高考数学集合与常用逻辑用语_第3讲_简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件文

12/11/2021
第二十四页，共三十四页。
根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
12/11/2021
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【解析】在命题 p 中，当 x<0 时，x＋1x<0，所以命题 p 为假命题，所以﹁p 为真命题；
在命题 q 中，sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4，
当 x＝π4时，sin x＋cos x＝ 2，所以 q 为真命题，故①为真命题．
12/11/2021
第十三页，共三十四页。
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤 ①先判断简单命题 p，q 的真假． ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
p：c2＜c 和 q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0.若
p 和 q 有且仅有一个成立，则实数 c 的取值范围是
___－__21_，__0__∪___12_，__1______．
[解析] p：由 c2＜c 得 0＜c＜1；
q：由 Δ＝16c2－4＜0，
得－12＜c＜12.
要使 p 和 q 有且仅有一个成立，则
12/11/2021
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1.(2018·南京质检) 已知命题 p：∃x∈R， x2＋1<2x；命题 q：若 mx2－mx－1<0 恒成立，则－4<m<0，那么下列说法正确的是___③_____． ①﹁p 是假命题； ②q 是真命题； ③p 或 q 为假命题； ④p 且 q 为真命题．
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高考数学第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词创高三全册数学

角度1 全称命题、特称命题的真假判断
1．已知命题p：∀x∈R，x＋
1 x
≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20
>x
3 0
，
则下列命题中为真命题的是( )
A．( p)∧q
B．p∧( q)
C．( p)∧( q)
D．p∧q
解析
当x＝－1时，x＋
1 x
<2，故p是假命题；当x0＝
1 2
时，
1 2
2>
1 2
0)的圆心坐标为(1,0)，所以直线l恒过圆心，所以∀k∈R，l与C相交，∀r
∈R，l与C相交，所以p1，p3是真命题，p2，p4是假命题．
12/8/2021
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解析答案
题型三根据命题的真假求参数的取值范围
1．(2019·黄冈模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题
q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是__a_≤__－__2_或__a_＝__1_．
解析若命题p是真命题，则有a≤x2对x∈[1,2]恒成立，所以a≤1，记
A＝{a|a≤1}，若命题q是真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实
根，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.记B＝{a|a≤－2或a≥1}，
0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．( p)∧( q)
D．p∨( q)
解析因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，( p) ∧( q)，p∨( q)都是假命题．
12/8/2021

高考数学第一章集合与常用逻辑用语 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件文

12/10/2021
解题导引
解析当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,故命题p是假命题; 若cos αcos β=1,则cos α=cos β=1或cos α=cos β=-1, 所以sin α=sin β=0,从而sin(α+β)=0,故命题q是真命题, 所以p∨q是真命题,故选D. 答案 D
12/10/2021
方法2 全(特)称命题真假性的判断方法
1.要判定一个全称命题(∀x∈M,p(x))是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定该全称命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可. 2.要判定一个特称命题(∃x∈M,p(x))为真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
例2 (2019届黑龙江哈三中9月月考,2)下列命题中的假命题是 ( ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∃x∈R,使得sin x= 2 C.∀x∈R,x2-x+1>0 D.∃x∈R,使得lg x=2
12/10/2021
解题导引
解析由指数函数y=2x的图象与性质易知,∀x∈R,2x-1>0,故选项A为真
考点二全称量词与存在量词
考向基础 1.全称量词和存在量词
名称
常见量词
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
符号 ①∀ ②∃
2.全称命题和特称命题
名称
结构
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
符号表示 ③ ∀x∈M,p(x) ④ ∃x0∈M,p(x0)

高考数学第1章集合与常用逻辑用语3第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断(1)全称量词和存在量词判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )(2)命题p和¬p不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，¬p (x )的真假性相反．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 命题“∃x0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0解析：选A.依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”，选A.已知命题p ：∃x0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，给出下列结论： ②命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③ 命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题．其中正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①②③解析：选A.因为52>1，所以命题p 是假命题．又因为x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34>0，所以命题q 是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A.(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________________________________________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：因为0≤x ≤π4，所以0≤tan x ≤1，又因为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ，故m ≥1，即m 的最小值为1. 答案：1全称命题、特称命题(高频考点)全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度： (1)全称命题、特称命题的否定； (2)判断全称命题、特称命题的真假性．[典例引领]角度一全称命题、特称命题的否定已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则¬p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0【解析】根据“全称命题q ：∀x ∈M ，q (x )的否定是¬q ：∃x 0∈M ，¬q (x 0)”可知“¬p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．【答案】 C角度二判断全称命题、特称命题的真假性(2018·长沙市统一模拟考试)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)【解析】幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 【答案】 B(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词． ②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全、特称命题的真假判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(2018·河南商丘模拟)已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，¬p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，¬p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，¬p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，¬p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C.易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C.含有逻辑联结词的命题的真假判断[典例引领](1)(2017·高考山东卷)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬q(2)已知命题p ：对于任意的非零向量a ，b 都有a ·b ≤|a |·|b |；命题q ：对于任意的非零实数x ，都有x ＋1x≥2.则下列命题：①p ∧q ，②p ∨q ，③p ∧(¬q )，④(¬p )∨q ，⑤(¬p )∧(¬q )，⑥(¬p )∨(¬q )中正确的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 (1)当x ＞0时，x ＋1＞1，因此ln(x ＋1)＞0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a ＞b ，显然a 2＞b 2不成立，因此q 为假命题．易知B 为真命题．(2)对于任意的非零向量a ，b ，都有a ·b ≤|a ·b |＝|a |·|b ||cos<a ，b>|≤|a |·|b |，即命题p 为真命题，故¬p 为假命题；当x <0时，x ＋1x≤－2，即命题q 为假命题，故¬q 为真命题．从而p ∨q 、p ∧(¬q )、(¬p )∨(¬q )为真命题，故选B. 【答案】 (1)B (2)B“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式； (2)判断命题p ，q 的真假；(3)根据真值表确定“p ∨q ”“p ∧q ”“ ¬p ”形式命题的真假．[通关练习]1．(2018·贵州省适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x 12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨(¬q ) B ．p ∧q C ．(¬p )∨qD ．(¬p )∧(¬q )解析：选 A.命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此¬p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q 是假命题，¬q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 是假命题，选项C 是假命题，选项D 是假命题，故选A.2．(2018·南昌市第一次模拟测试)已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )解析：选B.因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题．由命题的真假确定参数的取值范围[典例引领](1)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．[14，＋∞)B ．[12，＋∞)C ．(－∞，14]D ．(－∞，－12](2)(分类讨论思想)给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；q ：关于x 的方程x2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.(2)当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，所以0≤a <4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．所以若p 真q 假，则0≤a <4，且a >14，所以14<a <4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4，a ≤14，即a <0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．【答案】 (1)A (2)(－∞，0)∪(14，4)若将本例(1)中“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是什么？解：当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，所以m ≥12，即m 的取值范围为[12，＋∞)．根据命题的真假求参数的方法(1)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．如本例(1)及互动探究．(2)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围，在求解过程中要注意分类讨论思想的应用，如本例(2)中，由于p 和q 一真一假，因此需分p 真q 假与p 假q 真两种情况讨论求解．[通关练习]1．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[0，4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D.因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 2．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．[1，4] C ．[e ，4]D ．(－∞，－1)解析：选C.由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(¬p )∧(¬q )假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(¬p )∧(¬q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(¬p )∨(¬q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(¬p )∨(¬q )真． (5)¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．易错防范(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)复合命题的否定①“¬p”的否定是“p”；②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”；③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”．1．设两个命题p：对所有整数x，x2－1＝0，q：对所有整数x，5x－1是整数．则( ) A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，q是假命题C．p是假命题，q是真命题D．p是假命题，q是假命题解析：选C.因为当x＝0时，x2－1＝－1≠0，所以p是假命题；因为q是真命题，所以选C. 2．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知命题q：∀x∈R，x2>0，则( )A．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为假命题D．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为真命题解析：选D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题，故选D.3．(2018·湖北武汉调研)命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是( )A．∃x∈M，f(－x)＝－f(x)B．∀x∈M，f(－x)≠－f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝－f(x)D．∃x∈M，f(－x)≠－f(x)解析：选D.命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是∃x∈M，f(－x)≠－f(x)，故选D. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2解析：选B.A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．5．(2018·南昌模拟)已知命题p ：“∀x ∈R ，x ＋1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1<0”；命题q ：函数y ＝x －3是幂函数．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．¬qD ．p ∧(¬q )解析：选B.易知命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∨q 是真命题．6．命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(綈q )表示( )A ．甲、乙两人的数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C ．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分解析：选 D.由于命题q ：乙的数学成绩低于100分，因此¬q ：乙的数学成绩不低于100分．所以p ∨(¬q )：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.7．已知命题p ：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)在R 上是增函数，命题q ：log a 2＋log 2a ≥2(a >0且a ≠1)，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧qD ．p ∨(¬q )解析：选D.当0<a <1时，y ＝a x在R 上是减函数，因此p 假，¬p 真，当a ＝12时，log a 2＋log 2a＝－2<2，因此q 假，¬q 真．从而命题p ∨(¬q )为真命题．8．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D.23解析：选A.因为sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以m <12.故选A.9．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(¬p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选D.因为¬p ：∃x ∈R ，2x≥3x，要使(¬p )∧q 为真，所以¬p 与q 同时为真．由2x≥3x得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1，所以x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，所以x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，所以x ＝－2.10．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx ＋1>0恒成立，则0<m <4，那么( )A ．“¬p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p ∨q ”为假命题D ．“p ∧q ”为真命题解析：选C.因为x 2＋1<2x ，即x 2－2x ＋1<0，也即(x －1)2<0，所以命题p 为假；若mx 2－mx＋1>0恒成立，则m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0，则0≤m <4，所以命题q 为假，故选C. 11．(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧q C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析：选B.因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(¬p )∧q 为真命题，故选B.12．(2018·郑州市第二次质量预测卷)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βC ．向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，0)则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分也不必要条件解析：选B.选项A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，其为偶函数，故A 为假命题；选项B ，令α＝π4，β＝－π2，则cos(α＋β)＝cos(－π4)＝22，cos α＋cos β＝22＋0＝22，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B 为真命题；选项C ，设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；选项D ，|x |≤1，－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D 为假命题． 13．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________．解析：因为p 是¬p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋114．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“¬q ”同时为假命题，则x ＝________．解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“¬q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2. 答案：－215．由命题“存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．解析：因为命题“存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋m ≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，故Δ＝22－4m <0，即m >1，故a ＝1.答案：116．已知下列命题．①∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∀x ∈R ，2x＋12x >2；④∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x . 其中真命题为________．(填所有真命题的序号) 解析：对于①，当x ＝π4时，sin x ＋cos x ＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，所以此命题为真命题；因为2x >0，所以12x ＋2x≥212x ×2x＝2，当且仅当12x ＝2x即x ＝0时等号成立．所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，所以此命题为假命题．答案：①②1．(2018·广东深圳三校联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(¬q ) C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题．故(¬p )∧q 是真命题．故选D. 2．(2018·湖北黄冈模拟)下列四个命题： ①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确命题的个数为3，故选C.3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“p ∨(¬q )”是假命题．其中所有正确结论的序号为________．解析：对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程－x 2＋x －1＝0，即x 2－x ＋1＝0，Δ＝1－4×1<0，故方程无解，所以命题q 为真命题．综上“p ∧q ”是真命题，“p ∧(¬q )”是假命题，“(¬p )∨q ”是真命题，“p ∨(¬q )”是真命题，即正确的结论为①②③. 答案：①②③ 4．下列说法：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(¬q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确说法的序号为________．(把你认为正确说法的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③5．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，则2a ≥2，所以0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，所以12<a <32.因为命题“p ∧q ”为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，所以12<a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 6．(2018·湖北襄阳五中模拟)设p ：实数a 满足不等式3a≤9，q ：函数f (x )＝13x 3＋3（3－a ）2x 2＋9x 无极值点． (1)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围；(2)已知“p ∧q ”为真命题，并记为r ，且t ：a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋12a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12>0，若r 是綈t 的必要不充分条件，求正数m 的值．解：(1)若p 为真，则3a≤9，得a ≤2.若q 为真，则函数f (x )无极值点，所以f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立，得Δ＝9(3－a )2－4×9≤0，解得1≤a ≤5. 因为“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，所以p 与q 只有一个命题是真命题．若p 为真命题，q 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a <1或a >5⇒a <1；若q 为真命题，p 为假命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a >2，1≤a ≤5⇒2<a ≤5.综上，实数a 的取值范围为{a |a <1或2<a ≤5}． (2)因为“p ∧q ”为真命题，所以p 、q 都为真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，1≤a ≤5⇒1≤a ≤2.即r ：1≤a ≤2.因为a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋12a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12>0，所以(a －m )⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12>0，所以a <m 或a >m ＋12，即t ：a <m 或a >m ＋12，从而綈t ：m ≤a ≤m ＋12，因为r 是¬t 的必要不充分条件，所以¬t ⇒r ，r ⇒/¬t ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12≤2(两个不等式不能同时取等号)，解得1≤m ≤32，又因为m ∈N *，所以m ＝1.。

2020版高考数学第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件文

判断正误(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p、q 都是假命题．( (2)命题 p 和﹁p 不可能都是真命题．( ) ) )
(3)若命题 p， q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命题． ( (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( (5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( ) )
【解析】
π 5π (1)取 x＝，y＝，可知命题 p 不正确；由(x－y)2 3 6
≥0 恒成立，可知命题 q 正确，故﹁p 为真命题，p∨q 是真命题，p∧q 是假命题．
(2)由函数 y＝2x 是 R 上的增函数，知命题 p 是真命题．对于命题 q，当 x＋1≥0，即 x≥－1 时，|x＋1|＝x＋1>x；当 x＋1<0，即 x<－1 时，|x＋1|＝－x－1， 1 由－x－1≤x，得 x≥－，无解， 2 因此命题 q 是假命题．所以(﹁p)∨q 为假命题，A 错误； p∨q 为真命题，B 正确； p∧q 为假命题，C 错误； p∧(﹁q)为真命题，D 错误．故选 B.
[注意]
要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，
由于 p 和 q 一真一假，因此需分 p 真 q 假与 p 假 q 真两种情况讨论求解．
(2019· 河南师范大学附属中学开学考 ) 已知命题 p ：“ ∀ x ∈ [0，1]，a≥ex” ，命题 q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题 “p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( A．(4，＋∞) C．(－∞，1] B．[1，4] D．[e，4] )
特称命题
[注意]
无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面

高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习理新

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第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为（）A.所有的指数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数，它不是单调函数D。

存在一个单调函数，它不是指数函数解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数,它不是单调函数.答案C2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称。

则下列判断正确的是（)A。

p为真 B.綈p为假C.p∧q为假D.p∧q为真解析p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假。

答案C3。

2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（)A.（綈p)∨（綈q)B.p∨（綈q)C.(綈p）∧（綈q）D。

高考数学第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案文新人教A版

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃名称全称命题特称命题形式结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x)1．含逻辑联结词命题真假的判断(1)p∧q中一假则假，全真才真．(2)p∨q中一真则真，全假才假．(3)p与﹁p真假性相反．2．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．二、习题改编1．(选修11P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.2．(选修11P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．( )(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．答案：存在两个全等三角形的面积不相等2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为．解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0全称命题、特称命题(多维探究)角度一全称命题、特称命题的真假若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( ) A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)【解析】由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)是假命题．【答案】 C全称命题与特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．角度二全称命题、特称命题的否定已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为( ) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数【解析】由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．【答案】 D全称命题与特称命题的否定确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．角度三与全(特)称命题有关的参数问题(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a 的取值范围是．【解析】因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.【答案】 (－∞，－1]将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．1．(2020·甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B.对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误；若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B.2．(2020·河南商丘模拟)已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C.易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C.含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(2020·河北衡水中学3月大联考)已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋1|>x ；命题q ：“m ≤1”是“函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x －m 2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．(﹁p )∨qD ．p ∧(﹁q )【解析】因为|x ＋1|>x ，对x ∈R 成立，故p 为真命题；因为函数f (x )＝x 2－(m ＋1)·x －m 2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以m ＋12≤1，即m ≤1，故应为充要条件，故q 为假命题，所以p ∧q ，(﹁p )∧q ，(﹁p )∨q 均为假命题，p ∧(﹁q )为真命题，故选D.【答案】 D(1)“p ∨q ”“p ∧q ”“﹁p ”等形式命题真假的判断步骤 ①确定命题的构成形式； ②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“﹁p ”等形式命题的真假． (2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(﹁p )∧(﹁q )假； ②p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(﹁p )∧(﹁q )真； ③p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(﹁p )∨(﹁q )假； ④p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(﹁p )∨(﹁q )真； ⑤﹁p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真．1．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知命题p ：∃x ∈R ，sin x >1，命题q ：∀x ∈(0，1)，ln x <0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(﹁q )C ．p ∨(﹁q )D ．(﹁p )∧q解析：选D.因为－1≤sin x ≤1，故命题p 是假命题，易知命题q 是真命题，故p ∧q 为假，p ∧(﹁q )为假，p ∨(﹁q )为假，(﹁p )∧q 为真，故选D.2．已知命题p ：“若x 2－x >0，则x >1”；命题q ：“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则xy ＝0”．下列命题是真命题的是( )A ．p ∨(﹁q )B ．p ∨qC ．p ∧qD ．(﹁p )∧(﹁q )解析：选B.若x 2－x >0，则x >1或x <0，故p 是假命题；若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，xy ＝0，故q 是真命题．则p ∨q 是真命题，故选B.由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变结论)本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为．解析：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 答案：(－2，0)【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．答案：(－∞，－2]∪[0，2)【迁移探究3】 (变条件)本例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由题意知，p ，q 均为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以实数m 的取值范围是[0，2]．答案：[0，2]根据命题真假求参数的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[注意] 要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p 和q 一真一假，因此需分p 真q 假与p 假q 真两种情况讨论求解．(2020·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1，4]C ．(－∞，1]D ．[e ，4]解析：选D.命题p 等价于ln a ≥x 对x ∈[0，1]恒成立，所以ln a ≥1，解得a ≥e ；命题q 等价于关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有实根，则Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.因为命题“p ∧q ”是真命题，所以命题p 真，命题q 真，所以实数a 的取值范围是[e ，4]，故选D.[基础题组练]1．已知命题p ：∃x 0>1，x 20－1>0，那么﹁p 是( ) A ．∀x >1，x 2－1>0 B ．∀x >1，x 2－1≤0 C ．∃x 0>1，x 20－1≤0 D ．∃x 0≤1，x 20－1≤0解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p ：∀x >1，x 2－1≤0. 2．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题p 是假命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p ：实数的平方是非负数，是真命题，命题p 是全称命题，故选C.3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p ，q ，则“﹁p 为假命题”是“p ∨q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若﹁p 为假命题，则p 为真命题，则p ∨q 为真命题；若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，但p 不一定为真命题，故无法判定﹁p 为假命题．即“﹁p 为假命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件．故选A.4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.5．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为．解析：因为p 是﹁p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋16．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“﹁q ”同时为假命题，则x ＝．解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“﹁q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，得x ＝－2. 答案：－27．已知命题p ：f (x )＝1－2m x2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x >m－1的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，则实数m 的取值范围是；若“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是．解析：对于命题p ，由f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，解得m <12；对于命题q ，不等式x 2－2x >m －1的解集为R 等价于不等式(x －1)2>m 的解集为R ，因为(x －1)2≥0恒成立，所以m <0.若p ∨q 为真，则p ，q 中有一个为真，所以m <12；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假．若p 为假，则m ≥12；若q 为假，则m ≥0，所以m ≥0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [)0，＋∞.8．设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点．若p ∧(﹁q )为真命题，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔0<a <1，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点⇔Δ＝(2a －3)2－4＞0⇔a <12或a ＞52. 所以若p 为真命题，则0<a <1；若q 为真命题，则a <12或a ＞52.因为p ∧(﹁q )为真命题，所以p 为真命题，q 为假命题．由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112≤a ≤52，解得12≤a <1，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.[综合题组练]1．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx ＋1>0恒成立，则0<m <4，那么( )A ．“﹁p ”是假命题B ．q 是真命题C ．“p ∨q ”为假命题D ．“p ∧q ”为真命题解析：选C.因为x 2＋1<2x ，即x 2－2x ＋1<0，也即(x －1)2<0，所以命题p 为假；若mx2－mx ＋1>0恒成立，则m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0，则0≤m <4，所以命题q 为假，故选C. 2．(2020·湖北八校联考)下列说法正确的是( )A ．“若a ＋b ≥4，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题B ．命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个真命题C ．“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x >0” D ．“a ＋1>b ”是“a >b ”的一个充分不必要条件解析：选B.对于A ，原命题的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于2，则a ＋b ≥4”，而a ＝4，b ＝－4满足a ，b 中至少有一个不小于2，但此时a ＋b ＝0，故A 不正确；对于B ，此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B 正确；对于C ，“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”，故C 不正确；对于D ，由a >b 可推得a ＋1>b ，但由a ＋1>b 不能推出a >b ，故D 错误．3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(﹁q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名解析：选D.由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r 为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.4．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是．解析：若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[(x－1)2－2]min≥m2－3即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)。

2019高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．(⌝p )∧qC ．p ∧qD ．(⌝p )∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1) 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③⌝q 为真命题，则p ∧(⌝q )为真命题；④⌝p 为假命题，则(⌝p )∨q 为假命题．(2) 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(⌝q )为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p 的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④(⌝p )∨q . 其中为假命题的序号为________． [答案] ②③④[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q[答案] A[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0C．∀a∈(0，＋∞)，a2>aD．∃a0∈(0，＋∞)，x2＋a0>1对x∈R恒成立[答案] (1) C (2) D[解析] (1)命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴⌝p：∀n∈N，n2≤2n.(2)对于A，当x＝1时不成立；对于B，当x∈(1，＋∞)时，lg x>0，而－x<0，不成立；对于C，当a＝1时不成立；对于D，∃a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1对x∈R恒成立，正确．故选D.【类题通法】1.命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题⌝p为( )A．∃x0<0，x20≥2x0B．∃x0≥0，x20<2x0C．∃x0<0，x20<2x0D．∃x0≥0，x20≥2x0[答案] C2x.[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p：∃x0<0，x20<02．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] A[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3，1)(2)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)B (2) (－∞，－2]∪[1，2)[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).(2) p 为真：Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；q 为真：3－2a >1，解得a <1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1⇒1≤a <2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a <1⇒a ≤－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)．【类题通法】 1．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．【对点训练】1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0][解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2][答案] A[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有∆＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。

高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词、存在量词与全称量词课件

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
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[小题查验]
A．∀n∈N，n2＞2n C．∀n∈N，n2≤2n
B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
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2．有下列四个命题，其中真命题是( ) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，m∈R，m2<n D．∀n∈R，n2<n 解析：B [对于选项 A，令 n＝12即可验证其不正确；对于选项 C、选项 D，可令 n＝－1 加以验证，均不正确，故选 B.]
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(2)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组x2＋x－y≥y≥6，0 表示的平面区域为 D.命题 p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题 q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12. 下面给出了四个命题
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
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2．已知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 m 满足关于 x 的方程 2ax ＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m) C．∀x∈R，f(x)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m)
逻辑推理——全称命题与特称命题中的核心素养以学习过全称命题、特称命题的数学知识为基础，判断全称命题、特称命题的真假，充分体现了“逻辑推理”这一核心素养的具体应用．
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[题组集训] 1．下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题；对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假．其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二含有一个量词的命题——多维探究角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假真假真假法一证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现．角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10，当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

高考数学总复习第1篇集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (文) 北

3．已知：綈 p 且 q 为真，则下列命题中的假命题是
①p；②p 或 q；③p 且 q；④綈 q.
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 答案：C
.
() ()
4．对命题“∃x0∈R，x20－2x0＋4≤0”的否定正确的是
()
A．∃x0∈R， x 20－2x0＋4＞0
B．∀x∈R，x2－2x＋4≤0
.
方法二：p1 是真命题同解法一；由于 2x＋2－x≥2 2x·2－x＝2，故函数 y＝2x＋2－x 在 R 上存在最小值，故这个函数一定不是 R 上的单调函数，故 p2 是假命题．由此可知， q1 真，q2 假，q3 假，q4 真．故选 C. 答案：C 反思感悟：善于总结，养成习惯 1．命题 p∨q 中，只要 p，q 至少一个为真就是真命题；命题 p∧q 中只有 p，q 都是
解析：当 x∈(0，＋∞)恒有12x＞13x，故 p1 为假，当 x＝12时，log
1212＞log 13
1， 2
故 p2 为真；当 x＝12时，1212＜log
11，故 22
p3
为假；∀x∈0，13，12x＜1，log
13x
＞1，∴12x＜log
1x，故 3
p4
为真．
答案：D
.
反思感悟：善于总结，养成习惯
.
3．命题的否定 (1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：非p且非q ； p且q的否定为：非p或非q .
联动思考
想一想：已知 p：x－1 1＞0，试写出綈 p? 答案：x－1 1＞0 有隐含条件 x≠1，故綈 p 为：x－1 1≤0 或 x＝1；或由 x－1 1＞0 得 x＞1，即 p：x＞1，则綈 p：x≤1.

高考数学第一章集合与常用逻辑用语3第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词理

答案：②③
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第十一页，共四十三页。
全称命题与特称命题(多维探究)
角度一全称命题、特称命题的否定
(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，x－x 1＞0”的否定是
() A．∃x＜0，x－x 1≤0
B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，x－x 1≤0
D．∀x＜0，0≤x≤1
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第五页，共四十三页。
3．记准两类否定
(1) ¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)．
(2) ¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．
4．辨明一组关系
否命题
命题的否定
否命题既否定其条件，命题的否定只是否定命题
区
又否定其结论
的结论
命题的否定与原命题的真
否命题与原命题的真
别
假总是相对立的，即一真
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第二十四页，共四十三页。
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ①p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假； ②p∨q 假⇔p，q 均假⇔(¬p)∧(¬q)真； ③p∧q 真⇔p，q 均真⇔(¬p)∨(¬q)假； ④p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真； ⑤¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真．
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1．命题 p：函数 y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题
q：函数 y＝3x＋1 1的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为(
)
A．p∧q
B．p∨q
C．p∧(¬q)
D．¬q
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第二十六页，共四十三页。
解析：选 B.由于 y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，所以命题 p 是假命题．由 3x＞0，得 3x＋1＞1，所以 0＜3x＋1 1＜1，所以函数 y＝3x＋1 1 的值域为(0，1)，故命题 q 为真命题．所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬q 为假命题．

高考数学专题一集合与常用逻辑用语 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件理

p为∃a0≥0,
a
04+ a
2 0
<0.故选D.
答案 D
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考向二全(特)称命题真假的判断
例2 (2018陕西西安长安质检,5)下列命题中,真命题是 ( )
A.∃x0∈R,sin2
x0 3
+cos2x 0
3
1
=
3
B.∀x∈(0,π),sin x>cos x
C.∃x0∈R, x 02+x0=-2 D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
∴p真q假或p假q真,
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m 1,
当p假q真时,有
m
解 1得, m>-
4
;1
4
当p真q假时,有
m m
1, 1,
4
解得m<-1.
∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时,m<-1或m>- 1 .
4
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12/10/2021
例 (2019届安徽肥东高级中学8月调研,17)已知命题p:∀x∈R,4mx2+x+ m≤0. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若有命题q:∃x∈[2,8],mlog2x+1≥0,当p∨q为真命题且p∧q为假命题时,求实数m的取值范围. 解题导引
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1 2
≥ x
,1
3
x
命题q:∃x∈N*,2x+21-x=2 ,则2 下列命题中为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
解析
命题p:∀x∈N*,

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2.量词 (1)短语“
对每个对所有的
、
对任意一个 ”在逻辑中
通常叫作全称量词；常见的全称量词还有“ 对一切、、
任给
、
所有的 ”等．
(2)含有全称量词的命题叫作全称命题． (3)短语“ 存在一个、至少有一个 ”在逻辑中通常叫作存在量词；常见的存在量词还有“
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：命题 p：若 a· b＝0，b· c＝0，则 a∥c，所以 p 为假命题；命题 q：若 a∥b，b∥c，则 a∥c，所以 q 为真命题．所以 p∨q 为真命题．答案：A
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题 p、q 的真假；②弄清结构形式；③据真值表来判断新命题的真假．
重点
(2)可判定原命题的真假，再根据原命题的真假与命题的
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
考点三· 逻辑联结词命题真假的应用
【例 3】设 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根； q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根．若“p∧q”为假命题，“p ∨q”为真命题，则 m 的取值范围为( A．[3，＋∞) C．(1,2]∪[3，＋∞) B．(1,2] D．[1,2)∪(3，＋∞) )
解：由于全称命题的否定是存在性命题，本题“所有能
被 2 整除的整数是偶数”是全称命题，其否定为存在性命题 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”.
答案：D
复习目标课前预习高频考点
重点

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．角度二全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题．【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误；若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0；当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______．解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。

2020届高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识批注——理解深一点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论汇总——规律多一点含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．()(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(二)选一选1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是()A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0<0C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x <0解析：选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y ，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q)为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故真命题为②③.3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 选项A 中，14<x 0<34，与x 0∈Z 矛盾，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．(三)填一填4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．答案：存在两个全等三角形的面积不相等5．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：由题知命题p 为假命题，命题q 为假命题，故只有“綈p ”是真命题．答案：綈p考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．(2)对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧ (綈q )为真命题，故选A.[答案] (1)B (2)A[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p ，q ，则“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若綈p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则綈p 为假命题．所以“綈p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(綈q) B．p∨qC．p∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[解题技法]1．全称命题与特称命题真假的判断方法2.(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]．答案：[0,2] [解题技法]根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．。

高考数学(理)集合与常用逻辑用语专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(解析版)

集合与常用逻辑用语03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、具体目标： 1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词：（1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.分析目标：会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假；能正确地对含有一个量词的命题进行否定；能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学命题；全称命题与特称命题的表述方法是高考的热点；本节在高考中的分值为5分左右，属中低档题. 二、知识概述： 1.逻辑联结词与复合命题命题q p ∧读作“p 且q ”；命题q p ∨读作“p 或q ”；命题p ⌝读作“非q ”；或者“p 的否定”命题与集合的关系：命题的“且”“或”“非”对应集合的“交”、“并”、“补”命题与电路的关系：命题p ∧q 对应着“串联”电路，便是p ∨q 对应着“并联”电路，命题p ⌝对应着线路的“断开与闭合”. 2．复合命题及其否定形式3【考点讲解】1．【2019优选题】命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是（）A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥-B ．00x ∃>，1ln 1x x <-C ．00x ∃>，01ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，01ln 1x x <-【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是“00x ∃>，01ln 1x x <-”，故选B ．【答案】B2.【2019优选题】下列命题中正确的是（）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则x =或x =x ≠x ≠22x ≠. 【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增， ∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ．【答案】B3.【2016高考浙江】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x ≤【真题分析】【解析】本题的考点：全称命题与特称命题的否定．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x ≤．故选D ．【答案】D4.【2018优选题】下列说法错误的是（）A ．对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，2010x x ++≤. B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题. D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠.【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A 正确；由于1x =可得2320x x -+=，而由2320x x -+=得1x =或2x =，∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件正确；命题p q ∧为假命题，则p ，q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C ．题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，【答案】C5.【2019优选题】命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（） A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数【解析】本题考查全称命题的否定.把全称量词改为存在量词，并把结果否定. 【答案】D【变式】若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（） A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+< B. 存在x R ∈，使得3210x x -+<C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥D. 存在x R ∈，使得3210x x -+≥【解析】命题:p 对任意的x ∈R ，都有3210x x -+<的否定为32:10p x x x ⌝∈-+≥R 存在，使得；故选D. 【答案】D6.【17山东理】已知命题p ：0>∀x ，()01ln >+x ；命题q ：若b a >，则22b a >．下列命题为真命题的是（）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧⌝【解析】本题考点是1.简易逻辑联结词.2.全称命题.解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.().1ln ,110是真命题有意义，知时，由P x x x +>+>.()()是假命题，可知由q ,21,21,12,122222-<-->->>即q p ⌝，均是真命题，所以选B. 【答案】B7.【2019优选题】在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（） A. ()()p q ⌝∨⌝ 为真命题 B. ()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题 D. p q ∨ 为真命题【解析】两次射击中至少有一次没有击中目标包括三个事件，第一次没有击中目标而第二次击中目标；第一次击中目标第二次没有击中目标；第一次和第二次都没有击中目标；三个事件统一表达为第一次没有击中或第二次没有击中，即()()p q ⌝∨⌝ 为真命题.选A . 【答案】A8.【2018优选题】已知命题()x xx P 32,0,:>∞-∈∀；命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（）A .q p ∧ B . ()q p ∨⌝ C .()q p ∧⌝ D .()q p ⌝∧【解析】分析：由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题，命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，利用导数研究其单调性可得是假命题，逐一判断选项中的命题真假即可的结果.命题由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题，命题命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，()0cos 1>-='x x f ，因此函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递增，所以()()00=>f x f ，所以x x x <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀sin 2,0，π，因此是假命题，()q p ⌝∧为真命题，故选D.【答案】D9.【河北省唐山市2018届三模理】已知命题p 在ABC ∆中，若B A sin sin =，则B A =；命题()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx .则下列命题为真命题的是（） A.q p ∧ B . ()q p ⌝∨ C .()()q p ⌝∧⌝ D . ()q p ∨⌝【解析】命题p 在ABC ∆中，因为π=+B A ，根据正弦函数的性质可以判断当B A sin sin =时，B A =是成立的，所以命题p 是真命题.命题当2sin 1sin 2=+=x x x 时，π，所以()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx 是不成立的，为假命题. 故选B. 【答案】B【变式】【2014高考重庆理第6题】已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【解析】本题主要考查了指数函数的性质，充要条件，判断复合命题的真假，属于中档题，先根据指数函数及充要条件的知识判断出每一个命题的真假，再利用真值表得出结论. 由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题；所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假. 【答案】D10.【2019优选题】给出下列三个命题： ①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】本题考查的是命题真假性的判断问题，若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.“若2230x x +-≠，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则2230x x +-=”，为真命题；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 【答案】B1.命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，则下列复合命题是真命题的是（） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ∧⌝【解析】由题意，命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；根据指数函数与对数函数的图象可知是不正确的，∴命题p 为假命题；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间应为()1-∞,”，∴为假命题， ∴()()p q ⌝∨⌝为真命题，故选A ．【答案】A2.命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是（） A ．x R ∀∉，2x x ≠ B ．x R ∀∈，2x x ≠C ．x R ∃∉，2x x ≠D ．x R ∃∈，2x x ≠【解析】命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是x R ∀∈，2x x ≠，选B. 【答案】B3.下列说法正确的是（）A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件C.“若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立【模拟考场】【解析】“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”，故选项A 错误，在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”充要条件，故B 错误，当()0,0x ∃∈-∞时，函数)1(00<=x x y x 在()∞+，0上单调递减，所以043xx >，故D 错误；故选C ．【答案】C4.已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A. )1,(--∞ B.)3,1(- C.),3(+∞- D.)1,3(- 【解析】原命题是假命题，则其否定是真命题，即()21,2102x R x a x ∀∈+-+>恒成立，故判别式()()2140,1,3a a --<∈-.【答案】B5.设命题()0:0,p x ∃∈+∞， 0013x x +>；命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，则下列命题为真的是（） A. ()p q ∧⌝ B. ()p q ⌝∧ C. p q ∧ D. ()p q ⌝∨ 【解析】命题:p ()00,x ∃∈+∞， 0013x x +>，当03x =时即可，命题为真；命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，当4x =是，两式相等，命题为假；则()p q ∧⌝为真，故选A. 【答案】A6.下列命题中：①“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定为“0x R ∀∈，22000131()024x x x -+=-+>”为真命题；“若260x x +-≥，则2x >”的否命题为“若26032x x x +-<⇒-<<，则2x ≤”为真命题；命题“若2560x x -+=，则2x =”为假命题，所以其逆否命题为假命题；所以选C. 【答案】C7.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【解析】本题主要考查的是命题的否定，全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称 (存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 【答案】D.8.设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【解析】试题分析：本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.由题意可知，两个非零向量都与第三个向量垂直，但这两个向量未必垂直，所以命题P 是假命题；两个非零向量都与第三个向量平行，那么这两个向量一定平行，所以命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【答案】A9.已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】本题考查的是复合命题的真假性判断，复合命题的真假判定主要是根据简单命题的真假结合逻辑联结次进行判断即可，如果p 或q 真（假）则需分三种情况讨论，如果p 且q 真(假)则p,q 真（p 真q 假或p,q 假，p 真q 假，p 假q 真）,如果p 真，则非p 一定假.当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,而⌝p 是假命题，当1,2x y ==-时,因为2214x y =<=,所以命题q 为假命题,则q ⌝为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.【答案】C10.下列判断错误的是（）A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题【解析】：本题考查的是四种命题及其相互关系，充要条件，常用逻辑用语．由题意可知：由||||am bm <可以得到||||a b <，反之不一定成立.命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是全称命题的否定，先转换量词，然后要否定结论，所以有“00,0x R ax b ∃∈+>”.而()p q ⌝∧为真命题，那么p q ∧为假命题，故,p q 至少有一个假命题，命题“若p ，则q ⌝”为真命题，它的逆否命题也是真命题，所以“若q ，则p ⌝”也为真命题.故C 选项判读错误，选C. 【答案】C11.已知命题p ：函数12x y a+=-的图象恒过定点()1,2；命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x = 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝【解析】本题考查的是复合命题的真假判断，同时也是命题与函数的综合运用，要求掌握的知识点要全面，由题意可知，函数12x y a+=-恒过定点(1,1)-，所以命题p 为假命题，函数(1)y f x =-是偶函数，它的图象关于直线0x =对称，因此()y f x =的图象关于直线1x =-对称，命题q 也为假命题，所以只有p q ∨⌝为真命题，故选D ．【答案】D12.下列说法正确的是（）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“x R ∀∈，sin cos x x +≤”，则p ⌝是真命题D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++>”【解析】：由题意可知1110a a a <⇔><或，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件；若p q ∧为真命题，则,p q 皆为真命题，若p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个为真命题，所以“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的充分不必要条件；因为sin cos )4x x π+=+≤所以命题p 为真命题，p ⌝是假命题；命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++≥”，因此正确的是A. 【答案】A13.设命题[]21:1,2,ln 0,2p x x x a ∀∈--≥命题2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得，如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【分析】对命题p ，先分离常数21ln 2a x x ≤-，利用导数求出右边函数在区间[]1,2上的最小值为12，得12a ≤.对命题q ，2424320a a ∆=++≥，解得4,2a a ≤-≥-.p 或q 真，p 且q 假也就是说明两者一真一假，分成两类来求a 的取值范围. 【解析】命题p: []211,2,ln ,2x a x x ∀∈≤-令[]21()ln ,1,22f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x ->，min 1()2f x =，12a ∴≤. 命题q: 22860x ax a +--≤解集非空，2424320a a ∆=++≥，4,2a a ∴≤-≥-或命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。

高考数学集合与常用逻辑用语_第3讲_简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文

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高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文

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