河南省信阳市高二数学下学期开学考试试题理

河南省信阳市2017-2018学年高二数学下学期开学考试试题 理一、选择题 1．若1sin cos ,05x x απ+=<<，则tan x 的值是（ ） A.4433-或 B. 43 C. 43- D. 3344-或 2．命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12xf x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ） A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3．已知2cos23sin ,,2πθθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，则θ的终边经过点（ ） A. ()2,2- B. ()1,2- C. ()1,3- D. ()2,1-4．在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若0c o s 3s i n =-B a A b ，且b 2=a c ，则bca +的值为 ( ) A.22B.2C. 2D. 45．已知F 1、F 2是双曲线M ： 22214y x m -=的焦点， y x =是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，设|PF 1|·|PF 2| = n ，则（ ）A. n = 12B. n = 24C. n = 36D. 12n ≠且24n ≠且36n ≠6．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f′0(x)，f 2(x)＝f′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f′n (x)，n∈N，则f 2 015(x)等于( ) A. sin xB. －sin xC. cosxD. －cosx7．P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足2PA PB PC AB ++=，若6ABC S ∆=，则PAB ∆的面积为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 88．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-， ()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ） A. 3- B. 2- C. 3D. 29．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()'ln2f x f x >， ()14f =，则不等式()12x f x +≥的解集为（ ）A. []1,2B. [)1,+∞C. (],1-∞D. (]0,110．已知抛物线C ： 24y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线1l ， 2l ，直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为（ ）A. 16B. 20C. 24D. 3211．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ） A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a <12．已知曲线y ＝x 2+1在点P 200(,+1)x x 处的切线为l ，若l 也与函数()ln ,0,1y x x =∈的图象相切，则x 0满足( ) （其中 2.71828...e =）A. 01x <0x <<0x <02x <<二、填空题13．曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为____________.14．已知x ， y 满足约束条件20,{20, 4180,x y x y x y -≤-≥+-≤则目标函数328xy z =的最小值为__________．15．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB∠ACB =60°，∠BCD =90°，AB ⊥CD ，CD=__________．16．若存在两个正实数x ，y 使等式()()22ln ln 0x m y ex y x +--=成立，（其中 2.71828...e =）则实数m 的取值范围是________.三、计算题 17．（本小题10分）设命题:p 不等式21x x a -<+的解集是1{|3} 3x x -<<；命题:q 不等式2441x ax ≥+的解集是∅,若“p 或q ”为真命题,试求实数a 的取值范围.18．（本小题12分） 如图，四面体中，分别是的中点，（1）求证：平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（本小题12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为a ,b ，c 且2cos sin cos cos ,)(22CA B A bc c b a +==--.（1）求角A 和角B 的大小；（2）若)2sin()(c x x f +=，将函数)(x f y =的图象向右平移12π个单位后又向上平移了个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 的解析式及单调递减区间.20．（本小题12分）已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3、S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{na n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数n ，都有T n ∈[a ，b ]，求b －a 的最小值．21．（本小题12分）已知点()1F ，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB ∆'面积的最大值.22．（本小题12分） 已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .信阳高中2019届高二寒假回顾测试理数试题参考答案1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=12．D【解析】设()002f x x '=，所以切线l 的方程为()()200012y x x x x -+=-，整理为：20021y x x x =-+ ，同时直线l 也是函数()ln ,0,1y x x =∈的切线，设切点为()11,ln x x ，所以切线方程为()1111ln y x x x x -=- ，整理为111ln 1y x x x =+- ，直线方程是同一方程，那么0120112{11x x x lnx =-+=- ， ()01,x ∈+∞ ，整理为20011ln12x x -+=- ，即2200001ln21ln220x x x x -+=--⇒--= ，设()2ln22(1)g x x x x =--> ， ()212120x g x x x x -=-=>' ，所以函数()g x 在()1,+∞是单调递增，()10,220g g <=-< ，20ge =-< ，3210g=-=-< ， ()24ln420g =-->，即()20gg < ，所以)02x ∈ ，故选D.13．43 14．1415．【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为112=． 依题意得CD ⊥平面ABC，故球心到截面的距离为12CD=343π⋅⋅=．16．()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()()22ln ln x m ex y y x =--， ()()2ln ln 11ln 22ex y y x y ye m x x x --⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝⎭，设0y t x => ，设()ln 2t g t e t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，那么()1111ln ln 2222t e g t t e t t t ⎛⎫=-+-⋅=-+- ⎪⎝'⎭ ， ()2212022e t eg t t t t'+=-'=--<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当t e =时， ()0g e '=，当()0,t e ∈时， ()0g t '> ，函数单调递增，当(),t e ∈+∞ ， ()0g t '< ，函数单调递减，所以()g t 在t e =时，取得最大值， ()2e g e =，即12e m ≤ ，解得： 0m < 或2m e≥ ，写出区间为()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ ，故填： ()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 17．()1,+∞.试题解析：由21x x a -<+得113a x a -+<<+,由题意得11{ 23313a a a -+=-⇒=+=.∴命题p: 2a =.由2441x ax ≥+的解集是∅,得24410ax x -+≤无解,即对x R ∀∈,24410ax x -+>恒成立,∴()2{ 44410a a >∆=--⨯⨯<,得1a >.∴命题q:1a >.由“p 或q”为真命题,得p 、q 中至少有一个真命题. 当p 、q 均为假命题,则2{{|1} 1a a a a ≠⇒≤≤,而{}| 1 {|1} Ra a a a ≤=>.∴实数a 的值取值范围是()1,+∞. 18．（1）见解析（2）7解析：（1）证明：连结OE ，因为,O E 分别是,BD BC 的中点，所以OE CD ，又OE ⊄平面ACD ， CD ⊂平面ACD ，所以OE平面ACD.（2）法一：连接OC ，因为BO DO =， AB AD =，所以AO BD ⊥，同理CO BD ⊥，又1,AO CO ==2AC =，所以222AO CO AC +=，所以AO CO ⊥ ，又因为BD OC O ⋂= ，所以AO ⊥ 平面BCD.以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系，则()()()()0011000100A B C D -，，、，，、、，， .设平面ACD 的法向量()x y z η=，，，由()1,0,1DA =，()DC =则有0{ 0x z x +=+=，令1x =-，得311η⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， .又因为()OC =,所以•7sin OC OC ηαη==，故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：7法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC VV --=,有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d = ，故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =19．（1）；（2），.试题解析：（1）中，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，即，所以，综上可得.（2）因为，所以，所以，令，故函数的单调递减区间为.20．(1)a n＝3×(12)n－1.(2)9.试题解析：(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列，∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，∵a n＞0，∴q＝，得a n＝3×()n－1.(2)由(1)知，na n＝3n×()n－1，T n＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1;T n＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n两式相减得：T n＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n＝3×－3n()n＝6－，∴T n＝12－＜12.又na n ＝3n ×()n －1＞0，∴{T n }单调递增，∴(T n )min ＝T 1＝3，故有3≤T n ＜12. ∵对任意正整数n ，都有T n ∈[a ，b ]， ∴a ≤3，b ≥12.即a 的最大值为3，b 的最小值为12. 故(b －a )min ＝12－3＝9.21．(1) 22142x y +=.(2) 2. 试题解析：（1）由已知得1NF NM =，所以122124NF NF MN NF FF +=+=>，所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,a c ==， ∴22b =．所以点N 的轨迹方程是22142x y +=． （2）设直线()10AB y kx k =+≠的方程为， 由2224{1x y y kx +==+，消去y 整理得()2212420k x kx ++-=，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴()28140k ∆=+>．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则()22,B x y '-， ∴12122242,1212k x x x x k k--+==++， 由题意得1212AB y y k x x '-=+，∴直线()121112y y AB y y x x x x '--=-+的方程为，令0x =，则得()()122112211212121211212x kx x kx x y x y kx x y x x x x x x ++++===+=+++，∴直线AB '过定点()0,2Q ，∴所以PAB ∆'的面积12221212PQB PQA k S S S x x k ∆∆'=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当k =时等号成立. 因此PAB ∆'． 22．(1)答案见解析；(2)0. 试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x '=+-+= ()()()2211ax a x a ax x a x x-++--=①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时， ()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=， 2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 （ⅱ）若1a =， ()0f x '≥， ()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， (),a +∞单调递增- 11 - （2）由（1）得：若1a >， ()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， (),a +∞单调递增所以x a =时， ()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立设()()2ln 124x xh x x x x =-+>， ()5ln 4h x x x -+'=令()()5ln 4x h x x x ϕ='=-+，当()1,x ∈+∞时， ()110x x ϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减， 且()1104h '=>， ()()3312ln2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈， ()0005ln 04h x x x =-+='， 且()01,x x ∈， ()00h x '>， ()0,2x x ∈， ()00h x '< 所以()()200000max ln 24x x h x h x x x ==-+， 因为005ln 4x x =-得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()max b h x >， b Z ∈，所以min 0b =。