其中小学生名；(2)根据抽样的结果,估计2014年该地区10万名大、中、小学生中,50米跑成绩合格的中学生人数为名；(3)比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况,写出一条正确的结论.22.(本小题满分8分)某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张.从中随机取出2张纸币. (1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.23.(本小题满分8分)如图,轮船甲位于码头O 的正西方向A 处,轮船乙位于码头O 的正北方向C 处,测得45CAO ∠=.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h 和36km/h .经过0.1h ,轮船甲行驶至B 处,轮船乙行驶至D 位,测得58DBO ∠=,此时B 处距离码头O 有多远？(参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60≈≈≈)24.(本小题满分8分)如图,AB CD ∥,点,E F 分别在,AB CD 上,连接EF .,AEF CFE ∠∠的平分线交于点G ,,BEF DFE ∠∠的平分线交于点H .(1)求证：四边形EGFH 是矩形.(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN EF ∥,分别交,AB CD 于点,M N ,过H 作PQ EF ∥,分别交,AB CD 于点,P Q ,得到四边形MNQP .此时,他猜想四边形MNQP 是菱形,请在下列框图中补全他的证明思路.小明的证明思路数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）25.(本小题满分10分)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,请画出以A 为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD 的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求：只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3).26.(本小题满分8分)如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ,且DC DE =.(1)求证：A AEB ∠=∠.(2)连接OE ,交CD 于点F ,OE CD ⊥.求证：ABE △是等边三角形.27.(本小题满分10分)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等.下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1y (单位：元)、销售价2y (单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系.(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大？最大利润是多少？毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。

2015年湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ＝cosθ+i sinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||＝||＝1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．[1，2）D．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝lg （x2﹣ax+10），若函数y＝f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣6]D．[6，2）二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3＝0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C 被l截得弦长为．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，则BC的长为．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．14．（4分）|x2﹣1|dx＝．15．（4分）已知双曲线＝1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．16．（5分）若，z＝x+2y，则z的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量＝（cos，﹣1），＝（sin，cos2），设函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈[0，π]上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：（1）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（2）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布及数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC ＝2．（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．20．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，数列{}是首项为0，公差为的等差数列．，b2k，b2k+1}（1）设b n＝•（﹣2）n（n∈N*），对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（2）对（1）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2＝4k，求椭圆方程．22．（13分）已知函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．2015年湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ＝cosθ+i sinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i【解答】解：由e iθ＝cosθ+i sinθ，得e＝，∴复数e的虚部为．故选：B．2．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”说明p．q都是真命题，推不出￢p是真命题，反之￢p是真命题则p是假命题，则p∧q是假命题，所以“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β【解答】解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α＝m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选：D．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z【解答】解：函数＝cos2x，因为y＝cos x的单调减区间为：[2kπ，π+2kπ]k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16B．8C．4D．2【解答】解：开始条件i＝2，k＝1，s＝1，i＜8，开始循环，s＝1×（1×2）＝2，i＝2+2＝4，k＝1+1＝2，i＜8，继续循环，s＝×（2×4）＝4，i＝6，k＝3，i＜8，继续循环；s＝×（4×6）＝8，i＝8，k＝4，8≥8，循环停止，输出s＝8；故选：B．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个【解答】解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO＝O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面P AD，可证AB⊥AP，故△P AB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面P AD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与P AD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选：C．7．（5分）已知两不共线向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||＝||＝1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等【解答】解：由模长公式可得＝＝1，＝＝1，即＝，故A正确；∵（）•（）＝||2﹣||2＝0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞＝α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选：C．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．[1，2）D．【解答】解：当q＝1时，S2n＜3S n成立当q≠1时，由S2n＜3S n恒成立∴∵q＞1，显然不恒成立，则q2n﹣3q n+2＜0，解得q n＜1（q n＞2舍去），∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q＞0，∴0＜q＜1综上可得0＜q≤1故选：A．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx+2的距离为d，则d＝≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．10．（5分）已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝lg （x2﹣ax+10），若函数y＝f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣6]D．[6，2）【解答】解：要使函数f（x）有意义，只需满足x2﹣ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＜由基本不等式：故：其次：要使函数f（x）的值域为R，只需满足f（x）＝lg（x2﹣ax+10）≥0，即可．故：x2﹣ax+9≥1在[0，+∞）上有解，由a≥≥6得到a≥6，所以：a的取值范围为：故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3＝0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C 被l截得弦长为2．【解答】解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2＝4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3＝0…②；由①、②解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴弦长|AB|＝|x1﹣x2|＝|（2+）﹣（2﹣）|＝2．故答案为：2．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，则BC的长为3．【解答】解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA＝90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD＝2，AE＝1，∴，∴r＝，∵∠B＝90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2＝AC2，∴CB2+42＝（2+CB）2，∴CB＝3．故答案为：3．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．【解答】解：A+B+C＝π，且，因此，当且仅当，即A＝2（B+C）时等号成立．故答案为：．14．（4分）|x2﹣1|dx＝2．【解答】解：原式＝（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx＝（x﹣x3）+（x3﹣x）故答案为：2．15．（4分）已知双曲线＝1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线＝1（b＞0，a＞0）的两条渐近线方程分别为y＝±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴＝e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|＝2|AB|，∵|AB|2＝（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）＝（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|＝2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|＝2|AB|，∴|OA|＝|AB|，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB＝而由对称性可知：OA的斜率为k＝tan∠AOB，∴＝，∴2k2+3k﹣2＝0，∴k＝（k＝﹣2舍去）；∴＝，∴＝，即c2＝a2，∴e＝＝．故答案为：．16．（5分）若，z＝x+2y，则z的取值范围是．【解答】解：作出可行域如图所示，可得直线l：z＝x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z＝x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z＝x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max＝＝．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量＝（cos，﹣1），＝（sin，cos2），设函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈[0，π]上的零点．【解答】解：（1）函数f（x）＝•＝sin cos﹣＝sin x﹣＝sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z．（2）由f（x）＝sin（x﹣）﹣＝0，求得sin（x﹣）＝，∴x﹣＝2kπ+，或x﹣＝2kπ+，即x＝2kπ+或x＝2kπ+π，∴函数f（x）在x∈[0，π]上的零点为和π．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：（1）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（2）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布及数学期望．【解答】解：（1）设“至少有一人来自第二组”为事件A，由P（A）＝1﹣＝．（2）由题意A的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC ＝2．（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°∴B1C1⊥A1C1又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1（1分）∴B1C1⊥平面ACC1A1．∴B1C1⊥CD（2分）由AA 1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点，可知，∴DC2+DC12＝CC12＝4即CD⊥DC1（4分）又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD故平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）（Ⅱ）解：当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．（7分）假设在AA1上存在一点D满足题意，由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD所以∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角（8分）∴∠B1EC1＝60°由B1C1＝2知，（10分）设AD＝x，则∵△DCC1的面积为1∴解得，即∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．即（2分）由得由得（4分）又DC1∩C1B＝C1∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD∴平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）（Ⅱ）当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．（7分）设AD＝a，则D点坐标为（1，0，a），设平面B 1CD的法向量为则由令z＝﹣1得（8分）又∵为平面C 1CD的法向量则由（10分）解得，故．∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）20．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，数列{}是首项为0，公差为的等差数列．，b2k，b2k+1}（1）设b n＝•（﹣2）n（n∈N*），对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（2）对（1）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．【解答】（1）证明：∵数列{}是首项为0，公差为的等差数列，∴，即．当n≥2时，，a1＝0适合上式，∴a n＝n﹣1．又b n＝•，∴，∴，，由2b2k＝b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1，得b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差﹣1数列．∴＝．满足为常数，∴数列{d k}为等比数列；（2）解：①当k为奇数时，＝．同样可得：＝．∴集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为＝；②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2＝4k，求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0＝2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y＝kx﹣2，由，得a2＝4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2＝p+4…（9分）由，∴，…（11分）＝将，b2＝p+4代入得：p＝32，所以b2＝36，a2＝144，椭圆方程为．…（15分）22．（13分）已知函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）＝a+lnx+1∵函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）＝3，∴a+lne+1＝3，∴a＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）＝x+xlnx，令g（x）＝＝，则g′（x）＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）＝＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）＝在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min＝g（x0）＝x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．。